NIVELES DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO PARA LA ...
87
NIVELES DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO PARA LA PROBABILIDAD FRECUENCIAL CARLOS ANDRÉS LEÓN GÓMEZ NICOL ALEJANDRO GUALTEROS JIMÉNEZ DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL BOGOTÁ 2016
Transcript of NIVELES DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO PARA LA ...
NIVELES DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO PARA
LA PROBABILIDAD FRECUENCIAL
CARLOS ANDRÉS LEÓN GÓMEZ
NICOL ALEJANDRO GUALTEROS JIMÉNEZ
DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
BOGOTÁ
2016
NIVELES DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO PARA
LA PROBABILIDAD FRECUENCIAL
CARLOS ANDRÉS LEÓN GÓMEZ
2012140033
NICOL ALEJANDRO GUALTEROS JIMÉNEZ
2012140029
Trabajo de grado como requisito parcial para optar al título de Licenciado en
Matemáticas
Directora de trabajo de grado
INGRITH ÁLVAREZ ALFONSO
Magister en Docencia de la Matemática
DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
BOGOTÁ
2016
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos a nuestros padres, hermanos y familiares que nos brindaron su apoyo
incondicional en todo nuestro proceso de formación profesional.
A la Universidad Pedagógica Nacional por ofrecer un espacio óptimo para la
formación como futuros docentes a partir de una plantilla profesional de calidad.
A la profesora Ingrith Álvarez Alfonso por su paciencia, dedicación y compromiso en
nuestro proceso de formación y en la elaboración de este trabajo.
Al grupo de expertos por su colaboración en la valoración de la propuesta, en especial
a los doctores Humberto Cuevas y Cileda Coutinho.
“Los fenómenos de la didáctica son esencialmente fenómenos estocásticos”
Brousseau
1
RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN - RAE
1. Información General
Tipo de documento Trabajo de grado.
Acceso al documento Universidad Pedagógica Nacional. Biblioteca Central
Título del documento Niveles de desarrollo del pensamiento aleatorio para la
probabilidad frecuencial
Autor(es) Gualteros Jiménez, Alejandro; León Gómez, Carlos Andrés
Director Álvarez Alfonso, Ingrith
Publicación Bogotá. Universidad Pedagógica Nacional, 2016. 87 p.
Unidad Patrocinante Universidad Pedagógica Nacional
Palabras Claves
RAZONAMIENTO PROBABILÍSTICO, NIVELES DE
DESARROLLO, PROBABILIDAD FRECUENCIAL,
ALEATORIEDAD, AZAR.
2. Descripción
Este es un documento desarrollado en el campo de la Educación Estocástica,
específicamente en el ámbito de la probabilidad frecuencial. Esta propuesta fue diseñada
por futuros Licenciados en Matemática para docentes de Matemáticas interesados en
categorizar el nivel de desarrollo del razonamiento probabilístico frecuencial sin importar el
grado de escolaridad de los individuos. En este documento se encuentran aspectos históricos
y conceptuales de la probabilidad frecuencial, además se presenta antecedentes de trabajos
realizados en el marco de la categorización del desarrollo cognitivo de este objeto de
estudio. Los niveles propuestos en este trabajo siguen la estructura de la taxonomía SOLO y
están fundamentados por los referentes teóricos, históricos y cognitivos mencionados
anteriormente. Finalmente se hace uso de una evaluación de expertos con el fin de valorar
los componentes de la propuesta, y modificarla atendiendo a las sugerencias o comentarios
de los expertos.
3. Fuentes
Ente las fuentes más relevantes para la construcción de la propuesta se encuentran:
Álvarez, I. (2006). Alternativa metodológica para la acomodación de las estructuras
cognitivas acerca de polígonos. Tesis de Maestría. Universidad Pedagógica Félix
Varela, Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño. Santa Clara, Cuba.
Bersabé, R. (1995). Sesgos cognitivos en los juegos de azar: La ilusión de control.
Universidad Complutense de Madrid, Servicio de Publicaciones.
Biggs, J. & Collins, K. (1982). Evaluating the quality of learning: The SOLO taxonomy.
New York: Academic Press.
Crespo, T. (2007). Respuestas a 16 preguntas sobre el empleo de expertos en la
investigación pedagógica. Ed. San Marcos. Lima, Perú.
Díaz, C. (2003). Heurísticas y sesgos en el razonamiento probabilístico. Implicaciones para
2
la enseñanza de la Estadística. En: Actas del 27 Congreso Nacional de Estadística e
Investigación Operativa.
Mateos, G. & Morales, A. (1985). Teoría subjetiva de la probabilidad: Fundamentos,
evolución y determinación de probabilidades. Tesis doctoral. Universidad
Complutense de Madrid, Facultad de ciencias económicas y empresariales,
Departamento de estadística y métodos de decisión. Madrid, España.
Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas.
Bogotá, D.C., Cooperativa Editorial Magisterio.
Ministerio de Educación Nacional. (2006). Estándares Básicos de Competencias
matemáticas. Bogotá, D.C., Cooperativa Editorial Magisterio.
NCTM. (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática (M. Fernández,
Trad.). Sevilla: SAEM Thales. (Trabajo original publicado en 2000).
Romero, J. y Vergara, M. (2014). Razonamiento probabilístico en estudiantes de undécimo
grado bajo los enfoques intuitivo, frecuencial y clásico. Departamento de
Matemáticas, Facultad de Ciencia y Tecnología, Universidad Pedagógica Nacional.
Bogotá, Colombia.
Sánchez, E. y Valdez, J. (2013). La cuantificación del azar: una articulación de las
definiciones subjetiva, frecuencial y clásica de probabilidad. Probabilidad
Condicionada: Revista de didáctica de la Estadística, (2).
4. Contenidos
Este trabajo consta de cuatro partes fundamentales: antecedentes, marco de referencia,
desarrollo de la propuesta y valoración de la propuesta.
En la primera parte del trabajo se presenta los resultados de una revisión de documentación
acerca de propuestas que formulan niveles para categorizar el desarrollo del razonamiento
probabilístico, a partir de lo cual se identifican elementos que no se han tenido en cuenta en
estas propuestas y se toman como parte de las necesidades para elaborar unos niveles que
incluyan dichos elementos.
El marco de referencia está divido principalmente en dos partes: marco conceptual y marco
cognitivo, en el marco conceptual se realiza y reporta una revisión acerca de los aspectos
históricos y teóricos que conforman el concepto de probabilidad frecuencial. En el marco
cognitivo, se identificaron sesgos y heurísticas presentes en el aprendizaje de la
probabilidad, además se revisaron algunas propuestas de enseñanza de este objeto para
identificar secuencias y conocimientos previos. Finalmente se hizo un reconocimiento
normativo de la estocástica en el ámbito nacional e internacional.
Posteriormente se encuentra el desarrollo de esta propuesta basado en los fundamentos
teóricos anteriormente mencionados, en esta parte están presentes Indicadores, Posibles
Relaciones entre ellos, Caracterización de cada nivel de desarrollo del razonamiento
probabilístico frecuencial, y un cuestionario que en algún momento se puede llevar al aula
3
para determinar el nivel de este razonamiento.
Luego se establece la metodología que se implementa para la valoración y mejoramiento de
esta propuesta, esto se hace usando la Evaluación de Experto. En esta parte se reportan las
características del grupo de expertos y cada una de las fases de esta metodología, una vez
aplicada se realizan los ajustes de la propuesta atendiendo las sugerencias de los expertos.
Finalmente se presentan las Conclusiones, Referencias y Anexos correspondientes de este
trabajo.
5. Metodología
Este trabajo inicia con la revisión de propuestas que intentaran categorizar el razonamiento
probabilístico con el fin de tener un panorama claro de qué se ha realizado en esta área, y
así identificar aspectos positivos y algunas falencias que estas pudieran tener.
Posteriormente se elabora el marco de referencia en el cual se reportaron elementos
conceptuales, históricos, didácticos y cognitivos, que permitieron definir los aspectos a
tener en cuenta en la construcción de los niveles. Luego se usaron los elementos
mencionados anteriormente para proponer diferentes indicadores que permiten caracterizar
el razonamiento probabilístico frecuencial de una persona; una vez se establecieron estos
indicadores se usó la estructura de la Taxonomía SOLO para definir los niveles y los
indicadores presentes en cada uno de ellos.
Acto seguido se implementa la metodología de Evaluación de expertos, solicitando a un
grupo de expertos valorar la propuesta con base en criterios específicos, esto con el fin de
conocer falencias y fortalezas de la misma y realizar los ajustes pertinentes en caso de ser
necesario. Finalmente se realizan algunos ajustes a la propuesta atendiendo a las
sugerencias dadas por los expertos y se presenta el producto final.
6. Conclusiones
A lo largo de este trabajo se evidencia la formulación de una propuesta que permite
caracterizar el desarrollo del pensamiento aleatorio para la probabilidad frecuencial,
fundamentada en propuestas que trabajan en la misma línea y soportada en un proceso de
documentación realizado sobre este objeto, desde aspectos: históricos, conceptuales y
didácticos. De esta manera se establecen tres categorías (Conceptos, Sesgos, Tratamiento de
Datos) que intervienen en la asignación de la probabilidad desde una noción frecuencial, así
se construyen indicadores para cada una de estas categorías y se establecen posibles
relaciones entre los indicadores, teniendo en cuenta la complejidad estructural propuesta en
la taxonomía SOLO. A partir de los documentos revisados y los indicadores establecidos se
caracterizan cinco niveles que permiten categorizar el desarrollo del razonamiento
probabilístico frecuencial.
Esta propuesta fue sometida a una Evaluación de Expertos, esta valoración en términos
generales fue positiva, ya que se destaca la aplicabilidad de este trabajo y la importancia de
implementar la probabilidad desde un punto de vista experimental en la escuela. Además se
diseñó un posible cuestionario que permite identificar los indicadores presentes en este
razonamiento y así ubicarlo en su respectivo nivel.
4
Por otra parte, a partir de la elaboración de este trabajo surgió la necesidad de implementar
un nuevo concepto, el cual acopia y refiere al razonamiento relacionado con la
experimentación o simulación de situaciones aleatorias y el cálculo e interpretación de la
probabilidad desde la noción frecuencial, conjunto de elementos al cual se denominó
razonamiento probabilístico frecuencial.
Finalmente se resalta la importancia de llevar a cabo un Trabajo de Grado de manera
conjunta ya que esto permite generar un ambiente académico que se ve fortalecido mediante
la discusión entre pares, basándose en fundamentos teóricos y prácticos, garantizando la
veracidad y calidad de los argumentos propuestos por cada uno de los participantes. Dichas
discusiones son mediadas por un profesional con un conocimiento pleno de la temática a
trabajar, y que permite a los futuros docentes de Matemáticas tener sus primeros
acercamientos en la construcción de literatura especializada.
Elaborado por: Gualteros Jiménez, Alejandro; León Gómez, Carlos Andrés
Revisado por: Álvarez Alfonso, Ingrith
Fecha de elaboración del
Resumen: 09 06 2016
5
CONTENIDO
Pág.
1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 7
2. JUSTIFICACIÓN ......................................................................................................... 9
3. OBJETIVOS ............................................................................................................... 11
3.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................................................... 11
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................ 11
4. ANTECEDENTES ..................................................................................................... 12
5. MARCO DE REFERENCIA...................................................................................... 17
5.1. ANÁLISIS CONCEPTUAL ......................................................................................... 17
5.1.1. Desarrollo histórico de la probabilidad ........................................................ 17
5.1.2. Noción frecuencial de la probabilidad .......................................................... 20
5.2. PERSPECTIVA DIDÁCTICA Y NORMATIVA ............................................................... 21
5.2.1. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos ................................................... 22
5.2.2. Didáctica de la probabilidad frecuencial ...................................................... 25
5.2.3. Heurísticas y sesgos en la probabilidad ........................................................ 27
5.2.4. Taxonomía SOLO .......................................................................................... 29
6. DESARROLLO DE LA PROPUESTA ..................................................................... 31
6.1. INDICADORES ........................................................................................................ 31
6.2. CARACTERIZACIÓN DE LOS NIVELES ...................................................................... 32
6.2.1. Nivel 1 (Preestructural) ................................................................................. 34
6.2.2 Nivel 2 (Uniestructural) .................................................................................. 35
6.2.3 Nivel 3 (Multiestructural) ............................................................................... 36
6.2.4 Nivel 4 (Relacional) ........................................................................................ 37
6.2.5 Nivel 5 (Abstracción Expandida) .................................................................... 39
6.3. PAUTAS PARA DETERMINAR NIVELES DE DESARROLLO .......................................... 40
7. VALIDACIÓN DE LA PROPUESTA ...................................................................... 43
7.1 SELECCIÓN DE EXPERTOS ....................................................................................... 43
7.2 VALORACIÓN DE PROPUESTA .................................................................................. 46
7.3 AJUSTES A LA PROPUESTA ...................................................................................... 49
8. CONCLUSIONES ...................................................................................................... 52
REFERENCIAS ............................................................................................................. 54
ANEXO A. ACTIVIDADES E & A DE LA ESTADÍSTICA....................................... 58
ANEXO B. ACTIVIDADES PRÁCTICA I.P.E. ........................................................... 65
6
ANEXO C. AUTOEVALUACIÓN DE EXPERTICIA ................................................ 70
ANEXO D. RESULTADOS AUTOEVALUACIÓN FA Y NC ................................... 72
ANEXO E. LISTA DE EXPERTOS .............................................................................. 73
ANEXO F. NIVEL DE COMPETENCIA DE LOS EXPERTOS ................................. 74
ANEXO G. PROPUESTA ENVIADA .......................................................................... 75
ANEXO H. VALORACIÓN DE LA PROPUESTA ..................................................... 83
7
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1. Jerarquía para evaluar razonamiento probabilístico de y con la distribución binomial.
Tomada de landín y sánchez (2010). ........................................................................................... 12
Tabla 2. Jerarquía para el razonamiento binomial. Tomada de sánchez y landín (2011). .......... 13
Tabla 3. Propuesta desarrollada por garzón y garcía (2009). ...................................................... 25
Tabla 4. Heurísticas y sesgos de probabilidad. ........................................................................... 28
Tabla 5. Niveles taxonomía solo. Tomada de hernández, et al., (2003). .................................... 30
Tabla 6. Indicadores del razonamiento probabilístico frecuencial. ............................................. 32
Tabla 7. Clasificación de indicadores. ........................................................................................ 32
Tabla 8. Respuestas y relaciones en los indicadores del nivel 1. ................................................ 35
Tabla 9. Respuestas y relaciones en los indicadores del nivel 2. ................................................ 36
Tabla 10. Respuestas y relaciones en los indicadores del nivel 3. .............................................. 37
Tabla 11. Respuestas y relaciones en los indicadores del nivel 4. .............................................. 39
Tabla 12. Respuestas y relaciones en los indicadores del nivel 5. .............................................. 39
Tabla 13. Fuentes de argumentación de los expertos. Tomado de crespo (2007). ...................... 44
Tabla 14. Autoevaluación nivel de conocimiento del tema. ....................................................... 44
Tabla 15. Indicadores para la valoración de la propuesta. Adaptada de álvarez (2006). ............ 47
Tabla 16. Reformulación de los indicadores del razonamiento probabilístico frecuencial. ........ 51
8
1. INTRODUCCIÓN
El desarrollo del pensamiento estocástico en Colombia según el Ministerio de
Educación Nacional [MEN] (1998) se enfoca en la recolección, organización, análisis y
representación de datos; si estos procesos son llevados a cabo desde un enfoque
predictivo, es decir, que el estudiante sea capaz de anticipar resultados dentro de unos
rangos y tomar decisiones basadas en los datos, se generan nociones de aleatoriedad.
Partiendo de lo anterior se presenta un trabajo de grado en el marco de la Licenciatura
en Matemáticas del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencia y
Tecnología de la Universidad Pedagógica Nacional, el cual aborda una propuesta de
categorías que permiten identificar el nivel de desarrollo del pensamiento aleatorio en
cuanto a la probabilidad frecuencial.
Dicho trabajo está desarrollado en dos partes, la primera presenta el marco de referencia
en el cual se reportan resultados de consultas acerca del objeto matemático a tratar, en
este caso la Probabilidad Frecuencial, comenzando desde los primeros registros de su
aplicación, desarrollo y formalización. Además se muestra la Taxonomía SOLO la cual
se toma como base para el diseño de los niveles de desarrollo del pensamiento aleatorio
en relación con el objeto de estudio.
En la segunda parte del documento se encuentra el desarrollo de la propuesta, donde se
exponen los indicadores formulados por los maestros en formación para identificar el
nivel de desarrollo del pensamiento aleatorio en relación con la probabilidad frecuencial
a partir de los elementos formulados en el marco de referencia; estos niveles son
validados por medio de una evaluación de expertos de la cual se reportan sugerencias
y/o recomendaciones. Finalizando el documento con las conclusiones, bibliografía y los
respectivos anexos.
9
2. JUSTIFICACIÓN
Durante el proceso de formación inicial los autores de esta propuesta notaron que los
pensamientos numérico, espacial y variacional que hacen parte del pensamiento
matemático (MEN, 1998) tienen una forma de categorizar el nivel de razonamiento del
estudiante. Sin embargo, a finales del año 2014 los maestros en formación desarrollaron
una práctica pedagógica en el espacio académico Enseñanza y Aprendizaje de la
Estadística enfocada en objetos propios de la probabilidad frecuencial teniendo en
cuenta el enfoque expuesto por el MEN (2006) para el desarrollo del pensamiento
estocástico; para ello diseñaron y aplicaron una serie de actividades, las cuales tenían
como objetivo enseñar y evaluar el aprendizaje de la probabilidad en estudiantes de 7°
grado. Al aplicar estas actividades e intentar analizar los resultados teniendo en cuenta
una propuesta o referente teórico, se evidencia que los criterios para realizar una
categorización respecto al desarrollo del pensamiento aleatorio son limitados en
comparación a los otros pensamientos. Porque por ejemplo, Carlson, Jacobs, Coe,
Larsen y Hsu (2003) proponen acciones mentales y niveles para categorizar el
razonamiento covariacional, el cual está ligado al pensamiento variacional y sistemas
algebraicos. Van Hiele (1986) plantea cinco niveles para caracterizar el razonamiento
geométrico, asociados estos al pensamiento espacial. Mientras que en el campo del
álgebra y la aritmética, para el razonamiento variacional y el pensamiento numérico,
Kaput (2000), Kieran (1989) y Godino, Aké, Gonzato y Wilhelmi (2012) entre otros,
afirman que este tipo de razonamiento se puede caracterizar usando determinados
niveles, los cuales categorizan la respuesta del sujeto más no al sujeto, dado que en la
mayoría de los casos estos niveles se adaptan a un tema específico en cada uno de los
anteriores ámbitos.
En el campo del pensamiento aleatorio o estadístico, algunas propuestas de enseñanza y
aprendizaje toman como punto de partida para caracterizar dicho pensamiento la
taxonomía Structure of Observed Learning Outcomes [SOLO] propuesta por Biggs y
Collis (1982), sin embargo esta taxonomía es aplicable para cualquier otro campo del
conocimiento humano, por lo que en muchas ocasiones ha sido usada para identificar la
10
comprensión de los estudiantes en cuanto a temas del pensamiento aleatorio, como lo
son el diagrama de caja, la probabilidad en general y la interpretación de datos, entre
otros.
Teniendo en cuenta lo anterior, se espera realizar una propuesta fundamentada en la
taxonomía SOLO o en otra estructura que se pueda adaptar al pensamiento aleatorio con
el objetivo de plantear niveles que permitan caracterizar el desarrollo del pensamiento
aleatorio en relación con el objeto de estudio probabilidad frecuencial, ya que esta
noción de la probabilidad permite que el estudiante identifique características esenciales
de un experimento aleatorio, para evitar que caiga en sesgos comunes como lo son la
equiprobabilidad y las secuencias aleatorias, expuestos por Batanero, Cañizares, Ortiz, y
Serrano, (1998); además de que al trabajar esa noción, también se abordan las nociones
intuitiva y clásica de la probabilidad, lo que permite generar secuencialidad en el
conocimiento y por ende niveles.
11
3. OBJETIVOS
En este trabajo se plantea un objetivo general, conducente a elaborar una propuesta en el
campo de la didáctica de la probabilidad, fundamentado en cuatro objetivos específicos.
3.1. Objetivo general
Formular una propuesta que permita caracterizar el desarrollo del pensamiento aleatorio
en relación con la probabilidad frecuencial.
3.2. Objetivos específicos
Fundamentar la elaboración y formulación de la propuesta a partir de marcos
teóricos y conceptuales.
Conocer los componentes conceptuales y procedimentales que implica el objeto
de estudio probabilidad frecuencial, como fundamentos para los niveles de
desarrollo del pensamiento.
Proponer ejemplos de preguntas que permitan identificar el nivel de desarrollo
del pensamiento aleatorio en relación con la probabilidad frecuencial.
Validar la propuesta a partir de una evaluación de expertos.
12
4. ANTECEDENTES
A continuación se presentan algunas propuestas que parten de la taxonomía SOLO que
permiten analizar los resultados de un proceso de enseñanza en el campo de la
probabilidad.
Landín y Sánchez (2010) proponen cuatro niveles de razonamiento probabilístico en lo
relacionado con las distribuciones binomiales:
Nivel 1. Subjetivo Nivel 2. Transicional Nivel 3. Cuantitativo
informal Nivel 4. Numérico
Aunque se reconoce
la distribución de
Bernoulli el
razonamiento es
idiosincrásico o
basado en sesgos
cognitivos; por
ejemplo, al evaluar
probabilidades
binomiales se
presenta el sesgo de
representatividad, el
de equiprobabilidad
o se cae en la ilusión
de la linealidad.
Se representan los
elementos, no
necesariamente de
manera exhaustiva,
mediante secuencias
de E (éxitos) y F
(fracasos). Se
considera el
parámetro n de la
binomial en la
longitud de las
secuencias.
Para evaluar la
probabilidad se
utiliza, bien o mal, la
definición clásica
(de Laplace) de
probabilidad o se
utiliza el valor
esperado. Revierte
frecuentemente a
razonamiento
subjetivo.
Se reconoce el
carácter
combinatorio de la
situación. Se
considera la variable
k al separar los casos
favorables.
El cálculo de
combinaciones se
presenta en dos
niveles:
- mediante una lista
organizada o
- utilizando diagrama
de árbol para calcular
los casos favorables
Se aplica la
definición clásica o,
a veces, se aplica la
regla del producto
para calcular la
probabilidad de una
secuencia.
Se reconocen la
variable aleatoria y
sus parámetros; su
carácter combinatorio
y se aplica la regla
del producto. Se
calculan las
combinaciones
apoyándose en el
triángulo de Pascal o
en la fórmula.
Se plantea la solución
en términos de una
instancia de la
expresión general de
la distribución
binomial B(n, p, k) o
del binomio de
Newton. Se obtiene
la solución mediante
el uso de tablas,
calculadora,
computadora o
mediante cálculo
directo en la fórmula
Tabla 1. Jerarquía para evaluar razonamiento probabilístico de y con la distribución binomial. Tomada
de Landín y Sánchez (2010).
Poco después estos mismos autores reformulan estos niveles llamándolos jerarquía de
razonamiento binomial, tomando como base los resultados de tareas de probabilidad
binomial aplicadas a un grupo de estudiantes de bachillerato. La nueva formulación es:
13
Nivel Descripción
Nivel 1
Subjetivo
Aunque se reconoce la distribución de Bernoulli y posiblemente se elija la
opción correcta no la argumenta en absoluto o la argumentación es de tipo
idiosincrásico y/o con base en algún sesgo cognitivo.
Es posible que se muestren rasgos de conocimientos pertinentes, como
diagramas de árbol o la regla del producto pero sin coherencia, con
componentes extraños o con gran cantidad de errores
Nivel 2
Transicional
Se representan los elementos del Espacio Muestral de manera conveniente
aunque no necesariamente de manera exhaustiva.
Así mismo, para evaluar la probabilidad, se utiliza, bien o mal, la definición
clásica de probabilidad o se usa el valor esperado.
También se clasifican en esta categoría respuestas que se apoyan en la regla del
producto y/o calculan o usan coeficientes binomiales, pero de manera
parcial, o sin hacer los cálculos correspondientes o con errores importantes
Nivel 3
Cuantitativo
informal
Se reconocen el carácter combinatorio de la situación. Se considera la variable k
al separar los casos favorables.
Se calculan combinaciones mediante una lista organizada o mediante la
elaboración un diagrama de árbol
Se aplica la definición clásica de probabilidad y se llega a la respuesta correcta.
De manera alternativa, se aplica la regla del producto aunque con resultados
parcialmente correctos.
En ocasiones se calculan y usan los coeficientes binomiales pero con errores de
cálculo o se utiliza la fórmula binomial pero se omiten los cálculos
Nivel 4
Numérico
Se reconocen la variable aleatoria, los parámetros de la distribución binomial y
el carácter combinatorio de la situación. Se utiliza la regla del producto y
se cuentan las combinaciones para obtener una respuesta correcta.
La respuesta puede ser parcialmente correcta, pero utiliza la regla del producto
y calcula el coeficiente binomial con el triángulo de Pascal o con la
fórmula de las combinaciones o, también puede clasificarse en esta
categoría respuestas que hacen uso de la fórmula de la distribución
binomial, aunque con algunos errores o con resultados parciales
Nivel 5
Abstracto
Se reconocen los parámetros de una distribución binomial; se plantea el
problema y obtiene la solución en términos de una instancia de la expresión
general de la distribución binomial B(n, p, k) o del binomio de Newton.
Se reconocen la influencia de los parámetros n y p en la forma gráfica de la
distribución
Tabla 2. Jerarquía para el razonamiento binomial. Tomada de Sánchez y Landín (2011).
Esta jerarquización se centra en la comprensión del estudiante sobre la probabilidad
binomial, es decir, que él tenga la capacidad de explicar el porqué de sus respuestas y
procedimientos. Sin embargo, como el foco de esta investigación es la probabilidad
binomial, obliga al estudiante a tener conocimientos formales de la probabilidad clásica
y binomial; debido a ello no es posible hacer uso de esta jerarquización para caracterizar
el razonamiento de un sujeto que no haya tenido acercamientos conceptuales con la
probabilidad.
En Jones, Thornton, Langrall y Mogill (1997) y en Shaughnessy y Ciancetta (2004),
citados en Sánchez y Valdez (2013) se presentan unos niveles de muestreo que se toman
14
como base para la propuesta de Sánchez y Valdez (2013). En este trabajo proponen
cuatro niveles de razonamiento sobre el concepto de probabilidad, estos niveles no se
enfocan en una noción de probabilidad específica, sino que trabaja con las nociones
subjetiva, frecuencial, clásica y las relaciones entre ellas. Así los niveles formulados
son:
Nivel 1(Subjetivo): Asigna la probabilidad desde su intuición, sin interpretar el
resultado ni hacer inferencias con este.
Nivel 2 (Transicional): Asigna la probabilidad de una manera subjetiva a partir
de frecuencias relativas y el espacio muestral del experimento, pero sin
relacionar las características de cada una.
Nivel 3 (Cuantitativo informal): Se asigna la probabilidad desde más de una
noción, lo relaciona con la idea subjetiva y empieza a formar inferencias, pero
no asimila la variabilidad.
Nivel 4 (Numérico): Se asigna la probabilidad usando las tres nociones
asimilando la variabilidad para hacer inferencias.
Se considera que la relevancia de estos niveles radica en la consideración de los
procesos de: interpretar, analizar y comparar la probabilidad sin dejar de lado el juicio a
priori del individuo. Sin embargo, no es conveniente que el sujeto tenga que asignar la
probabilidad usando la noción frecuencial, clásica y subjetiva para estar en el nivel más
alto del razonamiento probabilístico, ya que esto puede depender del desarrollo del
pensamiento asociado con la edad y al grado de escolaridad del sujeto. Además no
presentan indicadores para poder ubicar el razonamiento de cada individuo en los
respectivos niveles. También se considera que no es una herramienta cercana para el
profesor de matemáticas del aula de la educación básica, ya que faltan elementos
prácticos para llevar esta propuesta al aula, y así ayudarle al profesor a categorizar el
razonamiento de los estudiantes.
Sánchez y Valdez (2013) asumen las mismas denominaciones para los niveles según la
propuesta de Sánchez y Landín (2011), pero en este caso las descripciones de los
niveles no se relacionan entre sí, ya que en Sánchez y Landín (2011) el objeto de
15
estudio es la distribución binomial de probabilidad y en Sanchez y Valdes (2013) son
las diferentes nociones de probabilidad (clásica, frecuencial, subjetiva).
Por otra parte Romero y Vergara (2014) realizan un trabajo en el cual plantean unos
niveles de razonamiento probabilístico siguiendo la estructura de la taxonomía SOLO, a
partir de los siguientes temas asociados a la probabilidad:
Experimento aleatorio
Secuencias aleatorias
Tratamiento de intuiciones
Interpretación de enunciados en términos frecuenciales
Espacio muestral
Eventos simples y compuestos
Completar e interpretar tablas de frecuencias
Diagramas de barras
Ley de Laplace
Regla de la suma y del producto
Comparación de probabilidades
Convergencia estocástica
Para identificar los desempeños de los estudiantes diseñan un test para cada uno de los
temas mencionados. Uno de los aspectos importantes de esta propuesta es la
completitud de la misma, ya que tienen en cuenta cada componente conceptual y
procedimental que se deben considerar a la hora de asignar una probabilidad. Pero cada
uno de estos análisis se realiza de forma totalmente independiente, lo cual por ejemplo,
no permite ver la relación que hay entre el concepto de aleatoriedad y el espacio
muestral, y así evidenciar la justificación de un estudiante del por qué el espacio
muestral de un experimento es vacio.
Ateniendo a la anterior revisión, para el diseño de los niveles que se desarrolla en esta
propuesta, se tendrán en cuenta:
Mantener el enfoque argumentativo que se evidencia en la mayoría de estas
propuestas debido a que los cálculos necesarios para asignar una probabilidad
16
desde la noción frecuencial son de poca complejidad en comparación con otras
nociones.
Los elementos, tanto conceptuales como procedimentales, que hacen parte de la
noción frecuencial de la probabilidad, de tal manera que estén relacionados entre
sí, pues son estos los que componen en esencia el objeto de estudio.
Se brindará una herramienta para los profesores que sea de fácil aplicación al
aula, lo cual implica que cada nivel propuesto tenga indicadores necesarios que
permitan categorizar el desarrollo del pensamiento.
El enfoque de esta propuesta es categorizar el nivel de desarrollo de la
probabilidad frecuencial sin importar la edad o grado de escolaridad del sujeto,
ya que no se considera necesario el uso de conocimientos previos para ubicar el
razonamiento en los niveles iniciales.
17
5. MARCO DE REFERENCIA
Mediante la elaboración de este marco de referencia se brinda el soporte teórico de la
propuesta. Así, se presenta el objeto de estudio desde el punto de vista conceptual y
cognitivo. En el primero se muestra la evolución y desarrollo que ha tenido la teoría de
la probabilidad, atendiendo al surgimiento de cada uno de los conceptos de esta teoría
desde la concepción frecuencial; en el segundo se muestran los antecedentes didácticos
que permiten tener un panorama de las investigaciones realizadas respecto a este tema,
con el fin de asumirlas como soporte para la propuesta.
5.1. Análisis conceptual
En este apartado se presenta el desarrollo histórico de la probabilidad frecuencial (sin
dejar de lado las otras nociones) y sus fundamentos teóricos.
5.1.1. Desarrollo histórico de la probabilidad
La teoría de la probabilidad en un principio se enfocó en dar respuesta a algunas
preguntas referentes a los juegos de azar, por ejemplo, predecir resultados, repartir
ganancias, determinar si es conveniente jugar, etc. A continuación se presenta el
desarrollo de los juegos de azar y de la teoría de probabilidad, desde sus orígenes hasta
su formalización axiomática.
Existen posibles registros de juegos de azar que datan de la época de la prehistoria
según Vega-Amaya (2002), estos registros pertenecen a las culturas sumeria y asiria
(alrededor del año 5000 A.C); que tomaban el hueso del talón de algunos animales
denominado astrágalo y lo arrojaban sobre una superficie, el hueso podría caer en cuatro
posiciones diferentes lo que podría ser un antecedente del juego de los dados. Asimismo
en la cultura egipcia (alrededor del año 3000 A.C) se han encontrado pinturas de este
hueso en las tumbas de los faraones, sin embargo no se tiene la certeza si este hueso fue
utilizado con fines religiosos o de diversión. Además se tienen registros del uso de este
hueso cerca del año 1200 A.C. en diferentes regiones de España, Italia y Francia. Se
18
presume que Palamedes inventó los dados que se utilizan comúnmente a partir del juego
con este tipo de huesos.
De acuerdo con Alonso, Rodríguez y Ordás (2004) durante el renacimiento Galileo
Galilei (1564-1642) y Girolamo Cardano (1501-1576) de forma independiente, se
apasionaron por resolver algunos de los problemas más conocidos sobre el tema de los
dados, la fascinación por este tema llegó a tal punto que se publicaron los libros Sobre
la puntuación en tiradas de dados (Galileo) y Libro de los juegos de azar (Cardano).
Otro de los aportes de Galileo fue definir y diferenciar el error sistemático y el error
aleatorio, posteriormente esto sirvió como apoyo para diferenciar la probabilidad de la
estadística.
Teniendo en cuenta lo expuesto por Alcázar (2007) las primeras definiciones sobre la
probabilidad clásica se le atribuyen a Jacob Bernoulli (1654-1705) y Abraham de
Moivre (1667-1754), en las cuales establecen la probabilidad de un evento como el
cociente entre el número de apariciones favorables y el número de simulaciones. Cabe
destacar que en estas definiciones no se tenía en cuenta el concepto de equiprobabilidad.
Análogamente Bernoulli descubre la forma de calcular la probabilidad de un evento a
partir de la experimentación, realizando muchas simulaciones del experimento y
calculando el cociente descrito anteriormente, sin embargo al referirse a “muchas
simulaciones” daba pie para generar bastantes confusiones con el número de
simulaciones que se debían realizar. De esta forma se le atribuye a Jacob Bernoulli la
introducción a la noción frecuencial de probabilidad, formulando el conocido Teorema
que lleva su nombre:
Es decir, sea un valor positivo y “pequeño”, la probabilidad real del evento. La
diferencia positiva entre la frecuencia relativa y la probabilidad real (siempre y cuando
sea mayor que tiende a 0 cuando el número de simulaciones del experimento tiende a
infinito.
Siméon Denis Poisson (1781-1840) realizó aportes relevantes a la teoría de la
probabilidad frecuencial, a tal punto que “suyo es el término Ley de los Grandes
19
Números, para indicar la estabilidad de las frecuencias relativas y la media aritmética de
un número grande de observaciones” (Garzón, 2006, p. 174).
En 1866 John Venn (1834-1923) publicó el libro La lógica del azar, en el cual
aproxima la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de frecuencias relativas,
según Mateos y Morales (1985) este es uno de los primeros trabajos de la probabilidad
frecuencial. En el siglo XX uno de los matemáticos que desarrolló esta teoría fue
Richard Von Mises (1883-1953), quien en 1926 propuso el término “colectivo” para
describir la noción de frecuencia relativa, entiéndase por colectivo como “una sucesión
de un número grande de observaciones idénticas o experimentos, conduciéndonos cada
uno de éstos a un resultado numérico determinado” (Franquet, 2008, p. 205). Para
identificar estas sucesiones Von Mises define dos axiomas:
Aleatoriedad: No se admite que haya regularidades en la sucesión de los
resultados de un experimento aleatorio.
Convergencia: “La sucesión de frecuencias relativas tiende a un límite cuando
aumenta la sucesión de sucesos” (Mateos y Morales, 1985, p.116).
Sixto Cámara (1878-1964) (citado en Benito (2002)), publica un artículo en el cual
propone una definición de límite estocástico de una sucesión numérica, además expone
algunas de las propiedades de dicho límite para mostrarlas como una generalización de
las propiedades del límite aritmético. Esta definición la propuso con el fin de retomar el
trabajo realizado en el año 1933, en el que expresó la necesidad de reemplazar el
término límite aritmético por límite estocástico en el postulado de convergencia
propuesto por Von Mises.
Bajo este breve panorama del desarrollo histórico de la probabilidad, se concluye que
para el diseño de los niveles que permitan categorizar el desarrollo del pensamiento
aleatorio en relación con la probabilidad frecuencial se deben tener en cuenta los
siguientes aspectos:
Simulación del experimento bajo idénticas condiciones.
Recolección e interpretación de datos.
20
El número necesario de simulaciones para la estabilización de las frecuencias
relativas.
La noción de límite estocástico.
5.1.2. Noción frecuencial de la probabilidad
Desde un punto de vista frecuencial “la probabilidad de un suceso A se define como el
límite de una frecuencia relativa, cuando el experimento se realiza un número infinito de
veces” (Sánchez, 2004, p.8), formalmente:
Varios autores presentan sus puntos de vista sobre el uso de la noción frecuencial de la
probabilidad. Por ejemplo Godino, Batanero y Cañizares (1987) afirman que la
probabilidad de un evento se puede calcular a partir de su frecuencia relativa, esto es
posible si el experimento se puede repetir bajo idénticas condiciones indefinidamente, lo
que conlleva a que la probabilidad empírica o frecuencial sea aplicable a cualquier
experimento aleatorio; a lo cual Serrano, Batanero y Ortiz (1996) agregan que esta
interpretación no es netamente objetiva, dado que el sujeto debe asimilar que aunque no
es posible repetir el experimento bajo condiciones estrictamente iguales se deben
mantener las condiciones que impidan sesgos.
Ortiz, Batanero y Serrano (1996) afirman que el uso de la noción frecuencial promueve
al desarrollo del razonamiento proporcional ya que la frecuencia relativa se expresa
como una proporción entre los casos en los cuales se obtiene el resultado de interés y el
total de casos. Además afirman que usando esta noción de probabilidad se establece una
conexión más evidente entre la probabilidad y la estadística, ya que de esta forma los
conjuntos de datos, además de describir el comportamiento de una población se
presentan como una herramienta de predicción justificada y estructurada, permitiendo
una mayor objetividad en la toma de decisiones.
21
Todos los teóricos de la probabilidad coinciden con el planteamiento del sentido
común en reconocer que el conocimiento de las frecuencias relativas de
ocurrencias influye convenientemente, a veces, en los juicios de probabilidad. De
no ser así, las agencias de encuestas no merecerían más crédito que los adivinos y
su interés por la información estadística sería un desatino inútil. (Black (1979)
citado en Mateos y Morales, 1985, p. 110).
Sin embargo, Batanero (2005) expone dos problemas en el uso de esta noción, el
primero tiene que ver con cálculo de la probabilidad con las frecuencias relativas dado
que no se obtiene el valor exacto, solo una aproximación. El segundo consiste en saber
el número exacto de simulaciones para que la aproximación sea “buena”.
Bajo estas miradas, se considera que para el diseño de los niveles se debe tener en
cuenta, desde lo conceptual:
La similitud de las condiciones del experimento aleatorio, en cada replicación de
tal forma que no alteren los resultados.
La recolección, organización y sistematización de los datos arrojados por el
experimento.
La comparación y estimación de las frecuencias relativas de los diferentes
eventos dentro de un mismo experimento.
La importancia de las frecuencias relativas a la hora de predecir para no adivinar
el resultado de un experimento.
La relación directamente proporcional entre el número de simulaciones del
experimento y la cercanía que tendrá su aproximación a la probabilidad real.
La relación que existe entre la asignación de una probabilidad usando la noción
frecuencial y el razonamiento proporcional, ya que la frecuencia relativa de un
evento se expresa como una proporción.
5.2. Perspectiva didáctica y normativa
En este ítem se muestran los fundamentos didácticos necesarios para el diseño de la
propuesta, para ello se toman documentos nacionales e internacionales orientadores para
el desarrollo del pensamiento aleatorio, y además se tienen en cuenta sesgos y
heurísticas de la probabilidad y teorías estructurales del conocimiento.
22
5.2.1. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos
En 1998 el MEN publicó los Lineamientos Curriculares de Matemáticas, en este
documento estructura el desarrollo del pensamiento matemático a través de cinco
pensamientos y sus respectivos sistemas, de tal forma que el conocimiento enseñable
llegue de manera integral a la escuela:
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento espacial y sistemas geométricos
Pensamiento métrico y sistemas de medidas
Pensamiento aleatorio y los sistemas de datos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
En dicho documento el MEN (1998) ubica la probabilidad dentro del pensamiento
aleatorio y los sistemas de datos, y propone la estadística como la rama de las
matemáticas que domina, describe y maneja la incertidumbre, ya que esta rama permite
ordenar los fenómenos aleatorios de manera estadística facilitando el uso de inferencias
sin dejar de lado su margen de error, con el fin de tomar decisiones en situaciones de la
vida cotidiana donde esté presente el azar. Así, es importante que los estudiantes
recolecten, organicen, sistematicen, representen y analicen los resultados de cualquier
tipo de experimentos en un contexto significativo ayudando a conjeturar sobre dichas
situaciones, estos procesos no se deben presentar de manera formal debido que las
reglas de cálculo se alejan de la naturaleza de lo aleatorio y oculta las nociones de
incertidumbre.
Más adelante esta misma entidad presenta los Estándares Básicos de Competencia
Matemática [EBCM] en 2006, en este documento el pensamiento aleatorio y los
sistemas de datos siguen el mismo enfoque presentado en los Lineamientos Curriculares
de Matemáticas, sin embargo en los EBCM se amplía la idea de aleatorio, ya que
también lo llaman pensamiento probabilístico o estocástico, además se afirma que “el
azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas específicos en las repeticiones
de eventos o sucesos, y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles
puedan ser esos patrones” (MEN, 2006, p. 65).
23
En MEN (2006) se proponen cuáles deben ser las competencias mínimas de una
persona que ha culminado su proceso de escolaridad básica y media, entiendo por
competencia “como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas
a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase” (MEN, 2006, p. 49), siendo esta
una noción restringida usada en el campo de la Educación Matemática antes que el
MEN realizará la construcción de estos documentos normativos.
Teniendo en cuenta lo establecido en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas
(MEN, 1998) y algunas posturas sobre la idea de comprensión se establece un nuevo y
más amplio significado para el término competencia, visto “como conjunto de
conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas,
socioafectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el
desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente
nuevos y retadores” (MEN, 2006, p. 49).
De acuerdo a esta idea de competencia surge el interrogante sobre qué es ser
matemáticamente competente. Según el MEN (2006) una persona es matemáticamente
competente si en toda actividad matemática que desarrolle están presentes procesos
generales, tales como los propuestos por el MEN (1998):
Razonamiento
Resolución y planteamiento de problemas
Comunicación
Modelación
Elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos
Desde un punto de vista internacional el National Council of Teacher Mathematics
(NCTM) en el año 2000 propuso los estándares para la enseñanza de las matemáticas en
Norteamérica. En el estándar Análisis de Datos y Probabilidad se plantea la
probabilidad como el medio que permite realizar inferencias de un conjunto de datos,
por ende es necesario que el estudiante sea capaz de identificar la relación entre la
estadística y la probabilidad, por medio de la formulación de preguntas de su entorno
cuya respuesta no sea obvia, y al tratar de resolverlas lo lleven a recoger y organizar
24
datos a partir de encuestas o simulaciones, esto con el fin de realizar inferencias o
conclusiones sobre las preguntas planteadas sin desconocer que hay incertidumbre en
dichas conclusiones. Además resaltan que las conclusiones del estudiante se pueden
basar en datos recolectados por él mismo o suministrados por otros. Se recomienda que
en los primeros niveles de escolaridad el profesor suministre los instrumentos de
recolección y organización de datos, sin la necesidad que el estudiante reconozca la
razón de usar estos instrumentos y no otros.
A medida que van pasando de nivel, deberían invertir más tiempo planificando la
recogida de datos y evaluando cómo funcionan sus métodos para obtener
información sobre las preguntas. En los niveles medios, se debería trabajar más con
datos recogidos por otros o generados mediante simulaciones. En la etapa 9-12,
deberían comprender los diversos propósitos de las encuestas, los estudios de
observación y los experimentos. (NCTM 2003, p. 52).
Finalmente en este documento se resalta que el Análisis de Datos y Probabilidad es un
medio que permite al estudiante conectar entre sí algunas ramas de las matemáticas,
además facilita que el estudiante conecte la matemática con otras ciencias en contextos
cotidianos. Por ejemplo, “utilizar la proporcionalidad y una comprensión básica de la
probabilidad para formular y comprobar conjeturas sobre los resultados de experimentos
y simulaciones.” (NCTM, 2003, p. 252), muestra de manera explícita dicha relación.
En el ámbito nacional e internacional se resaltan las siguientes características del
Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos, a tener en cuenta para el diseño de los
niveles:
Contexto. El sujeto debe identificar las situaciones azarosas de su vida cotidiana
y diferenciarlas de aquellas que son deterministas.
Inferencias. Utilizar los resultados de un estudio estadístico para emitir
conclusiones predictivas acerca del resultado de un experimento y la
incertidumbre de dicha predicción.
Estadística-Probabilidad. Usar la noción frecuencial de probabilidad como el
medio que conecte la estadística con la probabilidad.
Competencia matemática. Las respuestas ubicadas en los niveles más altos
deben reflejar que el sujeto tiene dominio de los cinco procesos generales.
25
Además se ha de asumir que el sujeto debe reconocer la fiabilidad de los datos
recogidos por él o suministrados por una fuente confiable de información, teniendo en
cuenta el contexto en el que se recolectaron, esto siguiendo las sugerencias dadas entre
otros por el NCTM (2003).
5.2.2. Didáctica de la probabilidad frecuencial
En esta sección se muestran diferentes propuestas de enseñanza de la probabilidad
frecuencial, con el objetivo de identificar algunas secuencias a seguir para la
construcción del razonamiento probabilístico y así determinar cuáles deben ser los
conocimientos previos que se deben tener en cuenta para generar los indicadores de los
niveles que permitan categorizar el desarrollo del pensamiento aleatorio en relación con
la probabilidad frecuencial.
Garzón y García (2009) utilizan un juego diseñado por ellas para presentar el concepto
de probabilidad, este juego consiste en descubrir el personaje del oponente y mover una
ficha hasta llegar al final de una trayectoria antes que el otro jugador, cada jugador
moverá su ficha un espacio si obtiene un resultado específico al lanzar un dado de 6
caras o una moneda equilibrada (un jugador escoge el dado y el otro la moneda
manteniendo su elección hasta finalizar el juego). A continuación se muestra la
secuencia a seguir para introducir el concepto de probabilidad y las actividades
desarrolladas por los estudiantes en cada secuencia:
Secuencia Temática Acciones de estudiantes
Secuencia 1 Azar, experimentos aleatorios, y
determinísticos Construcción de un personaje a partir de
experimentos aleatorios.
Secuencia 2 Espacio Muestral Crear estrategias para descartar opciones de
personaje del compañero.
Secuencia 3 Suceso Seguro, imposible,
elemental. Elección de diferentes tipos de suceso para dar la
partida
Secuencia 4 Frecuencias absolutas y
relativas
Reflexión de estrategia de juego comparando
posibilidades a partir de frecuencias relativas.
(juegan)
Secuencia 5 Cálculo y comparación de
probabilidades Elección de estrategia final a partir del cálculo y
comparación de probabilidades Tabla 3. Propuesta desarrollada por Garzón y García (2009).
26
En esta propuesta se identifica que antes de abordar la asignación de probabilidades, el
estudiante debe tener conocimientos acerca de azar, experimentos aleatorios, espacio
muestral y eventos simples, seguros o imposibles, con el fin de permitir al estudiante
realizar buenas aproximaciones de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Aunque
el estudiante no maneje estos elementos desde un punto de vista formal se hace
necesario que él tenga nociones intuitivas de lo que ellos son, cómo se comportan y las
relaciones que existen entre ellos.
De otra parte, Serrano (1996), propone una serie de actividades que permite introducir
los conceptos básicos de la probabilidad frecuencial, a grandes rasgos, esta tesis consta
de dos secciones: 1) Prueba diagnóstica. 2) Secuencias aleatorias y asignación de
probabilidad con noción frecuencial. Analizando los resultados de la prueba diagnóstica
se evidencia la relevancia que la autora le da a la identificación, creación y comparación
de las secuencias aleatorias, además pretende indagar acerca de la traducción entre
diversos sistemas de representación como el paso de los datos simulados a una tabla de
frecuencias. Partiendo de los argumentos presentados y las preguntas realizadas se
infiere que el estudiante necesita conocer o tener nociones sobre espacio muestral. La
segunda actividad planteada pretende sortear las dificultades evidenciadas al analizar los
resultados de la prueba diagnóstica, para esto se diseña una serie de preguntas en las
cuales el estudiante identifica las características necesarias para que una secuencia sea
aleatoria y clasifique las que lo son, luego usa este concepto para realizar inferencias
acerca del resultado de la siguiente simulación y sus ideas intuitivas de probabilidad
para inferir cuáles secuencias son más probables. Finalmente pretende que el estudiante
reconozca la proporcionalidad que existe entre el número de simulaciones y la
frecuencia absoluta del evento con el fin de identificar cuáles eventos son más probables
que otros.
Yánez (2003), citado en Mantilla y Martínez (2007) define una secuencia a seguir para
introducir las nociones básicas del concepto de probabilidad a partir de los conceptos de
experimento aleatorio, espacio muestral, eventos y probabilidad frecuencial. Esta
secuencia se menciona en el marco de los antecedentes de una propuesta didáctica para
27
la enseñanza de la probabilidad frecuencial en la educación pre-universitaria, la cual es
acorde con las secuencias presentadas por Garzón y García (2009), y Serrano (1996).
En conclusión, a partir de las propuestas revisadas y expuestas anteriormente, se
reconoce como necesario que el sujeto tenga nociones en relación con azar,
aleatoriedad, espacio muestral, secuencias aleatorias y tipos de eventos para poder
realizar una buena aproximación de la probabilidad usando la noción frecuencial. De
esta manera, en el desarrollo de la propuesta se clasificarán estos elementos según su
importancia a la hora de asignar una probabilidad. De acuerdo a esta clasificación se
generan indicadores que permiten categorizar el nivel de desarrollo del razonamiento
probabilístico en relación con la probabilidad frecuencial.
5.2.3. Heurísticas y sesgos en la probabilidad
Kahneman, Slovic y Tversky (1982) (citado en Díaz, 2003) define la heurística como
reglas simples que llevan a un sujeto a tomar juicios acerca de un experimento aleatorio
basándose en creencias, experiencias o inferencias intuitivas debido a su falta de
conocimiento probabilístico formal desde cualquier enfoque. Si se presenta alguna
heurística lo lleva a evidenciar algún sesgo de probabilidad. Así, tomando como
referencia varios autores que reportan asuntos sobre este tema, se construye la Tabla 4
con la definición de cada heurística y los sesgos asociados a ellas:
Heurística/ Definición Sesgos/Definición
Representatividad
“la evaluación del grado de
correspondencia o
similitud entre una muestra
y una población, un
ejemplar y una categoría,
un acto y un actor o, más
generalmente, un resultado
y un modelo” (Tversky y
Kahneman, 1983; citado
en Díaz, 2003, p. 3).
Insensibilidad al
tamaño de la
muestra
Ocurre cuando el “estadístico de
una muestra será independiente
de su tamaño” (Díaz, 2003, p. 3)
Concepción
errónea del azar
Según Bersabé (1995) sucede
cuando el sujeto cree que en las
secuencias aleatorias siempre
están presentes patrones
irregulares.
Falacia del
jugador tipo I
Bersabé (1995) afirma que este
sesgo sucede al asegurar que el
resultado de un experimento
aleatorio será un evento A
basándose en la simulación del
experimento donde había una
racha favorable para un evento B.
28
Tabla 4. Heurísticas y Sesgos de probabilidad.
Existen otros sesgos que son producto de otras heurísticas, las cuales hasta el momento
no se han podido identificar, los siguientes son los sesgos reportados por diferentes
autores:
Sesgo confirmatorio: Ocurre cuando el sujeto solo tiene en cuenta los resultados
favorables de un experimento aleatorio (Bersabé, 1995).
Sesgo determinista: Sucede cuando una persona cree que todo se modela de
manera determinista, dejando de lado el azar, la incertidumbre y la aleatoriedad.
Guisasola y Barragués (2002)
Sesgo de equiprobabilidad: Ocurre cuando el sujeto afirma que todos los eventos
de un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Serrano, Batanero, Ortiz y Cañizares (1998)
El objetivo de realizar esta documentación sobre heurísticas y sesgos en la probabilidad
es clasificar los sesgos de acuerdo a la forma en la que interfieren para formular una
aproximación de la probabilidad de un evento. Por ejemplo, si una persona presenta el
sesgo determinista, es más factible que se encuentre en un nivel inicial o primario en
Falacia del
jugador tipo II
Bersabé (1995) afirma que este
sesgo sucede al asegurar que el
resultado de un experimento
aleatorio será un evento A
basándose en la simulación del
experimento donde había una
racha favorable para un evento A.
Falacia de la
conjunción
Se produce cuando el sujeto
tiende a “creer que es más
probable la intersección de dos
sucesos que su unión” (Díaz,
2003, p. 5).
Disponibilidad
“Mediante el heurístico de
la disponibilidad, una
persona evalúa la
probabilidad de un suceso
aleatorio en términos de la
facilidad para encontrar
ejemplos o asociaciones
relevantes de esa misma
clase de sucesos” (Tversky
y Kahneman, 1973; citado
en Bersabé, 1995, p. 34).
Sesgos debido a la
facilidad para
recuperar
ejemplos
Díaz (2003) identifica que este
sesgo ocurre cuando se considera
más probable un evento cuando
es más fácil recordar ejemplos o
situaciones asociadas a este.
Atribuciones
flexibles
Bersabé (1995) afirma que se
presenta este sesgo cuando una
persona atribuye su éxito de
anticipar el resultado de un
experimento aleatorio a su
habilidad y su fracaso a factores
externos como la suerte, rachas,
dificultad, etc.
29
relación con una persona que presenta el sesgo de facilidad para recuperar ejemplos, ya
que en el sesgo determinista no se tiene ninguna noción de azar ni de aleatoriedad,
mientras que en el de facilidad, es posible que tenga nociones claras de azar y
aleatoriedad, pero debido a sus experiencias concibe un evento como más probable que
otro.
5.2.4. Taxonomía SOLO
Desde la segunda mitad del siglo XX muchas investigaciones se han orientado a
identificar los procesos realizados para dar respuestas a un problema, una vez se
identifican estos procesos se realiza una categorización utilizando niveles de
complejidad del razonamiento.
Las primeras propuestas de una taxonomía que permite describir y categorizar el
razonamiento fueron: la taxonomía cognitiva de Benjamin Bloom publicada en el año
1956, posteriormente Robert Gagné propuso su propio modelo taxonómico de
aprendizaje, sin embargo estas propuestas son limitas ya que:
Tienen muy poca relevancia en el sentido de los aspectos estructurales de los
resultados de aprendizaje, puesto que se centran en aspectos del análisis lógico del
contenido y del proceso de aprendizaje, y no tiene alcance para estudios sobre los
diferentes resultados adquiridos para una materia dada. (Marton et al., 1997; citado
en Hernández, Martínez, Da Fonseca y Rubio, 2005, p.80)
Asumiendo el argumento de Hernández, et al., (2005) una de las teorías que mejor se
ajusta al objetivo de esta propuesta es la taxonomía expuesta por John Biggs y Kevin
Collins en 1982. En esta teoría se presenta una mirada taxonómica de las diferentes
formas de cómo una persona selecciona y procesa la información ya sea familiar o no
para él, dicha información puede ser matemática o formar parte de diversos campos del
conocimiento humano. Medrano (2003) afirma que en la teoría de Biggs y Collins se
llega a la siguiente conclusión: los estadios de desarrollo de Piaget son engañosos a la
hora de clasificar la respuesta de un estudiante, dado que estas etapas se basan en la
edad y no en los conocimientos que el sujeto pueda tener de un tema, por tanto un
adulto que según Piaget se encuentra en el estadio operatorio formal debe resolver un
30
problema de manera abstracta, pero Biggs y Collins sostienen que no es posible
resolverlo de manera abstracta si no está familiarizado con el problema, de esta manera
Biggs y Collins plantearon unos criterios que permiten la elaboración de los niveles de
la taxonomía SOLO:
El nivel de atención y memoria.
El establecimiento de relaciones y asociaciones.
La consistencia y la elaboración teórica.
De este modo “Biggs y Collins, presentaron en 1982 una propuesta para evaluar los
diferentes niveles de complejidad estructural en los resultados de aprendizaje
alcanzados” (Hernández, et al., 2005, p. 80)
Nivel Descripción
I. Preestructural Respuesta centrada en aspectos irrelevantes de la propuesta de trabajo,
con contestaciones evasivas o tautológicas del trabajo.
II. Uniestructural Respuestas que contienen datos informativos obvios, los cuales han sido
extraídos directamente del enunciado.
III. Multiestructural
Respuestas que requieren de dos o más informaciones del enunciado, los
cuales siendo obtenidas directamente de éste, son analizadas
separadamente, no de forma interrelacionada.
IV. Relacional
Respuestas extraídas tras el análisis de los datos del problema, integrando
la información en un todo comprensivo. Los resultados se organizan
formando una estructura.
V. Abstracción Expandida
Respuestas que manifiestan la utilización de un principio general y
abstracto que puede ser inferido a partir del análisis sustantivo de los
datos del problema y que es generalizable a otros contextos.
Tabla 5. Niveles Taxonomía SOLO. Tomada de Hernández, et al., (2003).
Para la construcción de los indicadores de cada nivel de esta propuesta se tendrá en
cuenta la descripción de los niveles de la taxonomía SOLO, así por ejemplo, los
indicadores del nivel 1 deben caracterizar un razonamiento que este centrado en
aspectos irrelevantes, dando respuestas como “no se sabe”, “no se puede determinar”,
“el futuro no se puede predecir” o de carácter determinista.
31
6. DESARROLLO DE LA PROPUESTA
Teniendo en cuenta los aspectos identificados anteriormente respecto al razonamiento
probabilístico, se generan indicadores sobre conceptos, sesgos y tratamiento de los datos
recolectados a partir de experimentos aleatorios, datos necesarios para la asignación de
probabilidad desde una noción frecuencial. Usando dichos indicadores se establecen las
posibles relaciones entre ellos para poder, a partir de ello, caracterizar el razonamiento
ubicando su desarrollo en un determinado nivel.
6.1. Indicadores
A continuación se presenta la Tabla 6, en la que se clasifica y describen sesgos,
conceptos, y el tratamiento que se le dan a los datos, esto en relación con la asignación
de probabilidad desde una noción frecuencial.
Categoría Indicadores/Descripción
Conceptos
C1: Las respuestas evidencian un carácter evasivo ya que se desconocen los
procedimientos y conceptos para cuantificar la ocurrencia de un evento.
C2: Identifica y clasifica situaciones donde está presente el azar y la aleatoriedad.
C3: Define espacio muestral de un experimento aleatorio clasificando los tipos de
eventos.
C4: Compara secuencias aleatorias en términos de más probable que, menos probable que
o igualmente probables.
C5: Calcula la probabilidad frecuencial de un evento sin reconocer la necesidad de la
repetitividad del experimento y por ende realiza pocas experimentaciones.
C6: Calcula la frecuencia relativa de un evento partiendo del número necesario de
experimentaciones o simulaciones para que dichas frecuencias tiendan a
estabilizarse.
C7: Calcula la frecuencia relativa de un evento teniendo en cuenta su límite estocástico,
es decir, la cercanía existente entre la probabilidad real y la experimental.
Sesgos
S1: Determinista: No reconoce ni diferencia las situaciones azarosas de las que no lo son.
S2: Falacia del Jugador Tipo I y II: Predice el resultado de un experimento basado en
rachas favorables o no favorables.
S3: Concepción Errónea del Azar: Considera que las secuencias aleatorias nunca pueden
tener algún patrón. S4: Atribuciones Flexibles: Intenta manipular el resultado de un experimento aleatorio a
partir de creencias personales o mitos.
S5: Confirmatorio: Considera la probabilidad frecuencial partiendo de la frecuencia
absoluta de un evento.
S6: Insensibilidad al Tamaño de la Muestra: Aproxima una probabilidad partiendo de un
número muy pequeño de simulaciones.
S7: Equiprobabilidad: Calcula e interpreta la frecuencia relativa como una aproximación
de probabilidad pero considera a priori que todos los eventos definidos sobre un
experimento aleatorio son igualmente probables.
S8: No presenta ningún sesgo.
32
Tratamiento
de datos
T1: Desarrolla experimentos aleatorios, sin tener en cuenta si se llevan a cabo bajo
idénticas condiciones.
T2: Realiza experimentos aleatorios teniendo en cuenta que se deben hacer bajo idénticas
condiciones para que su resultado sea confiable.
T3: Diseña experimentos aleatorios teniendo en cuenta las condiciones necesarias para
que su resultado sea confiable.
T4: Manipula herramientas tecnológicas que le permiten simular experimentos aleatorios.
T5: Reconoce la validez de los datos y es capaz de trabajar con los resultados de
simulaciones hechas por él mismo o por otros.
T6: Asigna probabilidades basándose en resultados de experimentos propios o ajenos,
además reconoce el propósito de realizar las simulaciones e interpreta la
probabilidad.
Tabla 6. Indicadores del razonamiento probabilístico frecuencial.
De esta manera, los indicadores de las categorías conceptos y tratamiento de datos son
“acumulables” a excepción del primer indicador de cada una de estas dos categorías, por
ejemplo, si está presente el indicador T5 implica que los indicadores T2, T3 y T4 también
lo están. Por otra parte los indicadores de sesgo no son “acumulables”, por tanto la
presencia de uno no implica la presencia de los anteriores.
6.2. Caracterización de los niveles
Partiendo de la descripción realizada para cada indicador, se construye la Tabla 7 que
contiene la clasificación de dichos indicadores según su complejidad estructural. Esta
clasificación se realiza con base en los cinco niveles de complejidad propuestos en la
Taxonomía SOLO.
Nivel de Complejidad Indicadores
Preestructural S1; C1; S5; S2; S4.
Uniestructural C2; C3; S2; S3; S4; S5; S7; T1.
Multiestructural C3; C5; S5; S6; T2; T5.
Relacional C6; C4; S8; T5; T4; T3.
Abstracción Expandida C7; S8; T6. Tabla 7. Clasificación de indicadores.
A continuación, se definen los niveles del razonamiento probabilístico frecuencial
entendiendo este razonamiento como aquel que está relacionado con la experimentación
o simulación de situaciones aleatorias, el cálculo e interpretación de la probabilidad
desde la noción frecuencial, a partir de las relaciones existentes entre los indicadores
(Tabla 6) clasificados en cada nivel de complejidad estructural (Tabla 7). Estas
33
relaciones se identifican usando ejemplos de respuestas y argumentos de estudiantes de
secundaria y maestros en formación sobre algunas situaciones azarosas.
Estos ejemplos de respuesta son tomados de diferentes espacios y experiencias
académicas de los autores de esta propuesta. Dentro del plan de estudios del Proyecto
Curricular de la Licenciatura en Matemáticas (PCLM) de la Universidad Pedagógica
Nacional (UPN) se propone el espacio académico Enseñanza y Aprendizaje de la
Estadística, en el cual los estudiantes inician su acercamiento con la didáctica de la
estadística y de la probabilidad. Este espacio fue cursado en el periodo académico 2014-
2 (de Agosto a Diciembre de 2014), en el cual se diseñó una serie de actividades que
permitieran la introducción de la probabilidad a estudiantes de grado séptimo del
Colegio Mercedario San Pedro Nolasco; dado que los estudiantes no habían tenido un
acercamiento con la probabilidad se escogió la noción frecuencial para abordar este
concepto matemático, ya que esta noción facilita el paso de la estadística a la
probabilidad. Algunas actividades fueron adaptaciones de las propuestas didácticas de
González (2008) y Coutinho (2001), para finalizar ese proceso de enseñanza los
maestros en formación diseñaron una evaluación de selección múltiple con única
respuesta para identificar los posibles sesgos en el razonamiento de los estudiantes
(Anexo A, Parte III).
En el periodo académico 2015-2 (de Agosto a Diciembre de 2015) los autores de esta
propuesta cursan el espacio académico Práctica de Integración Profesional a la Escuela
(Práctica I.P.E.), en el cual se realizan modificaciones de las actividades propuestas en
el espacio académico Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística atendiendo a las
dificultades observadas en la aplicación de los talleres (Anexo B), luego de las
modificaciones se aplicaron a estudiantes de noveno y décimo de dos colegios oficiales
(Escuela Normal Superior Distrital María Montessori y Colegio Técnico Comercial
Manuela Beltrán IED).
34
Finalmente se recolectó información de posibles respuestas a tareas relacionadas con la
probabilidad frecuencial en el marco de la XXXV Jornada del Educador Matemático1
(30 de septiembre, 1° y 2 de octubre de 2014) mediante un pilotaje a maestros en
formación de las actividades correspondientes a la práctica del espacio académico
Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística (Anexo A, Parte I y II).
6.2.1. Nivel 1 (Preestructural)
El razonamiento probabilístico ubicado en este nivel refleja la modelación de las
situaciones aleatorias bajo un modelo determinista (sesgo S1), por ende las respuestas de
los individuos son evasivas, evidenciando el desconocimiento de los elementos
relacionados con la cuantificación del azar, además sus argumentos se asocian a otros
sesgos como: S5, S2 y S4. Por ende aun no es posible que se tenga un tratamiento de los
datos, cuando no acepta la aleatoriedad. Ejemplo de razonamiento en este nivel se puede
ver en situaciones tales como:
Situación Ejemplos de respuesta Características
Juan todos los días para ir al
colegio debe ingresar a la
estación de Transmilenio más
cercana de su casa, allí espera
alguna de todas las posibles rutas
que le sirven para llegar hasta la
estación cercana al colegio.
¿Cuál de las rutas que le sirven
será la que pase primero? ¿Por
qué razón crees que no es
posible asegurar el resultado de
esta situación?
No sé cuál pase primero,
porque no conozco el
futuro.
Este tipo de respuesta refleja un
carácter evasivo, ya que se sabe que
no es posible asegurar el resultado de
una situación azarosa pero se puede
tratar de predecir el resultado
partiendo del espacio muestral del
experimento y la equiprobabilidad o
no de los puntos muestrales, es
evidente la presencia de C1.
Siempre pasa el Ruta Fácil,
porque es el que pasa más.
En esta respuesta refleja el sesgo
determinista y sus argumentos
muestran como se relaciona este
sesgo con el sesgo confirmatorio, por
tanto se identifica la relación existente
entre S1 y S5.
En un partido cualquiera del
Chelsea, se analiza la cantidad
de tiros que falla Falcao durante
el transcurso del juego ¿puedes
decir con seguridad cuál será el
total de tiros fallados antes del
partido? Justifica tu respuesta.
Todos porque él no está
haciendo goles.
En esta situación se identifica la
presencia de los sesgos determinista y
falacia del jugador, ya que basa su
respuesta en una racha. Relación entre
S2 y S1.
Si todos, porque estoy
seguro que no va a hacer
Esta respuesta evidencia un carácter
netamente determinista, se identifica
1 Este evento se realiza semestralmente en la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en el cual
estudiantes y profesores de la Licenciatura en matemáticas, e invitados profesionales en el ámbito de la
Educación Matemática se encargan de preparar y ejecutar conferencias, concursos, talleres, etc., para
toda la comunidad universitaria.
35
goles en ese partido. la presencia del indicador S1.
¿Cuál es el resultado al lanzar un
dado?
Seis, porque los sople y eso
me da suerte y siempre voy
a sacar el mayor número.
Modela la situación de manera
determinista a partir de mitos. Se
evidencia la presencia de S1 y S4.
Tabla 8. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 1.
Ya que el razonamiento de este nivel se caracteriza por modelar toda situación de
manera determinista esto hace que se omita la información experimental o del
enunciado, por ende el tratamiento de los datos es nulo, de ahí que en este nivel no está
presente algún indicador de tratamiento de datos.
6.2.2 Nivel 2 (Uniestructural)
El razonamiento probabilístico en este nivel se caracteriza por el reconocimiento del
azar y los tipos de eventos (C2 y C3), pero se desconocen las características
fundamentales para realizar una aproximación de la probabilidad cercana a la real, ya
que la información usada en este proceso es obtenida directamente de las condiciones de
los problemas sin cuestionar su validez, omitiendo su análisis; es decir trabaja con los
datos presentados en los enunciados sin tener en cuenta la existencia de otros conjuntos
de datos que permiten hacer inferencias sobre el comportamiento futuro de los
experimentos (T1), además de se reconoce la existencia de varios sesgos que interfieren
en la aproximación de la probabilidad (Sn), por ejemplo:
Situación Ejemplos de respuesta Características
Luego de lanzar el dado diez veces
se tomaron los siguientes datos: 5, 6,
1, 4, 5, 2, 3, 3, 3, 3. ¿Qué tan
probable es que salga 3 en el
siguiente lanzamiento y por qué?
Es muy probable porque
en los últimos
lanzamientos ha salido el
tres.
En esta respuesta se evidencia el
reconocimiento del azar, pero está
basada en rachas. Por tanto están
presentes los indicadores C2 y S2.
Es del 50% porque existen
dos posibilidades: que
salga o no.
Es claro que en esta respuesta se
reconoce la presencia del azar, pero
cree que cualquier evento tiene un
50% de ocurrencia, de esta manera
se evidencian la relación de los
indicadores C2 y S7.
36
Se seleccionaron 5 dados que
difieren en su tamaño y peso, realice
20 lanzamientos de un dado para
identificar cuál es la probabilidad de
que el resultado dé un número par.
A) ¿Los 20 lanzamientos los haría
con un solo dado o con varios? ¿Por
qué?
B) Realice la tabla de frecuencias
para dichos lanzamientos y diga cuál
es la probabilidad que salga un
número par.
A) Los hice con más de un
dado para que los
resultados sean más
variables.
B) 15% porque en 15
lanzamientos salieron
números pares.
Estas respuestas evidencian que se
realiza el experimento sin mantener
las mismas condiciones, además se
calcula la probabilidad partiendo de
la frecuencia absoluta. Indicadores
T1; C3; S5.
Se lanzó 10 veces una moneda y se
anotaron los resultados C, S, C, S, C,
S, C, S, C, S ¿Cree que es posible
obtener estos resultados y por qué?
No es posible porque están
intercalados.
Esta respuesta refleja que se cree
que una secuencia aleatoria no
puede tener algún patrón y ser
producto del azar. Por tanto está
presente el indicador S3.
Sí porque si lanzo la
moneda con la mano
derecha obtengo cara y con
la mano izquierda obtengo
sello.
Se evidencia la presencia del
indicador S4.
Tabla 9. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 2.
6.2.3 Nivel 3 (Multiestructural)
El razonamiento probabilístico que se encuentre en este nivel se caracteriza por analizar
información obtenida directamente de los enunciados, pero dicho análisis se hace de
manera separada (Tn), es decir, tiene los conceptos necesarios para dar respuesta a las
preguntas (Cn) pero la falta de asociación de estos conceptos con el contexto de los
problemas, impide dar la respuesta correcta ya que los argumentos presentados permiten
inferir la presencia de sesgos (Sn). Además el razonamiento utilizado para resolver los
ejercicios o problemas se hace sin tener en cuenta los análisis realizados en ejercicios
anteriores.
Situación Ejemplos de respuesta Características
37
Considere la siguiente situación:
Juan y María lanzan cada uno 3
dados 10 y 100 veces
respectivamente y anotan los
resultados de cada uno de ellos.
Consideran el evento A que
resulte 1, 2, 3. Para aproximar la
probabilidad realizan la tabla de
frecuencias relativas para todos
los resultados y afirman que la
probabilidad del evento A es del
10%.
¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es la correcta?
a. La aproximación de Juan es
correcta, porque realizó todos los
procedimientos necesarios,
mientras que María realizó
muchas experimentaciones que
no eran necesarias.
b. Las aproximaciones de Juan y
María son correctas, porque
realizaron todos los
procedimientos necesarios.
c. La aproximación de Juan no es
correcta, porque realizó muy
pocas repeticiones del
experimento.
a. La aproximación de Juan es
correcta, porque realizó todos los
procedimientos necesarios.
En esta respuesta se trabaja con
datos recolectados por otros,
pero no se tiene en cuenta la
cantidad de simulaciones, es
decir, están presentes los
indicadores T5 y S6.
b. Las aproximaciones de Juan y
María son correctas, porque
realizaron todos los
procedimientos necesarios.
Esta respuesta refleja trabajo con
datos ajenos y el análisis de cada
procedimiento, sin embargo el
número de simulaciones no es un
factor relevante. Por tanto se ve
la relación entre los indicadores
T5 y C5.
Se desea determinar la
probabilidad de que el resultado
del lanzamiento de un dado sea
un número par a partir de las
frecuencias relativas. Mencione
cuáles son los pasos necesarios
para llevar a cabo esto.
Coger un dado y lanzarlo 20
veces de la misma forma, y
anotar el resultado de cada
lanzamiento. Luego agrupar los
números que son pares y los que
no lo son, y calcular la
frecuencia relativa de los pares.
En esta respuesta se identifica la
necesidad de realizar las
experimentaciones bajo idénticas
condiciones para que el resultado
no se vea afectado además se
clasifican los eventos favorables
y no favorables a partir del
espacio muestral lo que implica
un reconocimiento del azar, sin
embargo considera suficiente 20
experimentaciones para
aproximar la probabilidad.
Indicadores presentes en esta
respuesta: C3, T2 y S6.
Tabla 10. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 3.
6.2.4 Nivel 4 (Relacional)
El razonamiento probabilístico de este nivel se caracteriza por el análisis
interrelacionado de la información que está presente en la situación, ya sea explícita o
implícitamente, además usa la tecnología como un recurso que le ayuda a realizar los
procedimientos de manera ágil, reconociendo la eficiencia de los software para hacer
tareas repetitivas y aleatorias (Tn). Por ende hay un reconocimiento de los conceptos que
38
se ponen en juego en el momento de aproximar una probabilidad (C6), de esta manera es
posible que en el razonamiento de este nivel esté inmerso algún sesgo que no sea
determinante para aproximar la probabilidad (S7).
Situación Ejemplos de respuesta Características
Se desea calcular la probabilidad
que el resultado del lanzamiento
de un dado sea un número par a
partir de las frecuencias relativas.
Mencione cuáles son los pasos
necesarios para llevar a cabo esto
y calcúlela.
Uso la función ‘aleatorio entre’
de Excel para generar números
aleatorios entre 1 y 6. Luego
copio esta función 500 veces,
finalmente uso las herramientas
de Excel para hacer la frecuencia
relativa.
Se evidencia el diseño de una
simulación en un software que
permite simular el
comportamiento de experimentos
aleatorios, además se resalta la
necesidad de realizar un gran
número de simulaciones para
calcular la frecuencia relativa
(C6), esto implica que de manera
implícita se están realizando las
simulaciones bajo idénticas
condiciones y que se establece el
espacio muestral para
experimentos aleatorios. En este
procedimiento están presentes
los indicadores: C6, T4, S8.
Tendría que hacer 300 veces este
experimento y luego calcular la
frecuencia del evento.
En esta respuesta es clara la
necesidad de realizar un gran
número de repeticiones manuales
de los experimentos para
calcular la frecuencia relativa,
además maneja los conceptos
suficientes para aproximar la
probabilidad. En este
procedimiento están presentes
los indicadores: C6, T3, S8.
A continuación se muestra el
resultado de 300 simulaciones
del lanzamiento de un dado
realizada en Excel:
¿Cuál sería el procedimiento a
seguir para calcular la
probabilidad de que salga 4, y
por qué?
Calcular la frecuencia relativa
del 4 usando la tabla, porque se
realizaron muchas
experimentaciones y no es
necesario lanzar el dado.
Es evidente el reconocimiento de
la validez de los datos recogidos
por otros, ya que se acepta el
número de simulaciones y la
manera como se repitieron, por
ende son usados para aproximar
la probabilidad. Indicadores
presentes en esta respuesta: T5,
S8 y C6.
Se lanzó 10 veces una moneda y
se anotaron los resultados C, S,
C, S, C, S, C, S, C, S ¿Crees que
es posible obtener estos
Sí porque todas las secuencias de
cualquier experimento aleatorio
son igualmente probables.
Se evidencia la presencia de los
indicador C4 y S7, ya que se
considera que todos los eventos
de cualquier experimento
aleatorio son equiprobables y
está realizando comparaciones
39
resultados y por qué? entre secuencias aleatorias que
no son mencionadas en el
enunciado.
Tabla 11. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 4.
6.2.5 Nivel 5 (Abstracción Expandida)
En este nivel hay una ausencia de sesgos (S8) en el razonamiento probabilístico
permitiendo una aproximación de la probabilidad cercana a la real (C7) y sus
argumentos develan la comprensión de las condiciones, características, finalidad y
aplicación de cada uno de los conceptos relacionados con la probabilidad frecuencial
con el objetivo de hacer inferencias en un contexto matemático o cotidiano (T6). De este
modo están presentes algunos procesos generales propuestos por el MEN, tales como
modelar, comunicar y conjeturar.
Situación Ejemplos de respuesta Características
Se desea calcular la probabilidad de
que el resultado del lanzamiento de un
dado sea un número par a partir de las
frecuencias relativas. Mencione cuáles
son los pasos necesarios para llevar a
cabo esto y calcúlela.
Usar un programa para
simular este experimento
las veces que sean
necesarias para que se
estabilicen las frecuencias
y dé una aproximación
cercana a la probabilidad
real, calcular la frecuencia
relativa del evento, al
repetir esto se ve que estas
aproximaciones se mueven
alrededor del 50%.
Se ve un manejo de los conceptos
y ayudas tecnológicas para el
tratamiento de los datos y así
diseña sus propias simulaciones
de los experimentos aleatorios,
realizando varios grupos de
simulaciones con el objetivo de
conjetural cuál es la probabilidad
real a partir de una idea intuitiva
de limite estocástico. Indicadores
presentes C7, S8 y T6.
A continuación se muestra el resultado
de 300 simulaciones del lanzamiento
de un dado realizada en Excel:
¿Cuál sería el procedimiento a seguir
para calcular la probabilidad de que
salga 4, y por qué?
Usar los datos ya que es
una simulación de ese
experimento y se realizó
un gran número de veces y
calcular la frecuencia
relativa del 4 y saber que
esta frecuencia es una
aproximación cercana a la
real porque solo se tiene en
cuenta ese grupo de datos.
Se trabaja con datos recolectados
por otros y está interesado por la
veracidad de estos, además
reconoce la finalidad de realizar
simulaciones de experimentos
aleatorios y esto que su
interpretación de la probabilidad
frecuencial tenga en cuenta la
necesidad de realizar varios
grupos de simulaciones.
Indicadores presentes C7, S8 y T6.
Tabla 12. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 5.
40
6.3. Pautas para determinar niveles de desarrollo
A continuación se presenta un test que podría ayudar al docente a identificar los
indicadores presentes en el razonamiento probabilístico frecuencial de los estudiantes y
así poder clasificar el razonamiento usando los niveles propuestos en este trabajo. En
cada una de las situaciones se puede evidenciar la presencia de los indicadores S1; T6;
S8; C2 y C1, además cada situación fue diseñada para identificar algunos indicadores.
Situación 1
Teniendo en cuenta el bajo nivel futbolístico y las estadísticas de su carrera como
futbolista, en un partido cualquiera del Chelsea, se analiza la cantidad de tiros que falla
Falcao durante el transcurso del juego. ¿Puedes decir con seguridad cuál será el total de
tiros fallados antes del partido? Justifica tu respuesta.
Explicación:
En esta situación se puede evidenciar si están presentes los indicadores: S5; S2; C2 y S4.
Situación 2
Se seleccionaron 5 dados que difieren en su tamaño y peso. Para identificar cuál es la
probabilidad de que el resultado de 20 lanzamientos dé un número par, usted ¿haría los
20 lanzamientos con un solo dado? ¿O con varios? ¿Con todos? ¿Por qué?
A) Realice una tabla de frecuencias para los 20 lanzamientos con un mismo dado.
Teniendo en cuenta la información registrada, determine cuál es la probabilidad que
salga un número par. ¿Esta probabilidad se mantendría en caso de realizar 100
lanzamientos del mismo dado?
B) Al hacer este experimento con alguno de los dados se obtuvo el siguiente resultado:
2, 1, 1, 2, 4, 3, 2, 3, 3, 6, 1, 5, 6, 6, 4, 3, 3, 3, 3, 3. ¿Qué tan probable es que salga 3 en el
siguiente lanzamiento y por qué?
41
C) Al hacer este experimento con alguno de los dados se obtuvo el siguiente resultado:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2. ¿Cree que es posible obtener estos
resultados y por qué?
Explicación:
Las primeras preguntas se relacionan con el hecho de mantener las mismas condiciones
de un experimento (indicadores T1 y T2); en el literal A) se pueden evidenciar los
indicadores C5; C6; S4; S5 y S6. En el literal B) S2; S5 y C3. En el literal C) C4; S7 y S3.
Situación 3:
Considere la siguiente situación:
Juan y María lanzan cada uno 3 dados 10 y 100 veces respectivamente y anotan los
resultados de cada uno de ellos. Consideran el evento A que resulte 1, 2, 3. Para
aproximar la probabilidad realizan la tabla de frecuencias relativas para todos los
resultados y ambos afirman que la probabilidad del evento A es del 10%.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a. La aproximación de Juan es correcta, porque realizó todos los procedimientos
necesarios, mientras que María realizó muchas experimentaciones que no eran
necesarias.
b. Las aproximaciones de Juan y María son correctas, porque realizaron todos los
procedimientos necesarios.
c. La aproximación de Juan no es correcta, porque realizó muy pocas repeticiones del
experimento.
Explicación:
Si el estudiante selecciona la opción a en su razonamiento está presente el indicador S6,
si selecciona la opción b está presente el indicador C5 o si selecciona la opción c está
presente le indicador C6.
Situación 4:
42
Se desea calcular la probabilidad que el resultado del lanzamiento de un dado sea un
número par a partir de las frecuencias relativas. Mencione cuáles son los pasos
necesarios para llevar a cabo esto y calcúlela.
Explicación:
En esta situación se pueden identificar los indicadores C5; C6; C7; S4; S5; S6; T3; T4 y T5.
Situación 5:
A continuación se muestra el resultado de 300 simulaciones del lanzamiento de un
dado, realizadas en Excel:
Partiendo de la información de la tabla, ¿Cuál sería el procedimiento a seguir para
calcular la probabilidad de que salga 4, y por qué?
Explicación:
En esta situación se pueden identificar los siguientes indicadores: C6; C7; S5 y T5.
La idea es que el profesor use de manera conjunta y complementaria las situaciones
antes planteas para identificar y/o corroborar alguno de los indicadores que caracterizan
el razonamiento probabilístico frecuencial.
43
7. VALIDACIÓN DE LA PROPUESTA
La evaluación de expertos es una modalidad alternativa de validación de las
producciones académicas o científicas, en esta se solicita a una comunidad de
especialistas en un objeto de estudio específico, emitir valoraciones cualitativas y
recomendaciones que permitan ajustar la propuesta, con el fin de validarla sin necesidad
de llevarla en una primera instancia al aula.
La evaluación de expertos se realiza con base en los siguientes interrogantes:
¿Cuáles son los criterios para la selección de los expertos y su grado de
competitividad?
¿Cuáles son los indicadores que permiten a los expertos la valoración de la
propuesta?
¿Qué métodos fueron utilizados para la recolección, procesamiento y análisis de la
información dada por los expertos?
Para iniciar, se define el perfil del experto que ha de valorar la propuesta, de tal manera
que se ajuste al campo de estudio y contexto de la misma, así debe ser una persona que
sea capaz de emitir una valoración conclusiva y hacer recomendaciones partiendo de
una ética profesional, imparcialidad y autocrítica, con la disposición de formar parte de
la construcción de un producto de otra autoría, esto atendiendo a la definición de
experto dada por Crespo (2007). Además de estas características, para la presente
propuesta se hace necesario que el profesional que se ha de considerar como experto
tenga un nivel de educación profesional en lo posible postgradual en el campo de la
Educación Matemática, con una experiencia superior a 5 años impartiendo cursos de
probabilidad o trabajando como investigador en este ámbito (Anexo C).
7.1 Selección de expertos
Para determinar el grupo de expertos, atendiendo a la definición de experto propuesta
por Crespo (2007) anteriormente mencionada; se hizo contacto con 40 profesionales del
área de la Educación Estadística, a través de correo electrónico, por medio del cual se
envió el Anexo C, solicitándoles el diligenciamiento del mismo, esto si aceptaban
44
valorar la propuesta. De los 40 profesionales 15 de ellos aceptaron ser parte de la
valoración de la propuesta y conformaron así el grupo de expertos al cumplir el perfil
establecido.
Para determinar el grado de competitividad del experto se les realiza una consulta para
autoevaluar las fuentes de argumentación (Anexo C). A partir de los resultados de la
consulta y a la luz de los valores asignados a cada una de las fuentes de argumentación
(Tabla 13), se calcula el coeficiente de argumentación de cada uno de los expertos, el
cual se reporta en el Anexo D.
FUENTES DE ARGUMENTACIÓN
GRADO DE INFLUENCIA DE CADA UNA DE
LAS FUENTES ES SUS CRITERIOS
ALTO (A) MEDIO (M) BAJO (B)
1. Investigaciones teóricas y/o experimentales
relacionadas con el tema. 0,05 0,05 0,05
2. Experiencia obtenida en la actividad
profesional (docencia en educación básica,
pregrado y/o posgrado)
0,5 0,4 0,25
3. Análisis de literatura especializada y
publicaciones de autores nacionales relacionadas
con el tema.
0,1 0,1 0,05
4. Análisis de literatura especializada y
publicaciones de autores extranjeros, relacionadas
con el tema.
0,2 0,1 0,05
5. Conocimiento del estado actual de la
problemática en algunos contextos del país. 0,1 0,1 0,05
6. Intuición 0,05 0,05 0,05
Total 1 0,8 0,5
Tabla 13. Fuentes de Argumentación de los expertos. Tomado de Crespo (2007).
Análogamente se le pregunta a cada uno de los expertos sobre su nivel de conocimiento
respecto al tema (Nc), solicitando una valoración de 0 a 10 (Tabla 14) siendo 0 el
desconocimiento del tema y 10 el conocimiento pleno de tema, usando el siguiente
formato:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabla 14. Autoevaluación nivel de conocimiento del tema.
Los resultados de esta autoevaluación del nivel de conocimiento del tema se reportan en
el Anexo D.
45
Una vez se obtiene el resultado de las fuentes de argumentación del experto (Fa) y su
autovaloración del conocimiento del tema (Nc), se calcula el promedio para determinar
su grado de competitividad, tal y como lo propone Crespo (2007):
De esta manera el grupo de expertos queda conformado por 15 profesionales de la
Educación Matemática, que han trabajado en el área de la enseñanza-aprendizaje de la
probabilidad (Anexo E). Este grupo se caracteriza por estar compuesto por 10
colombianos (67%), 1 brasileño (7%), 1 venezolano (7%), 1 chileno (7%) y 2
mexicanos (13%). Dado que esta propuesta se hace en el marco de la Licenciatura en
Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, la mayoría de los expertos son del
ámbito nacional, además de esto la mitad de los expertos nacionales desempeñan su
labor en dicha Universidad.
Grafico 1. Nacionalidad de los expertos.
Todos los expertos manifestaron tener estudios post-graduales en el campo de la
Educación Matemática, 11 de ellos tiene nivel de magister (73%) y 4 nivel doctoral
(27%).
7%
66%
13%
7% 7%
Nacionalidades
Brasil
Colombia
México
Venezuela
Chile
46
Grafico 2. Nivel de Educación de los expertos.
Actualmente todos los expertos desempeñan el cargo de docente en colegios o
universidades. Además los expertos de nivel doctoral realizan investigaciones en el
campo de la Educación Matemática. Por otra parte el promedio de años de experiencia
es aproximadamente 15 años, esto se ve permeado por los datos referidos a los expertos
cuya edad supera los 45 años, lo cual conlleva a que su experiencia profesional sea
bastante amplia (aproximadamente 25 años de experiencia en promedio).
Una vez se sistematizaron los resultados de la información acopiada a través del Anexo
C (ver sistematización en el Anexo F), se identificó que doce de los expertos tienen un
grado de competitividad alto y tres de ellos un grado medio. Partiendo de esta
valoración, se puede inferir que las recomendaciones de los expertos serán de gran
utilidad para el perfeccionamiento de esta propuesta.
7.2 Valoración de propuesta
Una vez definido el grupo de expertos, se le envió a cada uno de ellos por correo matriz
de evaluación (Tabla 15) acompañada de un resumen de la propuesta, donde se muestra
cómo se construyen los indicadores y las posibles relaciones entre ellos (Anexo G).
Además se presenta la caracterización de cada nivel para su respectiva valoración.
Dicha matriz consta de varios indicadores que permiten evaluar la fiabilidad,
27%
73%
Nivel de Educación
Doctoral Magister
47
aplicabilidad, viabilidad y relevancia (Crespo, 2007) de la propuesta, bajo los siguientes
índices de valoración: Muy Adecuado (MA), Bastante Adecuado (BA), Adecuado (A),
Poco Adecuado (PA) y Muy Inadecuado (MI). Igualmente se le solicita a los expertos
describir fortalezas, falencias y sugerencias de la propuesta atendiendo a las
calificaciones realizadas en los distintos criterios (Anexo H), para prever los posibles
efectos (Crespo, 2007).
Nº INDICADORES VALORACIÓN
MA BA A PA MI
1
Los niveles para la categorización del desarrollo del razonamiento
probabilístico frecuencial, reflejan los sustentos teóricos de la
propuesta.
2
El marco de referencia presentado bajo el cual se sustenta la
construcción de los niveles favorece el logro del objetivo por el cual se
elaboró la propuesta.
3
Los niveles e indicadores presentados permiten que un profesor (en el
campo de la Educación Matemática) clasifique el desarrollo del
razonamiento probabilístico frecuencial de sus estudiantes.
4 El número de niveles propuestos es acorde con la complejidad del
objeto de estudio (probabilidad frecuencial).
5
De acuerdo a la propuesta, es necesario que para alcanzar un nivel
determinado de razonamiento se deben transite por los niveles
anteriores. Es decir, los niveles son jerárquicos.
6 La justificación de cada uno de los niveles es acorde con la teoría que
se usa para fundamentar la propuesta.
Tabla 15. Indicadores para la valoración de la propuesta. Adaptada de Álvarez (2006).
Una vez se recolectaron estas valoraciones fue posible establecer un panorama general
de las fortalezas, falencias y sugerencias de la propuesta.
Fortalezas
Uno de los aspectos de mayor relevancia para el grupo de expertos es la cercanía que
esta propuesta tiene con el ambiente educativo en cursos de secundaria, ya que con los
indicadores establecidos es fácil y preciso realizar un diagnóstico del nivel de desarrollo
del razonamiento probabilístico frecuencial de un grupo de personas, y a partir de ello
poder generar propuestas que favorezcan el desarrollo de este razonamiento. Por otra
parte se destaca que el uso de la Taxonomía SOLO es adecuado para una propuesta con
estas características, debido que esta teoría se ha sometido a prueba durante décadas,
esto implica que el marco teórico es robusto y confiable. Finalmente se resalta la
48
importancia de trabajar con la probabilidad frecuencial, puesto que no es común que la
probabilidad se trabaje en la escuela desde un punto de vista experimental.
Falencias
(1) La mayoría de los expertos expresaron la necesidad de diseñar un cuestionario que
permita identificar el nivel de razonamiento a partir de los indicadores expuestos. (2)
Uno de los expertos manifestó que los antecedentes relacionados con la categorización
del razonamiento probabilístico frecuencial no son suficientes, dado que solo se
presenta una propuesta que trabaja la probabilidad frecuencial. (3) Por último, para
algunos de los expertos no es claro cuál es el producto de este trabajo de grado, ya que
se cuestiona acerca de si el resultado son los indicadores, las relaciones, las preguntas
que permiten identificarlos o simplemente los niveles.
Sugerencias
Los expertos sugirieron ampliar la explicación de los indicadores para facilitar la
comprensión de los mismos, además de mejorar la redacción de los indicadores C3, C6,
S1 y S2, y hacer uso de tablas y gráficos en la situaciones que se han de proponer a los
estudiantes para obtener información sobre el nivel de desarrollo de su razonamiento.
También sugirieron agregar la descripción de las categorías Conceptos, Sesgos y
Tratamiento de datos a partir de las cuales se forjaron los niveles presentados.
Finalmente se recomienda aplicar la propuesta como parte de investigaciones para
realizar ajustes a partir de los resultados que se logren obtener en el campo.
Reacciones
1. En relación con el taller solicitado por los expertos, en la sección 6.3 se expone un
posible cuestionario que ha de permitir la identificación del nivel de razonamiento
probabilístico frecuencial, el cual no fue sometido a la valoración de los expertos dado
que este no se contempla como la esencia de este trabajo y podía generar más tiempo
para la valoración por parte de los expertos.
2. Con respecto a los antecedentes de la propuesta, cabe resaltar que no todos se
incluyeron en el resumen de la propuesta enviado a los expertos, y contemplados en el
49
documento en extenso (el presente), por lo que se pudo generar la percepción de poca
consulta al respecto. Sin embargo, en la revisión realizada para construir la sección de
antecedentes, se encontraron muy pocas producciones relacionadas directamente con el
razonamiento probabilístico frecuencial, por ende se seleccionaron las más acordes con
el objetivo de esta propuesta.
3. Es importante aclarar que el producto de este trabajo de grado son los indicadores, las
relaciones y la caracterización de los niveles de desarrollo del razonamiento
probabilístico frecuencial. Para algunos expertos esto no fue claro, ya que en el Anexo
G no fue posible mostrar cada uno de los pasos para la caracterización de cada nivel,
como se hizo a lo largo de este trabajo.
7.3 Ajustes a la propuesta
A continuación se realizan algunos ajustes a la propuesta atendiendo a las sugerencias
hechas por el grupo de expertos. De esta manera se realiza la conceptualización de cada
categoría presente en los indicadores.
A lo largo de la revisión bibliográfica para la construcción del marco teórico se
identifican tres categorías que influyen en la asignación de la probabilidad, desde la
noción frecuencial, las cuales son Conceptos, Sesgos y Tratamiento de Datos, que se
caracterizan así:
Conceptos: En esta categoría se encuentran los elementos probabilísticos que se
usan para realizar una aproximación de la probabilidad bajo esta noción. Cada
indicador de esta categoría está asociado a uno de estos elementos
probabilísticos. Por ejemplo: C2 se asocia con los elementos azar y aleatoriedad;
C3 se asocia con espacio muestral y eventos.
Sesgos: En esta categoría se encuentra un conjunto de obstáculos cognitivos que
se deben “a una limitación de la capacidad de procesamiento de la información”
50
(Tversky y Kahneman, 1983; citado en Díaz, 2003, p. 2), de esta manera se
identifican los principales obstáculos que interfieren con la asignación de
probabilidad.
Tratamiento de datos: En esta categoría se muestran formas de manejar la
información bien sea de procesos experimentales propios o ajenos. Por ejemplo:
En T4 se muestra cómo un sujeto obtiene la información a partir de simular
experimentos con algún recurso tecnológico.
Además de la conceptualización realizada, se reformulan algunos indicadores bien sea
por necesidad de mejorar redacción o ampliar su definición para una mejor
comprensión:
Categoría Indicadores/Descripción
Conceptos
C1: Las respuestas evidencian un carácter evasivo ya que se desconocen los
procedimientos y conceptos para cuantificar la ocurrencia de un evento.
C2: Identifica y clasifica situaciones donde está presente el azar y la aleatoriedad.
C3: Define espacios muestrales de experimentos aleatorios, clasificando los eventos
como: posibles, imposibles o seguros.
C4: Compara dos o más secuencias aleatorias en términos de más probable que, menos
probable que o igualmente probables.
C5: Calcula la probabilidad frecuencial de un evento sin reconocer la necesidad de la
repetitividad del experimento y por ende realiza pocas experimentaciones.
C6: Reconoce que a mayor número de experimentaciones o simulaciones la probabilidad
frecuencial tiende a estabilizarse alrededor de la probabilidad real.
C7: Calcula la frecuencia relativa de un evento teniendo en cuenta su límite estocástico,
es decir, la cercanía existente entre la probabilidad real y la experimental.
Sesgos
S1: Determinista: No reconoce ni diferencia las situaciones azarosas de aquellas que son
deterministas.
S2: Supone las rachas de resultados de un experimento como insumo suficiente para
predecir el siguiente resultado de la experimentación.
S3: Concepción Errónea del Azar: Considera que las secuencias aleatorias nunca pueden
tener algún patrón, ya que el azar implica la ausencia de algún orden en la totalidad
de los resultados de un experimento. S4: Atribuciones Flexibles: Intenta manipular el resultado de un experimento aleatorio a
partir de creencias personales o mitos producto de experiencias propias o ajenas.
S5: Confirmatorio: Considera la probabilidad frecuencial de un evento asumiendo que es
la frecuencia absoluta de este.
S6: Insensibilidad al Tamaño de la Muestra: Aproxima la probabilidad de un evento
realizando un número muy pequeño de simulaciones.
S7: Equiprobabilidad: Calcula e interpreta la frecuencia relativa como una aproximación
de probabilidad pero considera a priori que todos los eventos definidos sobre un
experimento aleatorio son igualmente probables.
S8: No presenta ningún sesgo.
Tratamiento
de datos
T1: Desarrolla experimentos aleatorios, sin considerar que se deben llevar a cabo bajo
idénticas condiciones.
T2: Realiza experimentos aleatorios teniendo en cuenta que se deben hacer bajo idénticas
condiciones para que su resultado sea confiable.
51
T3: Diseña experimentos aleatorios teniendo en cuenta las condiciones necesarias para
que su resultado sea confiable.
T4: Manipula herramientas tecnológicas que le permiten simular experimentos aleatorios.
T5: Reconoce la validez de los datos presentados en tablas o gráficos, y es capaz de
trabajar con los resultados de simulaciones hechas por él mismo o por otros.
T6: Asigna probabilidades basándose en resultados de experimentos propios o ajenos,
además reconoce el propósito de realizar las simulaciones e interpreta la probabilidad
favoreciendo la construcción de gráficos de probabilidad.
Tabla 16. Reformulación de los indicadores del razonamiento probabilístico frecuencial.
52
8. CONCLUSIONES
Respecto al trabajo desarrollado y plasmado a lo largo de este documento, se evidencia
la formulación de una propuesta que permite caracterizar el desarrollo del pensamiento
aleatorio para la probabilidad frecuencial, fundamentada en propuestas que trabajan en
la misma línea y soportada en un proceso de documentación realizado sobre este objeto,
desde aspectos: históricos, conceptuales y didácticos. De esta manera se establecen tres
categorías (Conceptos, Sesgos, Tratamiento de Datos) que intervienen en la asignación
de la probabilidad desde una noción frecuencial, así se construyen indicadores para cada
una de estas categorías y se establecen posibles relaciones entre los indicadores,
teniendo en cuenta la complejidad estructural propuesta en la taxonomía SOLO. De
acuerdo a las posibles relaciones se construyen los niveles de desarrollo del
razonamiento probabilístico frecuencial. Estos indicadores, sus relaciones y los niveles
fueron sometidos a una valoración por parte de un grupo de expertos en el campo de la
Educación Matemática, específicamente en el área de la probabilidad; esta valoración en
términos generales fue positiva, ya que se destaca la aplicabilidad de este trabajo y la
importancia de implementar la probabilidad desde un punto de vista experimental en la
escuela. Además se diseñó un posible cuestionario que permite identificar los
indicadores presentes en este razonamiento y así ubicarlo en su respectivo nivel,
esperando a futuro aplicar el cuestionario e implementar la propuesta de los niveles en
una investigación formal con el fin de realizar ajustes que permiten hacer un aporte en
la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad.
Por otra parte, a partir de la elaboración de este trabajo surgió la necesidad de
implementar un nuevo concepto, el cual acopia y refiere al razonamiento relacionado
con la experimentación o simulación de situaciones aleatorias y el cálculo e
interpretación de la probabilidad desde la noción frecuencial, conjunto de elementos al
cual se denominó razonamiento probabilístico frecuencial.
Con respecto al proceso de formación como futuros licenciados de matemáticas, para la
elaboración de esta propuesta fue necesario poner en práctica y profundizar en aspectos
teóricos, metodológicos y didácticos, que en algún momento se trabajaron en espacios
53
académicos del Proyecto Curricular. Entre otros aspectos fue necesario retomar
elementos históricos de la probabilidad frecuencial trabajados de manera tangencial en
espacios académicos como Probabilidad; lo referente a la normatividad colombiana en
el ámbito de la Educación Matemática tratada en Teoría Curricular y Currículo escolar
colombiano y en la electiva Materiales didácticos para la enseñanza de las matemáticas;
además elementos de la didáctica de la Educación Estocástica como Dificultades,
Obstáculos y Errores presentes en los procesos de aprendizaje de esta rama de las
matemáticas, llamados en probabilidad Sesgos y Heurísticas, vistos en el espacio
académico Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística; también se revisan secuencias
didácticas propuestas en los diferentes espacios de prácticas iniciales y de inmersión
como Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística, y Practica de Integración Profesional
a la Escuela.
Por otra parte fue necesario la revisión autónoma de otros elementes que a lo largo de la
formación académica no fueron tratados y fueron esenciales en el desarrollo de este
trabajo de grado, tales como: el estudio de la Taxonomía SOLO como herramienta y
base para la construcción de los niveles para el razonamiento probabilístico frecuencial;
la implementación de la evaluación de expertos como alternativa de valoración y
validación de una propuesta didáctica; y el uso adecuado de todas las herramientas que
brinda un programa para el procesamiento de textos como Microsoft Word.
Finalmente se resalta la importancia de llevar a cabo un Trabajo de Grado de manera
conjunta ya que esto permite generar un ambiente académico que se ve fortalecido
mediante la discusión entre pares, basándose en fundamentos teóricos y prácticos,
garantizando la veracidad y calidad de los argumentos propuestos por cada uno de los
participantes. Dichas discusiones son mediadas por un profesional con un conocimiento
pleno de la temática a trabajar, y que permite a los futuros docentes de Matemáticas
tener sus primeros acercamientos en la construcción de literatura especializada.
54
REFERENCIAS
Alcázar, A. (2007). Historia de la probabilidad. Recuperado de
http://web.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20de%20la%
20probabilidad.pdf
Alonso, R., Rodríguez, A. y Ordás, P. (2004). La teoría de los juegos de azar en el siglo
XVIII. La participación del matemático francés Francois Nicoles. En: M. P. Galán
(Ed.). Historia de la probabilidad y la estadística, (II) (pp. 109-122). Madrid,
España: Delta Publicaciones.
Álvarez, I. (2006). Alternativa metodológica para la acomodación de las estructuras
cognitivas acerca de polígonos. Tesis de Maestría. Universidad Pedagógica Félix
Varela, Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño. Santa Clara, Cuba.
Batanero, C. (2005). Significados de la probabilidad en la educación secundaria.
RELIME. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa,
8(3).
Batanero, C., Cañizares, M., Ortíz, J., y Serrano, L. (1998). Heurísticas y sesgos en el
razonamiento probabilístico de los estudiantes de secundaria. Universidad de
Granada.
Benito, J. (2002). La aportación de Sixto Cámara a la Estadística española. En: Historia
de la probabilidad y de la estadística. Ed. AC. Madrid, España.
Bersabé, R. (1995). Sesgos cognitivos en los juegos de azar: La ilusión de control.
Universidad Complutense de Madrid, Servicio de Publicaciones.
Biggs, J. y Collins, K. (1982). Evaluating the quality of learning: The SOLO taxonomy.
New York: Academic Press.
Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S., y Hsu, E. (2003). Razonamiento
covariacional aplicado a la modelación de eventos dinámicos: Un marco
conceptual y un estudio. Revista EMA, 8(2).
Crespo, T. (2007). Respuestas a 16 preguntas sobre el empleo de expertos en la
investigación pedagógica. Ed. San Marcos. Lima, Perú.
55
Díaz, C. (2003). Heurísticas y sesgos en el razonamiento probabilístico. Implicaciones
para la enseñanza de la Estadística. En: Actas del 27 Congreso Nacional de
Estadística e Investigación Operativa.
Franquet, J. (2008). El estudio operativo de la psicología, una aproximación
matemática. Centro Asociado De Tortosa, Universidad Nacional de Educación a
Distancia. Tortosa, España.
Garzón, G. (2006). Fuentes bibliográficas para el estudio de la historia y la estadística y
la probabilidad en la Biblioteca del Real Instituto y Observatorio de la Armada de
San Fernando. En: Historia de la probabilidad y la estadística (III). Delta
Publicaciones Universitarias.
Garzón, A., y García, M. (2009). Diseño de una secuencia de actividades para la
enseñanza de la probabilidad simple en estudiantes de sexto grado: aplicación y
validación. 10° Encuentro Colombiano de Matemática Educativa. Pasto,
Colombia.
Godino, J., Batanero, C. y Cañizares, M. (1987), Azar y probabilidad Fundamentos
didácticos y propuestas curriculares. Ed. Síntesis. Madrid, España.
Godino, J., Aké, L., Gonzato, M. y Wilhelmi, M. (2012). Niveles de razonamiento
algebraico elemental. En: Investigación en educación matemática XVI Sociedad
Española de Investigación en Educación Matemática.
Guisasola, J. y Barragués, J. (2002). Heurísticas y sesgos de los estudiantes de primer
ciclo de universidad en la resolución de problemas de probabilidad. En:
Enseñanza de las Ciencias. Vol. 20
Hernández, M., Martínez, P., Da Fonseca, P. y Rubio, M. (2005). Aprendizaje,
competencias y rendimiento en Educación Superior. Editorial La Muralla, Madrid,
España.
Kaput, J. (2000). Teaching and Learning a New Algebra with Understanding.
Kieran, C. (1989). The early learning of algebra: A structural perspective. Research
issues in the learning and teaching of algebra.
Landín, P. R. y Sánchez, E. (2010). Niveles de razonamiento probabilístico de
estudiantes de bachillerato frente a tareas de distribución binomial. Educação
Matemática Pesquisa, 12 (3).
56
Mantilla, M., y Martínez, M. (2007). Construcción de significados del concepto de
probabilidad frecuencial en un ambiente computacional. Una experiencia con
profesores en formación. Trabajo de Grado Licenciatura en Matemáticas,
Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, 2007.
Mateos, G. y Morales, A. (1985). Teoría subjetiva de la probabilidad: Fundamentos,
evolución y determinación de probabilidades. Tesis doctoral. Universidad
Complutense de Madrid, Facultad de ciencias económicas y empresariales,
Departamento de estadística y métodos de decisión. Madrid, España.
Medrano, M. (2003). Una experiencia instruccional en el contexto universitario. Revista
de Educación, 332. Universidad del País Vasco, Leioa, Bizkaia, España
Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas.
Bogotá, D.C., Cooperativa Editorial Magisterio.
Ministerio de Educación Nacional. (2006). Estándares Básicos de Competencias
matemáticas. Bogotá, D.C., Cooperativa Editorial Magisterio.
NCTM. (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática (M.
Fernández, Trad.). Sevilla: SAEM Thales. (Trabajo original publicado en 2000).
Ortiz, J., Batanero, C. y Serrano, L. (1996). Las frecuencias relativas y sus propiedades
en los textos españoles de bachillerato. Revista EMA, 2(1).
Romero, J. y Vergara, M. (2014). Razonamiento probabilístico en estudiantes de
undécimo grado bajo los enfoques intuitivo, frecuencial y clásico. Departamento
de Matemáticas, Facultad de Ciencia y Tecnología, Universidad Pedagógica
Nacional. Bogotá, Colombia.
Sánchez, E. & Landín, P. (2011). Fiabilidad de una jerarquía para evaluar el
razonamiento probabilístico acerca de la distribución binomial. Departamento de
Matemática Educativa. Cinvestav-IPN, México.
Sánchez, E. y Valdez, J. (2013). La cuantificación del azar: una articulación de las
definiciones subjetiva, frecuencial y clásica de probabilidad. Probabilidad
Condicionada: Revista de didáctica de la Estadística, (2).
Sánchez, J. (2004). Introducción a la Estadística Empresarial. Capítulo 6. Probabilidad.
Departamento de Estadística y Econometría, Universidad de Málaga. Málaga,
España.
57
Serrano, L. (1996). Significados institucionales y personales de objetos matemáticos
ligados a la aproximación frecuencial de la enseñanza de la probabilidad.
Universidad de Granada, España.
Serrano, L., Batanero, C. y Ortiz, J. (1996). Interpretación de enunciados de
probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de bachillerato. Suma, 22.
Serrano, L., Batanero, C., Ortiz, J. y Cañizares, M. (1998). Heurísticas y sesgos en el
razonamiento probabilístico de los estudiantes de secundaria. Educación
Matemática, 10.
Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education.
Vega-Amaya, O. (2002). Surgimiento de la teoría matemática de la probabilidad.
Apuntes de historia de las matemáticas Vol 1. México D.F., México.
58
ANEXO A. ACTIVIDADES E & A DE LA ESTADÍSTICA
PARTE I
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA ESTADÍSTICA
Alejandro Gualteros
Carlos Andrés León
UN DÍA DEL AZAR
Un día de la semana te levantas temprano para ir al colegio, para llegar debes
ingresar a la estación de Transmilenio más cercana de tu casa, allí esperas
alguna de todas las posibles rutas que te sirven para llegar hasta Flores. ¿Cuál
de las rutas que te sirven será la que pase primero? Cuando te hayas subido al
bus sabrás exactamente: ¿cuántas personas hay en el bus? ¿Cuántas personas
se subirán a cantar en el bus? ¿Cuántas paradas en otras estaciones hará el
bus? Y finalmente ¿Cuánto tiempo tardará el recorrido?
Cuando llegas al colegio encuentras a tus compañeras de clase hablando sobre
el programa de televisión que vieron la noche anterior ¿Cuál pudo haber sido
ese programa del que tanto hablan tus compañeras?, luego ves a dos de tus
amigos jugando Mortal Kombat en sus PSP ¿Quién ganará?. Al comenzar la
clase de Español el profesor aplica un cuestionario ¿Puedes saber cuántas
preguntas tendrá? Luego llega el profesor de matemáticas y hace su clase
¿Sabrás a qué hora terminará su clase (si no se presentan eventualidades y toda
la clase se desarrolla a la perfección)?
Al finalizar la clase suena el timbre para ir al descanso ¿Sabrás a dónde te
dirigirás al descanso? Luego decides jugar un partido de microfútbol con tus
amigos ¿Ganarás o perderás el partido? ¿Cuántos goles harás? Se acaba el
descanso y tienes clase de sociales ¿Puedes saber el salón en el que te toca esa
clase? ¿Qué tarea dejará el profesor? ¿El profesor te sorprenderá molestando a
tus amigos?
Luego sales del colegio y te diriges a tu casa pero no te queda dinero para el
pasaje y tratas de ingresar a la estación sin pagar ¿Podrás hacerlo?, antes de
llegar a tu casa te sorprende un ladrón y quiere robarte ¿Con qué arma tratará
de hacerlo? ¿Lo atrapará la policía? Al llegar a la casa prendes la televisión ¿En
59
cuál canal estará?, al pasar los canales ves que hay un partido de fútbol: Real
Madrid Vs Alianza Petrolera ¿Quién va a ganar?
Al llegar la noche quieres ver Los Simpson ¿A qué hora empezará el
programa? Luego te empieza a dar sueño y decides irte a dormir para
continuar tu rutina de azar al siguiente día.
¿Cuáles preguntas planteadas en la historia puedes responder con
certeza?
¿Por qué razón crees tú que no es posible asegurar el resultado de las
otras situaciones?
¿Es posible en cambio, poder intuir algunos sucesos de la historia?
¿Qué característica común encuentras en estas situaciones?
¿Es posible decir que en estos ejemplos entra en juego el factor suerte?
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA ESTADÍSTICA
Alejandro Gualteros
Carlos Andrés León
Experimentando en lo cotidiano
1. Lea con atención las siguientes situaciones y conteste las preguntas que
se plantean:
La mamá de Marta le pide que cuide la sopa que está en la estufa y le
apague una vez esté lista, mientas va a recoger a su hermanito menor y
lo lleva al médico, Marta muy obediente le dice a su mamá que sí, ella se
pone a jugar en su computador y se le olvida que debe mirar la sopa
luego de 4 horas, se acuerda y va muy preocupada a revisar. ¿puedes
decir con seguridad qué le paso a la sopa?
60
Una niña tiene 3 monedas de $200, le pide a su papá 3 monedas, del
mismo valor, ¿puedes decir con seguridad cuánto dinero posee ahora la
pequeña?
Juan compra una libra de sal, para realizar el siguiente experimento
toma un vaso lleno de agua y le echa la libra de sal. ¿puedes decir con
seguridad cuál será el sabor del agua del vaso?
2. ¿Si se repiten 50 veces estos experimentos (bajo las mismas
condiciones) cambiará el resultado que predijiste? Justifica tu respuesta.
3. ¿Qué tienen en común estos experimentos, teniendo en cuenta sus
resultados?
4. Lea con atención las siguientes situaciones y conteste las preguntas que
se plantean:
Si se contabiliza el número de vehículos que transitan por la esquina
del colegio durante el día. Podrías adelantarte a asegurar, ¿cuántos
autos pasarán entre las 10 y las 12 horas? Justifica tu respuesta.
En un partido cualquiera de la selección, se analiza la cantidad de
tiros que ataja el arquero colombiano durante el transcurso del juego
¿puedes decir con seguridad cuál será el total de tapadas antes del
partido? Justifica tu respuesta.
Se le pide a Martin que saque una carta de una baraja de 52 cartas,
¿puedes decir con seguridad el color de la carta que saco Martin?
Justifica tu respuesta.
Tienes la posibilidad de revisar tu facebook solamente los días
Domingo, ¿puedes decir con seguridad cuántos mensajes tienes sin
leer? Justifica tu respuesta.
5. ¿Si se repiten 50 veces estos experimentos (bajo las mismas
condiciones) cambiará el resultado que predijiste? Justifica tu respuesta.
6. ¿Qué tienen en común estos experimentos, teniendo en cuenta sus
resultados?
7. Conteste las preguntas que se plantean en cada situación
61
De una alcancía tratas de sacar unas monedas (la alcancía tiene
monedas de todos los valores), solamente puedes retirar 2
monedas cualquiera, ¿tendrás certeza de cuánto suman ambas?,
¿qué posibles resultados pueden darse?
Conociendo a un nuevo compañero, le dices cuál es tu equipo
favorito de futbol, luego le preguntas si su equipo favorito es el
mismo que el tuyo, ¿qué posibles respuestas podrías obtener?
¿Te adelantarías a asegurar lo que responderá?
Si lanzas un dado al aire, y estudias el número resultante en la
cara superior ¿qué posibles resultados existen?
8. ¿Qué tienen en común estos experimentos, teniendo en cuenta sus
resultados?
9. ¿Cuáles son las diferencias que encuentra entre los dos grupos de
situaciones?
10. Un niño tiene el día Lunes clases de Matemática, Música, Español,
Historia y Artes. Su madre ha forrado todos sus cuadernos del mismo
color
En cierto momento, el niño saca un cuaderno al azar desde su mochila
¿a qué asignatura corresponderá el seleccionado?
Su compañero le pide prestado el cuaderno de Ciencias Naturales ¿es
posible que el niño encuentre este cuaderno en la mochila?
¿Qué tan posible es que el niño saque un cuaderno de una materia cuyo
nombre tenga más de cuatro letras?
PARTE II
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA ESTADÍSTICA
Alejandro Gualteros
Carlos Andrés León
Simulación con Cabri II
1. Abra el documento que se llama figura 1, allí se presenta una construcción que permite lanzar un
punto aleatoriamente dentro de un rectángulo, para observar esto haga doble clic sobre el valor
de N, cambie este valor bien sea usando las flechas o escribiendo un número.
2. ¿Cuál cree que es la posibilidad de que el punto caiga en la parte azul del rectángulo?
62
3. Ahora vaya a la opción animación que se encuentra en el segundo menú de derecha a izquierda,
señale la tabla y luego haga clic sobre el valor de N y sin soltar arrastre el mouse hacia abajo
suavemente, inmediatamente observará que se realizaran una cantidad numerosa de repeticiones
del experimento y en la tabla quedara consignado si el punto P queda en la región azul o en la
blanca, uno cuando quede en lo azul y espacio en blanco cuando quede en la región blanca.
4. Usando los valores de la tabla de Cabri realice una tabla de frecuencias absolutas usando y
relativas usando Excel, para esto siga estos pasos:
Seleccione la tabla de Cabri con el cursor y una vez seleccionas oprima ctrl+C
Abra el documento de Excel llamado simulación señale la celda A2 y oprima ctrl+V
Ahora diríjase al menú de insertar y selecciona la opción tabla dinámica, ahí aparecerá
una ventana donde dice tabla o rango seleccione todos los datos validados incluyendo el
título y en la opción “elija donde desea colocar el informe de tabla dinámica” seleccione
la opción hoja de cálculo existente y en el espacio en blanco seleccione la celda donde
quedará la tabla dinámica.
Aparecerá un menú de la tabla dinámica, arrastre el rotulo de “valores validados” en el
recuadro inferior izquierdo.
Tome nuevamente este rotulo y ubíquelo en el recuadro inferior derecho.
Teniendo la tabla de frecuencias absolutas calcule las frecuencias relativas para cada
variable estadística.
Nota: Cada una de las frecuencias relativas es una aproximación de las probabilidades que ese evento
ocurra.
5. Determine ventajas y desventajas de usar esta concepción para asignar probabilidades.
6. Teniendo en cuenta las condiciones del experimento aleatorio determine cuáles deben ser las
condiciones para un evento seguro e imposible. Determine el espacio muestral del experimento
inicial.
PARTE III
FACULTAD DE CIENCIA Y
TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ENSEÑANZA Y APRENIZAJE DE LA ESTADÍSTICA
Alejandro Gualteros
Carlos León
NOMBRE: _____________________________ FECHA______________
EVALUACIÓN 1
Pregunta 1:
Explique qué es un experimento aleatorio y diga que otros tipos de experimentos hay y
cuáles son sus diferencias con el experimento aleatorio.
Pregunta 2:
Considere la siguiente situación:
63
Juan y María lanzan cada uno 3 dados 10 y 100 veces respectivamente y anotan los
resultados de cada uno de ellos. Consideran el evento A que resulte 1, 2, 3. Para
aproximar la probabilidad realizan la tabla de frecuencias relativas para todos los
resultados y afirman que la probabilidad del evento A es del 10%. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es la correcta?
a. La aproximación de Juan es correcta, porque realizó todos los procedimientos
necesarios, mientras que María realizó muchas experimentaciones que no eran
necesarias.
b. Las aproximaciones de Juan y María son correctas, porque realizaron todos los
procedimientos necesarios.
c. La aproximación de Juan no es correcta, porque realizó muy pocas repeticiones del
experimento.
d. La aproximación de Juan no es correcta, porque la probabilidad de este resultado es
del 50% ya que solo hay dos posibilidades que salga o que no salga.
Pregunta 3:
Un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados y anotar su suma, a continuación
se presenta la tabla de frecuencias absolutas:
Teniendo en cuenta la información de la tabla diga cuál de los siguientes eventos tiene
mayor probabilidad de ocurrencia:
a. Que la suma sea múltiplo de dos y de tres.
b. Que la suma sea múltiplo de dos o de tres.
c. Que la suma sea 7, porque su probabilidad es del 80%.
d. No se puede saber, porque todos tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Pregunta 4:
Un jugador quiere calcular la probabilidad de sacar un número menor o igual que 2 al
lanzar un dado. ¿Cuál de los siguientes procedimientos es el más confiable para
aproximar esa probabilidad?
64
a. Afirmar que es el 50%, ya que existen dos posibles casos: (1) Que el número sea
menor o igual que 2, (2) Que el número sea mayor que 2
b. Soplar los dados (para la buena suerte) y decir que la probabilidad es muy alta.
c. Realizar 300 lanzamiento y calcular la frecuencia relativa de los números menores o
iguales que 2.
d. Realizar 2 lanzamientos para decir si es el 0%, 50% o 100%.
Pregunta 5:
Se desea calcular la probabilidad que el resultado del lanzamiento de un dado sea un
número par a partir de las frecuencias relativas. Mencione cuáles son los pasos
necesarios para llevar a cabo esto y calcúlela.
Pregunta 6:
A continuación se muestra el resultado de 300 simulaciones del lanzamiento de un dado
realizada en Excel:
¿Cuál sería el procedimiento a seguir para calcular la probabilidad de que salga 4, y por
qué?
65
ANEXO B. ACTIVIDADES PRÁCTICA I.P.E.
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Carlos Andrés León
UN DÍA DEL AZAR
Un día de la semana te levantas temprano para ir al colegio, para llegar debes
ingresar a la estación de Transmilenio más cercana de tu casa, allí esperas
alguna de todas las posibles rutas que te sirven para llegar hasta Nariño. ¿Cuál
de las rutas que te sirven será la que pase primero? Cuando te hayas subido al
bus sabrás exactamente: ¿cuántas personas hay en el bus? ¿Cuántas personas
se subirán a cantar en el bus? ¿Cuántas paradas en otras estaciones hará el
bus? Y finalmente ¿Cuánto tiempo tardará el recorrido?
Cuando llegas al colegio encuentras a Lesmes y Galindo hablando sobre la
novela que vieron la noche anterior ¿Será la de Diomedes, Lady, Las
hermanitas Calle, Tu voz Kids u otra?, luego ves a Bareño y Páez jugando
Mortal Kombat en sus celulares ¿Quién ganará? Al comenzar la clase de
Matemáticas la profe Claudia y el profe Carlos llegan de mal genio y aplican
un cuestionario ¿Puedes saber cuántas preguntas tendrá? Luego llega el
profesor de Español y hace su clase ¿Sabrás a qué hora terminará su clase (si
no se presentan eventualidades y toda la clase se desarrolla a la perfección)?
Al finalizar la clase suena el timbre para ir al descanso ¿Sabrás a dónde te
dirigirás al descanso? Luego decides jugar un partido de microfútbol con tus
amigos ¿Ganarás o perderás el partido? ¿Cuántos goles harás? Se acaba el
descanso y tienes clase de Sociales ¿Puedes saber el salón en el que te toca esa
clase? ¿Qué tarea dejará el profesor? ¿El profesor te sorprenderá molestando a
tus amigos?
Luego sales del colegio y te diriges a tu casa pero no te queda dinero para el
pasaje y tratas de colarte ¿Podrás hacerlo?, antes de llegar a tu casa te
sorprende un ladrón y quiere robarte ¿Con qué arma tratará de hacerlo? ¿Te
robará el bicho? ¿Lo atrapará la policía? Al llegar a la casa prendes la televisión
¿En cuál canal estará?, al pasar los canales ves que hay un partido de fútbol:
Real Madrid Vs Alianza Petrolera ¿Quién va a ganar?
66
Al llegar la noche quieres ver Los Simpson en Fox ¿A qué hora empezará el
programa? Luego te empieza a dar sueño y decides irte a dormir para
continuar tu rutina de azar al siguiente día.
Subraya las preguntas del texto que puedes responder con certeza
¿Por qué razón crees que no es posible asegurar el resultado de las otras
situaciones?
¿Qué característica común encuentras en estas situaciones?
¿Es posible predecir el resultado de algunas preguntas de la historia?
¿Es posible decir que en estos ejemplos entra en juego el factor suerte?
¿Por qué?
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Carlos Andrés León
Experimentando en lo cotidiano
1. Lea con atención las siguientes situaciones y conteste las preguntas que
se plantean:
La mamá de Marta le pide que cuide la sopa que está en la estufa y le
apague una vez esté lista, mientas va a recoger a su hermanito menor y
lo lleva al médico, Marta muy obediente le dice a su mamá que sí, ella se
pone a jugar en su computador y se le olvida que debe mirar la sopa,
luego de 4 horas se acuerda y va muy preocupada a revisar. ¿puedes
decir con seguridad qué le paso a la sopa?
67
Una niña tiene 3 monedas de $200, le pide a su papá 3 monedas, del
mismo valor, ¿puedes decir con seguridad cuánto dinero posee ahora la
pequeña?
Juan compra una libra de sal, para realizar el siguiente experimento
toma un vaso lleno de agua y le echa la libra de sal. ¿puedes decir con
seguridad cuál será el sabor del agua del vaso?
¿Si se repiten 50 veces estas situaciones (bajo las mismas condiciones)
cambiará el resultado que predijiste? Justifica tu respuesta.
¿Qué tienen en común estos experimentos, teniendo en cuenta sus
resultados?
2. Lea con atención las siguientes situaciones y conteste las preguntas que
se plantean:
Si se contabiliza el número de vehículos que transitan por la esquina
del colegio durante el día. Podrías adelantarte a asegurar, ¿cuántos
autos pasarán entre las 10 y las 12 horas? Justifica tu respuesta.
En un partido cualquiera del Chelsea, se analiza la cantidad de tiros
que falla Falcao durante el transcurso del juego ¿puedes decir con
seguridad cuál será el total de tiros fallados antes del partido?
Justifica tu respuesta.
Se le pide a Martin que saque una carta de una baraja de 52 cartas,
¿puedes decir con seguridad el color de la carta que saco Martin?
Justifica tu respuesta.
Tienes la posibilidad de revisar tu Facebook solamente los días
Domingo, ¿Puedes decir con seguridad cuántos mensajes tienes sin
leer? Justifica tu respuesta.
¿Si se repiten 50 veces estos experimentos (bajo las mismas
condiciones) cambiará el resultado que predijiste? Justifica tu
respuesta.
¿Qué tienen en común estos experimentos, teniendo en cuenta sus
resultados?
3. ¿Cuáles son las diferencias que encuentra entre las situaciones de la
pregunta 1 y la pregunta 2?
68
4. Conteste las preguntas que se plantean en cada situación
De una alcancía tratas de sacar unas monedas (la alcancía tiene
monedas de todos los valores), solamente puedes retirar 2
monedas cualquiera, ¿tendrás certeza de cuánto suman ambas?,
¿qué posibles resultados pueden darse?
Conociendo a un nuevo compañero, le dices cuál es tu equipo
favorito de futbol, luego le preguntas si su equipo favorito es el
mismo que el tuyo, ¿qué posibles respuestas podrías obtener?
¿Te adelantarías a asegurar lo que responderá?
Si lanzas un dado al aire, y estudias el número resultante en la
cara superior ¿qué posibles resultados existen?
5. Un niño tiene el día Lunes clases de Matemática, Música, Español,
Historia y Artes. Su madre ha forrado todos sus cuadernos del mismo
color
En cierto momento, el niño saca un cuaderno al azar desde su mochila
¿a qué asignatura corresponderá el seleccionado?
Su compañero le pide prestado el cuaderno de Ciencias Naturales ¿es
posible que el niño encuentre este cuaderno en la mochila?
¿Qué tan posible es que el niño saque un cuaderno de una materia cuyo
nombre tenga más de cuatro letras?
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Carlos León
EVALUACIÓN
Pregunta 1:
Explique qué es un experimento aleatorio y diga que otros tipos de experimentos hay y
cuáles son sus diferencias con el experimento aleatorio.
69
Pregunta 2:
Considere la siguiente situación:
Juan y María lanzan cada uno 3 dados 10 y 100 veces respectivamente y anotan los
resultados de cada uno de ellos. Consideran el evento A que resulte 1, 2, 3. Para
aproximar la probabilidad realizan la tabla de frecuencias relativas para todos los
resultados y afirman que la probabilidad del evento A es del 10%. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es la correcta?
a. La aproximación de Juan es correcta, porque realizó todos los procedimientos
necesarios, mientras que María realizó muchas experimentaciones que no eran
necesarias.
b. Las aproximaciones de Juan y María son correctas, porque realizaron todos los
procedimientos necesarios.
c. La aproximación de Juan no es correcta, porque realizó muy pocas repeticiones del
experimento.
d. La aproximación de Juan no es correcta, porque la probabilidad de este resultado es
del 50% ya que solo hay dos posibilidades que salga o que no salga.
Pregunta 3:
Luego de lanzar el dado diez veces se tomaron los siguientes datos: 5, 6, 1, 4, 5, 2, 3, 3,
3, 3. ¿Qué tan probable es que salga 3 en el siguiente lanzamiento y por qué?
Pregunta 4:
Se lanzó 10 veces una moneda y se anotaron los resultados C, S, C, S, C, S, C, S, C, S
¿Cree que es posible obtener estos resultados y por qué?
Pregunta 5:
Se desea calcular la probabilidad que el resultado del lanzamiento de un dado sea un
número par a partir de las frecuencias relativas. Mencione cuáles son los pasos
necesarios para llevar a cabo esto y calcúlela.
70
ANEXO C. AUTOEVALUACIÓN DE EXPERTICIA
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Alejandro Gualteros
Carlos León
Apreciado(a) docente
El OBJETIVO del presente cuestionario es determinar su nivel de experticia en relación
con el proceso de enseñanza aprendizaje de la probabilidad frecuencial, y por ende el
desarrollo del razonamiento probabilístico frecuencial2
Por lo anterior le pedimos el favor de diligenciar por completo y de forma verídica la
siguiente información.
A. INFORMACIÓN SOBRE EL EXPERTO
Nombre:
Género:
Edad:
Nivel de educación:
Cargo que desempeña:
País:
Ciudad:
Institución donde labora:
Años de experiencia:
Marque una equis (X) en la tabla siguiente, la casilla que refleja su nivel de
conocimiento acerca de la enseñanza aprendizaje de la probabilidad freciencial.
1. Considere que la escala que se le presenta es ascendente, es decir, el número 10
corresponde al mayor nivel, 9 al siguiente y así sucesivamente hasta el número 0 que
corresponde al menor nivel de conocimiento.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 Entiéndase por razonamiento probabilístico frecuencial como aquel que está relacionado con la
experimentación o simulación de situaciones aleatorias, el cálculo e interpretación de la probabilidad
desde la noción frecuencial.
71
2. Realice una evaluación del grado de influencia que cada una de las fuentes que se
presentan a continuación, ha tenido en su conocimiento y criterios sobre el
razonamiento probabilístico y su enseñanza. Para ello marque con una cruz (X), según
corresponda, en A (alto), M (medio) o B (bajo).
FUENTES DE ARGUMENTACIÓN
GRADO DE INFLUENCIA DE CADA UNA DE
LAS FUENTES ES SUS CRITERIOS
ALTO (A) MEDIO (M) BAJO (B)
1. Investigaciones teóricas y/o experimentales
relacionadas con el tema.
2. Experiencia obtenida en la actividad
profesional (docencia en educación básica,
pregrado y/o posgrado)
3. Análisis de literatura especializada y
publicaciones de autores nacionales relacionadas
con el tema.
4. Análisis de literatura especializada y
publicaciones de autores extranjeros relacionadas
con el tema.
5. Conocimiento del estado actual de la
problemática en algunos contextos del país.
6. Intuición
72
ANEXO D. RESULTADOS AUTOEVALUACIÓN Fa Y Nc
Fuentes de Argumentación % Fuentes de Argumentación
Experto F1 F2 F3 F4 F5 F6 %F1 %F2 %F3 %F4 %F5 %F6 Fa
1 A A A A A A 0,05 0,5 0,1 0,2 0,1 0,05 1
2 A A M A M B 0,05 0,5 0,1 0,2 0,1 0,05 1
3 A A A A B B 0,05 0,5 0,1 0,2 0,05 0,05 0,95
4 A A A A M B 0,05 0,5 0,1 0,2 0,1 0,05 1
5 M A M B A A 0,05 0,5 0,1 0,05 0,1 0,05 0,85
6 A A M A M A 0,05 0,5 0,1 0,2 0,1 0,05 1
7 A A A A A A 0,05 0,5 0,1 0,2 0,1 0,05 1
8 A A M A B M 0,05 0,5 0,1 0,2 0,05 0,05 0,95
9 M A M B B M 0,05 0,5 0,1 0,05 0,05 0,05 0,8
10 A A B A M M 0,05 0,5 0,05 0,2 0,1 0,05 0,95
11 A A M A M A 0,05 0,5 0,1 0,2 0,1 0,05 1
12 M A B A M M 0,05 0,5 0,05 0,2 0,1 0,05 0,95
13 M A B A B A 0,05 0,5 0,05 0,2 0,05 0,05 0,9
14 M A M M M M 0,05 0,5 0,1 0,1 0,1 0,05 0,9
15 A B M A M M 0,05 0,25 0,1 0,2 0,1 0,05 0,75
Resultados Autoevaluación Nivel de Conocimiento del tema de los 15 expertos
Experto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Nc 10 7 8 9 8 9 9 8 9 7 10 8 6 6 6
73
ANEXO E. LISTA DE EXPERTOS
Nombre
Nivel de
Educación
Años de
Experiencia País
Raimundo José Elicer Coopman Magister 5 Chile
Jeisson Camilo Sua Flórez Magister 5 Colombia
Karen Yissed Torres
Mondragón Magister 5 Colombia
Karen Yulemy Hernández Magister 8 Colombia
Diana Milena Montoya Cortés Magister 10 Colombia
Tulia Esther Rivera Flórez Magister 10 Colombia
William Alfredo Jiménez
Gómez Magister 10 Colombia
Claudia Patricia Mancipe
Caicedo Magister 12 Colombia
Felipe Jorge Fernández
Hernández Magister 13 Colombia
Jack Edwardo Toloza
Fernández Magister 14 Colombia
Jesús Humberto Cuevas Acosta Doctoral 18 México
Julia Elena Sanoja Doctoral 25 Venezuela
Héctor Oswaldo Puerto Moreno Magister 25 Colombia
Santiago Inzunza Cazares Doctoral 29 México
Cileda de Queiroz e Silva
Coutinho Doctoral 35 Brasil
74
ANEXO F. NIVEL DE COMPETENCIA DE LOS EXPERTOS
EXPERTO F.A. (Coeficiente
de argumentación)
N.C. (Nivel de
conocimiento)
G.C. (Grado de
competencia)
Nivel de
Competencia
1 1 10 1 ALTO
2 1 7 0,85 ALTO
3 0,95 8 0,875 ALTO
4 1 9 0,95 ALTO
5 0,85 8 0,825 ALTO
6 1 9 0,95 ALTO
7 1 9 0,95 ALTO
8 0,95 8 0,875 ALTO
9 0,8 9 0,85 ALTO
10 0,95 7 0,825 ALTO
11 1 10 1 ALTO
12 0,95 8 0,875 ALTO
13 0,9 6 0,75 MEDIO
14 0,9 6 0,75 MEDIO
15 0,75 6 0,675 MEDIO
75
ANEXO G. PROPUESTA ENVIADA
Introducción
A continuación se presenta el producto de un trabajo de grado en el marco de la Licenciatura en
Matemáticas del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la Universidad
Pedagógica Nacional, el cual aborda una propuesta de categorías que permiten identificar el nivel de
desarrollo del pensamiento aleatorio en cuanto a la probabilidad frecuencial.
Esta propuesta surge a partir de las necesidades observadas por los autores en la práctica pedagógica del
espacio académico Enseñanza y Aprendizaje de Estadística que se realizó a finales del año 2014, para ello
diseñaron y aplicaron una serie de actividades, las cuales tenían como objetivo enseñar y evaluar el
aprendizaje de la probabilidad en estudiantes de 7° grado, los maestros en formación deciden abordar esto
desde la noción frecuencial, ya que esta noción evidencia la relación entre la estadística y la probabilidad.
Se evidencia que los criterios para realizar una categorización respecto al desarrollo del pensamiento
aleatorio son limitados en comparación a los otros pensamientos (numérico, variacional, espacial).
Partiendo de lo anterior se plantea un objetivo general: Formular una propuesta que permita caracterizar
el desarrollo del pensamiento aleatorio en relación con la probabilidad frecuencial. Para ello se realizó
una revisión de algunas propuestas que permiten caracterizar este desarrollo mediante la implementación
de niveles, en esta revisión se destacan los trabajos realizados por Landín y Sánchez (2010) y Sánchez y
Valdez (2013), ya que en estos se plantean cuatro niveles que permiten caracterizar el razonamiento
acerca de las distribuciones binomiales y las nociones de probabilidad clásicas, frecuencial y subjetiva
respectivamente, sin embargo no presentan indicadores para poder ubicar el razonamiento de cada
individuo en los respectivos niveles, por ende no son de fácil adaptación para un objeto probabilístico
diferente, también se considera que no son herramientas cercanas para el profesor de matemáticas del aula
de la educación básica. Atendiendo a estas falencias se diseñan unos niveles específicamente para la
probabilidad frecuencial, que contengan indicadores que permiten a cualquier profesor identificar el nivel
de desarrollo del razonamiento probabilístico frecuencial.
En el campo del pensamiento aleatorio o estadístico, algunas propuestas de enseñanza y aprendizaje
toman como punto de partida para caracterizar dicho pensamiento la taxonomía Structure of Observed
Learning Outcomes [SOLO] propuesta por Biggs y Collis (1982), una de las conclusiones de esta teoría
es que los estadios de desarrollo de Piaget son engañosos a la hora de clasificar la respuesta de un
estudiante, dado que estas etapas se basan en la edad y no en los conocimientos que el sujeto pueda tener
de un tema, por tanto un adulto que según Piaget se encuentra en el estadio operatorio formal debe
resolver un problema de manera abstracta, pero Biggs y Collins sostienen que no es posible resolverlo de
manera abstracta si no está familiarizado con el problema, de esta manera Biggs y Collins plantearon unos
criterios que permiten la elaboración de los niveles de la taxonomía SOLO:
El nivel de atención y memoria.
El establecimiento de relaciones y asociaciones.
La consistencia y la elaboración teórica.
De este modo Biggs y Collins, presentaron en 1982 una propuesta para evaluar los diferentes niveles de
complejidad estructural en los resultados de aprendizaje alcanzados:
Nivel Descripción
I. Preestructural Respuesta centrada en aspectos irrelevantes de la propuesta de trabajo, con contestaciones
evasivas o tautológicas del trabajo.
II. Uniestructural Respuestas que contienen datos informativos obvios, los cuales han sido extraídos directamente
del enunciado.
76
III.
Multiestructural
Respuestas que requieren de dos o más informaciones del enunciado, los cuales siendo
obtenidas directamente de éste, son analizadas separadamente, no de forma interrelacionada.
IV. Relacional Respuestas extraídas tras el análisis de los datos del problema, integrando la información en un
todo comprensivo. Los resultados se organizan formando una estructura.
V. Abstracción
Expandida
Respuestas que manifiestan la utilización de un principio general y abstracto que puede ser
inferido a partir del análisis sustantivo de los datos del problema y que es generalizable a otros
contextos.
Tabla 1. Niveles Taxonomía SOLO.
Desarrollo de la propuesta
Teniendo en cuenta los aspectos identificados anteriormente respecto al razonamiento probabilístico, se
generan indicadores sobre conceptos, sesgos y tratamiento de los datos recolectados a partir de
experimentos aleatorios, datos necesarios para la asignación de probabilidad desde una noción
frecuencial. Usando dichos indicadores se establecen las posibles relaciones entre ellos para poder, a
partir de ello, caracterizar el razonamiento ubicando su desarrollo en un determinado nivel.
Indicadores
A continuación se presenta la Tabla 2, en la que se clasifica y describen sesgos, conceptos, y el
tratamiento que se le dan a los datos, esto en relación con la asignación de probabilidad desde una noción
frecuencial.
Categoría Indicadores/Descripción
Conceptos
C1: Las respuestas evidencian un carácter evasivo ya que se desconocen los procedimientos y
conceptos para cuantificar la ocurrencia de un evento.
C2: Identifica y clasifica situaciones donde está presente el azar y la aleatoriedad.
C3: Define espacio muestral de un experimento aleatorio clasificando los tipos de eventos.
C4: Compara secuencias aleatorias en términos de más probable que, menos probable que o
igualmente probables.
C5: Calcula la probabilidad frecuencial de un evento sin reconocer la necesidad de la repetitividad del
experimento y por ende realiza pocas experimentaciones.
C6: Calcula la frecuencia relativa de un evento partiendo del número necesario de experimentaciones o
simulaciones para que dichas frecuencias tiendan a estabilizarse.
C7: Calcula la frecuencia relativa de un evento teniendo en cuenta su límite estocástico, es decir, la
cercanía existente entre la probabilidad real y la experimental.
Sesgos
S1: Determinista: No reconoce ni diferencia las situaciones azarosas de las que no lo son.
S2: Falacia del Jugador Tipo I y II: Predice el resultado de un experimento basado en rachas favorables
o no favorables.
S3: Concepción Errónea del Azar: Considera que las secuencias aleatorias nunca pueden tener algún
patrón.
S4: Atribuciones Flexibles: Intenta manipular el resultado de un experimento aleatorio a partir de
creencias personales o mitos.
S5: Confirmatorio: Considera la probabilidad frecuencial partiendo de la frecuencia absoluta de un
evento.
S6: Insensibilidad al Tamaño de la Muestra: Aproxima una probabilidad partiendo de un número muy
pequeño de simulaciones.
S7: Equiprobabilidad: Calcula e interpreta la frecuencia relativa como una aproximación de
probabilidad pero considera a priori que todos los eventos definidos sobre un experimento
aleatorio son igualmente probables.
S8: No presenta ningún sesgo.
Tratamiento
de datos
T1: Desarrolla experimentos aleatorios, sin tener en cuenta si se llevan a cabo bajo idénticas
condiciones.
T2: Realiza experimentos aleatorios teniendo en cuenta que se deben hacer bajo idénticas condiciones
para que su resultado sea confiable.
T3: Diseña experimentos aleatorios teniendo en cuenta las condiciones necesarias para que su
77
resultado sea confiable.
T4: Manipula herramientas tecnológicas que le permiten simular experimentos aleatorios.
T5: Reconoce la validez de los datos y es capaz de trabajar con los resultados de simulaciones hechas
por él mismo o por otros.
T6: Asigna probabilidades basándose en resultados de experimentos propios o ajenos, además
reconoce el propósito de realizar las simulaciones e interpreta la probabilidad.
Tabla 2. Indicadores del razonamiento probabilístico frecuencial.
De esta manera, los indicadores de las categorías conceptos y tratamiento de datos son “acumulables” a
excepción del primer indicador de cada una de estas dos categorías, por ejemplo, si está presente el
indicador T5 implica que los indicadores T2, T3 y T4 también lo están. Por otra parte los indicadores de
sesgo no son “acumulables”, por tanto la presencia de uno no implica la presencia de los anteriores.
Caracterización de los niveles
Partiendo de la descripción realizada para cada indicador, se construye la Tabla 3 que contiene la
clasificación de dichos indicadores según su complejidad estructural. Esta clasificación se realiza con
base en los cinco niveles de complejidad propuestos en la Taxonomía SOLO.
Nivel de Complejidad Indicadores
Preestructural S1; C1; S5; S2; S4.
Uniestructural C2; C3; S2; S3; S4; S5; S7; T1.
Multiestructural C3; C5; S5; S6; T2; T5.
Relacional C6; C4; S8; T5; T4; T3.
Abstracción Expandida C7; S8; T6. Tabla 3. Clasificación de indicadores.
A continuación, se definen los niveles del razonamiento probabilístico frecuencial entendiendo este
razonamiento como aquel que está relacionado con la experimentación o simulación de situaciones
aleatorias, el cálculo e interpretación de la probabilidad desde la noción frecuencial, a partir de las
relaciones existentes entre los indicadores (Tabla 6) clasificados en cada nivel de complejidad estructural
(Tabla 7). Estas relaciones se identifican usando ejemplos de respuestas y argumentos de estudiantes de
secundaria y maestros en formación sobre algunas situaciones azarosas.
Estos ejemplos de respuesta son tomados de diferentes espacios y experiencias académicas de los autores
de esta propuesta. Dentro del plan de estudios del Proyecto Curricular de la Licenciatura en
Matemáticas (PCLM) de la Universidad Pedagógica Nacional (UPN) se propone el espacio académico
Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística, en el cual los estudiantes inician su acercamiento con la
didáctica de la estadística y de la probabilidad. Este espacio fue cursado en el periodo académico 2014-2
(de Agosto a Diciembre de 2014), en el cual se diseñó una seria de actividades que permitieran la
introducción de la probabilidad a estudiantes de grado séptimo del Colegio Mercedario San Pedro
Nolasco; dado que los estudiantes no habían tenido un acercamiento con la probabilidad se escogió la
noción frecuencial para abordar este concepto matemático, ya que esta noción facilita el paso de la
estadística a la probabilidad. Algunas actividades fueron adaptaciones de las propuestas didácticas de
González (2008) y Coutinho (2001), para finalizar ese proceso de enseñanza los maestros en formación
diseñaron una evaluación de selección múltiple con única respuesta para identificar los posibles sesgos en
el razonamiento de los estudiantes.
En el periodo académico 2015-2 (de Agosto a Diciembre de 2015) los autores de esta propuesta cursan el
espacio académico Práctica de Integración Profesional a la Escuela, en el cual se realizan modificaciones
de las actividades propuestas en el espacio académico Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística
atendiendo a las dificultades observadas en la aplicación de los talleres, luego de las modificaciones se
aplicaron a estudiantes de grados noveno y décimo de dos colegios oficiales (Escuela Normal Superior
Distrital María Montessori y Colegio Técnico Comercial Manuela Beltrán IED).
78
Finalmente se recolectó información de posibles respuestas a tareas relacionadas con la probabilidad
frecuencial en el marco de la XXXV Jornada del Educador Matemático3 (30 de septiembre, 1° y 2 de
octubre de 2014) mediante un pilotaje a maestros en formación de las actividades correspondientes a la
práctica del espacio académico Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística.
Nivel 1 (Preestructural)
El razonamiento probabilístico ubicado en este nivel refleja la modelación de las situaciones aleatorias
bajo un modelo determinista (sesgo S1), por ende las respuestas de los individuos son evasivas,
evidenciando el desconocimiento de los elementos relacionados con la cuantificación del azar, además
sus argumentos se asocian a otros sesgos como: S5, S2 y S4. Por ende aun no es posible que se tenga un
tratamiento de los datos, cuando no acepta la aleatoriedad. Ejemplo de razonamiento en este nivel se
puede ver en situaciones tales como:
Situación Ejemplos de respuesta Características
Juan todos los días para ir al colegio
debe ingresar a la estación de
Transmilenio más cercana de su
casa, allí espera alguna de todas las
posibles rutas que le sirven para
llegar hasta la estación cercana al
colegio. ¿Cuál de las rutas que le
sirven será la que pase primero? ¿Por
qué razón crees que no es posible
asegurar el resultado de esta
situación?
No sé cuál pase primero,
porque no conozco el futuro.
Este tipo de respuesta refleja un carácter
evasivo, ya que se sabe que no es posible
asegurar el resultado de una situación
azarosa pero se puede tratar de predecir el
resultado partiendo del espacio muestral
del experimento y la equiprobabilidad o no
de los puntos muestrales, es evidente la
presencia de C1.
Siempre pasa el Ruta Fácil,
porque es el que pasa más.
En esta respuesta refleja el sesgo
determinista y sus argumentos muestran
cómo se relaciona este sesgo con el sesgo
confirmatorio, por tanto se identifica la
relación existente entre S1 y S5.
En un partido cualquiera del
Chelsea, se analiza la cantidad de
tiros que falla Falcao durante el
transcurso del juego ¿puedes decir
con seguridad cuál será el total de
tiros fallados antes del partido?
Justifica tu respuesta.
Todos porque él no está
haciendo goles.
En esta situación se identifica la presencia
de los sesgos determinista y falacia del
jugador, ya que basa su respuesta en una
racha. Relación entre S2 y S1.
Si todos, porque estoy seguro
que no va a hacer goles en ese
partido.
Esta respuesta evidencia un carácter
netamente determinista, se identifica la
presencia del indicador S1.
¿Cuál es el resultado al lanzar un
dado?
Seis, porque los sople y eso me
da suerte y siempre voy a sacar
el mayor número.
Modela la situación de manera
determinista a partir de mitos. Se
evidencia la presencia de S1 y S4.
Tabla 4. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 1.
Ya que el razonamiento de este nivel se caracteriza por modelar toda situación de manera determinista
esto hace que se omita la información experimental o del enunciado, por ende el tratamiento de los datos
es nulo, de ahí que en este nivel no está presente algún indicador de tratamiento de datos.
Nivel 2 (Uniestructural)
El razonamiento probabilístico en este nivel se caracteriza por el reconocimiento del azar y los tipos de
eventos (C2 y C3), pero se desconocen las características fundamentales para realizar una aproximación de
la probabilidad cercana a la real, ya que la información usada en este proceso es obtenida directamente de
las condiciones de los problemas sin cuestionar su validez, omitiendo su análisis; es decir trabaja con los
3 Este evento se realiza semestralmente en la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en el cual estudiantes y
profesores de la Licenciatura en matemáticas, e invitados profesionales en el ámbito de la Educación Matemática se
encargan de preparar y ejecutar conferencias, concursos, talleres, etc., para toda la comunidad universitaria.
79
datos presentados en los enunciados sin tener en cuenta la existencia de otros conjuntos de datos que
permiten hacer inferencias sobre el comportamiento futuro de los experimentos (T1), además de se
reconoce la existencia de varios sesgos que interfieren en la aproximación de la probabilidad (Sn), por
ejemplo:
Situación Ejemplos de respuesta Características
Luego de lanzar el dado diez veces se
tomaron los siguientes datos: 5, 6, 1, 4,
5, 2, 3, 3, 3, 3. ¿Qué tan probable es que
salga 3 en el siguiente lanzamiento y
por qué?
Es muy probable porque en
los últimos lanzamientos ha
salido el tres.
En esta respuesta se evidencia el
reconocimiento del azar, pero está basada
en rachas. Por tanto están presentes los
indicadores C2 y S2.
Es del 50% porque existen
dos posibilidades: que salga
o no.
Es claro que en esta respuesta se reconoce
la presencia del azar, pero cree que
cualquier evento tiene un 50% de
ocurrencia, de esta manera se evidencian
la relación de los indicadores C2 y S7.
Se seleccionaron 5 dados que difieren
en su tamaño y peso, realice 20
lanzamientos de un dado para
identificar cuál es la probabilidad de
que el resultado dé un número par.
A) ¿Los 20 lanzamientos los haría con
un solo dado o con varios? ¿Por qué?
B) Realice la tabla de frecuencias para
dichos lanzamientos y diga cuál es la
probabilidad que salga un número par.
A) Los hice con más de un
dado para que los resultados
sean más variables.
B) 15% porque en 15
lanzamientos salieron
números pares.
Estas respuestas evidencian que se realiza
el experimento sin mantener las mismas
condiciones, además se calcula la
probabilidad partiendo de la frecuencia
absoluta. Indicadores T1; C3; S5.
Se lanzó 10 veces una moneda y se
anotaron los resultados C, S, C, S, C, S,
C, S, C, S ¿Cree que es posible obtener
estos resultados y por qué?
No es posible porque están
intercalados.
Esta respuesta refleja que se cree que una
secuencia aleatoria no puede tener algún
patrón y ser producto del azar. Por tanto
está presente el indicador S3.
Sí porque si lanzo la moneda
con la mano derecha
obtengo cara y con la mano
izquierda obtengo sello.
Se evidencia la presencia del indicador S4.
Tabla 5. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 2.
Nivel 3 (Multiestructural)
El razonamiento probabilístico que se encuentre en este nivel se caracteriza por analizar información
obtenida directamente de los enunciados, pero dicho análisis se hace de manera separada (Tn), es decir,
tiene los conceptos necesarios para dar respuesta a las preguntas (Cn) pero la falta de asociación de estos
conceptos con el contexto de los problemas, impide dar la respuesta correcta ya que los argumentos
presentados permiten inferir la presencia de sesgos (Sn). Además el razonamiento utilizado para resolver
los ejercicios o problemas se hace sin tener en cuenta los análisis realizados en ejercicios anteriores.
Situación Ejemplos de respuesta Características
Considere la siguiente situación:
Juan y María lanzan cada uno 3 dados
10 y 100 veces respectivamente y
anotan los resultados de cada uno de
ellos. Consideran el evento A que
a. La aproximación de
Juan es correcta, porque
realizó todos los
procedimientos
necesarios.
En esta respuesta se trabaja con datos
recolectados por otros, pero no se tiene en
cuenta la cantidad de simulaciones, es decir,
están presentes los indicadores T5 y S6.
80
resulte 1, 2, 3. Para aproximar la
probabilidad realizan la tabla de
frecuencias relativas para todos los
resultados y afirman que la probabilidad
del evento A es del 10%.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
la correcta?
a. La aproximación de Juan es correcta,
porque realizó todos los procedimientos
necesarios, mientras que María realizó
muchas experimentaciones que no eran
necesarias.
b. Las aproximaciones de Juan y María
son correctas, porque realizaron todos
los procedimientos necesarios.
c. La aproximación de Juan no es
correcta, porque realizó muy pocas
repeticiones del experimento.
b. Las aproximaciones de
Juan y María son
correctas, porque
realizaron todos los
procedimientos
necesarios.
Esta respuesta refleja trabajo con datos ajenos
y el análisis de cada procedimiento, sin
embargo el número de simulaciones no es un
factor relevante. Por tanto se ve la relación
entre los indicadores T5 y C5.
Se desea determinar la probabilidad de
que el resultado del lanzamiento de un
dado sea un número par a partir de las
frecuencias relativas. Mencione cuáles
son los pasos necesarios para llevar a
cabo esto.
Coger un dado y lanzarlo
20 veces de la misma
forma, y anotar el
resultado de cada
lanzamiento. Luego
agrupar los números que
son pares y los que no lo
son, y calcular la
frecuencia relativa de los
pares.
En esta respuesta se identifica la necesidad de
realizar las experimentaciones bajo idénticas
condiciones para que el resultado no se vea
afectado además se clasifican los eventos
favorables y no favorables a partir del espacio
muestral lo que implica un reconocimiento
del azar, sin embargo considera suficiente 20
experimentaciones para aproximar la
probabilidad. Indicadores presentes en esta
respuesta: C3, T2 y S6.
Tabla 6. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 3.
Nivel 4 (Relacional)
El razonamiento probabilístico de este nivel se caracteriza por el análisis interrelacionado de la
información que está presente en la situación, ya sea explícita o implícitamente, además usa la tecnología
como un recurso que le ayuda a realizar los procedimientos de manera ágil, reconociendo la eficiencia de
los software para hacer tareas repetitivas y aleatorias (Tn). Por ende hay un reconocimiento de los
conceptos que se ponen en juego en el momento de aproximar una probabilidad (C6), de esta manera es
posible que en el razonamiento de este nivel esté inmerso algún sesgo que no sea determinante para
aproximar la probabilidad (S7).
Situación Ejemplos de respuesta Características
Se desea calcular la probabilidad que
el resultado del lanzamiento de un
dado sea un número par a partir de
las frecuencias relativas. Mencione
cuáles son los pasos necesarios para
llevar a cabo esto y calcúlela.
Uso la función ‘aleatorio
entre’ de Excel para
generar números
aleatorios entre 1 y 6.
Luego copio esta función
500 veces, finalmente uso
las herramientas de Excel
para hacer la frecuencia
relativa.
Se evidencia el diseño de una simulación en un
software que permite simular el
comportamiento de experimentos aleatorios,
además se resalta la necesidad de realizar un
gran número de simulaciones para calcular la
frecuencia relativa (C6), esto implica que de
manera implícita se están realizando las
simulaciones bajo idénticas condiciones y que
se establece el espacio muestral para
experimentos aleatorios. En este procedimiento
están presentes los indicadores: C6, T4, S8.
Tendría que hacer 300
veces este experimento y
luego calcular la
frecuencia del evento.
En esta respuesta es clara la necesidad de
realizar un gran número de repeticiones
manuales de los experimentos para calcular la
frecuencia relativa, además maneja los
81
conceptos suficientes para aproximar la
probabilidad. En este procedimiento están
presentes los indicadores: C6, T3, S8.
A continuación se muestra el
resultado de 300 simulaciones del
lanzamiento de un dado realizada en
Excel:
¿Cuál sería el procedimiento a seguir
para calcular la probabilidad de que
salga 4, y por qué?
Calcular la frecuencia
relativa del 4 usando la
tabla, porque se realizaron
muchas experimentaciones
y no es necesario lanzar el
dado.
Es evidente el reconocimiento de la validez de
los datos recogidos por otros, ya que se acepta
el número de simulaciones y la manera como
se repitieron, por ende son usados para
aproximar la probabilidad. Indicadores
presentes en esta respuesta: T5, S8 y C6.
Se lanzó 10 veces una moneda y se
anotaron los resultados C, S, C, S, C,
S, C, S, C, S ¿Crees que es posible
obtener estos resultados y por qué?
Sí porque todas las
secuencias de cualquier
experimento aleatorio son
igualmente probables.
Se evidencia la presencia de los indicador C4 y
S7, ya que se considera que todos los eventos
de cualquier experimento aleatorio son
equiprobables y está realizando comparaciones
entre secuencias aleatorias que no son
mencionadas en el enunciado.
Tabla 7. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 4.
Nivel 5 (Abstracción Expandida)
En este nivel hay una ausencia de sesgos (S8) en el razonamiento probabilístico permitiendo una
aproximación de la probabilidad cercana a la real (C7) y sus argumentos develan la comprensión de las
condiciones, características, finalidad y aplicación de cada uno de los conceptos relacionados con la
probabilidad frecuencial con el objetivo de hacer inferencias en un contexto matemático o cotidiano (T6).
De este modo están presentes algunos procesos generales propuestos por el MEN, tales como modelar,
comunicar y conjeturar.
Situación Ejemplos de respuesta Características
Se desea calcular la probabilidad de
que el resultado del lanzamiento de
un dado sea un número par a partir
de las frecuencias relativas.
Mencione cuáles son los pasos
necesarios para llevar a cabo esto y
calcúlela.
Usar un programa para simular este
experimento las veces que sean
necesarias para que se estabilicen las
frecuencias y dé una aproximación
cercana a la probabilidad real,
calcular la frecuencia relativa del
evento, al repetir esto se ve que estas
aproximaciones se mueven alrededor
del 50%.
Se ve un manejo de los conceptos y
ayudas tecnológicas para el
tratamiento de los datos y así diseña
sus propias simulaciones de los
experimentos aleatorios, realizando
varios grupos de simulaciones con el
objetivo de conjetural cuál es la
probabilidad real a partir de una idea
intuitiva de limite estocástico.
Indicadores presentes C7, S8 y T6.
A continuación se muestra el
resultado de 300 simulaciones del
lanzamiento de un dado realizada en
Excel:
Usar los datos ya que es una
simulación de ese experimento y se
realizó un gran número de veces y
calcular la frecuencia relativa del 4 y
saber que esta frecuencia es una
aproximación cercana a la real
porque solo se tiene en cuenta ese
grupo de datos.
Se trabaja con datos recolectados por
otros y está interesado por la
veracidad de estos, además reconoce
la finalidad de realizar simulaciones
de experimentos aleatorios y esto
que su interpretación de la
probabilidad frecuencial tenga en
cuenta la necesidad de realizar varios
82
¿Cuál sería el procedimiento a seguir
para calcular la probabilidad de que
salga 4, y por qué?
grupos de simulaciones. Indicadores
presentes C7, S8 y T6.
Tabla 8. Respuestas y relaciones en los indicadores del Nivel 5.
Referencias
Bersabé, R. (1995). Sesgos cognitivos en los juegos de azar: La ilusión de control. Universidad
Complutense de Madrid, Servicio de Publicaciones.
Biggs, J. y Collins, K. (1982). Evaluating the quality of learning: The SOLO taxonomy. New York:
Academic Press.
Coutinho, C. (2001). Introduction aux situations aléatoires dès le Collège: de la modélisation à la
simulation d'expériences de Bernoulli dans l'environnement informatique Cabri-géomètre
II. Université Joseph Fourier, Grenoble I, França.
Díaz, C. (2003). Heurísticas y sesgos en el razonamiento probabilístico. Implicaciones para la enseñanza
de la Estadística. En: Actas del 27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa.
Mateos, G. y Morales, A. (1985). Teoría subjetiva de la probabilidad: Fundamentos, evolución y
determinación de probabilidades. Tesis doctoral. Universidad Complutense de Madrid, Facultad de
ciencias económicas y empresariales, Departamento de estadística y métodos de decisión. Madrid,
España.
Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Bogotá, D.C.,
Cooperativa Editorial Magisterio.
Ministerio de Educación Nacional. (2006). Estándares Básicos de Competencias matemáticas.
Bogotá, D.C., Cooperativa Editorial Magisterio.
NCTM. (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática (M. Fernández, Trad.). Sevilla:
SAEM Thales. (Trabajo original publicado en 2000).
Sánchez, E. y Valdez, J. (2013). La cuantificación del azar: una articulación de las definiciones subjetiva,
frecuencial y clásica de probabilidad. Probabilidad Condicionada: Revista de didáctica de la
Estadística, (2).
83
ANEXO H. VALORACIÓN DE LA PROPUESTA
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Alejandro Gualteros
Carlos León
A continuación se presenta una lista de indicadores con las respectivas unidades de
medición, con el propósito de que marque con una cruz (X) la celda que corresponda
con la evaluación que usted le otorga a cada ítem.
Unidades de medición: Muy adecuado (MA), Bastante adecuado (BA), Adecuado (A),
Poco adecuado (PA), Muy inadecuado (MI).
Nº INDICADORES VALORACIÓN
MA BA A PA MI
1
Los niveles para la categorización del desarrollo del razonamiento
probabilístico frecuencial, reflejan los sustentos teóricos de la
propuesta.
2
El marco de referencia presentado bajo el cual se sustenta la
construcción de los niveles favorece el logro del objetivo por el cual se
elaboró la propuesta.
3
Los niveles e indicadores presentados permiten que un profesor (en el
campo de la Educación Matemática) clasifique el desarrollo del
razonamiento probabilístico frecuencial de sus estudiantes.
4 El número de niveles propuestos es acorde con la complejidad del
objeto de estudio (probabilidad frecuencial).
5
De acuerdo a la propuesta, es necesario que para alcanzar un nivel
determinado de razonamiento se deben transite por los niveles
anteriores. Es decir, los niveles son jerárquicos.
6 La justificación de cada uno de los niveles es acorde con la teoría que
se usa para fundamentar la propuesta.
Ofrezca sus ideas y criterios sobre las bondades, deficiencias e insuficiencias que
presenta la Alternativa Metodológica en su concepción teórica y que pudiera presentar
al ser aplicada en la práctica escolar, con el fin de poder generar un perfeccionamiento
de la misma. Para sus recomendaciones, tenga en cuenta los indicadores que valoró
como: Adecuados (A), Poco adecuados (PA), Muy inadecuados (MI).
Fortalezas
84
Falencias
Recomendaciones
