7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 1/12

Número natural

Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

En matemáticas, un número natural (designado por ℕ) es cualquiera de los números que seusan paracontar  los elementos de un conjunto como también en operaciones elementales decálculo.

Por deinici!n con"encional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ # $%, &, ',, , …* es un número natural, que en este caso empieza del cero + prosigue ad ininitum. e

dos números "ecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derec-a sellama siguiente o sucesivo & .

El conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural se

llamasegmento de una sucesión natural + se denota '

ndice

  /ocultar 0

• & 1on"enios de notaci!n

• ' 2istoria

• 1onstrucciones a3iomáticas

o .& 43iomas de Peano

• 5ersi!n de 6us-7 8breanu

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 2/12

o .& einici!n en teor9a de conjuntos

• : 8peraciones con los números naturales

• ; Propiedades de los números naturales

o ;.& 1onceptos globales + de estructura

• < =so de los números naturales

• > ?ustracci!n o resta con números naturales

o >.& Proposiciones

o >.' 8bser"aci!n

• @ Aopologizaci!n de B

• &% Principio de permanencia

• && 5éase también

• &' Ceerencias

• & 6ibliogra9a

• & Enlaces e3ternos

Convenios de notación/editar 0

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puedeconsiderarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos . ependiendo delárea de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dosmaneras distintasD

• Definición sin el cero:

ℕ = {1, 2, 3 ,4, ...}

• Definición con el cero:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

donde la ℕ de natural  se suele escribir en negrita de pizarra.

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 3/12

2ist!ricamente, el uso del cero como numeral ue introducido en Europa en el  siglo FGG conlaconquista musulmana de la pen9nsula ibérica, pero no se consideraba un número natural.

?in embargo, con el desarrollo de la teor9a de conjuntos en el siglo FGF, el cero se inclu+! enlas deiniciones conjuntistas de los números naturales. Esta con"enci!n pre"alece en dic-adisciplina,: + otras, como la teor9a de la computaci!n.; En particular, el estándar GB :<adopta esta deinici!n.; ?in embargo, en la actualidad ambos con"enios con"i"en.<

Para distinguir ambas deiniciones a "eces se introducen s9mbolos distintos. Por ejemplo, si nose inclu+e el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lollamaconjunto de los enteros positi"os + se lo denota como ℕ*. 4lternati"amente también seutilizaℕ - {0*.>

Por el contrario, cuando el % se considera un número natural (cosa que es con"eniente, porejemplo, en di"isibilidad + teor9a de números), al conjunto de los naturales con el cero se lollama conjunto de los números cardinales + se lo denota ℕ0.

Historia/editar 0

 4ntes de que surgieran los números para la representaci!n de cantidades, el -ombre us!otros métodos para contar , utilizando para ello objetos como piedras, palitosde madera, nudosde cuerdas, o simplemente los dedos ("er  sistema de numeraci!n unario).Hás adelante comenzaron a aparecer los s9mbolos gráicos como seIales para contar , porejemplo marcas en una "ara o simplemente trazos espec9icos sobre la arena (5éase -uesode Gs-ango). Pero ue en Hesopotamia alrededor del aIo .%%% a. 1. donde aparecen losprimeros "estigios de los números que consistieron en grabados de seIales en ormas decuIas sobre pequeIos tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. e aqu9 el

nombre de escritura cuneiorme. Este sistema de numeraci!n ue adoptado más tarde, aunquecon s9mbolos gráicos dierentes, en la Jrecia 4ntigua + en la 4ntigua Coma. En la Jreciaantigua se empleaban simplemente las letras de su alabeto, mientras que en la antigua Comaademás de las letras, se utilizaron algunos s9mbolos.

Kuien coloc! al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una bases!lida, ue Cic-ard edeind en el siglo FGF. Este los deri"! de una serie de postulados (loque implicaba que la e3istencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), quedespués precis! Peano dentro de una l!gica de segundo orden, resultando as9 los amososcinco postulados que lle"an su nombre. Mrege ue superior a ambos, demostrando lae3istencia del sistema de números naturales partiendo de principios más uertes.

Lamentablemente la teor9a de Mrege perdi!, por as9 decirlo, su credibilidad + -ubo que buscarun nue"o método. Mue Nermelo quien demostr! la e3istencia del conjunto de númerosnaturales, dentro de su teor9a de conjuntos + principalmente mediante el uso del a3ioma deininitud que, con una modiicaci!n de este -ec-a por 4dol Mraenel, permite construir elconjunto de números naturales como ordinales según "on Beumann.

 4lgunas caracter9sticas de los números naturales sonD

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 4/12

&. Aodo número ma+or que & (o ma+or que % en caso de considerar el % como natural) "adespués de otro número natural.

'. Entre dos números naturales siempre -a+ un número inito de naturales.(Gnterpretaci!n de conjunto no denso)

. ado un número natural cualquiera, siempre e3iste otro natural ma+or que este.(Gnterpretaci!n de conjunto ininito).

. Entre el número natural + su sucesor no e3iste ningún número natural.

Construcciones axiomáticas/editar 0

2ist!ricamente, se -an realizado propuestas para a3iomatizar la noci!n -abitual de númerosnaturales, de entre las que destacan las de Peano + la construcci!n a partir de la teor9a deconjuntos.

 43iomas de Peano/editar 0

 Artículo principal:  43iomas de Peano

• ?i n es un número natural, entonces el sucesor  de n también es un número natural.

• El & no es el sucesor de ningún número natural.

• ?i -a+ dos números naturales n + m con el mismo sucesor, entonces n + m son elmismo número natural.

• ?i el & pertenece a un conjunto de números A, + además siempre se "eriica queD dadoun número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a AOentonces Acontiene al conjunto de todos los números naturales. Este es el a3ioma deinducci!n, que captura la idea de inducci!n matemática.

 Versión de Bush- Obreanu/editar 0

El sistema de Peano -a sido simpliicado.@

einici!n en teor9a de conjuntos/editar 0

En teor9a de conjuntos se deine al conjunto de los números naturales como el m9nimoconjunto que es inducti"o. La idea es que se pueda contar -aciendo una bi+ecci!n desde unnúmero natural -asta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar ladeinici!n de número 2 , se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamentedos elementos. Esta deinici!n ue proporcionada por 6ertrand Cussell, + más tardesimpliicada por 5on Beumann quien propuso que el candidato para ' uera el conjunto quecontiene solo a & + a %.

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 5/12

Mormalmente, un conjunto  x se dice que es un número natural  si cumple

&. Para cada  y  ∈  x ,  y  ⊆  x 

'. La relaci!n ∈ x  = {(a, b) ∈  x  •  x  | a ∈ b* es un orden total estricto en  x 

. Aodo subconjunto no "ac9o de x  tiene elementos m9nimo + má3imo en el orden ∈ x 

?e intenta pues, deinir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete lascon"enciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cuales ácil +a que sabemos que ∅ no contiene elementos. Luego se deinen los siguienteselementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor .

?e deine 7según 2almos7 entonces que el conjunto "ac9o es un número natural que se denotapor 0 + que cada número natural n tiene un sucesor  denotado como n+. Estas ideas quedanormalizadas mediante las siguientes e3presionesD

0 = ∅

n+ = n ∪ {n*

e esta manera, cada elemento de algún número natural es un número naturalO asaber, un antecesor de él. Por ejemploD

• Por deinici!n 0 = {} (lo cual reuerza el -ec-o de que 0 no tiene antecesores)

• & es el sucesor de %, entonces 1 = 0+ = ∅ ∪ {0} = {0}

• ' es el sucesor de &, pero & es $%*, entonces 2 = 1+ {0} ∪ {1} = {0, 1} .

• + en general3 = {0, 1, 2}

4 = {0, 1, 2, 3}

5 = {0, 1, 2, 3, 4}

⋮

Esto permite establecer una relaci!n de orden entre los elementos delconjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregadode elementos desordenados. ?e deine esta relaci!n mediante la

e3presi!nD

a ≤ b ⇔ a ⊆ b

es decir que un número a es menor o igual que b si + solosi b contiene a todos los elementos de a.

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 6/12

Aambién se puede usar otra deinici!n más inmediata a partir del-ec-o de que cada número natural consta de sus antecesores.

 4s9 a < b si + solo si a ∈ b.

Esa es la construcci!n ormal de los naturales que garantiza su

e3istencia como conjunto a la luz deldesarrollo a3iomático Nermelo7Mraenel. El postulado de losconjuntos ininitos asegura la "alidez de la técnica dedemostraci!n conocida como inducci!n matemática.

=n teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inducti"ocontiene a todos los números naturales, es decir que si  A es unconjunto inducti"o, entonces ℕ ⊆  A. Esto signiica que, eneecto, ℕ es el m9nimo conjunto inducti"o.

?e deine la suma por  inducci!n medianteD

a + 0 = a

a + b+ = (a × b) + a

Lo que con"ierte a los números naturales (ℕ, +) enun monoide conmutati"o con elemento neutro %, elllamado Monoide Libre con un generador . Este monoidesatisace la propiedadcancelati"a + por lo tanto puedeincluirse en un grupo matemático. El menor grupo quecontiene a los naturales es el de los números enteros.

e manera análoga, la multiplicaci!n  se deinemediante las e3presionesD

a × 0 = 0

a × b+ = (a × b) + a

Esto con"ierte (ℕ, ×) (esto es, ℕ con esta nue"aoperaci!n), en un monoide conmutati"o.

8tra orma de construcci!n de ℕ es la siguienteD?ea ℱ  la clase de todos los conjuntos +

deiniremos una relaci!n binaria R  serequipotente de la siguiente maneraDados A + B ∈ ℱ se dice que 4 C 6 Q E3iste unaaplicaci!n bi+ecti"a de A sobre B,es decir,e3iste  f   :  A →  Bbi+ecti"a. 1laramente se puededemostrar que esta relaci!n "eriica laspropiedades rele3i"a,simétrica + transiti"a luegoes una relaci!n de equi"alencia al conjunto

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 7/12

cocienteℱ /R = {[ A]/ A ∈ ℱ * los llamaremoscardinales + a los cardinales initos se les llamaránúmeros naturales.Las operaciones de suma +producto de cardinales se deinen como elcardinal de la uni!n + el producto cartesiano delos conjuntos representantes + "eriica todas laspropiedades para que (ℕ, +, ×) seaun semianillo conmutati"o + unitario.

Oeraciones con los números

naturales/editar 0

Las operaciones matemáticas que se deinen enel conjunto de los números naturales sonlasuma + la multiplicaci!n.

La suma + la multiplicaci!n de números naturalesson operaciones conmutati"as + asociati"as, esdecirD

• El orden de los números no altera elresultado (propiedadconmutati"a), a + b = b + a,+a × b = b × a.

• Para sumar Ro multiplicarR tres o másnúmeros naturales, no -ace alta agrupar los

números de una manera espec9ica +aque (a + b) + c = a + (b + c) (propiedadasociati"a). Esto es lo que da sentido ae3presiones como a + b + c.

 4l construir la operaci!n de multiplicaci!n denúmeros naturales, se puede obser"arclaramente que la adici!n o suma + lamultiplicaci!n son operaciones compatibles, puesla multiplicaci!n ser9a una adici!n de cantidadesiguales + gracias a esta compatibilidad se puede

desarrollar la propiedad distributi"a, que see3presa de la ormaD

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

 4parte, estas dos operaciones cumplen conlas propiedades deD

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 8/12

• 1lausura de ambas operaciones paratodos los números naturales a + b, +aque a + b +a × b son siempre númerosnaturales.

• E3istencia de elementos neutros para

ambas operaciones, es decir, para cadanúmero a,a + 0 = a + a × 1 = a.

• Bo e3istencia de di"isores de cero parala operaci!n de multiplicaci!nDsi a + b son números naturales talesque a × b = 0, entonces a = 0 o b =0.

!roiedades de los números

naturales/editar 0

Los números naturales están totalmenteordenados. La relaci!n de orden ≤ se puederedeinir as9D a ≤ b si + solo si e3iste otronúmero natural c que cumple a + c = b. Esteorden es compatible con todas lasoperaciones aritméticas puesto quesi a, b + c son números naturales + a ≤ b,entonces se cumpleD

a +

c ≤

b +

c

a × c ≤ b × c

=na propiedad importante delconjunto de los números naturaleses que es un conjunto bien ordenado

&. Para cualquierelemento a de A e3iste b enA tal que a < b

En los números naturales e3iste

el algoritmo de la di"isi!n. adosdos números naturales a + b, si b ≠ 0,podemos encontrar otros dosnúmeros naturales q + r ,denominados cociente + restorespecti"amente, tales queD

a = (b × q) + r  + r  < b

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 9/12

Los números q + r  estánun9"ocamente determinadospor a + b.

8tras propiedades máscomplejas de los númerosnaturales, como la distribuci!nde losnúmeros primos porejemplo, son estudiadas porla teor9a de números.

Relación de orden

La relaci!n sucesor  le da unaestructura de orden.&%

1onceptos globales + deestructura/editar 0

•  4lgebraicamente, elconjunto ℕ = {0, 1,2, ... n, ...* es un semigrupoaditi"o asociati"o conelemento neutro 0 +semigrupo multiplicati"oasociati"o con elementoneutro 1.&&

• Aopol!gicamente, ℕ tienela topología cofinita.&'

• El cardinal de ℕ es menorque el cardinal de ℝ.&

"so de los números

naturales/editar 0

Los números naturales, son

usados para dos prop!sitosundamentalmenteD paradescribir la posici!n de unelemento en una secuenciaordenada, como se generalizacon el concepto denúmeroordinal, + para especiicar eltamaIo de un conjunto inito,

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 10/12

que a su "ez se generaliza en elconcepto de número cardinal(teor9a de conjuntos). En elmundo de lo inito, ambosconceptos son coincidentesD losordinales initos son igualesa N as9 como los cardinalesinitos. 1uando nos mo"emosmás allá de lo inito, ambosconceptos son dierentes.

• 8tro uso de granimportancia, desde el puntode "ista matemático, es enla construcci!n delos números enteros, para locual en N × N se establece

una relaci!n deequi"alencia, para dos paresordenados de N × ND

(a, b) ~ (c, d) ↔ a + d = b + c.

#ustracción o resta

con números

naturales/editar 0

 4súmase que ℕ = {0, 1, 2,

3, ...* + sea H =

{(m, n) / m, n ∈ ℕ; m ≥ n*,sea  g  una aplicaci!nde Hen ℕ, tal que  g (m, n)

= m - n = d   m = d  + n,donde m, n estánen H + ! está en ℕ. 4 laaplicaci!n  g  de H sobre ℕ sellama sustracción o resta en ℕ. La dierencia d  = m - n,solo es posible en el casoque m ≥ n.

Proposiciones/editar 0

• ?i m - n =  p,entonces m -  p = n

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 11/12

• ?i m - n =  p,entonces (m + r ) -(n + r ) =  p

• Para cualquier m ∈ℕ, m - m = 0O

• como m - 0= m, 0 -ace el papel deelemento neutro por laderec-a.

• La resta no esconmutati"a niasociati"a.

• ?i se da m - n =  p,e3iste una ininidad denúmeros naturales m + n tal que m - n=  pO de modo tal queen ℕ × ℕ larelaci!n (m, n) ! (m ,n) ↔ m + n= n + m deineuna relaci!n deequi"alencia, punto departida para laconstrucci!n del " delos números enteros.&

8bser"aci!n/editar 0

&. =na operaci!nen A deinenalgunosmatemáticos comouna aplicación de A× A en A. ?i seacepta esto, lasustracci!n no esuna operación en

el conjunto de losnaturales.&:

'. ?i se deine unaaplicaci!n en #,parte propia de A ×A, en A talaplicaci!n sellamaoperación

7/17/2019 numero natural

http://slidepdf.com/reader/full/numero-natural-568d921824e0d 12/12

parcialmentedefinida en A.

 4dmitido lo anterior,la sustracci!n esunaoperación

 parcialmente

definida en en losnúmerosnaturales.&;

$oolo%i&ación de

N/editar 0

En el conjunto ℕ de losnaturales cabe la topolog9adiscreta + la coinita,también alguna topolog9a deorden&<

!rinciio de

ermanencia/editar 0

Es un teorema "inculado alsistema de los númerosnaturales + susampliaciones aplicati"as.

Esta proposici!n e3presaque las propiedades decálculo usuales para losnúmeros naturales, tambiénson leg9timas para losnúmeros estructuradosmediante operacionesin"ersas. 1omo ejemploDsegún el principio depermanencia, laspropiedades de la

potenciaci!n siguen "álidasaun en el caso de númeroscon e3ponentesraccionarios.

• (ab): # a:b: $ (ab)'S #a'S b'S entre otras le+esde la potenciaci!n. &>