Guía de Algebra 8° Primer Periodo

Prof. Oscar L. Escobar V.

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Pensamiento numérico sistemas de numeración.

Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos.

Utilizar la notación científica para representar cantidades y medidas.

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

Analiza los procesos infinitos que subyacen en notaciones decimales.

LOS NÚMEROS EN DIFERENTES CULTURAS

Sistema de numeración griego.

Uno los primeros sistemas de numeración que apareció fue del griego, que se desarrolló

hacia el año 600 antes de Cristo (A.C). Era un sistema de base decimal que usaba los

símbolos que se muestran en la imagen para representar a cantidades. Se necesitaban tantos

símbolos como fuera necesario, según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5,10 y 100 las

letras correspondientes a la

inicial de la palabra cinco

(penta), 10 (deka) y mil (khiloi).

Por este motivo, se llama este

sistema acrofónico.

Sistema de Numeración

Chino.

La forma clásica de escritura de

los números en china se empezó a usar desde

el 1500 A.C; aproximadamente. Era un

sistema decimal estricto que usa las unidades

y las distintas potencias de 10. Utiliza los

ideogramas de la figura.

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Sistema de numeración Babilónico.

Entre las muchas civilizaciones

que florecieron en antigua

Mesopotamia. Se desarrollaron

distintos sistemas de

numeración. En 1555 A.C se

inventó un sistema de base

diez, aditivo hasta él 60 y

posicional para números

superiores.

Para la unidad, se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se

ponían tantos como fuera preciso hasta llegar al 10, que tenía su propio signo.

Sistema de numeración

Maya. Los mayas idearon sistema de

base 20 con el cinco como base

auxiliar. La unidad se

representaba con un punto.

Dos, tres y cuatro puntos

servían para el 2, 3 y 4,

respectivamente. Es cinco era una raya horizontal, a la que se añadía: necesarios para

representar 6,7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas. De la misma forma se continuaba

hasta el 20, con 4 rayas.

Los Egipcios crearon un sistema de numeración de base 10 que permite representar

números, desde el uno hasta millones. Su origen data de principios del tercer milenio a. C. y

permitía además describir pequeñas cantidades en forma de fracciones.

A continuación podemos ver los signos jeroglíficos que se utilizaban representar los

números egipcios.

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1 10 100 1.000 10.000 100.000 1 millón, o

infinito

o

trazo vertical

(bastoncito)

asa o

herradura

invertida

cuerda

enrollada

(espiral)

Flor de

loto con

tallo.

Dedo Renacuajo

o rana.

Hombre

arrodillado con

las manos

levantadas

Los otros números se escribían con la repetición del signo, el número de veces necesario.

Se podían escribir de izquierda a derecha o de izquierda a derecha, pero siempre de arriba a

abajo. Un ejemplo del número 4622 sería:

Según el Papiro Boulaq 18, existe también un signo para expresar el cero: el símbolo nfr

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NÚMEROS IRRACIONALES

Se llama números irracionales (I) a aquellos de infinitas cifras

decimales no periódicos; es decir no existe un bloque de cifras que se

repita indefinidamente.

El concepto de número se ha ampliado hasta entender como un

número toma magnitud al calcular el cociente de dos números

enteros, se encontró que existen magnitudes que al calcular su

cociente no se obtiene un número decimal finito ni periódico. Estas

magnitudes se saldrían del concepto de número.

Los antiguos griegos encontraron que la diagonal de un cuadrado y la longitud del lado, son

magnitudes que no se pueden expresar como la razón de dos números enteros. Este

descubrimiento sorprendió tanto la mente de los matemáticos de la época que llamaron a estas

magnitudes inconmensurables y al número que las determinaba “numero irracional” es decir por

fuera de la razón.

Números Irracionales Famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

1 metro

1 metro

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El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro (números áureo) es un número irracional que fue utilizada por los artistas del renacimiento para describir las proporciones en el cuerpo humano. Sus primeros dígitos son:

1.61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 1.7320508075688772935274463415059 (etc)

√99 9.9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números irracionales

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional. Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían e Hipaso continuaba con su trabajo, entonces alguna vez que navegaron en el mar ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

EJERCICIOS

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Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de

loscatetos

Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se

establece que:

(1)

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Empleo del teorema de Pitágoras

Conociendo los lados de un triángulo, averiguar si es rectángulo

Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser

igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

Determinar si el triángulo es rectángulo.

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente.

¿Cuánto mide la hipotenusa?

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

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La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m.

¿Cuánto mide otro cateto?

Ejercicios

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la

escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

Hallar el área del triángulo equilátero:

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Hallar la diagonal del cuadrado:

Hallar la diagonal del rectángulo:

Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

P = 8 + 6 + 12 + 6.32 = 32.32 cm

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El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m

respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

LOS NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMERICA

Guia para representar los irracionales en la recta numérica:

1. Se marcan en la recta numérica los puntos que corresponden a los números enteros.

2. Con estos segmentos se toman como guía se determinan los números irracionales.

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3. Poniendo el compás en el vértice de la hipotenusa con la recta vertical y con origen cero se

obtiene el valor de irracional.

EJERCICIO1

Resuelva los siguientes ejercicios uno en el cuaderno y el otro en el block (uno y uno)

1 Soluciones 8° Editorial Futuro pag. 14 - 15