notas ecuacion de Dirac

La Ecuación de Dirac

Por Kristhell Marisol López

01/12/2009

1 Introducción

La ecuación de Dirac describe a un electrón o un positrón relativista, el cual se mueve libremente, es

decir, en ausencia de campos externos u otras partículas. Sin embargo, esta ecuación es importante para la

descripción asintótica de partículas interactuantes, pues en el límite de tiempos grandes, las partículas

interactuando se comportan como partículas libres, pues su separación aumenta.

Si se escribe la ecuación de Dirac como un problema de valores iniciales, se puede llegar a la interpret-

ación de una partícula, que podría llevar a algunas inconsistencias, como que un electrón puede estar en un

estado con energía negativa. Sin embargo, estas soluciones se pueden identificar como positrones con

energía positiva.

En vista de que es necesario que la teoría cuántica se aplique a las partículas que viajan a velocidades

muy altas, se buscará hacer la teoría existente invariante ante transformaciones de Lorentz.

2 Notación y convención

Primero se hará un cambio de notación para las coordenadas:

c t = x0

x = x1

y = x2

z = x3

Por lo que la función de onda yHt, x, y, zL será ahora yHx0, x1, x2, x3L .

Y luego, un cambio de notación para el momentum lineal:

px = p1 = -iÑ ∑

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ x1

py = p2 = -iÑ ∑

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑x2

pz = p3 = -iÑ ∑


1

Sin embargo, se necesita tener cuatro componentes (como las cuatro componentes de la posición), por lo

que se introduce una nueva variable dinámica, definida por:

p0 = iÑ ∑


=iÑÅÅÅÅÅÅÅc

∑

ÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ t

Esta variable tiene el significado físico de la energía de la partícula sobre c.

Como puede notarse, se usará notación relativista, la cual está sujeta a las siguientes condiciones:

a0 = a0

a1 = -a1a2 = -a2a3 = -a3

Es decir, am = gmn an , donde

gmn =

i

k

jjjjjjjjjjjjj

1 0 0 0

0 -1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

y

{

zzzzzzzzzzzzz

Ahora, ya se puede proceder a tratar las nuevas coordenadas xi y pi .

3 Deducción de la ecuación de Dirac

Tomando la ecuación de Schrödinger,

(1)iÑ ∑ †y\ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

∑ t= H †y_

y el Hamiltoniano relativista,

(2)H = "############################m2 c4 + p2 c2

y utilizando la nueva notación, se llega a

(3)Kp0 - "###################################################m2 c2 + p12 + p22 + p32 O †y\ = 0

La Ecuación de Dirac.nb

2

Debido a que no hay simetría entre p0 y las otras pi , se necesita una nueva ecuación.

Multiplicando (3) por p0 +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!m2 c2 + p12 + p22 + p32 se obtiene

(4)Ip02 - p12 - p2

2 - p32 -m2 c2M †y] = 0

Sin embargo, (4) no es completamente equivalente a (3), pues aunque toda solución de (3) es solución de

(4), sólo las soluciones positivas de (4) serán solución de (3).

Nótese que (4) no está en la forma lineal de p0 que se necesita. Para lograr esto, se escribirá de la sigu-

iente manera:

(5)Hp0 - a1 p1 - a2 p2 - a3 p3 - bL †y\ = 0

donde am y pm son independientes. Así también, am son independientes de β , pues como no existe campo

alguno, todos los puntos deben ser equivalentes.

Ahora, si se multiplica (5) por p0 + a1 p1 + a2 p2 + a3 p3 + b y se le obliga a cumplir con

(6)Hp0 - a1 p1 - a2 p2 - a3 p3 - bL Hp0 + a1 p1 + a2 p2 + a3 p3 + bL = Ip02 - p12 - p2

2 - p32 -m2 c2M

se obtienen las siguientes relaciones:

(7)a12 = a2

2 = a32 = 1

(8)b2 = m2 c2

(9)am an + an am = 0

(10)am b + bam = 0

Y si se hace b = am m c , con am2 = 1se puede escribir el anticonmutador

(11)@am, anD+= 2 dmn

donde m = 81, 2, 3, m< .

La ecuación (5) no es equivalente a (3), pero permite valores tanto negativos como positivos de p0 .

Obviamente, los valores negativos de p0 no corresponden a algún movimiento observable del electrón.

Nótese que las am tienen propiedades parecidas a las tres Matrices de Pauli. Las matrices que cumplen

estas propiedades deben tener dimensión par. No pueden ser de 2x2, pues únicamente tres matrices, como las

de Pauli, así cumplirían las propiedades, y se necesitan cuatro matrices. Por lo tanto deben ser matrices de

4x4.


3

Es conveniente que se exprese las a j en función de las matrices de Pauli:

(12)a1 = r1 s1

(13)a2 = r1 s2

(14)a3 = r1 s3

(15)am = r3

donde

(16)s1 =ikjjj sx 0

0 sx

y{zzz s2 =

ikjjj sy 0

0 sy

y{zzz s3 =

ikjjj sz 0

0 sz

y{zzz

(17)r1 =

i

k

jjjjjjjjjjjjj

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

y

{

zzzzzzzzzzzzzr2 =

i

k

jjjjjjjjjjjjj

0 0 -i 0

0 0 0 -i

i 0 0 0

0 i 0 0

y

{

zzzzzzzzzzzzzr3 =

i

k

jjjjjjjjjjjjj

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

y

{

zzzzzzzzzzzzz

Debido a que las matrices s j y r j son hermitianas, am también. Además, como son de 4x4, la función de

onda debe tener cuatro componentes. Cuando está el espín involucrado, se requiere de dos componentes.

Ahora se obtiene cuatro porque la función de onda corresponde a dos estados con energía positiva y dos con

energía negativa.

Sustituyendo am en (5),

(18)8p0 - r1Hs1 p1 + s2 p2 + s3 p3L - r3 m c< †y\ = 0

es decir,

(19)8p0 - r1Hsêêê ÿ pêêL - r3 m c< †y\ = 0

Esta ecuación es conocida como espinor de Lorentz. Ahora, si se generaliza al caso de que existiera un

campo electromagnético, con A0 y Aêêê como potenciales escalar y vectorial respectivamente, (19) se reescribe

(20):p0 +eÅÅÅÅÅc

A0 - r1Jsêêê ÿ Bpêê +eÅÅÅÅÅc

AêêêFN - r3 m c> †y\ = 0

que es la ecuación de Dirac.

4 Invarianza ante transformaciones de Lorentz

El primer paso es introducir a0 = 1, para que así la ecuación (20) se reescriba como


4

(21):a0Jp0 +eÅÅÅÅÅc

A0N - aêê ÿ Jpêê +eÅÅÅÅÅc

AêêêN - am m c> †y\ = 0

y, haciendo uso de las condiciones de la notación relativista, se puede reescribir nuevamente como

(22):amJpm +eÅÅÅÅÅc

AmN - am m c> †y\ = 0

donde am cumplen con la relación

(23)am am av + an am am = 2 gmn am

Ahora, aplicando una transformación de Lorentz infinitesimal, se obtiene

(24)pm* +

eÅÅÅÅÅc

Am* = Ipm + am

n pnM +eÅÅÅÅÅc

IAm + amn AnM

por lo que

(25)pm +eÅÅÅÅÅc

Am = Ipm* - am

n pn*M +

eÅÅÅÅÅc

IAm* - am

n An*M

y así, (22) se reescribe

(26):Iam - al alnM Jpm

* +eÅÅÅÅÅc

Am*N - am m c> †y\ = 0

Ahora, se define

(27)M =1ÅÅÅÅÅ4

ars ar am as

que, utilizando (23), cumple con

(28)am am M -Mam am =arsÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

Hgmr as - ar gmsL = -arm ar

lo que implica que

(29)am H1 + am M L = H1 +MamL Iam - arm arM

Entonces, si se multiplica (26) por H1 +MamL por el lado izquierdo, se obtiene


5

(30):am H1 + am M L Jpm* +

eÅÅÅÅÅc

Am*N - amH1 +MamL m c> †y\ = 0

en donde, haciendo †y*\ = H1 + am M L †y\ ,

(31):amJpm* +

eÅÅÅÅÅc

Am*N - am m c> †y*\ = 0

con lo que se prueba la invarianza ante transformaciones de Lorentz.

5 Interacción electromagnética

Para estudiar el espín y el momento magnético cuando existe presencia de un campo magnético, se puede

poner Am = 0. Además, es mucho más sencillo trabajar en notación no relativista, y entonces, (21) se ree-

scribe como

(32)iÑÅÅÅÅÅÅÅc

∑ †y\ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

∑ t= @aêê ÿ pêê + am m cD †y\

donde pêê = pêê + eÅÅÅÅc

Aêêê es el operador momentum cinético. Para resolver la ecuación, se buscan eigen-estados

con la forma †y\ = yH0L e- iÅÅÅÅÑ

E t , y entonces,

(33)E †y\ = Ac aêê ÿ pêê + am m c2E †y\

Ahora, se escribe †y\ = I cFM , donde c y F son espinores de dos componentes. Sustituyendo aêê , am y †y\ en

(33) se obtiene:

(34)ikjjjjjIE -m c2M -c sêêê ÿ pêê

-c sêêê ÿ pêê IE +m c2My{zzzzz J c

FN = K0

0O

Por lo tanto,

(35)IE -m c2M c - c sêêê ÿ pêê F = 0

(36)IE +m c2M F - c sêêê ÿ pêê c = 0

Y, por (36),

(37)F =c sêêê ÿ pêê

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅE +m c2

c

La energía de la ecuación de Schrödinger no incluye la energía en reposo, por lo que se podría escribir

como Es = E -m c2 , o similarmente, Es = T + V . A velocidades bajas, y por el Teorema del Virial,


6

(38)Es

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅm c2

ºm v2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅm c2

= J vÅÅÅÅÅc

N2 ` 1

Por lo que (37) se reescribe como

(39)F =c sêêê ÿ pêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m c2

c

Entonces,

(40)ƒƒƒ†ƒƒƒ

FÅÅÅÅÅÅÅc

£ =sêêê ÿ vêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c

` 1

Por (40), a F se le conoce como la componente pequeña y a c , como la componente grande.

Ahora, sustituyendo (39) en (35)

(41)Es c =Hsêêê ÿ pêêL Hsêêê ÿ pêêLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2 m c

que es llamada Ecuación de Pauli. Utilizando la propiedad Hsêêê ÿwêêêL Hsêêê ÿ zêL = wêêê ÿ zê + i sêêê ÿ Hwêêê µ zêL , la ecuación(41) se convierte en

(42)Es c = K 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m

Jpêê +eÅÅÅÅÅc

AêêêN2 +

e ÑÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m c

sêêê ÿBêêO c

Nótese que el Hamiltoniano de la interacción es

(43)Hint =e Ñ

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m c

sêêê ÿBêê

Se sabe que el Hamiltoniano para un sistema de interacción espín - campo electromagnético es

(44)Hint =g e Ñ

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 m c

sêêê ÿBêê

Por lo tanto, comparando (43) con (44), se puede concluir que g = 2, que es el resultado que se esperaba.

A pesar que se utilizó relatividad para llegar a esta constante, no es necesaria. Simplemente se escribe el

Hamiltoniano de una partícula libre como


7

(45)H =Isêêê ÿP

êêêM2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m

Luego se generaliza a una partícula en un campo magnético, y con esto se obtiene también que g = 2. Se

recomienda demostrar este resultado.

6 Referencias

è SHANKAR, R. 1994. “Principles of Quantum Mechanics”. Plenum Press. Second Edition. New York,

United States of America. 676 pps.

è THALLER, B. 1992. “The Dirac Equation”. Springer - Verlag. Institut für Mathematik, Karl - Franzens -

Universität Graz. Graz, Austria. 357 pps.

è DIRAC, P. 1958. “Principles of Quantum Mechanics”. Oxford University Press. Fourth Edition. Oxford,

Great Britain. 314 pps.


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