Metodo numerico

UNIVERSIDAD DE TARAPAC

ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

IQUIQUE - CHILE

Estudiantes : Antonio Mller Ercoli

Emilio Flores Araya

Profesor : Jeannette Huerta

Fecha de entrega: Mircoles 9 de Julio 2014

Asignatura : Clculo Integral

INFORME

"METODOS NUMRICOS

Clculo Integral

Profesora : Jeannette Huerta

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NDICE

Contenido Pgina

1. Introduccin _________________________________________________________ 2

2. Objetivos____________________________________________________________ 3

3. Marco terico_________________________________________________________ 4

3.1 Terminologa______________________________________________________ 4

3.1.1 Clculo de Integral________________________________________________ 4

3.1.2 Polinomio de Lagrange_____________________________________________ 5

4. Desarrollo de la investigacin_____________________________________________ 7

4.1 Mtodo Simpson y trapecios__________________________________________ 7

4.1.1 Mtodo de los Simpson____________________________________________ 7

4.1.2 Mtodo de los Trapecios___________________________________________ 10

4.2 Ejercicio clsico___________________________________________________ 12

4.3 Ejercicio no clsico_________________________________________________ 17

5. Observaciones y conclusiones___________________________________________ 20

6. Referencias y bibliografa______________________________________________ 21

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1.INTRODUCCIN.

En el siguiente informe se investigar sobre los mtodos numricos de la regla de Simpson y la regla de los trapecios, ambas relacionadas con la aproximacin al clculo de la integral definida. En ingeniera se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una funcin con alguna de las siguientes caractersticas: (a) Una funcin complicada y continua que es difcil o imposible de integrar directamente. (b) Una funcin tabulada en donde los valores de x y f(x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales. En estos dos casos, se deben emplear mtodos de aproximacin. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la funcin o a los datos sobre intervalos de longitud constante. En general, no se usan en la integracin definida, sin embargo, se usan extensamente para evaluar integrales impropias y en la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias.

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2. OBJETIVOS

2.1. Conocer lo que es un mtodo numrico de Simpson y de los trapecios. 2.2. Definir y enunciar cada una de las reglas (escribir frmulas). 2.3. Encontrar casos en los cuales se aplican estas tcnicas. 2.4 Comparar ambos mtodos en estudio. 2.5 Calcular el valor exacto de la integral y luego compararlos con las aproximaciones obtenidas utilizando la regla de los trapecios y Simpson para estimar el valor para ocho intervalos de la siguiente integral.

2.6 Dar otros dos ejemplos diferentes no clsicos:

I.

II.

III.

2.7 Desarrollarlos con ambas reglas y luego comparar la precisin con que

se aproximan el valor de la integral

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3.MARCO TERICO 3.1 Terminologa

3.1.1 Clculo de integral.

3.1.1.2 Concepto de la integral.

La definicin de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el rea de la regin que se encuentra entre la grfica de una funcin de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a,b], (como muestra el grafico 1) denotada con el

smbolo

.

El smbolo S (una S alargada, por suma) se

llama signo de integral y fue introducido por

Leibniz (ver imagen 1) en 1675. El proceso

que produce el resultado se llama

integracin. Los nmeros a y b, que se

ponen junto al signo de integral, se llaman

lmite de integracin inferior y superior.

Leibniz us este smbolo porque consideraba la integral como la suma

de infinitos rectngulos con altura f(x) y cuyas bases eran

"infinitamente pequeas". Fue aceptado rpidamente, por muchos

matemticos porque les gustaba pensar que la integracin era un tipo de

"proceso de suma" que les permita sumar infinitas cantidades

"infinitesimales" (infinitamente pequeas).

(Grafico 1. rea de una

f(x) en un intervalo [a,b]).

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3.1.2 Polinomio de LaGrange 3.1.2.1 Interpolacin y Aproximacin Una funcin de interpolacin es aquella que pasa a travs de puntos dados como datos de una tabla de valores o puntos de una curva. (ver grafico 2).

El proceso de ajustar una serie de datos de una tabla de valores o de una funcin dada a una curva es lo que se denomina interpolacin. Este proceso tambin sirve para estimar valores intermedios entre datos precisos.

Una de las funciones tiles son los polinomios, ya que son fciles de derivar e integrar adems los resultados son tambin polinomios, (ver ecuacin 1).

Una razn de su importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas. Dada cualquier funcin definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que se encuentra tan cerca de la funcin como se desea.

Ecuacin 1. Polinomio P(x). Representa un polinomio entero en de grado (entero no negativo) y , , ... , (son constantes reales o complejas).

Grafico 2. P(x) polinomio interpolador de f(x).

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3.1.2.2 Interpolacin de polinomios de Lagrange. 3.1.2.2.1 Interpolacin Lineal: El mtodo ms sencillo de interpolacin es conectar dos puntos con una lnea recta, esta tcnica se llama interpolacin lineal. (ver ecuacin 1.1)

3.1.2.2.2 La frmula general del polinomio de Interpolacin de Lagrange. tiene la forma

Generalizando as queda la expresin de la siguiente ecuacin (ver ecuacin 1.3)

Ecuacin 1.1 Polinomio P(x). La forma de Lagrange para una lnea recta que pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1)

Ecuacin 1.2 Polinomio de Lagrange de grado n, que pasa a

travs de los puntos ), ) ... ), ) tal que

P = , . . . , P( ) =

Ecuacin 1.3. Frmula general de Lagrange

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4. DESARROLLO DE LA INVESTIGACIN.

4.1 Mtodo Simpson y de los trapecios.

4.1.1 Mtodo Simpson

Regla de Simpson (nombrada as en honor de Thomas Simpson), se

puede obtener una estimacin ms exacta de la integral. El mtodo

consiste en usar polinomios de grado superior para aproximar la curva

de la funcin y tomar las integrales bajo tales polinomios.

4.1.1.1 Regla 1/3

Considrese la funcin integrando f(x), cuya grfica est entre los

extremos y , si hay otro punto a la mitad [ ( +

como se muestra en el grafico 4

Grafico 4. Ilustracin de la regla 1/3

Si utilizamos un polinomio de Lagrange P2(x) de segundo grado como

una aproximacin de f(x) como muestra la ecuacin 1.4.

Ecuacin 1.4. Se remplaza el polinomio de Lagrange de grado 2 entre las imgenes de

f(x) tomando como un valor inicial, como un valor extremo y como un

valor promedio.

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El rea bajo este polinomio ser una aproximacin del rea bajo la curva

entre los lmites a y b por lo cual se procedi a integrar bajo esos lmites

quedando la expresin de la siguiente ecuacin. (ver ecuacin 1.5).

Ecuacin 1.5. Se comienza a calcular el rea aproximada, calculando la integral de la ecuacin

anterior.

Se aplic la integral y se reorden la expresin (ver la ecuacin 1.6)

Ecuacin 1.6. Al integrar queda esta expresin reordenada.

Queda la frmula general del mtodo Simpson (ver la ecuacin 1.7).

Ecuacin 1.7. Finalmente al ordenarla para hacer mas fcil la utilizacin de esta queda la

frmula general de la regla 1/3 de Simpson.

Que es la conocida Regla de Simpson 1/3 Simple donde h = (b a)/2.

Geomtricamente, la Regla de Simpson 1/3 simple aproxima el rea bajo

una curva mediante el rea bajo una parbola que une tres puntos.

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4.1.1.2 Regla 1/3 compuesta

En el caso de que el intervalo [a, b] no sea lo suficientemente pequeo,

el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre

a la frmula compuesta de Simpson 1/3. Dividiremos el intervalo [a, b] en

n sub-intervalos iguales, de manera que (xi = a + ih), donde (h = (b a) /

n) para (i = 0,1,...,n). (ver el grafico 5)

Grafico 5. La misma funcin anterior se sub-divida en "n" intervalos.

Esto di por consiguiente, basndose en la regla de 1/3 simple, la

expresin que veremos a continuacin en la ecuacin (ver ecuacin 1.8)

Ecuacin 1.8 Se define la frmula anterior dndose n intervalos.

Se agrup trminos y la expresin general result en: (ver ecuacin 1.9).

Ecuacin 1.9. Al ordenar de manera algebraica la frmula anterior para su mejor utilizacin

queda la conocida como la Regla del Trapecio mltiple o compuesta. Se debe utilizar un nmero par de divisiones para implementar el mtodo.

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4.1.2 Mtodo de los Trapecios.

4.1.2.1 Regla del trapecio simple.

Considrese la funcin f(x), cuya grfica est entre los extremos x=a y

x=b. Si utilizamos un polinomio P(x) de primer grado como una

aproximacin de f(x). (ver ecuacin 2)

Ecuacin 2. Se utiliza la ecuacin de primer grado para una aproximacin

El rea bajo esta lnea recta ser una aproximacin del rea bajo la

curva entre los lmites a y b. (ver ecuacin 2.1)

Ecuacin 2.1. Al integrar la ecuacin anterior y reordenarla algebraicamente queda la conocida

Regla del Trapecio Simple.

Geomtricamente, la Regla del trapecio aproxima el rea bajo una curva

mediante el rea del trapecio bajo la lnea recta que une f(a) y f(b).

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4.1.2.2 Regla del trapecio compuesto.

Una aproximacin suficiente al rea bajo la curva se obtiene dividindola

segmentos de ancho y aproximando el rea de cada segmento mediante

un trapecio, como se indica el grafico 6.

Grafico 6. La distancia entre los dos intervalos lo da el eje x y la altura lo da la funcin como se

est ilustrando

Sea la particin que se forma al hacer dicha subdivisin. Usando

propiedades de la integral tenemos la ecuacin 2.2

Ecuacin 2.2. Se comienza a generalizar la funcin acorde a un intervalo "n", "n-1".

Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos

la ecuacin 2.3

Ecuacin 2.3. Es es la conocida como la Regla del Trapecio mltiple o compuesta.

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4.2 Ejercicio clsico. 4.2.1 Se Calcul el valor exacto de la integral y luego se compar con las aproximaciones obtenidas utilizando la regla de los Trapecios y Simpson para estimar el valor para ocho intervalos de la siguiente integral.

Se realiz la siguiente sustitucin trigonomtrica dando como resultado un valor exacto de la integral.

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4.2.2 Se comenz realizando el mtodo Simpson para calcular la aproximacin a la integral utilizando ocho intervalos. 4.2.2.1 Determinamos que como son 8 intervalos de 0 a 8, por lo tanto la distancia entre los intervalos (h), son de 1 se corrobor en la frmula en el cual la distancia entre intervalos es igual a la ecuacin.

4.2.2.2 Se designaron los siguientes sub-intervalos, [0,2];[2,4];[4,6];[6,8] tomando como valor medio el valor intermedio de cada uno en este caso [1];[3];[5], en la funcin.

4.2.2.3 Luego se calcul la imagen de cada uno de los intervalos y sus valores medios respectivos para identificar los valores en la funcin analizada.

f(a) f(x)

0 1

1 1,41421356

2 2,23606798

3 3,16227766

4 4,12310563

5 5,09901951

6 6,08276253

7 7,07106781

8 8,06225775

Valores intermedios

Valores iniciales o finales

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4.2.2.4 Luego ya, obtenidos las imgenes, reordenamos los intervalos para

aplicarlos en la regla 1/3 del mtodo de Simpson, tomando como un valor inicial, un valor final y un la media aritmtica de estos dos valores. 4.2.2.5. Se remplazo de cada una de las variables en la frmula (ver ecuacin) y el resultado se tabulo en la tabla anexa

Intervalos f(0) 4f(1) f(2) h/3 Valor del rea

[0,2] 1 5,65685425 2,23606798 0,33333333 2,964307409

[2,4] 2,23606798 8,94427191 4,12310563 0,33333333 5,101148504

[4,6] 4,12310563 12,6491106 6,08276253 0,33333333 7,618326266

[6,8] 6,08276253 16,4924225 8,06225775 0,33333333 10,21248093

INTERVALO I

INTERVALO II

INTERVALO III

INTERVALO IV

0 1

2 2,23606798

4 4,12310563

6 6,08276253

1 1,41421356

3 3,16227766

5 5,09901951

7 7,07106781

2 2,23606798

4 4,12310563

6 6,08276253

8 8,06225775

Valores intermedios

Valores iniciales o finales

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4.2.3 Se comenz realizando el mtodo de los trapecios para calcular la aproximacin a la integral utilizando ocho intervalos. 4.2.3.1 Determinamos que como son 8 intervalos de 0 a 8, por lo tanto la distancia entre los intervalos (h), son de 1 se corrobor en la frmula en el cual la distancia entre intervalos es igual a la ecuacin

4.2.3.2 Se designaron los siguientes sub-intervalos, [0,1]; [1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8], como muestra el grafico.

4.2.3.3 Luego se calcul la imagen de cada uno de los intervalos y se procedi a tabular dejando as la tabla anexa

Intervalos f(x)

0 1

1 1,41421356

2 2,23606798

3 3,16227766

4 4,12310563

5 5,09901951

6 6,08276253

7 7,07106781

8 8,06225775

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4.2.3.4 Se procedi a calcular y tabular los valores y los resultados de las reas en la siguiente ecuacin del mtodo de los trapecios simple, dejando en claro que (a) es el termino inicial y (b) el termino final.

Intervalo a b b-a f(a) f(b) Valor de rea

[0-1] 0 1 1 1 1,41421356 1,207106781

[1-2] 1 2 1 1,41421356 2,23606798 1,82514077

[2-3] 2 3 1 2,23606798 3,16227766 2,699172819

[3-4] 3 4 1 3,16227766 4,12310563 3,642691643

[4-5] 4 5 1 4,12310563 5,09901951 4,61106257

[5-6] 5 6 1 5,09901951 6,08276253 5,590891022

[6-7] 6 7 1 6,08276253 7,07106781 6,576915171

[7-8] 7 8 1 7,07106781 8,06225775 7,56666278

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4.3 Ejercicio no clsico. 4.3.1 Al intentar resolver esta integral, nos dimos cuenta que no se puede resolver mediante los mtodos de integracin tradicionales, por lo cual, se analiz mediante una calculadora de integrales online (wolfram alpha).

Result un valor aproximado dado en la imagen anexa

4.3.2 Luego analizamos la grafica de funcin a integrar con el programa computacional "Graph" para comparar los resultados para su mejor anlisis dando los datos a continuacin.

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4.3.3 Para facilitar el clculo y la posterior estudio de los mtodos de Trapecios y Simpson se calcul la misma integral entre los intervalos [0-1,6] dando como resultado el rea que muestra el grfico.

4.3.4 Resolucin por el mtodo de los trapecios 4.3.4.1 Se tomaran 8 intervalos por lo cual se procedi a calcular la distancia entre los puntos mediantes la ecuacin anexa.

4.3.4.2 Se tomaron los intervalos que muestra en la figura y se procedi a calcular su rea correspondiente en cada intervalo entregando as la sumatoria de las areas con sus respectivos intervalos.

Intervalo a b b-a f(a) f(b) rea

[0-0,2] 0 0,2 0,2 0 0,03998933 0,003998933

[0,2-0,4] 0,2 0,4 0,2 0,03998933 0,15931821 0,019930754

[0,4-0,6] 0,4 0,6 0,2 0,15931821 0,35227423 0,051159244

[0,6-0,8] 0,6 0,8 0,2 0,35227423 0,59719544 0,094946967

[0,8-1] 0,8 1 0,2 0,59719544 0,84147098 0,143866643

[1-1,2] 1 1,2 0,2 0,84147098 0,99145835 0,183292933

[1,2-1,4] 1,2 1,4 0,2 0,99145835 0,92521152 0,191666987

[1,4-1,6] 1,4 1,6 0,2 0,92521152 0,54935544 0,147456696

rea total 0,836319157

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4.3.5 Mtodo de Simpson

4.3.5.1 Se tomaron valores promedios entre los intervalos asignando as

a como valor inicial, un como valor final y dejando el promedio entre ellos dos como una variable como muestra la tabla anexa

Intervalo x(0) x(1) x(2)

[0-0,4] 0 0,2 0,4

[0,4-0,8] 0,4 0,6 0,8

[0,8-1,2] 0,8 1 1,2

[1,2-1,6] 1,2 1,4 1,6

4.3.5.2 Se procedi a ingresar las variables de la frmula de la regla 1/3 simple de Simpson dando como resultado las areas por intervalo y la sumatoria de las areas por intervalo como muestra la tabla anexa

Intervalo f(0) 4f(1) f(2) h/3 Valor de rea

[0-0,4] 0 0,15995734 0,15931821 0,06666667 0,021285036

[0,4-0,8] 0,15931821 1,40909693 0,59719544 0,06666667 0,144374039

[0,8-1,2] 0,59719544 3,36588394 0,99145835 0,06666667 0,330302515

[1,2-1,6] 0,99145835 3,70084608 0,54935544 0,06666667 0,349443991

rea total 0,845405581

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5.CONCLUSIONES.

5.1 Los mtodos de clculo de integrales denominados, Mtodo de trapecio

y Simpson. Son tiles para resolver aquellas integrales que no se pueden

solucionar de manera simple , a travs de los mtodos clsicos o tradicionales.

5.2 Se debe tener presente que ambos mtodos de aplicacin no son

exactos en su resultado pero si son bastante aproximados, eso es debido a que

se demostr en este trabajo con los ejercicios que hay pequeos espacios en

la grafica que no se tomaron en cuenta para efectos de calculo con estos

mtodos, tambin se establecido que a travs de efectuar mayores divisiones

en el desarrollo del clculo las prdidas se minimizan y por consiguiente arroja

mayor precisin el resultado final

5.3 Al comparar el resultado de la integral clsica podemos decir que ha resultado ms exacto el mtodo de Simpson ya que se realiza ms subdivisiones dando como resultado el siguiente cuadro comparativo de la

integral estudiada

.

Area real de la integral exacta 2,9578

Mtodo de trapecio 3,03224755

Mtodo de Simpson 2,96430741

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6.REFERENCIAS

http://plato.stanford.edu/entries/leibniz/ http://www.slideshare.net/mat7731/interpolacion-lagrange

https://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.wordpress.com/tag/funcion-error/

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