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MATEMATICAS FINANCIERAS


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TABLA DE CONTENIDO


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OBJETIVOEstudiar y aprender las tcnicas usuales de la Matemtica Financiera, para aplicarlas a la AdministracinPblica.

EJERCICIOS DE MATEMTICAS ELEMENTALES


1. CONCEPTOSFUNDAMENTALES DE

MATEMATICAS FINANCIERASINTRODUCCIN A LAS MATEMTICAS FINANCIERAS

Por. Cesar AchingMichael Parkin, en su obra Macroeconoma dice: El dinero, el fuego y la rueda, han estado con nosotrosdurante muchos aos. Nadie sabe con certeza desde cundo existe el dinero, ni de cul es su origen.En forma similar nos acompaa la matemtica financiera, cuya gnesis est en el proceso de latransformacin de la mercanca en dinero. Segn la teora del valor: el valor solo existe de forma objetiva enforma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como mercanca, en cualquier sistemasocial. Como el sistema financiero est ntimamente ligado a las matemticas financieras, describiremosescuetamente su origen.Por el ao 1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel moneda convertible, primero en China y luego en la Europamedieval, donde fue muy extendido por los orfebres y sus clientes. Siendo el oro valioso, los orfebres lomantenan a buen recaudo en cajas fuertes. Como estas cajas de seguridad eran amplias los orfebresalquilaban a los artesanos y a otros espacios para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo quedaba derecho al depositante para reclamarlo a la vista. Estos recibos comenzaron a circular como medio depago para comprar propiedades u otras mercancas, cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte delorfebre. En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro en custodia y lenace la brillante idea, de prestar a las personas "recibos de depsitos de oro", cobrando por sus servicios uninters; el oro seguira en custodia y solo entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando

EJERCICIOS DE MATEMTICAS ELEMENTALES


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como previsin el no girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo. Se dio cuenta de queintermediando entre los artesanos que tenan capacidad de ahorro en oro y los que lo necesitaban, podaganar mucho dinero. As es la forma en que naci el actual mercado de capitales, sobre la base de un sistemafinanciero muy simple, de carcter intermediario.MATEMTICAS FINANCIERASLa Matemtica Financiera es una derivacin de la matemtica aplicada que estudia el valor del dinero en eltiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o inters, a travs de mtodosde evaluacin que permiten tomar decisiones de inversin. Llamada tambin anlisis de inversiones,administracin de inversiones o ingeniera econmica.Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos odeterminados, informacin razonada, en base a registros tcnicos, de las operaciones realizadas por un enteprivado o pblico, que permiten tomar la decisin ms acertada en el momento de realizar una inversin; conel derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres ymartimos, seguros, corretaje, garantas y embarque de mercancas, la propiedad de los bienes, la forma enque se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, prstamos a inters; con la economa, porcuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podran obtenermayores beneficios econmicos; con la ciencia poltica, por cuanto las ciencias polticas estudian y resuelvenproblemas econmicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manosde los gobiernos. Las matemticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento ainversiones, presupuestos, ajustes econmicos y negociaciones que beneficien a toda la poblacin; con laingeniera, que controla costos de produccin en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa ladeterminacin del costo y depreciacin de los equipos industriales de produccin; con la informtica, quepermite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos econmicos, inversiones ynegociaciones; con la sociologa, la matemtica financiera trabaja con inversiones y proporciona a lasociologa las herramientas necesarias para que las empresas produzcan ms y mejores beneficioseconmicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabajacon activos financieros o ttulos valores e incluyen bonos, acciones y prstamos otorgados por institucionesfinancieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemticas financieras.Por ello, las matemticas financieras son de aplicacin eminentemente prctica, su estudio est ntimamenteligado a la resolucin de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la vida cotidiana, en el mundo de losnegocios. Dinero y finanzas son indesligables.EL DINERO"El dinero es el equivalente general, la mercanca donde el resto de las mercancas expresan su valor, elespejo donde todas las mercancas reflejan su igualdad y su proporcionalidad cuantitativa".Segn la economa habitual, dinero es cualquier cosa que los miembros de una comunidad estn dispuestos aaceptar como pago de bienes y deudas, cuya funcin especfica estriba en desempear la funcin deequivalente general. El dinero surgi espontneamente en la remota antigedad, en el proceso de desarrollodel cambio y de las formas del valor. A diferencia de las otras mercancas, el dinero posee la propiedad de serdirecta y universalmente cambiable por cualquier otra mercanca.


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"Marx procede en este terreno de modo distinto. Cuando analiza el trueque directo de mercancas descubre eldinero en forma germinal.".1. Funciones del dineroFormas concretas en que se manifiesta la esencia del dinero como equivalente general. En la economamercantil desarrollada, el dinero cumple las cinco funciones siguientes: medida del valor". Con el dinero podemos medir, por ejemplo, el patrimonio que tiene cada ciudadano. Y

tambin podemos medir el precio de cada hora de trabajo social medio. De manera que si expresamos elvalor del patrimonio personal en dinero, despus debemos expresar este dinero en horas de trabajo."

medio de circulacin, medio de acumulacin o de atesoramiento, medio de pago y dinero mundial.Siendo su funcin elemental la de intermediacin en el proceso de cambio. El hecho de que los bienes tenganun precio proviene de los valores relativos de unos bienes con respecto a otros.2. Tipos de dinero Dinero mercanca: Consiste en la utilizacin de una mercanca (oro, sal, cueros) como medio para el

intercambio de bienes. La mercanca elegida debe ser: duradera, transportable, divisible, homognea, deoferta limitada.

Dinero signo: Billetes o monedas cuyo valor extrnseco, como medio de pago, es superior al valorintrnseco. El dinero signo es aceptado como medio de pago por imperio de la ley que determina sucirculacin (curso legal). El dinero signo descansa en la confianza que el pblico tiene en que puedeutilizarse como medio de pago generalmente aceptado.

Dinero giral: Representado por los depsitos bancarios.3. La transformacin del dinero en capital"El dinero se transforma en capital cuando con l compramos los factores objetivos y los factores subjetivospara producir riqueza. Los factores objetivos son los medios de produccin y los factores subjetivos son lafuerza de trabajo. Por lo tanto, el dinero como capital se diferencia del dinero como simple dinero por la clasepeculiar de mercancas que compra: medios de produccin y fuerza de trabajo. La economa convencionalslo capta el dinero como medio de cambio, y el dinero que funciona como capital igualmente lo capta comomedio de cambio. Y es cierto que el dinero que circula como capital funciona como medio de cambio. Ladiferencia no estriba, por lo tanto, en la funcin que desempea en el mercado, sino en la clase de mercancasque se compra con l. El dinero como simple dinero se emplea como medio de cambio de medios de consumopersonal, mientras que el dinero como capital se emplea como medio de cambio de medios de produccin yde fuerza de trabajo"...


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4. Sistemas monetariosUn sistema monetario es un conjunto de disposiciones que reglamentan la circulacin de la moneda de unpas.Tradicionalmente, los pases eligieron el oro y la plata como la base de un sistema monetario mono metalista.Cuando adoptaron ambos metales a la vez, se trataba de un sistema bimetalista. Actualmente todas lasdivisas (dlar, Euro, yen, etc.) son dinero fiduciario.En pocas de inflacin, la gente trata de desprenderse inmediatamente del dinero que se desvaloriza y deretener aquellos bienes que conservan su valor.5. Los bancos y el dinero bancarioEl dinero bancario est constituido por los depsitos en los bancos, cajas de ahorro, compaas financieras ocajas de crdito.Los bancos reciben depsitos de sus clientes y conceden prstamos a las familias y a las empresas. Elvolumen de los prstamos concedidos es superior al de los depsitos que mantienen sus clientes.LOS BANCOSAl parecer, la palabra "banco" procede de los que utilizaban los cambistas para trabajar en las plazas pblicasen las ciudades italianas medievales. El oficio de cambista era entonces una profesin muy especializada querequera amplios conocimientos ya que las docenas de pequeos Estados existentes entonces mantenan encirculacin centenares de diferentes monedas que eran aceptadas para el comercio, no por su valor facial,sino por el peso y ley del metal en que se acuaban y que slo un experto discernimiento poda establecer.Evolucin histrica. Como sealbamos en la introduccin, estas instituciones nacen en la Europa medieval,en las Repblicas aristocrticas italianas, Venecia, Gnova, Florencia, a mediados del siglo XII con la finalidadde prestar servicios de depsito. Al multiplicarse los bancos, amplan sus operaciones, agregan la emisin decertificados, antecedentes de nuestros actuales billetes.Juan Fugger fue el iniciador en Alemania de una familia de banqueros y comerciantes que uni su destinoempresarial a la corona. Se constituy en el prestamista de Carlos V. Desde Italia la prominencia comercial ybancaria pas a Holanda y al norte de Europa.En 1605 nace el Banco de Amsterdam, primer banco moderno que no tuvo como todos los bancos italianoscarcter de sociedad familiar o personal. Integrado por comerciantes a causa de la ubicacin geogrfica de suciudad y puerto, fue un factor de primer orden para la economa de Holanda y Alemania.El Banco de Inglaterra fundado en 1694, como consecuencia de los prstamos que otorga, el gobierno leautoriz a emitir billetes.


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CLASES DE BANCOS1. Segn el origen del capital Bancos pblicos: El capital es aportado por el estado. Bancos privados: El capital es aportado por accionistas particulares. Bancos mixtos o Banca Asociada: Su capital proviene de aportes privados y estatales.2. Segn el tipo de operacin Bancos corrientes: Los ms comunes, sus operaciones habituales incluyen depsitos en cuenta

corriente, caja de ahorro, prstamos, cobranzas, pagos y cobranzas por cuentas de terceros, custodia dettulos y valores, alquileres de cajas de seguridad, financiacin, etc.

Bancos especializados: Tienen una finalidad crediticia especfica (Bancos Hipotecarios, Banco Industrial,Banco Agrario).

Bancos de emisin: Actualmente representados por bancos oficiales. Bancos Centrales: Son las casas bancarias de categora superior que autorizan el funcionamiento de

entidades crediticias, las supervisan y controlan.SISTEMA BANCARIO1. Banco CentralEs la autoridad monetaria por excelencia en cualquier pas que tenga desarrollado su sistema financiero. Esuna institucin casi siempre estatal que tiene la funcin y la obligacin de dirigir la poltica monetaria delgobierno.Funciones. Emisin de moneda de curso legal con carcter exclusivo. Es el banco de los bancos. Los bancos comerciales tienen una cuenta corriente en el Banco Central de

igual forma que los individuos tienen las suyas en los comerciales. Es el asesor financiero del gobierno y mantiene sus principales cuentas. Es el encargado de custodiar las reservas de divisas y oro del pas. Es el prestamista en ltima instancia de los bancos comerciales. Determina la relacin de cambio entre la moneda del pas y las monedas extranjeras. Maneja la deuda pblica. Ejecuta y controla la poltica financiera y bancaria del pas.2. Bancos ComercialesDedicados al negocio de recibir dinero en depsito, los cuales los presta, sea en forma de mutuo, dedescuento de documentos o de cualquier otra forma. Son considerados adems todas las operaciones quenatural y legalmente constituyen el giro bancario.


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Funciones Aceptar depsitos. Otorgar adelantos y prstamos.Los depsitos (pasivos) son deudas del banco hacia el pblico, por las cuales el banco paga un inters. Losprstamos (activos) son deudas del pblico al banco, por ellos el banco recibe un inters, la diferencia entreambos constituye la ganancia (spread) que les otorga la actividad de intermediarios financieros.3. Componentes del dinero y creacin monetariaDinero son los billetes y monedas de circulacin legal en un pas, en poder del pblico, ms los depsitosbancarios en cuenta corriente movilizados mediante el cheque.O sea, el primer componente es el dinero en efectivo, el segundo es el denominado dinero bancariooriginado en la prctica de los negocios.Los depsitos en cuenta corriente son denominados depsitos a la vista y son los que guardan mayorrelacin con el dinero en efectivo. En los pases de elevado desarrollo econmico-financiero, la masa decheques en circulacin representa una proporcin muy significativa respecto del total monetario.Los depsitos a plazo (cajas de ahorro, cuentas especiales, plazo fijo) poseen distintos grados deconvertibilidad lquida.Desde el punto de vista de la creacin monetaria, existen dos tipos de dinero: Base monetaria o dinero primario (emitido por la autoridad financiera). Dinero secundario (inyectado por los bancos a travs del poder adquisitivo generado por los prstamos).Las entidades financieras tienen facultad de dar crditos hasta un determinado porcentaje de los depsitoscaptados. La autoridad monetaria establece una reserva obligatoria (efectivo mnimo o encaje), el resto puedeser afectado a operaciones de crdito.Un cheque no es dinero, sino simplemente una orden a un banco para transferir una determinada cantidad dedinero, que estaba depositada en l.Los depsitos no son una forma visible o tangible de dinero, sino que consisten en un asiento contable en lascuentas de los bancos.En los pases con un sistema financiero desarrollado, los billetes y las monedas representan una pequeaparte del total de la oferta monetaria.4. La creacin del dinero bancarioEl dinero otorga a su poseedor capacidad de compra. Ese dinero puede ser creado de dos maneras:


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Por emisin, dispuesta por la entidad autorizada en cada pas. Por los prstamos que otorgan las entidades financieras.Dado que los depsitos bancarios son convertibles en dinero lquido, los bancos tienen que asegurarse de queen todas las circunstancias se encuentren en posicin de hacer frente a las demandas de liquidez (billetes ymonedas) por parte de sus depositantes.La prctica bancaria muestra que el uso generalizado de cheques significa que cada da slo un pequeoporcentaje de los depsitos bancarios son convertidos en dinero efectivo y esos retiros son compensados conlos ingresos de efectivo que otras personas realizan. De esta forma, los banqueros han comprobado quepueden crear depsitos bancarios por encima de sus reservas lquidas.Las reservas lquidas legalmente requeridas o encaje bancario es la fraccin de depsitos que los bancosdeben mantener como reservas.Si en un determinado momento todos los clientes de un banco quisieran a la vez retirar sus depsitos, elbanco no podra atender todas las peticiones.Activos financieros. Los activos pueden ser: Reales: tienen valor por s mismos (mercaderas, muebles). Financieros: tienen valor por lo que representan (billetes, depsitos bancarios).A. Efectivo: activo financiero lquido por excelencia.B. Depsitos bancarios: tienen mayor o menor liquidez segn sean a la vista o a trmino.C. Ttulos valores: Acciones: ttulos emitidos por las sociedades de capital a favor de sus socios, para acreditar su condicin

de tales. Pagars: promesas de pago emitidas por una persona (librador) a favor de otra (beneficiario). Letras de cambio: rdenes de pago emitidas por un librador a favor de un beneficiario y a cargo de otra

persona. Ttulos de deuda, pblicos y privados: sus titulares pasan a ser acreedores del ente emisor de aquellos.

Reciben una renta fija.

CRDITO Y CLASES DE CREDITOTrmino utilizado en el comercio y finanzas para referirse a las transacciones que implican una transferenciade dinero que debe devolverse transcurrido cierto tiempo. Por tanto, el que transfiere el dinero se convierte enacreedor y el que lo recibe en deudor; los trminos crdito y deuda reflejan pues una misma transaccin desdedos puntos de vista contrapuestos. Finalmente, el crdito implica el cambio de riqueza presente por riquezafutura.


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1. Segn el origen:A. Crditos comerciales, son los que los fabricantes conceden a otros para financiar la produccin y

distribucin de bienes; crditos a la inversin, demandados por las empresas para financiar la adquisicinde bienes de equipo, las cuales tambin pueden financiar estas inversiones emitiendo bonos, pagars deempresas y otros instrumentos financieros que, por lo tanto, constituyen un crdito que recibe la empresa;

B. Crditos bancarios, son los concedidos por los bancos como prstamos, crditos al consumo o crditospersonales, que permiten a los individuos adquirir bienes y pagarlos a plazos;

C. Crditos hipotecarios, concedidos por los bancos y entidades financieras autorizadas, contra garanta delbien inmueble adquirido;

D. Crditos contra emisin de deuda pblica. Que reciben los gobiernos centrales, regionales o locales alemitir deuda pblica;

E. Crditos internacionales, son los que concede un gobierno a otro, o una institucin internacional a ungobierno, como es el caso de los crditos que concede el Banco Mundial.

2. Segn el destino: De produccin: Crdito aplicado a la agricultura, ganadera, pesca, comercios, industrias y transporte de

las distintas actividades econmicas. De consumo: Para facilitar la adquisicin de bienes personales. Hipotecarios, destinados a la compra de bienes inmuebles,3. Segn el plazo: A corto y mediano plazo: Otorgados por Bancos a proveedores de materia prima para la produccin y

consumo. A largo plazo: Para viviendas familiares e inmuebles, equipamientos, maquinarias, etc.4. Segn la garanta: Personal. Crditos a sola firma sobre sus antecedentes personales y comerciales. Real (hipotecas). Prendarias cuando el acreedor puede garantizar sobre un objeto que afecta en beneficio

del acreedor.FINALIDAD DE UNA CARTERA DE CRDITOSLa cartera de crditos est dividida en: crditos comerciales, crditos a micro empresas (MES), crditos deconsumo y crditos hipotecarios para vivienda. Los crditos comerciales y de micro empresas son otorgados apersonas naturales o personas jurdicas y los crditos de consumo y crditos hipotecarios para vivienda sonslo destinados a personas naturales. Por lo dems los crditos comerciales, de micro empresas y deconsumo, incluyen los crditos otorgados a las personas jurdicas a travs de tarjetas de crditos, operacionesde arrendamiento financiero o cualquier otra forma de financiamiento que tuvieran fines similares a los deestas clases de crditos. Crditos comerciales: Son aquellos que tienen por finalidad financiar la produccin y comercializacin de

bienes y servicios en sus diferentes fases.


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Crditos a las Micro Empresas MES): Son aquellos crditos destinados al financiamiento de actividadesde produccin, comercio o prestacin de servicios siempre que renan stas dos caractersticas:

Crditos de consumo: Son crditos que tienen como propsito atender el pago de bienes, servicios ogastos no relacionados con una actividad empresarial.

Crditos hipotecarios para vivienda: Son aquellos crditos destinados a la adquisicin, construccin,refaccin, remodelacin, ampliacin, mejoramiento y subdivisin de vivienda propia, siempre que talescrditos sean otorgados amparados con hipotecas debidamente inscritas, pudiendo otorgarse los mismospor el sistema convencional de prstamo hipotecario, de letras hipotecarias o por cualquier otro sistemade similares caractersticas.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOUno de los principios ms importantes en todas las finanzas.El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a tasas de intersperidicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.). Es el proceso del inters compuesto, losintereses pagados peridicamente son transformados automticamente en capital. El inters compuesto esfundamental para la comprensin de las matemticas financieras.Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos reas: valor futuro y valorpresente (P). El valor futuro (F) describe el proceso de crecimiento de la inversin a futuro a un inters yperodos dados. El valor presente describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un descuento y perodosdados representa valores actuales.PORCENTAJELa palabra por ciento significa una cierta cantidad de cada ciento de una cantidad cualquiera.EJEMPLO: 8% = ; significa 8 unidades de cada 100 unidades.GANANCIAS Y PRDIDAS EN TRANSACCIONES COMERCIALESLas ganancias en las transacciones comerciales pueden expresarse en forma de porcentaje. Las prdidassuelen expresarse en forma de un porcentaje del precio de costo, en tanto que las ganancias puedenexpresarse como porcentaje del precio de costo o de venta.EJEMPLO: Un artculo se compra en $100.000 y se vende en $120.000. La ganancia es de $20.000, queexpresado en porcentaje ser:Datos:Valor del articulo = $100.000Valor de la venta = $120.000Ganancia = $20.000


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Solucin:En este caso se pueden presentar dos situaciones:

compradeValor100GananciacostoalrealcincongananciadePorcentaje1). *

%20100.00010020.000costoalrealcincongananciadePorcentaje *

ventadeValor100Ganancia ventalaarealcincongananciadePorcentaje2). *

%67.16120.00010020.000 ventalaarealcincongananciadePorcentaje *

Este resultado significa que la ganancia sobre la inversin ha sido del 20%, o bien que el 16.67% de losingresos ha sido ganancia. As mismo, si el artculo cost $100.000 y por circunstancias del mercado sevendi en $80.000, se obtuvo una prdida de $20.000 sobre el costo, que representa:

compradeValor100PerdidacostoalrealcinconperdidadePorcentaje *

%20100.000100000.02costoalrealcinconperdidadePorcentaje *

Para determinar el precio de venta de un artculo se aade al costo una cantidad suficiente para cubrir losgastos de operacin y obtener una utilidad. Los gastos de operacin son aquellos que la empresa invierte enel proceso de compra y venta del artculo, como por EJEMPLO: salarios, servicios pblicos, publicidad, etc. Lacantidad que se le agrega al costo del artculo o servicio para cubrir los gastos de operacin y obtener unaganancia, se llama utilidad bruta. La ganancia, o sea, lo que queda despus de cubrir los gastos deoperacin se llama utilidad neta.

TALLER 1: PORCENTAJE DE GANANCIAS Y PRDIDAS1. Convierta cada uno de los siguientes porcentajes en nmeros decimales:A. 10%,B. 83.54%,C. 0.56%,D. 850%,

Precio de venta = costo del artculo + utilidad brutaUtilidad bruta = gastos de operacin + utilidad netaPrecio de venta = costo del artculo + gastos de operacin + utilidad neta.


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E. 250%2. Convierta los siguientes nmeros en porcentajes:A. 0.25,B. 0.032,C. 0.86,D. 1.50,E. 0.753. Calcular los siguientes porcentajes:A. 20% de 4.728,B. 0.32% de 3.280,C. 3% de 15.600,D. 5% de 35.000,E. 12% de 234.8904. Qu porcentaje de 120.000 es 86.000?5. El arrendamiento de un edificio aument un 12%. Si actualmente se pagan $8.500.000, cul era el valor

del arrendamiento?6. En qu porcentaje se debe incrementar un salario de $500.000 para que se convierta en $ 680.000?.7. Juan David compr una grabadora cuyo precio es de $380.000. Si le hicieron el 15% de descuento, cunto

pag?8. Un comerciante compr un artculo en $200.000. Desea agregarle una utilidad bruta del 40% sobre el

costo, para cubrir los gastos de operacin y utilidad neta. A qu precio de bebe vender el artculo?VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOSignifica que una cantidad de dinero ubicada en tiempos diferentes tendr valores diferentes, as: $ 1.000.000a un ao tendr valores diferentes en cada mes del ao, esto debido a los siguientes factores: La inflacin. Este fenmeno econmico hace que el dinero da a da pierda poder adquisitivo, es decir,

que el dinero se desvalorice. Dentro de un ao recibir el mismo $ 1.000.000 pero con menor poder decompra de bienes y servicios.

Costo de oportunidad. Si se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, lograndoque no slo se proteja la inflacin sino que tambin produzca una utilidad adicional.

Este cambio de la cantidad de dinero en el tiempo determinado es o que se llama valor en el tiempo y semanifiesta a travs del inters. Una cantidad de dinero en el presente vale ms que la misma cantidad en elfuturo.


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INTERSPara compensar el valor del dinero en el tiempo futuro se utiliza el inters. Entonces el inters es la medida omanifestacin del valor del dinero en el tiempo. Si se presta hoy una cantidad de dinero; tiempo presente (P) ydespus de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor tiempo futuro (F), la variacin del valor deldinero de P a F se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el inters (I). La operacinse representa mediante la siguiente expresin.

EJEMPLO: Si se deposita en una cuenta de ahorros $ 500.000 y despus de 6 meses se tiene un saldo de $580.000, calcular el valor de los intereses.Datos:Valor presente P = $ 500.000Valor futuro F = $580.000Solucin:I = F P = $ 580.000 - $ 500.000 = $ 80.000El valor de los intereses durante los 6 meses es de $ 80.000

TASA DE INTERSLa palabra tasa significa medir; la tasa de inters (i) se expresa en forma de porcentaje para un perodo detiempo determinado; la tasa de inters en forma matemtica se expresa mediante la siguiente relacin:

EJEMPLO: Se deposita en una entidad financiera la suma de $1.000.000 y al cabo de 1 mes se retira$1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de inters ganada.Datos:Valor presente P = $ 1.000.000Valor futuro F = $ 1.030.000

I = F P intersF = P + I valor futuroP = F I valor presente

I = P*i


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Solucin:I= F P = $1.030.000 - $ 1.000.000 = $ 30.000

100*PIi = 100*000.000.1

000.30 = 0.03*100 = 3%

El valor de los intereses es de $ 30.000 y la tasa de inters es del 3%

EQUIVALENCIADos cantidades diferentes ubicadas en fechas diferentes son equivalentes: aunque no sean iguales, siproducen el mismo resultado econmico. Esto es, $ 100.000 de hoy son equivalentes a $ 140.000 dentro deun ao si la tasa de inters es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F)si el valor futuro cubre el valor presente ms los intereses a la tasa exigida por los inversionistas.TALLER 2: INTERESES Y TASAS DE INTERS1. Expresa como nmero decimal las siguientes tasas de inters: 20% anual, 3% mensual, 18,5% trimestral,

65% semestral, 1% diario, 23.65% anual.2. Una inversin inicial de $235.000 produce despus de 6 meses un resultado de $ 389.560. Calcular: Valor

de los intereses ganados, tasa de inters de la operacin.3. Cuanto se debe invertir hoy para tener dentro de un ao $ 10.500.000 y se ganen unos intereses por valor

de $ 250.000?4. Calcular el valor de los intereses que produce un capital de $ 5.000.000 a las siguientes tasas de inters:A. 3% mensual,B. 1.5% quincenal,C. 18% semestral,D. 0,25% diario,E. 25% anual.

FLUJO DE CAJATodas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se puedenregistrar sobre una recta horizontal, la cual puede estar dividida en periodos, que mide el tiempo de duracinde la operacin financiera. Al registro grfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura laoperacin financiera se conoce como flujo de caja o diagrama de lnea de tiempo. Los egresos de dinero serepresenta por flechas hacia abajo; los ingresos por su parte se representan por flechas hacia arriba.


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Para resolver los problemas de matemticas financieras, el primer paso y quiz el ms importante es laconstruccin correcta del flujo de caja, porque adems de mostrar claramente el problema nos indica lasfrmulas que se deben aplicar para la solucin.

EJEMPLO: Analizar el siguiente caso, el seor Castro deposita en una entidad financiera el 1 de enero del2008 la suma de $ 1.000.000 y despus de 6 meses retira una cantidad de $ 1.075.000. Construir el flujo decaja.Datos:Deposito el 1 de enero del 2008 la suma de $ 1.000.000 (Valor presente)Tiempo n = 6 mesesRetira el 1 de julio una cantidad de $ 1.075.000 (Valor futuro)Solucin:El problema se puede solucionar de desde dos puntos de vista: Primero el flujo de caja para el prestamista (seor Castro) Segundo para el prestatario (entidad financiera)

1. Punto de vista del prestamista (seor Castro)

Julio/08 $1.075.0001 Enero/08

$1.000.00002. Punto de vista de la entidad financiera (prestatario)


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$1.000.000

1 Enero/08 1 Julio/08

$1.075.000TALLER 3: CONSTRUYA EL FLUJO DE CAJA1. El seor Castro compra una casa a una constructora por $ 100.000.000 y se compromete a pagar de la

siguiente manera: cuota inicial de $ 20.000.000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6, 9 por valorde $30.000.000 cada una. Construir el flujo de caja para el seor Castro.

2. El banco Ganadero le concede al seor Castro un crdito por valor de $10.000.000 con plazo de un ao.Tasa de inters trimestral es de 9%. El banco le exige al seor Castro la restitucin del capital al final delao. Construir el flujo de caja para el seor Castro y la constructora.

3. Considerando el ejercicio anterior pero suponiendo que el banco le exige al seor Castro la restitucin delcapital en 4 cuotas trimestrales iguales adems del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujode caja para el seor Castro.

4. Usted compra un electrodomstico que tiene un valor de contado de $ 1.500.000 y lo paga de la siguienteforma: cuota inicial del 10% y el resto en 6 cuotas mensuales iguales de $ 300.000 cada una, usted puededecir que pag por el electrodomstico realmente $ 1.950.000?.


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2. INTERES SIMPLE

Se llama inters simple aquel en el cual los intereses devengados en un perodo no ganan intereses en losperodos siguientes, independientemente de que se paguen o no, nicamente sobre el capital se liquidan losintereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidacin de los intereses se hacesobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado.CLCULO DE INTERESESEn inters simple, el inters a pagar por una deuda vara en forma directamente proporcional al capital y altiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses; para el clculo deintereses se utiliza la siguiente expresin:

Dnde:P = Valor presenteI = Interesesi. = Tasa de inters expresada en decimalesn. = TiempoDespejando las diferentes variables de la ecuacin anterior se obtiene las expresiones siguientes:

I = P*i*n


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Valor presente Tasa de inters Intervalo de tiempo

P = Ii. n i = IP. n n = Ii. PEJEMPLO. Juan Pedro tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36%anual simple y el capital restante al 2% mensual. Calcular el valor de los intereses mensuales simple.Datos:El 60% de $ 2.000.000 = 0.60*2.000.000 = $ 1.200.000 o sea:Primer valor presente P = $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.Segundo valor presente P = $ 800.000 a una tasa del 2% mensual simple.Solucin:1). Clculo del inters mensual simple de $ 1.200.000I = P*i*n

000.36$11236.01.200.000=I1

2). Clculo del inters mensual simple de $ 800.000I = P*i*nI2= 800.000*0.02*1 = $16.000Inters total mensual. I = I1 + I2 = $ 36.000 + $ 16.000 = $ 52.000INTERS COMERCIAL Y REALCuando se realiza clculos financieros que involucren las variables tiempo (n) y tasa de inters (i), surge laduda sobre qu nmeros de das se toma para el ao, es decir, si se toma 365 o 360 das. Esto da origen ados tipos de inters: el inters ordinario o comercial, que es el que se calcula considerando el ao de 360 das,y el inters real o exacto que se calcula considerando el ao de 365 das, o 366 si se trata de ao bisiesto.EJEMPLO: Calcular el inters comercial y el inters real o exacto de $1.500.000 a una tasa de inters del36% anual simple durante 45 das.Datos:Valor presente P = $1.500.000Tasa de inters anua del i = 36%


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Nmero de das n = 45Solucin:1. Inters comercial: ao 360 das.

500.67$4536036.01.500.000=niP=I **

2. Inters real o exacto: ao 365 das.

34.575.66$4536536.01.500.000=niP=I **

El inters comercial es mayor que el inters real o exactoTALLER 4.1. Hallar el valor de los intereses y el valor futuro para los siguientes casos:

Valor presenta (P) Tasa de inters (i) Periodos de tiempo (n)$4.500.000 1.5%mensual 2, 3, 4, 5 y 6 meses$14.800.000 1.2%, 1.3%, 1.4%, 1.5% mensual 10 meses$40.500.000 1.4% mensual 1, 1.5, 2, 2.5, 3 aos$15.300.000 1.8% mensual 15, 40, 75, 80 130 das

2. Hallar el valor de los intereses comercial y real, y el valor futuro (F) cuando un capital (P) de $21.000.000se invierte en una entidad financiera que reconoce una tasa de inters del 18% anual para un tiempo de:A. 15 dasB. 50 dasC. 75 dasD. 450 dasE. 720 dasCALCULO DEL NMERO DE DIAS ENTRE FECHASAl realizar operaciones financieras la variable tiempo no siempre se expresa en nmero de das, meses oaos, sino que aparece la fecha de iniciacin de la operacin y la fecha de vencimiento. Para calcular elnmero de das transcurridos entre las fechas se manejan dos criterios: el clculo aproximado que toma encuenta el ao comercial y el clculo exacto (das calendario) considerando el ao real, que se realiza conapoyo de las tablas para calcular el nmero exacto de das o de una calculadora financiera.


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EJEMPLO. Calcular el nmero de das entre el 12 de enero y el 23 de octubre del 2007. Para el ao comercialy el ao real.Ao comercial:

Ao Mes DaFecha final 2007 10 23(-)Fecha inicial 2007 01 12Resultado 0 09 11

Son 9 meses y once das: 9*30 +11 = 270 +11 = 281 dasTABLA PARA CALCULAR EL NMERO EXACTO DE DAS

Da\mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiem. Octubre Noviem. Diciem.1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 3352 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 3363 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 3374 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 3385 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 3396 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 3407 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 3418 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 3429 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 34310 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 34411 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 34512 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 34613 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 34714 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 34815 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 34916 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 35017 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 35118 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 35219 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 35320 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 35421 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 35522 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 35623 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 35724 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 35825 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 35926 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 36027 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 36128 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 36229 29 60 88 119 149 180 210 241 272 302 333 36330 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 36431 31 90 151 212 243 304 365

366


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Ao real: das calendario. Procedimiento con la tablaHasta el 23 octubre marca 296 das(-) 12 de enero 12 dasResultado 284 dasEJEMPLO: La guerra de los Mil das, denominada tambin Guerra Magna, se desarroll entre el 18 de octubrede 1899 y el 21 de noviembre de 1902. Cuntos das realmente dur la guerra?. Ao comercial y ao real.Ao comercial

Ao Mes DaFecha final 1902 11 21(-)Fecha inicial 1899 10 18Resultado 03 01 18

Son 3 aos, un mes, 3 das: 3*360 + 1*30 + 3 = 1.113 dasAo real o exacto.18 de octubre a 31 de Diciembre 1899 365 291 = 74 dasDas del ao 1990 365 dasDas del ao 1901 365 dasDel 1 de Enero 1902 a 21 de Noviembre 325 dasResultado 1129 dasTALLER 5Siguiendo un proceso ordenado y lgico hallar el tiempo real y comercial para las siguientes fechasA. Entre el da de hoy y el da de su cumpleaosB. Entre el da de hoy y el 31 de Diciembre de este aoC. Entre el da de hoy y el 7 de Agosto de este aoD. Entre el da de hoy y el 11 de Noviembre de este aoE. Entre el da de hoy y el 20 de Julio del prximo aoF. Entre el 20 de Julio y el 11 de Noviembre de este aoG. Entre el 6 de Enero y el 31 de Octubre de este aoH. Entre el 20 de Marzo y el 14 de Julio de este aoI. Entre el 11 de Noviembre de este ao y el 7 de Agosto del prximo aoJ. Entre el 21 de Mayo de este ao y el 17 de Diciembre del prximo aoK. Entre el 10 de Noviembre de este ao y el 27 de Diciembre del prximo aoL. Entre el 15 de Junio de este ao y el 15 de Octubre del prximo aoM. Entre el 1 de Febrero de este ao y el 10 de Mayo del prximo aoN. Entre el 2 de mayo del presente ao y el 16 de Agosto dentro de tres aosO. Entre el 5 de Abril del presente ao y el 20 de Marzo dentro de 4 aos


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VALOR FUTURO A INTERS SIMPLEConsiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, despus de n perodos a una tasa deinters simple i. El valor futuro es igual al capital prestado ms los intereses; su expresin es la siguiente:

Dnde:P = Valor presenteF = Valor futuroi. = Tasa de inters expresada en decimalesn. = TiempoUna condicin importante para utilizar la ecuacin anterior, la tasa de inters y el perodo deben estarexpresados en la misma unidad de tiempo; si esto no sucede hay que hacer transformaciones para quecoincidan las unidades de tiempo. Desventajas del inters simple: Su aplicacin en el mundo financiero es limitado. Desconoce el valor del dinero en el tiempo. No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo.EJEMPLO. Cul ser el valor a cancelar dentro de 10 meses por un prstamo de $ 5.000.000 recibidos en elda de hoy, si la tasa de inters es del 35% mensual simple.Datos:Valor presente P = $5.000.000Tasa de inters i = 35%Numero de meses n = 10Solucin:F = P + P*i*nF = 5.000.000 + 5.000.000*0.35*10F = 5.000.000 + 17.500.000 = 22.500.000F = $ 22.500.000El valor que debe cancelar dentro de 10 meses es de $ 22.500.000

F = P + P*i*n = P(1+i*n)


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INTERESES MORATORIOSCuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, comienza a ganar intereses llamados intereses demora, los cuales se calculan con base al capital prestado sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora elpago. Por lo general, la tasa de inters moratorio es 1.50 veces la tasa de inters corriente vigente en elmomento de presentarse el incumplimiento, sin que se exceda el lmite mximo permitido por la ley.EJEMPLO. Un pagar por valor de $ 500.000 devenga intereses del 2% mensual simple y tiene un plazo devencimiento de 45 das. Si se cancela 15 das despus de su fecha de vencimiento, calcular el intersmoratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de inters moratoria es del 3% mensual simple.Datos:Valor presente P = $ 500.000Tasa de inters i = 2%Periodos de tiempo n = 45 dasSolucin:F = P + P*i*nSi el pagar se paga en la fecha:

515.000$=15.000+500.00002.0*3045500.000+500.000=F

F = $ 515.000Si el pagar se paga en la fecha de vencimiento, el valor a cancelar es de $ 515.000Al aplazarse el pago durante 15 das, se generan unos intereses moratorios a una tasa del 3% mensual.I = P*i*n

Intereses moratorio 7.500$03.0*3015500.000=I

Cantidad total a pagar = F + intereses moratoriosCantidad total a pagar = $ 515.000 + $ 7.500 = $ 522.500La cantidad total a pagar es de $ 522.500TALLER 6: USO DE LA EXPRESION

I = P*i*n1. Hallar el valor de los intereses (I) para un capital de $10.000.000 a una tasa de inters mensual del 10%;

para 9 meses de tiempo (n)


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2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor de los intereses (I) es de $ 3.000.000, en un perodo detiempo (n) de 15 meses; cuando la tasa de inters (i) es del 2.5%.

3. Hallar la tasa de inters (i) para un capital (P) de $15.000.000 que ha producido unos intereses (I) de $3.000.000 para un perodo de tiempo de 18 meses.

4. Calcular el perodo de tiempo (n) para un capital de $ 12.000.000 que produce unos intereses (I) de $4.000.000, cuando la tasa de inters toma el valor del 4.0% mensual.

5. Calcular el valor del inters comercial y el inters real o exacto de $ 24.000.000 que sometido a una tasade inters del $ 36% anual simple; segn los siguientes datos.

A. Se deposit el da de hoy y se retir el 30 agosto dos aos despusB. Se deposit el 9 de abril del 2008 y se retir el 5 de diciembre tres aos despus

VALOR PRESENTE A INTERS SIMPLEConsiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado n perodos adelante a unatasa de inters simple i.F = P(1 + i*n) entonces el valor presente ser

Dnde:F = Valor futuroi. = Tasa de inters expresada en decimalesn. = TiempoEJEMPLO. El seor castro tiene que cancelar dentro de un ao y medio un valor de $ 2.500.000: Si la tasa deinters es del 3% mensual simple. Cul es el valor inicial de la obligacin.Datos:Valor futuro F = $ 2.500.000Tasa de inters mensual i = 3%Periodo de tiempo n = 1 ao o 18 mesesSolucin:La tasa de inters est en una unidad de tiempo diferente al nmero de perodos, por lo tanto, al aplicar lafrmula se deben convertir los aos a meses.


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P = )*1( niF

= )03.0*181(000.500.2

= $ 1.623.376.62

P = $ 1.623.376.62La respuesta indica que $ 1.623.376.62 de hoy son equivalentes a $ 2.500.000 dentro de un ao y medio, auna tasa de inters del 3% mensual simple. La diferencia entre estos dos valores pertenece a los intereses.CLCULO DE LA TASA DE INTERS SIMPLEConsiste en calcular la tasa de inters simple (i), que produce una inversin inicial (P) y despus de (n)perodos se recibe una cantidad acumulada (F). Despejando (i) de F = P(1 + i*n), se obtiene la expresincorrespondiente

Dnde:P = Valor presenteF = Valor futuron. = Tiempo

EJEMPLO. Un inversionista en el da de hoy invierte en una corporacin $ 1.000.000 y despus de 6 mesesretira $1.250.000. Calcular la tasa de inters simple ganada.Datos:Valor presente P = $ 1.000.000Valor futuro F = $ 1.250.000Periodos de tiempo n = 6 mesesSolucin:

4.17%=0.0417=1000.000.1000.250.1

6111

PF

ni

i. = 4.17%La tasa de inters simple es 4.17% mensual


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CLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACINConsiste en determinar el nmero de perodos (n), que se requieren para que una inversin inicial (P) a unatasa de inters simple de (i) produzca un valor futuro (F). Despejando (i) de F = P(1 + in), se obtiene laexpresin correspondiente.

Dnde:P = Valor presenteF = Valor futuroi. = Tasa de intersEJEMPLO. Cunto tiempo se debe esperar para que un capital de $1.000.000 se convierta en $ 2.500.000, sila operacin se realiza al 4% mensual?.

meses37.5=1000.000.1000.500.2

04.01=n.

n. = 37 meses y 15 dasEl tiempo de espera es de 37 meses y 15 dasOPERACIONES DE DESCUENTOUn descuento es una operacin financiera que consiste en cobrar el valor de un ttulo o documento el valor delos intereses en forma anticipada. Esta operacin es frecuente en el mundo de los negocios cuando se tienencuentas por cobrar o ttulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. Ennuestro pas esta operacin es usual cuando se acude a crditos bancarios de corto plazo. En este caso, en elmismo momento en que recibe el prstamo se cobran los intereses por anticipado. Estos intereses cobradosen forma anticipada se llaman descuento y la cantidad de dinero que recibe el tenedor del ttulo, una vezdescontados los intereses, se llama valor efectivo del pagar. El valor nominal es el monto que aparece en elpagar.Al vender un pagar antes de la fecha de vencimiento, el comprador aplica una tasa de descuento sobre elvalor nominal del ttulo (valor de vencimiento). Dependiendo de la forma como se aplique la tasa de descuentosobre el valor nominal, resultan dos tipos de descuento: El descuento comercial El descuento racional o justo.


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El descuento comercial. En una operacin con descuento comercial los intereses simples se calculan sobreel valor nominal, que corresponde al monto que aparece en el pagar. Para tal caso se utiliza la siguienteexpresin:

Dnde:Ve = Valor efectivoVn = Valor nominaln. = Perodo de tiempoi.= Tasa de intersEJEMPLO. Supngase que se tiene un documento por cobrar dentro de 12 meses por un valor de $1.000.000,que ya tiene incluido los intereses, y se desea negociar en da de hoy. El intermediario financiero cobra unatasa de descuento del 2% mensual. Se desea conocer el valor efectivo (Ve) a recibir.Datos:Valor nominal Vn = $1.000.000Periodos de tiempo n = 12 mesesTasa de inters i = 2% mensualSolucin:

760.000$=0.761.000.000=0.02)12-(11.000.000=i)n-(1V=V ***neEl valor efectivo a recibir el da de hoy es $ 760.000El descuento racional o justo. En una operacin con descuento racional los intereses simples se calculansobre el valor efectivo. Para tal caso se utiliza la siguiente expresin:

Dnde:Ve = Valor efectivoVn = Valor nominaln. = Perodo de tiempoi.= Tasa de intersEJEMPLO. Utilizando los datos del EJEMPLO anterior el valor del descuento racional o justo ser:


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Datos:Valor nominal Vn = $1.000.000Periodos de tiempo n = 12 mesesTasa de inters i = 2% mensualSolucin:

806.451.61$)02.0121(000.000.1

)1(=Ve ** in

V n

El valor efectivo a recibir $ 806.451.61Descuento comercial =$1.000.000 760.000 = $ 240.000Descuento racional=$1.000.000 806.451.61 = $ 193.548.39Se observa que para una misma operacin financiera, es mayor el descuento comercial que el descuentoracional.TALLER 7: USO DE LA EXPRESION

F=P(1+i*n)1. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $15.550.000 sometido a una tasa de inters del 5%

mensual; en 16 meses de tiempo (n).2. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $12.000.000 si la tasa de inters mensual es 8%; en 19 meses

de tiempo (n)3. Encontrar el valor de un capital (P) que sometido a una tasa de inters (i) del 5% mensual produce una

cantidad de dinero (F) de $ 18.600.000 en un tiempo 14 meses.4. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 36.000.000, en un perodo de tiempo

(n) de 22 meses; si la tasa de inters (i) asignada es del 2.5% mensual5. Hallar el valor de la tasa de inters mensual (i) para un capital (P) de $14.000.000 que ha producido un

nuevo capital equivalente de $ 24.250.000 para un perodo de tiempo de 30 mesesTALLER 8: INTERS SIMPLE1. Por medio de un pagar nos comprometimos a cancelar despus de un ao y medio un valor de

$3.285.000. Si la tasa de inters es del 1.5% mensual simple. Hallar el valor inicial de la obligacin.Respuesta: $2.586.614.17

2. Un inversionista estima que un lote de terreno puede ser negociado dentro de 3.5 aos por $85.000.000.Cunto ser lo mximo que l est dispuesto a pagar hoy, si desea obtener un inters del 18% semestralsimple?. Respuesta $ 37.610.619.47


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3. Hallar la tasa de inters mensual simple que obtenemos cuando invertimos $ 210.000.000 y al cabo de 10meses podemos retirar $ 311.650.000. Respuesta 4.84%

4. Se compra un lote de terreno por valor de $ 9.000.000. Si se espera venderlo dentro de un ao en$12.00.000. Cul es la tasa de inters mensual simple que rinden los dineros all invertidos?. Respuesta2.78%

5. Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral simple. Si hoy deposito $ 250.000. Cunto tiempo deboesperar para retirar $ 325.000?. Respuesta 6 trimestres

6. Se invirtieron $ 2.000.000 y despus de 3 aos se recibieron $ 3.600.000. Qu tasa trimestral simpleprodujo la operacin financiera?. Respuesta 6.67% trimestral

7. hace 8 meses dispona de $ 2.000.000 y tena las siguientes alternativas de inversin: a) Comprar uninventario de ropa por este valor, que a precios de hoy valen $ 3.300.000. b) Invertirlos en una entidad queme paga el 2.8% mensual simple. Despus de consultarlo, me decid por la primera alternativa. Fueacertada la decisin?. Respuesta s; explique.


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3. INTERES COMPUESTO

El inters compuesto (llamado tambin inters sobre inters), es aquel que al final del perodo capitaliza losintereses causados en el perodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevocapital sobre el cual se calculan los intereses. Capitalizacin es el proceso mediante el cual los intereses quese van causando peridicamente se suman al capital anterior. El perodo de capitalizacin es perodo pactadopara convenir el inters.CARACTERSTICAS DEL INTERS COMPUESTO El capital inicial cambia en cada perodo porque los intereses que se causan se capitalizan o sea, se

convierten en capital. La tasa de inters siempre se aplica a un capital diferente. Los intereses peridicos siempre sern mayores.VALOR FUTURO E INTERS COMPUESTOConsiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, despus de estar ganando intereses por (n)perodos, a una tasa de inters (i). Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente est dado por lasiguiente frmula:

Dnde:P = Valor presentei. =Tasa de inters


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n. = Periodos de tiempoEsta frmula es conocida como la frmula bsica de las matemticas financieras debido a que, la mayora delas operaciones financieras se realizan con su aplicacin. El factor (1 + i )n se conoce con el nombre de factorde capitalizacin en pago nico.

VALOR PRESENTE 10.000.000 F = P(1 + I )n INTERESES ACUMULADOS ALFIN DE CADA MESFinal del primer mes F1 =Final del segundo mes F2 =Final del tercer mes F3 =Final del cuarto mes F4 =Final del quinto mes F5 =Final del sexto mes F6 =Final del sptimo mes F7 =Final del octavo mes F8 =Final del noveno mes F9 =Final del dcimo mes F10 =Final del dcimo primer mes F11 =Final del dcimo segundo mes F12 =TALLER 9.Se invierten $ 10.000.000 durante 12 meses en una corporacin que reconoce una tasa de inters del 3%mensual compuesta. Se desea saber, cunto dinero se tendr acumulado al final de cada mes?.

VALOR PRESENTE CON INTERS COMPUESTOConsiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada (n) perodos adelante,considerando una tasa de inters compuesta i. Esta operacin de calcular el valor actual de un capital equivalea lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como elprocedimiento para descontar una deuda.

n)i+P(1=F Dnde:F = Valor futuroi. =Tasa de intersn. = Periodos de tiempo

EJEMPLO. Don Pedro necesita disponer de $3.000.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrcula dehijo. Si una corporacin le ofrece el 3.5% mensual, cunto deber depositar hoy para lograr su objetivo?.


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Datos:Valor futuro F = $ 3.000.000Periodos de tiempo n = 6 mesesTasa efectiva de inters i = 3,5%Solucin:

502.440.2229255326.1000.000.3

)035.1(000.000.3

)035.01(000.000.3

)1( 66 niFP

P= $ 2.440.502Don Pedro deber depositar hoy $ 2.440.502 para lograr su objetivoTASA DE INTERS COMPUESTAEn algunos casos se conoce la cantidad invertida y la recibida despus de un nmero de perodosdeterminado, y se desea conocer la tasa de inters. Cuando slo existe una nica cantidad invertida y unanica recibida, la tasa de inters no se puede calcular por solucin directa aplicando la ecuacin F = P(1 + i )n;para este caso la ecuacin se transforma en:

Dnde:F = Valor futuron. = Periodos de tiempoP = Valor presenteEJEMPLO. Si el da de hoy se invierten $ 10.000.000 y despus de ao y medio se tienen acumulados$30.500.000. Qu tasa de inters produjo la operacin?.Datos:Valor futuro F = $30.000.000Valor presente P = $ 10.000.000Tiempo n = 18 mesesSolucin:

6.39%=60.06391160=1-61.06391160105.31000.000.10000.500.301=i. 1818 n P

F


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i. = 6.39%La tasa de inters que produjo la operacin es de 6.39%

TIEMPO DE NEGOCIACINCon frecuencia se hace una inversin inicial a una conocida tasa de inters con el propsito de obtener unacantidad futura determinada, y se desea conocer en cunto tiempo se obtendr esta cantidad futura. Desde elpunto de vista matemtico, se plantea el problema de la siguiente forma: conocidos el valor presente (P), elvalor futuro (F) y la tasa de inters (i), se desea calcular el nmero de perodos (n).

n)i+P(1=F Dnde:F = Valor futuroP = Valor presentei. =Tasa de intersEJEMPLO. Si se realiza una operacin financiera con una tasa de inters del 4% mensual, cunto tiempo (n)se debe esperar para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560?.Datos:Valor futuro F = $ 7.116.560Valor presente P = $ 5.000.000Tasa de inters i = 4%Solucin:

)04.01(000.000.5560.116.7

)1(

LogLogLog

iLogLogPLogFn

0000.901733339.015330011.0

01733339.0698970004.6852270115.6

n.= 9 meses

El tiempo espera para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560, es de 9 meses

VALOR FUTURO CON TASA VARIABLEPor lo general la tasa de inters para todos los perodos de clculo no es siempre la misma. Por EJEMPLO,las tasas de inters que pagan los bancos por las cuentas de ahorros y los CDT son fluctuantes en perodos


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cortos de tiempo, por lo que los clculos de rentabilidades realizados con la aplicacin de la frmula bsicaF=P(1+i)n resultan irreales. La frmula para calcular el valor futuro con inters compuesto, cuando la tasa deinters para cada perodo proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:

Dnde:P = Valor presentei1 = Tasa de inters del primer perodoi2 = Tasa de inters del segundo perodoin = Tasa de inters del perodo nEJEMPLO. Blanca Helena desea invertir $ 2.500.000 durante 6 meses. La tasa de inters inicial que lereconocen es del 1% mensual. Si se espera que cada mes la tasa de inters aumente 0.20%, cunto recibiral final del semestre?Datos:P = $ 2.500.000i1 = 1.0%, i2 = 1.20%, i3= 1.40%, i4=1.60%, i5 = 1.80%, i6 = 2.00%Solucin:Reemplazando estos valores se obtendr:F = 2.500.000(1.010)(1.012)(1.014)(1.160)(1.180)(1.020)= $ 2.733.515.29Al final del semestre recibir $ 2.733.515.29

VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLEAl hacer los clculos del valor presente en la vida prctica las tasas de inters varan perodo a perodo lo quenos indica que la frmula bsica F = P(1 + i )n no es aplicable. Para este nuevo caso la frmula matemtica es:

Dnde:F = valor futuroi1 = tasa de inters del primer perodo


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i2 = tasa de inters del segundo perodoi3 = tasa de inters del tercer perodoin = Tasa de inters del perodo nEJEMPLO. Un padre de familia necesita tener disponibles $ 2.000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valordel depsito inicial si se esperan las siguientes tasas de inters para los prximos 6 meses.Datos:Valor futuro F = $ 2.000.000Periodos de tiempo n = 6 mesesTasa de inters variable 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%Solucin:

Mes Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6Tasa 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%

)1)...(1)(1)(1( 321 niiiiFP = )01.01)(009.01)(008.01)(007.01)(006.01)(005.01(

000.000.2 =

P = $ 1.912.332.52El valor del depsito inicial es de $ 1.912.332.52TALLER 10: INTERS COMPUESTO

F=P(1+i)n1. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $10.000.000 sometido si tasa de inters mensual es el 10%; en

un tiempo (n) de 8 meses2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor futuro (F) es de $ 30.000.000, en un perodo de tiempo (n) de

15 meses; cuando la tasa de inters (i) toma el valor del 3.0% mensual3. Hallar la tasa de inters compuesta (i) para un capital (P) de $15.000.000 cando su valor equivalente (F) es

de $ 63.000.000 para el perodo de tiempo de 46 meses4. Calcular el perodo de tiempo (n) para un capital de $ 14.000.000 cuando su valor equivalente (F) es de

$120.000.000, cuando la tasa de inters compuesta toma el valor del 2.5.0% mensual5. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $12.550.000 sometido a una tasa de inters

compuesta del 6% mensual en el tiempo (n) 10 aos.


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6. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $18.000.000 si la tasa de inters mensual es del 9%; en unintervalo de tiempo (n) de 48 meses

7. Encontrar el valor del capital que sometido a una tasa de inters (i) del 36% anual produce una cantidad dedinero (F) de $28.600.000 en un tiempo de 26 meses.

8. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 38.600.000, en un perodo de tiempo(n) de 20 meses; si la tasa de inters (i) es del 2.0% mensual

9. Hallar el valor de la tasa de inters mensual (i) para un capital (P) de $17.000.000 que ha producido unnuevo capital equivalente (F) de $ 34.250.000 para un tiempo de 30 meses.Calcular el perodo de tiempo (n) para un capital (P) de $ 18.000.000; que despus de un tiempo el capital10.equivalente (F) es $ 34.600.000, cuando la tasa de inters compuesta toma el valor del 48% anual.


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4. TASAS DE INTERESLa tasa de inters es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, comopara el que lo tiene porque cobra un precio por prestrselo al que lo requiere. El dinero es una mercanca quetiene un precio y, como tal, su valor lo fija el mercado como resultado de la interaccin entre la oferta y lademanda. La tasa de inters est presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta decrdito, o se hace un prstamo de dinero. Su nivel debe ser la preocupacin diaria de cualquier persona oempresa, porque mide el rendimiento como el costo del dinero. El nivel de las tasas de inters est afectadopor diversas variables, a saber: la inflacin, la devaluacin, la oferta y la demanda y el riesgoempresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento determinado elcosto del dinero.TASA DE INTERES NOMINALEs una tasa de referencia que existe solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de intersque se nos cobra en una operacin financiera. La tasa nominal se representa por ( j ); el nmero de veces operiodos que el inters se convierte en capital se denomina capitalizacin y se simboliza con (m)EJEMPLO. Tasa de inters nominal.

INTERES NOMINAL LECTURA CAPITALIZACION1 J =15% NM Se lee 15% nominal mensual Donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)2 J =18% NM Se lee 18% nominal mensual Donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)3 J =24% NM Se lee 24% nominal mensual Donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)4 J =30% NM Se lee 30% nominal mensual Donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)5 J =36% NM Se lee 36% nominal mensual Donde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)6 J =24% NT Se lee 34% nominal trimestral Donde el inters se convierte 4 veces en capital (m=4)7 J =24% NB Se lee 24% nominal bimestral Donde el inters se convierte 6 veces en capital (m=6)8 J =30% ND Se lee 30% nominal diaria Donde el inters se convierte 360 veces en capital (m=360)9 J =12% NS Se lee 12% nominal semestral Donde el inters se convierte 2 veces en capital (m=2)


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TASA DE INTERES PERIODICAEs aquella tasa que en realidad se aplica a un capital en un periodo de tiempo que puede ser: un da, unasemana, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un ao.EJEMPLO. Tasa de inters peridica efectiva

TASA NOMINALMENSUAL LECTURA

TASA PERIODICA EFECTIVAMENSUAL

1 J =15% NM La tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 15%/12 = 1.25%2 J =18% NM La tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 18%/12 = 1.50%3 J =24% NM La tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 24%/12 = 2.00%4 J =30% NM La tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 30%/12 = 2.50%5 J =36% NM La tasa efectiva mensual correspondiente ser i = J/m = 36%/12 = 3.00%

TALLER 11:Hallar la tasa efectiva peridica ( i ) para:

TASA NOMINAL LECTURA TASA PERIODICA EFECTIVA1 J =12% NS2 J =24% NT3 J =24% NB4 J =30% ND

TASA EFECTIVALa tasa nominal es la tasa que se pacta, mientras que la tasa efectiva es la que se paga. Esta tasa mide elcosto efectivo de un crdito o la rentabilidad efectiva de una inversin, y resulta de capitalizar o reinvertir losintereses que se producen cada periodo. Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el concepto de interscompuesto, ya que resulta de la reinversin peridica de los intereses.La tasa de inters nominal est relacionada con un inters simple, mientras que la tasa de inters efectivaest relacionada con un inters compuesto.EJEMPLO. Juan Jos deposita $10.000.000 en una entidad financiera el da de hoy que reconoce una tasade inters del 1,5% mensual. Juan Jos desea saber cunto dinero se tendr acumulado despus de untiempo de 12 meses, bajo dos aspectos:a) inters simple,b) inters compuesto.


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SOLUCIONa) EN INTERS SIMPLE: Cuando se habla de inters simple produce un inters nominal iN. Se debe utilizar lasiguiente expresin:

Dnde:F = Valor futuroP = Valor presente

Dnde:i. = Tasa de inters efectivan. = Periodos de tiempoDatos:Valor presente P = $10.000.000Tasa de inters mensual i = 1,5% = 0,015, tasa peridicaTiempo de capitalizacin n = 12 mesesValor futuro F= ?SolucinEl valor futuro ser:F = P + P.i.n. o tambin F = P(1 + in)Reemplazando los valores se obtieneF = 10.000.000(1 + 0,015*12)F = 10.000.000(1,18) = 11.800.000F = $ 11.800.000Al final de los 12 meses Juan Jos recibe $ 11.800.000; pero l desea saber cul fue el rendimiento anual(tasa anual nominal), para lo cual se puede calcular de la siguiente forma:

iN = FP 1

iN = FP 1

iN = ( + ) 1


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iN = 11.800.00010.000.000 1 = 1,18 -1 = 0,18iN = 18%, tasa anual nominaliN = . = . = . = 18%La tasa nominal se simboliza por ( J ), en donde sus componentes son tasa peridica ( i ) y el nmero deperiodos (m); que se puede escribir de la siguiente maneraJ = Tasa peridica (i). Nmero de periodos (m)b) PARA INTERS COMPUESTO. Cuando se habla de inters compuesto se obtiene un inters efectivo y sepuede hacer sus clculos con la siguiente expresin:

Dnde:F = Valor futuroP = Valor presente

Dnde:i. = Tasa de inters efectivan. = Periodos de tiempoDatos:Valor presente P = $10.000.000Tasa de inters mensual i = 1,5% = 0,015, tasa peridicaTiempo de capitalizacin n = 12 mesesValor futuro F= ?Solucin:Aplicamos la frmula:F = P(1+ i)n

F = 10.000.000(1+ 0,015)12F = 10.000.000(1,015)12

ie = FP 1

ie = (1+ i)n 1


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F = 10.000.000(1,195618171)F = $11.956.181.71Al final de los 12 meses Juan Jos recibir $ 11.956.181,71; pero si l desea saber cul fue el rendimientoefectivo anual, debe calcular de la siguiente forma:ie = ( 1+ i )n , o tambinie = FP 1ie = 11.956.181.7110.000.000 1 = 1,1956 -1 = 0,1956ie = 19,56%, tasa efectiva anual (TEA)TEA = 19,56%, tasa efectiva anualECUACION DE LA TASA EFECTIVA.Esta ecuacin permite calcular las equivalencias entre tasas de inters peridicas; en esta ecuacin nointeractan ni valor presente ni futuro nicamente la tasa peridica (i) y los periodos de capitalizacin (n) quees un tiempo, veamos para el caso anterior:

Dnde:i. = Tasa de inters efectivan. = Periodos de tiempoEJEMPLO: Juan Jos deposita $10.000.000 en una entidad financiera el da de hoy que reconoce una tasade inters del 1,5% mensual. Juan Jos desea saber cunto dinero se tendr acumulado despus de untiempo de 12 meses, bajo dos aspectos:TE = ( 1+ i )n 1 = ( 1+ 0,015 )12 1TE = 1,195618171 1 = 0,195618171TE = 0,195618171 = 19,56%TE = 19, 56%, tasa efectiva anualLos valores de la tasa efectiva anual encontrados mediante dos procedimientos son iguales.La ecuacin de la tasa efectiva permite encontrar tasas efectivas de acuerdo a diferentes periodos decapitalizacin, pueden ser las siguientes:A. TEA = Tasa efectiva anual

TE = ( 1+ i )n


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B. TES = Tasa efectiva semestralC. TET = Tasa efectiva trimestralD. TEB = Tasa efectiva bimensualE. TEM = Tasa efectiva mensualF. TED = Tasa efectiva diariaEJEMPLO. El seor Juan Jos, presta $10.000.000 a una tasa de inters del 18% Nominal mensual. Calcular.a) El valor futuro que recibe al final del primer trimestre,b) Intereses del primer trimestrec) Tasa de inters efectivo trimestralDatos:Valor presente P = $10.000.000Tasa de inters i = 18% nominal mensualSOLUCION

i = 18%12 = 1,5% = 0,015a) Valor futuroF = P( 1+ i )n = 10.000.000( 1+ 0,015 )3F = 10.000.000( 1,045678375)F = $10.456.783,75b) Intereses del primer trimestre= = 10.456.783,75=10.000.000= 457.783,75= $ 457.783,75c) Tasa de inters efectivo trimestral

ie = FP 1 = 10.456.783,7510.000.000 1 = 1,045678375 1 = 0,045678 = 4,57%ie = 4,57%El mismo resultado se puede hallar utilizando la ecuacin de la tasa efectiva: Tasa efectiva peridica = iLas veces que se capitaliza la tasa efectiva peridica n = 3 (trimestre); reemplazando se tiene:TE = ( 1+ i )n = ( 1+0,015 )3 1 = (1,045678375) 1 = 0,045678375 = 4,5678%TE = 4,57%


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Los dos valores son equivalentes o iguales.TALLER 12.Ahora don Juan Jos, dese saber si presta $10.000.000 a una tasa de inters del 18% Nominal mensual; lastasas efectivas para los siguientes casos:A. TES = Tasa efectiva semestralB. TET = Tasa efectiva trimestralC. TEB = Tasa efectiva bimensualD. TEM = Tasa efectiva mensualE. TED = Tasa efectiva diariaUtilizando los dos procedimientos desarrollados anteriormente para hacer sus respectivas comprobaciones.TASAS EQUIVALENTESDos tasas son equivalentes cuando las dos, obrando en condiciones diferentes producen la misma tasaefectiva anual o el mismo valor futuro. El concepto de operaciones en condiciones diferentes hace referencia aque ambas capitalizan en perodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la otra anticipada: en elsistema financiero actual se encuentran diferentes casos de tasas equivalentes:A. De tasa efectiva a tasa efectivaB. De tasa nominal a tasa efectivaC. De tasa efectiva a tasa nominalD. De tasa nominal a tasa nominal

1. DE TASA EFECTIVA A TASA EFECTIVAEn este caso se pueden presentar dos alternativas: tasa efectiva de menor a una tasa efectiva mayor o tasaefectiva mayor a tasa efectiva menor y se puede calcular mediante:

Dnde:n1. = Nmeros de periodos de la nueva capitalizacinn2 = Nmeros de periodos de capitalizaciones inicialesi2 = Tasa efectiva inicial (conocida)i1. = ? Nueva tasa efectiva (desconocida)EJEMPLO. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) para una tasa del 15% efectiva anual (TEA)


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Datos:n1 = 12 nuevas capitalizaciones en un aon2 = 1 capitalizacin dada en un aoTEA =i2 = 15% = 0.15i1= ? nueva tasa efectivaSolucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEM = 1TEA1 121

= 115.01 121 = 1.011714917 1 = 0.011714917 = 1.17% efectivo mensualEJEMPLO. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM) y desea convertir en una nueva tasa efectivaanual (TEA)Datos:n1 = 1 nuevo nmero de capitalizaciones en un aon2 = 12 nmero de capitalizaciones dadas por aoTEM = i2 = 2,5% = 0.025i1. =? nueva tasa efectivaSolucin:Reemplazando y haciendo operaciones en, se tiene:

1i1i 1n2n

21 1TEM1i=TEA 1n

2n

1 1025.01i=TEA 121 1025.1i=TEA 121

1-1.3449i=TEA 1 anualefectivo49%34.=0.3449=i=TEA 1

TALLER 13.1. Hallar la tasa efectiva mensual para los siguientes casos:A. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 20% (TEA)B. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 22% (TEA)C. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 24% (TEA)


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D. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 36% (TEA)2. Se tiene una tasa efectiva anual 42% (TEA) y se desea convertir a las siguientes tasas: (escriba el nombrede cada tasa encontrada); teniendo en cuenta que:n1 = Nuevo nmero de capitalizaciones en un aon2 = Nmero de capitalizaciones dadas por aoTEA = Tasa de inters efectiva conocidai1. = Tasa de inters efectiva desconocida

TEA = 1TEA1 12

nn

=TES = 1TEA1 1

2

nn

=TET = 1TEA1 1

2

nn

=TEB = 1TEA1 1

2

nn

=TEM = 1TEA1 1

2

nn

=TED = 1TEA1 1

2

nn

=3. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM), convertir en tasa efectiva: anual, semestral, trimestral,bimestral y mensualTEA = 1TEM1 1

2

nn

=TES = 1TEM1 1

2

nn

=TET = 1TEM1 1

2

nn

=TEB = 1TEM1 1

2

nn

=TEM = 1TEM1 1

2

nn

=2. DE TASA NOMINAL A TASA EFECTIVAConocida la tasa nominal del crdito se necesita conocer la tasa efectiva peridica equivalente. Esta situacinse presenta con frecuencia en el sector financiero, debido a que las entidades financieras suelen expresar, porlo general, las tasas de inters de colocacin en forma nominal y el deudor necesita conocer tanto la tasaefectiva peridica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual delcrdito.


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Dnde:n1. = Nmero de periodos de la nueva capitalizacinm = Nmeros de periodos de capitalizaciones inicialesj. = Tasa nominal (conocida)i. = ?Nueva tasa efectiva (desconocida)EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir a una tasa efectiva anual(TEA)Datos:n1. = 1 nmero de periodos de la nueva capitalizacinm = 12 nmero de capitalizaciones dadas en un aoj = 36%NM = 0.36Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEA = 1mJ1 1n

m

= 11236.01 1

12

TEA = 0.4258 = 42.58 efectivo anualEJEMPLO. Se tiene una tasa nominal mensual de 36% (NM) y se desea convertir en una tasa efectivabimensual (TEB)Datos:n1. = 6 nmeros de periodos de la nueva capitalizacinm = 12 nmero de capitalizaciones dadas en un aoj = 36%NM = 0.36Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEB = 1mJ1 1n

m

= 11236.01 6

12

= 0.0609 = 6.09% efectivo bimensual


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EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal trimestral del 24% (NT) y se desea convertir a una tasa efectivamensual (TEM)Datos:n1. = 12 nmeros de periodos de la nueva capitalizacinm = 4 nmero de capitalizaciones dadas en un aoj = 24%NM = 0.24Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEM. = 1mJ1 1n

m

= 1424.01 12

4

= 106.1 124

= 0.01961 = 1.96% efectiva trimestral

TALLER 141. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir en las siguientes tasas: (escriba el

nombre de cada tasa encontrada)TEA = 1m

J1 1nm

=

TES = 1mJ1 1n

m

=

TET = 1mJ1 1n

m

=

TEB = 1mJ1 1n

m

=

TEM = 1mJ1 1n

m

=

2. Se tiene una tasa nominal semestral del 18% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)

TEM = 1mJ1 1n

m

=

3. Se tiene una tasa nominal bimestral del 8% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)


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TEM = 1mJ1 1n

m

=

5. Se tiene una tasa nominal anual del 30% (NA) y se desea convertir en las siguientes tasas (escriba elnombre de cada tasa encontrada):

TEA = 1mJ1 1n

m

=

TES = 1mJ1 1n

m

=

TET = 1mJ1 1n

m

=

TEB = 1mJ1 1n

m

=

TEM = 1mJ1 1n

m

=

3. DE TASA EFECTIVA A TASA NOMINALConocida una tasa efectiva se puede calcular una tasa nominal equivalente. Para este caso se utiliza lasiguiente expresin.

Dnde:n. = Nmero de capitalizaciones dadasm = Nmero de capitalizaciones nuevas en un aoi = Tasa efectiva peridica (conocida)J = ?Tasa nominal a buscar (desconocida)EJEMPLO. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir en una tasa nominal trimestral(TNT)Datos:n. = 12 nmeros de capitalizaciones dadas en un ao


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m = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un aoj = ? tasa nominali = 2.5% tasa efectiva peridica = 0.025Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TNT. =

1i1m mn =

1025.014 412 = 1025.14 3 = 4(0.07689) = 0.3076 = 30.76% nominaltrimestral.TALLER 15.1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 1.8% y se desea convertir a las siguientes:Tasa nominal semestral (TNS)TNS. =

1i1m mn =

Tasa nominal trimestral (TNT)TNT. =

1i1m mn =

Tasa nominal bimestral (TNB)TNB. =

1i1m mn =

Tasa nominal anual (TNA)TNA. =

1i1m mn =

2. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir a las siguientes:Tasa nominal semestral (TNS),TNS =

1i1m mn =

Tasa nominal trimestral (TNT)TNT =

1i1m mn =

Tasa nominal bimestral (TNB)


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TNB =

1i1m mn =

Tasa nominal anual (TNA).TNA =

1i1m mn =

3. Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa de inters del 22% capitalizablemensualmente, y otra ofrece pagar el 23% capitalizable semestralmente. Qu opcin se debe elegir?

4. *A partir de una tasa nominal del 36% (TNA) calcular la:A. Tasa efectiva mensualB. Tasa efectiva bimestralC. Tasa efectiva trimestralD. Tasa efectiva semestralE. Tasa efectiva anual5. *Se desea elegir entre estas dos opciones para aceptar un crdito bancario: 30%MV o 30% TV; realizar suproceso correspondiente.

4. DE TASA NOMINAL A TASA NOMINALMuchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiar el perodo de capitalizacinde la tasa de inters nominal con que se pact una operacin financiera. Este caso conduce a calcular unatasa nominal conocida otra nominal mediante la siguiente expresin:

Dnde:J1 = tasa nominal a buscarm1. = nuevos periodos de capitalizacinJ2 = tasa nominal dadam2. = periodos de capitalizacin dadosEJEMPLO. Una entidad financiera aprueba a Don Pepe un crdito a una tasa del 36% con capitalizacinmensual (36%TNM), quien solicita quiere que le conviertan esa tasa en una nueva tasa nominal perocapitalizable trimestralmente. Hallar esta nueva tasa equivalente.


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Datos:J1 = ? tasa nominal a buscarm1. = 4 nuevos periodos de capitalizacin en el aoJ2 = 36% tasa nominal dada = 0.36m2. = 12 periodos de capitalizacin dadosSolucin:Reemplazando en la expresin correspondiente se tiene:

1m

J1mJ 12

mm

22

11

112

36.014J 412

1 =4 103.01 3 =4 1092727.1 == 4(0.092727)=0.3709=37.09% tasa nominal capitalizable trimestralmente J1 = 37.09% TNTTALLER 16.1. Dada una tasa nominal del 30%TNV calcular una tasa nominal TMV2. Se tiene una tasa del 30% con capitalizacin mensual (36%TNM), se quiere convertir en una nueva tasa

nominal capitalizable:A. BimestralB. TrimestralmenteC. SemestralD. AnualEQUIVALENCIAS ENTRE TASAS ANTICIPADAS Y VENCIDASCuando se cobra la tasa de inters en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permiteutilizar el dinero, lo que en realidad significa que se presta una cantidad menor, y esto se traduce en un mayorcosto del crdito. Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o peridicas efectivas. Las tasas nominalesson las que se capitalizan ms de una vez en el ao.

1. CONVERSIN DE TASA PERIODICA ANTICIPADA A TASA VENCIDAConsiste en disear una expresin que permita calcular la tasa peridica vencida equivalente a una tasaperidica anticipada. La ecuacin que permite realizar esta operacin es la siguiente:


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Dnde:iv = tasa efectiva peridica vencidaia = tasa efectiva peridica anticipadaEJEMPLO. Le ofrecen un prstamo de $ 100.000 que debe pagar despus de un mes pero le cobranintereses del 5% mensual, pagaderos en forma anticipada. Como usted necesita la totalidad de los $100.000,le solicita a quien le presta el dinero que le cobre intereses mensuales vencidos, pues si son anticipados slorecibir $ 95.000. Se necesita conocer la tasa mensual vencida equivalente a una tasa del 5% mensualanticipado.Datos:ia. = 0.05Solucin:

%26.5)05.01(05.0

)i1(i

vi aaiv = 5.26% mensualAl hacer la operacin con esta tasa del 5.26% mensual, usted recibir los $ 100.000 y al finalizar el mesentregara $ 105.260, valor que se descompone en $ 100.000 de capital ms $ 5.260 de inters(100.000*0.0526)

2. CONVERSIN DE TASA PERIODICA VENCIDA A TASA ANTICIPADAAhora estamos ante una situacin contraria a la analizada anteriormente. Al conocerse una tasa peridicavencida se necesita calcular la tasa peridica anticipada equivalente.

Dnde:iv = tasa efectiva peridica vencidaia = tasa efectiva peridica anticipada


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Algunos autores simbolizan la tasa peridica vencida como: iv = iEJEMPLO. Si usted le va a prestar a un cliente una determinada cantidad de dinero al 2% mensual y le exigeel pago de intereses anticipados. Calcular esa tasa de inters.Datos:iv = 0.02Solucin:

%96.1019607843.0)02.01(02.0

)i1(i

ai vvia = 1.96% anticipados

3. CONVERSIN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA EFECTIVA VENCIDA

Dnde:m. = nmero de capitalizaciones dadas en un aon. = nmero de capitalizaciones nuevas en un aoJ = tasa nominal dadaiv = ? tasa efectiva vencidaEJEMPLO. Se tiene una tasa del 30% (TNMA) y se desea pasar a una tasa efectiva anual vencida (TEAV).Datos:m. = 12 nmero de capitalizaciones dadas en un aon = 1 nmero de capitalizaciones nuevas en un aoj = 30% TNMA = 0.30TEAV = ?Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:


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1JmmTEAV n

m=

130.01212 112 =

170.11

12 12 = 1025641020.1 12 TEAV = 0.3550 = 35.50%,TEAV = 35.50% tasa efectiva anual vencidaEJEMPLO. Se tiene una tasa del 32% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).Datos:m. = 4 nmero de capitalizaciones dadas en un aon = 12 nmero de capitalizaciones nuevas en un aoj = 32% TNTA = 0.32Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

1JmmTEMV n

m=

132.044 124 =

168.3

4 124 =

1086956522.1 124

=0.02818=2.82%,TEMV = 2.82% tasa efectiva mensual vencidaTALLER 17.1. Se tiene una tasa del 36% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva semestral vencida (TESV).2. Se tiene una tasa del 48% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral vencida (TETV).3. Se tiene una tasa del 18% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral vencida (TEBV).4. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).5. Se tiene una tasa del 15% TNBA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).6. Se tiene una tasa del 12% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).4. CONVERSIN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL VENCIDA

Dnde:m1. = nmero de capitalizaciones dadas en un aom2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un ao


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j1 = tasa nominal dadaj2. = ? tasa nominal a buscarEJEMPLO. Se tiene una tasa del 24% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).Datos:m1. = 6 nmeros de capitalizaciones dadas en un aom2 = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un aoj1 = 24% TNTA = 0.24j2. = ?Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

1JmmmJ 1

2mm

121

22 =4

124.066 46 =

176.5

64 46

=4

1041666667.1 46

=0.2525J2 = 25.26%, TNTV = 25.26% tasa nominal trimestral vencidaTALLER 181. Se tiene una tasa del 12% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).2. Se tiene una tasa del 18% NTA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).3. Se tiene una tasa del 20% NBA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).

5. CONVERSIN DE TASA EFECTIVA VENCIDA A TASA EFECTIVA ANTICIPADA

Dnde:n1. = nmero de capitalizaciones dadas en un aon2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un aoiv= tasa efectiva vencida dadaia. = ? tasa anticipada a buscar


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EJEMPLO. Se tiene una tasa del 35% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada(TETA).Datos:n1. = 1 nmero de capitalizaciones dadas en un aon2 = 4 nmero de capitalizaciones nuevas en un aoTEAV = iv = 35% = 0.35ia. = ?Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

7.23%=0.07228)35.1(

11)35.01(

11)TEAV1(

11TETA41

41

nn21

TETA = 7.23%TETA = ia.= 7.23% tasa efectiva trimestral anticipadaTALLER 19.1. Se tiene una tasa del 20% TETV y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral anticipada (TEBA).2. Se tiene una tasa del 12% TESV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA).3. Se tiene una tasa del 18% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva semestral anticipada (TESA).

6. CONVERSIN TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL ANTICIPADA

Dnde:m1. = nmero de capitalizaciones dadas en un aom2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un ao)j1 = tasa nominal mes anticipadaj2= ? tasa nominal anticipada a buscarEJEMPLO. Se tiene una tasa del 24% TNMA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada(TNTA).


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Datos:m1. = 12 nmeros de capitalizaciones dadas en un aom2 = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un aoTNMA =j1 = 24% = 0.24TNTA = j2= ?Solucin:Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

2

1mm

1

112 m

Jm1mTNTA =

412

1224.01214 =

412

1276.1114 = 941192.014 = 058808.04

=02352=23.52%TNTA = 23.52% nominal trimestral anticipadaTALLER 20.1. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA).2. Se tiene una tasa del 18% TNTA y se desea pasar a una tasa nominal bimestre anticipada (TNBA).3. Se tiene una tasa del 28% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal mensual anticipada (TNMA).TALLER 21: FINAL1. Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a:A. Al 26% efectiva vencida anualB. Al 35% efectiva anticipada aoC. Al 34% nominal trimestre vencidaD. Al 4% anticipada de bimestreE. Al 31% efectivo vencido anual2. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a:A. Al 15% efectiva semestralB. Al 20% nominal bimestralC. Al 24% nominal trimestral anticipadaD. Al 25% anticipada aoDESCUENTO POR PRONTO PAGOLos proveedores se constituyen en una importante fuente de financiamiento de corto plazo para cualquierempresa. Evidentemente, el crdito es un factor de demanda de un producto. Aunque lo ideal para lasempresas comerciales y manufactureras sera vender los productos al contado, ya se ha constituido en unaprctica comercial no exigirles a los compradores que paguen por las mercancas al momento de su entrega,sino que se les conceden un corto perodo de aplazamiento para hacerlo.


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Los proveedores plantean los descuentos por pronto pago de sus productos indicando los descuentos pormedio de fracciones, cuyo numerador seala el porcentaje de descuento y denominador se refiere al tiempodentro del cual el comprador tiene la opcin de pagar, para tener derecho al descuento sealado en elnumerador.EJEMPLO. Un proveedor factura una mercanca por valor de $ 500.000 con el siguiente plan de descuentopor pronto pago: 4/10 neto 30. Calcular el costo para el comprador si se acoge o no al descuento por prontopago.La expresin 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercanca dentro de los primeros 10 dastendr derecho a un descuento del 4%, de lo contrario pagar a los 30 das el valor neto de la factura.Descuento = i*500.00 = 0.04*500.000 = $ 20.000Costo a pagar dentro de los 10 primeros das = 500.000 20.000 = $ 480.000Si no se acoge al descuento pagar a los 30 das el valor neto de la factura $ 500.000


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5. ANUALIDADES O SERIESUna anualidad es un conjunto de pagos iguales (constantes) hechos a intervalos de tiempo. El trminoanualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresin, esto nonecesariamente es as. En matemticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales detiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de lasanualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortizacinms comn en los crditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que elfinanciador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado.Las clases de anualidades ms comunes son las siguientes: Anualidades vencidas Anualidades anticipadas Anualidades diferidas Anualidades perpetuas Anualidad con inters global

1. ANUALIDADES VENCIDASSon aquellas cuotas en donde los pagos se hacen al final del perodo: as, por EJEMPLO, el salario mensualde un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehculos y electrodomsticos, soncasos de anualidades vencidas.VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCION DEL VALOR PRESENTEPara hallar el valor de una anualidad o cuota (A) se utiliza la siguiente frmula:


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Dnde:Valor presente = PValor de la primera cuota = ATasa de inters efectiva = iNumero de cuotas por periodo = nEJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12cuotas mensuales con una tasa de inters del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor totalpagado.Datos:Valor del lote = $20.000.000Cuota inicial 10% del valor del loteValor presente P = $18.000.000Numero de cuotas mensuales n = 12Tasa de inters efectiva i = 2%Solucin:Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000

1)1(

)1(P=A nn

iii =

1)02.01()02.0.1(02.018.000.000 1212 = $ 1.702.072.74

A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual.Total a pagar = (A)*(12)+2.000.000 =(1.702.072.74)*(12)+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000=$22.424.872.88Total a pagar =

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