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Fundamentos de Análisis Numéricos Realizado por: Ing. Jorge Eloy Toledo Coronel CORREO ELECTRONICO [email protected] 1 SEGUNDA UNIDAD METODOS ITERATIVOS METODO DE LAS APROXIMACIONES SUCESIVAS Este método consiste en sustituir a la variable X0 , un valor aproximado a la raíz en el segundo miembro de la ecuación X1= F(X0), con el cual obtendremos a X1 que será el nuevo valor aproximado de la raíz mismo que será sustituido en el segundo miembro de la ecuación con el cual obtendremos a X2 = F(X1), y así sucesivamente hasta encontrar hasta encontrar el valor de la raíz o llegar a la enésima aproximación donde Xn = F ( X n - 1). Si a medida que (n) crece, X0 tiende a obtener el valor de la raíz y se dice que el método converge de lo contrario que el método diverge. EJEMPLO 1 POR EL METODO DE LAS APROXIMACIONES SUCESIVAS OBTENER EL VALOR DE LA RAIZ NEGATIVA DE 0.5. - 0.5 NECESITAMOS UNA VARIABLE CUALQUIERA. X = - 0.5 ELIMINAMOS EL RADICAL (X) 2 = (- 0.5 ) 2 LA ECUACION NOS QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA X 2 = 0.5 NECESITAMOS UNA ECUACION DE LA FORMA AX 2 + BX + C = 0 Y ORDENANDO TENEMOS. X 2 - 0.5 = 0 SI OBSERVAMOS NOS HACE FALTA LOS VALORES DE BX POR LO TANTO LE SUMAREMOS EL VALOR DE X AL PRIMERO Y SEGUNDO MIEMBRO DE LA ECUACION PARA QUE NO ALTERE. X 2 + X - 0.5 = X

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SEGUNDA UNIDAD

METODOS ITERATIVOS

METODO DE LAS APROXIMACIONES SUCESIVAS Este método consiste en sustituir a la variable X0 , un valor aproximado a la raíz en el segundo miembro de la ecuación X1= F(X0), con el cual obtendremos a X1 que será el nuevo valor aproximado de la raíz mismo que será sustituido en el segundo miembro de la ecuación con el cual obtendremos a X2 = F(X1), y así sucesivamente hasta encontrar hasta encontrar el valor de la raíz o llegar a la enésima aproximación donde Xn = F ( X n - 1). Si a medida que (n) crece, X0 tiende a obtener el valor de la raíz y se dice que el método converge de lo contrario que el método diverge. EJEMPLO 1 POR EL METODO DE LAS APROXIMACIONES SUCESIVAS OBTENER EL VALOR DE LA RAIZ NEGATIVA DE 0.5. - √0.5 NECESITAMOS UNA VARIABLE CUALQUIERA. X = - √ 0.5 ELIMINAMOS EL RADICAL (X)2 = (- √ 0.5 )2 LA ECUACION NOS QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA X2 = 0.5 NECESITAMOS UNA ECUACION DE LA FORMA AX2 + BX + C = 0 Y ORDENANDO TENEMOS. X2 - 0.5 = 0 SI OBSERVAMOS NOS HACE FALTA LOS VALORES DE BX POR LO TANTO LE SUMAREMOS EL VALOR DE X AL PRIMERO Y SEGUNDO MIEMBRO DE LA ECUACION PARA QUE NO ALTERE. X2 + X - 0.5 = X

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ORDENANDO TENEMOS X = X2 + X - 0.5 Sabemos que la raíz negativa es de - 0.7071 podemos tomar un valor aproximado al valor de la raíz que es de -0.6 o el valor de la raíz tomando un solo digito. PRIMERA APROXIMACION SEGUNDA APROXIMACION X1 = X2 + X -0.5 X2 = X2 + X -0.5 X1 = (-0.6)2 - 0.6 -0.5 X2 = (-0.74)2 - 0.74 -0.5 X1 = -0.74 X2 =-0.6924 TERCERA APROXIMACION CUARTA APROXIMACION X3= X2 + X -0.5 X4 = X2 + X - 0.5 X3 =(--0.6924) 2+(-0.6924) - 0.5 X4 = (-0.7130)2 +(-0.7130) - 0.5 X3 = -0.7130 X4 = -0.7047 QUINTA APROXIMACION SEXTA APROXIMACION X5 = X2 + X -0.5 X6 = X2 + X - 0.5 X5 = (-0.7047)2 +(-0.7047) - 0.5 X6 = (-0.7082)2+(-0.7082) -0.5 X5 = -0.7082 Xº6 = -0.7067 SEPTIMA APROXIMACION OCTAVA APROXIMACION X7 = X2 + X - 0.5 X8 = X2 + X - 0.5 X7 = (-0.7067)2 +(-0.7067) - 0.5 X8 =(-0.7073)2 +(-0.7073) -0.5 X7 = -0.7073 X8 = -0.7071 NOVENA APROXIMACION X9 = X2 + X - 0.5 X9 = (-0.7071)2 +(-0.7071) -0.5 X9 = -0.7071 El método converge en X8 y X9 donde el valor de la raíz negativa es de -0.7071.

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-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5Serie1

GRAFICACION: Como el valor de la raíz es de -0.7071 y se encuentra entre los intervalos de -0.5 y -1 en el eje de las “X” tomemos estos valores para realizar la grafica. LA ECUACION ORIGINAL ES X = X2 + X - 0.5 HACIENDO X = Y TENEMOS Y = X2 + X - 0.5 Le damos a “X” valores positivos y negativos mismos que sustituiremos en la ecuación anterior para encontrar los valores de “Y” X Y

0.5 0.25 1 1.25 -0.5 -0.75 - -1 -0.5

Graficando tenemos: El método iterativo consistió en considerar un valor aproximado al valor de la raíz y sustituirlo en el segundo miembro de la ecuación X1 = F(X0) es decir una abscisa igual a la ordenada de la parábola. X0 se obtiene trazando una línea vertical hasta cortar la parábola y se traza una recta a un Angulo aproximado de 450 con dirección al eje positivo de las “X”.

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PSEUDOCODIGO INICIO LEER EL VALOR DE C PARA I DE 1 HASTA 10 HACER X[I] = SQR(X [I-1]) + X [I-1] +C IMPRIMIR X [I ],I FIN PROGRAMA EN C++ #include<iostream.h> #include<conio.h> #include<stdio.h> #include<math.h> float x[10],c,; int i; void main() {clrscr(); cout<<"Proporcionar el Valor Inicial de X = "; cin>>x[0]; cout<<"Valor de c = "; cin>>c; for(i=1;i<=10;i++) { x[i]=pow(x[i-1],2)+x[i-1]-c; cout<<x[i]; getch(); } }

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METODO DE REGULA - FALSI En este método tiene dos puntos conocidos que son X1 y X2 dentro de los cuales se

encuentra el punto de convergencia que es la raíz de F(X) = 0 conocidos los puntos X1 y X2 entre las cuales surge una línea que atraviesa al eje de las “X” con el objeto de encontrar a X3 tomando como base el valor de X2 que es una de las condiciones del método iterativo. Seleccionando a X3 y a un punto inicial que en este caso es el valor de X2 vuelve a surgir otra recta que atraviesa al eje de las “X” y es cuando obtenemos el valor de X4 y así sucesivamente hasta encontrar el punto de convergencia. Para seguir este procedimiento en forma analítica y encontrar todos los valores de Xi se establecen las siguientes ecuaciones. Yi Y1 Xi+1 = ---------- * X1 + ----------- * Xi Primera aproximación Yi - Y1 Y1 - Yi Yi Y2 Xi+1 = ---------- * X2 + ----------- * Xi Segunda aproximación Yi - Y2 Y2 - Yi

Punto de convergencia Ejemplo 1 Por el Método de Regula Falsi calcular la raíz de la siguiente ecuación teniendo como condiciones iniciales los valores X1 = 1 y X2= 0 . Fx = 3x3 - 4x2 + 8x -6

Sustituyendo los valores de X1 y X2 en la función original tenemos. Y1 = 2x3 - 4X2 +8X -6 Y2 = 2x3 - 4X2 +8X -6 Y1 = 2(1)3 - 4(1)2 +8(1) -6 Y2 = 2(0)3 - 4(0)2 +8(0) -6 Y1 = 1 Y2 = -6 Teniendo los valores de X1,X2,Y1 y Y2 proseguimos a la realización de todas y cada una de las aproximaciones o iteraciones correspondientes. Primera Aproximación Yi Y1 Xi+1 = ---------* X1+ ------- * Xi Yi - Y1 Y1 - Yi

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Cuando i = 2 Y2 Y1 X2+1 = ---------* X1+ ------- * X2 como X2 = 0 Y2 - Y1 Y1 - Y2

La ecuación nos queda de la siguiente forma : Y2 X2+1 = ---------* X1 Y2 - Y1 Sustituyendo los valores tenemos -6 X3 = ---------* 1 = 0.8571 Y3 = 2x 3 - 4X2 +8X -6 -6 -1 Y3 = 2(0.8571)3 - 4(0.8571)2 +8(0.8571) -6 Y3 = -0.1927 Segunda Aproximación Yi Y2 Xi+1 = ---------* X2+ ------- * Xi Yi - Y2 Y2 - Yi

Cuando i = 3 Y3 Y2 X3+1 = ---------* X2+ ------- * X3 como X2 = 0 Y3 - Y2 Y2 - Y3

La ecuación nos queda de la siguiente forma :

Y2 X3+1 = ---------* X3 Y2 - Y3 Sustituyendo los valores tenemos -6 X4 = ------------------* 0.8571= 0.8856 -6 -(-0.1927) Y4= 2X3 - 4X2 + 8X -6 Y4 = 2(0.8856)3 - 4(0.8856)2 +8(0.8856) -6 Y4 = 0.0314

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Tercera Aproximación Sustituyendo los valores tenemos -6 X5 = ------------------* 0.8856= 0.8810 -6 -(0.0314) Y5= 2X3 - 4X2 + 8X -6 Y5 = 2(0.8810)3 - 4(0.8810)2 +8(0.8810) -6 Y5 = -0.0054 Cuarta Aproximación

Sustituyendo los valores tenemos -6 X4 = ------------------* 0.8810= 0.8818 -6 -(-0.0054) Y5= 2X3 - 4X2 + 8X -6 Y5 = 2(0.8818)3 - 4(0.8818)2 +8(0.8818) -6 Y5 = 0.0011 Quinta Aproximación Sustituyendo los valores tenemos -6 X5 = ------------------* 0.8818= 0.8818 -6 -(0.0011) Y6= 2X3 - 4X2 + 8X -6 Y6 = 2(0.8818)3 - 4(0.8818)2 +8(0.8818) -6 Y6 = -0.0001 Sexta Aproximación

Sustituyendo los valores tenemos -6 X8 = ------------------* 0.8818= 0.8816 -6 -(-0.0001) Y8= 2X3 - 4X2 + 8X -6 Y8 = 2(0.8816)3 - 4(0.8816)2 +8(0.8816) -6 Y8 = -0.0001 Converge en X7 = 0.8816 y X8= 0.8816

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METODO DE NEWTON - RAPHSON Este es otro de los Métodos Iterativos que se utiliza para la solución de ecuaciones en las cuales se tenga que encontrar la raíz, el método gráfico trabaja por medio de pendientes que van a ser formados por la tangente en la curva sobre un punto conocido. Para empezar la solución por medio de este método y a diferencia del método de falsa posición basta con solo conocer un solo punto que es el valor inicial X0.

La gráfica muestra el cruce de la curva y la recta donde la ecuación de la recta y= x y la ecuación de la curva y= f(x). Se considera que la raíz de este sistema de ecuaciones es el punto ∝. Aplicando el método gráfico de Newton-Raphson el proceso compensa en el punto escogido arbitrariamente pero que a la vez cumple con la condición de convergencia. Para seguir el procedimiento en forma analítica y encontrar los valores de Xi se aplica la siguiente formula que es la ecuación general de Newton-Raphson donde Xn es el punto inicial. Y Y=X Y=Fx 0 X ∝ X2 X1 Xn+1 = Xn - ( Fx / F´x) Donde: Fx = es la ecuación de la tangente F´x= es la primera derivada de la ecuación de la tangente Este método iterativo tiene tres condiciones de convergencia y son las siguientes: 1.- Que el valor de X0 este en lo más próximo al valor de la raíz. 2.- Que el valor de Fx no este muy cercano al valor d cero. 3.- Que el valor de F´x no sea muy grande. Características del método iterativo de Newton-Raphson 1.- Este método converge más rápidamente. 2.- Se nota que las condiciones de convergencia comprueban la exactitud de los resultados.

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3.- El método de Newton-Raphson utiliza menos iteraciones en comparación al método de la Falsa Posición por lo tanto el esfuerzo requerido para encontrar los resultados es menor. Ejemplo: Por el método de Newton-Raphson calcular la raíz de la función Fx = 3X3 - 5X2 + 10X -7 cuando X0 =0 Tomando en cuenta el valor de Xn se calcula los valores de Fx y F´x Fx = 3X3 - 5X2 + 10X -7 F´x = 9X2 - 10X +10 Fx = 3(0)3 - 5(0)2 + 10(0) -7 F´x = 9(0)2 - 10(0) +10 Fx = -7 F´x = 10 Sustituyendo los valores de Fx y F´x en la formula de Newton-Raphson Xn+1 = Xn - ( Fx / F´x)

Primera aproximación X0+1 = X0 - ( Fx / F´x) Fx = 3X3 - 5X2 + 10X -7 X0+1 = 0 - ( - 7 / 10) Fx = 3(0.7)3 - 5(0.7)2 + 10(0.7) -7 X0+1 = 0.7000 Fx = - 1.4210 F´x = 9X2 - 10X +10 F´x = 9(0.7)2 - 10(0.7) +10 F´x = 7.4100

Segunda aproximación X0+2 = X1 - ( Fx / F´x) Fx = 3X3 - 5X2 + 10X -7 X0+2 =0.7 - (-1.4210/7.4100) Fx =3(0.8918)3-5(0.8918)2+10(0.8918) -7 X0+2 = 0.8918 Fx = 0.0690 F´x = 9X2 - 10X +10 F´x = 9(0.8918)2 - 10(0.8918) +10 F´x = 8.2395

Tercera aproximación X0+3 = X2 - ( Fx / F´x) Fx = 3X3 - 5X2 + 10X -7 X0+3 =0.8918 - (0.0690/8.2395) Fx =3(0.8834)3-5(0.8834)2+10(0.8834) -7 X0+3 = 0.8834 Fx = 0.0009 F´x = 9X2 - 10X +10 F´x = 9(0.8834)2 - 10(0.8834) +10 F´x = 8.1897

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Cuarta aproximación X0+4 = X3 - ( Fx / F´x) Fx = 3X3 - 5X2 + 10X -7 X0+4 =0.8834- (0.0009/8.1897) Fx =3(0.8833)3-5(0.8833)2+10(0.8833) -7 X0+4= 0.8833 Fx = 0.0007 F´x = 9X2 - 10X +10 F´x = 9(0.8833)2 - 10(0.8833) +10 F´x = 8.1869

Quinta aproximación X0+5 = X3 - ( Fx / F´x) Fx = 3X3 - 5X2 + 10X -7 X0+5 =0.8833- (0.0007/8.1869) Fx =3(0.8833)3-5(0.8833)2+10(0.8833) -7 X0+5= 0.8833 Fx = 0.0007 F´x = 9X2 - 10X +10 F´x = 9(0.8833)2 - 10(0.8833) +10 F´x = 8.1869 El método converge en la cuarta y quinta aproximación cuando X0+4 y X0+5 son iguales a 0.8833 Ejemplo: Por el método de Newton-Raphson calcular la raíz de 0.5. √0.5 NECESITAMOS UNA VARIABLE CUALQUIERA. X = √ 0.5 ELIMINAMOS EL RADICAL (X)2 = ( √ 0.5 )2 A ECUACION NOS QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA X2 = 0.5

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ORDENANDO TENEMOS. X2 - 0.5 = 0 Ecuación de la Tangente Fx = X2 + X - 0.5 = X Primera derivada F´x= 2X Sustituyendo en la formula de Newton-Raphson

Xn+i = Xn - (Fx / F´x )

( X2n - 0.5)

Xn+i = Xn - ---------------- 2Xn

Realizando el polinomio.

2X2n - X2

n + 0.5 X 0+1= ----------------------------

2Xn

Sumando términos iguales

X2n + 0.5

X 0+1= ---------------------------- 2Xn

Le damos a Xn un valor aproximado al valor de la raíz en este caso le daremos el valor de o.6

Primera aproximación

(0.6)2 + 0.5

X 0+1= ---------------------------- 2(0.6)

X 0+1= 0.7167

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Segunda aproximación

(0.7167)2 + 0.5

X 0+2= ---------------------------- 2(0.7167)

X 0+1= 0.7072

Tercera aproximación

(0.7072)2 + 0.5

X 0+2= ---------------------------- 2(0.7072)

X 0+3= 0.7071

Cuarta aproximación

(0.7071)2 + 0.5

X 0+4= ---------------------------- 2(0.7071)

X 0+4= 0.7071

Ejemplo: Por el método de Newton-Raphson calcular la raíz de la siguiente función trigonométrica Cuando X= 2.5 radianes 1 rad. = 180/Π = 57.3 grados Fx = 4 Sen X F´x= 4 Cos x

Primera aproximación

4 Sen x X 0+1= -------------

4 cos X Como Sen/Cos = Tang por ser una identidad trigonométrica la formula nos queda de la siguiente forma

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X 0+1 = 2.5 - Tang 2.5(57.3)

X 0+1 = 3.7382

Segunda aproximación

X 0+2 = 3.7382 - Tang 3.7382(57.3) X 0+2 = 3.5114

Tercera aproximación

X 0+3 =3.5114 - Tang 3.5114(57.3) X 0+3 = 3.4925

Cuarta aproximación

X 0+4 = 3.4925 - Tang 3.4925(57.3)

X 0+4 = 3.4906

Quinta aproximación

X 0+5 = 3.4906 - Tang 3.4906(57.3)

X 0+5 = 3.4904

Sexta aproximación

X 0+6 = 3.4904 - Tang 3.4904(57.3) X 0+5 = 3.4904

El método converge en la quinta y sexta aproximación cuando X0+5 y X 0+6 son iguales a 3.4904

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METODO DE NEWTON – RAPHSON DE SEGUNDO ORDEN Cuando se necesita determinar con mucha precisión el valor de la raíz de alguna ecuación, el método de Newton-Rapson de segundo orden tiene la ventaja de la rápida convergencia a una solución que permite obtener una aproximación extremadamente cercana al valor de la raíz con un mínimo número de cálculos, sin embargo, desde el punto de vista practico, este método esta limitado para su utilización en ecuaciones que tienen derivadas de mayor orden( cuando menos de segundo orden), ya que el tiempo que se consume en obtener y programar derivadas complicadas sobrepasa la ventaja de la rápida convergencia. Para resolver este método en forma analítica y encontrar la raíz de cualquier ecuación se establece la siguiente formula que es la ecuación general de Newton-Raphson de segundo orden. Fxn Xn+i = Xn - -------------------------------------- F´xn - F´´xn * Fxn ------------------- 2(F´xn) Ejemplo: Por el método de Newton - Raphson obtener la raíz de la siguiente función. Fx = 4x3 - 3x2 + 14x - 9 cuando x0 = 0 1º pasó: Se obtiene la primera derivada F´x = 12x2 -6x + 14 2º pasó: Se obtiene la segunda derivada F´´x = 24x - 6 Tomando en cuenta el valor de X0 se calcula los valores de Fx,F´x y F´´x Fx = 4x3 - 3x2 + 14x - 9 F´x = 12x2 -6x + 14 Fx = 4(0)3 - 3(0)2 + 14(0) - 9 F´x = 12(0)2 -6(0) + 14 Fx = -9 F´x = 14 F´´x = 24x - 6 F´´x = 24(0) - 6

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F´´x = - 6 Primera aproximación Fxn Xn+1 = Xn - -------------------------------------- F´xn - F´´xn * Fxn ------------------- 2(F´xn) Fx X1 = X0 - -------------------------------------- F´x - F´´x * Fx ------------------- 2(F´x) -9 X1 = 0 - -------------------------------------- 14 - ( -6 * 9) ---------- 2(14) X1 = 0.7455 Tomado en cuenta el valor de X1 se procede a calcular los valores de Fx, F´x y F´´x Fx = 4x3 - 3x2 + 14x - 9 F´x = 12x2 -6x + 14 Fx = 4(0.7455)3 - 3(0.7455)2 + 14(0.7455) - 9 F´x = 12(0.7455)2 -6(0.7455) + 14 Fx = 1.427 F´x = 16.1962 F´´x = 24x - 6 F´´x = 24(0.7455) - 6 F´´x = 11.892

Segunda aproximación 1.427 X2 = 07455 - ------------------------------------------ 16.1962 - (11.892 * 1.427) ---------------------- 2(16.1962) X2 = 0.6545

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Tomado en cuenta el valor de X1 se procede a calcular los valores de Fx, F´x y F´´x Fx = 4x3 - 3x2 + 14x - 9 F´x = 12x2 -6x + 14 Fx = 4(0.6545)3 - 3(0.6545)2 + 14(0.6545) - 9 F´x = 12(0.6545)2 -6(0.6545) + 14 Fx = 0.0007 F´x = 15.2134 F´´x = 24x - 6 F´´x = 24(0.6545) - 6 F´´x = 9.708

Tercera aproximación -0.0007 X3 = 0.6545 - ------------------------------------------- 15.2134 - ( 9.708 * - 0.0007) ---------------------- 2(15.2134) X3 = 0.6545 Tomado en cuenta el valor de X1 se procede a calcular los valores de Fx, F´x y F´´x Fx = 4x3 - 3x2 + 14x - 9 F´x = 12x2 -6x + 14 Fx = 4(0.6545)3 - 3(0.6545)2 + 14(0.6545) - 9 F´x = 12(0.6545)2 -6(0.6545) + 14 Fx = -0.0007 F´x = 15.2134 F´´x = 24x - 6 F´´x = 24(0.6545) - 6 F´´x = 9.708 El método converge en la segunda y tercera aproximación. Ejemplo: Por el método de Newton - Raphson obtener la raíz de la siguiente función. Fx = 3x3 - 5x2 + 10x - 7 cuando x0 = 0 1º pasó: Se obtiene la primera derivada

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F´x = 9x2 -10x + 10 2º pasó: Se obtiene la segunda derivada F´´x = 18x - 10 Tomando en cuenta el valor de X0 se calcula los valores de Fx,F´x y F´´x Fx = 3x3 - 5x2 + 10x - 7 F´x = 9x2 -10x + 10 Fx = 3(0)3 - 5(0)2 + 10(0) - 7 F´x = 9(0)2 -10(0) + 10 Fx = -7 F´x = 10 F´´x = 18x - 10 F´´x = 18(0) - 10 F´´x = - 10 X1 = 1.0769 Fx = 1.7173 F´x = 9.6687 F´´x = 9.3846 X2 = 0.8825 Fx = -0.0071 F´x = 8.1843 F´´x = 5.8850 X3 = 0.8834 Fx = 0.0002 F´x = 8.1893 F´´x = 5.9006 X3 = 0.8834 Fx = 0.0002 F´x = 8.1893 F´´x = 5.9006 El método converge en la tercera y cuarta aproximación.

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METODO DE NEWTON – RAPHSON MULTIVARIADO

El método iterativo para sistema de ecuaciones converge linealmente. Como en el método de una incógnita, pero puede crearse un método de convergencia cuadrática; es decir, el método de newton – raphson multivariable. A continuación se obtendrá este procedimiento para dos variables; la extensión a tres o más variables es viable generalizando resultados. Supóngase que se esta resolviendo el siguiente sistema F1(X,Y) = 0 F2(X,Y) = 0 donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en la serie de Taylor. utilizando el método de newton – raphson multivariado para encontrar una solucion aproximada del sistema.

F1(X,Y) = X2 – 10X + Y2 + 8 F2(X,Y) = XY2 + X – 10Y + 8

CON EL VECTOR INICIAL [X0,Y0] = [0,0] df1 df1 ------- =2x - 10 ------- = 2y dx dy df2 df2 ------- = y2 + 1 ------- = 2xy - 10 dx dy 2x - 10 2y -x2 + 10x – y2 - 8 y2 + 1 2xy - 10 -xy2 – x +10y – 8

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Primera Aproximación: esta se calcula primeramente sustituyendo los valores iniciales de x,y y se obtiene lo siguiente: -10 0 -8 1 -10 -8 y resolviendo la matriz por el método de la eliminación completa de gauss – jordán se obtienen los valores de h y j los cuales son H= 0.8 j = 0.88 Los cuales son los nuevos valores de x,y es decir x= 0.8 y = 0.88

Segunda aproximación 2x - 10 2y -x2 + 10x – y2 - 8 y2 + 1 2xy - 10 -xy2 – x +10y – 8 Segunda Aproximación: esta se calcula primeramente sustituyendo los nuevos valores iniciales de x,y y se obtiene lo siguiente: -8.4 1.76 -1.41440 1.77441 -8.592 -0.61952 y resolviendo la matriz por el método de la eliminación completa de gauss – jordán se obtienen los valores de h y j los cuales son: H= 0.19179 j = 0.11171 Los cuales son los nuevos valores de x,y y, así sucesivamente hasta llegar a obtener la convergencia.

APROXIMACION X Y 0 0 0 1 0.8 0.88

2 0.99179 0.99171 3 0.9998 0.9997 4 1 1

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-0,5

0

0,51

1,5

2

2,53

3,5

0 1 2 3 4 5

Serie1

0

0,5

1

1,52

2,5

3

3,5

0 2 4 6

Serie1

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6

Serie1

METODO DE BAIRSTOW

Antes de iniciar el desarrollo del método, veremos que ocurre gráficamente cuando obtenemos las raíces de una ecuación de segundo orden. Se debe analizar el resultado del discriminante o radicando b2 – 4ac, el cual damos cuatro posibilidades:

1. b2 – 4ac > 0 y sea el cuadrado perfecto, => ?1 ? ?2, reales, racionales

2. b2 – 4ac > 0 y no sea el cuadrado perfecto, => ?1 ? ?2, reales, racionales

3. b2 – 4ac = 0, => ?1 = ?2, reales, ?= -b/2a.

4. b2 – 4ac < 0, => ?1 ? ?2, complejas Raíces Reales Diferentes Raíces Reales Iguales Raíces Complejas b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0 Ejemplos de cada una de las graficas

X = 0.7070 X= 0.7071 X= 0.7070 X= 0.7071

X = 0.7069 X= 0.7070 X= 0.7071 X= 0.7071

X = 0.3120 X= -1.7071 X= 0.0453 X= 4.0897

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Primer grado, con raíces complejas. P4(X) = [X – (a1 + b1i)][X – (a1 + b1i)][X – (a2 + b2i)][X – (a2 – b2i)]. Segundo grado, con raíces reales y complejas. P4(X) = [X –?1 ][X – ?2][X – (a + bi)][X – (a – bi)]. Tercer grado, con raíces reales y complejas. P4(X) = [X – (a + bi)][X – (a - bi)][X –?1][X –?2 ]. Cuarto grado, con raíces reales. P4(X) = [X –?1 ][X – ?2 ][X –?3 ][X – ?4][X –?5 ] Resolver por el método de Bairstow el siguiente polinomio

Sea el Polinomio P4(x)= x4 + 2X3 – 7X2 + 8X +12 cuando el valor de r= - 3.05 y s=3.95 y tomando una tolerancia de ? =0.001 para |?r| y |?s|

Primeramente colocaremos los coeficientes de la función con respecto a x PRIMERA APROXIMACION

2 -7 8 12 3.05 15.4025 13.519125 4.48540625

-3.97 -20.0485 -17.597025 5.05 4.4325 1.470625 -1.11161875 3.05 24.705 63.24175

-3.97 -32.157 8.1 20.735 32.555375

-20.735 -8.1 D= 178.1538 -31.08475 -20.735

-1.470625 -8.1

1.11161875 -20.735 D1= 39.49752

-20.735 -1.470625

-31.08475 1.11161875 D2= -68.76343 r= 0.22170469

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s= -0.38597798

r= -2.82829531

s= 3.58402202 SEGUNDA APROXIMACION

2 -7 8 12 2.8282 13.6551152 8.68572812 -1.74935675

-3.584 -17.3042688 -11.006877 4.8282 3.07111524 -0.61854068 -0.75623377 2.8282 21.6538305 51.1050946

-3.584 -27.4405376 7.6564 18.0698305 23.0460163

-18.0698305 -7.6564 D= 145.3335 -23.664557 -18.0698305

0.61854068 -7.6564

0.75623377 -18.0698305 D1= -5.386897

-18.0698305 0.61854068

-23.664557 0.75623377 D2= 0.972475 r= -0.03706577

s= 0.00669134

r= -2.86526577

s= 3.59069134 TERCERA A PROXIMACION

2 -7 8 12 2.8652 13.939771 9.59604486 0.36404585

-3.5906 -17.4689871 -12.0255335 4.8652 3.34917104 0.12705774 0.33851231 2.8652 22.1491421 53.1739348

-3.5906 -27.7567742 7.7304 18.5585421 25.4298664

-18.5585421 -7.7304 D= 148.8187 -25.3028086 -18.5585421

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-0.12705774 -7.7304

-0.33851231 -18.5585421 D1= -0.258829

-18.5585421 -0.12705774

-25.3028086 -0.33851231 D2= 3.067377 r= -0.00173922

s= 0.02061151

r= -2.86693922

s= 3.61121151 CUARTA APROXIMACION

2 -7 8 12 2.8669 13.9529156 9.58036448 0.01437808

-3.6112 -17.5753493 -12.0676034 4.8669 3.34171561 0.0050152 -0.05322533 2.8669 22.1720312 53.212047

-3.6112 -27.9282986 7.7338 18.5608312 25.2887636

-18.5608312 -7.7338 D= 148.965 -25.2837484 -18.5608312

-0.0050152 -7.7338

0.05322533 -18.5608312 D1= 0.50472

-18.5608312 -0.0050152

-25.2837484 0.05322533 D2= -1.114709 r= 0.00338818

s= -0.00748303

r= -2.86351182

s= 3.60371697

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QUINTA APROXIMACION

2 -7 8 12 2.8635 13.9266323 9.5152165 -0.0325822

-3.6037 -17.526595 -11.9748509 4.8635 3.32293225 -0.01137845 -0.00743315 2.8635 22.1262645 53.0393634

-3.6037 -27.8457899 7.727 18.5225645 25.1821951

-18.5225645 -7.727 D= 148.4147 -25.1935735 -18.5225645

0.01137845 -7.727

0.00743315 -18.5225645 D1= -0.153322

-18.5225645 0.01137845

-25.1935735 0.00743315 D2= 0.148983 r= -0.00103307

s= 0.00100383

r= -2.86453307

s= 3.60470383 SEXTA APROXIMACION

2 -7 8 12 2.8645 13.9343603 9.53781179 0.00787347

-3.6047 -17.5350632 -12.0024263 4.8645 3.32966025 0.00274864 0.00544717 2.8645 22.1397205 53.0935662

-3.6047 -27.8607263 7.729 18.5350205 25.2355885

-18.5350205 -7.729 D= 148.5224

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-25.2328399 -18.5350205

-0.00274864 -7.729

-0.00544717 -18.5350205 D1= 0.008845

-18.5350205 -0.00274864

-25.2328399 -0.00544717 D2= 0.031607 r= 5.9553E-05

s= 0.00021281

r= -2.86444045

s= 3.60491281

SEPTIMA APROXIMACION

2 -7 8 12

2.8644 13.9335874 9.53469207 -0.0028171 -3.6049 -17.5356756 -11.9995851

4.8644 3.32868736 -0.00098349 -0.00240216 2.8644 22.1383747 53.087285

-3.6049 -27.8615511 7.7288 18.5334747 25.2247504

-18.5334747 -7.7288 D= 148.525 -25.2257339 -18.5334747

0.00098349 -7.7288

0.00240216 -18.5334747 D1= 0.000338

-18.5334747 0.00098349

-25.2257339 0.00240216 D2= -0.019711 r= 2.2785E-06

s= -0.00013271

r= -2.86439772

s= 3.60476729

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OCTAVA APROXIMACION

2 -7 8 12 2.8643 13.9328145 9.53271833 -0.00465127

-3.6047 -17.5343422 -11.9968543 4.8643 3.32811449 -0.00162388 -0.00150557 2.8643 22.137029 53.0821499

-3.6047 -27.8592844 7.7286 18.532329 25.2212416

-18.532329 -7.7286 D= 148.5098 -25.2228655 -18.532329

0.00162388 -7.7286

0.00150557 -18.532329 D1= -0.018458

-18.532329 0.00162388

-25.2228655 0.00150557 D2= 0.013057 r= -0.00012429

s= 8.7921E-05

r= -2.86442429

s= 3.60478792 NOVENA PROXIMACION

2 -7 8 12 2.8644 13.9335874 9.53526495 0.00161058

-3.6047 -17.5347027 -11.9996403 4.8644 3.32888736 0.00056227 0.00197031 2.8644 22.1383747 53.0878579

-3.6047 -27.8600054 7.7288 18.5336747 25.2284148

-18.5336747 -7.7288 D= 148.5161 -25.2278525 -18.5336747

-0.00056227 -7.7288

-0.00197031 -18.5336747 D1= -0.004807

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-18.5336747 -0.00056227

-25.2278525 -0.00197031 D2= 0.022332 r= -3.2368E-05

s= 0.00015037

r= -2.86443237

s= 3.60485037 DECIMA APROXIMACION

2 -7 8 12 2.8644 13.9335874 9.53497851 -0.00060326

-3.6048 -17.5351891 -11.9996127 4.8644 3.32878736 -0.00021061 -0.00021594 2.8644 22.1383747 53.0875714

-3.6048 -27.8607782 7.7288 18.5335747 25.2265826

-18.5335747 -7.7288 D= 148.5206 -25.2267932 -18.5335747

0.00021061 -7.7288

0.00021594 -18.5335747 D1= -0.002234

-18.5335747 0.00021061

-25.2267932 0.00021594 D2= 0.001311 r= -1.5044E-05

s= 8.8261E-06

r= -2.86441504

s= 3.60480883 1| POLINOMIO 2° POLINOMIO POLINOMIO ORIGINAL (X2 +4.8644X +3.32878736)(X2 - 2.86441504 X + 3.60480883) = X4 + 2X3 - 7X2 + 8X +12 1° POLINOMIO 2° POLINOMIO POLINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C POLINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C

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X2 + 4.8644X + 3.32878736 X2 - 2.86441504X + 3.60480883 = X4 + 2X3 - 7X2 + 8X + 12 RESOLBIENDO POR LA FORMULA AMBOS POLINOMIOS EL RESULTADO QUEDA DE LA SIGUINTE MANERA

X1 = - 0.8129 X1=(1.43 + ?? /2= X2 = - 4.04705

X1=(1.43 - ?? ??? /2=

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Obtener los valores de r y s mediante la función P4(x)= X4 + 3X3 – 8X2 + 10X + 12 Con una aproximación de r y s de 0.0001 sabiendo que los valores iniciales son los siguientes r= -3 y s= 3.5 PRIMERA APROXIMACION

1 3 -8 10 12 r= -3 3 18 19,5 25,5 s= 3,5 -3,5 -21 -22,75 6 6,5 8,5 14,75 3 27 90 -3,5 -31,5 9 30 67 -30 -9 -8,5 -58,5 -30 -14,75 OBTENCION DEL LOS VALOR DE D D= 900 526,5 373,5 D1= 255 132,75 122,25 D2= 442,5 497,25 -54,75 ?= 0,32730924 ?= -0,14658635 r= -2,67269076 s= 3,35341365 SEGUNDA APROXIMACION

1 3 -8 10 12 r= -2,6726 2,6726 15,1605908 10,175098 3,08044193 s= 3,3534 -3,3534 -19,0224968 -12,7670335 5,6726 3,80719076 1,15260119 2,31340843 2,6726 22,3033815 60,8208186 -3,3534 -27,9847937 8,3452 22,7571723 33,9886261 -22,7571723 -8,3452 -1,15260119 -32,836025 -22,7571723 -2,31340843 OBTENCION DEL LOS VALOR DE D D= 517,88889 274,023195 243,865695

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D1= 26,2299437 19,3058561 6,92408769 D2= 52,6466343 37,8468413 14,799793 ?= 0,02839304 ?= 0,06068829 r= -2,64420696 s= 3,41408829 TERCERA APROXIMACION

1 3 -8 10 12 r= -2,6442 2,6442 14,9243936 9,27530794 -0,02291405 s= 3,4166 -3,4166 -19,2839737 -11,9847278 5,6442 3,50779364 -0,00866578 -0,0076418 2,6442 21,9161873 58,1919166 -3,4166 -28,3181474 8,2884 22,0073809 29,8651034 -22,0073809 -8,2884 0,00866578 -29,8737692 -22,0073809 0,0076418 OBTENCION DEL LOS VALOR DE D D= 484,324815 247,605749 236,719066 D1= -0,19071106 -0,06333828 -0,12737278 D2= -0,16817597 -0,25887943 0,09070346 ?= -0,00053808 ?= 0,00038317 r= -2,64473808 s= 3,41698317 CUARTA APROXIMACION

1 3 -8 10 12 r= -2,6447 2,6447 14,9285381 9,28722926 -0,00038658 s= 3,4169 -3,4169 -19,2873754 -11,9989162 5,6447 3,51163809 -0,00014617 0,00069723 2,6447 21,9229762 58,2302489 -3,4169 -28,3240509 8,2894 22,0177143 29,9060519 -22,0177143 -8,2894 0,00014617

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-29,9061981 -22,0177143 -0,00069723 OBTENCION DEL LOS VALOR DE D D= 484,779742 247,904438 236,875303 D1= -0,0032184 0,00577958 -0,00899799 D2= 0,01535131 -0,00437149 0,0197228 ?= -3,7986E-05 ?= 8,3262E-05 r= -2,64473799 s= 3,41698326 Se inicia la solución del polinomio P4(X)= (X2 + 5,6447X + 3,5116)(X2 -2,6447X + 3,4169) = X4 + 3X3 -8X2 + 10X + 12

Cada polinomio se resuelve por medio de la formula general de algebra, lo cual arroja los resultados siguientes:

Raiz= 31,8626380

9 X1= -0,71188571

X2= -4,93281429

Raiz= 6,99444 X1= #¡NUM! Resolver como tareaX2= #¡NUM! Resolver como tarea