Mov en Fuerzas Centrales[1].PDF

8/19/2019 Mov en Fuerzas Centrales[1].PDF

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Movimiento Bajo la Acción de una

Fuerza Central

Mario I. Caicedo

Departamento de F́ısica, Universidad Sim´ on Boĺıvar

Índice

1. Introduccí on al Momentum Angular 3

2. Ley de las Areas 6

3. Leyes de Kepler 7

3.1. Descubriendo la Ley de Gravitaci´on Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. La ley de “cubos y cuadrados” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Consideraciones energéticas: El Potencial Efectivo 12

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5. Introduccí on al Problema de Kepler 15

6. Resumen 19

7. Problema de Revisi´ on 20

8. Problemas propuestos 22

9. Tema Avanzado I: Ecuaci´ on de la ´ orbita 24

10.Tema avanzado II: Solución al al Problema de Kepler 26

11.Apéndice: Secciones C´ onicas 29

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1. Introduccí on al Momentum Angular

Consideremos una part́ıcula que se mueve bajo la acci´ on de una fuerza central , esto es, una

fuerza paralela a la ĺınea que une a la part́ıcula con un punto jo ( O ) denominado el centro de

fuerzas y cuya magnitud solamente depende de la distancia entre la part́ıcula dicho punto 1 .

Por el momento supondremos que el movimiento ocurre en un plano (armación que pro-

baremos m ás adelante). Estas hip´ otesis sobre la fuerza y el movimiento sugieren utilizar un

sistema de coordenadas polares centrado en O , lo que permite escribir directamente las sigu-

ientes expresiones generales para fuerza y la aceleraci´on

F = F (r ) ûr (1)

a = ( r̈ −r θ̇2 ) ûr + ( r θ̈ + 2 ṙ θ̇) ûθ (2)

Al utilizar la segunda ley de Newton obtenemos las siguientes ecuaciones para r y θ

r̈ −r θ̇2 =

F (r )M

(3)

r θ̈ + 2 ṙ θ̇ = 0 (4)

donde evidentemente M representa la masa de la part́ıcula. La ecuaci´ on (4) permite concluir

que (vea el problema (1))

Mr 2 θ̇ = ℓ = constante. (5)

Concentŕemonos por un momento en la igualdad (5). En primer lugar debemos recalcar que

la constancia de ℓ no implica que la distancia al origen de coordenadas ( r ) ó la velocidad1

si quiere imaginar un ejemplo aproximado piense en la rotación anual de la tierra en su orbita alrededor delsol

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angular ( θ̇) sean constantes. Lo que es constante es el producto de ambas cantidades. Esta

observaci ón tiene una implicaci ón geométrica acerca del movimiento de la part́ıcula sobre lacual comentaremos más adelante (véase la seci´ on 2). En segundo lugar, observemos que la

igualdad (5) se puede reescribir en la forma

ℓ = r (Mr θ̇) = r ×Mr θ̇ûθ . k̂ (6)

donde k̂ = ûr × ûθ es un vector unitario ortogonal al plano en que ocurre el movimiento. Lafórmula (6) no dice mucho, sin embargo, si recordamos que ˆur ×û r = 0 podemos a ñadir un 0en la fórmula (6) para obtener una nueva expresi´ on para ℓ

ℓ = r ×(Mr θ̇ûθ + M ṙ ûr ) . k̂ (7)

ahora bien, en coordenadas polares la velocidad se escribe en la forma: v = ṙ û r + r θ̇ûθ , ası́ que,

al usar que el momentum de una partı́cula se dene como p = M v, podemos concluir nalmente

que el número ℓ puede expresarse de manera bastante natural en términos de dos cantidades

f́ısicas (la posici ón y el momentum) muy bien denidas seg´un:

ℓ = ( r × p) . k̂ (8)

Ahora bien, evidentemente r × p es un vector ortogonal al plano y ℓ no es otra cosa que suproyección a lo largo del vector k̂ = ûr ×ûθ . En denitiva, y recapitulando hasta este punto,hemos encontrado que:

Si el movimiento bajo la acci´ on de una fuerza central es en un plano entonces el

vector L ≡ r × p (9)

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es constante.

El vector L denominado Momentum Angular es una cantidad fı́sica de importancia fundamental

que aparece inexorablemente ligada a la descripción de la din´ amica de objetos no puntuales,

cabe comentar que la denición del momentum angular (fórmula (9)) es bastante natural y que

surge inducida por el hecho de que la fuerza es central.

Nuestro resultado acerca de la constancia de L depende de introducir la hipótesis simpli-

cadora según la cual el movimiento es en un plano. Cabe preguntarse acerca de la validez

de esta hip ótesis. A continuaci ón utilizaremos la la denici ón de L para demostrar rigurosa-

mente que el movimiento de una part́ıcula bajo la acci´ on de una fuerza central ocurre efectiva

y necesariamente en un plano.

Para lograr la demostraci´ on comenzaremos por probar que, bajo la hipótesis de fuerzas

centrales, el Momentum Angular es constante. En efecto, usando la denici´ on de L, su derivada

temporal se calcula f ácilmente

d L

dt = ṙ

× p + r

× ˙ p = 0 + r

× F , (10)

ahora bien, la fuerza es central si y solo si F ||r en cuyo caso, el segundo sumando de la igualdad(10) se anula y eso demuestra que L es un vector constante.

Para concluir la demostración observemos que, por denici ón, L es ortogonal al plano for-

mado por el radio vector de posici ón de la partı́cula ( r) y a su ı́mpetu ( p), como L es constante,

dicho plano tiene que ser jo.

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2. Ley de las Areas

Hab́ıamos adelantado que la constancia de ℓ tenı́a una implicaci´on geométrica sumamente

interesante, y este es un buen momento para discutir este punto. Consideremos el tri´ angulo

innitesimal formado por el origen de coordenadas y dos puntos del movimiento separados por

un intervalo de tiempo innitesimal ( dt). El área de dicho tri ángulo est á dada por ( ¿por qué? )

dA = 12|r(t + dt) × r(t)| (11)

pero:r(t + dt) = v(t) dt + r(t) (12)

aśı que al sustituir resulta:

dA = 12|v(t) × r(t) dt| =

12

M M |v(t) × r(t) dt| =

12 M | p(t) × r(t) dt| =

12 M | L(t) dt| (13)

esto es

dA = 12M

ℓ dt (14)

donde hemos utilizado que, como el movimiento es bajo la acci´on de una fuerza central, | L| =ℓ = ctte .

En denitiva, hemos demostrado que

dAdt

= ℓ2M

. (15)

El signicado f́ısico de esta fórmula es tremendamente interesante. Como el movimiento es en

un plano, el radio vector de posici ón de la part́ıcula va barriendo un ´ area, la cantidad

dAdt

(16)

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no es más que la rapidez con la cual se barre dicha ´area. Ası́ que la f órmula (15) establece que, en

vista de que ℓ es constante, esta rata es ja (y proporcional a ℓ). No es posible sobreenfatizar elhecho de que las manipulaciones matemáticas que nos trajeron hasta la igualdad (15) garantizan

que esta es válida para cualquier fuerza central sin importar la forma expĺıcita de la funci´ on

F (r ).

La constancia de dA/dt conocida como Ley de las Areas , fué descubierta por Johannes

Kepler (1571-1630), quien la estableci ó para las órbitas planetarias bas´ andose en las mediciones

astron ómicas de Tycho Brahe (1546 −1601).

3. Leyes de Kepler

Las mediciones de astron ómicas de Brahe le permitieron a Kepler enunciar las siguientes

tres leyes para los movimientos planetarios

1. Los planetas se mueven a lo largo de ´ orbitas eĺıpticas en uno de cuyos focos se encuentra

el Sol.

2. Los radios que unen al sol con los planetas barren ´ areas iguales en tiempos iguales

3. Los cubos de las distancias al sol y los cuadrados de los peŕıodos son proporcionales.

Hay varios comentarios interesantes que se pueden hacer en relaci´ on a las leyes de Kepler. El

primero consiste en destacar que los resultados de Kepler fueron totalmente empı́ricos, es decir,

obtenidos directamente a partir de las observaciones y sin ninguna referencia a alguna relaci´ on

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causa efecto ya que no fué sino hasta los trabajos de Newton que tales relaciones pudieron

establecerse.El segundo comentario es el siguiente: a la luz de las leyes de Newton y seg ún hemos visto,

resulta evidente que la ley de las áreas es un fenómeno asociado a cualquier fuerza que tenga

carácter central.

Finalmente debemos destacar (como exhibiremos m´ as adelante) que la primera y tercera

leyes están directamente relacionadas con la Ley de Gravitaci´ on Universal de Newton. Descri-

biendo las cosas en términos modernos, Newton propuso que entre cualquier par de part́ıculas

puntuales se establece una fuerza central dada por:

F = GMM o

r 2 ûr (17)

donde, M y M 0 son las masas de las part́ıculas, G es una constante, r la distancia que separa

las partı́culas y ˆur el vector unitario que dene la radial entre ambas part́ıculas. El éxito de esta

teorı́a de gravitaci´ on proviene del hecho de que las leyes de Kepler pueden derivarse directamente

a partir de la f órmula de la fuerza (17) y de las leyes del movimiento de Newton. La ley del

movimiento eĺıptico requiere la integraci´ on de una ecuaci ón diferencial (véase la secci ón (10)).

3.1. Descubriendo la Ley de Gravitací on Universal

Es interesante tratar de imaginar el proceso de descubrimiento de una Ley F́ısica 2 . Supong-

amos que tenemos a nuestra disposici´on las tres leyes de Kepler, las leyes de movimiento de

Newton y la notaci ón matem ática que usamos hoy dı́a. Nuestro interés se va a centrar en ver2 aprendı́ esta forma pedag´ ogica de presentar el problema del Dr. Rodrigo Medina (IVIC, USB)

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que podemos descubrir al pensar en lo que ocurre cuando meditamos acerca del movimiento

planetario como es descrito por las leyes de Kepler (esto es, estamos interesados en hacer algode ¡investigación cient́ıca!).

En primer lugar, y a la luz de lo que hemos aprendido en la secci´on (2) la ley de las áreas

nos hace pensar en que la fuerza que el sol ejerce sobre el planeta es central y que el centro

de fuerza est á localizado en el sol3 de manera que la ecuacion radial de movimiento para un

planeta de masa m será

m r̈ −r θ̇2 = F (r ). (18)

En segundo lugar, el hecho de que la orbita del planeta sea una elipse con el Sol en un foco nos

permite relacionar la distancia radial entre el Sol y el planeta y el ´ angulo polar a través de la3 Debemos resaltar que estamos imaginando que el sol est´ a jo en el centro de fuerzas. En verdad esto no

es cierto, podemos imaginar un sistema de dos part́ıculas de masas similares -las componentes de un sistema

estelar binario constituyen un buen ejemplo de esto- que interact´ uan gravitacionalmente, en tal caso y si el

sistema formado por ambas part́ıculas se encuentra muy lejos de cualquier otra fuente de gravitaci´ on, ambas

partı́culas ejecutar´ an una “danza” en la cual ninguna de las dos est´ a ja. En el caso de la tierra y el sol ocurre

que la masa del sol es fant´asticamente mayor que la de la tierra y esto provoca que desde todo punto de vistapr áctico se pueda considerar al sol como jo

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ecuación cónica (0 ≤ε < 1)4 :

r = α

1 + ε cos θ , (19)

igualdad en que debe entenderse que la dependencia temporal de r está codicada (implı́cita)

en la dependencia temporal del ángulo polar.

Al calcular la velocidad radial ( ṙ ) se obtiene

ṙ = − α

(1 + ε cos θ)2(−εsenθ θ̇) =

ε ℓm α

senθ , (20)

donde hemos usado que, como la fuerza es central,

ℓ = m r 2 θ̇ = ctte. (21)

Diferenciando ṙ con respecto al tiempo se obtiene la aceleración radial (¨ r )

r̈ = ε ℓm α

cosθ θ̇ = ε ℓ2

m 2 αcosθr 2

(22)

que al ser sustituida en el lado izquierdo de la ecuación de movimiento, lleva al resultado

m r̈ −r ˙θ

2

= m ε ℓ2

m 2 αcosθr 2 −

ℓ2

m r 3 =

= ℓ2

m α r 2ε cosθ −

αr

=

4 La excentricidad (ε ) caracteriza el tipo de cónica como sigue:

ε > 1 hipérbola.

ε = 1 par ábola.

0 < ε < 1 elipse

ε = 0 cı́rculo.

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= ℓ2

m α r 2 [ε cosθ −(1 −εcosθ)] =

= − ℓ2

m α r 2 (23)

comparando con el lado derecho de la ecuaci ón radial se obtiene en denitiva

F = −κr 2

con: κ = 1α

ℓ2

m (24)

de manera que el uso juicioso de las observaciones experimentales (leyes de Kepler) y de la

mecánica Newtoniana nos ha permitido mostrar que la ley de las áreas y la primera ley de

Kepler implican que la fuerza entre el Sol y el planeta es central, atractiva y de magnitud

rećıproca con el cuadrado de la distancia, es decir:

¡Hemos redescubierto la ley de Gravitaci´ on Universal!

En la sección (10) demostraremos el rećıproco de este resultado, es decir, probaremos que

el uso de las leyes de movimiento de Newton en conjunción con una fuerza que va como 1/r 2

implica que las trayectorias deben ser cónicas.

3.2. La ley de “cubos y cuadrados”

La ley de los peŕıodos puede ser mostrada a través de un argumento sencillo que exhibe

claramente el alcance del teorema de conservación del momentum angular. El argumento parte

de inquirir acerca de las condiciones que permitan la existencia de una ´ orbita planetaria circular

asociada a la fuerza de gravitación universal, en cuyo caso y debido a que ℓ = constante resulta

claro que la velocidad angular θ̇ ≡ ω tiene que ser uniforme, de esta forma, la ecuaci ón radial

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(3) se puede reescribir en la forma (¿por qué?)

R ω 2 = G M oR 2

, (25)

donde R es el radio orbital y M 0 es la masa del sol, que estamos suponiendo jo en el centro

de fuerzas; de esta ecuaci ón sigue

R 3 ω2 = GM o . (26)

Recordando que la frecuencia angular y el peŕıodo est´ an relacionados por

T = 2π

ω (27)

se obtiene inmediatamenteR 3

T 2 = constante (28)

que no es otra cosa que la tercera ley de Kepler, que en el contexto de esta presentaci´ on, se

convierte en la condici ón que permite la existencia de una ´orbita circular de radio R .

La prueba del caso general ( órbitas eĺıpticas) es más engorrosa y no la presentaremos en

este curso.

4. Consideraciones energéticas: El Potencial Efectivo

Comenzaremos esta secci ón demostrando que toda fuerza central es conservativa. Para tal

n recordemos que el trabajo realizado por una fuerza para llevar a una part́ıcula entre los

puntos A y B de una trayectoria C se calcula como sigue

W = B

A C F . dr . (29)

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Ahora bien, el diferencial de trayectoria m´ as general posible en tres dimensiones est á dado por

dr = dr ûr + d r⊥ , (30)

donde dr ûr es un elemento innitesimal de trayectoria a lo largo de la direcci´ on radial que une

la part́ıcula con el origen de coordenadas, y d r⊥ un movimiento innitesimal en una dirección

arbitraria contenida en el plano ortogonal a ˆ ur .

Recordando que estamos estudiando fuerzas centrales y utilizando un origen de coordenadas

que corresponda con el centro de fuerza, la fuerza queda descrita por la f´ ormula (1) y por lo

tanto F . dr = F (r ) dr . (31)

De acuerdo a este resultado, los puntos A y B de la trayectoria C quedan identicados por susrespectivas distancias al origen de coordenadas ( r A , y r B ) de manera que el c álculo del trabajo

queda reducido al c álculo de la siguiente integral ordinaria

W = r B

r AF (r ) dr , (32)

en donde todo rastro de la trayectoria ha desaparecido. En consecuencia, hemos demostrado que

efectivamente la fuerza es conservativa. En consecuencia, existe una enerǵıa potencial asociada

a la fuerza central dada por la integral

U (P ) = − P

arb F . dr , (33)

donde P es el punto en que queremos calcular la energı́a potencial, y arb es un punto arbitrario.

Debido a la estructura de la fuerza central, el potencial solo puede depender de la distancia alorigen, raz ón por la cual, en lo sucesivo, describiremos al potencial central por la f´ormula

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U (r ) = − r

r 0 F (s) ds , (34)

donde ahora r0 es un radio arbitrario. Por cierto que esta ´ ultima f órmula nos permite escribir

a la fuerza en la forma

F (r ) = −dU dr

ûr . (35)

Con la ayuda del potencial la enerǵıa mec´ anica total de la partı́cula que se mueve bajo la acci´ on

de una fuerza central se escribe en la forma

E = M 2

ṙ 2 + ( r θ̇)2 + U (r ) (36)

la conservación del momentum angular nos permite expresar la velocidad angular en términos

del radio

θ̇ = ℓMr 2

(37)

lo que en denitiva lleva a la siguiente expresi´on para la enerǵıa

E = M

2 ṙ2

+ ℓ2

2Mr 2 + U (r ) (38)

podemos obtener una forma bien interesante de esta expresi´ on si denimos el potencial efectivo

por la igualdad

U ef f ≡ ℓ2

2Mr 2 + U (r ), (39)

en efecto, en términos del potencial efectivo la f´ormula para la enerǵıa se reduce a la siguiente

expresíon

E = M ṙ 2

2 + U ef f (r ) (40)

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que es formalmente idéntica a la fórmula para la energı́a de una partı́cula que se mueve a lo largo

del eje x (E = m ẋ 2

2 + U (x)). Esto nos va a permitir estudiar algunos aspectos muy generalesdel movimiento bajo la acci ón de fuerzas centrales.

A partir de la f órmula (40) podemos encontrar la siguiente expresi´ on general para la rapidez

radial de la partı́cula

ṙ = ± 2M (E −U ef f (r )) (41)de acá podemos calcular directamente los puntos de retorno del movimiento, es decir los valores

de r para los cuales se anula la rapidez radial.

5. Introduccí on al Problema de Kepler

El problema de Kepler consiste en calcular la ´orbita que corresponde a la fuerza de grav-

itaci ón Newtoniana. En esta secci´on vamos a aplicar las ideas que hemos introducido en la

anterior para estudiar algunos aspectos del movimiento bajo la acci´ on de la gravedad, en este

caso

F (r ) = −GMM 0

r 2 , (42)

de donde (escogiendo r 0 = ∞) se obtiene el potencial gravitacional

U (r ) = −GMM 0

r , (43)

lo que nos lleva a la siguiente expresión para el potencial efectivo:

U ef f (

r) =

ℓ2

2Mr 2 −G

MM 0

r .

(44)

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–30

–20

–10

0

10

20

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5r

Figura 1: Los potenciales centŕıfugo (cont́ınuo) y gravitacional (en puntos)

El primer aspecto obvio de este potencial efectivo es el hecho de que tiene dos sumandos de

signo diferente, el segundo consiste en que el potencial se anula a grandes distancias del origen

región en la cual domina el potencial gravitacional de manera que

ĺımr →∞

U ef f = 0 − , (45)

cerca del origen el potencial efectivo es totalmente dominado por el término centŕıfugo y ocurreque

ĺımr → 0

U ef f = ∞. (46)El potencial efectivo tiene una sola ráız y un solo ḿınimo global (para el cual el valor

de U ef f es negativo). Como veremos a continuaci´on, estas propiedades del potencial efectivo

nos permiten discutir algunas caracteŕısticas cualitativas del movimiento de una part́ıcula bajo

la acción de la gravedad si se conoce su enerǵıa mec ánica total. Estudiaremos los tres casos

posibles, a saber: E > 0, E = 0 y E < 0

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–8

–6

–4

–2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

r

Figura 2: El potencial efectivo para el problema de Kepler. Note que el potencial tiene un

mı́nimo absoluto

1. Comencemos considerando el caso en que E < 0 en este caso (y asumiendo por supuesto

que 0 > E > Min (U ef f )), los puntos de retorno 5 , es decir las soluciones de la ecuación

E −U ef f = E − ℓ2

2Mr 2 + G

MM 0r

= 0 (47)

son dos, esto es: hay dos puntos de retorno, y en consecuencia durante todo el movimiento,la distancia entre la part́ıcula y el origen deber´ a mantenerse entre estos dos valores, es

decir

rmin ≤r (t) ≤ r max , (48)de manera que podemos asegurar que la ´orbita es acotada.

2. En el caso en que la enerǵıa total sea positiva E > 0 solo hay un punto de retorno y

adema ás la part́ıcula puede escapar al innito (el movimiento no es acotado) ya que a5 recordemos que los puntos de retorno son los puntos del movimiento en que la rapidez radial ˙ r es nula

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grandes distancias E ≈ M ṙ 2

2 > 0

3. El caso de enerǵıa nula E = 0 justamente separa las ´ orbitas acotadas de las no acotadas,

en efecto, si E = 0 la part́ıcula apenas puede alcanzar el innito con velocidad nula.

En general los potenciales centrales atractivos son negativos y se anulan a distancia innita

del centro, razones por las cuales algunos de los aspectos que acabamos de discutir mantienen

su validez. Aśı por ejemplo, las orbitas acotadas est´ an asociadas a movimientos con enerǵıa

mecánica total negativa.

Hay sin embargo un comentario sobre el que debemos hacer especial énfasis. El hecho de que

una órbita sea acotada no signica que sea peri´odica (es decir que el movimiento se repita exac-

tamente luego de un intervalo nito de tiempo). Las preciosas ´ orbitas eĺıpticas del movimiento

kepleriano son m ás bién excepcionales y bajo ning ún concepto representan la geometŕıa de

las órbitas bajo potenciales generales, de hecho el movimiento Kepleriano es casi milagroso y

está inexorablemente ligado al hecho de que la fuerza gravitacional sea inversa al cuadrado de

la distancia entre las masas.

NOTA Hasta ac á usted hemos estudiado el material b´ asico para el tema de fuerzas centrales

del curso FS1112. Para reforzar el material lea con detenimiento el ejemplo de la secci´ on 7 y

por supuesto, ¡haga los problemas propuestos!.

Si usted es curioso seguramente estar´a interesado en ir un poco m ás allá, con ese n estudie

los temas avanzados secs. 9 y 10.

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6. Resumen

Denici´ on 1 La fuerza entre dos part́ıculas se denomina central si y solo si es paralela al

vector R que une las dos part́ıculas y su magnitud solo depende de | R|.Denici´ on 2 El momentum angular de una part́ıcula con respecto a un origen de coordenadas

O es el vector dado por

L = r × p , (49)donde r y p son la posici´ on y el momentum de la part́ıcula con respecto a O .

Teorema 1 El momentum angular de una part́ıcula que se mueve bajo la acci´ on de una fuerza

central es constante.

Teorema 2 Toda fuerza central tiene una enerǵıa potencial asociada. M´ as a´ un, si r es la

posici´ on con respecto al centro de fuerzas, el potencial se calcula como:

U (r ) = − r

r 0F (s) ds , (50)

donde r = |r| y r0 es un radio arbitrario.Teorema 3 Dado el potencial asociado a una fuerza central, la fuerza se calcula como

F (r ) = −∇U ≡ − dU dr

û r . (51)

Teorema 4 Al utilizar coordenadas polares en el plano del movimiento la enerǵıa mec´ anica

total de una part́ıcula de masa M que se mueve bajo la acci´ on de una fuerza central cuyo

potencial es U (r ) se puede expresar en la forma

E = M ṙ

2 + U ef f , (52)

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donde el potencial efectivo es

U ef f = ℓ2

2 M r 2 + U (r ) , (53)

y ℓ es la magnitud del momentum angular de la part́ıcula

Denici´ on 3 Los puntos de retorno son los radios para los cuales la velocidad radial ṙ es nula.

7. Problema de Revisión

Ejemplo 1 Una part́ıcula de masa m se mueve bajo la acci´ on de una fuerza central cuyo

potencial es

U = κr 2

,

donde κ es una constante positiva y r la distancia al centro de fuerza.

1. Determine la fuerza.

2. ¿Qué puede decir de la trayectoria de la part́ıcula?

3. La posici´ on y velocidad iniciales de la part́ıcula de prueba son

r0 = x0 î + z 0 k̂, v0 = v0 î ,

Determine la mı́nima distancia a la que la part́ıcula puede acercarse al centro de fuerza

Soluci´ on La fuerza asociada al potencial se calcula sencillamente recordando que la fuerza es

opuesta al gradiente del potencial, es decir (f órmula 35 de la sección 4),

F = −∇U = −d U dr

ûr = 2 κr 3

ûr , (54)

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como κ es una constante positiva, la fuerza es siempre paralela al vector ˆ ur (es decir, es una

fuerza repulsiva).La fuerza es central, y por lo tanto la trayectoria de la part́ıcula de prueba tiene que estar

contenida en un plano (secci´on 1), adicionalmente, como U siempre es positivo U ef f tambíen

lo es, y por lo tanto la enerǵıa mecánica total tiene que ser positiva lo que implica que el

movimiento no puede ser acotado, es decir, la part́ıcula tiene que escapar al innito (secci´ on 5).

Como el momentum angular y la enerǵıa total de la partı́cula son constantes, la posici´ on y

velocidad iniciales nos permiten calcular estas cantidades sin ninguna dicultad (secciones 1 y

4),

L = m x0 î + z 0 k̂ × v0 = v0 î = m x 0 v0 k̂ ×î = m z 0 v0 ̂j (55)E =

m v202

+ κ

x20 + z 20=

m v20 (x20 + z 20 ) + 2 κ2 (x20 + z 20 )

> 0 . (56)

La enerǵıa escrita en términos de la velocidad radial y el potencial efectivo es

E = m ṙ 2

2 +

ℓ2

2 m r 2 +

κr 2

(57)

sustituyendo los resultados (55) y (56), e igualando ˙r = 0 para calcular la posici´on radial delpunto de retorno se obtiene la siguiente ecuaci´ on para r min :

m v 20 (x20 + z 20 ) + 2 κ2 (x20 + z 20 )

= m z 20 v20

2 r 2min+

κr 2min

(58)

ó equivalentementem v 20 (x20 + z 20 ) + 2 κ

2 (x20 + z 20 ) =

m z 20 v20 + 2 κ2 r 2min

(59)

de donde sigue:

r min = m (x20 + z 20 ) v20 + 2 κ

m v 20 z 20 + 2 κ x20 + z 20 . (60)21


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Problema 6 Una estaci´ on espacial de masa M viaja en el sistema solar orbitando alrededor

del sol. En un cierto instante la posici´ on y velocidad de la estaci´ on espacial est´ an dadas por los vectores

r0 = π 2 ̂j UA , v0 = −î + j + k̂ UA/a˜ no (63)

con respecto a un sistema de referencia cartesiano con origen en el Sol. Despreciando totalmente

la interacci´ on gravitacional entre la estaci´ on espacial y cualquier miembro del sistema solar

distinto del Sol mismo,

1. Encuentre la enerǵıa total de la estaci´ on espacial, de acuerdo a su resultado diga como es

la ´ orbita ¿elı́ptica, parab´ olica, hiperb´ olica?.

2. Calcule el momentum angular ( LS ) de la estaci´ on espacial y describa (m´ as bien, carac-

terize) su plano orbital.

3. ¿Cu´ al es la velocidad radial de la estaci´ on en los puntos de mı́nima (perihelio) y m´ axima

(afelio) distancia entre esta y el Sol?.

4. Determine el afelio y el perihelio de la estací on.

5. ¿Qué tiempo requiere la estaci´ on para completar una ´ orbita alrededor del sol?.

Observaci´ on Una Unidad Astron´ omica (UA) es una distancia igual al semieje mayor de la

´ orbita terrestre. G M 0 = 4π 2 (UA)3 / a˜ no, M 0 =masa solar.

Problema 7 ¿Qué puede decir de los ángulos que forman la velocidad y la aceleraci´ on de un

planeta en su afelio y su perihelio?

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Problema 8 Considere el potencial U (r ) = κ e− r/r 0

r donde κ es una constante real, r la dis-

tancia al centro de fuerza y r0 una constante positiva.

1. ¿Cuales son las dimensiones de κ y r0 ?

2. Encuentre la fuerza asociada a U .

3. ¿Qué puede decir de la fuerza en función del signo de κ

9. Tema Avanzado I: Ecuaci´ on de la ´ orbita

Las ecuaciones de Newton (ecuaciones de movimiento) para el movimiento bajo la acci´ on

de una fuerza central son

M (r̈ −r θ̇2 ) = F (r ) (64)

M (r θ̈ + 2 ṙ θ̇) = 0 (65)

Sabemos que estas son ecuaciones diferenciales que una vez integradas nos permiten conocer

la posición de la partı́cula en funci´ on del tiempo, es decir, las funciones r (t) y θ(t). Sin embargo,

hemos visto que aún sin resolver estas ecuaciones podemos entender algunos aspectos generales

del movimiento (conservación del momentum angular, condiciones para que los movimientos

sean acotados, etc.). Cabe preguntarse si podremos decir algo más. Esta sección est´ a dedicada

a mostrar que efectivamente este es el caso, para ello demostraremos que es posible utilizar las

ecuaciones de movimiento para encontrar una ecuaci´ on diferencial para la trayectoria trayectoriaque no requiere la integraci ón (en tiempo) de las ecuaciones de Newton.

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Comencemos por observar que si logr áramos encontrar las dependencias temporales r(t) y

θ(t) podŕıamos intentar despejar el tiempo para expresar (por ejemplo) al radio como funci´ ondel ángulo ( r (t)) 6 . De acuerdo a esto, si quisiéramos calcular la rapidez radial podrı́amos utilizar

la regla de la cadena para obtener

drdt

= dsdθ

dθdt

(66)

de esta manera, la derivaci´on temporal se puede expresar como sigue

ddt

= dθdt

ddθ

(67)

Ahora bién, ya hemos aprendido que la segunda ecuaci´ on de movimiento implica la igualdad

Mr 2 θ̇ = ℓ(= constante ) (68)

de manera que la derivaci ón con respecto al tiempo puede sustituirse por 7

d

dt =

ℓ

Mr 2d

dθ (69)

en el entendimiento de que r = r (θ). Si iteramos la diferenciaci ón temporal obtendremos

d2

dt 2 =

ℓMr 2

ddθ

( ℓMr 2

ddθ

) = ℓ2

M 2 r 2ddθ

( 1r 2

ddθ

), (70)

de manera, que la segunda derivada del radio con respecto al tiempo es

d2 rdt 2

= ℓ2

M 2 r 2ddθ

( 1r 2

drdθ

) = ℓ2

M 2 r 2ddθ

(− ddθ

(1r

)) (71)

6 exactamente como se hace con el movimiento de proyectiles para demostrar que la trayectoria es parab´ olica7 esto no es tan raro como parece, ya lo hicimos en la secci´ on (3.1)

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nuestro objetivo es utilizar este resultado para eliminar el tiempo de la ecuaci´ on:

M r̈ −r θ̇2 = F (r ) (72)

veremos que esto es posible y que la ecuación resultante es f ácilmente resoluble. En efecto, al

sustituir (71) y la f órmula para la velocidad angular en (72) resulta

− ℓ2

Mr 2d2

dθ21r −rM

ℓMr 2

2

= F (r ), (73)

ód2

dθ21r +

1r = −

M r 2

ℓ2 F (r ) , (74)

resultado que se denomina “ecuación de la órbita”. Es‘menester que hagamos hincapié en que

la resolución de esta ecuación nos lleva a encontrar r = r (θ), es decir, la trayectoria u órbita.

10. Tema avanzado II: Soluci´ on al al Problema de Kepler

Como ya hab́ıamos mencionado, el problema de Kepler consiste en calcular la ´ orbita que

corresponde a la fuerza de gravitación Newtoniana. En este caso, al sustituir F (r ) = −κr 2 en laecuación de la órbita se obtiene

d2

dθ21r

+ 1r

= α − 1 , (75)

donde

α ≡ ℓ2

M κ (76)

Si ahora efectuamos el cambio de variables

u ≡ 1r

(77)

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obtenemos la siguiente ecuaci´on diferencial

u ′′ + u = α − 1 (78)

La ecuación (78) cumple con nuestro objetivo inicial: buscar una descripci´ on de la trayectoria,

en efecto, si resolvemos (78) obtendremos r = r (θ), la ecuación diferencial que hemos obtenido

es reminiscente de la ecuaci ón del oscilador arm ónico (ẍ + ω20 x = 0) y se diferencia de esta por

el término constante no-homogéneo, en este punto es necesario mencionar (sin demostraci´ on)

el siguiente teorema

Teorema 5 La solución general de la ecuaci´ on diferencial nohomogénea

ẍ(t) + ω20 x(t) = f (t) (79)

es

xgral (t) = xH (t) + x p(t) , (80)

donde xH (t) es la soluci´ on general del problema homogéneo mientras que x p(t) es una soluci´ on

del problema nohomoénea.

Es claro que la función constante u p(t) = α − 1 es una solución de la ecuación (78), de manera

que la solución general est á dada por

u(t) = U 0 cos(θ −θ0 ) + α− 1 (81)

donde U 0 > 0 y θ0 son constantes, podemos introducir una nueva constante ε(= α − 1 U 0 ) para

reescribir la ecuaci ón de la trayectoria en la forma

αr

= {1 + ε cos(θ −θ0 )} (82)27


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escogiendo θ = 0 de manera tal que el punto de máximo acercamiento al centro de fuerzas

corresponda con r (0) se obtiene el resultado nal:αr

= {1 + ε cos θ} (83)

que como ya sabemos, es la ecuación general de una c ónica.

No es dif́ıcil convencerse (ejercicio ) de que la eccentricidad ( ε), la enerǵıa total de la órbita

están y el momentum angular están relacionadas por

ε =

1 +

2 E ℓ2

M κ 2 (84)

de donde resulta evidente que, para las ´ orbitas acotadas ( E < 0) la eccentricidad es de magnitud

menor a uno ( ε < 1) condición que asegura que la órbita es elı́ptica.

En términos del signo de la energı́a el resultado es el siguiente:

E < 0 órbita eĺıptica (acotada)

E > 0 órbita hiperbólica (no acotada)

E = 0 órbita parabólica (no acotada)

Problema 9 Observaci´ on: Este problema nos lleva a una forma integral de la ecuaci´ on de la

´ orbita.

La regla de la cadena nos permite escribir:

d θd r

= d θd t

d td r

=θ̇ṙ

(85)

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1. Utilice la igualdad (85), la identidad ℓ = m r 2 θ̇ y la f´ ormula general para la enerǵıa para

despejar ˙θ en términos de r, e integre para obtener la f´ ormula general:

θ(r ) = ± ℓ/r2 dr

2 M (E −U ef f )(86)

2. Para estudiar el problema de Kepler sustituya

U ef f = ℓ2

2 M r 2 − G M M 0

r (87)

y utilice el cambio de variables u = ℓ/r calcule la integral (esto puede ser largo y tedioso)

y encuentre una f´ ormula para θ(r ).

3. Escoja la constante de integraci´ on de forma que el mı́nimo r coincida con θ = 0 , despeje

y obtenga r (θ), verique que el resultado coincide con la f´ ormula para una ´ orbita c´ onica.

11. Apéndice: Secciones C´ onicas

Las secciones cónicas son las curvas que se obtienen de efectuar la intersecci´on de un cono

recto con un plano. El ejemplo más sencillo es un ćırculo, es bastante obvio que esta es la curva

que resulta al atravesar un cono recto con un plano ortogonal a su eje de simetŕıa. Las otras

secciones cónicas son la elipse, la par ábola y la hipérbola.

En coordenadas polares ( r, θ ) las cónicas est án descritas por la ecuación

r = α

1 + ε cosθ (88)

Donde las constantes que aparecen ε y α se denominan excentricidad y latus rectum de lacónica.

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Toda c ónica posee dos puntos de inteŕes particular el pericentro y el apocentro, cuyas posi-

ciones están dadas por las coordenadas ( r min , 0) y (rmax , π ) respectivamente.En el caso en que ε ≥1 se obtienen las dos cónicas no acotadas: la par´abola y la hipérbola.Queremos centrar nuestro interés en las elipses ya que estas son las curvas que representan

las trayectorias keplerianas de las partı́culas con ´ orbitas acotadas.

La elipse se dene como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a un

punto jo es constante. En coordenadas cartesianas la ecuaci´ on de una elipse cuyo eje mayor

es paralelo al eje x se describe por la ecuación

x2

a2 +

y2

b2 = 1 , (89)

donde a y b son las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse. Si a = b = R esta ecuación

se reduce a la de un ćırculo de radio R con centro en (0, 0).

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

–5 –4 –3 –2 –1

Figura 3: Las elipses que mostramos ac á tienen α = 1 en ambos casos, y excentricidades 0 ,7 y

0,8

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En la ecuaci ón polar (88) de las c ónicas la distancia r se mide a partir de uno de los focos

de la elipse. Es claro que la fórmula (88) supone que el eje mayor de la elipse est á localizado alo largo del eje x (θ = 0). A partir de la representaci´ on de la curva en coordenadas polares es

facil ver darse cuena de que

r max = α1 −ε

(90)

r min = α1 + ε

(91)

de manera que la media de estas cantidades no es otra cosa que la longitud del eje mayor de la

elipse

r max + rmin2

= 12

α1 −ε

+ α1 + ε

= α1 −ε2

= a , (92)

mientras que la longitud del eje menor ( b) est á dada por

b = α√ 1 −ε2

. (93)

En términos de la excentricidad del semieje mayor

r min = a(1 −ε) (94)r max = a(1 + ε) , (95)

mientras que la mitad de la separaci´ on entre los focos está dada por el producto del eje mayor

por la excentricidad, esto es: a ε.

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