Concepto de Integral

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada asi como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce  una notación para la antiderivada de una función

Si F!(x) = f(x),  se representa 

A este grafo ∫ se le llama símbolo de  la integral y a la notación ∫f x  dx se le llama integral indefinida  de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama    conste de integración esta surge por la imposibilidad  de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

∫f x  dx

Esto se lee integral de fx del diferencial de x

Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por  .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

Integrales trigonométricas

Podemos usar lo aprendido en las derivadas de funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, arcotangente, etc.) al integrar:

∫sinx dx=−cosx+C

∫cosx dx=sinx+C

∫1cos2x dx=tanx+C

∫11−x2−−−−−√ dx=arcsinx+C

∫−11−x2−−−−−√ dx=arccosx+C

∫1a+x2 dx=arctanx+C

Ejemplo

∫2sinx dx=−2cosx+C∫5cosx+3sinx dx=5∫cosx dx+3∫sinx dx=5sinx−3cosx+C∫31+x2 dx=3arctanx+C

Integrales inmediatas de logaritmo

Son las integrales de funciones del tipo k⋅x−1 y se resuelven:∫k⋅1x dx=k∫x−1 dx=ln|x|+C

puesddx(kln|x|+C)=ddxkln|x|+0=k⋅ddxln|x|=k1x

Observemos que el resultado es el logaritmo del valor absoluto, pues no existe el logaritmo de un número negativo.Por las propiedades vistas en los logaritmos, si a>0:

∫1x⋅lna dx=loga|x|+C

Ejemplo

∫1x dx=ln|x|+C∫15⋅1x dx=15∫1x dx=15ln|x|+C∫1xln5 dx=log5|x|+C

Integrales inmediatas exponenciales

Como sabemos del tema de derivación, la derivada de la función ex es ella misma, por lo tanto,

∫ex dx=ex+C

y por las propiedades de los logaritmos, si a>0 y a≠1:∫ax dx=axlna+C

Ejemplo

∫3ex dx=3ex+C∫3x dx=∫3x dx=3xln3+C∫4x+4ex dx=∫4x dx+4∫ex dx=4xln4+4ex+C

Integración de funciones hiperbólicas

La integración de funciones hiperbólicas es análoga a la integración de funciones trigonométricas. Recordamos algunas fórmulas relativas a las funciones hiperbólicas:

cosh2x–senh2x=1sech2x=1–tanh2xcsch2x=coth2x–1cosh2x–senh2x=1sech2x=1–tanh2xcsch2x=coth2x–1

senh2x=12(cosh2x−1).cosh2x=12(cosh2x+1).senhxcoshx=12senh2x.senh2x=12(cosh2x−1).cosh2x=12(cosh2x+1).senhxcoshx=12senh2x.

ddxsenhx=coshx, ddxcoshx=senhx, ddxtanhx=sech2x.

Reseña del libro

Los cuatro acuerdos

De Miguel Ruiz

Los 4 acuerdos es un libro escrito por el doctor Miguel Ruiz el cual nos cuenta como era la filosofía de una gran cultura que habito en México hace mucho tiempo:

Los toltecas

Los toltecas se caracterizan por ser unos grandes constructores de templos, por ser grandes pulidores de metal y su agricultura pero lo que realmente es lo mejor de ellos, es su manera de pensar ya que ellos viven una manera de vivir excelente, que tiene un fácil acceso a

La felicidad y el amor

El doctor Miguel Ruiz quizo transmitir en este libro ese pensamiento para que la sociedad actual aprenda del pasado ya que este método de vivir de los toltecas es lo mejor que puedes hacer para tener una vida feliz propia

1 Acuerdo. Se impecable con tus palabras:

Este acuerdo explica, que el arma más poderosa que tiene el hombre no es la bomba atómica ni armas de fuego ni tanques ni nada de eso, si no algo tan simple que todos en el mundo tenemos,

las palabras. En la vida las personas se enfrentan a muchos problemas con ellos mismos, su familia amigos, pareja o cualquier persona y creen que no son útiles o no valen.

Este acuerdo nos enseña a usar las palabras correctas y claras porque solucionan cualquier problema en el mundo chismes, mal entendidos, defensa personal, defender a otros, expresar algo, todo puede arreglarse usando las palabras siempre y cuando las utilices de forma correcta y hables. Porque la gente tiene la costumbre de no hablar, solo realizan acciones que muchas veces son erróneas porque la verdad está en las palabras

2 Acuerdo. No te tomes nada personalmente

Esto quiere decir que las palabras pueden llegar a herirte, porque las palabras tienen un gran poder y si las personas te ofenden puedes llegar a no gozar de tu vida en paz, no quererte a ti mismo y es lo peor que puedes hacer. Las personas ofenden a otras por alguna característica suya la cual todos tenemos y diferentes pero ellos te hacen sentir mal con eso, ellos insultan porque se sienten mal con ellos mismos, quieren expulsar esa energía negativa y brindársela a otro lo hacen inconscientemente, sufres por nada, tu eres único y vales mucho como todos los humanos por igual, ¿Por qué?

Porqué dios nos hizo a todos iguales solo concéntrate en lo importante: Tu Felicidad

3 Acuerdo. No hagas suposiciones

En lugar de hablar haces suposiciones ósea que te imaginas algo malo, lo peor que te puede pasar a ti, cuando en realidad la verdad es muy diferente, muchas veces las imágenes malinterpretan todo y en lugar de descubrir la verdad con las palabras nos cerramos y hacemos suposiciones, porque la imagen nos engaña y creemos lo peor.

En lugar de hacer suposiciones es mejor preguntar y aclarar todo, para así saber la verdad sea buena o mala, pero no te atormentaras por todo el tiempo por esa acción imaginaria tuya, sabiendo la verdad, en ese instante dejaras de sufrir

4 Acuerdo. Haz siempre lo máximo que puedas

En toda acción y cosa que tengas o quieras realizar en tu vida, hazla con el máximo esfuerzo posible, porque en todo aprenderás una lección, experiencia o conocimiento y aunque es difícil de creer siempre te beneficiaras de alguna manera en tu vida, esto aplica en todo tu vida ose en tu personalidad, tus emociones, tus acciones y tus metas

Este libro es excelente porque con estos 4 consejos serás la persona más feliz porque simplemente te quieres a ti mismo y quieres tu vida y esos es lo más importante en la vida.

The legend of the best friend

A beautiful Arab legend says that two friends traveling through the desert and at a given point trip discussed .One of the two wrote in the sand:

“today my best friend punch me in my face”

They walked and walked a long time and they found a lake and they went to take a shower but the men that had been slapped and hurt started drowning his friend saved him and the friend in danger wrote in one rock:

“today my best friend sved me my life”

The friend asked him Why after I hurt you , you wrote in the sand and now you write on a stone

He told WHEN A great friend offends us , we Writing in the sand where the wind of forgetfulness and forgiveness charge to erase and off on the other hand when we

pass something great , we burn it to the memory stone of the heart where wind none in the world can erase

Mathematics is the language with which God has written the universo galileo galilei

the heart of mathematics are their own problems paul halmos