NO LINEAL
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PROGRAMACIN LINEAL
PROGRAMACIN LINEAL.
La programacin lineal es una tcnica de modelado (construccin de modelos).
La programacin lineal (PL) es una tcnica matemtica de optimizacin, es decir, un mtodo que trata de maximizar o minimizar un objetivo.
Su inters principal es tomar decisiones ptimas.
Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. S i bien esos sectores han sido quiz los principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector pblico de la economa tambin la han aprovechado ampliamente.
ESTRUCTURA BSICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL (PL)
Un problema de PL consta de una funcin objetivo (lineal) por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.
Conceptos clave:
Funcin objetivo: La funcin por optimizar (maximizar o minimizar)
Restricciones: Representan condiciones que es preciso satisfacer. Sistema de
igualdades y desigualdades ( )
Ejemplo:1.2Funcin objetivo
Maximizar2Y
Sujeto a
180
3Y300Restricciones
0
0
BORJAPgina 1
PROGRAMACIN LINEAL
Ejemplo:6 8
Funcin objetivo
Minimizar
Sujeto a
Restricciones
0
0
TIPOS DE RESTRICCIONES.
De no negatividad
Estructurales
Garantizan que ninguna variable de
Decisin sea negativa.
Reflejan factores como la limitacin
De recursos y otras condiciones que
Funcin objetivoImpone la situacin del problema.
Ejemplo:56
Maximizar3Restricciones Estructurales
Sujeto a
2120
46y260
Restricciones de no negatividad
00
BORJAPgina 2
PROGRAMACIN LINEAL
SOLUCIN GRFICA DE PROBLEMAS DE PL.
Cuando un modelo de programacin lineal se expresa en trminos de dos variables puede resolverse con procedimientos grficos.
Conceptos clave:
Conjunto factible: Es el conjunto de puntos que integran la regin de resolucin. Solucin factible: Cada punto que integra la regin (plana) que resuelve el problema. Solucin ptima: Constituye la solucin al problema de programacin lineal.Cul es el objetivo de la solucin grfica?
Encontrar (entre todos los puntos del conjunto factible) el punto o los puntos que optimicen la funcin objetivo.
Ejemplo:Maximizar3 2
Sujeto a 23Y 12
2 Y 8
0
0
Paso 1
Se igualan las restricciones:
23YEcuacin 1
12Ecuacin 2
2Y8
BORJAPgina 3
PROGRAMACIN LINEAL
Paso 2
Se grafican las ecuaciones, se puede hacer escogiendo un conjunto de nmeros que nos permitan dibujar la lnea (por ejemplo 0, 1, 2, 3,-1, -2, -3), es decir, para la ecuacin 1
XY
110/3
28/3
32
04
-114/3
-216/3
-36
Y de la misma forma se procede con la ecuacin 2.
Una manera ms sencilla es la siguiente:
Para la ecuacin 13Y12Para la ecuacin 2Y8
22
XYXY
0408
6040
Con estos puntos obtendremos la siguiente grfica.
BORJAPgina 4
PROGRAMACIN LINEAL
El rea sombreada de azul es la que corresponde al conjunto factible, cada punto que contiene el conjunto factible es un candidato para resolver este problema.
Ya que tienes graficado el conjunto factible (el rea azul de la grfica) identifica las coordenadas de todas las esquinas (vrtices) del conjunto factible:
A (0,4)
B (3,2)
C (4,0)
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PROGRAMACIN LINEAL
Nota: Para poder encontrar las coordenadas del punto B tienes que resol ver el sistema de
ecuaciones conformado por las dos ecuaciones anteriores (2yay
) puedes resolver el sistema a travs de los mtodos quedebes de haber
3Y12
estudiado anteriormente (suma y resta, sustitucin, igualacin o grfico). En nuestro caso
2Y8
utilizaremos el mtodo de sustitucin.
23Y12Ecuacin 1
Ecuacin 2
2Y8
Paso 1. Se despeja Y de la ecuacin 2
Y 8 2
Paso 2. Se sustituye el valor de Y en la ecuacin 12 3 8 2 12
Paso 3. Se resuelve la ecuacin para encontrar el valor de X.2 24 6 12
4 12 24
412
12/ 4
3
Paso 4. Sustituye el valor de X en el despeje que hiciste en el paso 1.
Y 8 2 3
Y 8 6
2
Y con esto obtienes el resultado del vrtice B (3,2)
BORJAPgina 6
PROGRAMACIN LINEAL
Despus de haber encontrado las coordenadas de todas las esquinas es necesario que sustituyas el valor de cada una de ellas en la funcin objetivo, para que encuentres el valor mximo (o mnimo, segn sea el caso).
Sustituyendo el valor del vrtice A en la funcin objetivo. 2
Vrtice A (0,4) 2
3 0 2 4 8
Vrtice B (3,2) 2
3 3 2 2 13
Vrtice (4,0) 2
Resultados:3 42 012
Vrtice A (0,4)Valor8
Vrtice B (3,2)Valor13
Vrtice C (4,0)Valor12
Observando los resultados podemos concluir que el mximo se encuentra en el vrtice B.
FIN
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