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OBJETIVOS

Definir Interés y monto. Distinguir capitalizaciones simples y compuestas. Identificar el interés simple y compuesto. Demostrar fórmulas principales y derivadas. Resolver situaciones problemáticas.

CONTENIDOS Interés. Interés simple. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Divisores fijos. Monto.

Monto a interés simple. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Factores financieros. Interés compuesto. Monto a interés compuesto. Fórmula principal. Fórmulas derivadas.

Interés compuesto. Interés compuesto en base al capital de origen. Fórmula principal.Fórmulas derivadas. Interés compuesto en base al monto. Fórmula principal. Formulasderivadas.

Formas de Capitalización. Distintos tipos de tasas: tasa nominal, tasa proporcional, tasaefectiva y tasa equivalente.

Capitalización continua. Fórmula principal del monto en la capitalización continua.Fórmulas derivadas.

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INTERÉS SIMPLE

INTERÉS (Definición)Se denomina interés al beneficio que recibe una de las partes por haber prestado o depositado undeterminado capital durante un cierto tiempo y con una determinada tasa de interés.

INTERÉS SIMPLE (Definición)Aquel interés que se calcula con una ley financiera simple, se denomina interés simple.

FÓRMULA PRINCIPAL DEL INTERÉS SIMPLE

Supongamos que tenemos un capital (Co) que se presta o se deposita durante una determinadacantidad de períodos (n) con un tanto por ciento llamado razón (R), obteniéndose una ganancia (Is), conuna capitalización simple. Para ello hacemos el siguiente razonamiento para un período:

El capital inicial equivale al 100%, evidentemente el interés equivale a la razón, o sea:

RIsCo

%100

Teniendo en cuenta que éstas magnitudes son directamente proporcionales y por una propiedadde las mismas, podemos hacer:

RIsCo %100

Despejando Is, tenemos:

%100RCoIs

Pero el cociente entre la razón y 100% se denomina tanto por uno o tasa y se lo denota con “i”, osea que:

%100Ri

Y reemplazando en la fórmula anterior, queda:

iCoIs

Esta es la fórmula de la ganancia para un período; pero para todos los periodos, tenemos quemultiplicar la expresión anterior por “n” (cantidad de períodos), o sea:

niCoIs

Esta fórmula es la que utilizamos para calcular el interés simple con una tasa “i” durante unnúmero de períodos “n”.-

Por otro lado, sabemos que el tiempo (T) puede no estar expresado en la unidad de lacapitalización que tiene la operación financiera; por ejemplo, si la capitalización es mensual y el tiempoestá dado en años, entonces habrá una cierta unidad de tiempo (UT) para poder expresar el mismo enperíodos de acuerdo a la capitalización.

Observemos el siguiente ejemplo: expresar en meses tres años.-

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Sabemos que un año tiene 12 meses, por lo tanto:

añosnañomeses3112

Estas magnitudes son directamente proporcionales, por lo tanto:

añosaño

nmeses

3112

Despejando “n” queda:

añoañosmesesn

1312

Que es lo mismo que:

mesesn121

3

Ahora, si hacemos 3T y121

UT , queda:

UTTn

Con lo que se puede armar una nueva fórmula para el interés simple con esta última expresión, osea que:

UTTRCoIs

%100Por ejemplo:

Determinar la ganancia que obtendrá una persona que deposita $5.263,50 durante un año y medioy con un interés del 25% anual y una capitalización mensual. Determinar también el dinero que tendrá alcabo del tiempo.

DatosCapitalización mensual y simpleCo=$5.263,50T=1,5 añosR=25% anual

IncógnitasIs=?Cn=?

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Resolución

Como el tiempo está expresado en año y la capitalización es mensual, hacemos121

UT , entonces se

tiene:

mesesnnUTTn 185,1

121

Pero como la razón es anual y la capitalización es mensual, también debemos trabajarla parahacerla mensual, entonces:

mesRmeses

112%25

Entonces:

%083,212

%251

R

mesesmesR

Pero la tasa es:

0208,0%100%08,2

%100 iiRi

Usando la fórmula para calcular el interés simple, o sea:

65,970.1$180208,050,263.5$ IsIsniCoIs

Ahora, el monto está dado por:

15,234.7$65,970.1$50,263.5$ CnCnIsCoCn

FÓRMULAS DERIVADAS DEL INTERÉS SIMPLE

Despejando de la fórmula de Interés simple, se pueden obtener otras fórmulas llamadas “fórmulasderivadas”

EL CAPITAL DE ORIGEN EN EL INTERÉS SIMPLE

Teniendo en cuenta que:niCoIs

Pasamos i x n al primer miembro y queda:

niIsCo

Con ésta fórmula se puede calcular el capital de origen.Por ejemplo:

¿Qué cantidad de dinero debe prestar una persona para al cabo de 2 años le devuelvan con unaganancia de $320, aplicándole el 5% trimestral y la capitalización anual? ¿Cuál será el monto total que ledevolverán?

DatosCapitalización mensual y simpleIs=$320

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R=5% trimestral R=5:3 R=1,67% mensual i=0,0167T=2 años n=2x12 n=24

IncógnitasCo=?Cn=?

Para resolver este problema usamos la fórmula demostrada últimamente, o sea:

40,798$0167,024320$

CoCoinIsCo

Ahora, el monto es:40,118.1$320$40,798$ CnCnIsCoCn

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL INTERÉS SIMPLE

El período es la unidad de tiempo en el que se capitaliza o se actualiza un capital. Por ejemplo siel período es mensual, la capitalización se hará cada mes; si el período es bimestral, la capitalización sehará cada bimestre, etc.

En el Interés simple, el número de períodos se representa con “n” y se la calcula despejándolo dela fórmula principal. Para ello partimos de:

inCoIs

Despejamos “n” y queda:

iCoIsn

Con esta fórmula se puede calcular el número de períodos en el interés simple, por ejemplo:Determinar el tiempo que debe permanecer en depósito la suma de $5.500 para obtener una

ganancia de $225,32, sabiendo que el banco otorga el 3% bimestral de interés y régimen simple decapitalización. Calcular también el valor futuro.

DatosCo=$5.500Is=$225,32R=3% bimestral R=1,5% mensual i=0,015

Incógnitasn=?Cn=?

Para calcular el número de períodos se hace:

mesesnniCo

Isn 73,2015,0500.5$32,225$

Ahora, el monto es:

32,725.5$32,225$500.5$ CnCnIsCoCn

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LA RAZÓN EN EL INTERÉS SIMPLE

Para determinar la razón en el interés simple, se parte de la fórmula principal, o sea:inCoIs

Despejamos la tasa de ella:

nCoIsi

Ahora, como:

%100%100

iRRi

Por ejemplo:Calcular el tanto por ciento se le debe aplicar a un capital de $7.000 que colocado a 11 meses da unaganancia de $1.200 con una capitalización mensual y simple. Calcular también el monto.

DatosCapitalización: mensual y simpleCo=$7.000T=11 meses n=11Is=$1.200

IncógnitasR=?Cn=?

Para calcular la razón, primero debemos calcular la tasa, entonces hacemos:

015,011000.7$

200.1$

ii

nCoIsi

Ahora, la razón se calcula con:

mensualRRiR %5,1%100015,0%100

Como se sabe, el monto es la suma del capital inicial y la ganancia obtenida, o sea:

200.8$200.1$000.7$ CnCnIsCoCn

LOS DIVISORES FIJOS

En el interés simple se puede trabajar con divisores fijos (valores que no varían y que figurancomo divisores), esto es siempre que la tasa no varíe. Es así que partimos de la fórmula principal delinterés simple, teniendo en cuenta que el año comercial tiene 360 días, o sea:

360.. niCoIs

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Si dividimos numerador y denominador por la tasa de interés “i” se tiene:

i

nCo

i

iinCo

Is360.

360

..

Ahora, si al cociente del denominador lo llamamos (divisor fijo), queda:

nCoIs .

Donde:

fijodivisornumeralnCo.

Lo que en definitiva concluimos que:

fijodivisornumeralIs

MONTO A INTERES SIMPLE

MONTO (definición)Se llama monto o capital futuro, al capital final de la operación financiera, o sea la suma del capitalprestado o depositado y la ganancia obtenida.

El monto a interés simple (Cn) es el que se obtiene con una capitalización simple.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PRINCIPAL

Teniendo en cuenta que el monto es:IsCoCn

Y por otro lado que:

inCoIs ..

Y reemplazando la segunda fórmula en la primera se tiene:

inCoCoCn ..

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Sacando factor común el capital de origen, queda:

).1.( niCoCn

Que es esta la fórmula principal del monto a interés simple.

Por ejemplo:¿Cuál será el dinero que retirará una persona al cabo de 5 meses de plazo fijo si depositó $3.200 y laentidad financiera otorga el 5% mensual de interés y capitalización simple? ¿Cuál será la gananciaobtenida?

DatosCapitalización: mensual y a interés simpleCo=$3.200T=5 meses n=5R= 5% mensual i=0,05

IncógnitasCn=?Is=?Para calcular el monto hacemos:

000.4$505,01.200.3$).1.( CnCnniCoCnAhora, el interés se calcula con:

800$200.3$000.4$ IsIsCoCnIs

FÓRMULAS DERIVADAS DEL MONTO A INTERÉS SIMPLE

Para obtener las fórmulas derivadas del monto a interés simple debemos despejar cada elementode la fórmula principal.

EL CAPITAL DE ORIGEN EN EL MONTO A INTERÉS SIMPLE

Partiendo de la fórmula principal, o sea:

).1.( niCoCn

Pasamos 1+i.n al primer miembro y queda:

niCnCo.1

Con esta fórmula calculamos el capital de origen en el monto a interés simple.Por ejemplo:

Determinar el capital que prestó una persona si se le devuelve al cabo de 8 meses $1.800aplicándole una capitalización mensual y a interés simple y el 2% mensual. Calcular también la gananciaobtenida.

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DatosCapitalización mensual y a interés simpleT=8 meses n=8Cn=$1.800R=2% mensual i=0,02

IncógnitasCo=?Is=?

Para calcular el capital de origen hacemos:

72,551.1$802,01

800.1$.1

CoConi

CnCo

Ahora, el interés se calcula con:

27,284$72,551.1$800.1$ IsIsCoCnIs

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL MONTO A INTERÉS SIMPLE


).1.( niCoCn

Pasamos el capital de origen al primer miembro, o sea:

niCoCn .1

Y pasando el 1 restando al primer miembro, queda:

niCoCn .1

Y sacando común denominador, se tiene:

(1).niCoCoCn

Y pasando la tasa queda:

CoiCoCnn

Con esta fórmula podemos calcular el número de períodos en el monto a interés simple.

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Por ejemplo:

¿Cuál será el total de meses que debe ser prestado $3.000 para que sean devueltos $3.652 con el 25%anual de interés y capitalización mensual y a interés simple? ¿Y cuál será el dinero ganado por elorganismo de préstamo?

DatosCapitalización: mensual y a interés simpleCo=$3.000R=25% anual R=25:12 R= 2,08% mensual i=0,0208Cn=$3.652

Incógnitasn=?Is=?

Para calcular el número de períodos hacemos:

48,10000.3$0208,0000.3$652.3$

nnCoiCoCnn

Para calcular el interés simple se hace:

652$000.3$652.3$ IsIsCoCnIs

LA RAZÓN EN EL MONTO A INTERÉS SIMPLE

Para obtener una fórmula para calcular la razón partimos de la expresión (1) y despejamos la tasa,o sea:

inCoCoCn

Entonces:

nCoCoCni

Pero como se sabe, la razón es el producto de la tasa y ciento por ciento, entonces:

%100 iR

Por ejemplo:

Una persona depositó hace 2 años en plazo fijo $20.000 y retira en estos momentos un total de$24.352. Si se sabe que la entidad bancaria capitalizó en forma mensual y a interés simple, ¿Cuál seráel tanto por ciento aplicado y la ganancia obtenida?

DatosCapitalización: mensual y a interés simpleT=2 años n=2x12 (meses) n=24 meses

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Co=$20.000Cn=$24.352

IncógnitasR=?Is=?

Para calcular la razón debemos primero calcular la tasa, o sea:

009,0000.20$24000.20$352.24$

iiConCoCni

Ahora la razón es:mensualRRiR %9,0%100009,0100

LOS FACTORES FINANCIEROS

Teniendo en cuenta que:

).1.( niCoCn y 1).1.(.1

niCnni

CnCo

Observamos que el factor 1+i.n en el primer caso multiplica al capital inicial y nos lleva a obtener elcapital fututo o monto, por lo tanto es un FACTOR DE CAPITALIZACIÓN.-

Para el segundo casoni.11

multiplica al monto y nos trae al capital inicial, por lo tanto es un

FACTOR DE ACTUALIZACIÓN.-

En conclusiones se tiene:

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. ¿Cuánto se podrá retirar al cabo de 240 días invirtiendo $10.000.- al 50% anual con unacapitalización diaria y simple? Efectúe el cálculo suponiendo:a) que el año tiene 360 días (año comercial).b) que el año tiene 365 días (año civil).

2. ¿Cuál fue el interés simple que arrojó una inversión que colocada al 6% mensual hace 7 mesespermitió retirar a la fecha $17.000 con capitalización mensual?

3. ¿A cuántos días se invirtieron $6.000 si al 60% anual produjeron $720 en concepto de intereses concapitalización simple? (año comercial)

: Factor de Capitalización

: Factor de Actualización

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4. ¿A qué tasa mensual fueron invertidos $3000 si al cabo de 6 meses se pudieron retirar $4080 concapitalización simple?

5. ¿En cuánto tiempo un capital de $1.000 colocado al 5% mensual produce un interés de $200 conuna capitalización simple y mensual?

6. Un individuo desea obtener un monto de $5.000 ¿Cuántos meses deberá invertir su capital de$2.000 a la tasa del 7,50% mensual con capitalización simple?

7. Se depositaron en 3 instituciones bancarias las sumas de $15.000, $22.000 y $23.000 al 4,5%, 5% y6% mensual a interés simple respectivamente por un plazo de 90 días. ¿Qué tasa de interéspermite obtener igual beneficio en el mismo plazo, si se desea invertir las sumas mencionadas enuna sola operación de depósito?

8. Se invierten $10.000 a interés simple por 6 meses. Los primeros 2 meses rindió el 10%, el tercermes el 8% y los restantes el 9%. ¿Cuál será el monto reunido si:a) Todas las tasas son mensuales.b) Todas las tasas son trimestrales.c) Todas las tasas son para 15 días. (año comercial)

9. Se deposita $3.287 en un plazo fijo de 120 días en el Banco de la Nación Argentina el que otorga el25% anual de interés. Calcular el monto que se retirará al cabo del plazo con capitalización diaria ysimple y con:a) año civilb) año comercial

10. Una persona presta $2.500 y al cabo de 90 le devuelven $3.000. ¿Cuál es el tanto por cientoaplicado si la capitalización es diaria y simple? ¿Cuál es la ganancia obtenida por el prestamista?

11. Un plazo fijo 120 días de $8.700 otorga una ganancia de $2.212,41¿Cuál será el tanto por cientoaplicado si la capitalización es mensual y simple? ¿Cuál será el total de dinero retirado vencido elplazo?

12. Una persona deposita un plazo fijo de 60 días y el banco otorga el 7% cuatrimestral de interéssimple. ¿Cuál será el dinero depositado si retira al vencimiento del plazo $10.245? ¿Cuál será laganancia obtenida?

13. Completar el siguiente cuadro teniendo en cuenta que la capitalización es simple:Co Is Cn T R Capitalización

$18.000 $5.000 5 meses Mensual$890 1 año 3% mensual Mensual

$1.500 $8.900 25% anual Bimestral$1.700 2 años 30% anual Mensual

$10.400 10 meses 28% anual Trimestral$14.000 7 meses 10% semestral Mensual

14. Una persona tiene un capital de $18.000 y hace las siguientes inversiones:a. ¼ lo deposita en un plazo fijo de 60 días con el 32% anual y con capitalización simple diaria y

año civil.b. La mitad de lo que queda lo presta a devolverse a los 120 días con el 40% anual de interés y

con capitalización simple diaria y año comercial.c. Y el resto lo coloca en un plazo fijo de 150 días con el 30% anual y capitalización simple y

mensual.Se quiere saber el monto y la ganancia en cada caso; El monto y la ganancia total.

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INTERÉS COMPUESTO

MONTO A INTERÉS COMPUESTO

MONTO (definición)Se llama monto o capital futuro, al capital final de la operación financiera, o sea la suma del capitalprestado o depositado y la ganancia obtenida.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PRINCIPAL

Sabemos que en la capitalización simple se calcula el monto con:

).1.( niCoCn

Ahora, si calculamos este monto para un período, o sea n=1 se tiene:

)1.()1.1.(1 iCoiCoC

Pero para la capitalización a interés compuesto, la misma para un período se calcula en base al montodel período anterior; quiere decir que el capital inicial de un período es el monto del período anterior, loque significa que si partimos de un capital inicial Co podemos hacer el siguiente cuadro denotando almonto compuesto con Cn’:

Período Capital inicial Monto compuesto1 Co )1.('1 iCoC

2 )1.('1 iCoC 22 )1.()1).(1.(' iCoiiCoC

3 22 )1.(' iCoC 32

3 )1.()1.()1.(' iCoiiCoC

4 33 )1.(' iCoC 43

4 )1.()1.()1.(' iCoiiCoC ……… …………………… ………………………………………………………… …………………… ………………………………………………………… …………………… …………………………………………………

n-1 22 )1.(' nn iCoC 12

1 )1.()1.()1.(' nnn iCoiiCoC

n 11 )1.(' nn iCoC nn

n iCoiiCoC )1.()1.()1.(' 1

Haciendo un análisis de este cuadro se puede explicar que:

Período 1Para el período 1 se tiene como capital inicial a Co y calculamos el monto, o sea:

)1.('1 iCoC Período 2

Para el período 2 se tiene como capital inicial al monto del período 1, o sea:

)1.('1 iCoC

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Y calculamos el monto de éste período que es el producto del capital inicial y (1+i), o sea:

22 )1.()1).(1.(' iCoiiCoC

Esto último es aplicando producto de potencias de igual base.

Período 3En este período el capital inicial es el monto del período 2, o sea:

22 )1.(' iCoC

Y el monto es:32

3 )1.()1.()1.(' iCoiiCoC

Período 4Igual razonamiento hacemos para este período, donde el capital inicial es:

33 )1.(' iCoC

Y el monto es:43

4 )1.()1.()1.(' iCoiiCoC

Período n-1Con el mismo razonamiento llegamos hasta el penúltimo período, donde el capital inicial es el

monto del período n-2, o sea:

22 )1.(' nn iCoC

Y el monto es:

121 )1.()1.()1.(' nnn iCoiiCoC

Período nLlegado al último período, el capital inicial es el monto del período n-1, o sea:

11 )1.(' nn iCoC

Y el monto es:nn iCoiiCoCn )1.()1.()1.(' 1

Siendo esta la fórmula para calcular el monto con capitalización compuesta, o sea:

niCoCn )1.('

Por ejemplo:Una persona deposita en plazo fijo $5.800 que serán retirados a los 60 días, otorgando el banco el 26%anual de interés con una capitalización diaria y compuesta. Se pide calcular el total de dinero retiradovencido el plazo y la ganancia obtenida utilizándose año comercial.

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DatosCapitalización diaria y a interés compuestoCo=$5.800T=60 días n=60R=26% anual R=26%:360 R=0,07% diario i=0,0007

IncógnitasCn’=?Ic=?Para calcular el monto hacemos:

69,048.6$')0007,01.(800.5$')1.(' 60 CnCniCoCn n

Para calcular el interés se hace:

69,248$800.5$69,048.6$' IcIcCoCnIc

FÓRMULAS DERIVADAS DEL MONTO A INTERÉS COMPUESTO

Las fórmulas derivadas del monto a interés compuesto se las obtiene despejándolas de la fórmulaprincipal.

EL CAPITAL DE ORIGEN EN EL MONTO A INTERÉS COMPUESTO

Teniendo en cuenta la fórmula principal para el cálculo del monto con el régimen de interéscompuesto, o sea:

niCoCn )1.('

Despejamos el capital inicial y se tiene:

ni

CnCo)1(

'

Por ejemplo:Un ahorrista retira después de 6 meses de plazo fijo, un total $21.500 habiéndole otorgado el

banco el 25% anual de interés. Calcular el dinero que depositó y la ganancia obtenida si se le aplicó unacapitalización mensual y a interés compuesta.

DatosCapitalización: mensual y a interés compuestaT=6 meses n=6Cn’=$21.500R=25% anual R=25%:12 R=2,08% mensual i=0,0208

IncógnitasCo=?Ic=?

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Para calcular el capital inicial hacemos:

78,001.19$6)0208,01(

500.21$

)1(

'

CoConi

CnCo

Ahora, el interés compuesto se calcula con:

21,498.2$78,001.19$500.21$' IcIcCoCnIc

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL MONTO A INTERÉS COMPUESTO

Para obtener el número de períodos en el monto a interés compuesto debemos partir de la fórmulaprincipal y despejar “n”, o sea:

niCoCn )1.('

Pasamos el capital inicial al primer miembro, se tiene:

niCoCn )1('

Y tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

CoCnni 'log)1log(

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, queda:

CoCnin log'log)1log(.

Y despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada, o sea:

)1log(log'logiCoCnn

Por ejemplo:Calcular cuántos meses permaneció un capital de $10.000 ganando el 1,5% mensual de interés siprodujo un monto de $15.358,21, si la capitalización utilizada es a interés compuesto. Calcular también laganancia obtenida.

DatosCapitalización: mensual y a interés compuestoCo=$10.000R=1,5% mensual i=0,015Cn’=$15.358,21

Incógnitasn=?Ic=?

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mesesnniCoCnn 81,28

)015,01log(000.10$log21,358.15$log

)1log(log'log

Para calcular el interés compuesto, se hace:

21,358.5$000.10$21,358.15$' IcIcCoCnIc

LA TASA Y LA RAZÓN EN EL MONTO A INTERES COMPUESTO

De igual manera que en la anterior, partiendo de la fórmula de monto a interés compuesto,podemos despejar la tasa y luego calcular la razón, o sea:

niCoCn )1.('

Ahora pasamos el capital inicial al primer miembro, o sea:ni

CoCn )1('

Pasando el exponente al primer miembro, queda:

inCoCn

1'

Y despejando la tasa llegamos a la fórmula para su cálculo, o sea:

1' nCoCni

Pero como se sabe que la razón es:

%100%100

iRRi

Que es la forma de calcular la razón.

Por ejemplo:Un inversionista coloca $30.000 a plazo fijo durante 25 meses y retira un total de $52.387 al vencimiento.Se pide calcular el tanto por ciento mensual que le otorgó el banco y la ganancia obtenida por elinversionista si se le aplica una capitalización compuesta

DatosCapitalización: mensual y a interés compuestoCo=$30.000T=25 meses n=25Cn’=$52.387

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IncógnitasR=?Ic=?

Para calcular la razón calculamos primero la tasa, o sea:

0225,01000.30$387.52$1' 25 ii

CoCni n

Ahora la razón es:

mensualRRiR %25,2%1000225,0%100

COMPARACION ENTRE EL MONTO SIMPLE Y EL MONTOCOMPUESTO

Supongamos el siguiente ejemplo:

Se coloca un capital de $10.000 con el 20% anual de interés. Se pide calcular el monto simple ycompuesto para los valores del número de períodos de 0; 0,5; 1 y 2.-

DatosCo=$10.000R=20% anual i=0,2

Calculamos los distintos montos con n=0

Para el monto simple

000.10$)02,01.(000.10$).1.( CnCnniCoCn

Para el monto compuesto

000.10$')2,01.(000.10$')1.(' 0 CnCniCoCn n

Como conclusión se tiene que Cn=Cn’ si n=0

Se calculamos los distintos montos con n=0,5



45,954.10$')2,01.(000.10$')1.(' 5,0 CnCniCoCn n

Como conclusión se tiene que Cn>Cn’ si n=0,5

000.11$)5,02,01.(000.10$).1.( CnCnniCoCn

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000.12$)12,01.(000.10$).1.( CnCnniCoCn


000.12$')2,01.(000.10$')1.(' 1 CnCniCoCn n

Como conclusión se tiene que Cn=Cn’ si n=1



000.14$)22,01.(000.10$).1.( CnCnniCoCn


400.14$')2,01.(000.10$')1.(' 2 CnCniCoCn n

Como conclusión se tiene que Cn<Cn’ si n=2

Si trabajamos desde el punto de vista gráfico, despreciando el capital inicial, o sea haciendo:

niCnniCn)1('.1

Donde la primera es unafunción lineal con variable “n” y lasegunda una función exponencialcon la misma variable. Las gráficasson:

Por supuesto, la recta es lagráfica del monto simple y la curvacorresponde al monto compuesto ysi observamos, los puntos de corteson (0; 1) y (1; 1,2) que esjustamente donde los montos soniguales de acuerdo al análisisanterior; pero entre 0 y 1 de “n” losvalores de la función exponencial son menores que los de la lineal; pero a partir de n>1 los valores de lafunción exponencial son mayores que los de la lineal.

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Hecho estos análisis, podemos concluir que:

1si'1si'10si'

0si'

nCnCnnCnCnnCnCn

nCnCn

LOS FACTORES FINANCIEROS

De acuerdo a lo estudiado, sabemos que:a) Las variaciones hacia el futuro son las que determinan cuanto valdrá el dinero dentro de un

cierto tiempo y se conoce con el nombre de capitalización. Así, tenemos la fórmula de montocompuesto donde el capital original o inicial se transforma en el capital final o monto, o sea:

niCoCn )1.('

Lo que en definitiva decimos que mediante el factor:

1 ni

El capital inicial se transforma en el capital final o monto, por eso decimos que capitalizó, lo quesignifica que este factor financiero es un factor de capitalización.

b) Las variaciones hacia el presente son las que determinan cuánto vale ahora una cantidad dedinero del cual se dispondrá en el futuro. Así tenemos la fórmula del capital inicial en el monto ainterés compuesto, o sea:

niCnni

CnCo

)1'.()1(

'

Lo que en definitiva decimos que mediante el factor:

1 ni

El capital final o monto se transformó en capital inicial o de origen, por eso decimos que seactualizó, lo que significa que este factor financiero es un factor de actualización.

En conclusiones tenemos:

: Factor de Capitalización

: Factor de Actualización

21


1. Una persona deposita $12.520 en un plazo fijo de 6 meses, otorgando el banco el 25% anual deinterés, con una capitalización mensual y compuesta. Se pide calcular el total de dinero retiradovencido el plazo y la ganancia obtenida.

2. Calcular el monto obtenido a los 14 meses de haber depositado un capital de $17.000 con el 1,3%mensual de interés y con capitalización mensual y compuesta. Calcular también la gananciaobtenida.

3. Durante 7 meses se colocó $8.000 en un plazo fijo y al momento de retirar el total producido, elsaldo final era equivalente a la importe de la inversión original más el 50%. Se desea saber el tantopor ciento mensual aplicada a la inversión y la ganancia obtenida, si la capitalización aplicada escompuesta y mensual.

4. Calcular cuántos bimestres estuvo colocado un capital de $21.587 si se le aplicó el 28% anual deinterés y que al retirarlo se obtuvo un monto de $25.678,40, sabiendo que se le aplicó unacapitalización compuesta. Calcular también la ganancia obtenida.

5. Calcular la tasa mensual que se debe colocar un capital de $21.870 durante 2 años para que al finaldel plazo se retire un monto de $45.238,78 sabiendo que la capitalización es mensual y compuesta.Calcular también la ganancia obtenida.

6. ¿Cuántos meses deben permanecer $10.000 para que al final del plazo se retire un monto de$15.238,74; sabiendo que la capitalización es mensual y compuesta y con una tasa del 26% anual?¿Cuál será la ganancia obtenida?

7. Calcular el valor inicial depositado por una persona si al cabo de 10 meses retira un monto de$25.687 aplicándole el 3% bimestral de interés y capitalización mensual y compuesta. Calculartambién la ganancia obtenida.

8. ¿Cuál es el capital que se ha colocado hace 12 meses y que hoy se retira un monto de $2.500sabiendo que se le aplicó el 6% trimestral de interés y con una capitalización mensual y compuesta?Calcular también la ganancia obtenida.

9. Un inversionista que dispone de un capital de $84.000 realiza las siguientes operaciones financieras:a. $14.000 lo coloca en un plazo fijo de 6 meses con el 2% mensual y con capitalización mensual

y compuesta.b. La mitad de lo que queda lo coloca en un plazo fijo de 1 año con el 25% anual y capitalización

anual y compuesta.c. El monto obtenido del apartado a), lo coloca en otro plazo fijo de 6 meses con el 3,5% bimestral

y con capitalización compuesta y bimestral.d. La mitad de lo que queda del valor inicial lo coloca en un plazo fijo de 8 meses con el 25% anual

y capitalización mensual y compuesta.e. Y el resto lo coloca en un plazo fijo de 180 días con el 25% anual y capitalización mensual y

compuesta.Se pide calcular el monto y la ganancia obtenida en cada uno de los casos, el monto total y laganancia total.

10. Determinar el tiempo que debe permanecer en un plazo fijo un capital de $28.000 para devengue unmonto de $32.524, sabiendo que se le aplica el 5% trimestral de interés y la capitalización esmensual y compuesta.

11. Una persona tiene un capital de $12.000 y hace las siguientes inversiones:a. $5.000 lo coloca en un plazo fijo de 30 días con el 3% mensual y capitalización simple y diaria.b. El resto lo coloca a 90 días con el 8% cuatrimestral y capitalización mensual y compuesta.

Calcular en cada caso el monto y la ganancia obtenida y el monto y la ganancia total.12. Si en el problema anterior las capitalizaciones hubieran sido al revés ¿cuál serían los montos y las

ganancias obtenidas y el monto y la ganancia total? ¿qué tipo de capitalización le conviene alinversor?

13. Durante cuántos meses debe estar invertido un capital de $5.000 al 3,5% mensual para convertirseen $11.000?

22

EL INTERÉS COMPUESTO

Como se sabe, se denomina interés al beneficio que recibe una de las partes por haber prestado odepositado un capital durante un cierto tiempo con una determinada tasa de interés.

Para el caso de interés compuesto, es aquel cuya capitalización se hace en base a una leycompuesta.

LAS FÓRMULAS DEL INTERÉS COMPUESTO

Para obtener las fórmulas de interés compuesto debemos partir de las siguientes.

Monto compuesto, cuya fórmula es:

(1))1.(' niCoCn

El capital de origen o inicial en el monto compuesto, cuya fórmula es:

(2))1'.()1(' nn iCniCnCo

La fórmula del interés en base al concepto de monto, o sea:

(3)' CoCnIc

FÓRMULA PRINCIPAL DEL INTERES COMPUESTO EN BASE AL CAPITAL INICIAL O DEORIGEN

Partiendo de la fórmula de interés (3), o sea:

CoCnIc '

Reemplazamos el monto por la fórmula (1), o sea:

CoiCoIc n )1.(

Y sacamos factor común el capital y queda:

11. niCoIc

Por ejemplo:Una persona deposita $15.000 en plazo fijo durante 6 meses otorgando el banco el 25% anual de

interés. Se pide calcular la ganancia obtenida vencido el plazo y el total retirado si la capitalización esmensual y a interés compuesto.

23

DatosCapitalización: mensual y compuestaCo=$15.000T=6 meses n=6R=25% anual R=25%:12=2,08% mensual i=0,0208

IncógnitasIc=?Cn’=?

Para calcular el interés compuesto teniendo en cuenta que uno de los datos es el capital, se hace:

08,972.1$160208,01.000.15$1)1(.

IcIcniCoIc

Ahora, para el monto hacemos:

08,972.16$'08,972.1$000.15$'' CnCnIcCoCn

FÓRMULAS DERIVADAS DEL INTERÉS COMPUESTO EN BASE AL CAPITAL INICIAL

Partiendo de la fórmula principal podemos despejar las derivadas para el cálculo de suselementos.

EL CAPITAL INICIAL O DE ORIGEN EN EL INTERÉS COMPUESTO

Tengamos en cuenta la fórmula de interés compuesto en base al capital, o sea:

1)1(. niCoIc

Despejamos el capital inicial y queda:

(1 ) 1n

IcCoi

Así por ejemplo:Un inversionista deposita una cierta suma de dinero durante 6 meses y obtiene una ganancia al

final del plazo de $2.563. Si se sabe que el banco le otorgó el 30% anual de interés y con capitalizacióncompuesta y mensual ¿cuál es el dinero depositado y el total retirado?

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=6 meses n=6Ic=$2.563R=30% anual R=30%:12=2,5% mensual i=0,025

IncógnitasCo=?Cn’=?

24

Para el caso del capital inicial, hacemos:

50,049.16$1)025,01(

563.2$1)1( 6

CoCo

iIcCo n

Para el caso del monto, se hace:

50,612.18$'563.2$50,049.16$'' CnCnIcCoCn

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL INTERÉS COMPUESTO EN BASE AL CAPITAL DE ORIGEN


1)1(. niCoIc

Pasamos al primer miembro el capital de origen, queda:

1)1( niCoIc

Pasando el -1 y sacando común denominador, se tiene:

CoCoIci n

)1(

Tomando logaritmo en ambos miembros, queda:

CoCoIci n

log)1log(

Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

CoCoIcin log)log()1log(.

Y despejando el número de períodos se llega a la formula deseada:

log( ) loglog(1 )Ic Co Con

i

Por ejemplo:¿Qué tiempo debe permanecer depositado un capital de $18.000 para obtener ganancia de

$2.200, sabiendo que la entidad financiera otorga el 25% anual y con capitalización mensual ycompuesta? ¿Cuál será el monto retirado al finalizar los períodos?

DatosCapitalización: mensual y compuestaCo=$18.000Ic=$2.200R=25% anual R=25%:12 R=2,083% mensual i=0,02083

25

Incógnitasn=?Cn’=?


)02083,01log(000.18$log)000.18$200.2log($

)1log(log)log(

niCoCoIcn

mesesn 59,5Ahora, para calcular el monto hacemos:

200.20$'200.2$000.18$'' CnCnIcCoCn

LA RAZÓN EN EL INTERÉS COMPUESTO EN BASE AL CAPITAL INICIAL


1)1(. niCoIc

Pasamos al primer miembro el capital de origen, queda:

1)1( niCoIc

Pasando el -1 y sacando común denominador, se tiene:

CoCoIci n

)1(

Pasando el exponente “n” al segundo miembro, queda:

nCoCoIci

1

Y pasando el 1 al segundo miembro se llega a la fórmula de la tasa, o sea:

1 n

CoCoIci

Pero como se sabe que:

%100%100

iRRi

Por ejemplo:Un inversionista deposita $5.320 en un plazo fijo de 180 días y obtiene una ganancia al finalizar el

plazo de $520 ¿Cuál es el tanto por ciento mensual que se le aplica a la operación financiera si lacapitalización es compuesta?

26

DatosCapitalización: compuesta y mensualCo=$5.320T=180 días n=180:30 (meses) n=6 mesesIc=$520

IncógnitasR=?Cn’=?

Para calcular la razón, primero debemos calcular la tasa, o sea:

0156,01320.5$320.5$520$1 6

ii

CoCoIci n

Pero la razón se calcula con:

%56,1%1000156,0%100 RRiR

Ahora, para determinar el monto hacemos:

840.5$'520$320.5$'' CnCnIcCoCn

FÓRMULA PRINCIPAL DEL INTERES COMPUESTO EN BASE AL MONTO

Partiendo de la fórmula (3), o sea:

CoCnIc '

Y reemplazando la (2) en esta última, queda:

niCnCnIc )1'.('

Y sacando factor común el monto se llega la fórmula deseada, o sea:

niCnIc )1(1'.

Por ejemplo:Una persona deposita una cierta cantidad de dinero y lo retira después de 3 meses con un monto

de $1.200. Si el banco otorga el 30% anual de interés y capitalización mensual ¿Cuál es el interéscompuesto ganado? ¿Cuál es el dinero depositado?

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=3 meses n=3Cn’=$1.200R=30% anual R=30%:12 mensual R=2,5% mensual i=0,025

27

IncógnitasIc=?Vr’=?

Para calcular el interés compuesto teniendo como dato el monto, se hace:

68,85$3)025,01(1.200.1$)1(1'.

IcIcniCnIc

Ahora, el capital inicial se calcula con:

32,114.1$68,85$200.1$' CoCoIcCnCo

FÓRMULAS DERIVADAS DEL INTERES COMPUESTO EN BASE AL MONTO

Para obtener las fórmulas derivadas del Interés compuesto en base al monto, se la debendespejar de la fórmula principal, o sea:

niCnIc )1(1'.

EL MONTO EN EL INTERÉS COMPUESTO


niCnIc )1(1'.

Pasamos el corchete al primer miembro y queda:

'1 (1 ) nIcCni

Por ejemplo:Una persona deposita un capital por 10 meses y obtiene una ganancia de $653,24. ¿Cuál es el

total de dinero que retiró al vencimiento si la capitalización es mensual y compuesta y el banco otorga el3% mensual de interés? ¿Cuál es el capital que depositó?

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=10 meses n=10Ic=$653,24R=3% mensual i=0,03

IncógnitasCn’=?Co=?

Para el caso del monto, hacemos:

25,552.2$')03,01(124,653$'

)1(1' 10

CnCn

iIcCn n

28

Ahora, el capital de origen lo calculamos con:

01,899.1$24,653$25,552.2$' CoCoIcCnCo

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL INTERÉS COMPUESTO EN BASE AL MONTO


niCnIc )1(1'.

Transformamos la potencia de exponente negativo y pasamos al monto al primer miembro,queda:

niCnIc

)1(11

'

Pasamos la fracción del primer miembro al segundo y la fracción del segundo al primero, o sea:

'1

)1(1

CnIc

i n

Y sacando común denominador, queda:

''

)1(1

CnIcCn

i n

Elevando ambos miembros a la -1, se tiene:

(4)'')1(IcCn

Cni n

Ahora tomamos logaritmo en ambos miembros:

IcCnCni n

''log)1log(

Aplicando propiedades de los logaritmos, queda:

)'log('log)1log(. IcCnCnin

Despejando el número de período se llega a la fórmula deseada:

log ' log( ' )log(1 )

Cn Cn Icni

29

Por ejemplo:Un inversionista deposita un capital con el 4% bimestral de interés y capitalización mensual y

compuesta y retira a su vencimiento $10.800, sabiendo que ganó $2.820 de interés ¿Cuál es el tiempoque permaneció el capital? ¿Cuál es el capital depositado?

DatosCapitalización: mensual y compuestaR=4% bimestral R=4%:2 R=2% mensual i=0,02Cn’=$10.800Ic=$2.820

Incógnitasn=?Co=?

Para el caso del número de períodos hacemos:

mesesnniIcCnCnn 28,15

)02,01log()820.2$800.10log($800.10$log

)1log()'log('log

Ahora, el capital inicial o de origen lo calculamos con:

980.7$820.2$800.10$' CoCoIcCnCo

LA RAZÓN EN EL INTERÉS COMPUESTO EN BASE AL MONTO


IcCnCni n

'')1(

Pasamos el exponente al segundo miembro, o sea:

nIcCn

Cni

''1

Pasando el 1 al segundo miembro se despeja la tasa:

1''

n

IcCnCni

Y teniendo en cuenta que:

%100%100

iRRi

Por ejemplo:Una persona deposita un capital y retira después de 8 meses $8.532 obteniendo una ganancia de

$1.524 ¿Si se sabe que la capitalización es bimestral y compuesta, cuál es el tanto por ciento aplicada adicha operación? ¿Cuál es el capital depositado?

30

DatosCapitalización: bimestral y compuestaT=8 meses n=8:2 (bimestres) n=4 bimestresCn’=$8.532Ic=$1.524

IncógnitasR= ?Co= ?

Para calcular la razón primero debemos calcular la tasa, o sea:

05,01524.1$532.8$

532.8$1''

4

iiIcCn

Cni n

Ahora, la razón se calcula con:

bimestralRRiR %5%10005,0%100

Ahora, el capital inicial o de origen lo calculamos con:

008.7$524.1$532.8$' CoCoIcCnCo


1. Determinar la ganancia que dio un capital de $2.800 que estuvo colocado durante 11 meses en unplazo fijo con el 3% mensual y capitalización mensual y compuesta. Calcular también el montoretirado.

2. Un inversionista tiene un capital de $10.800 y realiza las siguientes operaciones financieras:a. $5.000 lo coloca en plazo fijo de 6 meses con el 8% cuatrimestral y capitalización compuesta y

mensual.b. El monto de la operación anterior, lo coloca durante 12 meses con el 25% anual y capitalización

mensual y compuesta.c. $3.800 lo coloca durante 180 días con el 30% anual y capitalización mensual y compuesta.d. De lo que queda se coloca una parte en plazo fijo por 7 meses con el 4% bimestral y

capitalización mensual y compuesta, obteniéndose un monto de $1.148,69e. El resto lo deposita por 2 meses con el 3% mensual y capitalización mensual y compuesta.

Se quiere saber la ganancia en cada caso y la ganancia total obtenida por el inversionista.3. Determinar qué tiempo debe permanecer un capital de $2.300 para que dé una ganancia de $730

con el 4% bimestral y capitalización mensual y compuesta.4. Una persona colocó un determinado capital en un plazo fijo de 5 meses con el 5% trimestral y

capitalización mensual y compuesta, obteniendo un monto de $7.365,78 ¿Cuál es la gananciaobtenida y el capital depositado?

5. Un inversionista coloca un capital de $4.520 en un plazo fijo de 2 años con el 7% trimestral ycapitalización bimestral y compuesta. ¿Cuál es la ganancia y el monto que obtiene?

6. Un inversionista coloca un capital de $7.300 y al cabo de 1 año obtiene una ganancia de $2.300¿Cuál es el tanto por ciento que se le aplicó sabiendo que la capitalización es bimestral ycompuesta?

7. Una persona tiene un capital de $7.000 y realiza las siguientes operaciones financieras:a. $3.000 lo coloca en un plazo fijo con el 3% mensual y obtiene una ganancia de $720 con

capitalización mensual y compuesta.b. El resto lo coloca con el 10% semestral y obtiene una ganancia de $1.800 con una

capitalización bimestral y compuesta.

31

Calcular el número de períodos en cada caso y el monto retirado.8. Un inversionista coloca un capital en un plazo fijo con el 7% semestral y capitalización compuesta y

cuatrimestral y obtiene un monto de $5.320. ¿cuál es el número de períodos que permaneció elcapital y cuál es la ganancia obtenida?

9. Una persona coloca $7.300 en un plazo fijo de 180 días y obtiene una ganancia de $1.800. Si sesabe que la capitalización es bimestral y compuesta ¿cuál es la tasa que se le aplicó expresada enforma anual?

10. Un inversionista coloca $3.900 en un plazo fijo con una tasa del 10% semestral y capitalizaciónmensual y compuesta. Si se sabe que la ganancia que obtiene es de $1.300, ¿Qué tiempopermaneció el capital depositado?

11. Completar el siguiente cuadro sabiendo que la capitalización es compuesta:Co Ic Cn’ T R Capitalización

$18.000 $5.000 5 meses Mensual$890 1 año 3% mensual Mensual

$1.500 $8.900 25% anual Bimestral$1.700 2 años 30% anual Mensual

$10.400 10 meses 28% anual Trimestral$14.000 7 meses 10% semestral Mensual

12. Una persona posee un capital de $7.672 y lo coloca en un plazo fijo de 9 meses con el 4% bimestraly capitalización mensual. También posee otro capital que al colocarlo a 12 meses con el 3%mensual arroja un monto igual al monto de la operación anterior con la misma capitalización. ¿Cuálserá la ganancia que obtuvo en ambas inversiones?

13. Un inversionista coloca una determinada suma de dinero en un plazo fijo de 6 meses con unacapitalización mensual y compuesta y con el 5% bimestral de interés. Si la ganancia que obtiene esde $2.500 ¿Cuál es el capital invertido? ¿Cuál es el monto obtenido?

LAS FORMAS DE CAPITALIZACIÓN

Teniendo en cuenta que podemos resolver problemas financieros con una misma unidad detiempo y en distintas unidades de tiempo, en este último caso podemos tener tasas en forma anual y lacapitalización mensual o trimestral o diaria.

Por estas circunstancias, introducimos un nuevo concepto en las capitalizaciones, que es lacapitalización subperiódica y de aquí se obtiene varias tipos de tasas, en las que se destaca lassiguientes: La tasa que corresponde a la capitalización periódica se denomina TASA NOMINAL. Las tasas correspondientes a los subperíodos pueden ser: TASAS PROPORCIONALES, TASAS

EFECTIVAS y TASAS EQUIVALENTES.

LAS TASAS PROPORCIONALESEn la capitalización subperiódica, se dice que se usa una tasa proporcional de interés cuando en cadasubperíodo se toma una tasa igual a la periódica anual dividida en la cantidad de subperíodos.

Analicemos el siguiente ejemplo calculando el monto con tasa nominal y capitalización anual yluego con capitalización mensual.

Una persona deposita $2.500 durante 2 años con el 25% anual de interés. Se pide calcular elmonto obtenido con una capitalización anual y luego una mensual y en ambos casos compuesta.

a) Para la capitalización anual y compuesta

DatosCo=$2.500

32

T=2 años n=2R=25% anual i=0,25IncógnitaCn’=?

Para ello hacemos:

25,906.3$')25,01.(500.2$')1.(' 2 CnCniCoCn n

b) Para la capitalización mensual y compuesta

DatosCo=$2.500T=2 años n=24R=25% anual R=25%:12 R=2,083% mensual i=0,02083

IncógnitaCn’=?

Para ello hacemos:

36,100.4$')02083,01.(500.2$')1.(' 24 CnCniCoCn n

Observamos que en el segundo caso el monto es mayor. En definitiva nosotros tenemos dos tiposde períodos, “n=2” pero que además está dividido en “m=24” subperíodos.

De esta forma podemos decir que se emplea la tasa proporcional, la fórmula de monto a interéscompuesto se modifica de la siguiente forma:

La tasa de interés será igual a la anual dividida en la cantidad de subperíodos (m), o sea:mi

.

El exponente del binomio será igual al exponente anual multiplicado por la cantidad de subperíodos.

De acuerdo a los puntos anteriores se tiene la fórmula de monto para capitalización subperiódicacon tasa proporcional:

nm

miCoCn

.

1.'

Indudablemente, a medida que crece el valor de los subperíodos (m) va a aumentar el valor del monto, loque significa que el monto aumenta si se capitaliza más frecuentemente.

TASAS EFECTIVASLas tasas efectivas son aquellas que capitalizadas en forma subperiódica, al final del plazo dan un montoigual a las capitalizadas en forma periódica. Para ello distinguiremos las dos tasas, la nominal con “i” y laefectiva con “i’ ”

33

Para calcular la tasa efectiva partiremos de las fórmulas de monto para tasa nominal y para tasaproporcional, o sea:

niCoCn )'1.(' mn

miCoCn

.

1.'

Como por definición los montos son iguales, hacemos:

mnn

miCoiCo

.

1.)'1.(

Aplicamos la propiedad cancelativa del producto, queda:

mnn

mii

.

1)'1(

Ahora, despejando el primer binomio y aplicando potencia de otra potencia, se tiene:

n

nm

mi

11'1

Y resolviendo la raíz:

m

mii

1'1

Y despejando i’ se llega a la expresión que nos permite calcular la tasa efectiva en el monto ainterés compuesto:

11'

m

mii

Por ejemplo:Calcular la tasa efectiva que corresponde al 30% anual capitalizada por bimestres.

m=6 (bimestres)R=30% anual i=0,3i’=?R’=?

Usamos la fórmula que demostramos anteriormente para calcular la tasa efectiva y su razón:

34,0'163,01'11'6

iimii

m

34

Pero como:anualRRiR %34'10034,0'100''

TASAS EQUIVALENTESLas tasas equivalentes son aquellas que capitalizadas en diferentes unidades de tiempo producen igualmonto al final del plazo estipulado.

Lo definido anteriormente significa que si las capitalizaciones son distintas, al final del plazoestipulado, el monto producido por ambas tasas son iguales.

Teniendo en cuenta la definición podemos establecer una relación considerando las fórmulascorrespondientes:

nmmiCoCn .)(1.' niCoCn )1.('

Como los montos son iguales, entonces se tiene:

nmnm iCoiCo )1.(1. .)(

Aplicando la propiedad cancelativa del producto y despejando 1+i, se tiene:

ii mm 11 )(

Pasando el exponente al segundo miembro, queda:

mm ii 11 )(

Y pasando el 1, se tiene la fórmula deseada:

11)( mm ii

Por ejemplo:Una entidad financiera informa en pizarra que la tasa anual efectiva es del 25%. Se desea conocer

la tasa efectiva mensual.

Datos:i’=0,25 (anual)m=12

?)( mi

Con la fórmula demostrada precedentemente se calcula esta tasa:

018,0125,0111 )12(12

)12()( iiii mm

Ahora, como:)%(8,1100018,0100)12( mensualRRiR

35

CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Al estudiar la capitalización subperiódica con tasa proporcional, observamos que a medida queaumentan las capitalizaciones, aumenta el monto obtenido.

Ahora, si los subperíodos aumentan indefinidamente, la diferencia entre dos capitalizaciones esprácticamente nula. Teniendo en cuenta esto último, definimos capitalización continua a aquella endonde los subperíodos aumentan indefinidamente, o sea que m. Indudablemente para poder trabajarcon una fórmula en estas condiciones, debemos tomar límite.

Para ello tengamos en cuenta la fórmula de monto con capitalización subperiódica, o sea:

mn

miCoCn

.

1.'

Tomamos límite para m, o sea:

mn

mm miCoCn

.

1.lim'lim

Dividiendo el numerador y denominador del segundo término por “i” y multiplicando y dividiendo elexponente también por “i” y por otro lado Cn’ y Co son constantes para el límite, entonces se tiene:

inim

m

imii

CoCn

.·

1lim.'

Cancelando y aplicando potencia de otra potencia, queda:in

im

m

im

CoCn

.

11lim.'

Aplicando la propiedad de los límites, donde el límite de una potencia es igual a la potencia dellímite, queda:

in

im

m

im

CoCn

.

11lim.'

36

Ahora si imm , por lo tanto:

in

im

im

im

CoCn

.

11lim.'

El límite que está dentro del corchete es un límite notable de la forma:

ex

x

x

11lim , dondeimx

Reemplazando, queda:

nieCoCn ..'

Siendo ésta la fórmula para calcular el monto con capitalización continua.

Por ejemplo:Determinar el monto que generará un capital de $5.387 colocado por 4 años con el 30% anual de

interés y con capitalización continua.

DatosCapitalización: continua y mensualCo=$5.387T=4 (años) n=4R=30% (anual) i=0,3

IncógnitaCn’=?

Para calcular este monto hacemos:

46,885.17$'71828182,2387.5$'.' 3,04. CnCneCoCn in

FÓRMULAS DERIVADAS DEL MONTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Partiendo de la fórmula recientemente demostrada podemos obtener las fórmulas derivadas delmonto con capitalización continua.

EL CAPITAL INICIAL EN EL MONTO COMPUESTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Partiendo de fórmula principal, o sea:nieCoCn ..'

Despejamos el capital inicial, o sea:

37

.

'i n

CnCoe

Por ejemplo:¿Cuál será el capital que se debe invertir para obtener a lo largo de 5 años un monto de $25.000

con el 25% anual de interés y capitalización continua?

DatosCapitalización: continuaT=5 años n=5Cn’=$25.000R=25% anual i=0,25

IncógnitaCo=?

Usando la fórmula demostrada anteriormente se puede calcular el capital inicial, o sea:

62,162.7$71828182,2

000.25$'525,0. CoCo

eCnCo ni

LA RAZÓN EN EL MONTO COMPUESTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA


nieCoCn ..'

Y pasamos el capital al primer miembro, queda:

nieCoCn '

Tomamos logaritmos en ambos miembros:

CoCne ni 'loglog

Aplicamos las propiedades de los logaritmos y se tiene:

(1)log'loglog CoCneni

Despejamos la tasa y llegamos a la fórmula que nos permite calcularla:

log ' log.logCn Coin e

Por supuesto que:

%100 iR

38

Por ejemplo:Calcular el tanto por ciento que se le debe aplicar a un capital de $2.710 colocado por 5 años con

capitalización continua para que dé un monto de $7.980.

DatosCapitalización continuaCo=$2.710T=5 años n=5Cn’=$7.980

IncógnitasR=?

Calculamos primero la tasa, o sea:

215,071828182,2log.5

710.2$log980.7$loglog.log'log

iienCoCni

Pero la razón es:anualRRiR %5,21%100215,0%100

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL MONTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA


CoCneni log'loglog

Despejamos el número de períodos (n) y se tiene:

log ' log.logCn Coni e

Por ejemplo:¿Cuál debe ser el tiempo que debe permanecer un capital de $3.100 para que de un monto de

$8.300 con el 25% anual de interés?

DatosCapitalización continuaCo=$3.100Cn’=$8.300R=25% anual i=0,25

Incógnitasn=?

Utilizamos la fórmula demostrada recientemente, o sea:

añosnneiCoCnn 93,3

71828182,2log25,0100.3$log300.8$log

log.log'log

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INCIDENCIA DE LA INFLACIÓN

Teniendo en cuenta que con el correr del tiempo un capital puede variar y que en esta variacióntambién tiene mucho que ver la tasa, es que debemos estudiar también la incidencia que tiene lainflación o desvalorización de la moneda.

TASA DE INFLACIÓNDefinimos tasa de inflación “f” como el porcentual, tomado por uno, como cualquier otra tasa que indicala magnitud de pérdida del valor adquisitivo del dinero durante un período determinado.

TASA REALDefinimos tasa real de rendimiento real de una inversión a un valor “i*” que expresado en tanto por unocomo cualquier tasa de interés, nos permite medir el verdadero rendimiento de una inversión de capitalcuando existe inflación.

Teniendo en cuenta que la tasa de inflación “f” genera pérdida y tasa “i” genera ganancia,podemos hacer el siguiente análisis con respecto a la tasa real “i*”:

1. Si i>f entonces tendremos rendimiento positivo i*>02. Si i<f entonces tendremos rendimiento negativo i*<03. Si i=f entonces tendremos rendimiento nulo i*=0

En base a lo anterior, cuando existe inflación, debemos calcular el monto para la tasa real y parala tasa de inflación, o sea que:

nfCofCn )1.()'( y nifCnCn *)1)'.(('

Lo que trabajando en forma conjunta, obtendremos la fórmula para calcular el monto con una tasade inflación, o sea:

nn fiCoCn )1.(*)1.('

Ahora, teniendo en cuenta la fórmula de monto compuesto se tiene:

nnn fiCoiCo )1.(*)1.()1.(

Aplicando la propiedad cancelativa y extrayendo la raíz n-ésima, se tiene:

)1*).(1(1 fii

Y despejando 1+i* se tiene:

fii

11*1

40

Y despejando i*, queda:

111*

fii

GENERALIZACIÓN DE LA FÓRMULA DE AJUSTE

a) Si f es constante, tenemos la fórmula de monto:nn fiCoCn )1.()1.('

b) Si f es variable, se tiene:

)1).....(1).(1.()1.(' )()2()1( nn fffiCoCn

Teniendo en cuenta la definición de productoria, se tiene la fórmula final:

)1(.)1.(' )(1 t

n

t

n fiCoCn


1. Calcular la tasa nominal anual que capitalizada trimestralmente que produce un monto igual a laproducida por una tasa efectiva del 9%.

2. Calcular el mayor monto que puede obtenerse con un capital de $2.000 que se coloca a 4 años conel 25% anual y capitalización continua.

3. ¿Cuál será el capital que se colocó con el 30% anual de interés durante 3 años y que produjo unmonto de $7.800 si la capitalización es continua?

4. Calcular el número de períodos que debe permanecer un capital de $3.000 si produce un monto de$8.532,44 con el 25% anual de interés y capitalización continua.

5. Calcular el tanto por ciento que se le aplicó a un capital de $2.500 que a lo largo de 3 años produjoun monto de $10.100 con capitalización continua.

6. Una persona coloca un capital de $3.100 con el 30% anual de interés con capitalización continuadurante 4 años ¿Cuál será el monto obtenido?

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