Universidad Nacional Jos Faustino Snchez Carrin FACULTAD DE CIENCIASEscuela Acadmico Profesional de Matemtica Aplicada

MONOGRAFIA

Regresin No Lineal en el Crecimiento dePresentado por:

Levy Csar Samam MendozaBachiller en Matemtica Aplicada

Huacho - Per 2012Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 1

REGRESION NO LINEAL EN CRECIMIENTO DE AVES

RESUMENEl anlisis de regresin no lineal en el crecimiento de aves, es una monografa que presenta y describe los diferentes modelos de regresin de funciones no lineales, enfatizando en los mtodos de solucin, especficamente funciones potenciales y exponenciales, como gompertz, logstica entre otros, cuyas graficas se asemejan al comportamiento del crecimiento de animales, especialmente el de aves. Se determina la importancia de las funciones no lineales en la determinacin de comportamientos y carateristicas biolgicas de cierta especie.

Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 2

INDICE

IntroduccinI. Conceptos tericos de regresin no lineal

I.1. Introduccin I.2. Descripcin de una ecuacin de regresin I.3. Representatividad de la curva de regresin. I.3.1. Poder explicativo del modelo I.3.2. Poder explicativo frente a poder predictivo I.3.3. Causalidad I.3.4. Extrapolacin I.4. Regresin no lineal e inferencia I.5. LinealizacinI.6.

Mtodos de ajuste en una regresin no lineal I.6.1. Mnimos cuadrados ordinarios y ponderados I.6.2. Estimacin de los parmetros con el mtodo monte carlo I.6.3. Algoritmo de gaussnewton

I.7. Tipos de regresin no lineal I.7.1. Parbola de regresinI.7.2. Regresin hiperblica

I.7.3. Modelo potencial I.7.4. Modelo exponencial I.7.5. Modelo logartmicoBach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 3

I.7.6. Modelo polinomial II. Aplicacin de la regresin no lineal en la curva de crecimiento de aves II.1. Modelos matemticos no lineales utilizadas para estudiar el crecimiento animal: II.2. Investigaciones que hacen uso de los modelos matemticos Conclusiones Bibliografa

Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 4

INTRODUCCION

Este trabajo tiene por objetivo presentar en forma descriptiva y conocer la aplicabilidad de un modelo matemtico, situado en el rea de estadstica, especficamente en el tema de regresin no lineal, que permita estimar valores entre variables correlacionadas, mediante

funciones no lineales, muchas veces desarrolladas mediante el concepto de linealizacin, en el cual se aplican logaritmos para reducir la expresin a funciones lineales, en otros casos se recurre a software estadsticos que determinan el tipo de funcin que representa a los datos en evaluacin.

Se incluyen conceptos tericos de regresin y tipos de regresin no lineal, condiciones y supuestos para cada mtodo, a la vez se presentan investigaciones realizadas en el mbito de biologa, especficamente en aves, donde se hace uso de la regresin no lineal como herramienta de anlisis.

El objetivo para presentar esta monografa es visualizar en la misma, la amplia gama de modelos matemticos (funciones no lineales), utilizadas como herramienta de anlisis en mltiples investigaciones, realizadas en el mbito de la biologa, la zootecnia entre otros, reas que aparentemente no estn relacionadas con los conceptos matemticos, sinBach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 5

embargo hacen uso de estos modelos para determinar los requerimientos especficos por cada etapa en funcin al desarrollo fisiolgico del animal, a la vez se observa que se relaciona el peso corporal de las aves con la base gentica de las mismas.

El autor

Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 6

Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 7

Regresin No Lineal en el Crecimiento de Aves 8

REGRESION NO LINEAL EN EL CRECIMIENTO DE AVES

I. CONCEPTOS TEORICOS DE REGRESION NO LINEAL I.1. INTRODUCCIONRegresin es una palabra un tanto rara. La utilizan los bilogos, los mdicos, los psiclogos... y suena como "ir hacia atrs", "volver al pasado", y realmente este es verdadero significado del vocablo. Fue un bilogo y estadstico ingls, SIR FRANCIS GALTON*, quien introdujo en 1889 el trmino regresin en Estadstica. Emple este concepto para indicar la relacin que exista entre la estatura de los nios de una muestra y la estatura de su padre.

Observ, que si los padres son altos, los hijos generalmente tambin lo son, y si los padres son bajos los hijos son tambin de menor estatura. Pero ocurra un hecho curioso: cuando el padre es muy alto o muy bajo, aparece una perceptible "regresin" hacia la estatura media de la poblacin, de modo que sus hijos retroceden hacia la media de la que sus padres, por cierto, estn muy alejados. Hoy da, el trmino no se utiliza en ese sentido.

En muchas ocasiones, se desea conocer algo acerca de la relacin o dependencia entre dos caractersticas cuantitativas, o ms de una, consideradas sobre la misma poblacin objeto de estudio (porBach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 8

Regresin No Lineal en el Crecimiento de Aves 9ejemplo la talla y el peso). Hay muchos casos en los que ya de antemano se "sospecha" que puede existir algn tipo de relacin, y por consiguiente, se pretende saber por ejemplo, en el caso de que tengamos nicamente dosvariables:

Si ambas variables estn realmente relacionadas entre s o si, por el contrario, pueden considerarse independientes.

Si existe dependencia, es necesario conocer el "grado de relacin", as como el "tipo" de relacin entre ambas.

Si puede predecirse la variable que es considerada como dependiente a partir de los valores de la otra, que es

considerada independiente, y si es as, con qu precisin.

Para analizar si dos variables aleatorias estn relacionadaso no (de ahora en adelante se denominarn X e Y , siendo Y la variable dependiente, y X la variable independiente o regresora), consiste en tomar una muestra aleatoria. Sobre cada individuo de la muestra seanalizan las dos caractersticas en estudio, de modo que para cada individuo se tenga un par de valores(xi,yi)(1,2,,n).

Para representar los valores, se presentan en los ejes cartesianos, dando lugar a un diagrama dedispersin o nube de puntos. As,Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 9

Regresin No Lineal en el Crecimiento de Aves 10cada individuo vendr representado por un punto en el grfico, decoordenadas(xi,yi), indicndonos de manera visual la primera idea de cul es el comportamiento y la relacin de los datos:

Evaluar si existe dependencia funcional o dependencia estocstica. En el primercaso la relacin es perfecta: Y= f(X), es decir, los puntos del diagrama de dispersincorrespondiente aparecen sobre la funcin Y= f(X) , por ejemplo la relacin lineal perfecta entre las variables:

Muchas veces, no existe una dependencia funcional perfecta, sino otra dependencia orelacin menos rigurosa o dependencia estocstica Entonces, la relacin entre X e Y , se escribira, de de la forma Y=a+bX+e , donde es un error (o residual), debidopor ejemplo, a no incluir variables en el modelo que sean importantes a la hora de explicar el comportamiento de Y , y cuyos efectos sean diferentes a los de X ; errores aleatorios o de medida, o simplemente a que se ha especificando mal el

Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 10

Regresin No Lineal en el Crecimiento de Aves 11modelo (por ejemplo, en lugar de ser una recta, sea unaparbola).

En la dependencia estocstica, se distinguen dos tipos de tcnicas: (a) Anlisis de regresin; (b) Anlisis de correlacin.

En el primer caso: El anlisis de correlacin, tiene como fin dar respuesta a las preguntas: Existe dependencia estocstica entre las variables?; Cul es el grado de dicha dependencia?

En el anlisis de regresin las cuestiones son:Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 11

Regresin No Lineal en el Crecimiento de Aves 12 Cul es el tipo de dependencia entre las dos variables?; Pueden estimarse los valores de Y a partir de los de X?y

Con qu precisin?.

Se dice que existe regresin de los valores de una variable con respecto a los de otra, cuando hay alguna lnea, llamada lnea de regresin que se ajusta ms o menos claramente a la nube de puntos.

Si existe regresin, se denominar ecuacin de regresin a la ecuacin que describe la relacin entre lasdos variables.

En

general,

la

variable

X

se

conoce

como

variable

independiente, y la Y como variable dependiente. Evidentemente puede ser arbitrario el determinar la existencia de regresin as como el tipo de la misma, yaque depende del autor o del estado de nimo de la persona en un momento determinado. Por lo tanto, se hacen necesarios mtodos estadsticos objetivos, independientes del investigador, para determinar la existencia o no de relacin y el tipo de la misma.

I.1. DESCRIPCIN DE UNA ECUACIN DE REGRESIN

Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 12

Regresin No Lineal en el Crecimiento de Aves 13Si las dos variables X e Y se relacionan segn un modelo de lnea recta, se habla de regresin lineal simple: Y=a+bX Cuando las variables X e Y se relacionan segn una lnea curva, se habla de regresin no lineal o curvilnea. Aqu se puede distinguir entre regresin parablica, exponencial, potencial, etc.

Cuando hay ms de una variable independiente(X1,X2,,Xn), y una sola variable dependiente Y , se habla de regresin mltiple. Las variablesXise

denominan,

regresoras,

predictoras

o

independientes.

Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 13

Regresin No Lineal en el Crecimiento de Aves 14

I.2. REPRESENTATIVIDAD REGRESIN.

DE

LA

CURVA

DE

I.2.1. Poder explicativo del modeloLa curva de regresin, tiene carcter de lnea media que trata de resumir o sintetizar la informacinsuministrada por los datos. Si tiene carcter de lnea media (de promedio, en definitiva), deber ir acompaada siempre de una medida que exprese su representatividad, es decir, de lo buena que es lacurva, ya que el haber obtenido la mejor de todas no da garantas de que sea buena. Se necesita, por tanto,una medida de dispersin, que tenga en cuenta la dispersin de cada observacin con respecto a la curva,es decir, lo alejado que se encuentra cada punto de la curva. Es decir, se debe evaluar esas distancias verticales a la curva, es decir, los errores o residuales.Si las dispersiones son pequeas, la curva ser un buen representante de la nube de puntos, o lo que es lomismo, la bondad de ajuste del modelo ser alta. Si la dispersin es grande, la bondad de ajuste ser baja.Una forma de medir dicha bondad de ajuste es precisamente evaluando la suma de los cuadrados de los errores. Por tanto, se llamar varianza residual a la expresin:

Bach. Levy Csar Samam Mendoza Pgina 14

Regresin No Lineal en el Crecimiento de Aves 15Se2=i=1n(yi-yi*)2n

Si la varianza residual es grande, el modelo ser malo, es decir, la curva no explicar el comportamiento general de la nube.

La cota mxima de la varianza residual es la varianza que se trata de explicar mediante el modelo de regresin, es decir, la varianza de la variable dependiente. Por tanto, sin ms que hacer relativa la varianza residual respecto de su mximo valor, y multiplicando por 100, se obtiene el porcentaje de variacin no explicado por el modelo:% devariacionsinexplicar=Se2SY2100.

En el que es fcil obtener una medida R2o coeficiente de determinacin que indique el porcentaje de variacin controlada o explicada mediante el modelo. Expresado en tantos por 1, ser:R2=1-Se2SY2

Como puede observarse, a partir de la expresin anterior::0