UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA

ANALISIS NUMERICO

AJUSTE DE CURVASINTEGRANTES:Dario Cajilema

Ernesto MaiquezByron Pachacama

Katherine VillamarínYesenia Yunga

RECTAS DE REGRESION EN MINIMOS CUADRADOS

• Unos de los objetivos del cálculo numérico es la determinación de una formula y=f(x) que relacione las variables.

• En esta sección haremos hincapié en la clase de las funciones lineales de la forma.

y=f(x)=Ax+B

DETERMINACIÓN DE LA RECTA DE REGRESIÓN

• La recta de regresión o recta optima es la recta de ecuación y=f(x)=Ax+B que minimiza el error cuadrático medio E2(f)

• La cantidad E2(f) será mínima

• los coeficientes de la recta de regresión

Y=Ax+B

• Son solución del siguiente sistema lineal, conocido como las ecuaciones normales de Gauss.

• Los coeficientes de la recta de regresión

Y=Ax+B

• Son solución del siguiente sistema lineal, conocido como las ecuaciones normales de Gauss.

• Si empezamos con la recta y=Ax+B, entonces la distancia vertical dk desde el punto (xx, Yk) hasta el punto (Xk, Axk + B) de la recta es

dk= Axk +B –yk

• Debemos minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales dk:

Fig 1: Distancia verticales entre los puntos {(Xk, Yk)} y la recta y=Ax+B

• El valor mínimo de la función E(A, B) se determina igualando a cero las derivadas

parciales 𝜕𝐸

𝜕𝐴y 𝜕𝐸

𝜕𝐵

• A y B son las variables. Fijando B y derivando E(A,B) respecto de A, obtenemos

• Igualando a cero las derivadas parciales obtenidas y usando la propiedad distributiva de la suma, obtenemos

EJEMPLO:

• Calculo de los coeficientes de la ecuación normal del Gauss

Para establecer las ecuaciones normales se obtienen fácilmente de los valores de la tabla, el sistema para A y B es, entonces

92A +20B = 25

20A +8B =37

Cuya solución es A=-1.6071429 y B=8.6428571. Por tanto la recta de regresión en mínimos cuadrados es

Y= -1.6071429x +8.6428571

MÉTODO DE LINEALIZACIÓN DE LOS DATOS

MÉTODO DE LINALIZACIÓN DE LOS DATOS PARA

1.- Se toma la Ecuación:2.- Realizamos un cambio de variable

∴

Con lo que logramos pasar de

3.- Aplicamos las correspondientes ecuaciones normales de Gauss

4.- Calculamos el valor de C mediante:

Ejemplo: Dado los puntos: (0,1.5), (1,2.5), (2,3.5), (3,5.0) y (4,7.5), Hallar un ajuste exponencial:

Pasamos de a

Usamos las ecuaciones normales de Gauss

Reemplazando los valores

Reemplazando los valores en la ecuación

Ahora calculamos C para hallar el ajuste exponencial.

Reemplazando valores

MÉTODO NO LINEAL DE LOS MINIMOS CUADRADOS

Vamos a llegar a

Consiste en hallar el mínimo de la función de una ecuación cuadrática

NTERPOLACIÓN POLINOMIAL A TROZOS

• Frecuentemente la interpolación polinomial para un conjunto numeroso de n+1 datos (xi,yi) , resulta ser muy poco satisfactoria debido a que el polinomio interpolante de grado n puede exhibir fuertes oscilaciones cuando se usan polinomios de alto grado . Por ejemplo, supóngase que los puntos de datos son aproximaciones a una recta. Al forzar un polinomio de alto grado a pasar por varios puntos, la curva producida se puede desviar significativamente de la recta. Para aliviar estas condiciones indeseables una opción es ir enlazando, una detrás de otra, las gráficas de unos polinomios de grado bajo Sj(x) que sólo interpolan entre dos nodos o puntos consecutivos (xj,yj) y (xj+1,yj+1), se enlazan una con la otra en el punto (xj+1,yj+1) y el conjunto de funciones Sj(x) forma una curva polinomiala trozos o cercha ( en ingles, spline) que se denota por S(x).

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA

• Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.

• Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones.

Dada nuestra tabla de datos,

donde suponemos que nxxx 10 , y dado k un número entero positivo, una función de interpolación spline de grado k, para la tabla de

datos, es una función )(xs tal que :

i) ii yxs )( , para toda ni ,,1,0 .

ii) xs es un polinomio de grado k en cada subintervalo ii xx ,1 .

iii ) xs tiene derivada contínua hasta de orden 1k en nxx ,0 .

• Dados los n+1 puntos

• Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para este caso:

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1

donde:

i) xs j es un polinomio de grado menor o igual que 1

ii) xs tiene derivada continua de orden k-1=0.

iii) jj yxs , para nj ,,1,0 .

• FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2

• Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos :

Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :

nnnnnn xxxsixxxxfy

xxxsixxxxfy

xxxsixxxxfy

xs

,,

,,

,,

1111

211121

100010

donde ],[ ji xxf es la diferencia dividida de Newton.

Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :

9,7

7,5.4

5.4,3

En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue:

9,7

7,5.4

5.4,3

33

2

3

22

2

2

11

2

1

xsicxbxa

xsicxbxa

xsicxbxa

xs

Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:

5.0)9(,5.2)7(,1)5.4(,5.2)3( ssss Así, se forman las siguientes ecuaciones:

5.2395.2)3( 111 cbas

15.4)5.4(

15.4)5.4(1)5.4(

222

2

111

2

cba

cbas

5.2749

5.27495.2)7(

333

222

cba

cbas

5.09815.0)9( 333 cbas

Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas. El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada contínua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua. Calculamos primero la primera derivada:

9,72

7,5.42

5.4,32

33

22

11

xsibxa

xsibxa

xsibxa

xs

Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir,

las posibles discontinuidades son 5.4x y 7x . Por lo tanto para que

xs sea contínua, se debe cumplir que:

2211 5.425.42 baba o lo que es lo mismo,

2211 99 baba También debe cumplirse que:

3322 7272 baba o lo que es lo mismo,

3322 1414 baba

Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por

simple conveniencia 01 a . De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son las siguientes:

3322

221

333

333

222

222

11

11

1414

9

5.0981

5.2749

5.2749

15.425.20

15.4

5.23

baba

bab

cba

cba

cba

cba

cb

cb

Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:

0

0

5.0

5.2

5.2

1

1

5.2

0114011400

00001901

198100000

174900000

000174900

00015.425.2000

00000015.4

00000013

3

3

3

2

2

2

1

1

c

b

a

c

b

a

c

b

Usando Mathematica se obtiene la siguiente solución:

3.91

6.24

6.1

46.18

76.6

64.0

5.5

1

3

3

3

2

2

2

1

1

c

b

a

c

b

a

c

b

Sustituyendo estos valores (junto con 01 a ), obtenemos la función spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada:

9,73.916.246.1

7,5.446.1876.664.0

5.4,35.5

2

2

xsixx

xsixx

xsix

xs

3 4.5 7 9

-1

1

2

3

4

5

INTERPOLACIÓN CÚBICAEjemplo 1.

Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica :

Solución.

Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:

A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:

5,3

3,2

22

2

2

3

2

11

2

1

3

1

xsidxcxbxa

xsidxcxbxaxs

• Ahora calculamos la primera derivada de :

• Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso x=3 . Para evitar esta discontinuidad, evaluamos x=3 en los dos polinomios e igualamos:

124812 1111 dcbas

2392723 1111 dcbas

752512575 2222 dcbas

xs

5,323

3,223

22

2

2

11

2

1

xsicxbxa

xsicxbxaxs

o lo que es lo mismo:

Análogamente procedemos con la segunda derivada :

• Para lograr que S’’(x) sea continua :

22

2

211

2

1 32333233 cbacba

222111 627627 cbacba

5,326

3,226

22

11

xsibxa

xsibxaxs

2211 236236 baba

2211 218218 baba

En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incognitas, por lo tanto tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2 condiciones:

De lo cual vamos a obtener :

0

00

nxs

xs

022602 11 bas

0212 11 ba

025605 22 bas

0230 22 ba

Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas, el cual es el siguiente:

0230

0212

218218

627627

7525125

23927

23927

1248

22

11

2211

222111

2222

2222

1111

1111

ba

ba

baba

cbacba

dcba

dcba

dcba

dcba

• Cuya forma matricial es la siguiente :

0

0

0

0

7

2

2

1

002300000

000000212

0021800218

0162701627

15251250000

139270000

000013927

00001248

2

2

2

2

1

1

1

1

d

c

b

a

d

c

b

a

Resolviendo la matriz

Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la splinecúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:

125.50

875.39

375.9

625.0

5.0

75.10

5.7

25.1

2

2

2

2

1

1

1

1

d

c

b

a

d

c

b

a

5,3125.50875.39375.9625.0

3,25.075.105.725.123

23

xsixxx

xsixxxxs

• Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio

MÉTODOS INTERPOLACIÓN EN MATLAB

• En matlab encontramos las siguientes funciones para interpolar datos:

• interp1 interpolación de datos unidimensionales.

• spline interpolación con el método de spline cúbica

• polyfit interpolación con polinomios

CODIFICACIÓN EN MATLAB

CODIFICACIÓN EN MATLAB

EJEMPLOVAMOS A DETERMINAR LA CERCHA CÚBICA SUJETA QUE PASA POR LOS PUNTOS(0,0.0),(1,0.5),(2,2.0) Y (3,1.5) Y SE VERIFICA LAS CONDICIONES SOBRE LA PRIMERA DERIVADA ENLOS EXTREMOS DADAS POR S’(0)=0.2 Y S’(3)=-1

LAS SIGUIENTES INSTRUCCIONES NOS MUESTRAN COMO DIBUJAR LA CERCHA CÚBICA

INTERPOLANTE USANDO LA INSTRUCCIÓN “POLYVAL ” DE MATLAB.

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funciónperiódica y continua a trozos (o por partes).Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourierempleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función enuna suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación desenos y cosenos con frecuencias enteras).

Una Serie de Fourier es la representación de una función como una serie de constantesmultiplicadas por funciones seno y/o coseno de diferentes frecuencias.

Verificamos si la función es par o impar para realizar la serie de Fourier.

La Serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (-T, T) es :

APROXIMACIÓN POLINOMIAL TRIGONOMÉTRICA

Sea Sn el conjunto de todas las combinacioneslineales. A este conjunto se le denomina polinomiostrigonométricos de grado menor o igual que n.

Para una función f [- ] queremos obtener laaproximación de mínimos cuadrados continuosmediante las funciones Sn en la forma:

Dado que el conjunto de funciones es ortogonal en [- ]se deduce que la elección apropiada de coeficiente es :

El límite de Sn (x) cuando n se denomina Serie de Fourier para f.

POLINOMIOS TRIGONOMÉTRICOS Y SUS GRÁFICAS:

f(x) = 2-sin (2x) + 3 sin(4x), [-3,3]

EJEMPLO:

Determinar el polinomio trigonométrico a partir de Sn que se aproxime a :

Entonces el polinomio obtenido es: