Dibujo Técnico II María Amián

Bloque I: Geometría Plana

Tema 6: Curvas Técnicas

6.1 Óvalos: Los óvalos son curvas cerradas formadas por circunferencias tangentes entre sí.

Dado el eje mayor.1) Dividimos el segmento dado en 3 partes iguales y obtendremos los

puntos O1 y O2.2) Con centros en O1 y O2 trazamos las circunferencias de radios O1M y O2N.3) Los puntos de intersección de estas dos circunferencias, O3 y O4, son los

centros de los otros dos arcos del óvalo.

Dado el eje menor.1) Dibujamos una circunferencia de diámetro el eje dado.2) Trazamos dos diámetro perpendiculares y obtendremos 4 puntos:

O1,O2,O3,O4.3) Unimos O2 con O1 para hallar una recta. Con centro en O2 y radio O4

trazamos un arco que corte a la recta anterior, obteniendo el punto A, de tangencia. Repetimos el proceso con O2 y O3 y obtendremos el punto D.

Óvalo de 4 centros.1) Dibujamos los ejes MN y ST, de modo que se

corten en el punto medio O.2) Con centro en O y radio el semieje mayor OM,

trazamos un arco que corte la prolongación del otro eje en Q.

3) Con centro en S y radio SQ trazamos un arco que corte a MS en R.

4) Se traza la mediatriz del segmento MR, que corte

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a los ejes en los puntos O1 y O2.5) Los puntos O1 y O2 junto con O3 y O4, son los centros de los arcos del

óvalo. Óvalo inscrito en un rombo.

1) Por el punto C, trazamos rectas perpendiculares a los lados AD y DB.2) Por el punto D rectas perpendiculares a AC y CB.3) Los puntos O1 y O2 de intersección de las rectas trazadas son los centros

de los arcos pequeños NQ y MP y los puntos C y D, son los centros O3 y O4 de los arcos MN y PQ.

6.2 Ovoides Dado su eje.

1) Dividimos el eje MN en 6 partes iguales y las numeramos. El punto 2 será O3 y el punto 5, O4.

2) Por O3 trazamos una perpendicular a MN.3) Con centro en O3 y radio O3M, trazamos una semicircunferencia que corta

a la perpendicular en A y B.4) Con centro en O3 y radio O3N, trazamos otra semicircunferencia que corte

a la perpendicular en O1 y O2.5) Los puntos O1, O2, O3 y O4, son los centros para construir el ovoide.

¿Para qué sirve?

Puedes encontrar óvalos y ovoides en problemas de tangencias y enlaces, especialmente en las pruebas de acceso a la universidad, en trazados geométricos que formen figuras.

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Dado su diámetro.1) Con diámetro ST trazamos una circunferencia cuyo centro es el punto O1.2) Se dibuja una perpendicular a ST, que corte a la circunferencia en el

punto O2.3) S y T, serán O3 y O4, junto con O1 y O2, serán los centros de los cuatro

arcos del ovoide.

Dado el eje y el diámetro.1) Trazamos la semicircunferencia de diámetro ST cuyo centro es el punto

O1.2) Por el punto O1 trazamos la perpendicular a ST que corta a la

semicircunferencia en M.3) Sobre la perpendicular anterior, a partir de M, nos llevamos el eje MN.4) A partir de los puntos S, T y N, llevamos hacia el interior los segmentos

SA, TB y NO2, iguales al radio del arco menor del ovoide que se elige arbitrariamente.

5) Trazamos las mediatrices de los segmentos AO2 y BO2 que cortan a la prolongación del diámetro ST en los puntos O3 y O4.

6) Los puntos O1, O2, O3 y O4, son los centros para construir el ovoide.

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6.3 Volutas

Las volutas son curvas formadas por arcos de circunferencia tangentes entre sí, cuyos centros son los vértices de un polígono base. Se denomina paso a la distancia que existe entre dos puntos distanciados entre sí una vuelta.

Voluta de dos centros conociendo el paso.1) Sobre una recta r se coloca un segmento AB que mida lo mismo que el

paso y hallamos su punto medio C2) Con centro en C se traza la semicircunferencia de radio CA.3) Con centro en A y radio AB se traza la semicircunferencia que corta a la

recta r en el punto D.4) Con centro en C, trazamos la semicircunferencia que corte a r en E. Y así

sucesivamente.5) Los centros de las semicircunferencias serán A y C alternativamente.

Voluta de varios centros conociendo el paso.1) Dividimos el segmento AB en tantas partes iguales como centros tenga

la voluta, en este caso, 4.2) Construimos un polígono regular cuyo lado mida lo

mismo que una de las divisiones anteriores, un cuadrado MNPQ.

3) Prolongamos los lados del polígono.4) Con centro en un vértice cualquiera, M, y radio MQ,

trazamos un arco que corte a la prolongación de uno de los lados en R.

5) Con centro en N y radio NR, trazamos un arco RS hasta que corte a la prolongación del siguiente lado del cuadrado.

6) Con centro en P y radio PS, trazamos el arco ST.7) Con centro en Q y radio QT, trazamos TU,

completando una vuelta.8) Continuamos el proceso hasta completar el número de vueltas deseado.

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6.4 Espirales Espiral de Arquímedes conocido el paso.

1) Dibujamos una circunferencia con centro en O y radio OM (paso) 2) Dividimos la circunferencia en partes iguales, por ejemplo 16.3) Dividimos el segmento OM en el mismo número de partes iguales que la

circunferencia y numeramos los puntos desde el centro.4) Trazamos las circunferencias concéntricas con centro en O y radios O1,

O2, O3…5) Los puntos de intersección de las circunferencias con los radios O1, O2,

O3… nos darán los puntos A,B,C, … que uniremos a mano alzada para

obtener la espiral.

6.5 Evolvente La evolvente de un círculo es la curva que genera un punto fijo de una

tangente a la circunferencia, que se desplaza alrededor de la misma sin resbalar.1) Dibujamos una circunferencia de radio dado y la dividimos en un número

de partes iguales, por ejemplo en 8.2) Numeramos los puntos.3) Por los puntos anteriores trazamos tangentes a la circunferencia.4) Sobre la tangente el punto 1, nos llevamos la distancia M1.5) Sobre la tangente del punto 2 , nos llevamos el doble de M1, sobre la del

punto 3, M1 tres veces y así sucesivamente.6) Vamos uniendo los puntos obtenidos a mano alzada hasta dibujar la

evolvente.

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6.6 Curvas cíclicas.

Una curva cíclica es la figura que escribe el movimiento de un punto de una recta o una circunferencia que rueda sobre otra recta o circunferencia.

La circunferencia o recta que se mueve, se llama RULETA o GENERATRIZ, y la recta o circunferencia sobre la que se desplaza, se llama BASE o DIRECTRIZ.

Cicloide: Es la trayectoria de un punto P de una circunferencia ruleta que rueda sobre una recta base.

1) Llamemos al punto P de la circunferencia de centro O.2) Dividimos la circunferencia en partes iguales, por ejemplo 12, aunque 8

es un número suficiente.3) Sobre la recta base, a partir del punto P, nos llevamos la medida de la

circunferencia rectificada (rectificación de una circunferencia, tema 1) y dividimos el segmento en tantas partes iguales como la circunferencia, en este caso, 12. Obtenemos el segmento PP12.

4) Numeramos los puntos.5) Por cada uno de los puntos de la ruleta, se trazan rectas paralelas a la

base.6) Por cada puntos de división de la base, trazamos rectas perpendiculares

hasta que corten a la recta paralela desde el centro en O1,O2,O3,… 7) Dibujamos las circunferencias de centros O1,O2,O3,… donde las

perpendiculares vayan cortando a las paralelas correspondientes y así obtendremos los puntos P1, P2,P3… que uniremos a mano alzada para obtener la cicloide. Cicloide acortada y alargada: Teniendo los puntos P’ y P’’, interior

y exterior a la circunferencia, obtenidos al sumar o restar un segmento determinado al radio de la circunferencia.1) Dibujamos la cicloide normal.2) Sobre los segmentos O1P1,O2P2, O3P3… y a partir de los centros

O1,O2,O3… nos llevamos las distancias OP’ y OP’’ obteniendo los puntos P’1,P’2, P’3… y P’’1,P’’2,P’’3…

Epicicloide: Es la curva que resulta cuando un punto P de una circunferencia ruleta rueda sobre el exterior de otra circunferencia base.

1) Dividimos la ruleta en un número de partes determinado, 8 en este caso.

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2) Numeramos los puntos.3) Para dividir en partes iguales la circunferencia base, debemos aplicar la

siguiente fórmula:

α=ángulo de la ruleta x radio de la ruleta / radio de la circunferencia base.

4) Una vez tengamos el ángulo deseado, lo trasladaremos a la circunferencia base tantas veces como hayamos dividido la ruleta.

5) Numeraremos los puntos obtenidos como 1’,2’,3’…6) Otra opción, que evitaría tener que calcular la fórmula sería rectificar el

segmento PO y trasladar la medida a la base tantas veces como divisiones tenga la ruleta.

7) Con centro en O’ (centro de la circunferencia base) trazamos arcos que pasen por los puntos en que se ha dividido la ruleta.

8) Trazamos el arco de centro O’ y radio O’O.9) Prolongamos los radios de la circunferencia O’ con los puntos 1’,2’,3’…

hasta que corten al arco anteriormente trazado, de manera que obtendremos los puntos O’1,O’2,O’3…

10)Hacemos centro en O1 y con radio O’1 trazamos un arco que cortará al trazado desde O’ y con radio O’1, de este modo hallaremos P1.

11)Repetimos el proceso con todos los puntos y los uniremos a mano alzada, obteniendo la Epicicloide. Epicicloide acortada y alargada:

Seguiremos los mismos pasos que para hallar la cicloide acortada y alargada.

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Hipocicloide: Es una curva plana que se obtiene por el movimiento de un punto P perteneciente a una ruleta que rueda por el interior de otra circunferencia base.

1) Para hallar la hipocicloide seguimos el mismo procedimiento que para la epicicloide, teniendo en cuenta que quedará “dentro” de la circunferencia base, y para hallar el ángulo aplicaremos la siguiente fórmula

α= ángulo de la circunferencia ruleta / 4.

O bien, rectificamos el arco P1 de la ruleta.

- Tangentes a las curvas

cíclicas.Para trazar tangentes a la cicloide, epicicloide e hipocicloide, por un punto indicado: 1) Trazamos una recta que una dicho punto, por ejemplo P5, con el punto 5’ de la recta o la curva correspondiente.2) Trazamos una perpendicular a la recta por el punto P5, que será la recta

t tangente a la curva.

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