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NIVEL MEDIONIVEL MEDIO

Matemtica

3 CI CLO EGB /3 C ICLO EGB /

7, 8 y 9 Aos7, 8 y 9 Aos

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Ncleos deAprendizajes

Prioritarios

3 CICLO EGB/NIVEL MEDIOMatemtica

NcleosdeAprendizajes

Prioritarios

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NivelMedio

Matemtica

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MinisteriodeEducacin,

CienciayTecnologa

Ministerio de Educacin, Ciencia y TecnologaRepblica ArgentinaBuenos Aires, enero 2006ISBN N en trmite

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NivelMedio

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Presidente de la NacinDr. Nstor Kirchner

Ministro de Educacin, Ciencia y Tecnologa

Lic. Daniel Filmus

Secretario de Educacin

Prof. Alberto Sileoni

Secretario del Consejo Federal de Cultura y EducacinProf. Domingo de Cara

Subsecretaria de Equidad y Calidad

Prof. Mirta Bocchio de Santos

Subsecretario de Coordinacin Administrativa

Lic. Santos Horacio Fazio

Directora del Instituto Nacional de Educacin Tecnolgica

Prof. Mara Rosa Almandoz

Directora Nacional de Gestin Curricular y Formacin Docente

Lic. Alejandra Birgin

Directora Nacional de Programas Compensatorios

Lic. Mara Eugenia Bernal

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Elaboracin de losNcleos de Aprendizajes Prioritarios

Los Ncleos de Aprendizajes Prioritarios para el Tercer Ciclo de la Educa-

cin General Bsica (7, 8 y 9) fueron elaborados por representantes

polticos y tcnicos de las provincias argentinas y de la Ciudad de Buenos

Aires y por los equipos tcnicos del Ministerio Nacional.

Fueron aprobados en la Asamblea del Consejo Federal de Cultura y

Educacin por las autoridades educativas de todas las jurisdicciones:

Ciudad de Buenos Aires

Provincia de Buenos Aires

Provincia de Catamarca

Provincia de Crdoba

Provincia de Corrientes

Provincia del Chaco

Provincia del Chubut

Provincia de Entre Ros

Provincia de Formosa

Provincia de Jujuy

Provincia de La Pampa

Provincia de La Rioja

Provincia de Mendoza

Provincia de Misiones

Provincia del Neuqun

Provincia de Ro Negro

Provincia de Salta

Provincia de San Juan

Provincia de San Luis

Provincia de Santa Cruz

Provincia de Santa Fe

Provincia de Santiago del Estero

Provincia de Tierra del Fuego, Antrtida e Islas del Atlntico Sur

Provincia de Tucumn

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Matemtica

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Presentacin

IntroduccinEl Acuerdo Federal: Identificar Aprendizajes Prioritarios

Acerca del sentido de "Ncleos de Aprendizajes Prioritarios"Alcance del Acuerdo Federal

Matemtica

Sptimo AoOctavo AoNoveno Ao

A modo de cierre

ndice

7

9

16

192327

31

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Estimado/a docente:

En el marco del Consejo Federal de Cultura y Educacin, se ha acor-

dado la aprobacin de los Ncleos de Aprendizajes Prioritarios, paso muy

importante para promover la integracin de nuestro Sistema Educativo Na-

cional que, como todos compartimos y conocemos desde diferentes lugares

y experiencias, es altamente heterogneo y fragmentario.

La tarea emprendida por este Ministerio y el Consejo Federal de

Cultura y Educacin contempla la identificacin de aprendizajes prioritarios

para el Nivel Inicial, la Educacin General Bsica y la Educacin Polimodal,

como as tambin la elaboracin de materiales de apoyo para la enseanza.

Hoy nos acercamos con este material a fin de acompaar a las escue-

las y maestros en ese desafo que, ciertamente, ser cotidiano y reclamar a

su vez acciones mltiples, compromiso y acuerdo de todos para mejorar las

condiciones de la enseanza.

Los Ncleos constituyen un conjunto de saberes que deben formar

parte de la educacin de todos los nios y las nias, tanto por su significa-

cin subjetiva y social como por su potencialidad para construir, en un proce-

so de mediano plazo, una base comn que aporte a revertir las injusticias. Sin

duda, esto slo seala un punto de partida imprescindible. Nuestro objetivo

es generar igualdad de posibilidades de acceso a los conocimientos que

contribuyan a la integracin social plena de los nios y nias y al sostn de

valores que favorezcan el bien comn, la convivencia social, el trabajo com-

partido y el respeto por las diferencias.

Procuramos establecer estrategias que aporten a la unidad del Sis-

tema Educativo Nacional en el marco de la diversidad jurisdiccional y que

reconozcan los variados caminos por todos recorridos. Por ello, dado que las

distintas Provincias y la Ciudad de Buenos Aires cuentan con sus propiosdiseos curriculares, el abordaje de estos Ncleos en las escuelas se realizar

segn las formas particulares que en cada Jurisdiccin se propongan.

Es nuestra intencin que estas publicaciones contribuyan a la tarea

pedaggica y a la construccin escolar de conocimientos capaces de dar

algunas buenas respuestas a los complejos problemas del presente a los que

todos estamos desafiados a abordar.

Esperamos as que sean interpretadas e incorporadas en el queha-

cer cotidiano como cajas de herramientas que potencien las ya disponibles

por docentes y escuelas, fruto de las ricas y variadas experiencias ya transita-

das y abiertas a ser enriquecidas desde el saber del oficio de ensear en las

prcticas cotidianas en cada aula y escuela.

Cordialmente.

Lic. Daniel FilmusLic. Daniel FilmusLic. Daniel FilmusLic. Daniel FilmusLic. Daniel Filmus

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9Introduccin

La funcin central de la escuela es ensear para que nios y jvenesadquieran los saberes que les permitan el ejercicio de una ciudadana res-ponsable y una insercin en el mundo.

Esto plantea, entre otras cosas, habilitar una discusin plena acerca de

qu saberes son los que los nios y jvenes necesitan hoy.

Nuestro punto de partida es un sistema educativo argentino que presen-ta un escenario sumamente heterogneo y fragmentado. Tras una crisis

social indita y cruel, existen situaciones muy diferentes en las distintas pro-vincias, as como en el interior de cada jurisdiccin. Las distintas situaciones

y experiencias escolares por las que transitan los nios y los jvenes de nues-tro pas expresan un panorama de extrema desigualdad educativa que refuerza

la injusticia social.

Es tarea an pendiente un debate pblico y profundo sobre el tema de la

igualdad y las desigualdades y una evaluacin en profundidad que d cuenta

de la naturaleza de esas diferencias extremas, de las huellas de polticashomogeneizantes en condiciones provinciales e institucionales tan diversas yadversas, y que permita generar acciones alternativas. Es posible advertir, sin

embargo, que la importante inversin nacional en la dcada pasada en ma-teria de cambios en la organizacin del sistema y prescripciones curriculares

y de los sistemticos esfuerzos provinciales, de sus equipos tcnicos, directi-vos y maestros por el mejoramiento de sus propuestas educativas, no halogrado an incidir decisivamente en las prcticas cotidianas del ensear y el

aprender en las escuelas.

Miles de nios y jvenes en situaciones de extrema pobreza y, por ende,en un mapa de profunda desigualdad social cuyo origen es anterior a su

ingreso en el sistema, ven abortada su proyeccin a un itinerario educativo

que permita abrir otros mundos, con la consecuencia de la exclusin social.Esta situacin se agrava si el propio sistema educativo no revisa sus condicio-

nes y prcticas y si no se adoptan medidas claras que avancen en sentidocontrario a la exclusin.

Mejorar las condiciones y recrear esas prcticas es eje de nuestra preocu-

pacin y, por lo tanto, de la construccin de polticas en materia educativa.

Las acciones que realicemos, entonces, tendrn como bsqueda aportara construir igualdad. La situacin descripta obliga a contemplar su compleji-

dad en distintas dimensiones, restituyendo el papel del Estado Nacionalcomo garante de condiciones de igualdad educativa para la totalidad delsistema, asumiendo, conjuntamente con las jurisdicciones, la responsabili-

dad de reponer el lugar de los nios y los jvenes como sujetos de derecho.

Esta voluntad poltica respetar y fortalecer la capacidad de las jurisdic-ciones para el desarrollo de sus polticas educativas. En ese marco, pensar la

unidad en un sistema educativo desigual, que es a su vez heterogneo, exige

garantizar condiciones equivalentes de enseanza, reconociendo la diversi-dad de los distintos aprendizajes y a la vez trabajando para reducir las bre-chas del sistema. Por ello, es preocupacin del Ministerio Nacional y de las

autoridades jurisdiccionales la construccin de equivalencias entre las distin-

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tas propuestas formativas y experiencias de aprendizaje, construyendo uni-dad sin uniformidad y rescatando la funcin pblica de la escuela.

El Acuerdo Federal: Identificar Aprendizajes Prioritarios

La preocupacin por la desigualdad tracciona al sistema educativo en

mltiples sentidos y lo interroga acerca de qu oportunidades de aprendiza-

je es capaz de generar y garantizar en toda su complejidad. Dar respuesta aesta pregunta implica construir consenso en varias dimensiones. Se trata de

pensar qu debe ensearse, qu se aspira que aprendan los alumnos y dequ manera se crearn las condiciones pedaggicas y materiales para quetodos los nios y jvenes accedan a experiencias educativas cuya riqueza

aporte a revertir las desigualdades.

Es en esa direccin que el Consejo Federal de Cultura y Educacin (CFCyE),

con fecha 27 de abril de 2004, seal su severa preocupacin por la des-igualdad y la fragmentacin de nuestro sistema educativo en su conjunto y lanecesidad de ejecutar polticas que avancen en la reconstruccin de una

plataforma comn y recuperen, para ello, la centralidad de la enseanza quepromueva aprendizajes en el sentido de construccin de ciudadana.

A tal fin, emiti, por unanimidad, la Resolucin N 214/04 en la que se

acuerda la identificacin de ncleos de aprendizajes prioritarios y el compro-

miso de realizar las acciones necesarias para favorecer y posibilitar el accesode todas las personas a esos aprendizajes.

No se nos escapa que el alcance de acuerdos como el presente es limi-

tado para impactar en la cotidianeidad escolar, y que requieren un conjun-

to de acciones de la Nacin y las jurisdicciones que los viabilicen (materialesde apoyo, formacin inicial de los docentes, capacitacin docente, otros

recursos escolares, flexibilidad en las formas de organizacin escolar, etc.).

Conscientes de esos lmites, su formulacin busca aportar una iniciativa alcomplejo problema de la desigualdad educativa y de la movilidad de alum-

nos intra e interjurisdiccional.

En ese marco, el presente documento tiene por objetivo la presentacin

de los Ncleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) que se han identificadopara el Tercer Ciclo de la EGB/Nivel Medio, en cumplimiento de lo acordadopor todos los Ministros que componen el CFCyE, y que en esta instancia se

refieren a las reas de Ciencias Sociales y Ciencias Naturales, Lengua yMatemtica.

Se aspira a que los aprendizajes prioritarios contribuyan a asegurar unabase de unidad del Sistema Educativo Nacional... (y) a garantizar que todos

los habitantes alcancen competencias, capacidades y saberes equivalentescon independencia de su ubicacin social y territorial.1

Ello no implica ni puede interpretarse como desconocimiento de las de-

finiciones hasta aqu logradas en cada jurisdiccin en sus respectivos diseos

curriculares. Por el contrario, la identificacin colectiva de ese ncleo de apren-

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dizajes prioritarios sita a cada una de ellas sobre la base de sus particula-ridades locales en sus respectivos marcos regionales, en oportunidad de ponerel acento en aquellos saberes considerados comunes entre jurisdiccionese ineludibles desde una perspectiva de conjunto.

En ese marco de bsqueda por la igualdad de derechos y de concienciade la diversidad cultural, en atencin a las necesidades educativas especiales,y con el alerta de que no pueden ni deben convertirse en reforzadores de las

desigualdades sociales determinantes de mltiples exclusiones, se impone

asumir un enfoque intercultural que privilegie la palabra y d espacio para elconocimiento, valoracin y produccin cultural2 de poblaciones indgenas

del pas y de las ms variadas formas de expresin cultural de diferentessectores en poblaciones rurales y urbanas. La educacin intercultural y elbilingismo debe reconocer interaccin y dilogo, en no pocos casos conflic-

tivo, entre grupos culturalmente diversos en distintas esferas sociales. Desdeesa perspectiva, las acciones que se orienten al trabajo con ncleos de apren-dizajes prioritarios deben fortalecer, al mismo tiempo, lo particular y los ele-

mentos definitorios de una cultura comn, abriendo una profunda reflexin

crtica desde la escuela sobre las relaciones entre ambas dimensiones y unapermanente reconceptualizacin de lo curricular.

En ese mismo sentido, es preciso reconocer tambin la diversidad de

problemticas, saberes, formas de expresin de una infancia y una ju-ventud que no pueden ser consideradas de manera universal. Es necesarioconsiderar infancia y juventud en un sentido plural que permita reconocer la

heterogeneidad de trayectorias escolares, identidades culturales, tnicas ylingsticas que interpelan al sistema educativo, configurando nuevas de-

mandas para la enseanza.

La resolucin citada indica que los aprendizajes prioritarios debern ac-

tuar como referentes y estructurantes de la tarea docente. Es en este sentidoque se resignifica la enseanza como la funcin especfica de la escuela. Para que

tan compleja tarea pueda cumplirse en la direccin que sealan las intencio-nes educativas, es preciso generar y sostener condiciones de trabajo docenteque permitan asumir plenamente esta funcin. Se hace necesario reposicionar

al docente como agente fundamental en la transmisin y recreacin de lacultura, construyendo entre escuela y sociedad un nuevo contrato de legiti-midad, con garanta del logro de aprendizajes socialmente vlidos para nues-

tros alumnos.

A fin de que esta accin se transforme en una herramienta de cohesin

de la tarea docente en nuestras escuelas, es imprescindible renovar el com-promiso de las autoridades y equipos nacionales y jurisdiccionales con accio-

1 Resolucin N 214/04, Consejo Federal de Cultura y Educacin.

2 Novaro, G. (2004), "Pueblos indgenas y escuela. Avances y obstcu-

los para el desarrollo de un enfoque intercultural", en Educacin Intercul-

tural Bilinge en Argentina. Sistematizacin de experiencias, MECyT.

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nes de acompaamiento y de sostn, a fin de hacer efectiva una poltica quereduzca las desigualdades educativas y recupere la centralidad del ensearpara promover aprendizajes con sentido.

Acerca del sentido de Ncleos de Aprendizajes Prioritarios

Un ncleo de aprendizajes prioritarios en la escuela refiere a un conjunto

de saberes centrales, relevantes y significativos, que incorporados como ob-jetos de enseanza, contribuyan a desarrollar, construir y ampliar las posibi-

lidades cognitivas, expresivas y sociales que los nios ponen en juego yrecrean cotidianamente en su encuentro con la cultura, enriqueciendo de esemodo la experiencia personal y social en sentido amplio.

Estos ncleos de aprendizajes prioritarios sern un organizador de la ense-anza, orientada a promover mltiples y ricos procesos de construccin deconocimientos, potenciando las posibilidades de la infancia y de la juventud,

pero atendiendo, a la vez, a ritmos y estilos de aprendizaje singulares a travs

de la creacin de mltiples ambientes y de condiciones para que ello ocurra.

Sobre la base de las realidades cotidianas en las aulas, y siendo respetuo-

sos de la diversidad de diseos curriculares jurisdiccionales, en la actual co-

yuntura se acuerda poner el nfasis en saberes que se priorizan atendiendoa los siguientes criterios generales:

Su presencia se considera indispensable, pues se trata de modos de

pensar o actuar fundamentales desde el horizonte de las condicionesde igualdad y equidad.

Como saberes claves, refieren a los problemas, temas, preguntas

principales de las reas/disciplinas y a sus formas distintivas de des-cubrimiento/razonamiento/expresin, dotadas de validez y aplicabili-dad general.

Son relevantes para comprender y situarse progresivamente ante pro-blemas, temas y preguntas que plantea el mundo contemporneo en

que los nios y jvenes se desenvuelven.

Son una condicin para la adquisicin de otros aprendizajes en pro-cesos de profundizacin creciente.

Los saberes que efectivamente se seleccionen se validarn en la medidaen que propongan verdaderos desafos cognitivos de acuerdo con la edad y

favorezcan la comprensin de procesos en un nivel de complejidad adecua-

do, desde distintos puntos de vista; puedan utilizarse en contextos diferen-tes de aquellos en los que fueron adquiridos y constituyan herramientas

potentes para entender y actuar con inventiva, promoviendo el sentido crti-

co y la creatividad.3

La determinacin de aprendizajes prioritarios supone tambin y, en con-secuencia, una redefinicin del tiempo de enseanza. Priorizar contribuir a

garantizar condiciones de igualdad, y a mejorar progresivamente las formas

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de tratamiento de los saberes en el aula, en tanto se promueva la construc-cin por los docentes de estrategias de enseanza convergentes y sostenidassobre la base de acuerdos colectivos que apunten a repensar y redefinir eluso cotidiano del tiempo escolar.

En acuerdo con la definicin del CFCyE, los ncleos de aprendizajes prio-ritarios se secuencian anualmente, atendiendo a un proceso de diferencia-cin e integracin progresivas y a la necesaria flexibilidad dentro de cada

ciclo y entre ciclos. En ese ltimo sentido, la secuenciacin anual pretende

orientar la revisin de las prcticas de enseanza en funcin de lo comparti-do entre provincias, y no debe interpretarse como un diseo que sustituye o

niega las definiciones jurisdiccionales, construidas atendiendo a las particula-ridades histricas, culturales, geogrficas y de tradiciones locales y regionales.

Proponer una secuencia anual no implica perder de vista la importancia

de observar con atencin y ayudar a construir los niveles de profundizacin

crecientes que articularn los aprendizajes prioritarios de ao a ao en elciclo. Debern enfatizarse los criterios de progresividad, conexin vertical y

horizontal, coherencia y complementariedad de aprendizajes prioritarios, al

mismo tiempo que otros criterios, como el contraste simultneo y progresivocon experiencias y saberes diferentes en el espacio y el tiempo (presente/

pasado, cercano/lejano, simple/complejo, etc.).

Ser central promover contextos ricos y variados de apropiacin de esossaberes prioritarios. Al mismo tiempo, las prcticas de enseanza debern

orientarse a la comprensin de indicios del progreso y de las dificultades de

los alumnos, para generar cada vez ms y mejores apoyos, a travs de inter-venciones pedaggicas oportunas. Esos indicios son diferentes manifesta-ciones de acciones y procesos internos y se expresan cotidianamente en

diversas actividades individuales o grupales de comprensin (al explicar, darargumentos, ejemplificar, comparar, resolver problemas, etc.) y muy general-

mente en el dilogo que se observa en la interaccin con el docente durante

el proceso pedaggico que tiene lugar en las instituciones escolares.

3 Se establece as una diferencia entre los criterios de seleccin de

los aprendizajes a priorizar, y las condiciones que los aprendizajes efecti-

vamente priorizados debern reunir. Estas condiciones no son exclusivas

de ellos, sino que pueden encontrarse tambin en otros aprendizajes

que no resulten seleccionados segn los criterios acordados federalmente.

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Alcance del Acuerdo Federal

De acuerdo con la Resolucin N 214/04, la identificacin de ncleos deaprendizajes prioritarios indica lo que se debe ensear en un ao y/o cicloescolar. Si se acuerda que el aprendizaje no es algo que se tiene o no setiene como posesin acabada, sino que es un proceso que cada sujetorealiza de un modo propio y singular, se hace necesario anticipar efectos nodeseados en torno a la funcin que debera cumplir esta identificacin. De tal

manera se considera que:

Los aprendizajes definidos no deben ni pueden ser interpretadoslinealmente como indicadores de acreditacin vinculantes con la pro-mocin de los alumnos. Tal lo sealado en el apartado anterior, deben

considerarse como indicios de progreso de los alumnos, los que de-

terminarn las intervenciones docentes pertinentes. Asimismo, lasdecisiones sobre la acreditacin y/o promocin de los alumnos debe-rn ser definidas en el marco de las polticas y las normativas sobre

evaluacin vigentes en cada jurisdiccin.

El propsito de que los aprendizajes priorizados se constituyan en

una base comn para la enseanza no implica que sta se reduzcasolamente a ellos y tampoco a las reas seleccionadas en esta primeraetapa. Las propuestas de enseanza debern buscar un equilibrio y

una integracin entre saberes de carcter universal y aquellos querecuperan los saberes sociales construidos en marcos de diversidadsocio-cultural; entre saberes conceptuales y formas diversas de sensi-

bilidad y expresin; entre dominios y formas de pensar propios desaberes disciplinarios especficos y aqullos comunes que refieren a

cruces entre disciplinas y modos de pensamiento racional y crtico que

comparten las diferentes reas/disciplinas objeto de enseanza. Eneste cuadro general, se aspira a que los aprendizajes priorizados otor-

guen cohesin a la prctica docente y acten como enriquecedores delas experiencias educativas surgidas de los proyectos institucionales yde las polticas provinciales.

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15NCLEOS DEAPRENDIZAJES PRIORITARIOS

Se presentan los Ncleos de Aprendizajes Prio-

ritarios de Matemtica para el Tercer Ciclo de la EGB/

Nivel Medio.

Su formulacin incluye los saberes que se propo-

ne promover para 7, 8 y 9 aos.

Como qued expresado en el Documento apro-

bado por Resolucin N 225/04 del CFCyE, la or-

ganizacin de los Ncleos no debe interpretarse

como un diseo que sustituye o niega las defini-

ciones jurisdiccionales.

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16m MATEMTICALa escuela ofrecer situaciones de enseanza que promuevanen los alumnos y alumnas durante el Tercer Ciclo de EGB/Nivel

Medio:

La confianza en las propias posibilidades para resolver proble-mas y formularse interrogantes.

Una concepcin de Matemtica segn la cual los resultadosque se obtienen son consecuencia necesaria de la aplicacin deciertas relaciones.

La disposicin para defender sus propios puntos de vista, con-siderar ideas y opiniones de otros, debatirlas y elaborar conclu-siones, aceptando que los errores son propios de todo procesode aprendizaje.

La interpretacin de informacin presentada en forma oral oescrita con textos, tablas, frmulas, grficos, expresiones alge-braicas, pudiendo pasar de una forma de representacin a otrasi la situacin lo requiere.

La elaboracin de procedimientos para resolver problemas,atendiendo a la situacin planteada.

La interpretacin y produccin de textos con informacinmatemtica, avanzando en el uso del lenguaje apropiado.

La comparacin de las producciones realizadas al resolverproblemas, el anlisis de su validez y de su adecuacin a la si-tuacin planteada.

La produccin e interpretacin de conjeturas y afirmacionesde carcter general y el anlisis de su campo de validez, avanzan-do desde argumentaciones empricas hacia otras ms generales.

La explicitacin de conocimientos matemticos expresados condistintas representaciones, estableciendo relaciones entre ellos.

La comprensin y el uso de la organizacin decimal del siste-ma de numeracin.

El reconocimiento y uso de los nmeros racionales, de sus pro-piedades y de sus distintas representaciones en funcin de la si-tuacin planteada.

El uso y explicitacin de las operaciones en distintos camposnumricos en la resolucin de problemas.

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Ncleos de Aprendizajes Prioritarios Tercer Ciclo EGB / Nivel Medio Matemtica

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El uso y explicitacin de las jerarquas y propiedades de lasoperaciones en la resolucin de problemas de clculo.

El anlisis y uso reflexivo de distintos procedimientos paraestimar y calcular en forma exacta y aproximada, incluyendo elencuadramiento de los resultados.

La produccin y validacin de enunciados sobre relaciones ypropiedades numricas, avanzando desde las argumentacionesempricas hacia otras ms generales.

El reconocimiento, uso y anlisis de variaciones funcionales ono en sus diferentes representaciones en situaciones diversas.

El reconocimiento y uso de expresiones algebraicas y el anli-sis de su equivalencia en situaciones diversas.

El uso y explicitacin de las propiedades de figuras y cuerposgeomtricos en la resolucin de problemas.

La produccin y el anlisis de construcciones geomtricas con-siderando las propiedades involucradas y las condiciones necesa-rias y suficientes para su construccin.

La produccin y validacin de conjeturas sobre relaciones ypropiedades geomtricas, avanzando desde las argumentacionesempricas hacia otras ms generales.

El uso y explicitacin de los sistemas de unidades de medidapara distintas magnitudes.

El anlisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para esti-mar y calcular medidas, considerando la pertinencia y la precisinde la unidad elegida para expresarlas y sus posibles equivalencias.

La interpretacin y uso de nociones bsicas de estadstica paraestudiar fenmenos, comunicar resultados y tomar decisiones.

El reconocimiento y uso de nociones de probabilidad paracuantificar la incertidumbre y argumentar en la toma de decisio-nes y/o evaluar la razonabilidad de inferencias.

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19SPTIMO AO

7EN RELACIN CON EL NMERO Y LAS OPERACIONES

El reconocimiento y uso de los nmeros naturales y de expresionesfraccionarias y decimales, y la explicitacin de la organizacin del siste-ma decimal de numeracin en situaciones problemticas que requieran:

interpretar, registrar, comunicar, comparar y encuadrar cantida-des, y nmeros eligiendo la representacin ms adecuada enfuncin del problema a resolver1

argumentar sobre la equivalencia de diferentes representa-

ciones de un nmero usando, expresiones fraccionarias y de-cimales finitas, descomposiciones polinmicas y/o puntos dela recta numrica

comparar la organizacin del sistema decimal con la del sistemasexagesimal

analizar afirmaciones que involucren relaciones de orden entrenmeros2.

El reconocimiento y uso de las operaciones entre nmeros natura-les, fracciones y expresiones decimales y la explicitacin de sus propie-dades en situaciones problemticas que requieran:

usar cuadrados, cubos y races cuadradas exactas de nmerosnaturales

operar con cantidades y nmeros seleccionando el tipo de clcu-lo (mental y escrito, exacto y aproximado, con y sin uso de lacalculadora) y la forma de expresar los nmeros involucrados3

que resulte ms conveniente en funcin de la situacin, y eva-luando la razonabilidad del resultado obtenido

producir clculos que combinen varias operaciones en relacincon un problema y un problema en relacin con un clculo, y

resolverlos con o sin uso de la calculadora analizar y explicitar los algoritmos de las operaciones y las estra-

tegias de clculo con nmeros naturales y con expresionesfraccionarias y decimales

argumentar sobre la validez de un procedimiento o el resultadode un clculo mediante las propiedades de la suma, la resta, lamultiplicacin y la divisin

1 Se incluyen tanto las descomposiciones ligadas a la estructura del

sistema de numeracin como la conversin de expresiones fraccionarias,decimales y porcentajes usuales.2 Se trata de comparar pares de nmeros naturales y/o racionales

en sus distintas expresiones avanzando hacia las nociones de discretitud

y densidad.3 Seleccionar la forma de expresar los nmeros involucra decidir si se

va a operar con expresiones fraccionarias o decimales y, en este ltimo

caso, evaluar la cantidad de cifras decimales que se necesitan para ex-

presar el resultado en funcin de la situacin.

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20m producir y analizar afirmaciones sobre relaciones ligadas a la

divisibilidad (mltiplos y divisores comunes) y sobre propiedadesde las operaciones entre nmeros naturales (distributiva,asociativa,...), y argumentar sobre su validez.

EN RELACIN CON EL LGEBRA Y LAS FUNCIONES

El anlisis de variaciones en situaciones problemticas que requieran:

reconocer y utilizar relaciones4

directa e inversamente proporcio-nales, usando distintas representaciones (tablas, proporciones,constante de proporcionalidad,...) y distinguirlas de aqullas queno lo son

explicitar y analizar propiedades de las relaciones de proporcio-nalidad directa (al doble el doble, a la suma la suma, constantede proporcionalidad) e inversa (al doble la mitad, constante deproporcionalidad)

analizar la variacin de permetros y reas en funcin de la va-riacin de diferentes dimensiones de figuras

interpretar y producir tablas e interpretar grficos cartesianos pararelaciones entre magnitudes discretas y/o continuas.

El uso de distintas expresiones simblicas en situaciones problemti-cas que requieran:

explorar y explicitar relaciones (entre mltiplos y/o divisores deun nmero,...) y propiedades de las operaciones con nmerosnaturales (distributiva, asociativa,...) en forma oral y escrita.

EN RELACIN CON LA GEOMETRA Y LA MEDIDA

El reconocimiento de figuras y cuerpos geomtricos y la producciny el anlisis de construcciones explicitando las propiedades involucradasen situaciones problemticas que requieran:

analizar figuras (tringulos, cuadrilteros y crculos) y cuerpos(prismas, pirmides, cilindros, conos y esferas) para caracterizarlasy clasificarlas5

explorar y argumentar acerca del conjunto de condiciones (sobre

lados, ngulos, diagonales y radios) que permiten construir unafigura (tringulos, cuadrilteros y figuras circulares)

7

4 Se incluyen relaciones entre cantidades de igual o de distinta natu-

raleza: escalas, cambios de unidades, ampliaciones o reducciones de

figuras, velocidades, espacio y tiempo.5 Avanzando en el reconocimiento de relaciones de inclusin jerrquica

como: el cuadrado es un rombo, el cubo es un prisma, entre otras.

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21 m construir figuras a partir de diferentes informaciones (propieda-

des y medidas) utilizando comps, regla, transportador y escua-dra, explicitando los procedimientos empleados y evaluando laadecuacin de la figura obtenida

analizar afirmaciones y producir argumentos6 que permitan vali-dar las propiedades: triangular y de la suma de los ngulos inte-riores de tringulos y cuadrilteros.

La comprensin del proceso de medir, considerando diferentes uni-dades y sistemas, en situaciones problemticas que requieran:

estimar y medir volmenes estableciendo equivalencias con lacapacidad, eligiendo la unidad adecuada en funcin de la pre-cisin requerida

argumentar sobre la equivalencia de distintas expresiones parauna misma cantidad, utilizando las unidades de longitud, rea,volumen y capacidad del SIMELA y sus relaciones.

El anlisis y el uso reflexivo de distintos procedimientos para estimary calcular medidas en situaciones problemticas que requieran:

calcular reas de figuras, reas y volmenes de cuerpos, estiman-do el resultado que se espera obtener y evaluando la pertinenciade la unidad elegida para expresarlo

elaborar y comparar distintos procedimientos para calcular per-metros y reas de polgonos

calcular volmenes de prismas estableciendo equivalencias en-tre cuerpos de diferente forma mediante composiciones y des-composiciones.

6 Se trata de promover el avance desde comprobaciones empricas

(comparacin de dibujos, mediciones) hacia argumentaciones ms gene-

rales usando propiedades conocidas.

7

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22m

7 Interesa evaluar la pertinencia del tipo de grfico y, cuando sea

necesario, la escala a utilizar.

EN RELACIN CON LA PROBABILIDAD Y LA ESTADSTICA

La interpretacin y elaboracin de informacin estadstica en situa-ciones problemticas que requieran:

recolectar y organizar datos para estudiar un fenmeno y/o to-mar decisiones

interpretar tablas y grficos (pictogramas, diagramas de barras, gr-ficos circulares, de lnea, de puntos) y analizar sus ventajas y des-ventajas en funcin de la informacin que se quiere comunicar

construir grficos adecuados7

a la informacin a describir calcular la media aritmtica y analizar su significado en funcin

del contexto.

El reconocimiento y uso de la probabilidad como un modo de cuan-tificar la incertidumbre en situaciones problemticas que requieran:

comparar las probabilidades de diferentes sucesos, incluyendoseguros e imposibles, para espacios muestrales finitos.

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23OCTAVO AO m

EN RELACIN CON EL NMERO Y LAS OPERACIONES

El reconocimiento y uso de los nmeros racionales en situacionesproblemticas que requieran:

interpretar, registrar, comunicar y comparar nmeros enteros endiferentes contextos: como nmero relativo (temperaturas, niveldel mar) y a partir de la resta de dos naturales (juegos de cartas,prdidas y ganancias)

comparar nmeros enteros y hallar distancias entre ellos, repre-

sentndolos en la recta numrica interpretar el nmero racional como cociente8

usar diferentes representaciones de un nmero racional (expre-siones fraccionarias y decimales, notacin cientfica, punto de larecta numrica,...), argumentando sobre su equivalencia y eli-giendo la representacin ms adecuada en funcin del proble-ma a resolver

analizar diferencias y similitudes entre las propiedades de losnmeros enteros (Z) y los racionales (Q) (orden, discretitud ydensidad).

El reconocimiento y uso de las operaciones entre nmeros raciona-les en sus distintas expresiones y la explicitacin de sus propiedades ensituaciones problemticas que requieran:

interpretar modelos que den significado a la suma, resta, multi-plicacin, divisin y potenciacin en Z9

usar la potenciacin (con exponente entero) y la radicacin10 enQ y analizar las propiedades de las mismas

analizar las operaciones en Z y sus propiedades como extensinde las elaboradas en N

usar y analizar estrategias de clculo con nmeros racionalesseleccionando el tipo de clculo (mental y escrito, exacto y aproxi-mado, con y sin uso de la calculadora) y la forma de expresar losnmeros involucrados11 que resulten ms convenientes y eva-luando la razonabilidad del resultado obtenido.

8

Se trata de conceptualizar la nocin de nmero racional comogeneralizacin de los usos conocidos de las expresiones fraccionarias y

decimales.9 Por ejemplo, utilizar vectores para dar sentido a la regla de los signos.10 Se refiere a ndices estrictamente numricos.11 Seleccionar la forma de expresar los nmeros involucra decidir si se

va a operar con expresiones fraccionarias o decimales y, en este ltimo

caso, evaluar la cantidad de cifras decimales que se necesitan para ex-

presar el resultado en funcin de la situacin.

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12 El proceso de modelizacin incluye tanto la eleccin de las varia-

bles como la determinacin del conjunto de valores que pueden tomar

las mismas.

usar la jerarqua y las propiedades de las operaciones en la pro-duccin e interpretacin de clculos

explorar y enunciar propiedades ligadas a la divisibilidad en N(suma de dos mltiplos, si un nmero es mltiplo de otro y stede un tercero, el primero es mltiplo del tercero,...).


El uso de relaciones entre variables en situaciones problemticas

que requieran:

interpretar relaciones entre variables en tablas, grficos y frmu-las en diversos contextos (regularidades numricas, proporciona-lidad directa e inversa,)

modelizar12 variaciones uniformes y expresarlas eligiendo la re-presentacin ms adecuada a la situacin

explicitar y analizar propiedades de las funciones de proporcio-nalidad directa (variacin uniforme, origen en el cero)

producir y comparar frmulas para analizar las variaciones de pe-rmetros, reas y volmenes, en funcin de la variacin dediferentes dimensiones de figuras y cuerpos

producir frmulas para representar regularidades numricas enN y analizar sus equivalencias.

El uso de ecuaciones y otras expresiones algebraicas en situacionesproblemticas que requieran:

producir y analizar afirmaciones sobre propiedades de las opera-ciones o criterios de divisibilidad avanzando desde su expresinoral a su expresin simblica, y argumentar sobre su validez

transformar expresiones algebraicas obteniendo expresiones equi-valentes que permitan reconocer relaciones no identificadas f-cilmente en la expresin original, usando diferentes propiedadesal resolver ecuaciones del tipo ax + b = cx + d

usar ecuaciones lineales con una variable como expresin deuna condicin sobre un conjunto de nmeros y analizar su con-

junto solucin (solucin nica, infinitas soluciones, sin solucin).

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25 mEN RELACIN CON LA GEOMETRA Y LA MEDIDA

El anlisis y construccin de figuras, argumentando en base a pro-piedades, en situaciones problemticas que requieran

determinar puntos que cumplan condiciones referidas a distan-cias y construir circunferencias, crculos, mediatrices y bisectricescomo lugares geomtricos

explorar diferentes construcciones de tringulos y argumentarsobre condiciones necesarias y suficientes para su congruencia

construir polgonos utilizando regla no graduada y comps a par-tir de diferentes informaciones, y justificar los procedimientosutilizados en base a los datos y/o a las propiedades de las figuras

formular conjeturas sobre las relaciones entre distintos tipos dengulos a partir de las propiedades del paralelogramo y pro-ducir argumentos que permitan validarlas (opuestos por el vr-tice, adyacentes y los determinados por dos rectas paralelascortadas por una transversal)

analizar afirmaciones13 acerca de propiedades de las figuras yargumentar sobre su validez, reconociendo los lmites de las prue-bas empricas

analizar las relaciones entre lados de tringulos cuyas medidassean ternas pitagricas e interpretar algunas demostraciones delTeorema de Pitgoras basadas en equivalencia de reas.

La comprensin del proceso de medir y calcular medidas en situa-ciones problemticas que requieran:

estimar y calcular cantidades, eligiendo la unidad y la forma deexpresarlas que resulte ms conveniente14 en funcin de la situa-cin y de la precisin requerida, y reconociendo la inexactitud de

toda medicin explorar las relaciones entre cuerpos con igual rea lateral y dis-

tinto volumen o con el mismo volumen y distintas reas laterales.

13 La complejidad de las afirmaciones estar dada por el repertorio

de figuras y propiedades conocidas.14 Incluyendo notacin cientfica para cantidades muy grandes o muy

pequeas.

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EN RELACIN CON LA PROBABILIDAD Y LA ESTADSTICA


organizar conjuntos de datos discretos y acotados para estudiarun fenmeno, comunicar informacin y/o tomar decisiones, ana-lizando el proceso de relevamiento de los mismos

identificar diferentes variables (cualitativas y cuantitativas), or-ganizar los datos y construir grficos adecuados a la informacin

a describir interpretar el significado de la media y el modo para describir los

datos en estudio.


comparar las probabilidades de diferentes sucesos incluyendocasos que involucren un conteo ordenado sin necesidad de usarfrmulas

determinar la frecuencia relativa de un suceso mediante ex-perimentacin real o simulada y compararla con la probabili-dad terica.

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27 mNOVENO AOEN RELACIN CON EL NMERO Y LAS OPERACIONES

El reconocimiento y uso de nmeros racionales y de las operacionesy sus propiedades en situaciones problemticas que requieran:

usar y analizar estrategias de clculo con nmeros racionales(Q), seleccionando el tipo de clculo y la forma de expresar losnmeros involucrados, evaluando la razonabilidad del resultadoe incluyendo su encuadramiento

analizar las operaciones en Q y sus propiedades como extensin

de las elaboradas para los nmeros enteros reconocer la insuficiencia de los nmeros racionales para expre-

sar la relacin entre la longitud de la circunferencia y su dime-tro y entre los lados de un tringulo rectngulo

explorar y enunciar las propiedades de los distintos conjuntosnumricos (discretitud, densidad y aproximacin a la idea decompletitud), estableciendo relaciones de inclusin entre ellos

producir argumentos que permitan validar propiedades ligadas ala divisibilidad en N.


El reconocimiento, uso y anlisis de funciones en situaciones proble-mticas que requieran:

interpretar grficos y frmulas que modelicen variaciones linea-les y no lineales (incluyendo la funcin cuadrtica) en funcin dela situacin

modelizar y analizar variaciones lineales expresadas mediantegrficos y/o frmulas, interpretando sus parmetros (la pen-

diente como cociente de incrementos y las intersecciones conlos ejes)

determinar la ecuacin de una recta a partir de diferentes datos vincular las relaciones entre rectas con las variaciones de sus

parmetros.

El uso de ecuaciones y otras expresiones algebraicas en situacionesproblemticas que requieran:

argumentar sobre la validez de afirmaciones que incluyan expre-

siones algebraicas, analizando la estructura de la expresin transformar expresiones algebraicas usando diferentes propieda-

des al resolver ecuaciones de primer grado

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15 Se incluye slo la resolucin grfica de sistemas de dos ecuaciones.16 Por ejemplo, dado un tringulo cualquiera, si se traza una paralela

a uno de sus lados, se obtiene un tringulo semejante al primero.17 Por ejemplo, al determinar distancias inaccesibles.

argumentar sobre la equivalencia o no de ecuaciones de primergrado con una variable

usar ecuaciones lineales con una o dos variables y analizar elconjunto solucin

vincular las relaciones entre dos rectas con el conjunto solucinde su correspondiente sistema de ecuaciones15.

EN RELACIN CON LA GEOMETRA Y LA MEDIDA

El anlisis y construccin de figuras, argumentando en base a pro-piedades, en situaciones problemticas que requieran:

usar la nocin de lugar geomtrico para justificar construcciones(rectas paralelas y perpendiculares con regla y comps, circunfe-rencia que pasa por tres puntos, entre otras)

construir figuras semejantes a partir de diferentes informacionese identificar las condiciones necesarias y suficientes de semejan-za entre tringulos

interpretar las condiciones de aplicacin del teorema de Thalese indagar y validar propiedades asociadas16

usar la proporcionalidad entre segmentos que son lados en trin-gulos rectngulos, caracterizando las relaciones trigonomtricas17

seno, coseno y tangente formular conjeturas sobre propiedades de las figuras (en relacin

con ngulos interiores, bisectrices, diagonales, entre otras) y pro-ducir argumentos que permitan validarlas

extender el uso de la relacin pitagrica para cualquier tringulorectngulo.9

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29 mEN RELACIN CON LA PROBABILIDAD Y LA ESTADSTICA


organizar datos para estudiar un fenmeno y/o tomar decisionesanalizando el proceso de relevamiento de los mismos y los mo-dos de comunicar los resultados obtenidos

identificar diferentes variables (cualitativas y cuantitativas, dis-cretas y continuas), organizar los datos para su agrupamiento

en intervalos y construir grficos adecuados a la informacina describir interpretar el significado de los parmetros centrales (media,

mediana y modo) y analizar sus lmites para describir la situacinen estudio y para la elaboracin de inferencias y argumentospara la toma de decisiones.


explorar, producir y utilizar frmulas sencillas de combinatoriapara calcular probabilidades

evaluar la razonabilidad de una inferencia elaborada conside-rando datos estadsticos obtenidos a partir de una muestra.

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Prioritarios

TercerCicloEGB/

NivelMedio

Matemtica

31A modo de cierre

La identificacin de los Ncleos de Aprendizajes Prioritarios constitu-ye la primera fase de una tarea que contina en la escuela mediante:

La mirada profesional y el pensamiento reflexivo de los equiposdirectivos y docentes.

La vitalidad, el espritu curioso y la necesidad de aprendizaje delos jvenes.

Las preguntas e inquietudes de las familias.

Los aportes y demandas de la comunidad.

Al imprimir sus propios matices en el desarrollo de estos ncleos,cada institucin contribuir de un modo peculiar a los aprendizajes delos jvenes del pas.

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Se termin de imprimir

en el mes de enero de 2006

Buenos Aires, Argentina

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