Nota Tecnica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONES SÍSMICAS Y MITIGACIÓN DE DESASTRES

BASES TECNICAS PARA LA ESTIMACION DE PERDIDAS CON FINES DE SEGUROS DE

TERREMOTO

Informe preparado para: Asociación Peruana de Empresas de Seguros-APESEG

Superintendencia de Banca y Seguros-SBS

Elaborado por: Dr. Ing. Jorge Olarte Navarro Director CISMID

Enero, 2005 Lima-Perú


CENTRO PERUANO-JAPONÉS DE INVESTIGACIONES

SÍSMICAS Y MITIGACIÓN DE DESASTRES

AV. TUPAC AMARU N° 1150 – LIMA 25 – PERÚ – Apartado Postal 31-250 Lima 31

Teléfono (51-1) 482-0777,482-0804,482-0790, FAX: 481-0170, e-mail: [email protected] http:// www.cismid-uni.org

ÍNDICE

1.0 Introducción 1 2.0 Amenaza Sísmica 1

2.1. Modelos de la Sismicidad Local 2 2.2. Procesamiento de la Información de la Sismicidad Local 3 2.3. Análisis Estadístico de Recurrencia 3 2.4. Atenuación de las Ondas Sísmicas 6 2.5. Atenuación de Aceleraciones de Subducción 6 2.6. Atenuación de Aceleraciones de Continentales 7 2.7. Condiciones Locales de Sitio 8 2.8. Cálculo del Peligro Sísmico 14

3.0 Vulnerabilidad Estructural 15 4.0 Módulos para la Estimación de la Máxima Pérdida Probable 18

4.1. Módulo de Peligro Sísmico 18 4.2. Módulo de Vulnerabilidad estructural 19 4.3. Módulo de Riesgo Sísmico 19

5.0 Evaluación de Pérdidas por Sismo para fines de Seguros 21 5.1. Efecto de coaseguro, deducible y limite 21 5.2. Perdida anual esperada (PAE) o Prima Pura de Riesgo 22 5.3. Pérdida máxima probable (PML) para una cartera 22

6.0 Referencias 23





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CALCULO DE LA PERDIDAD MAXIMA PROBABLE DE LOS SEGUROS DE TERREMOTO

1.0 INTRODUCCIÓN

Desde épocas remotas, las ciudades de Lima y Callao han sido sometidas a una serie de sismos de gran intensidad, durante los cuales en múltiples oportunidades han sufrido cuantiosos daños materiales y pérdidas de vidas humanas. La principal fuente generadora de eventos sísmicos que afectan esta región es la zona de subducción, definida por la interacción de la Placa de Nazca y la Placa Sudamericana. Esta fuente puede generar eventos de gran magnitud, los que, según la historia sísmica, en la zona de la costa central pueden alcanzar los 8.2 grados en la escala de Richter. Los efectos de estos movimientos telúricos se ven incrementados por las diferentes condiciones de sitio que se presentan en los distritos que conforman la ciudad de Lima y Callao, tal como se ha podido observar durante la ocurrencia de terremotos pasados. En esta Nota Técnica se presenta la metodología a seguir para el procesamiento de los datos y las herramientas matemáticas y estadísticas que se utilizan para el cálculo de la pérdida máxima probable (PML). La pérdida máxima probable (PML) de una cartera de edificaciones es un estimador del tamaño de las pérdidas máximas que sería razonable esperar en dicha cartera durante un tiempo de exposición dado. Depende de los riesgos individuales y de la distribución geográfica de esos riesgos; el PML es grande si hay concentraciones importantes en lugares de alto riesgo sísmico, y es pequeño si la cartera está uniformemente distribuida en una gran área geográfica. Dado que el PML es la pérdida máxima que se puede esperar para la aseguradora, si ésta no tuviera coberturas con reaseguradoras, las reservas de la misma deberían de ser iguales a ese PML. En base a estos cálculos, una compañía puede determinar su nivel de exposición de manera confiable, y así establecer adecuadamente la planeación financiera para la constitución de la reserva catastrófica y de riesgos en curso de la compañía.

2.0 AMENAZA SÍSMICA

La amenaza sísmica, también conocida como peligro sísmico, se cuantifica en términos de los periodos de retorno de intensidades sísmicas relevantes en el comportamiento de las estructuras. La tasa de excedencia de una intensidad sísmica se define como el número medio de veces, por unidad de tiempo, en que el valor de esa intensidad sísmica es excedido. Es posible determinar el





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peligro sísmico contando las veces en que se han excedido valores dados de intensidad en el sitio de interés. Sin embargo, la determinación directa rara vez se puede hacer porque no se dispone de catálogos completos de las aceleraciones que han producido en un sitio los sismos pasados. Por lo anterior, es necesario calcular el peligro sísmico de manera indirecta. Para ello, se evalúa primero la tasa de actividad sísmica en las fuentes generadoras de temblores, y después se integran los efectos que producen, en un sitio dado, los sismos que se generan en la totalidad de las fuentes. Se describe a continuación, la manera de hacer la evaluación del peligro sísmico. La primera parte que se investiga es la tectónica del territorio, y la sismicidad que las fuentes generan en una región determinada. 2.1. Modelos de la Sismicidad Local

Empleando un modelo de distribución de sismicidad de Poisson la actividad de la i-ésima fuente sísmica se especifica en términos de la tasa de excedencia de las magnitudes )M(iλ que ahí se generan. La tasa de excedencia de magnitudes mide qué tan frecuentemente se generan, en una fuente, temblores con magnitud superior a una dada. Para la mayor parte de las fuentes sísmicas, la función )M(iλ es una versión modificada de la relación de Gutenberg y Richter. En estos casos, la sismicidad queda descrita de la siguiente manera:

( )u0

u

MM

MM

0eeeeM ββ

ββλλ −−

−−

−

−= (1)

Figura 1. Distribución de la tectónica para la zona de estudio (Dorbath et al., 1990).






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donde Mo es la mínima magnitud relevante. oλ , iβ , y Mu son parámetros que definen la tasa de excedencia de cada una de las fuentes sísmicas. Estos parámetros, diferentes para cada fuente, se estiman por procedimientos estadísticos bayesianos, que incluyen información sobre regiones tectónicamente similares a las de la zona de estudio, más información experta, especialmente sobre el valor de Mu, la máxima magnitud que puede generarse en cada fuente.

2.2. Procesamiento de la Información de Sismicidad Local

Se han utilizado las fuentes sismogénicas definidas por Castillo (1993). La determinación de estas fuentes sismogénicas se ha basado en el mapa de distribución de epicentros, así como en las características tectónicas del área de influencia. La actividad sísmica en el Perú es el resultado de la interacción de las placas Sudamericana y de Nazca, y el proceso de reajuste tectónico de la Cordillera Andina. Esto nos permite agrupar a las fuentes en fuentes de subducción y fuentes continentales. Las fuentes de subducción modelan la interacción de las placas Sudamericana y de Nazca. Las fuentes continentales están relacionadas con la actividad sísmica superficial andina. Se han presentado las fuentes como áreas, ya que no existen suficientes datos para modelar las fallas como fuentes lineales en este tipo de análisis. Las fuentes sismogénicas se han definido en base a los catálogos sísmicos, a las profundidades focales y a la sismotectónica. Las figuras 2 y 3 presentan las fuentes sismogénicas en el Perú. Se ha mantenido la misma nomenclatura de las zonas sismogénicas, utilizando sólo aquellas que tienen influencia en el área del estudio. 2.3. Análisis Estadístico de Recurrencia

El catálogo instrumental de sismos comienza a principios de siglo para la zona en referencia. La información existente hasta el año 1963 es incompleta, ya que no se cuenta con valores de magnitud de ondas de cuerpo mb y profundidad focal. Por tal motivo, se decidió utilizar la información a partir de 1963 para la realización del análisis estadístico de recurrencia.

La recurrencia de terremotos se determina de acuerdo a la expresión de Richter (1958):

log N = a – b M (2) donde: N = número de sismos de magnitud M ó mayor por unidad de tiempo.

a, b = parámetros que dependen de la región.

La expresión anterior también se puede escribir como: N = Γ0e-βM (3)

Figura 2. Fuentes Sismogénicas Superficiales en el Perú (Castillo 1993)

Figura 3 . . Fuentes Sismogénicas Intermedias y Profundas en el Perú (Castillo 1993)






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donde: Γ0 = 10a es el número de sismos por unidad de tiempo con M > 0.

β = b x ln 10

Los parámetros estadísticos de recurrencia para cada una de las fuentes sismogénicas se han calculado utilizando la magnitud Ms. Se calculó la siguiente relación entre las magnitudes mb y Ms:

mb = 3.30 + 0.40 Ms (4)

En el análisis estadístico de los parámetros de recurrencia se utilizó el método de mínimos cuadrados, considerando los datos de 1963-1992.

2.4. Atenuación de las Ondas Sísmicas

Una vez determinada la tasa de actividad de cada una de las fuentes sísmicas, es necesario evaluar los efectos que, en términos de intensidad sísmica, produce cada una de ellas en un sitio de interés. Para ello se requiere saber que intensidad se presentaría en el sitio en cuestión, hasta ahora supuesto en terreno firme, si en la iésima fuente ocurriera un temblor con magnitud dada. A las expresiones que relacionan magnitud, posición relativa fuente-sitio e intensidad sísmica se les conoce como leyes de atenuación. Usualmente, la posición relativa fuente-sitio se especifica mediante la distancia focal, es decir, la distancia entre el foco sísmico y el sitio. Las leyes de atenuación pueden adoptar muy diversas formas. En este caso se utilizan diversas leyes de atenuación dependiendo del tipo de sismo. Para efectos del presente informe, se utilizarán dos leyes de atenuación dependiendo de las trayectorias que recorren las ondas en su camino de la fuente al sitio. Para los sismos de subducción, se ha utilizado la ley de atenuación de aceleraciones propuesta por Casaverde y Vargas (1980). Esta ley está basada en los registros de acelerógrafos de las componentes horizontales de diez sismos peruanos registrados en Lima y alrededores.

Es notoria la menor atenuación de los sismos peruanos en comparación con las atenuaciones de sismos en otras partes del mundo. Los sismos fueron registrados en acelerógrafos instalados en el local del Instituto Geológico (Plaza Habich), el Instituto Geofísico (Avenida Arequipa), en Zárate, en la casa del Dr. Huaco (Las Gardenias) y en La Molina.

2.5. Atenuación de Aceleraciones de Subducción

a = 68.7 e 0.8Ms (R + 25)-1.0 (5)

donde: a = aceleración en cm/seg2.

Ms = magnitud de las ondas superficiales. R = distancia hipocentral en km.






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Es evidente que existe escasez de datos de registros de aceleraciones en el Perú. Los datos que se tienen son de la ciudad de Lima. Sin embargo, debe notarse que existe bastante dispersión en los datos de atenuación de energía sísmica con distancia hipocentral. La Figura 4 presenta la ley de atenuación de aceleraciones utilizada en conjunción con las fuentes sismogénicas de subducción.

Figura 4. Ley de Atenuación de la aceleración máxima del suelo para sismos de

subducción (Casaverde y Vargas, 1979). La Figura 5 presenta la ley de atenuación de aceleraciones utilizada en relación a las fuentes sismogénicas continentales. Para las fuentes continentales superficiales se ha utilizado la ley de atenuación de aceleraciones propuesta por R. McGuire (1974). Esta ley de atenuaciones fue deducida para la costa Oeste de los Estados Unidos, estando asociada a las fallas continentales. 2.6. Atenuación de Aceleraciones Continentales

a = 472 x 100.28 Ms (R+25)-1.3 (6)

que expresada en forma logarítmica resulta:

ln a= 6.156 + 0.64Ms - 1.30 ln (R+25) (7)

donde: a = aceleración en cm/seg2.

Ms = magnitud de las ondas superficiales. R = distancia hipocentral en km.






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Figura 5. Ley de atenuación de la aceleración máxima del suelo para sismos

continentales (R. McGuire, 1974).

2.7. Condiciones Locales de Sitio

En la actualidad es ampliamente conocido que las condiciones locales de sitio es uno de los principales factores responsables de los daños sufridos por las edificaciones durante los sismos severos. La amplificación sísmica es un efecto de las condiciones locales de sitio y es fuertemente dependiente de las condiciones geológicas y topográficas de la zona en estudio. Este conocimiento, conjuntamente con técnicas y herramientas ingenieriles modernas, nos permite entender con mayor precisión los daños ocurridos en terremotos pasados y proyectar los niveles de daños esperados en sismos futuros. El efecto del tipo de suelo sobre la amplitud y la naturaleza de las ondas sísmicas ha sido reconocido desde hace mucho tiempo como crucial en la estimación del Peligro Sísmico. El tratamiento consiste en hallar funciones de transferencia, mediante diversas técnicas con el fin de multiplicar éstas por los espectros fuentes hallados previamente, para así obtener el espectro fuente representativo del sitio con efectos locales. Para tal fin, se han realizando una serie de actividades, desde la recopilación de información y la ejecución de trabajos de campo hasta la evaluación y procesamiento de la información. Durante este proceso se ha producido un importante volumen de información, consistente en perfiles estratigráficos de perforaciones ejecutadas en el presente estudio, así como en estudios y registros de pozos de agua recopilados en el área de investigación.






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Así mismo, para determinar las características dinámicas del terreno se han realizado mediciones de microtremor y evaluaciones de amplificación sísmica en perfiles unidimensionales y bidimensionales en los sectores más críticos. Esta información ha sido incorporada a un sistema de información geográfica y procesada en forma integral para elaborar la microzonificación geotécnica sísmica de la ciudad de Lima y Callao.

De acuerdo a los perfiles estratigráficos y a las características geomecánicas del terreno encontrado en el área de estudio se han identificado zonas geotécnicas que agrupan tipos de suelos con características similares, proponiéndose un mapa de distribución de suelos, como se muestra en la Figura 6.

Para caracterizar el comportamiento dinámico del terreno en el área de Lima y Callao se han realizado mediciones de microtremor, consistente en el monitoreo y procesamiento de los registros de microvibraciones ambientales que se producen tanto por fuente naturales como artificiales. Este ensayo geofísico permite determinar el periodo predominante de vibración natural del terreno y en algunos casos el factor de amplificación sísmica, parámetros que definen el comportamiento dinámico del terreno durante un evento sísmico. La Figura 7.0 muestra la distribución de periodos predominantes definidos por esta técnica, los cuales tienen una buena correspondencia con las características mecánicas de los suelos definidas en el acápite anterior. En función a estos resultados se han definido cuatro zonas, en cada una de las cuales se espera que el comportamiento sísmico sea similar. Con las características mecánicas y dinámicas determinadas de los suelos que conforman el terreno de cimentación del área de estudio y las consideraciones dadas por el Código de Diseño Sismorresistente del Reglamento Nacional de Construcciones (Norma E-030, 2003), se han definido las 5 zonas geotécnicas sísmicas (Figura 8) que son las siguientes: ZONA I: Esta zona está conformada por los afloramientos rocosos, los estratos de grava potentes que conforman los conos de deyección de los ríos Rímac y Chillón, y los estratos de grava coluvial–eluvial de los pies de las laderas, que se encuentran a nivel superficial o cubiertos por un estrato de material fino de poco espesor. Este suelo tiene un comportamiento rígido, con periodos de vibración natural determinados por las mediciones de microtremor que varían entre 0.1 y 0.3 s. Para la evaluación del peligro sísmico a nivel de superficie del terreno, se considera que el factor de amplificación sísmica por efecto local del suelo en esta zona es S = 1.0 y el periodo natural del suelo es Ts = 0.4 s, correspondiendo a un suelo tipo S1 de la Norma Sismorresistente peruana.

Figura 6. Plano de Zonificación geotécnica de 42 Distritos de Lima y Callao

Figura 7. Plano de Isoperiodos de 42 Distritos de Lima y Callaoaoo

LA PUNTA

ANCÓN

CHORRILLOS

TIPODE SUELO

ZONA I S1

ZONA II S2

ZONA III S3

ZONAS SIMBOLO

ZONA IV

ZONA V

S4Rellenos de desmonte

basura ubicados

CARRETERA

RIOS

LEYENDA

FORMACIONES ROCOSAS

HUAROCHIRÍ

SAN LORENZOISLA

OCÉANO PACÍFICO

1

34

5

6

2

Callao

Ventanilla

Puente Piedra

Comas

Independencia

Rimac

SanMartin de Porres

Los Olivos

San Juan de Lurigancho

Lurigancho(Chosica)

San Miguel

Magdalenadel Mar

San Isidro

Lince

JesusMaria

PuebloLibre

Breña

Lima (Cercado)

La VictoriaSanLuis

San Borja

SurquilloMiraflores

Santiagode Surco

La Molina

Barranco

La Perla

Bellavista

Carmen de la Legua Santa Anita

Cieneguilla

Villa Maria del Triunfo

San Juande

Miraflores PachacamacChorrillos

Villa El Salvador

Lurín

Ate Vitarte

Chaclacayo

Carabayllo

1

Río Chillón

Río Rímac

Río Lurín

N

0 4 8 Km

Gráfico reducido del 1/100000

Figura 8. Plano de Zonificación Sísmica de 42 Distritos de Lima y Callao






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ZONA II: En esta zona se incluyen las áreas de terreno conformado por un estrato superficial de suelos granulares finos y suelos arcillosos, cuyas potencias varían entre 3.0 y 10.0 m. Subyaciendo a estos estratos se encuentra la grava aluvial o grava coluvial. Los periodos predominantes del terreno determinados por las mediciones de microtremor en esta zona varían entre 0.3 y 0.5 s. Para la evaluación del peligro sísmico a nivel de superficie del terreno, se considera que el factor de amplificación sísmica por efecto local del suelo en esta zona es S = 1.2 y el periodo natural del suelo es Ts = 0.6 s, correspondiendo a un suelo S2 de la Norma Sismorresistente peruana. ZONA III: Esta zona está conformada en su mayor parte por los depósitos de suelos finos y arenas de gran espesor que se presentan el algunos sectores de los distritos de Puente Piedra, La Molina y Turín, y en los depósitos de arenas eólicas que cubren parte de los distritos de Ventanilla y Villa El Salvador, que se encuentran en estado suelto. Los periodos predominantes encontrados en estos suelos varían entre 0.5 y 0.7 s, por lo que su comportamiento dinámico ha sido tipificado como un suelo S3 de la Norma Sismorresistente peruana, con un factor de amplificación sísmica S = 1.4 y un periodo natural de Ts = 0.9 s. ZONA IV: Esta zona está conformada por los depósitos de arenas eólicas de gran espesor y sueltas, depósitos marinos y suelos pantanosos que se ubican en la zona del litoral de los distritos de Ventanilla, Callao, Chorrillos, Villa El Salvador y Turín, así como la zona de canteras de este material en el distrito de Pachacamac. En esta zona se ubica también el distrito de la Punta, cuyo perfil estratigráfico particular, con un estrato de grava superficial sobre un depósito potente de arcilla, genera periodos relativamente largos, y un sector del distrito de Pachacamac, cuyos depósitos profundos de arena generan periodos largos. Los periodos predominantes encontrados en estos suelos son mayores que 0.7 s, por lo que su comportamiento dinámico ha sido tipificado como un suelo S4 de la Norma Sismorresistente peruana, asignándoles un factor de amplificación sísmica S = 1.6 y un periodo natural de Ts = 1.2 s (caso especial según la Norma).

ZONA V: Están constituidos por áreas puntuales conformadas por depósitos de rellenos sueltos de desmontes heterogéneos que han sido colocados en depresiones naturales o excavaciones realizadas en el pasado, con potencias entre 5.0 y 15.0 m. En esta zona se incluyen también a los rellenos sanitarios que en el pasado se encontraban fuera del área urbana y en la actualidad han sido urbanizados. Se mencionan las áreas que han sido identificadas en el presente estudio, las cuales se encuentran ubicadas en los distritos del Rímac, Surquillo, Bellavista, La Perla, San Juan de Miraflores y San Juan de Lurigancho, no descartándose la existencia de otras similares en Lima Metropolitana. El comportamiento dinámico de estos rellenos es incierto por lo que requieren un estudio específico que está fuera del alcance del presente trabajo.






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2.8. Cálculo del Peligro Sísmico

Una vez conocidas la sismicidad de las fuentes, los patrones de atenuación de las ondas generadas en cada una de ellas, y los efectos de la geología local, puede calcularse el peligro sísmico considerando la suma de los efectos de la totalidad de las fuentes sísmicas y la distancia entre cada fuente y el sitio donde se encuentra la estructura. El peligro, expresado en términos de las tasas de excedencia de intensidades a, se calcula mediante la siguiente expresión:

∑ ∫=

=>

∂∂

−=Nn

1n

Mu

Mooro dM)R,MaA(P

M)p,R a( λυ (8)

donde la sumatoria abarca la totalidad de las fuentes sísmicas N, y

)R,MaA(P or > es la probabilidad de que la intensidad exceda un cierto valor, dadas la magnitud del sismo M, y la distancia entre la i-ésima fuente y el sitio Ri. Las funciones )M(iλ son las tasas de actividad de las fuentes sísmicas, mismas que se describieron anteriormente. La integral se realiza desde Mo hasta Mu, lo que indica que se toma en cuenta, para cada fuente sísmica, la contribución de todas las magnitudes (Ordaz et al, 1998; Ordaz, 1999). Conviene hacer notar que la ecuación anterior sería exacta si las fuentes sísmicas fueran puntos. En realidad son volúmenes, por lo que los epicentros no sólo pueden ocurrir en los centros de las fuentes sino, con igual probabilidad, en cualquier punto dentro del volumen correspondiente. Se debe tomar en cuenta esta situación subdividiendo las fuentes sísmicas en triángulos, en cuyo centro de gravedad se considera concentrada la sismicidad del triángulo. La subdivisión se hace recursivamente hasta alcanzar un tamaño de triángulo suficientemente pequeño como para garantizar la precisión en la integración de la ecuación anterior.

En vista de que se supone que, dadas la magnitud y la distancia, la intensidad tiene distribución lognormal, la probabilidad )R,MaAPr( i> se calcula de la siguiente manera:

=>

a)R,MA(E

ln1)R,MaAPr( i

Lnao σ

φ (9)

Siendo φ ( .) la distribución normal estándar, )R,MA(E i el valor medio del logaritmo de la intensidad (dado por la ley de atenuación correspondiente) y σ Lna su correspondiente desviación estándar.

El peligro sísmico se expresa, entonces, en términos de la tasa de excedencia de valores dados de intensidad sísmica (Figura 9). Como se ha indicado, en este caso la intensidad sísmica, a, se mide con las ordenadas del espectro de respuesta de seudoaceleraciones para 5% del amortiguamiento crítico y el periodo natural de vibración de la edificación de interés, T.






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Figura 9. Tasas de excedencia de aceleraciones máximas para Lima.

3.0 VULNERABILIDAD ESTRUCTURAL

La vulnerabilidad estructural es la relación entre la intensidad sísmica y el nivel de daño. En este enfoque la intensidad sísmica se mide con la aceleración espectral. El nivel de daño se puede estimar tomando la deriva de entrepiso como parámetro de referencia, el cual se calcula como el desplazamiento relativo entre dos niveles contiguos, dividido entre la altura del piso. Existe un número importante de estudios que concluyen que dicho parámetro de la respuesta estructural presenta la mejor correlación con el daño estructural registrado (Bertero et al., 1991; Moehle, 1992; Moehle, 1996; Miranda, 1997; Priestley, 1997; Sozen, 1997). Contrario a la mayoría de sistemas que basan la estimación del daño en la Intensidad de Mercalli Modificada, el método que se emplea está basado en un parámetro que presenta una excelente correlación con el daño producido por la acción de sismos intensos. A partir de la aceleración espectral es posible determinar la máxima distorsión de entrepiso con la siguiente expresión:

)T(SNh4

)N(a2

24321

i πηββββγ

ρ= (10)

donde:

1β = Es la relación entre el máximo desplazamiento lateral en el nivel superior de la estructura y el desplazamiento espectral, considerando un modelo de comportamiento elástico lineal. Este factor depende del tipo estructural y del número de pisos de la estructura. Se calcula a partir de la solución de la






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ecuación diferencial que describe el comportamiento de un sistema acoplado, compuesto por una viga continua de cortante y otra de flexión, sometido a carga lateral que varía con la altura.

El grado de participación de las deformaciones laterales de corte y de flexión en el sistema es función del parámetro h α que depende del sistema estructural. Por ejemplo, en un edificio flexible construido a base de pórticos de concreto (sin muros estructurales ni arriostramiento) dominan las deformaciones laterales de corte, mientras que en una construcción estructurada con muros de concreto reforzado las deformaciones de flexión son las predominantes. Mayor información sobre cómo estimar este parámetro se encuentra en Miranda (1997), donde se muestran muy buenos resultados en la estimación de desplazamientos laterales máximos utilizando este enfoque.

2β = Describe la relación entre la máxima distorsión de entrepiso y la distorsión global de la estructura, que se define como el máximo desplazamiento lateral en la azotea dividido por la altura total. 2β depende del grado de participación de las deformaciones laterales de corte y flexión, y del tipo estructural. Tiene en cuenta el hecho que en general las deformaciones laterales durante un sismo intenso no se distribuyen uniformemente con la altura de la edificación, pero que hay una tendencia a concentrar grandes deformaciones de entrepiso en algunos niveles (Miranda, 1997).

1 2.5 4 5.5 7 8.5 100.80.9

11.11.21.31.41.51.61.71.8

1.8

0.8

β1 x( )

101 x 1 2.5 4 5.5 7 8.5 10

0.80.9

11.11.21.31.41.51.61.71.8

1.8

0.8

β2 x( )

101 x Figura 10. Curvas de 1β y 2β versus el número de pisos para edificaciones de

albañilería. 3β = Expresa la relación entre el máximo desplazamiento lateral del modelo de

comportamiento inelástico, y el desplazamiento máximo del modelo elástico lineal. Este factor depende de la demanda de ductilidad al desplazamiento, el periodo fundamental de vibración de la estructura y el tipo de suelo que la soporta. Es calculado con funciones que han sido calibradas con estudios estadísticos de relaciones entre el máximo desplazamiento lateral de osciladores de un grado de libertad con comportamiento inelástico, y sus contrapartes en comportamiento elástico. Dichas calibraciones han sido realizadas para osciladores sometidos a cientos de acelerogramas registrados en diferentes tipos de suelo durante más de 25 sismos severos ocurridos a nivel mundial. Para estructuras sobre suelos blandos, 3β no sólo depende del






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periodo fundamental de vibración de la estructura sino más bien de la relación entre éste y el periodo dominante del suelo. La demanda de ductilidad global de la estructura se estima con la aceleración espectral asociada al periodo de vibración de la estructura, la resistencia ante cargas laterales de la misma, y el factor de reducción de las cargas aplicadas. La resistencia lateral de la estructura depende de la ubicación y la edad de la misma, lo que hace posible clasificar las estructuras en términos de normativas y códigos de construcción vigentes en el momento de ser construidas.

4β = Es la relación entre los factores 2β elástico e inelástico. Este factor tiene en cuenta que la distribución de la carga lateral con la altura es diferente en el modelo elástico y en el inelástico. En el caso de comportamiento inelástico se produce una gran concentración de la fuerza. Este factor depende del número de pisos y del nivel de deformación inelástica de la estructura, que se mide en términos de la demanda de ductilidad al desplazamiento.

200N

3014 ++=

µβ (11)

donde: N es el número de pisos. µ es la ductilidad de demanda de la estructura.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.8

1.2

1.6

2

2.42.8

3.2

3.64

0.8

β3 x( )

30 x 1 2 3 4 5 6 7

0.9

1.05

1.2

1.35

1.51.5

0.9

β4 x( )

71 x Figura 11: Curvas 3β y 4β versus número de pisos para edificaciones de albañilería.

Estos factores dependen de la ubicación de la estructura, el tipo estructural, el tipo de suelo y el año de construcción. Tienen en cuenta el hecho de que la rigidez lateral de las estructuras localizadas en zonas de alta sismicidad es mayor que el de estructuras ubicadas en zonas de baja sismicidad. También consideran que las estructuras construidas sobre suelos blandos son más flexibles que las construidas en suelos firmes debido a la flexibilidad de la cimentación. Estos parámetros han sido calibrados con modelos analíticos, medidos experimentales y diferentes consideraciones siguiendo los requerimientos que se presentan en las últimas normas. Debe anotarse que se asigna un nivel de incertidumbre en la determinación del período T, y es tenida en cuenta dentro del análisis.






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h es la altura de cada piso de la estructura, que depende del tipo estructural, la ubicación geográfica y la fecha de construcción. Sa(T) es la aceleración espectral, que depende del periodo fundamental de vibración, el amortiguamiento de la estructura y la amenaza sísmica en el sitio.

Una vez que se determina la máxima distorsión de entrepiso de la estructura, su vulnerabilidad puede ser incrementada por varios factores. Algunos de estos factores son los siguientes: irregularidades en planta o en altura, golpeteo con edificaciones vecinas, daños previos no reparados, columnas cortas, etc. El valor esperado del daño de la estructura, dado un valor de distorsión máxima de entrepiso, se calcula de la siguiente forma:

−=

ε

γγ

γβo

ii 5.0lnexp1) (E (12)

donde β es la pérdida bruta, oγ y iγ son parámetros de vulnerabilidad estructural que dependen del sistema estructural y la fecha de construcción, y E(.) es el valor esperado. Nótese que por definición, β es la proporción entre el costo de reparación y el costo total, y su valor está entre 0 y 1.

4.0 MÓDULOS PARA LA ESTIMACIÓN DE LA MÁXIMA PÉRDIDA PROBABLE (PML)

A continuación se presentan los tres módulos necesarios para estimar la perdida máxima probable (PML):

4.1. Módulo de Peligro Sísmico

Se encarga de procesar la información del catálogo sísmico para traducirlo en una curva de tasas de excedencias de magnitudes, para cada una de las fuentes y sub-fuentes sísmicas identificadas y definidas en un mapa. Se determinan las curvas de atenuación, de acuerdo al mecanismo focal, para estimar como se atenúa la aceleración de la fuente hacia las zonas en roca competente donde se encuentran ubicadas las carteras. Seguidamente se toman los resultados de los ensayos de microtremor, para determinar las funciones de transferencia, debidas a las condiciones locales y obtener la aceleración en superficie (lugares específicos). Finalmente se integran los resultados anteriores para obtener el peligro sísmico en cada área específica, como tasas de excedencia de aceleraciones dadas una determinada magnitud y distancia de la fuente (Figura 12a). 4.2. Módulo de Vulnerabilidad Estructural

Se encarga de procesar la información referente a la vulnerabilidad estructural. De la información de las fichas de campo se extrae la información necesaria






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para calcular el periodo fundamental de las estructuras aseguradas y los coeficientes β , son hallados mediante modelos que simulan la reacción de las estructuras existentes en la cartera. Finalmente de acuerdo a la aceleración espectral calculada en el modulo de peligro sísmico, se calcula un nivel de distorsión, relacionado a un nivel de daño y a una pérdida bruta (Figura 12b). 4.3. Módulo de Riesgo Sísmico

Se encarga de calcular el PML y toma como datos de entrada los resultados obtenidos por los módulos de peligro sísmico y vulnerabilidad estructural. Con los datos antes mencionados se calcula la tasa de excedencia de pérdidas netas de la cartera, ante la ocurrencia de un evento sísmico de un periodo de retorno determinado, es decir, se calcula una curva de PML versus el periodo de retorno. En la Figura 13, se presenta el diagrama de flujo para el cálculo del PML. Como se puede notar, en esta etapa se integran los resultados obtenidos por los módulos de peligro sísmico y vulnerabilidad estructural, necesita como entradas las funciones que definen las tasas de excedencia de aceleraciones espectrales y pérdidas brutas para poder calcular las curva de PML. La metodología integrada para el cálculo del PML se muestra en la Figura 14 en donde se puede apreciar en resumen el proceso de obtención y procesamiento de datos, necesarios para el cálculo del PML.

(a) (b) Figura 12. Módulos de Peligro Sísmico y Vulnerabilidad Estructural.

PELIGRO SISMICO

Leyes de Atenuación y Funciones de Transferencia

Fuentes y sub-fuentes sísmicas sus parámetros

Cálculo del peligro sísmico (PGA)

Discretización de fuentes y sub-fuentes sísmicas

Condiciones de sitio

VULNERABILIDAD ESTRUCTURAL

Peligro Sísmico Sa = f (PGA)

Cálculo de distorsiones

Evaluación del daño esperado

Tipo de edificación, número de pisos, área,

ancho, altura,

Cómputo del periodo (T) y estimación de parámetros ),,,( 4321 ββββ






20

Figura 13. Módulo de Riesgo Sísmico.

Figura 14. Metodología Integrada para la estimación del PML.

RIESGO SISMICO

PELIGRO SISMICO

VULNERABILIDAD ESTRUCTURAL

Cómputo de pérdidas (daño esperado)

Cómputo de la perdida máxima probable (PML)






21

5.0 EVALUACION DE PERDIDAS POR SISMO PARA FINES DE SEGUROS En esta sección se presentan los procedimientos para la evaluación de pérdidas netas en carteras de compañías de seguros, especialmente en los aspectos propios de la operación del seguro de terremoto. Se describen primero los criterios para hacer estimaciones en edificaciones individuales y, posteriormente, la manera en que se modelan las pérdidas en una cartera completa. 5.1. Efecto de coaseguro, deducible y límite Es importante estimar la perdida neta Nβ , que es aquella que resulta de aplicar coaseguro, deducible y limite de primer riesgo. Para estimar la pérdida neta se consideran las variables R, C, D y L: la retención proporcional, el coaseguro, el deducible y el limite, respectivamente, expresados como una fracción del valor expuesto. La pérdida neta se define de la siguiente manera:

>−<<−

<=

L si CR)DL(LD si CR)D(

D si 0

N

βββ

ββ (13)

Se calcula )(E N γβ , )( N2 γβσ y la distribución de probabilidades de γβN . Para

ello, se designa a la perdida bruta β una distribución de probabilidades Beta como parámetros a y b, cuyas relaciones con los momentos estadísticos de β se han establecido. )(E N γβ , )( N

2 γβσ se obtienen integrando la ecuación anterior con respecto a la densidad de probabilidad de β . En estas condiciones, la distribución de probabilidad de γβN adopta la siguiente forma:

)b,a,D(Ba)0B(P Nr ==

+== b,a,D

CRBa)B(P N

NNrβ

β (14)

)b,a,L(Ba1)CR)DL(B(P Nr −=−= siendo )b,a,x(Ba la función Beta Acumulada (Abramowitz y Stegun, 1956). El valor esperado y la varianza de la perdida neta resultan dados por las siguientes expresiones: CR)TTT()(E 321N +−=γβ (15) donde

)b,1a,D(Ba)b,1a,L(Ba(ba

aT1 +−++

= (16)

( ))b,a,D(Bab,a,L(BaDT2 −= (17) ))b,a,L(Ba1)(dL(T3 −−= (18) Adicionalmente,






22

)uuuu()CR()(E 432122

N ++−=γβ (19) donde

( ))b,2a,D(Ba)b,2a,L(Ba)1ba)(ba(

)1a(au1 +−++++

+= (20)

( ))b,1a,D(Ba)b,1a,L(Baba

Da2u2 +−++

= (21)

( ))b,1a,D(Ba)b,a,L(BaDu 23 +−= (22)

( ))b,a,L(Ba1)DL(u 24 −−= (23)

para finalmente obtener )(E)(E)( N

22NN

2 γβγβγβσ −= (24)

5.2. Perdida anual esperada (PAE) o Prima Pura de Riesgo para una edificación La perdida anual esperada se define como la esperanza de la perdida que se tendría en un año cualquiera, suponiendo que el proceso de ocurrencia de sismos es estacionaria y que a las estructuras dañadas se les restituye su resistencia inmediata después de un sismo. La perdida anual esperada es también conocida como “prima técnica” o “prima pura de riesgo”, puesto que de cobrarse tal valor de prima en un sistema simple de seguro, se tendría, a largo plazo, un equilibrio entre primas recibidas y perdidas pagadas. Matemáticamente, PAE se define de la siguiente manera:

∑ ∫ −= j

Mu

Mo

j dM)i_fuente,MP(EdM

)M(dPAE

λ (25)

donde la suma abarca la totalidad de las fuentes j, )M(jλ es la sismicidad de la fuente j, y )i_fuente,MP(E es el valor esperado de la perdida neta en toda la cartera en unidades monetarias, suponiendo que en la fuente j ocurre un temblor de magnitud M. 5.3. Pérdida máxima probable (PML) para una cartera

La pérdida máxima probable (PML) de una cartera de edificaciones es un estimador del tamaño de las pérdidas máximas que sería razonable esperar en dicha cartera durante un periodo de exposición sísmica. Se utiliza como dato fundamental para determinar el tamaño de las reservas que la compañía de seguros debería mantener. En este modelo se define como la pérdida estimada que ocurriría para un periodo de retorno determinado. Por lo tanto, es necesario calcular las tasas de excedencia de las pérdidas netas del portafolio, β (PN). Si en la j-ésima fuente se genera un sismo, la pérdida neta para el portafolio será:

∑= i NjiiNj VP β (26)






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donde Vi es el valor de la i-ésima estructura, Nijβ es la pérdida neta en la estructura i, si un sismo con las características determinadas ocurre en la fuente j, y la sumatoria se hace para incluir todas las edificaciones de la cartera. La determinación exacta de la función de densidad de probabilidad de PNj es bastante complicada.

En este modelo se asume que la cantidad PNj/∑

iiV también se distribuye como

una variable aleatoria Beta. Así el valor esperado de PNj se puede calcular fácilmente como sigue:

∑= i ijNjiiNj )(EV)P(E γβ (27)

donde ijγ es la máxima deriva de entrepiso experimentada por la estructura i si un sismo de magnitud conocida se genera en la fuente j. Sin embargo, para calcular la varianza de PNj, se debe tener en cuenta la correlación existente entre los diferentes tipos de pérdidas que se pueden generar tanto en la estructura como en los contenidos de la misma. En este modelo se asume que, dada la ocurrencia de un sismo, todas las pérdidas tienen un coeficiente de correlación de 0.3. Este valor se ha determinado al examinar carteras de edificaciones reales y calibrando el efecto de emplear diferentes valores para este coeficiente.

Una vez que se conoce el valor esperado y la varianza de PNj, las tasas de excedencia de PN se pueden calcular de la siguiente manera (Ordaz et al, 1998; Ordaz, 1999):

∑ ∫ >−= j NNj

Mu

Mo

jN dM)i_fuente,MPPPr(

dM)M(d

)P(λ

µ (28)

donde )M(jλ es la tasa de excedencia de la magnitud M en la fuente j, y la sumatoria tiene en cuenta los efectos de todas las fuentes sísmicas. Una vez realizados estos cálculos se puede determinar el PML para cada caso.

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