numero e
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Al número e también se le conoce como Número de Euler o Constante de Napier. Precisamente éste último nombre se debe a la primera referencia a la existencia de esta constante que hay registrada. En 11! "ohn Napier introdu#o el número e en unas tablas referenciadas en el apéndice de un estudio sobre los logaritmos. Pero en estas tablas$ no daba un %alor concreto para el número e$ sino que simplemente daba una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta nue%a constante. &nos a'os m(s tarde$ "acob )ernoulli estudi* el problema del interés compuesto. En él hac+a c(lculos sobre los beneficios de una cantidad de dinero con un interés anual del 1,,- dependiendo de los periodos en los que se pague a lo largo de un a'o. Ele%ando el número de periodos al l+mite$ termin* hallando una ecuaci*n que sin que el p ropio )ernoulli fuera consciente defini* por primera %e el %alor de la constante matem(tica e. //0 Ecuación de Bernoulli Para encontrar el primer uso del número e$ as+ como el primer c(lculo de los primeros decimales nos tenemos que t rasladar al reinado matem(tico2 de 3eonhard Euler. Euler se refiri* por primera %e a la constante en 1454$ y la mencion* con la letra e por primera %e en la publicaci*n 6echanica de 1474. 8ambién fue el primero en definir una serie para facilitar un c(lculo mediante fracciones continuas$ y hallar de hecho los primeros 1! decimales del número e. ///0 Fracciones continuas de Euler para calcular e Con el paso de los a'os$ aparecieron muchos otros métodos de c(lculo para el número e$ as+ como nue%as definiciones apro%echando la e%oluci*n del c(lculo matem(tico. 8o do esto permiti* que el número de decimales conocidos del número e fuera en aumento$ siendo 9illiam :han;s el primero en llegar a las 5,, cifras en 1!41$ gracias otra de las definiciones del número e hecha por Euler mediante la suma infinita del in%erso de factoriales$ que permite con tan s*lo los 5< primeros términos de la suma hallar los pr imeros 55 decimales. /=0 Serie con factoriales de Euler para calcular e Al igual que en el caso del número pi$ la llegada de la era computacional$ ha hecho que el c(lculo de los decimales de e se haya con%ertido en toda una obsesi*n$ siendo el record actual el conseguido por Alexander ". >ee el pasado febrero con <,,.,,, millones de decimales. A estas alturas el hecho de que que el número e sea irracional ?es decir$ que no se puede expresar como cociente de dos números enteros@ es bien conocido por muchos de los que hemos tenido algún contacto con las matem(ticas. Pero$ sabemos demostrarloB
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trabajo matemático acerca del número que descubrió el matemático Euler
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7/18/2019 numero e
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Al número e también se le conoce como Número de Euler o Constante de Napier. Precisamente
éste último nombre se debe a la primera referencia a la existencia de esta constante que hayregistrada. En 11! "ohn Napier introdu#o el número e en unas tablas referenciadas en el apéndice
de un estudio sobre los logaritmos. Pero en estas tablas$ no daba un %alor concreto para el
número e$ sino que simplemente daba una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta
nue%a constante.
&nos a'os m(s tarde$ "acob )ernoulli estudi* el problema del interés compuesto. En él hac+a
c(lculos sobre los beneficios de una cantidad de dinero con un interés anual del 1,,-
dependiendo de los periodos en los que se pague a lo largo de un a'o. Ele%ando el número de
periodos al l+mite$ termin* hallando una ecuaci*n que sin que el propio )ernoulli fuera consciente
defini* por primera %e el %alor de la constante matem(tica e.
//0 Ecuación de Bernoulli
Para encontrar el primer uso del número e$ as+ como el primer c(lculo de los primeros decimales
nos tenemos que trasladar al reinado matem(tico2 de 3eonhard Euler. Euler se refiri* por primera
%e a la constante en 1454$ y la mencion* con la letra e por primera %e en la publicaci*n
6echanica de 1474. 8ambién fue el primero en definir una serie para facilitar un c(lculo mediante
fracciones continuas$ y hallar de hecho los primeros 1! decimales del número e.
///0 Fracciones continuas de Euler para calcular e
Con el paso de los a'os$ aparecieron muchos otros métodos de c(lculo para el número e$ as+ como
nue%as definiciones apro%echando la e%oluci*n del c(lculo matem(tico. 8odo esto permiti* que el
número de decimales conocidos del número e fuera en aumento$ siendo 9illiam :han;s el primero
en llegar a las 5,, cifras en 1!41$ gracias otra de las definiciones del número e hecha por Euler
mediante la suma infinita del in%erso de factoriales$ que permite con tan s*lo los 5< primeros
términos de la suma hallar los primeros 55 decimales.
/=0 Serie con factoriales de Euler para calcular e
Al igual que en el caso del número pi$ la llegada de la era computacional$ ha hecho que el c(lculo
de los decimales de e se haya con%ertido en toda una obsesi*n$ siendo el record actual el
conseguido por Alexander ". >ee el pasado febrero con <,,.,,, millones de decimales.
A estas alturas el hecho de que que el número e sea irracional ?es decir$ queno se puede expresar como cociente de dos números enteros@ es bienconocido por muchos de los que hemos tenido algún contacto con lasmatem(ticas. Pero$ sabemos demostrarloB
7/18/2019 numero e
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=amos a raonar$ como en muchas ocasiones$ por reducción al
absurdo .:upongamos que el número e es racional$ es decir$
$ con números enteros.
ando la %uelta a la fracci*n y utiliando la expresi*n de como sumainfinita$
obtenemos lo siguiente0
:eparamos esta suma en dos sumandos$ uno en el que %a de a y otroen el que %a de a infinito. 3a igualdad anterior queda de la siguienteforma0
:i pasamos restando la primera de esas sumas al miembro de la iquierda nos
queda lo siguiente0
6ultiplicamos ahora a ambos lados por . Dueda
> simplificando obtenemos lo siguiente0
Analicemos el lado iquierdo de la igualdad. El primertérmino$ $ es claramente un número entero. > el
segundo$ $ también lo es$ al ser ?hecho que$entre otras cosas$ asegura que todas esas fracciones son números [email protected] tanto$ el lado izquierdo de esa igualdad es un número entero.
=eamos ahora qué ocurre con el lado derecho. esglosemos dicha suma0
7/18/2019 numero e
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:abemos que esta serie alternada es con%ergente ?por el criterio de 3eibni@$y sabemos que su suma$ $ ser( un %alor real entre el primer término y lasuma de los dos primeros términos manteniendo los signos ?por quéB@$ queson
y
que por ser son dos números que est(n entre , y 1. Portanto$ $ por lo que , el lado derecho de la igualdad, no puede
ser un número entero. Pero el lado iquierdo de la igualdad s+ lo era. staes la contradicci*n buscada0 un número entero no puede ser igual a un
número no entero.
Esta contradicci*n pro%iene del hecho de suponer que el número e es racional$
por lo que esto implica queel número e es un número irracional
.
