NÚMEROS IRRACIONALES · Los elementos del conjunto ℤ= {…,-2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan...
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NÚMEROS IRRACIONALES
Objetivo: Resolver operaciones que involucran números reales aplicando propiedades de las raíces en contextos cotidianos y matemáticos.
Conjuntos Numéricos
Q*z
ℝ
Ԛ
Los elementos del conjunto ℤ = {…,-2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan “Números Enteros
Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números enteros y b distinto de cero.
El conjunto de los números racionales se representa por la letra Ԛ. Y entre ellos tenemos los decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semi-periódicos.
.
¿ Que números pertenecen al conjunto Q*(irracionales)?
¿Y que pasa con los decimales infinitos no periódicos?
Números irracionales• Estos decimales infinitos no periódicos se les llama números irracionales.
• Algunos de estos números son el numero pi: 3,14159 26535...||
• El número de oro: 1,61803398…
• Número de Euler : 2,71828…..
¿Qué historia habrá tras estos números ?
Raíces • La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b números
racionales no negativos, son:
• Si 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏2 = 𝑎
• Partes de una raíz :
• Ejemplo: 9 = 3 ↔ 32 = 9
• Actividad : Completar
• a) = 11 ↔2=
• b) 169 = ↔2= 169
• C) 196 =
ACTIDAD COMPLEMENTARIA : Calcular las siguientes raíces cuadradas:
a) 36 =
b) 49 =
c) 4 =
d) 28 =
e) 2 =
¿Qué pasa con 28 y 2?
Son raíces inexactas y a continuación trabajaremos con ellas
La raíz n-ésima
• La raíz cuadrada de a es 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2 = |𝑎|
• La raíz cúbica de a es 3 𝑎 ∙ 3 𝑎 ∙ 3 𝑎 = 3 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 =3𝑎3 = 𝑎
• raíz n-ésima de a
•𝑛 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 ∙ ⋯ ∙ 𝑛−1 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 =
𝑛𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ ⋯ ∙ 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑎𝑛 =
𝑛𝑎𝑛
• Ejemplo : calcular las siguiente raíces
• A) 327 =
• B) 3−27 =
• C) 532=
• D) 5−32 =
Descomposición de raíces• Para operar con este tipo de números existen estrategias como la descomposición de raíces para
escribirlas con una cantidad sub radical distinta, por ejemplo:
• Ejemplo 20 = 4 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 2 ∙ 5 = 2 5
• Una técnica mediante la cual podemos descomponer cantidades sub radicales( radicando) es la descomposición de números primos .
• Ejemplo: 28 =
• Paso 1: escribimos nuestro radicando y buscamos
divisores de el que sean números primos ( ej: 2,3,5,7,11,….).
En este caso el primer divisor seria 2, realizando la división
28:2= 14 , el resultado se va anotando bajo nuestro radicando
Como se muestra a la derecha , hasta que esa cantidad sea 1.
Entonces 28 = 2 ∙ 2 ∙ 7 = 4 ∙ 7
28 2
14 2
7
1
7
Así 28=2 ∙ 2 ∙ 7
O 28 = 4 ∙ 7
Descomposición de raíces• Actividad : Descomponer las siguientes raíces
a) 60 =
b) 18 =
c) 72 =
d) 75 =
e)3108 =
f)432 =
Desafío personal
Suma de raíces • Suma de raíces
• Podemos sumar o restar dos raíces si tienen la misma cantidad subradical ( radicando) e igual índice, de la siguiente forma:
• 𝑝𝑛 𝑎 ± 𝑞𝑛 𝑎 = 𝑝 ± 𝑞 𝑛 𝑎 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ+ ∪ 0 , 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ
• Es decir, se suman sus factores enteros aplicando la propiedad distributiva de los números reales.
• Ejemplo : 432 + 5
32 = 4 + 5
32 = 9
32
• Ejemplo : 752 − 15
52 = 7 − 15
52 = -8
52
• Ejercicios
• A) 6 5 − 4 5 − 8 5 =
• B) : 752 − 15
52 + 6
32 + 5
32 =
Propiedades de raíces • Propiedad 1; Multiplicación de raíces de igual índice 𝑛 𝑎 ∙
𝑛𝑏 =
𝑛𝑎 ∙ 𝑏
• Propiedad 2: División de raíces de igual índice𝑛𝑏
𝑛 𝑐=
𝑛 𝑏
𝑐
• Propiedad 3 :Raíz de una raíz𝑛 𝑚
𝑏 =𝑛∙𝑚
𝑏 =𝑛𝑚
𝑏
Ejemplo : 35 ∙
33 =
35 ∙ 3 =
315, recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos
315 =
35 ∙ 3=
35 ∙
33
Ejemplo : 49
418=
4 9
18=
4 1
2, recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos
4 9
18=
49
418
Ejemplo : 3 2
7 =3∙2
7 =67 , recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos
67 =
3∙27=
3 27
Resolver • Resolver aplicando las propiedades 1, 2 y 3 , mencionando cual de ellas utilizo
para desarrollar el ejercicio .
• Ejemplo : 68 ∙
68 =
68 ∙ 8 =
623 ∙ 23 =
626 = 2 propiedad 1
• Ejercicio
• A) 64 ∙
68 ∙
62 =
• B) 3204834
=
• C) 3 3 4
6 =
• D) 627
3 24
=
Desafío personal
Propiedades de raíces • Propiedad 4: Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice
𝑛𝑏𝑛 = |𝑏|
• Propiedad 5: Propiedad de amplificación𝑛𝑏𝑥 =
𝑛∙𝑚𝑏𝑥∙𝑚
=𝑛𝑚
𝑏𝑥𝑚
• Propiedad 6: Ingreso de un factor dentro de una raíz 𝑎𝑛𝑏 =
𝑛𝑏 ∙ 𝑎𝑛
Ejemplo : 333 = |3| , recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos |3| =
333
Ejemplo : 582 =
5∙382∙3 =
1586 ,recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos
1586 =
5∙382∙3 =
582
Observación : Esta propiedad es muy útil para igualar índices de raíces
Ejemplo 33 ∙
43 =
3∙434 ∙
4∙333 =
1234 ∙ 33 =
1237
Ejemplo : 342 =
42 ∙ 34 ,recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos
42 ∙ 34 = 3
42
Ejercicios propuestos • Identifica si cada número pertenece o no pertenece al conjunto dado.
935144493
Desafío personal
Ejercicios propuestos
• Ejercicios: Seguir la estructura presentada en el esquema para descomponer las siguientes raíces cuadradas
• 𝑎) 72 b) 108 c) 250 d) 100000
• e) 75
16f)
48
50g)
162
45h) 0,27
• 𝑖) 4,5 j) 0,64
Desafío personal
Ejercicios propuestos • Ejercicios: Resuelve las siguientes expresiones descomponiendo raíces sumando y
restando
• 6 𝑥 − 4 𝑥 − 8 𝑥 =
• 28 − 63 + 112 − 17 7
• 7 5𝑥 − 4 20𝑥 + 3 125𝑥 =
• 216 + 81 − 7 121 =
• 5 24 − 4 600+ 10 54 =
• 2 108 − 5 162 + 3 242 =
Desafío personal
Ejercicios propuestos • Suma y resta de radicales. No olvidar de descomponer los radicales dados si es posible y
luego efectúe la adición o sustracción.
Ejercicios propuestos • Resolver los siguientes ejercicios y mencionar si perteneces al conjunto de los números racionales
o irracionales
• Ejemplo : 3
4∙ 5= 0,75 ∙ 2,236067977… es un numero irracional
• A) 1
4∙ 6 =
• B) 3
4+ 5 =
• C) 7 + 8 =
• D) 2 3 + 8 =
• E) 1 + 3 1 − 3 =
Recordar :Producto de binomios𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑑
Desafío personal