Unidad 2: Fuerzas centrales · 2020. 6. 8. · Mauricio A. Briones Bustamante Unidad 2: Fuerzas...

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Unidad 2: Fuerzas centrales

Mauricio A. Briones Bustamante

Liceo de Hombres Manuel MonttFısica - Tercero Medio

SEMESTRE I2020

Mauricio A. Briones Bustamante Unidad 2: Fuerzas centrales

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Proposito de la actividad de aprendizaje

Proposito:Esta unidad busca que los estudiantes expliquensituaciones y fenomenos cotidianos y cientıficos acerca de los efectosde fuerzas centrales, considerando algunas interrogantes, como lassiguientes: ¿Que fenomenos y situaciones cotidianas son efectos defuerzas centrales? ¿Como las ciencias y la tecnologıa emplean elconocimiento sobre las fuerzas centrales? ¿Como es posible quediferentes cuerpos puedan interactuar a distancia?


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Objetivos de Aprendizaje

Objetivos de Aprendizaje:

OA 3: Analizar el movimiento de cuerpos bajo la accion de unafuerza central en diversas situaciones cotidianas o fenomenosnaturales, con base en conceptos y modelos de la mecanica clasica.

OA 6: . Valorar la importancia de la integracion de losconocimientos de la fısica con otras ciencias para el analisis y lapropuesta de soluciones a problematicas actuales, considerando lasimplicancias eticas, sociales y ambientales.

OA a: Formular preguntas y problemas sobre topicos cientıficos deinteres, a partir de la observacion de fenomenos y/o la exploracionde diversas fuentes.

OA b: Planificar y desarrollar investigaciones que permitan recogerevidencias y contrastar hipotesis, con apoyo de herramientastecnologicas y matematicas.

OA d: Analizar las relaciones entre las partes de un sistema enfenomenos y problemas de interes, a partir de tablas, graficos,diagramas y modelos.


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Objetivos de Aprendizaje

OA e: Construir, usar y comunicar argumentos cientıficos.

OA f: Desarrollar y usar modelos basados en evidencia, parapredecir y explicar mecanismos y fenomenos naturales.

OA i: Analizar crıticamente implicancias sociales, economicas, eticasy ambientales de problemas


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Activacion de conocimientos

¿A que rapidez gira la Tierra? Como el resto de los planetas, laTierra vino al mundo girando vertiginosamente, aunque su velocidady rapidez nunca han sido constantes. Hace 4500 millones de anos,tenıa en el Ecuador una rapidez de aproximadamente 6400 km/h y eldıa apenas duraba 6 horas. Hoy, esta rapidez se ha reducido a 1600km/h en el Ecuador. Una de las causas principales estadesaceleracion son las mareas, aunque tambien influyen lascorrientes oceanicas, los movimientos de grandes masas de aire en laatmosfera [...].El International Earth Rotation Service controla las fluctuaciones dela velocidad terrestre y decide si hay que anadir o no un segundoadicional al tiempo universal coordinado que rige el mundo paramantener los relojes sincronizados en todo el planeta. (Fuente:Adaptacion de https://www.muyinteresante.es/curiosidades/preguntas-respuestas/ia-que-velocidad-gira-la-tierra).


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Activacion de conocimientos

¿Que preguntas les surgen tras la lectura del texto?

¿Consiguen imaginar una rapidez de 6400 km/h siendo que, ennuestra percepcion del dıa a dıa, un automovil ya lo vemos muyrapido cuando viaja a 100km/h?

¿Que pensamientos y sentimientos les vienen tras leer que la Tierra,nuestro hogar, gira aproximadamente a 1600 km/h?

¿Por que no sentimos este rapido movimiento?

¿Respecto de que y en que lugar de la Tierra se ha calculado estarapidez?

¿Cuales son las diferencias entre los conceptos de rapidez yvelocidad?

¿Como el efecto de las mareas puede estar reduciendo la rapidez conque rota la Tierra?

¿Por que la rotacion de la Tierra es de 24 horas respecto del Sol y24 horas con aproximadamente

minutos respecto de las estrellas? ¿Cual es el valor verdadero?

¿Con que rapidez nos estamos moviendo respecto del centro de lagalaxia?


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Movimiento circular uniforme

Cuando una partıcula se mueve en una trayectoria curva, la direccionde su velocidad cambia.

Cuando una partıcula se mueve en un cırculo con rapidez constante,tiene un movimiento circular uniforme.

Un automovil que da vuelta a una curva de radio constante conrapidez constante, un satelite en orbita circular y un patinador quedescribe un cırculo con rapidez constante son ejemplos de estemovimiento (Figura 1).

No hay componente de aceleracion paralela (tangente) a latrayectoria; si la hubiera, la rapidez cambiarıa.

El vector de aceleracion es perpendicular (normal) a la trayectoria y,por lo tanto, se dirige hacia adentro (¡nunca hacia fuera!) al centrode la trayectoria circular.

Esto causa el cambio en la direccion de la velocidad, sin cambiar larapidez.


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Marco conceptual: Movimiento circular uniforme

Figura : Un automovil con movimiento circular uniforme. La rapidez esconstante y la aceleracion se dirige hacia el centro de la trayectoria circular.


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Podemos definir la aceleracion radial

arad =v2

R.

Agregamos el subındice “rad” para recordar que la direccion de laaceleracion siempre sigue un radio del cırculo, hacia su centro.

Como la rapidez es constante, la aceleracion siempre esperpendicular a la velocidad. Esto se muestra en la Figura 2.

En conclusion, en el movimiento circular uniforme, la magnitud a dela aceleracion instantanea es igual al cuadrado de la velocidad ~vdividido entre el radio R del cırculo; su direccion es perpendicular a~v (velocidad tangencial) y hacia adentro sobre el radio.

La aceleracion siempre apunta al centro del cırculo, en ocasiones sele llama aceleracion centrıpeta. La palabra “centrıpeta” significa“que busca el centro” en griego.

La Figura 3 muestra las direcciones de los vectores de velocidad yaceleracion en varios puntos para una partıcula con movimientocircular uniforme.


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Figura : Representacion de la aceleracion radial.


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Tambien podemos expresar la magnitud de la aceleracion en unmovimiento circular uniforme en terminos del periodo T delmovimiento, el tiempo de una revolucion (una vuelta completa alcırculo).

En un tiempo T , la partıcula recorre una distancia igual a lacircunferencia 2πR ası que su rapidez tangencial es

v =2πR

T.

Ası, la aceleracion radial se puede escribir de la forma

arad =4π2R

T 2.


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Ejemplo 1: Movimiento circular uniforme

Un automovil deportivo Aston Martin V8 Vantage tiene una“aceleracion lateral” de 0.96 g , que es (0.96)(9.8m/s2) = 9.4 m/s2.Esta es la aceleracion centrıpeta maxima que puede lograr el autosin salirse de la trayectoria circular derrapando. Si el auto viaja a 40m/s, ¿cual es el radio mınimo de curva que puede describir?(Suponga que no hay peralte.)


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Ejemplo 2: Movimiento circular uniforme

En un juego mecanico, los pasajeros viajan con rapidez constante enun cırculo de 5.0 m de radio, dando una vuelta completa cada 4.0 s.¿Que aceleracion centrıpeta tienen?


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Movimiento circular uniforme: angulos en radianes

Al describir un movimiento circunferencial, la forma mas natural demedir el angulo θ no es en grados, sino en radianes.

Como se muestra en la Figura 4 a, un radian (1 rad) es el angulosubtendido en el centro de un cırculo por un arco cuya longitud esigual al radio del cırculo.

En la Figura 4b, un angulo θ es subtendido por un arco de longituds en un cırculo de radio r . El valor de θ (en radianes) es igual a sentre r

θ =s

r⇒ s = rθ.

Un angulo en radianes es la razon de dos longitudes, ası que es unnumero puro, sin dimensiones. Si s = 3.0 m y r = 2.0 m, entoncesθ = 1.5, pero a menudo escribiremos esto como 1.5 rad paradistinguirlo de un angulo medido en grados o revoluciones.


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Figura : Medicion de angulos en radianes.


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La circunferencia de un cırculo (es decir, la longitud del arco querodea el cırculo) es 2π veces el radio, ası que hay 2π (unos 6.283)radianes en una revolucion completa (360◦). Por lo tanto,

1 rad =360◦

2π= 57.3◦.

Asimismo, 180◦ = π rad, 90◦ = π/2 rad, etcetera.

Si insistieramos en medir θ en grados, tendrıamos que haber incluidoun factor mas (2π/360) en el lado derecho de s = rθ (ecuacion 15).

Al medir angulos en radianes, mantenemos la relacion entre elangulo y la distancia a lo largo de un arco lo mas sencilla posible.


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Movimiento circular uniforme: velocidad angular

En la Figura 5a una lınea de referencia OP en un cuerpo que giraforma un angulo θ1 con el eje +x en el instante t1.

En un instante posterior t2, el angulo cambio a θ2 .

Definimos la velocidad angular media ωmed−z del cuerpo en elintervalo ∆t = t2 − t1 como la razon del desplazamiento angular∆θ = θ2 − θ1 en ∆t:

ωmed−z =θ2 − θ1

t2 − t1=

∆θ

∆t.

El subındice z indica que el cuerpo de la Figura 5b esta girando entorno al eje z , que es perpendicular al plano del diagrama.


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Figura : a) Desplazamiento angular ∆θ de un cuerpo en rotacion. (b) Cadaparte de un cuerpo en rotacion tiene la misma velocidad angular ∆θ/∆t.


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Cuando nos referimos simplemente a “velocidad angular” hablamosde la velocidad angular instantanea, no de la velocidad angularmedia.

La velocidad angular ωz puede ser positiva o negativa, dependiendode la direccion en que gire el cuerpo.

La rapidez angular ω, es la magnitud de la velocidad angular. Aligual que la rapidez ordinaria (lineal) v , la rapidez angular nunca esnegativa.

La velocidad angular es positiva si el cuerpo gira en la direccion de θantihoraria, y negativa si lo hace en la direccion de θ horaria.

Si el angulo de θ esta en radianes, la unidad de velocidad angular esel radian por segundo (rad/s). Suelen usarse otras unidades, comorevoluciones por minuto (rev/min o rpm). Puesto que 1 rev = 2πrad, dos conversiones utiles son

1 rev/s = 2π (rad/s) y 1 rev/min = 1 rpm =2π

60rad/s.


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Movimiento circular uniforme: velocidad angular como unvector

ωz es la componente z de un vector de velocidad angular ~ω dirigidoa lo largo del eje de rotacion.

Como muestra la Figura 6a, la direccion de ~ω esta dada por la reglade la mano derecha

Si la rotacion es sobre el eje z , ~ω solo tiene componente z , la cual espositiva si ~ω apunta en la direccion +z y negativa si ~ω apunta en ladireccion −z (Figura 6b).


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Movimiento circular uniforme: velocidad angular como unvector

Figura : Regla de la mano derecha para determinar la direccion del vector develocidad angular ~ω . Si se invierte el sentido de la rotacion, se invierte ladireccion de ~ω. b) El signo de ωz de la rotacion a lo largo del eje z .


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Movimiento circular uniforme: aceleracion angular

Si cambia la velocidad angular de un cuerpo rıgido, tiene unaaceleracion angular.

Cuando una persona pedalea una bicicleta con mas vigor para hacerque las ruedas giren mas rapidamente, o aplica los frenos paradetener las ruedas, se produce una aceleracion angular sobre estas.

Tambien se produce una aceleracion angular cuando alteramos larapidez de rotacion de una pieza giratoria de una maquinaria, comoel ciguenal del motor de un automovil.

Si ω1z y ω2z son las velocidades angulares instantaneas en t1 y t2 ,definimos la aceleracion angular media αmed−z en el intervalo∆t = t2 − t1 como el cambio de la velocidad angular dividido entre∆t (Figura 7):

αz =ω2z − ω1z

t2 − t1=

∆ωz

∆t.


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Movimiento circular uniforme: aceleracion angular

Figura : Calculo de la aceleracion angular media de un cuerpo rıgido que gira.


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Movimiento circular uniforme: aceleracion angular comoun vector

Ası como hicimos con la velocidad angular, resulta util definir unvector de aceleracion angular ~α.

Matematicamente, ~α es la derivada con respecto al tiempo delvector de velocidad angular ~ω.

Si el objeto gira en torno al eje z fijo, ~α solo tiene componente z ; lacantidad αz es precisamente esa componente.

En este caso, ~α apunta en la misma direccion que ~ω si la rotacion seesta acelerando, y en la direccion opuesta si se esta frenando (Figura8).


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Movimiento circular uniforme: aceleracion angular comoun vector

Figura : Cuando el eje de rotacion es fijo, los vectores de aceleracion angular yvelocidad angular estan sobre ese eje.


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MCU con aceleracion angular constante

Podemos establecer las ecuaciones que describen un movimientocircunferencial con αz constante tomando el intervalo de 0 a t.Relacionando la cinematica rectılınea en una dimension con lacinematica de una martıcula que describe un MCU, podemosobtener las ecuaciones para αz constante (ver tabla de la Figura 9).

Figura : Comparacion del movimiento lineal y angular con aceleracionconstante.


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Relacion entre cinematica lineal y angular

Como sabemos, |∆θ/∆t| es el valor absoluto de la razon de cambiodel angulo, que es la rapidez angular instantanea ω, es decir, lamagnitud de la velocidad angular instantanea en rad/s. Ası,

v =2πR

T=

(2π

T

)R = ωR.

donde ω = 2π/T es otra forma de escribir la rapidez angular medidaen rad/s. La variable T es el periodo, se mide en segundos y es eltiempo en que tarda la partıcula en dar una revolucion o vueltacompleta.


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Relacion entre cinematica lineal y angular

Cuanto mas lejos del eje este un punto, mayor sera su rapidez lineal.La direccion del vector de velocidad lineal es siempre tangente a latrayectoria circular.

La componente de la aceleracion de la partıcula que esta dirigidahacia el eje de rotacion, la componente centrıpeta de aceleracionarad, esta asociada con el cambio de direccion de la velocidad de lapartıcula.

Podemos expresar esto en terminos de ω:

arad =v2

R= ω2R.


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Movimiento circular no uniforme

En esta seccion, hemos supuesto que la rapidez de la partıcula esconstante. Si la rapidez varıa, tenemos un movimiento circular nouniforme.

Un ejemplo es un carro de montana rusa que frena y se acelera almoverse en un lazo vertical.

Dado que la rapidez v tiene diferentes valores en diferentes puntosdel movimiento, arad no es constante.

La aceleracion radial (centrıpeta) es mayor donde la rapidez esmayor.

En el movimiento circular no uniforme tambien hay una componentede aceleracion paralela a la velocidad instantanea.

Sabemos que la componente de aceleracion tangencial atan es iguala la tasa de cambio de la rapidez. Entonces,

arad =v2

Ry atan =

∆|~v |∆t

.


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El vector de aceleracion de una partıcula que se mueve con rapidezvariable en un cırculo es la suma vectorial de las componentes deaceleracion radial y tangencial.

Esta ultima tiene la direccion de la velocidad si la partıcula estaacelerando, y la direccion opuesta si esta frenando (ver Figura 10).

En el movimiento circular uniforme, la aceleracion no tienecomponente tangencial; no obstante, la componente radial es lamagnitud de ∆~v/∆t.


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Figura : Partıcula que se mueve en un lazo vertical, como un carrito demontana rusa, con rapidez variable.


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Aceleracion lineal en un movimiento circular no uniforme

Podemos representar la aceleracion de una partıcula que se mueveen un cırculo en terminos de sus componentes centrıpeta ytangencial, arad y atan.

Vimos que la componente tangencial de aceleracion atan, lacomponente paralela a la velocidad instantanea, actua cambiando lamagnitud de la velocidad de la partıcula (su rapidez) y es igual a larazon de cambio de la rapidez.

Ası,

atan =∆v

∆t= R

∆ω

∆t= Rα.

Esta componente de la aceleracion de una partıcula siempre estangente a la trayectoria circular de la partıcula.


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