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Fórmulas y tablas de Matemáticas

Fórmulas de Geometría

Área de un triángulo

Circunferencia

Áreas y perímetros

Áreas y volúmenes

Diagonales

Teoremas de Thales, Pitágoras, del cateto y de la altura

Fórmulas de Geometría analítica en el plano

Vectores

Aplicaciones de vectores

Producto escalar de vectores

Traslaciones

Coordenadas polares

Ecuaciones de la recta

Ecuaciones de Cónicas

Ecuación de la circunferencia

Ecuación de la elipse

Ecuación de la hipérbola

Ecuación de la parábola

Fórmulas de Geometría analítica en el espacio

Vectores en el espacio

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Rectas en el espacio

El plano

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Sistema métrico decimal

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Dominio, simetría, puntos de corte, asíntotas y ramas parabólicas

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Intervalos, semirrectas y entornos de números reales

Perímetro del triangulo

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno

Área del triángulo

Conociendo la base y la altura

Conociendo dos lados y el ángulo que forman.

Circunferencia circunscrita a un triángulo

R = radio de la circunferencia circunscrita

Circunferencia inscrita en un triángulo

r = radio de la circunferencia inscrita

p = semiperímetro

Fórmula de Herón.

p = semiperímetro

Ángulos de un triángulo

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

Teoremas

Del cateto

De la altura

De Pitágoras

Semejanza de triángulos

Criterios de semejanza de triángulos

1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Criterios de semejanza de triángulos rectángulos

1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3Los triángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

1.Longitudes

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

2.Áreas

Área del círculo

Área del sector circular

Área de la corona circular

Área del trapecio circular

Área del segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Área de la lúnula

3.Ángulos en la circunferencia

Central

Inscrito

Semiinscrito

Interior

Exterior

Problemas y ejercicios de la circunferencia y el círculo

1Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.

2 Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

3La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

4Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?

1 milla = 1 852 m

5La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

6El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

7Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

8Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

9En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

10La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

11Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

12Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6cm y el radio del círculo mide 3 cm.

13En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.

14Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

15Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

16A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

17En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

18Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

19Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

20Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

21Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

Triángulo

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

P = 2 · (a + b)

A = b · h

Trapecio

Polígono

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

Polígono regular

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

Círculo

Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

Segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Lúnula de Hipócrates

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Dodecaedro

Cubo

Ortoedro

Prisma

Pirámide

Tronco de pirámide

Cilindro

Cono

Tronco de cono

Esfera

Área del huso esférico y volumen de la cuña esférica

Área y volumen del casquete esférico

Área y volumen de la zona esférica

1Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

2Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.

3Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

4Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

5Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

6Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.

7Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

8Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.

9Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

Ejercicios y problemas resueltos de áreas y volúmenes II

10Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

11

Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

12Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

13Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

14Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular el área total y volumen:

En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?

15Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?

16Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?

17Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

18Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

Ejercicios y problemas resueltos de áreas y volúmenes III

19

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

20Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

21Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

22Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

23Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

24La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

25Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

26Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

27Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm.

Diagonal

Diagonales de un polígono

Las diagonales son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos

Número de diagonales de un polígono

Si n es el número de lados de un polígono:

Número de diagonales = n · (n − 3) : 2

4 · (4 − 3) : 2 = 2

5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9

Diagonal del cuadrado

Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.

Diagonal del rectángulo

Calcular la diagonal de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

Diagonales de un poliedro

Las diagonales de un poliedro son segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Diagonal del cubo

Diagonal del ortoedro

EjerciciosCalcular la diagonal de un cubo de 5 cm de arista.

Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.

Teoremas de Geometriarema de Thales

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

 

 

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos sus lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

 

Teoremas de triángulos rectángulos

Teorema del cateto

Teorema la altura

Teorema de Pitágoras

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Altura del triángulo equilátero

Lado de un triángulo equilátero inscrito

Diagonal del cuadrado

Lado de un cuadrado inscrito

Diagonal del rectángulo

Lado oblicuo del trapecio rectángulo

Altura del trapecio isósceles

Apotema de un polígono regular

Apotema del hexágono inscrito

Problemas del teorema de Pitágoras

1La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

2En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

3La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:

1 Los catetos.

2 La altura relativa a la hipotenusa.

3 El área del triángulo.

4Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los

catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm.

5Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

6Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

7Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

8 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

9 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

10 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

11 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

12 El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

13En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

14 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

15 En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

16 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

17Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

18Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

19 Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

20Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

Geometría en el espacioVectores en el espacio

Componentes de un vector en el espacio

Módulo de un vector

Distancia entre dos puntos

Vector unitario

Suma de vectores

Producto de un número real por un vector

Vectores linealmente dependientes

Vectores linealmente independientes

Producto escalar

Expresión analítica del módulo de un vector

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Vectores ortogonales

Proyección

Cosenos directores

Producto vectorial

Área del paralelogramo

Área de un triángulo

Producto mixto

Volumen del paralelepípedo

Volumen de un tetraedro

Puntos

Coordenadas del punto medio de un segmento

Coordenadas del baricentro de un triángulo

Puntos alineados

Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.

Puntos coplanarios

Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

Rectas en el espacio

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones continuas de la recta

Ecuaciones implícitas de la recta

El plano

Ecuación vectorial del plano

Ecuaciones paramétricas del plano

Ecuación general o implícita del plano

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Ángulos

Ángulo entre dos rectas

Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.

Ángulo entre dos planos

Dos planos son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.

Ángulo entre recta y plano

Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.

Distancias

Distancia entre un punto y una recta

Distancia entre rectas paralelas

Distancia entre rectas que se cruzan

Sean y las determinaciones lineales de las rectas r y s.

Distancia de un punto a un plano

Distancia entre planos paralelos

Problemas de vectores

Problemas de distancias, áreas y volúmenes

Ejercicios de la recta

Ejercicios del plano

Geometría analítica plana

VectoresCoordenadas de un vector

Módulo

Vector unitario

Suma

Resta

Producto de un vector por un escalar

Producto escalar de vectores

Expresión analítica del producto escalar

Expresión analítica del módulo de un vector

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Expresión analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Proyección

Combinación lineal de vectores

Sistema de referencia

Distancia entre dos puntos

Coordenadas del punto medio

Simétrico de un punto

División de un segmento

Puntos alineados

Coordenadas del baricentro

Ecuaciones de la recta

Vectorial

Paramétricas

Continua

Pendiente

Punto-pendiente

General

Explícita

Canónica o segmentaria

Que pasa por dos puntos

Paralelas al eje OX

Paralelas al eje OY

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Posiciones relativas

Secantes

Paralelas

Coincidentes

Ángulo que forman dos rectas

Distancia de un punto a una recta

Ecuaciones de las bisectrices

Ecuación de la mediatriz

Cónicas

Ecuación de la circunferencia

Ecuación reducida

Ecuación de la elipse

Excentricidad

Ecuación reducida

De eje vertical

De eje horizontal y centro distinto al origen

De eje vertical y centro distinto al origen

Ecuación de la hipérbola

Excentricidad

Asíntotas

Ecuación reducida

F'(-c,0) y F(c,0)

De eje vertical

F'(0, -c) y F(0, c)

De eje horizontal y centro distinto al origen

Donde A y B tienen signos opuestos.

De eje vertical y centro distinto al origen

Hipérbola equilátera

Asíntotas

,

Excentricidad

Referida a sus asíntotas

Ecuación de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

De ejes el de abscisas y de vértice (0, 0)

De ejes el de ordenadas y de vértice (0, 0)

Paralela a OX y vértice distinto al origen

Paralela a OY, y vértice distinto al origen

Ejercicios resueltos de vectores

Ejercicios resueltos del producto escalar de vectores

Ejercicios y problemas de la ecuación de la recta I

Ejercicios y problemas de la ecuación de la recta II

Ejercicios y problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

Problemas y ejercicios resueltos de la ecuación de la elipse

Problemas y ejercicios resueltos de la ecuación de la hipérbola

Problemas y ejercicios resueltos de la ecuación de la parábola

FÓRMULAS DE ARITMÉTICA

Número mixto

Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

Reducción de fracciones a común denominador

1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

.

Potencia de fracciones

Propiedades

Fracción generatriz

Pasar de decimal exacto a fracción

Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Pasar de periódico puro a fracción generatriz

Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período.

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz

Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.

Propiedades de las potencias Potencias de exponente 0

a0 = 1

50 = 1

Potencias de exponente 1

a1 = a

51 = 5

Potencias de exponente entero negativo

Potencias de exponente racional

Potencias de exponente racional y negativo

Multiplicación de potencias con la misma base

am · a n = am+n

25 · 22 = 25+2 = 27

División de potencias con la misma base

am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

Potencia de un potencia

(am)n=am · n

(25)3 = 215 

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

an · b n = (a · b) n

23 · 43 = 83

División de potencias con el mismo exponente

an : b n = (a : b) n

63 : 33 = 23

Ejercicios

33 · 34 · 3 = 38

57 : 53 = 54

(53)4 = 512

(5 · 2 · 3) 4 = 304

(34)4 = 316

[(53)4]2 = (512)2 = 524

(82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218

(93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312

25 · 24 · 2 = 210

27 : 26 = 2

(22)4 = 28

(4 · 2 · 3)4 = 244

(25)4 = 220

[(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1

(272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330

(43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212

(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512

(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32

2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = 1/2

22 : 23 = 2−1 = 1/2

2−2 : 23 = 2−5 = (1/2)5 = 1/32

22 : 2−3 = 25 = 32

2−2 : 2−3 = 2

Potencias negativasPotencias de base negativa

Para determinar el signo de una potencia de base negativa tendremos en cuenta que:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

26 = 64

(−2)6 = 64

2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

23 = 8

(−2)3 = −8

Potencias de exponente negativo

La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

Ejercicios de potencias negativas

(−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561

(−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3

3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9

5−2 : 53 = 5−5 = (1/5)5 = 1/3125

(−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 = (−3)1 · (−3)6· (−3)−4 = (−3)3

Fórmulas y propiedades de los radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Expresión de un radical en forma de potencia

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radicalSe descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Propiedades de los radicalesProducto de radicales

Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Racionalizar radicales

Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2Del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Proporcionalidad

azón

Proporción

Constante de proporcionalidad

Propiedad de las proporciones

Proporción continua

Medio proporcional

Tercero proporcional

Cuarto proporcional

Porcentajes

Repartos directamente proporcionales

Repartos inversamente proporcionales

Regla de tres simple directa

Regla de tres simple inversa

Regla de tres compuesta directa

Regla de tres compuesta inversa

Regla de tres compuesta mixta

Ejercicios

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.

2 kg 0.80 €

5   kg   x €

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros      x h

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

220 · 48 m² 6 días 11 obreros

300 · 56 m² 5 días x obreros

A más superficie más obreros. Directa.

A más días menos obreros. Inversa.

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

6 grifos 10 horas 1 depósito  400 m³

4 grifos x  horas   2 depósitos 500 m³

A más grifos menos horas. Inversa.

A más depósitos más horas. Directa.

A más m³ más horas. Directa.

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

100 €    116 €

1200 € x €

Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

100 € 92 €

450 €   x €

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

Sistema métrico decimal

Medidas de longitud

kilómetro km 1000 m

hectómetro hm 100 m

Decámetro dam 10 m

Metro m 1 m

Decímetro dm 0.1 m

centímetro cm 0.01 m

milímetro mm 0.001 m

Medidas de masa

kilogramo kg 1000 g

hectogramo hg 100 g

Decagramo dag 10 g

Gramo g 1 g

Decigramo dg 0.1 g

centigramo cg 0.01 g

miligramo mg 0.001 g

Otras unidades de masa

Tonelada métrica

1 t = 1000 kg

Quintal métrico

1 q = 100 kg

Medidas de capacidad

kilolitro kl 1000 l

hectolitro hl 100 l

Decalitro dal 10 l

Litro l 1 l

Decilitro dl 0.1 l

centilitro cl 0.01 l

mililitro ml 0.001 l

Medidas de superficie

kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2

hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2

decámetro cuadrado dam2 100 m2

metro cuadrado m2 1 m2

decímetro cuadrado dm2 0.01 m2

centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2

milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2

Unidades de superficie agrarias

Hectárea

1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m²

Área

1 a = 1 dam2 = 100 m²

Centiárea

1 ca = 1 m²

Medidas de volumen

kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3

hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3

decámetro cúbico dam3 1 000 m3

Metro m3 1 m3

decímetro cúbico dm3 0.001 m3

centímetro cúbico cm3 0.000001 m3

milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3

Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa

Capacidad Volumen Masa (de agua)

1 kl 1 m³ 1 t

1 l 1 dm3 1 kg

1 ml 1 cm³ 1 g

Ejercicios resueltos del sistema métrico decimal1 Expresa en metros:

13 km 5 hm 7 dam 3 000 m + 500 m + 70 m = 3 570 m

27 m 4 cm 3 mm 7 m + 0.04 m + 0.003 m = 7.043 m

325.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m

453 600 mm + 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m

51.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m

2 Expresa en litros:

13 kl 5 hl 7 dal 3 000 l + 500 l + 70 l = 3 570 l

27 l 4 cl 3 ml 7 l + 0.04 l + 0.003 l = 7.043 l

325.56 dal + 526.9 dl 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l

453 600 ml + 9 830 cl 53.6 l + 98.3 l = 151.9 l

51.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl 183 l + 97 l + 37 l = 317 l

3Expresa en gramos:

15 kg 3 hg 4 g 5 000 g + 300 g + 4 g = 5 304 g

24 hg 8 dag 2 g 5 dg 400 g + 80 g + 2 g + 0.5 g = 482.5 g

32 dag 3 g 8 dg 7 cg 20 g + 3 g + 0.8 g + 0.07 g = 23.87 g

435 dg 480 cg 2 600 mg 3.5 g + 4.8 g + 2.6 g = 10.9 g

4Expresa en centilitros:

13 dal 7l 5 dl 4 cl 5 ml

3 000 cl + 700 cl + 50 cl + 4 cl + 0.5 cl = 3 754.5 cl

26 hl 8 l 2 ml

60 000 cl + 800 cl + 0.2 cl= 60 800.2 cl

30.072 kl + 5.06 dal + 400 ml

7 200 cl + 5 060 cl + 40 cl = 12 300 cl

4 0.000534 kl + 0.47 l

53.4 cl + 47 cl = 100.4 cl

5Expresa en centígramos:

13 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg

3 000 cg + 700 cg + 50 cg + 4 cg + 0.5 cg = 3 754.5 cg

26 hg 8 g 2 mg

60 000 cg + 800 cg + 0.2 cg = 60 800.2 cg

30.072 kg + 5.06 dag + 400 mg

7 200 cg + 5 060 cg + 40 cg = 12 300 cg

6Expresa en metros:

15 km 3 hm 4 m 5 000 m + 300 m + 4 m = 5 304 m

24 hm 8 dam 2 m 5 dm 400 m + 80 m+ 2 m + 0.5 m = 482.5 m

32 dam 3 m 8 dm 7 cm 20 m+ 3 m + 0.8 m + 0.07 m = 23.87 m

435 dm 480 cm 2 600 mm 3.5 m + 4.8 m + 2.6 m = 10.9 m

7Pasa a decímetros cuadrados:

10.027 dam2

0.027 · 10 000 = 270 dm2

20.35 m2

0.35 · 100 = 35 dm2

3438 cm2

438 : 100 = 4.38 dm2

490 000 mm2

90 000 : 10 000= 9 dm2

8Expresa en metros cuadrados:

15 hm2 24 dam2 60 dm2 72 cm2 =

= 50 000 m2 + 2 400 m2 + 0.60 m2 + 0.0072 m2 =

= 52400.6072 m2

20.00351 km2 + 4 700 cm2 =

= 3510 m2 + 0.47 m2 = 3510.47 m2

30.058 hm2 − 3.321 m2 =

= 580 m2 − 3.321 m2 = 576.679 m2

9Expresa en hectáreas:

1431 943 a

431 943 : 100 = 4 319.43 ha

2586 500 m2

586 500 : 10 000 = 58.65 hm2 = 58.65 ha

30.325 km2

0.325 · 100 = 32.5 hm2 = 32.5 ha

47 km2 31 hm2 50 dam2

7 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm2 = 731.5 ha

551 m2 33 dm2 10 cm2 =

51 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000=

0.00513310 hm2 = 0.00513310 ha

10Calcula y expresa el resultado en forma compleja:

10.03598 km2 + 96.45 ha + 5 000 a =

= 3.5698 hm2 + 96.45 hm2 + 50 hm2 =

= 150.0198 hm2 = 1 km2 50 hm2 1 dam2 98 m2

2179.72 m2 − 0.831 dam2 =

=176.72 m2 − 83.1 m2 = 93.62 m2 = 93 m2 62 dm2

352 dam2 31 m2 500 cm2 =

= 5 200m2 + 31 m2 + 0.05 m2 = 5 231.05 =

= 52 dam2 31 m2 5 dm2

11Pasa a metros cúbicos:

10.000005 hm3

0.000005 · 1 000 000 = 5 m3

2 52 dam3

52 · 1000 = 52 000 m3

3 749 dm3

749 : 1000 = 0.749 m3

4 450 000 cm3

450 000 : 1 000 000 = 0.45 m3

12Pasa a centímetros cúbicos:

1 5.22 dm3 =

5.22 · 1000 = 5 22 0 cm3

2 6 500 mm3

6 500 : 1000 = 6.5 cm3

3 3.7 dl =

= 3.7 · l00 = 370 ml = 370 cm3

4 25 cl =

= 0.25 l = 0.25 dm3 = 250 cm3

13Calcula y expresa el resultado en metros cúbicos:

17 200 dm3 + (3.5 m3 4 600 dm3) =

= 7.2 m3 + 3.5 m3 + 4.6 m3 = 15.3 m3

20.015 hm3 − (570 m3 5.3 dm3 ) =

= 15 000 m3 − 570.0053 m3 = 14 429.9947 m3

Reglas de divisibilidad

Un número es divisible por :

2, si termina en cero o número par.

24, 238, 1024.

3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

36, 564, 2040.

5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.

7, cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.

343

34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7

105

10 - 5 · 2 = 0

2261

226 - 1 · 2 = 224

Volvemos a repetir el proceso con 224.

22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.

11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

4224

(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisblilidad

4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

36, 404, 1 028.

6, si es divisible por  2  y  por  3.

72, 324, 2 400

8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

4000, 1048, 1 512.

9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

81, 900, 3 663.

10, si la cifra de las unidades es  0.

130, 1440, 10 230

25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de  25.

500, 1025, 1875.

125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de  125.

1000, 1 125, 4 250.

Factorización de un número

Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

432 = 24 · 33

FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA

Moda

La moda, Mo, es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li-1 es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

1 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

Mediana para datos agrupados

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra .

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

CuartilesLos cuartiles son los tres valores de la variable dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Cálculo de los cuartiles

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Cálculo de deciles

Ordenamos los datos de menor a mayor.

Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias acumuladas, donde se

encuentra , .

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Cálculo de percentiles

Ordenamos los datos de menor a mayor.

Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias acumuladas, donde se

encuentra ,.

Desviación mediaLa desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Desviación media para datos agrupados

VarianzaLa varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados

Coeficiente de variaciónEl coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

Coeficiente de variación en tanto por ciento

Puntuaciones diferenciales

Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética.

xi = Xi − X

Puntuaciones típicas

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

Distribuciones bidimensionales

Covarianza

Coeficiente de correlación lineal

Recta de regresión de Y sobre X

Recta de regresión de X sobre Y

Fórmulas de inferencia estadísticatervalos característicos

El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 - α.

El nivel de significación se designa mediante α.

El valor crítico (k) como z α/2 .

En una distribución N(μ, σ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p = 1 - α es:

(μ - z α/2 · σ , μ + z α/2 · σ )

1 - α α/2 z α/2 Intervalos característicos

0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)

0.95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )

0.99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )

Teorema central del límite

μ media de la población

σ desviación típica de la población

n Tamaño de la muestra (n>30, ó cualquier tamaño si la población es "normal")

Las medias de las muestras siguen aproximadamente la distribución:

Estimación de la media de una población

Intervalo de confianza para la media

Error máximo de estimación

Tamaño de la muestra

Estimación de una proporción

Intervalo de confianza para una proporción

El error máximo de estimación es:

Contrastes de hipótesis

1. Enunciar la hipótesis nula H0 y la alternativa H1.

Bilateral H0=k H1 ≠ k

Unilateral

H0≥ k H1 < k

H0 ≤k H1> k

2. A partir de un nivel de confianza 1 - α o el de significación α. Determinar:

El valor zα/2 (bilaterales), o bien zα (unilaterales)

La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p').

3. Calcular: x o p', a partir de la muestra.

4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α. Si no, se rechaza.

Contraste Bilateral

H0: μ = k (o bien H0: p = k)

H1: μ≠ k (o bien H1: p≠ k).

o bien:

Contraste unilateral

Caso 1

H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k).

H1: μ < k (o bien H1: p < k).

Valores críticos

1 - α α z α

0.90 0.10 1.28

0.95 0.05 1.645

0.99 0.01 2.33

o bien:

Caso 2

H0: μ ≤ k (o bien H0: p ≤ k).

H1: μ > k (o bien H1: p > k).

o bien:

Errores

H0 Verdadera Falsa

AceptarDecisón correcta

Probabilidad = 1 - α

Decisión incorrecta:

ERROR DE TIPO II

RechazarERROR DE TIPO I

Probabilidad = α Decisión correcta

Formulas de TrigonometríaRazones trigonométricas

Seno

Coseno

Tangente

Cosecante

Secante

Cotangente

Relaciones entre las razones trigonométricas de dos ángulos

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos que difieren en 180°

Ángulos opuestos

Ángulos negativos

Mayores de 360º

Ángulos que difieren en 90º

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que difieren en 270º

Identidades trigonométricas

sen² α + cos² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Suma de ángulos

Diferencia de ángulos

Ángulo doble

Ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de productos en sumas

Teorema de los senos

Teorema del coseno

Teorema de las tangentes

SucesionesUna sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término general

an= 2n-1

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Sucesiones estrictamente crecientes

an+1 > an

Sucesiones crecientes

an+1 ≥ an

Sucesiones estrictamente decrecientes

an+1 < an

Sucesiones decrecientes

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes

an= k

Sucesiones acotadas inferiormente

an ≥ k

Sucesiones acotadas superiormente

an ≤ k'

Sucesiones acotadas

k ≤ an ≤ K'

Operaciones con sucesiones

Suma con sucesiones:

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Diferencia con sucesiones:

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto con sucesiones:

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Sucesión inversible

Cociente

EjerciciosHallar el término general de las siguientes sucesiones:

1  8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8= -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2  3, 6, 12, 24, 48, ...

6 / 3 = 2

12 / 6 = 2

24 / 12 = 2

48 / 24 = 2

r= 2.

an = 3· 2 n-1

3  4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

22, 32, 42, 52, 62, 72, ...

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.

bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

Por lo que el término general es:

an= (n + 1)2

4  5, 10, 17, 26, 37, 50, ...

22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...

Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.

an= (n + 1) 2 + 1

5  6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...

an= (n + 1)2 - 1

6  3, 8, 15, 24, 35, 48, ...

22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ...

an= (n + 1)2 - 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ...

22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...

an= (n + 1) 2 - 2

7  -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

an= (-1)n (n + 1)2

8  4, -9, 16, -25, 36, -49, ...

an= (-1)n-1 (n + 1)2

9  2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

Tenemos dos sucesiones:

2, 5, 8, 11, 14, ...

4, 9, 16, 25, 36, ...

La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.

an= (3n - 1)/(n + 1) 2

10 

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Estudia la monotonía y las cotas:

1

Monotonía

3, 4/3, 1, 6/7,...

La sucesión va decreciendo.

Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.

Es monotona estrictamente decreciente.

Límite

a1= 3

a3= 1

a1000= 0.5012506253127

a1000 000 = 0.5000012500006

El límite es 0.5

Sucesión convergente

Cotas

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.

0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada.

1/2 < an ≤ 3

2

Monotonía

Cada término es mayor que la anterior.

Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.

Es monotona estrictamente creciente.

Límite

a1= 0.5

a3= 0.6666

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1

Sucesión convergente

Cotas

Por ser creciente, 1/2 es una cota inferior, el mínimo.

1 es una cota superior, el supremo. o extremo superior.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 ≤ an < 1

Probabilidad

Ley de Laplace

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A B =

p(A B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

A B ≠

p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)

Probabilidad condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

p(A B) = p(A) · p(B/A)

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Teorema de la probabilidad total

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

Teorema de Bayes

0 ≤ p(A) ≤ 1

p(E) = 1

Ejercicios

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1La probabilidad de que salga el 7.

2La probabilidad de que el número obtenido sea par.

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1De que ambos vivan 20 años.

2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3De que ambos mueran antes de los 20 años.

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1 Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada.

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

1 Con una persona sin gafas.

2Con una mujer con gafas.

En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:

1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

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Fórmulas de Álgebra

Monomios

axn + bxn = (a + b)bxn

axn − bxn = (a − b)bxn

axn · bxm = (a · b)bxn +m

axn : bxm = (a : b)bxn − m

(axn)m = amxn · m

Productos notables

Binomios al cuadrado

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(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

Binomios al cubo

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

Binomio de Newton

Diferencia de cuadrados

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

Diferencia cuarta

a4 − b4 = (a + b) · (a − b) · (a2 + b2)

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

Cocientes notables

Factorización

Factor común

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Doble extracción de factor común

x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Trinomio de segundo grado

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Ecuaciones

Ecuación de segundo grado

ax2 + bx +c = 0

Ecuación bicuadrada

ax4 + bx2 + c = 0

Proporcionalidad

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

Proporción

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Constante de proporcionalidad

Propiedad de las proporciones

Proporción continua

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales.

Medio proporcional

En una proporción continua, se denomina medio proporcional a cada uno de los términos iguales.

Tercero proporcional

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Cuarto proporcional

Un cuarto proporcional es uno cualquiera de los términos de una proporción.

Porcentajes

Repartos directamente proporcionales

Repartos inversamente proporcionales

Regla de tres directa

Regla de tres simple inversa

Regla de tres compuesta

Regla de tres compuesta directa

Regla de tres compuesta inversa

Regla de tres compuesta mixta

Ejercicios

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.

2 kg 0.80 €

5   kg   x €

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros      x h

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

220 · 48 m² 6 días 11 obreros

300 · 56 m² 5 días x obreros

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

6 grifos 10 horas 1 depósito  400 m³

4 grifos x  horas   2 depósitos 500 m³

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

100 €    116 €

1200 € x €

Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

100 € 92 €

450 €   x €

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

Intervalos y semirrectas de números reales

Intervalo abierto

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Semirrectas

x > a

(a, +∞) = {x / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto de un número real

|a| = |−a|

|a · b| = |a| ·|b|

|a + b| ≤ |a| + |b|

Distancia

d(a, b) = |b − a|

Entornos

Er(a) = (a-r, a+r)

Er(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<r, o bien, a a-r < x < a+r.

Entornos laterales

Por la izquierda

Er(a-) = (a-r, a)

Por la derecha

Er(a+) = (a, a+r)

Entorno reducido

E r*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}

FuncionesDominio de una función

D = {x / f (x)}

Dominio de la función polinómica

D =

Dominio de la función racional

El dominio es menos los valores que anulan al denominador.

Dominio de la función radical de índice impar

D =

Dominio de la función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

D =

Dominio de la función seno

D = .

Dominio de la función coseno

D = .

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

f o i = i o f = f

Función inversa o recíproca Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

f o f -1 = f -1 o f = x

Cálculo de la función inversa

1Se escribe la ecuación de la función en x e y.

3Se intercambian las variables.

2Se despeja la variable x en función de la variable y.

Función creciente

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.

El número k se llama cota superior.

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′ .

El número k′ se llama cota inferior.

Función acotada

Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.

k′ ≤ f(x) ≤ k

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Simetría respecto del eje de ordenadas

f(-x) = f(x)

Simetría respecto al origen

f(-x) = -f(x)

Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + z T)

Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su período es:

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos f(x) = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Punto de corte con el ejes OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Asíntotas

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Ramas parabólicas

Hay ramas parabólicas si:

Rama parabólica en la dirección del eje OY

Rama parabólica en la dirección del eje OX

Fórmulas de Geometría

Fórmulas de perímetros y áreas

Triángulo

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

P = 2 · (a + b)

A = b · h

Trapecio

Polígono

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

Polígono regular

n es el número de lados.

Longitud de la circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

Círculo

Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

Segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Problemas y ejercicios resueltos de áreas

Fórmulas de áreas y volúmenes

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Dodecaedro

Cubo

Ortoedro

Prisma

Pirámide

Tronco de pirámide

Cilindro

Cono

Tronco de cono

Esfera

Huso y cuña

Casquete esférico

Zona esférica