Julieta Marina Castañeda Bringas

SISTEMAS NUMÉRICOS Desde tiempos remotos el hombre

comenzó a desarrollar diferentes sistemas matemáticos con su correspondiente base numérica para satisfacer sus necesidades de cálculo. Los sistemas numéricos más antiguos son:

Babilónico• El sistema numérico babilónico tenía

base 60 y en la actualidad de éste sólo quedan en uso los grados, horas, minutos y segundos.

Romano• El romano, por su parte, era el más atrasado de todos. De ese sistema actualmente sólo se utilizan sus números (I, V, X, L, C, D y M) para señalar las horas en las esferas de algunos relojes, indicar los capítulos en los libros y, en otros casos para hacer referencia a un determinado año.

Hindú y Árabe

• Sin embargo, el sistema numérico hindú y árabe sí han llegado hasta nuestros días; es lo que conocemos como sistema numérico decimal (de base 10), siendo el de uso más extendido en todo el mundo. Tal como indica su prefijo (deci), este sistema utiliza 10 dígitos, del 0 al 9, con los cuales podemos realizar cualquier tipo de operación matemática.

Desde el comienzo de nuestra instrucción primaria en la escuela nos enseñan las matemáticas correspondientes al sistema numérico decimal, que continuamos utilizando durante el resto de nuestras vidas para realizar lo mismo cálculos simples que complejos. Debido al extendido uso del sistema decimal muchas personas desconocen la existencia de otros sistemas numéricos como, por ejemplo, el binario (de base 2), el octal (de base 8) y el hexadecimal (de base 16), entre otros.

BASE NUMÉRICA DÍGITOS EMPLEADOS CANTIDAD TOTAL DE DÍGITOS

Binaria(2) 0 y 1 2

Octal(8) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 8

Decimal(10) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 10

Hexadecimal(16) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F

16

A continuación se puede apreciar la cantidad de dígitos diferentes que emplea un sistema numérico en particular, de acuerdo con su correspondiente base numérica:

Con el surgimiento de los ordenadores o computadoras personales (PCs), los ingenieros informáticos se vieron en la necesidad de adoptar un sistema numérico que le permitiera a la máquina funcionar de forma fiable. Debido a que el sistema numérico decimal resultaba complejo para crear un código apropiado, adoptaron el uso del sistema numérico binario (de base 2), que emplea sólo dos dígitos: “0” y “1”.

Con el sistema binario los ingenieros crearon un lenguaje de bajo nivel o “código máquina”, que permite a los ordenadores entender y ejecutar las órdenes sin mayores complicaciones, pues el circuito electrónico de la máquina sólo tiene que distinguir entre dos dígitos para realizar las operaciones matemáticas y no entre diez, como hubiera sucedido de haberse adoptado el sistema numérico decimal para el funcionamiento de los ordenadores o computadoras.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES Descomposición de un número entero de base 10. Para recordar como se realiza la descomposición en factores

de un número entero perteneciente al sistema numérico decimal (de base 10), veamos un ejemplo con el número 235. Este número está formado por la centena 200, la decena 30 y la unidad 5, tal como se representa a continuación:

235 = 200 + 30 + 5

Para descomponer este número será necesario relacionar cada dígito con el factor 10 de la base numérica y con los exponentes de las potencias que corresponden al lugar específico que ocupa cada uno en la cifra.

Por tanto, matemáticamente la descomposición del número 235 podemos representarla de la siguiente forma:

Descomposición de la centena: 200 = 2 . 102

Descomposición de la decena: 30 = 3 . 101

Descomposición de la unidad: 5 = 5 . 100

  23510 (base)  =  (2 . 102) + (3 . 101) + (5 . 100)  =  (200) + (30) + (5)

CONVERSIÓN DE UN SISTEMA NUMÉRICO A OTRO (Descomposición en factores de un número base 2 (binario) y su conversión a un número equivalente en el sistema numérico decimal. )

Veamos ahora cómo llevamos el número binario 101111012 a su equivalente en el sistema numérico decimal. Para descomponerlo en factores será necesario utilizar el 2, correspondiente a su base numérica  y elevarlo a la potencia que le corresponde a cada dígito, de acuerdo con el lugar que ocupa dentro de la serie numérica. Como exponentes utilizaremos el “0”, “1”, “2”, "3" y así sucesivamente, hasta llegar al "7", completando así la cantidad total de exponentes que tenemos que utilizar con ese número binario.

101111012  =  (1 . 27) + (0 . 26) + (1 . 25) + (1 . 24) + (1 . 23) + (1 . 22) + (0 . 21) + (1 . 20)

                              =  (128) + (0) + (32) + (16) + (8) + (4) + (0) + (1)

                              =  18910

Conversión de un número entero del sistema numérico decimal al sistema de binario.

Seguidamente realizaremos la operación inversa, es decir, convertir un número perteneciente al sistema numérico decimal (base 10) a un número binario (base 2). Utilizamos primero el mismo número 189 como dividendo y el 2, correspondiente a la base numérica binaria del número que queremos hallar, como divisor. A continuación el resultado o cociente obtenido de esa división (94 en este caso), lo dividimos de nuevo por 2 y así, continuaremos haciendo sucesivamente con cada cociente que obtengamos, hasta que ya sea imposible continuar dividiendo. Veamos el ejemplo:

Una vez terminada la operación, escribimos los números correspondientes a los residuos de cada división en orden inverso, o sea, haciéndolo de abajo hacia arriba. De esa forma obtendremos el número binario, cuyo valor equivale a 189, que en este caso será: 101111012 .

SUMA DE NÚMEROS BINARIOSTabla de sumar de números binarios.

Suma consecutiva de números binarios de 1 en 1 hasta completar 10.

Suma de dos números binarios

Sean los números binarios 00102 y 01102

Primer paso

De la misma forma que hacemos cuando sumamos números del sistema decimal, esta operación matemática la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los últimos dígitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:

Segundo paso

Se suman los siguientes dígitos 1 + 1 = 10 (según la tabla), se escribe el “0” y se acarrea o lleva un “1”. Por tanto, el “0” correspondiente a tercera posición de izquierda a derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor “1”.

Tercer paso

Al haber tomado el “0” de la tercera posición el valor “1”, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un “1”, que tendremos que pasar a la cuarta posición del sumando.

Cuarto paso

El valor “1” que toma el dígito “0” de la cuarta posición lo sumamos al dígito “0” del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1.

El resultado final de la suma de los dos números binarios será: 1 0 0 0.

BITS Y BYTES Mediante el uso de este sistema numérico, el ordenador,

que no es otra cosa que una sofisticada calculadora, es capaz de realizar no sólo sumas, sino cualquier otro tipo de operación o cálculo matemático que se le plantee, utilizando solamente los dígitos “1” y “0”.

Seguramente en algún momento habrás oído mencionar las palabras “bit” y “byte”. Bit es el nombre que recibe en informática cada dígito “1” ó “0” del sistema numérico binario que permite hacer funcionar a los ordenadores o computadoras (PCs). La palabra “bit” es el acrónimo de la expresión inglesas Binary DigIT, o dígito binario, mientras que “byte” (o también octeto) es simplemente la agrupación de ocho bits o dígitos binarios.

Para que el ordenador pueda reconocer los caracteres alfanuméricos que escribimos cuando trabajamos con textos, se creó el Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange – Código Estándar Americano para Intercambio de Información), que utiliza los números del 0 al 255. Cada uno de los números del Código ASCII compuestos por 8 dígitos o bits, representan una función, letra, número o signo y como tal es entendido por el ordenador. Por tanto, cada vez que introducimos un carácter alfanumérico en el ordenador éste lo reconoce como un byte de información y así lo ejecuta.

Tanto la capacidad de la memoria RAM como la de otros dispositivos de almacenamiento masivo de datos, imágenes fijas, vídeo o música, se mide en bytes. Cuando nos referimos a grandes cantidades de bytes empleamos los múltiplos: kilobyte (kB) = mil bytes; megabyte (MB) = millón de bytes; gigabyte (GB) = mil millones de bytes y terabyte (TB) = un billón de bytes.

ASÍ FUNCIONAN LOS BITS Y LOS BYTES Cualquier número decimal tiene su equivalente en elsistema numérico binario, el que puede estar < formado porun solo dígito como mínimo, como en el caso del "0" y el "1". A partir del número decimal< “256” la cifra que se obtiene en la conversión al sistema numérico binario adquiere 9 dígitos, lo que < sobrepasa la cantidad requerida para obtener el octeto necesario paraintegrar un byte de información.< Por esa razón el Código ASCII sólocontiene 256 combinaciones posiblespara formar los caracteres< alfanuméricos.

Número Decimal Número Binario Octeto Binario0 0 0000 00001 1 0000 00012 10 0000 00103 11 0000 00114 100 0000 01005 101 0000 01016 110 0000 01107 111 0000 01118 1000 0000 10009 1001 0000 100110 1010 0000 101020 1 0100 0001 010030 1 1110 0001 111040 10 1000 0010 100050 11 0010 0011 001060 11 1100 0011 110070 100 0110 0100 011080 101 0000 0101 000090 101 1010 0101 1010100 110 0100 0110 0100255 1111 1111 1111 1111256  1 0000 0000 - - -

REPRESENTACIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS DECIMALES Y SUS EQUIVALENTES EN BINARIO Y EN OCTETO FORMANDO BYTES

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Semáforo de banderas para la transmisión de mensajes