Calculo Numerico Ultima
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CÁLCULO NUMÉRICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA RENÉ ZÚÑIGA FLORES UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA
1
INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA Teorema 1: Si F es una función continua sobre un intervalo cerrado ;a b , entonces existen números 1x
y 2x tales que 1 ;x a b , 2 ;x a b y
1( ) ( ) ;F x F x cuando x a b
y 2( ) ( ) ;F x F x cuando x a b
La gráfica siguiente muestra lo que dice este teorema.
a b1x 2xx
1( )F x
2( )F x
( )F x
( )y F x
Este teorema nos dice que si una función F es continua sobre un intervalo cerrado, entonces
( )F x alcanza un valor máximo y un valor mínimo en el intervalo. Teorema 2: (Teorema de Rolle) Sea F una función tal que: i) F es continua sobre un intervalo cerrado ;a b
ii) F es derivable sobre el intervalo abierto ;a b
iii) ( ) ( ) 0F a F b Entonces existe un número c tal que a c b y '( ) 0F c Gráficamente este teorema se ve así:
a bc
( )y F x
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2
Teorema 3: (Teorema del valor medio para derivadas) Sea F una función con las propiedades de que: i) F sea continua sobre un intervalo cerrado ;a b
ii) F sea derivable sobre el intervalo abierto ;a b
Entonces existe un número c tal que: a c b y
( ) ( )
'( )F b F a
F cb a
Una variante del teorema del valor medio es el siguiente teorema. Teorema 4: Supongamos que ( , ) / ( )F x y y F x es una función continua en el intervalo cerrado
;a b y que '( )F x existe en el intervalo abierto ;a b entonces existe un número c tal que
a c x y ( ) ( ) ( ) '( ), ;F x F a x a F c x a b
Para realizar una extensión del teorema del valor medio, consideremos el caso de una función polinómica en la forma siguiente: Supongamos que ( )F x es un polinomio de grado n , lo que podemos en la forma siguiente: 2 3
0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnF x c c x a c x a c x a c x a
Donde 0 1 2 3, , , , , nc c c c c son números reales y 0nc . Si derivamos obtenemos los siguientes
resultados para las n primeras derivadas de ( )F x .
2 2 11 2 3 1'( ) 2 ( ) 3 ( ) ( 1) ( ) ( )n n
n nF x c c x a c x a n c x a nc x a
3 22 3 1''( ) 2 2 3 ( ) ( 2) 1 ( ) ( 1) ( )n n
n nF x c c x a n n c x a n nc x a
(3) 4 33 1( ) 2 3 ( 3)( 2)( 1) ( ) ( 2)( 1) ( )n n
n nF x c n n n c x a n n nc x a
. . .
( ) ( ) 2 3 4 5 2 1nnF x n n nc
Si evaluamos ( )F x y sus n para x a se obtienen los siguientes resultados:
(1) (2) (3) (4)0 1 2 3 4
( 1) ( )1
( ) ; ( ) ; ( ) 2! ; ( ) 3! ; ( ) 4!
( ) ( 1)! ; ( ) !n nn n
F a c F a c F a c F a c F a c
F a n c F a n c
De estas igualdades podemos obtener los coeficientes del polinomio, es decir,
(1) (2) (3) ( )0 1 2 3
1 1 1( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
2! 3! !n
nc F a c F a c F a c F a c F an
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3
Si sustituimos estos valores en ( )F x se obtiene:
2(1) (2) (3) 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2! 3! !
nnF x F a F a x a F a x a F a x a F a x an
Este resultado da lugar al siguiente teorema: Teorema 5: Si ( , ) / ( )F x y y F x es una función polinómica de grado n , entonces para cualquier
número real a se tiene:
2(1) (2) (3) 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2! 3! !
nnF x F a F a x a F a x a F a x a F a x an
Teorema 6: Si ( , ) / ( )F x y y F x es una función tal que ( ) ( )nF a existe y si ( , ) / ( )n nP x y y P x es
una función polinómica de grado n tal que: ( ) ( )( ) ( ), ( ) , 1,2,3, ,i i
n n nP a F a P a F i n
entonces
2(1) (2) (3) 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2! 3! !
nnnP x F a F a x a F a x a F a x a F a x a
n
Ejemplo 1: Verifique que:
2 3
( ) 12! 3! !
n
n
x x xP x x
n
es un polinomio de Taylor de grado n de ( ) xF x e en 0x Ejemplo 2:
Encuentre el polinomio de Taylor de grado n de ( ) sin( )F x x en 6
x
Solución: Analicemos los siguientes cálculos.
( ) sin( )F x x 1
sin6 6 2
F
(1) ( ) cos( )F x x (1) 13 sin
6 2 6 2F
(2) ( ) sin( )F x x (2) 1 2sin
6 2 6 2F
(3) ( ) cos( )F x x (3) 1 33 sin
6 2 6 6F
(4) ( ) sin( )F x x (4) 1 4sin
6 2 6 2F
. . . . . .
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4
( ) ( ) sin2
n nF x x
( ) sin6 6 2
n nF
Por tanto
2(1) (2) (3) 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2! 3! !
nnnP x F a F a x a F a x a F a x a F a x a
n
2(1) (2) ( )1 1
( )6 6 6 2! 6 6 ! 6 6
nn
nP x F F x F x F xn
2 3 sin1 1 1 1 6 2
( ) 3 32 2 6 4 6 12 6 ! 6
n
n
n
P x x x x xn
Supongamos que ( )nP x es un polinomio de Taylor de grado n de ( )F x en a . Una pregunta
importante es: ¿Qué tanto se aproxima ( )nP x a ( )F x para valores de x diferente de a ?. Esto es,
¿cuál es el valor de 1 1( ) ( )nF x P x , para 1x a ?. Debemos esperar que 1 1( ) ( )nF x P x sea pequeño
para 1x próxima a a . El siguiente teorema nos soluciona este problema con respecto a esta
diferencia Teorema 7: (Teorema de Taylor con residuo) Si ( , ) / ( )F x y y F x es una función con la propiedad de que n es un entero positivo,
( )nF es continua en el intervalo cerrado ;a b y si ( 1) ( )nF x existe en el intervalo abierto
;a b , entonces para ;x a b existe un número z tal que a z x y
2(1) (2) (3) 3 ( )1
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2! 3! !
nnnF x F a F a x a F a x a F a x a F a x a R x
n
donde
( 1)
1
1
( )( )
( 1)!
nn
n
F zR x x a
n
para x a y 1( ) 0nR x para x a
Ejemplo 3:
Desarrolle ( ) sin( )F x x en potencias de 6
x
aplicando el teorema anterior (7).
Solución: Utilizando el resultado del ejemplo 2 se tiene:
2 3
1
sin1 1 1 1 6 2
sin( ) 3 3 ( )2 2 6 4 6 12 6 ! 6
n
n
n
x x x x x R xn
donde,
1( 1)1
1
1sin
2( )( ) ;
( 1)! 1 ! 6 6
nnn
n
nz
F zR x x a x z x
n n
Como se puede observar este resultado es válido para 6
x
dado que por las condiciones del
teorema ( )nF es continua y además ( 1) ( )nF x existe.
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Ejemplo 4: Utilizando el resultado del ejemplo 3 calcular una aproximación del valor de sin 31
Solución:
Como 31 31
31 sin(31 ) sin180 180
2
1
sin31 1 1 31 1 31 31 316 2
sin 3180 2 2 180 6 4 180 6 ! 180 6 180
n
n
n
Rn
2 3
1
sin31 1 1 1 1 316 2
sin 3 3180 2 2 180 4 180 12 180 ! 180 180
n
n
n
Rn
donde;
1
1
1sin
231 31 31;
180 1 ! 180 6 6 180
n
n
nz
R zn
Como sin( ) 1u , entonces podemos deducir que:
1
1
31 1 31
180 1 ! 180 6
n
nRn
Si por ejemplo tomamos 4n , entonces
2 3 4
5
31 1 1 1 1 1 31sin 3 3
180 2 2 180 4 180 12 180 240 180 180R
5
31 31sin 0,5150380749
180 180R
donde
5
111
31 11,3496 10
180 5! 180nR
sin(31 ) 0,515038075 , este valor es correcto al menos hasta la novena cifra decimal. Como podemos observar 1( )nR x representa el error cometido cuando el polinomio ( )nP x se usa
para aproximar ( )F x para cualquier valor permitido de x . En algunos casos es posible para un valor
dado 1x de x escoger a y n de tal manera que si 1a z x entonces el valor absoluto de 1( )nR x
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es menor que un error permitido o un número especificado . Supongamos que existe un número
positivo M tal que ( 1)1( )nF x M entonces la expresión del residuo nos quedaría así:
1
1 1 1( )1 !
n
n
MR x x a
n
Si podemos escoger a n de tal manera que
1
11 !
nMx a
n
entonces 1( )nP x aproxima 1( )F x de tal manera que
1 1( ) ( )nP x F x
es decir que 1( )nP x difiere de 1( )F x por una cantidad menor que
Derivación Numérica Las fórmulas para la derivación numérica se pueden deducir a través del Teorema de Taylor con resto, que a continuación se enuncia. Teorema 1. (Teorema de Taylor con resto) Si la función f y sus 1n
primeras derivadas son continuas en el intervalo cerrado ;a b ,
entonces
2 3(3) ( )1 1 1( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ( )
2! 3! !
nnnf x f a f a x a f a x a f a x a f a x a R x
n
donde;
1( 1)1
( ) ( ) ; ;1 !
nnnR x f c x a c a b
n
Si el soporte es 0 1 2, , , , nx x x x , donde los 1n puntos son igualmente espaciados con
0nb a x xh
n n
, es decir, 0ix x ih con sus respectivas imágenes 0 1( ), ( ), , ( )nf x f x f x
Para el punto ix h el desarrollo de Taylor nos queda así
2 (3) 3 ( )1 1 1( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) (1)
2! 3! !n n
i i i i i i n if x h f x f x h f x h f x h f x h R xn
para 0, 1, 2, , 1i n Dividiendo (1) por h , considerando sólo dos términos en la serie de Taylor y despejando '( )f x se tiene
21 1
1' '' , ;
2!i i i i if x h f x f x h f c h c x x h
para 0, 1, 2, , 1i n
1'( ) ; 0,1,2, , 1i i if x f x h f x i n
h
0x 1x 2x 3x 1ix ix 1ix 1nx nx
ba h h h h h h
0x 1x 2x 3x 1ix ix 1ix 1nx nx
ba hh hh hh hh hh hh
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El error cometido por este procedimiento es 1
1''
2f c h . Como no se conoce exactamente el valor de
1c , en la practica esta fórmula para el error no es de utilidad, por lo que sólo se dice que el error es
proporcional a h , que se denotará por ( )O h . Para un valor en particular por ejemplo si 0i se tiene:
0 0 0 1 0
1 1'( )f x f x h f x f x f x
h h
También en forma similar se obtiene para el punto ix h el desarrollo de Taylor
2 (3) 3 ( )1 1 1( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) (2)
2! 3! !n n
i i i i i i n if x h f x f x h f x h f x h f x h R xn
Dividiendo (2) por h , considerando sólo dos términos en la serie de Taylor y despejando '( )f x se tiene
22 2
1' '' , ; (2)
2!i i i i if x h f x f x h f c h c x h x
para 1, 2, 3, ,i n
1'( ) ; 1,2,3, ,i i if x f x f x h i n
h
Para un valor en particular por ejemplo si 1i se tiene:
1 1 1 1 0
1 1'( )f x f x f x h f x f x
h h
Sin embargo una mejor aproximación para '( )f x se obtiene si se consideran 3 términos de la serie de Taylor en la forma siguiente.
2 (3) 31 1
2 (3) 32 2
1 1( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ; ; (3)
2! 3!1 1
( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ; ; (4)2! 3!
i i i i i i
i i i i i i
f x h f x f x h f x h f c h c x x h
f x h f x f x h f x h f c h c x h x
Dividiendo (3) y (4) por h y luego restando (4) de (3) y despejando '( )f x se obtiene:
21'( ) ; 1,2,3, , 1 ; ( )
2i i if x f x h f x h i n O hh
Usando los desarrollos de Taylor de ( )f x h y ( 2 )f x h se encuentra la llamada fórmula de diferencia adelantada de tres puntos que es:
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8
21
'( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 2 ) '''( )2 3
hf x f x f x h f x h f c
h
Reemplazando h por h en la expresión anterior se obtiene la fórmula de diferencia retrasada de tres puntos
21
'( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 2 ) '''( )2 3
hf x f x f x h f x h f c
h
De todas estas, la fórmula de diferencia centrada es la que tiene, en principio, menor error de truncación y la que requiere menos evaluaciones de la función, siendo por lo tanto más eficiente desde el punto de vista computacional. Utilizando el valor de la función en más puntos se construyen fórmulas más precisas para las derivadas. Alguna de ellas se muestra en la tabla siguiente junto con las que hemos deducido ya.
2
2
4
Fórmulas para calcular primeras derivadas
( ) ( )1. '( ) ( )
12. '( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 2 ) ( )
21
3. '( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 2 ) ( )21
4. '( ) ( 2 ) 8 ( ) 8 ( ) ( 2 ) ( )12
f x h f xf x O h
h
f x f x f x h f x h O hh
f x f x f x h f x h O hh
f x f x h f x h f x h f x h O hh
Como ejemplo, si aplicamos estas fórmulas al problema de encontrar la derivada de
( ) arctan( )f x x en 2x y comparar así su funcionamiento en un caso práctico con 0,1h , se
encuentran los siguientes resultados y comparando con el valor exacto el cual es 1
'( 2)3
f
Puntos Tipo
Dos puntos Adelantada
Tres puntosadelantada
Tres puntosretrasada
Cinco puntos centrada
Resultado 0,318220 0,33220 0,331994 0,3333330608 Error 21,5 10 31,1 10 31,3 10 72,7 10
Para obtener una aproximación de la segunda derivada ''( )if x , consideremos la serie de Taylor con
cuatro términos, obteniendo
2 (3) 3 (4) 41 1
1 1 1( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ; ; (5)
2! 3! 4!i i i i i i if x h f x f x h f x h f x h f c h c x x h
2 (3) 3 (4) 41 1
1 1 1( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ; ; (6)
2! 3! 4!i i i i i i if x h f x f x h f x h f x h f c h c x h x
Dividiendo (5) y (6) por 2h , sumando y despejando ''( )if x se obtiene:
22
1''( ) ( ) 2 ( ) ( ) , 1,2,3, , 1 ; ( ) (7)i i i if x f x h f x f x h i n O h
h
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Podemos obtener, de la fórmula anterior, una aproximación para la cuarta derivada ( ) ( )ivif x . Para
esto basta reemplazar f por ''f y ''f por ( )ivf en la fórmula (7), obteniendo la siguiente aproximación:
( )2
1( ) ''( ) 2 ''( ) ''( ) , 2,3, , 1 ; (8)iv
i i i if x f x h f x f x h i nh
Procediendo de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen diferentes puntos y aproximaciones para derivadas de orden superior. La tabla siguiente presenta algunas de las fórmulas más comunes para calcular derivadas de orden superior.
2
2
42
Fórmulas para calcular segundas derivadas
11. ''( ) ( 2 ) 2 ( ) ( ) ( )
12. ''( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
13. ''( ) ( 2 ) 16 ( ) 30 ( ) 16 ( ) ( 2 ) ( )
12
f x f x h f x h f x O hh
f x f x h f x f x h O hh
f x f x h f x h f x f x h f x h O hh
( )4
( ) 24
Fórmulas para calcular cuartas derivadas
11. ( 4 ) 4 ( 3 ) 6 ( 2 ) 4 ( ) ( ) ( )
12. ( 2 ) 4 ( ) 6 ( ) 4 ( ) ( 2 ) ( )
iv
iv
f f x h f x h f x h f x h f x O hh
f f x h f x h f x f x h f x h O hh
Aplicación de la Derivada Numérica Recordemos que la primera, segunda y cuarta derivada aproximada según el desarrollo de Taylor son:
1. 1'( ) ( ) ( ) ; 1,2,3, , 1
2 i if x f x h f x h i nh
2. 2
1''( ) ( ) 2 ( ) ( ) ; 1,2,3, , 1i i if x f x h f x f x h i n
h
3. ( )2
1( ) ''( ) 2 ''( ) ''( ) ; 1,2,3, , 1iv
i i if x f x h f x f x h i nh
En ingeniería es frecuente encontrar problemas cuya solución está expresada en un problema de contorno dado por: ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) (1)y x p x y x q x y x f x Con las condiciones de frontera 0 0( ) ; ( )n ny x y y x y
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10
Donde 0, ny y son datos conocidos, las funciones ( ), ( ), ( )p x q x f x son continuas en 0; nx x . Para
resolver este tipo de problema podemos estimar los valores de ( )iy x para 1,2,3,..., 1i n , en la
forma siguiente, hacemos 0ix x ih y luego aproximamos ''( )iy x por 1 12
2''( ) i i iy y y
y xh
,
para 1,2,3,...., 1i n .
También podemos estimar 1 1'( )2
i ii
y yy x
h
, reemplazando estas aproximaciones en la ecuación
(1) se obtiene: 2 2
1 12 4 2 2 2 ; 1,2,3,... 1i i i i i i ihp y h q y hp y h f i n
Ejemplo 1: Para los siguientes problemas de contorno, escriba, no resuelva, el sistema de ecuaciones que permite hallar las soluciones numéricas. a)
2''( ) '( ) ( ) 2
(0) 2 '(0) 0
1 (1) '(1) 1 Use
5
y x xy x y x x
y y
y y h
b)
2''( ) 2 '( ) ( ) 5 10
(0) '(0) 1
1 (1) '(1) 7 Use
5
y x xy x y x x
y y
y y h
Solución: a) Como 0 0( ) (0) 0 ; ( ) (1) 1n ny x y x a y x y x b , luego el intervalo es
0 ;1I , además 1 0
51
5
b ah n
n
, luego el soporte tiene 1n puntos, los cuales
están dados por
0
1 10 0,2 ; 0,1,2,3,4,5
5 5ix x ih i i i i
El soporte será 1 2 3 4
0, , , , 15 5 5 5
Las condiciones de frontera nos quedan así:
' 1 1 0
0 0 0 0( ) (0) ; '( ) '(0) i iy y y yy x y y y x y y
h h
' 1 1( ) (1) ; '( ) '(1) i i n nn n n n
y y y yy x y y y x y y
h h
Del problema las condiciones de frontera son:
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11
1 00 0 1
5 45 4 5
(0) 2 '(0) 0 2 0 9 10 01
5
(1) '(1) 1 1 5 4 11
5
y yy y y y y
y yy y y y y
El resto de las ecuaciones se calculan en la forma siguiente: 2 2
1 12 4 2 2 2 ; 1,2,3,4i i i i i i ihp y h q y hp y h f i
Además ( )i i ip x p x , ( ) 1i iq x q y 2( ) 2i i if x f x
Si 1
11
5i x
2 2 2
0 1 2
0 1 2 0 1 2
1 1 1 1 1 1 12 4 2 1 2 2 2
5 5 5 5 5 5 5
51 98 49 102 10251 98 49
25 25 25 625 25
y y y
y y y y y y
Si 1
22
5i x
2 2 2
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 1 1 2 1 22 4 2 1 2 2 2
5 5 5 5 5 5 5
52 98 48 108 10852 98 48
25 25 25 625 25
y y y
y y y y y y
Si 1
33
5i x
2 2 2
2 3 4
2 3 4 2 3 4
1 3 1 1 3 1 32 4 2 1 2 2 2
5 5 5 5 5 5 5
53 98 47 118 11853 98 47
25 25 25 625 25
y y y
y y y y y y
Si 1
44
5i x
2 2 2
3 4 5
3 4 5 3 4 5
1 4 1 1 4 1 42 4 2 1 2 2 2
5 5 5 5 5 5 5
54 98 46 132 13254 98 46
25 25 25 625 25
y y y
y y y y y y
Por tanto el sistema pedido nos queda en la forma siguiente:
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12
0 1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
0 1
4 5
10251 98 49
25108
52 98 4825118
53 98 4725
13254 98 46
25 9 10 0
5 4 1
y y y
y y y
y y y
y y y
y y
y y
Escrito en forma matricial nos queda en la forma siguiente:
0
1
2
3
4
5
51 98 49 0 0 0 4,08
0 52 98 48 0 0 4,32
0 0 53 98 47 0 4,72
0 0 0 54 98 46 5,28
9 10 0 0 0 0 0
0 0 0 0 5 4 1
y
y
y
y
y
y
b)
2''( ) 2 '( ) ( ) 5 10
(0) '(0) 1
1 (1) '(1) 7 Use
5
y x xy x y x x
y y
y y h
Solución: Como 0 0( ) (0) 0 ; ( ) (1) 1n ny x y x a y x y x b , luego el intervalo es
0 ;1I , además 1 0
515
b ah n
n
, luego el soporte tiene 1n puntos, los cuales
están dados por
0
1 10 0,2 ; 0,1,2,3,4,5
5 5ix x ih i i i i
El soporte será 1 2 3 4
0, , , , 15 5 5 5
Las condiciones de frontera nos quedan así:
' 1 1 0
0 0 0 0( ) (0) ; '( ) '(0) i iy y y yy x y y y x y y
h h
' 1 1( ) (1) ; '( ) '(1) i i n nn n n n
y y y yy x y y y x y y
h h
Del problema las condiciones de frontera son:
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13
1 00 0 1
5 45 4 5
(0) '(0) 1 1 4 5 11
5
(1) '(1) 7 7 5 6 71
5
y yy y y y y
y yy y y y y
El resto de las ecuaciones se calculan en la forma siguiente: 2 2
1 12 4 2 2 2 ; 1,2,3,4i i i i i i ihp y h q y hp y h f i
Además ( ) 2i i ip x p x , ( ) 1i iq x q y 2( ) 5 10i i if x f x
Si 1
11
5i x
2 2 2
0 1 2
0 1 2 0 1 2
1 1 1 1 1 1 12 2 4 2 1 2 2 2 5 10
5 5 5 5 5 5 5
48 98 52 270 27048 98 52
25 25 25 625 25
y y y
y y y y y y
Si 1
22
5i x
2 2 2
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 1 1 2 1 22 2 4 2 1 2 2 2 5 10
5 5 5 5 5 5 5
46 98 54 330 33046 98 54
25 25 25 625 25
y y y
y y y y y y
Si 1
33
5i x
2 2 2
2 3 4
2 3 4 2 3 4
1 3 1 1 3 1 32 2 4 2 1 2 2 2 5 10
5 5 5 5 5 5 5
44 98 56 430 43044 98 56
25 25 25 625 25
y y y
y y y y y y
Si 1
44
5i x
2 2 2
3 4 5
3 4 5 3 4 5
1 4 1 1 4 1 42 2 4 2 1 2 2 2 5 10
5 5 5 5 5 5 5
42 98 58 570 57042 98 58
25 25 25 625 25
y y y
y y y y y y
Por tanto el sistema pedido nos queda en la forma siguiente:
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14
0 1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
0 1
4 5
27048 98 52
25330
46 98 5425430
44 98 5625
57042 98 58
25 4 5 1
5 6 7
y y y
y y y
y y y
y y y
y y
y y
Escrito en forma matricial nos queda en la forma siguiente:
0
1
2
3
4
5
48 98 52 0 0 0 10,8
0 46 98 54 0 0 13,2
0 0 44 98 56 0 17,2
0 0 0 42 98 58 22,8
4 5 0 0 0 0 1
0 0 0 0 5 6 7
y
y
y
y
y
y
Integración Numérica
En este tema se pretende dar una aproximación numérica del valor de una integral ( )b
af x en los
distintos problemas que se presentan en la práctica, como son: Conocida una primitiva ( )F x de la función ( )f x sabemos que
( ) ( ) ( )b
af x F b F a
pero necesitamos aproximar el valor de ( ) ( )F b F a Ejemplo 2:
2
21
1
1ln( ) ln(2) ln(1) ln(2)dx x
x , pero se debe aproximar el valor de ln(2)
Si se conoce la función ( )f x , pero no se conoce ninguna primitiva, se busca otra función ( )g x que aproxime la función ( )f x de la cual si se conocen las primitivas
Ejemplo 3:
2
1
xedx
x , se desarrolla en serie de potencias
2
11 12! !( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )2 !
n
x nx x
xe x xnf x x x g x xx x x n
para obtener 2 2 2
1 1 1( ) ( ) ( )f x dx g x dx x dx en donde habrá que evaluar
2
1( )x dx
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15
Sólo se conocen los valores de ( )f x en el soporte 0 1 2, , , , nx x x x , en este caso, se
interpola la función (por ejemplo mediante la interpolación polinómica)
( 1)
0
( )( ) ( )
1 !
( ) ( ) ( )
nnb b b
ia a a
i
b b b
a a a
f cf x dx P x dx x x dx
n
f x dx P x dx x dx
Si realizamos la interpolación de Lagrange, y llamamos 0 1( ) ( )( ) ( )nz x x x x x x x , el
polinomio de interpolación viene dado por 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nP x y L x y L x y L x en donde los
polinomios de Lagrange ( )iL x pueden expresarse de la forma
( )( )
'( )ii i
z xL x
x x z x
Además,
0 0 0
( ) ( ) ( )n n nb b b
n i i i i i ia a a
i i i
P x dx y L x dx y L x dx a y
Donde los coeficientes ( )b
i ia
a L x dx no dependen de la función, sino sólo del soporte.
Además, si f es un polinomio de grado no superior a n , ( ) 0x , por lo que para polinomios es
0
( ) ( )nb
i ia
i
P x dx a P x
Las formas más generalizadas de aproximación de la integral de una función ( )f x se realizan mediante uno de los dos siguientes procesos.
Dando un soporte (generalmente regular) y los valores de la función en los puntos del soporte. Fórmulas de Newton-Cötes.
Dando diferentes soportes y buscando el polinomio ( )P x que hace más pequeña la integral
( ) ( )b
af x P x dx
Fórmulas de Gauss que no se verán en este curso.
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16
Fórmula del trapecio Corresponde ésta al caso en que la función f se aproxima en cada subintervalo 1,i ix x ,
1,2,3, ,i n , como se muestra en la figura siguiente
0x 1x 2x 3x1ix ix 1nx nx
1A2A
3A
iA nA
Para calcular el área en forma aproximada debemos calcular el área de n trapecios que se forman de la siguiente manera:
0 11
1 22
2 33
1
1
( ) ( )
2
( ) ( )
2
( ) ( )
2
( ) ( )
2
( ) ( )
2
i ii
n nn
f x f xA h
f x f xA h
f x f xA h
f x f xA h
f x f xA h
Sumando estas áreas se obtiene:
1
01 1
2 ( ) ( )2
n n
T i i ni i
hA A f x f x f x
Por tanto el área bajo la curva en forma aproximada será:
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17
0
1
0
1
( ) ( ) ( ) 2 ( )2
nnx
n ix
i
hf x dx f x f x f x
Esta fórmula se conoce como la Regla del Trapecio cuando se considera n impar. El error que se comete cuando se aplica esta regla es dado por:
0
3
02
; ''( )12 n
n
x x x
x x ME M máx f x
n
Fórmula de Simpson
Para determinar el área bajo la curva consideremos tres puntos, 0 1 2, ,P P P como se muestra en la
figura siguiente:
La curva que pasa por estos tres puntos es una parábola de la forma 2( )K x Ax Bx C , por tanto el área bajo la curva es dada por:
3 2
2
2
( )3 2
( ) 2 63
h h
x hx h
h h
h
h
Ax BxK x dx Ax Bx C dx Cx
hK x dx Ah C
Por otra parte si evaluamos cada uno de estos puntos se obtiene lo siguiente:
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18
Para 20 0 0,P h y y Ah Bh C (1)
Para 1 1 1(0, )P y y C (2)
Para 22 2 2( , )P h y y Ah Bh C (3)
Si multiplicamos (2) por cuatro y sumamos estas tres igualdades se obtiene: 2
0 1 24 2 6y y y Ah C
Por tanto el área la podemos expresar como:
20 1 2( ) 2 6 4
3 3
h
h
h hK x dx Ah C y y y
En forma análoga podemos calcular el área entre los puntos 2 3 4, ,P P P , obteniendo:
2 3 443
hy y y
Por tanto el área aproximada de:
0
0
0 1 2 2 3 4 2 1
2 1
0
( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )3
( ) 23
n
n
x
n n nx
n nx
n i ix
i par i impares
hf x dx y y y y y y y y y
hf x dx y y y y
Regla de Simpson para n par
0
2 1
0
2 1
( ) 2 43
nn nx
n i ix i i
i par i impar
hf x dx f f f f
Error de la regla de Simpson:
0
5
0 ( )4
; ( )180 n
n iv
x x x
x x ME M máx f x
n
Ejemplo 4: Un arquitecto planea utilizar un arco de forma parabólica, dada por 23 0,1y x x metros, donde y es la altura desde el piso y x está dada en metros. a) Usando la regla de Simpson con 10n , calcular la longitud total del arco. b) Usando la Regla del Trapecio, con 10n , calcular la longitud total del arco.
Usar: 21 '( )
b
a
L y x dx
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19
Solución: Observemos la gráfica de la ecuación dada. Calculemos la intersección con el eje X
20 3 0,1 0 0 30y x x x x La derivada de y es dada por
2 2'( ) 3 0,2 '( ) 9 1,2 0,04y x x y x x x
Por tanto la longitud del arco es: 30
2
0
10 1,2 0,04L x x dx
Como 30 0
10 310
b an h
n
,
además 0 0 3 3 ; 0,1,2,....10i ix x ih i x i i , podemos construir la siguiente tabla.
i Xi f(Xi)0 0 3,162277661 3 2,6 2,62 6 2,05912603 2,059126033 9 1,56204994 1,562049944 12 1,16619038 1,166190385 15 1 16 18 1,16619038 1,166190387 21 1,56204994 1,562049948 24 2,05912603 2,059126039 27 2,6 2,6
10 30 3,1622776622,099288 6,45063281 9,32409987
a) Aplicando el método de Simpson se tiene:
0
2 1
0
2 1
( ) 2 43
nn nx
n i ix i i
i par i impar
hf x dx f f f f
30
0
3( ) 3,16227766 3,16227766 2(6,45063281) 4(9,3240998)
3
56,52222014
f x dx
L
Luego la longitud del arco es aproximadamente 56,52222014 metros. b) Aplicando el método del Trapecio
0
0
1
( ) 22
nnx
n ix
i
hf x dx f f f
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20
30
0
3( ) 3,16227766 3,16227766 2(22,099288)
2
75,78469698
f x dx
L
El valor exacto de 30
2
0
10 1,2 0,04 56,52639720L x x dx
Ejemplo 5: Dada la tabla de valores
Calcular 2 2( ) 9
R
g x x y dydx , donde R es la limitada por las curvas x y , 1x . Para la
integral en la variable y , usar el método de Simpson con 6n y para la variable x aproximar la
integral la integral usando el método del trapecio con una precisión de 35 10 (para aproximar la derivada usar 0,1h ) Solución: a) La grafica de la Región R se muestra en la figura adjunta Sea
2 2
12 2
0
( ) 9
( ) 9
R
x
x
I g x x y dydx
I g x x y dy dx
Sea
2 21 9
66 3
; 0,1,2,....,63
x
x
i
I x y dy
x x xn h
xy x i i
Formemos la siguiente tabla:
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 ( )f x 0.001 0.011 0.014 0.019 0.026 0.035 0.046 0.059 0.074 0.091 0.108
y x
y x
1x
y x
y x
1x
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21
2 1
0
2 1
2 2 2 21
2 31
( ) 2 ( , 4 ( , )3
10 10 2(4 ) 4(11 )9
72 89
n nx
n i ix
i ii par i impar
hf x dx f f f x y f x y
xI x x x x
xI x x
Luego
1 1
2 2 3
0 0
( ) 9 8 ( )x
x
I g x x y dy dx x g x dx
b) Sea
1
32
0
8 ( )I x g x dx
Para la precisión 35 10 , el error del método del trapecio es:
0
3
02
; ''( )12 n
n
x x x
x x ME M máx f x
n
0
3
3 32
1 0''( ) 5 10 ; ( ) ( )
12 nx x xE máx f x f x x g x
n
Para calcular la aproximación de ''( )f x con 0,1h de la tabla dada se tiene:
0,0 0,001 0,0000000,1 0,011 0,000011 0,0090,2 0,014 0,000112 0,0300,3 0,019 0,000513 0,0750,4 0,026 0,001664 0,1560,5 0,035 0,004375 0,2850,6 0,046 0,009936 0,4740,7 0,059 0,020237 0,7350,8 0,074 0,037888 1,0800,9 0,091 0,066339 1,3211,0 0,108 0,108000
ix ig x 3( )i if x x g x ''( )if x
i iy ( , )if x y
0 x 210x 1 2 / 3x 25x 2 1 / 3x 22x 3 0 2x 4 / 3x 22x 5 2 / 3x 25x 6 x 210x
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22
1 12
1''( ) 2 ; 1,2,3,....,9i i i if x f x f x f x i
h
0 1
''( ) 1,321x
máx f x
Por tanto
0
3
3 3 22 2 3
3
1 0 1 1,321''( ) 5 10 1,321 5 10
12 12 12 5 10
1,321 104,6921 5
12 5
nx x xmáx f x n
n n
n n
Para calcular 1
32
0
8 ( )I x g x dx , con 5n , entonces
1 0 10,2 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;1,0
5 5h
Formando la siguiente tabla de valores se tiene:
0 0,0 0,001 0,0000001 0,2 0,014 0,000112 0,0001122 0,4 0,026 0,001664 0,0016643 0,6 0,046 0,009936 0,0099364 0,8 0,074 0,037888 0,0378885 1,0 0,108 0,108000
0,049600
iix 3( )i if x x g x ig x
Según el método del trapecio se tiene:
13
2 00
1
13
20
8 ( ) 22
0,28 ( ) 0 0,108 2(0,0496) 0,02072
2
n
n i
i
hI x g x dx f f f
I x g x dx
Por último el valor pedido es:
1
2 22
0
( ) 9 8 8 0,02072 0,16576x
x
I g x x y dy dx I