ESTUDIO DE LA ECUACION DE DIRAC YSU SOLUCION FUNDAMENTAL

UTILIZANDO TEORIA DEDISTRIBUCIONES

Felix Humberto Maldonado Villamizar

2 de agosto de 2006

ESTUDIO DE LA ECUACION DE DIRAC

Y SU SOLUCION FUNDAMENTAL

UTILIZANDO TEORIA DE

DISTRIBUCIONES

FELIX HUMBERTO MALDONADO

VILLAMIZAR

Director:

ARIEL REY BECERRA. Ph.D.

Trabajo de Grado.

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE FISICA Y

MATEMATICAS

PAMPLONA

2006

1

A mis padres:

Felix y Amanda

2

Agradecimientos a:

Dr. Ariel Rey Becerra.Dr. Juan Carlos Lopez.Dr. Angel Jose Chacon.

Companeros, entre otros, por su colaboracion y observaciones que ayudaronmucho en este trabajo.

3

Resumen

Se estudia el comportamiento de la solucion fundamental de la ecuacion deDirac para la partıcula libre y utilizando los conceptos de la teorıa de lasdistribuciones se calcula la velocidad y aceleracion instantaneas del electronrelativista, se concluye este trabajo con una pequena digresion de los resul-tados.

Indice de figuras

1.1. Funcion en el sentido clasico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Nuevo modelo de las ”funciones” . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1. Supp de Dt,τDτ,0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Disposicion de los tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Modelo del electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

A.1. Contorno para la funcion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.2. Contornos para las funciones de Hankel . . . . . . . . . . . . . . 35

1

Indice general

1. Teorıa de Distribuciones 41.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Los espacios S y S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Los espacios D y D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. La Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. La Ecuacion de Dirac 132.1. El espacio de Hilbert para la ecuacion de Dirac . . . . . . . . 13

2.1.1. Subespacios espectrales de H0 . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. La transformacion de Foldy-Wouthuysen . . . . . . . . 16

2.2. La solucion fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Resultados Principales 223.1. Velocidad instantanea del electron . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. Aceleracion instantanea del electron . . . . . . . . . . . . . . . 27

A. Funciones de Bessel 33

2

Introduccion

Indudablemente la teorıa cuantica representa hoy en dıa la forma masaproximada para describir los mecanismos que utiliza la naturaleza para ex-presarse, y actualmente una de la teorıas que mas sobresale es la llamadaelectrodinamica cuantica, siendo Paul Dirac uno de sus mas importantes con-tribuyentes, inicialmente su nombre se hizo famoso al plantear la ecuacionque lleva su nombre y que describe el comportamiento del electron en condi-ciones que los efectos relativistas sean de considerar, esta ecuacion nos llevamucho mas alla, no solo haciendo las correcciones antes mencionadas sinotambien describiendo el movimiento interno del electron y llevando su des-cripcion a una forma invariante, lo cual es muy importante y que es uno delos principios fundamentales de la relatividad especial. De esta forma se tra-ta de unir, por un lado la teorıa que amplıa la mecanica clasica y que es denaturaleza muy profunda, y por otro lado se incorpora la teorıa especial de larelatividad, para poder estudiar el comportamiento de partıculas a grandesvelocidades. Esto implica que un estudio en esta area es mucha importanciaen el contexto actual de la ciencia.

3

Capıtulo 1

Teorıa de Distribuciones

1.1. Funciones

Las funciones en el sentido clasico de la palabra hace referencia a unconjunto de pares ordenados, es decir que si tenemos una funcion f cuyodominio es un conjunto D, para cada elemento x ∈ D se asigna una imagen,elemento atraves de f en un conjunto R el cual es unico, de esta formapodemos pensar en una funcion, o mejor lo que le hace una funcion a unelemento x0 de D y lo cual se puede escribir como (x0, f(x0))

Ahora veamos el caso de una ”funcion”que tiene las siguientes propiedadesy que es llamada funcion delta de Dirac en R, las propiedades de esta son:

δ(x) =

0 para x 6= 0,∫∞

−∞ δ(x)dx = 1.(1.1)

De manera analoga se puede extender este concepto a un espacio de n di-mensiones, claramente no hay una funcion en el sentido clasico que cumplacon estos requisitos, por lo tanto se debe ampliar el concepto de funcion quese tiene hasta ahora, y en dicha generalizacion deben incluirse las funcionestal y como las conocemos hasta ahora, de aquı surge el nombre: Funcionesgeneralizadas.Una funcion generalizada o distribucion es un funcional lineal.

4

Figura 1.1: Funcion en el sentido clasico.

1.2. Los espacios S y S ′

Antes de entrar a definir estos espacios introduzcamos primero algunosconceptos. Sea Zn

+ el conjunto de n-uplas (α1, ..., αn), para cada cada αi quepertenezca a los naturales, |α| =

∑ni=1 αi, x = (x1, ..., xn) ∈ Rn y sea Dα que

denota el operador diferencial ∂|α|

∂xα11 ,...,∂xαn

ny por ultimo

xα = xα11 × xα2

2 × ...× xαnn .

Definicion 1.2.1 El espacio lineal complejo de los operadores acotados devalores complejo de Rn se denota como Cb(Rn) y esta equipado con la norma:

‖f‖∞ = supx∈Rn

|f(x)|. (1.2)

Definicion 1.2.2 El espacio lineal de las funciones acotadas infinitamentediferenciables sobre Rn se denota por Cinfty

b (Rn). El espacio S(Rd) es el sube-spacio lineal de C∞

b (Rn) formado por el conjunto de funciones f sobre Rn talque xαDβf(x) esta acotado en Rn para α, β ∈ Zn

+.S(Rd) esta equipado con la familia de seminormas:

‖f‖α,β = supx∈Rn

|xαDβf(x)|. (1.3)

5

Para α, β ∈ Zn+. Normalmente se dice que los elementos del espacio S son

funciones de rapido decrecimiento en el infinito.

Definicion 1.2.3 Se dice que una sucesion (fn) en S(Rd) converge a f enS(Rd)si para cada α, β ∈ Zn

+, ‖fn − f‖α,β → 0 cuando n→∞.

Definicion 1.2.4 Los funcionales lineales continuos sobre S(Rd) son llama-dos distribuciones temperadas. El espacio lineal de las distribuciones tempe-radas se denota por S ′(Rd). Entonces T ∈ S ′(Rd) si y solo si T : S(Rd) → Ces lineal y fn → f en S(Rd) implica que T (fn) → T (f) en C.

Podemos definir ya de manera estricta la que en un principio llamamos ”fun-cion”delta de Dirac.

Ejemplo 1.2.1 Sea a ∈ Rd fijo, sea δa el mapeo sobre S(Rd) dado por:f 7→ f(a), evidentemente δa es una distribucion temperada, ahora sı podemosllamar a esta distribucion funcion delta de Dirac siguiendo la nomenclatura,pero sin perder de vista lo que verdaderamente significa.

Proposicion 1.2.1 Supongase que T : S → C es lineal y que hay α, β ∈ Zd+

tal que:|T (f)| ≤ ‖f‖α,β, (1.4)

para todo f ∈ S(Rd). Entonces T ∈ S ′(Rd).

Prueba: Para demostrar que es continuo solo debemos mostrar que es con-tinuo en el elemento 0. Pero si f → 0 en S, se sigue en particular que‖fn‖α,β → 0 y tambien que:

|T (fn)| ≤ ‖fn‖α,β → 0,

a medida que n→∞.

Teorema 1.2.1 Un funcional lineal T sobre S(Rd) es una distribucion tem-perada si y solo si hay un C > 0 y algunos k,m ∈ Z+ tales que:

|T (f)|C‖f‖k,m, (1.5)

para todo f ∈ S(Rd).

6

Prueba: Si dicha cota existe, es claro que T ∈ S ′(Rd). Al contrario, supong-amos que T ∈ S ′(Rd) pero que no hay dicha cota. Entonces para cualquiern ∈ N, es falsa la afirmacion:

|T (f)| ≤ n‖f‖n,m

para todo f ∈ S(Rd). En otras palabras, existe una sucesion (gn) en S talque:

|T (gn)| > n‖gn‖n,m

tomemos dicha sucesion como fn = gn/n‖gn‖n,m de forma que T (fn) > 1portanto:

‖fn‖k,m =‖gn‖k,m

n‖gn‖k,m

≤ 1

n,

siempre que n ≥ max(k,m). Se sigue que fn → 0 en S(Rd). Pero nos llevaa una contradiccion ya que T (fn) → 0 lo que es falso y concluye nuestrademostracion.

Proposicion 1.2.2 Sea g ∈ L2(Rd). Entonces el mapeo lineal:

Tg : f 7→∫g(x)f(x)dx, (1.6)

sobre S(Rd) define una distribucion temperada.

Prueba: Para f ∈ S(Rd) tomemos |Tg(f)| = |∫g(x)f(x)dx| ≤ ‖g‖L2‖f‖L2 ,

pero:

‖f‖2L2 =

∫|f(x)||f(x)|dx

≤ ‖f‖0,0

∫|f(x)|dx

= ‖f‖0,0

∫ ( d∏j=1

(1 + x2j)

)|f(x)| 1∏d

k=1(1 + x2k)

≤ ‖f‖0,0‖f‖2d,0

∫1∏d

k=1(1 + x2k)dx1dx2...dxd

= πd‖f‖0,0‖f‖2d,0

≤ πd‖f‖22d,0.

7

Esto nos lleva a un estimativo:

|Tg(f)| ≤ ‖g‖L2πd2‖f‖2d,0,

lo que muestra que T ∈ S(Rd), como se propuso.El siguiente resultado indica que funciones acotadas por polinomios determi-nan distribuciones vıa integracion.

Teorema 1.2.2 Supongamos que g(x) es medible y que para algunm ∈ N,

∏dj=1(1 + x2

j)−mg(x) es acotado en Rd. Entonces el mapeo:

Tg : 7→∫g(x)f(x)dx, (1.7)

es una distribucion temperada.

Prueba: Sea p(x) =∏d

j=1(1 + x2j). La hipotesis nos dice que para cualquier

f ∈ S(Rd):

|g(x)f(x)| = p(x)−m|g(x)|p(x)m|f(x)|< Mp(x)m|f(x)|.

Para algun M > 0, se sigue que f(x)g(x) es integrable y que Tg esta biendefinida en S(Rd).Para mostrar que T ∈ S ′(Rd), hagamos un estimativo:

|Tg(f)| < M

∫p(x)m|f(x)|dx

= M

∫p(x)m+1|f(x)| 1

p(x)dx

≤ M‖f‖2d(m+1),0πd.

Por tanto Tg ∈ S ′(Rd).A estas instancias podemos acercarnos una nueva idea de la generalizacionde funciones, designandolo el nuevo modelo. Pensemos por su accion (valoresfuncionales) en un espacio el cual aquı llamamos S(Rd) y que normalmentese les llama funciones de prueba.1 Esta accion esta definida por medio de losvalores (Tg(f), f).

1Tambien se le llama espacio de Schwartz

8

Teorema 1.2.3 (Valor Principal de Cauchy) El funcional:

P

(1

x

): f 7→ lım

ε↓0

∫|x|≥ε

1

xf(x)dx (1.8)

pertenece a S ′(Rd).

Prueba: Mostremos primero que P(

1x

)esta bien definida en S(R). Para

f ∈ S(R) ∫|x|≥ε

1

xf(x)dx =

∫ ∞

ε

f(x)− f(−x)x

dx.

Sin embargo,f(x)−f(−x)x

→ 2f ′(0) cuando x → 0 y por tanto f(x)−f(−x)x

esintegrable en [0,∞) y P

(1x

)esta de verdad bien definida.

Este funcional es lineal debido a la linealidad de la integral, solo nos hacefalta verificar su continuidad en S(R). Para esto veamos que cuando x > 0:∣∣∣∣f(x)− f(−x)

x

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1x∫ x

−x

f ′(t)dt

∣∣∣∣≤ 1

x

∫ x

−x

|f ′(t)|dt

≤ 2‖f ′‖∞.

Por tanto∣∣∣∣P (1

x

)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ 1

0

f(x)− f(−x)x

dx+

∫ ∞

1

f(x)− f(−x)x

dx

∣∣∣∣≤

∫ 1

0

2‖f ′‖∞dx+

∫ ∞

1

|f(x)|+ |f(−x)|xdxx2

≤ 2‖f ′‖∞ + 2‖xf(x)‖∞∫ ∞

1

dx

x2

= 2‖f‖0,1 + 2‖f‖1,0.

De donde se sigue el resultado.

Teorema 1.2.4 Sea gε(x) = xx2+ε2

. Entonces Tgε → P ( 1x) en S ′(R) cuando

ε→ 0.

9

Prueba: Sea f ∈ S(R) y sea δ > 0. Entonces:∣∣∣∣P (1

x)(f)− Tgε(f)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣P (1

x)(f)−

∫ ∞

−∞

xf(x)

x2 + ε2dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ ∞

0

f(x)− f(−x)x

dx−∫ ∞

0

xf(x)− xf(−x)x2 + ε2

dx

∣∣∣∣≤

∫ δ

0

∣∣∣∣f(x)− f(−x)x

∣∣∣∣ dx+

∫ ∞

δ

∣∣∣∣ ε2δ2

f(x)− f(−x)x

∣∣∣∣ dx.El primer termino puede hacerse tan arbitrariamente pequeno escogiendo δ

lo suficientemente pequeno, el hecho de que∣∣∣f(x)−f(−x)

x

∣∣∣ se integrable, quiere

decir que la segunda integral se aproxima a cero cuando ε→ 0.

Teorema 1.2.5 Para ε > 0, Sea hε = 1x−x0+iε

. Entonces:

hε → P

(1

x− x0

)− iπδx0

en S ′(R), cuando ε→ 0.

Para la demostracion ver [1]

1.3. Los espacios D y D′

Se considera otro espacio y su adjunto.

Definicion 1.3.1 Sea Ω ⊆ Rd un conjunto abierto de Rd. C∞0 (Ω) denota el

subconjunto lineal que consiste en aquellas funciones en C∞0 (Rd) las cuales

tienen soporte 2en Ω.Supongamos que (ϕn) es una sucesion en C∞

0 (Ω) y sea ϕ ∈∞0 (Rd). Decimosque ϕn → ϕ en C∞

0 (Ω) si:

i Hay algun conjunto compacto K ⊂ Ω tal que supp ϕn ⊂ K para todo n.

2El soporte de una funcion f en Rd, se denota por supp f es la clausura del conjuntoen el cual f no se anula:

supp f = x ∈ Rd : f(x) 6= 0.

C∞0 (Rd) denota el subespacio lineal de C∞(Rd) de aquellas funciones con soporte com-pacto. Claramente C∞0 (Rd) ⊂ S(Rd).

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ii Dαϕn → Dαϕ uniformemente cuando n→∞ para cada α ∈ Zd+.

Note que supp ϕ ⊂ K.D(Ω) es el espacio C∞

0 (Ω) equipado con esta nocion dde convergencia y dec-imos que ϕn → ϕ en D(Ω).

Definicion 1.3.2 Se dice que (ϕn) es una sucesion de Cauchy en D(Ω) sihay algun conjunto compacto K ⊂ Ω tal que supp ϕn ⊆ K para todo n talque ‖Dα(ϕn − ϕm)‖∞ → 0 cuando n,m→∞ para todo α ∈ Zd

+.

Definicion 1.3.3 Un funcional lineal u : D(Ω) → C se dice que es continuosi u(ϕn) → u(ϕ) en D(Ω) cuando n → ∞. Dicho funcional lineal continuoes llamado una distribucion, el espacio lineal de las distribuciones se denotacomo D′(Ω)

C

Funciones singulares.

Funciones regulares.

D′

∫g(x)f(x)dx

Figura 1.2: Nuevo modelo de las ”funciones”

1.4. La Transformada de Fourier

Daremos aquı algunas caracterısticas y algunos teoremas que son de im-portancia.

Definicion 1.4.1 La transformada de Fourier de una funcion f ∈ S(Rd) esla funcion Ff la cual esta dada por:

Ff(λ) =1

(2π)d2

∫Rd

e−iλxf(x)dx. (1.9)

11

Donde λ ∈ Rd y λx =∑d

j=1 λjxj para x ∈ Rd.

Definicion 1.4.2 La transformada inversa de Fourier de f ∈ S(Rd) es lafuncion F−1f y esta dada por:

F−1f(λ) =1

(2π)d2

∫Rd

eiλxf(x)dx. (1.10)

Algunas veces es conveniente denotar Ff como f .

Teorema 1.4.1 Para cualquier f ∈ S(Rd),

F−1(Ff) = f = F(F−1f) (1.11)

Para la demostracion del teorema anterior consultar [1] o ver tambien [3]A continuacion daremos un ejemplo de la aplicacion de la transformada deFourier.Para mayor detalle de algunas de las demostraciones dadas aquı ver [1].

Definicion 1.4.3 La transformada de Fourier FT de la distribucion tem-perada T ∈ S ′(Rd) esta dada po:

FT (f) = T (Ff) para f ∈ S(Rd)

Se puede entender esta definicion como una extension del teorema de Plancherelen L2(Rd) ver [1]

Definicion 1.4.4 Una distribucion E ∈ D′(Rd) que satisface la ecuacionP (D)E = δ, se dice que es una solucion fundamental para el operador difer-encial P (D).3

3P (x1, ..., xd) es un polinomio de d variables y P (D) resulta de reemplazar Dj por xj .

12

Capıtulo 2

La Ecuacion de Dirac

2.1. El espacio de Hilbert para la ecuacion de

Dirac

Escribamos la ecuacion de Dirac para la partıcula libre:

i~∂

Ψ(x, t)∂t = H0Ψ(x, t). (2.1)

Donde el operador H0 se llama operador de Dirac para la partıcula libre, elcual toma la forma:

H0 = −i~cα · ∇+ βmc2 =

(mc21 −i~cσ · ∇

−i~cσ · ∇ −mc21

). (2.2)

Donde σ · ∇ = σ1∂1 + ...+ σ3∂3 y σi son las matrices de Pauli, αi y β son lasmatrices de Dirac, las cuales se relacionan como:

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

),

β =

(1 00 −1

), αi =

(0 σi

σi 0

), i = 1, 2, 3.

(2.3)

Si vemos las matrices (2.3) y (2.1), encontramos que H0 es un operadormatricial de 4 × 4 el cual actua sobre una funcion que llamamos Ψ(x, t)donde por lo general es de valores complejos, para que este producto sea

13

valido Ψ(x, t) debe ser un vector columna de cuatro componentes, es decir:Ψ(x, t) = (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4)

>.El operador H0 pertenece al espacio:

H = L2(R2)⊕ L2(R2)⊕ L2(R2)⊕ L2(R2). (2.4)

Ya sabemos que la funcion de onda que e solucion de la ecuacion de Diraces una funcion de cuatro componentes, las cuales a su vez son funciones1

de las cuatro variables (x, t) para cada una de estas es posible hallar sutransformada de Fourier, la cual nos da:

(Fψk)(p) ≡ 1

(2π)32

∫R3

e−ip·xψk(x)d3x, k = 1, 2, 3, 4. (2.5)

Segun la mecanica cuantica no relativista, la transformado o imagen deFourier de el espacio de coordenadas (x, y, z) es un espacio de coordenadas(px, py, pz, ), es decir el espacio de momentos o espacio de momentum, segunla notacion que hemos traıdo hasta aquı, podemos escribir:

FL2(R2, d3x)4 = L2(R3, d3p)4.

Mediante una transformacion de semejanza2 para el operador de Dirac sellega a:

(FH0F−1)(p) = h(p) ≡(mc21 cσ · pcσ · p −mc21

). (2.6)

El producto σ · p es simbolico y quiere decir: σ · p = σ1p1 + σ2p1 + σ3p1.Al diagonalizar esta matriz llegamos a que los autovalores de esta son:

λ1(p) = λ2(p) = −λ3(p) = −λ4(p) =√c2p2 +m2c4 ≡ λ(p). (2.7)

Se puede mostrar que la transformacion unitaria que lleva a cabo dicha dia-gonalizacion es:

u(p) =(mc2 + λ(p))1 + βcα · p√

2λ(p)(mc2 + λ(p))

= a+(p)1 + a−(p)βα · pp

, (2.8)

1A este tipo de funciones tambien se les llama espinores. Ver[1]2Para transformaciones de semejanza ver [6]

14

donde a± = 1√2

√1± mc2

λ(p), esta ultima transformacion nos lleva h(p) a la

forma diagonal βλ(p), de estas ultimas ecuaciones podemos hallar facilmenteque el operador:

W = uF , (2.9)

convierte el operador de Dirac para la partıcula libre en una matriz diagonal:

(WH0W−1) = βλ(p), (2.10)

en el espacio de momentum. Si φ = Wψ es integrable, entonces podemosescribir:

ψ(x) =1

(2π)32

∫R3

eip·xu(p)−1φ(p)d3p, φ ∈ L1(R3)4⋂

L2(R3)4. (2.11)

2.1.1. Subespacios espectrales de H0

En el espacio de Hilbert donde el operador de Dirac es diagonal, se puedever que hay dos componentes de la funcion de ondas que pertenecen a estadosde energıas positivas y dos de ellas a energıas positivas, por tanto podemosdefinir un subespacio, o mejor dos, cada uno de los cuales va a ser generadopor vectores del tipo:

ψ± ≡ W−1 1

2(1± β)Wψ, ψ ∈ L2(R3, d3x). (2.12)

El sımbolo +(−) designa a los componentes que corresponden a energıas po-sitivas (negativas).Estos vectores generan los espacios H+ (H−) de energıas positivas (negati-vas). Los subespacios de energıas positivas y negativas son ortogonales entresı y por tanto el espacio de Hilbert para la ecuacion de Dirac se puede escribircomo una suma ortogonal directa de dichos subespacios:

H = H+ ⊕H− (2.13)

Los vectores que pertenecen a cada uno de estos subespacios pueden serllevados a esta forma por medio de unos operadores llamados operadores deproyeccion ortogonal, al igual que se puede descomponer un vector en suscomponentes cartesianas, estos operadores los podemos escribir:

P± = W−1 1

2(1± β)W =

1

2

(1± H0

|H0|

). (2.14)

15

Donde |H0| =√−c2∆ +m2c4, es de aclarar que el operador H0 conmuta

con P+. Por tanto si el estado inicial es de energıa positiva sera de energıapositiva en todo instante, de esta forma:

ψ(t) ≡ e−iH0tψ = P+ψ(t) si y solo si ψ = P+ψ (2.15)

2.1.2. La transformacion de Foldy-Wouthuysen

Esta transformacion3 la podemos escribir como:

UFW = F−1W . (2.16)

Esta transformacion lleva el operador de Dirac a la forma diagonal:

UFWH0U−1FW =

( √−c2∆ +m2c4

0 −√−c2∆ +m2c4

)= β|H0| (2.17)

Segun (2.17) el operador de Dirac para la partıcula libre es equivalente uni-tariamente al par de ecuaciones de Klein-Gordon.

3Ver ([5])

16

2.2. La solucion fundamental

Consideremos separadamente la accion de e−iH0t sobre las energıas posi-tivas y negativas de la funcion de onda, ver[2] para ello empecemos toman-do una variable temporal compleja que involucre la variable temporal real:t± = t± iε con tal que se cumpla lo siguiente:

lımε→0

e−iH0t±Ψ = e−iH0tΨ ; ∀Ψ ∈ H±. (2.18)

Consideremos ahora:(e−iH0t±P±Ψ

)(x) =

(F−1e∓iλt±

12

(1± h(p)

λ(p)

)FΨ

)(x)

=1

(2π)32

∫ ±1

(2π)32

∫eip·(x−y)×

× (±λ(p) + h(p))e∓iλ(p)t±

2λ(p)d3p

Ψ(y)d3y

≡∫S±(t±,x− y)Ψ(y)d3y. (2.19)

La parte imaginaria de esta ecuacion se ha escogido de tal manera que laintegral entre corchetes exista siempre que ε > 0, aquı podemos hacer lasiguiente asignacion:

S±(t±,x− y) =±1

(2π)32

∫eip·(x−y) × (±λ(p) + h(p))

e∓iλ(p)t±

2λ(p)d3p, (2.20)

ya que:

∂

∂te∓λ(p)t± = ∓iλ(p)e∓iλ(p)t± ,

−i∇eip·(x−y) = ipeip·(x−y). (2.21)

Descomponiendo la integral:

S±(t±,x− y) =±1

(2π)32

[∫ eip·(x−y)±λ(p)

2λ(p)e∓iλ(p)t±+

+ eip·(x−y) h(p)

2λ(p)e∓iλ(p)t±

]d3p. (2.22)

17

Recordando que:

h(p) =

(mc21 cσ · pcσ · p −mc21

), (2.23)

se puede escribir (2.23)como:

h(p) = mc2β + cα · p, (2.24)

sustituyendo (2.24) en la integral (2.22) obtenemos que:

S±(t±,x− y) =±1

(2π)32

[∫ eip·(x−y)±λ(p)

2λ(p)e∓iλ(p)t±+

+ eip·(x−y)mc2β + cα · p2λ(p)

e∓iλ(p)t±

]d3p, (2.25)

introduciendo aquı las derivadas (2.21) llegamos a:

S±(t±,x− y) =

±1

(2π)32

[∫ i∂

∂t− icα · ∇+mc2β

eip·(x−y)e∓iλ(p)t±

2λ(p)

], (2.26)

teniendo en cuenta que la integral conmuta con operadores diferenciales,(2.26) se puede escribir en la forma:

S±(t±,x− y) = i

(i∂

∂t− icα · ∇+mc2β

)×

×

[−i

(2π)32

eip·(x−y)e∓iλ(p)t±

2λ(p)

], (2.27)

expresion que se puede escribir de manera mas condensada como:

S±(t±,x) = i

(i∂

∂t− icα · ∇+mc2β

)∆± (t±,x), (2.28)

donde

∆+(t+,x) = ∆−(t−,x) =−i

(2π)32

∫eip·x e

−iλ(p)t+

2λ(p)d3p, (2.29)

18

hay que analizar el integrando a fin de simplificar mas la integracion, intro-duciendo coordenadas polares y haciendo uso de la simetrıa del problema.4

∆± (t±,x) =−i

(2π)32

∫ ∞

0

p sen(px)e−iλ(p)t+

λ(p)dp. (2.30)

En vista de que λ(p) =√c2p2 +m2c4 llegamos al siguiente resultado:

∆+(t+, x) =−im2c

4π2

K1(mc√x2 − c2t2+)

mc√x2 − c2t2+.

(2.31)

Aplicando las siguientes formulas para las funciones de Bessel.5

K1(e−iπ2 ) (z) = −π

2H

(1)1 (z) −π < arg z < π

2

K1(eiπ2 ) (z) = −π

2H

(2)1 (z) −π < arg z < π

2

(2.32)

y estas otras para su argumento:

eiπ2

(√x2 − c2t2+

)→

√c2t2 − x2 cuando ε→ 0 si ct < −x

e−iπ2

(√x2 − c2t2+

)→

√c2t2 − x2 cuando ε→ 0 si ct > x

tomemos finalmente el comportamiento para c|t| 6= x cuando ε→ 0.

∆+(t, x) =m2c

8π

H(1)1 (mc

√c2t2−x2)

mc√c2t2−x2 si ct < −x

2iπK1(mc

√c2t2−x2)

mc√c2t2−x2 si c|t| < x

H(2)1 (mc

√c2t2−x2)

mc√c2t2−x2 si ct > x

(2.33)

4Las coordenadas polares para el problema se introducen de la siguiente forma:

px = p cos φ py = p sen(φ) d2p = 2πdp

.5z el punto en el plano complejo dado por: z = x + iy.

19

Pasemos ahora a observar el comportamiento del nucleo en el cono de luz, esdecir c|t| = x.

∆+(t+,x) + ∆−(t−,x) =

−1

2π2c2xsgn(t)

∫ ∞

mc2sen(p(λ)x) sen(λ|t|)e−λεdλ, (2.34)

donde tenemos que p(λ) = 1c

√λ2 −m2c4, haciendo expansion en serie de

potencias para p(λ) de la siguiente manera:

p(λ) =1

c(λ2 −m2c4)

12

=λ

c

(1− m2c4

λ2

) 12

∼=λ

c

(1− 1

2

m2c4

λ2

)=

λ

c− 1

2

m2c3

λ. (2.35)

En vista de que 12

m2c3

λ 1 podemos introducir esto en (2.34), mas especıfi-

camente en su integrando, como seno de una suma:

sen(p(λ)x) ∼= sen

(λx

c

)− 1

2

m2c3

λcos

(λx

c

). (2.36)

La integracion del primer termino es:

−1

2π2c2xsgn(t)

∫ ∞

0

sen

(λx

c

)sen(λ|t|)e−λεdλ =

−i4π2

sgn(t)

(1

c2t2 − x2 − c2ε2 + 2ic2|t|ε− 1

c2t2 − x2 − c2ε2 − 2ic2|t|ε

),(2.37)

tomando el lımite cuando ε→ 0 se llega a:

−i4π2

sgn(t)

(1

c2t2 − x2 + i0− 1

c2t2 − x2 − i0

)= −sgn(t)

2πcδ(c2t2− x2). (2.38)

Para el segundo termino de (2.34) tenemos lo siguiente:

m2c

4π2sgn(t)

∫ ∞

0

cos(λx

c) sen(λ|t|)e−λε dλ

λ =

mc2

4π2sgn(t)

1

2arctan

(2ε|t|

ε2 − t2 + x2

c2

)+π

2θ(c2t2 − x2 − ε2)

, (2.39)

20

teniendo en cuenta que:

lımε→0+

arctan

(2ε|t|

ε2 − t2 + x2

c2

)=

π2

si c2t2 − x2 = 00 si c2t2 − x2 6= 0

, (2.40)

la integral (2.39) se convierte en:

m2c

4π2sgn(t)

∫ ∞

0

cos(λx

c) sen(λ|t|)e−λε dλ

λ =

1

2πcsgn(t)θ(c2t2 − x2). (2.41)

Con base en lo anterior podemos decir que la solucion fundamental de laecuacion de Dirac para la partıcula libre esta dada por:

i

(i∂

∂t− icα · ∇+ βmc2

)∆(x, t) =

sgn(t)

2πc

−δ(c2t2 − x2) +

m2c2

4θ(c2t2 − x2)

sgn(t)J1(mc

√c2t2 − x2)

mc√c2t2 − x2

(2.42)

Siempre y cuando c|t| ≥ x.

21

Capıtulo 3

Resultados Principales

3.1. Velocidad instantanea del electron

La solucion fundamental para la ecuacion de Dirac puede escribirse como:

Dt,0 =

(γµ ∂

∂xµ− Im

)×

×δ(t2 − x2)

2π− θ(t− x)

4π

mJ1(m√t2 − x2)√

t2 − x2

. (3.1)

Donde la hemos escrito en forma mas compacta, denotando en este caso conγµ las matrices de Dirac y haciendo caso al convenio de suma de Einstein,respecto a las letras griegas. Cabe aclarar aquı que se han escogido unidadesde forma que la velocidad de la luz c sea igual a la unidad.Se puede probar que cuando t→ 0 todos los terminos carecen de importanciaexceptuando el primero que es:

γµ ∂

∂xµ

δ(t2 − x2)

2π.

Este termino podemos manipularlo de la siguiente manera: Haciendo unasuposicion adicional, que es tomar t → 0+ con lo cual podemos escribir el

22

primer termino como:

γµ ∂

∂xµ

δ(t2 − x2)

2π=

1

2π

[γ0 ∂

∂tδ(t2 − x2) + γ1 ∂

∂x1δ(t2 − x2)+

+γ2 ∂

∂x2δ(t2 − x2) + γ3 ∂

∂x3δ(t2 − x2)

], (3.2)

tomemos ahogara un elemento ϕ ∈ S(R3) y analicemos el comportamientodel segundo termino de (3.2).

C =

∫R3

γ0 ∂

∂tδ(t2 − x2)ϕ(x)d3x, (3.3)

dado que γ0 es una constante, ahora teniendo en cuenta la identidad:

δ(t2 − x2) =1

2‖x‖[δ(t− x) + δ(t+ x)], (3.4)

y que el diferencial de volumen en coordenadas esfericas es:n d3x = ‖x‖2 sen θdxdθdφ,nuestra integral (3.3) se convierte en:

C = γ0 ∂

∂t

∫R3

1

2‖x‖[δ(t− x) + δ(t+ x)]ϕ(x)‖x‖2 sen θdxdθdφ, (3.5)

tomando segun nuestra anterior suposicion t > 0, pasamos a escribir nuestraintegral como:

C = γ0 ∂

∂t

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sen θdθ

∫ ∞

−∞

1

2δ(t− x)ϕ(x)‖x‖dx, (3.6)

resolviendo obtenemos finalmente:

C = γ0 ∂

∂t2πϕ(t)t,

= 2πγ0(ϕ(t) + tϕ,(t)),

H = γ0(ϕ(t) + tϕ,(t)), (3.7)

en el lımite cuando t→ 0 se concreta el siguiente resultado:

lımt→0

C = 2πγ0ϕ(0),

lımt→0

Dt,0 = γ0ϕ(0). (3.8)

23

Ya que tenemos el estudio de la solucion fundamental cuandot → 0 pasemos al estudio de la velocidad instantanea del electron del elec-tron relativista, para ello partamos de la velocidad media de una partıculacualquiera:

v =∆x

∆t=x− x0

t− t0, (3.9)

es claro que si tomamos el lımite de esta expresion cuando ∆t→ 0 se convierteen la velocidad instantanea de la partıcula, mas aun, si hacemos que x0 = 0y t0 = 0, la velocidad media toma la forma v = x

t, introduciendo esto como

argumento de ϕ en (3.7) obtenemos el siguiente resultado:

H = γ0ϕ(1), (3.10)

cuando operamos esta funcion notamos que el argumento era la velocidad delelectron relativista, tomando el lımite cuando t → 0 la velocidad media seconvierte en la velocidad instantanea, para nuestro caso cuando se estudia lavelocidad llegamos al resultado que la funcion ϕ nos arroja como resultadosu imagen en 1, que debe ser la velocidad instantanea del electron relativista,debido a la forma como se escogieron las unidades, la velocidad del electrones la velocidad de la luz, ya que estamos en un sistema de unidades en el cualdicha velocidad es 1.Aquı este primer resultado nos muestra que el metodo es bueno, ya que parael electron se obtuvo tambien velocidad instantanea igual a la de la luz.La solucion fundamental de la ecuacion de Dirac es en forma explıcita:

Dt,0 =

γ0

1

2t[δ′t(x+ t) + δ′t(x− t)]− 1

t[δ(x+ t) + δ(x− t)]

+

3∑i=1

γi 1

2t[δ′(x− t) + δ′(x+ t)]

xi

x−

−imI 1

2π

[δ(t2 − x2)− θ(t− x)

2

mJ1(m√t2 − x2)√

t2 − x2

]−m

4π

[2mθ(t− x)J2(m

√t2 − x2)

(t2 − x2)

(γ0t−

3∑i=1

γixi

)+

+J1(m

√t2 − x2)√

t2 − x2δ(t− x)

(γ0t−

3∑i=1

γi

)], (3.11)

24

busquemos ahora el soporte supp de esta funcion generalizada, asumiendoque t > 0:

Dt,0 =

γ0

1

2tδ′t(x− t)− 1

tδ(x− t)

+

3∑i=1

γi 1

2tδ′(x− t)

xi

x−

−imI 1

2π

[δ(t2 − x2)− θ(t− x)

2

mJ1(m√t2 − x2)√

t2 − x2

]−m

4π

[2mθ(t− x)J2(m

√t2 − x2)

(t2 − x2)

(γ0t−

3∑i=1

γixi

)+

+J1(m

√t2 − x2)√

t2 − x2δ(t− x)

(γ0t−

3∑i=1

γi

)]. (3.12)

Soporte

αr2 r1

xtx0

t− ττ

r3

Figura 3.1: Supp de Dt,τDτ,0

25

La ecuacion (3.12) se convierte para t 6= 0 en:

Dt,0 =

mθ(t− x)

4π

iImJ1(m

√t2 − x2)√

t2 − x2

−2mJ2(m√t2 − x2)

(t2 − x2)

(γ0t−

3∑i=1

γixi

), (3.13)

por definicion de θ(x), llegamos a la conclusion de que (3.13) se anula exceptocuando x < t, de modo que supp Dt,0 es una esfera de radio t.

1

1En realidad es una esfera de radio ct, es decir un frente de onda esferico producidopor una fuente de luz puntual.

26

3.2. Aceleracion instantanea del electron

xt

xτ

x0

Figura 3.2: Disposicion de los tres puntos

Para hallar la aceleracion, procedemos igual al caso de la velocidad,definiendo la aceleracion promedio que tiene la aceleracion promedio quetiene la partıcula entre x0 y xt, par ello escojamos tres puntos en el espacio,los dos que ya tenemos y un tercero que llamamos xτ lo que indica que esaes la posicion de la partıcula en un tiempo τ con tal que satisfaga 0 < τ < t,utilizando la aceleracion aceleracion promedio:

a =vt − v0

t− t0. (3.14)

Con respecto a lo que contempla (3.14), llamemos vt la velocidad promedioentre xτ y xt, de forma analoga v0 seria la velocidad promedio entre x0 y xτ ,entonces podemos escribir lo siguiente: vt = xt−xτ

t−τy v0 = xτ−x0

τy escribir la

aceleracion en la forma:

a =xt−xτ

t−τ− xτ−x0

τ

t. (3.15)

Notemos que cuando τ → 0, xτ

τes la velocidad instantanea en x0, si por

otra parte hacemos que t → τ obtenemos la velocidad de la partıcula en elpunto xτ , tomando dichos lımites obtenemos la aceleracion instantanea de lapartıcula, dado que tenemos dos puntos, y que ademas estan relacionados, esdecir obedecen al principio de causalidad, por eso debemos utilizar la ecuacionde Einstein-Smoulochovsky.2 Esta ecuacion nos da una relacion de este tipo,para nuestro caso tenemos el producto de dos soluciones fundamentales de laecuacion de Dirac, a saber, Dt,τ y Dτ,0, la primera de ella es la solucion que

2La ecuacion de Einstein-Smoulochovsky es una distribucion que posee las siguientes

27

se escribio mas haciendo el cambio t→ t− τ y a la segunda se llega haciendot = τ , haciendo el producto de estas dos distribuciones e introduciendolas enla ecuacion de Einstein-Smoulochovsky se llega a:

A =

∫R3

Dt,τγ0Dτ,0d

3xτ , (3.16)

este producto de dos funciones generalizadas para la ecuacion de Dirac seanula excepto para le region de la interseccion de las dos esferas con radiost − τ y τ , esta interseccion tiene forma de lente esferica con los radios da-dos anteriormente, dado que es allı donde no se anula la integral debemoshallar un diferencial de volumen que satisfaga dicha simetrıa. Tomando losvectores como unitarios r1, r2 y r3. Los cuales son respectivamente los radiosde las esferas y un vector tangente a estas, en la lente forman un sistemadextrogiro, de la siguiente forma podemos hallar el diferencial de volumen, esdecir el volumen del paralelepıpedo formado por los elementos diferencialesend dichas direcciones, si α es el angulo entre r1 y r2 el elemento de volumenviene dado por:

|dx3r3 · (dx1r1 × dx2r2)| = senαdx1dx2dx3. (3.17)

Ası el termino principal cuando t→ 0 es:

∂2

∂τ∂(t− τ)

∫R3

γ0 senα

(4π)2τ(t− τ)ϕ(a)dx1dx2dx3. (3.18)

propiedades: ∫ ∞−∞

W (x0, 0;xt, t)dxt = 1,

W (x0, 0;xt, t)t → 0−→ δ(xt − x0).

Ademas tambien tiene en cuenta el principio de causalidad fısica, es decir, que se puedeescribir de la siguiente forma:

W (x0, 0;xt, t) =∫ ∞−∞

W (x0, 0;xτ , τ)W (xτ , τ ;xt, t)dxτ ,

siempre que:0 ≤ τ ≤ t,

esto nos garantiza que los sucesos sean consecuentes.

28

Pasemos ahora a calcular el radio de la lente que encontramos anteriormente,para ello tenemos dos vectores basicos que llamamos r1 y r2, para elementosen el borde de la lente.

τ r1 ; (t− τ)r2.

Formemos ahora el tercer vector que v a estar dirigido desde el punto x0

hasta el punto xt el cual llamaremos A y que es en forma de vector:

A = τ r1 − (t− τ)r2 ; ‖A‖ = xt − x0,

con esta construccion vectorial podemos hallar el radio de la dado por:

r =‖τ r1 × ‖xt − x0

r =τ(t− τ) senα

xt − x0

, (3.19)

notemos que cuando t→ 0 senα→ 0 dado que r1 y r2 se hacen paralelos.Debido a que la integral (3.18) no satisface algunos de los requerimientos denormalizacion. Por tanto podemos introducir una integral que posea dichapropiedad y que sea equivalente a (3.18), la cual podemos tomar como:

γ0 1

2πr

∫ϕ(a)dxτ

t → 0−→ γ0ϕ(0). (3.20)

Donde como se dijo anteriormente la integracion se lleva a cabo a lo largo dela circunferencia de radio r que es el termino principal:

γ0 1

2πr

∫ϕ(|a|)dxτ

t → 0−→ γ0ϕ(∞). (3.21)

De esta manera, cuando t→ 0 la integral (3.21) desaparece (recordemos queϕ(∞) = 0, ya que ϕ ∈ S). De los resultados obtenidos en (3.10) y (3.21)llegamos a la siguiente conclusion: El electron de Dirac se mueve con veloci-dad instantanea igual exactamente a la velocidad de la luz, ademas en cadainstante de tiempo esta velocidad cambia su direccion con una aceleracionangular infinitamente grande, para dar una interpretacion que no contradigaestos dos resultados, intuitivamente es mas facil desde un punto de vista semi-clasico, los resultados anteriores no se contradicen si miramos esto como un

29

ω

z

Figura 3.3: Modelo del electron

movimiento circular uniforme, es decir el electron se puede considerar comouna esfera masiva y cargada de radio muy pequeno la cual esta girando convelocidad de la luz. Este resultado se puede comparar con el fenomeno cono-cido como Zitterbewegung, movimiento vibratorio del electron relativista.Podemos ahora, siguiendo este modelo, hallar el momento magnetico de unaesfera uniformemente cargada, el cual es:

−→m = eωr2

5rz = ec

r

5rz (3.22)

De medidas experimentales, se tiene que el momento magnetico del elec-tron m = 9,2847701× 10−24JT−1.

30

igualando esto a (3.22) y despejando para r, obtenemos:

r ∼ 10−13m. (3.23)

Comparando esto con el radio clasico del electron, que es: rc ∼ 10−15m vemosque nuestro modelo es bastante aceptable con la interpretacion semiclasicaque se le dio.

31

Conclusiones

La teorıa de distribuciones se halla completamente desarrollada, pero suaplicacion a la mecanica cuantica se halla en la teorıa de campos.pocodesarrollada, se ve aquı aunque en pequena escala, la importancia deeste aparato matematico y esto no solo se puede intensificar en estecampo, sino en muchas areas de ciencia e ingenierıa.

El electron relativista se mueve con velocidad instantanea igual a la dela luz, este resultado es importante en cuanto se refiere a la naturalezadel electron, este resultado junto con el que se obtuvo para la acel-eracion pueden llevarnos mas alla de un simple ejercicio matematico,incluso nos pueden revelar algunos aspectos de la estructura interna delelectron, que hasta ahora se considera como fundamental.

El estudio de esta teorıa puede, en mi opinion, incluso resolver algunosresolver problemas que hasta hoy tienen respuesta que no es la masadecuada por medio de los operadores.

32

Apendice A

Funciones de Bessel

Las funciones de Bessel aparecen en una gran variedad de problemasfısicos, como lo indica este trabajo, vemos la importancia de este conceptoen la deduccion de la solucion fundamental.La representacion integral para la funcion de Bessel de primer orden estadada por:

Jν =1

2πi

∫C

e(x/2)(t−1/t)t−ν−1dt. (A.1)

Donde C es la trayectoria en el el plano complejo como se muestra en lafigura (A.1).

<(t)

=(t)

−∞

Figura A.1: Contorno para la funcion de Bessel

Asociadas con esta funcion se encuentra las funciones de Bessel de segundaclase.

33

La funcion de Neumann es una de ellas, la cual se forma por medio de unacombinacion lineal de Jν(x) y J−ν(x) la cual se escribe de la siguiente forma:

Nν(x) =cos νπJν(x)− J−ν(x)

sen νπ. (A.2)

Para ν que no sea entero.1 Otra combinacion lineal entre Jν y Nν nos lleva a definir las funciones deHankel:

H(1)ν (x) = Jν(x) + iNν(x) (A.3)

H(2)ν (x) = Jν(x)− iNν(x). (A.4)

De la misma forma en que se define e±θ = cos θ ± sen θ. Para argumentosreales H

(ν1)(x) y H

(ν2)(x) son complejas conjugadas.

De igual manera podemos dar una representacion integral para la s funcionesde Hankel y que tienen la forma:

H(1)ν (x) =

1

πi

∫ ∞eiπ

0

e(x/2)(t−1/t) dt

tν+1(A.5)

H(2)ν (x) =

1

πi

∫ 0

∞ei−π

e(x/2)(t−1/t) dt

tν+1. (A.6)

Los contornos de integracion se muestran en la figura (A.2).

Cuando el argumento de la funcion de Bessel o sus asociadas cambiande forma que su argumento sea imaginario puro, se empieza a tratar con lasdenominadas funciones de Bessel modificadas. Estas funciones se representanpor medio de los sımbolos: Iν(x) y Kν(x), la relacion con las funciones deBessel de primer y segundo genero son:

Iν(x) = i−νJν(ix). (A.7)

Kν(x) =π

2iν+1[Jν(ix) + iNν(ix)]. (A.8)

Para mayor informacion acerca de las funciones de Bessel ver [7]

1En AMS-55 y en la mayorıa de las tablas, se le denota por Yν(x).

34

<(t)

=(t)

−∞e−iπ

−∞eiπ

C1

C2

Figura A.2: Contornos para las funciones de Hankel

35

Bibliografıa

[1] F. Wilde Distribution Theory (Generalized Functions). (Notes Ian F.Wilde 2005)

[2] B, Thaller.The Dirac Equation(Springer-Verlag, 1992)

[3] G. Fano.Mathematicals Methods of Quantum Mechanics. (Mc Graw Hill1985)

[4] V. Mijailov. Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. (Mir1975)

[5] Jhon P. Costella, Bruce Mckellar. The Foldy-Wouthyusen Transforma-tion. (School of physics, The University of Melbourne, Australy, 1995.)

[6] H.Goldstein. Mecanica Clasica. (Editorial Ariel, Barcelona.)

[7] G. B. Arfken. H. J. Weber. Mathematical Methods for Physicists (Har-court Academic Press, 2001)

36