Movimiento Bajo la Accion de una

Fuerza Central

Mario I. Caicedo

Departamento de Fsica, Universidad Simon Bolvar

Indice

1. Introduccion al Momentum Angular 3

2. Ley de las Areas 6

3. Leyes de Kepler 7

3.1. Descubriendo la Ley de Gravitacion Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. La ley de cubos y cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Consideraciones energeticas: El Potencial Efectivo 12

1

5. Introduccion al Problema de Kepler 15

6. Resumen 19

7. Problema de Revision 20

8. Problemas propuestos 22

9. Tema Avanzado I: Ecuacion de la orbita 24

10.Tema avanzado II: Solucion al al Problema de Kepler 26

11.Apendice: Secciones Conicas 29

2

1. Introduccion al Momentum Angular

Consideremos una partcula que se mueve bajo la accion de una fuerza central, esto es, una

fuerza paralela a la lnea que une a la partcula con un punto fijo (O) denominado el centro de

fuerzas y cuya magnitud solamente depende de la distancia entre la partcula dicho punto1 .

Por el momento supondremos que el movimiento ocurre en un plano (afirmacion que pro-

baremos mas adelante). Estas hipotesis sobre la fuerza y el movimiento sugieren utilizar un

sistema de coordenadas polares centrado en O, lo que permite escribir directamente las sigu-

ientes expresiones generales para fuerza y la aceleracion

~F = F (r) ur (1)

~a = (r r 2) ur + (r + 2 r ) u (2)

Al utilizar la segunda ley de Newton obtenemos las siguientes ecuaciones para r y

r r 2 = F (r)M

(3)

r + 2 r = 0 (4)

donde evidentemente M representa la masa de la partcula. La ecuacion (4) permite concluir

que (vea el problema (1))

Mr2 = ` = constante. (5)

Concentremonos por un momento en la igualdad (5). En primer lugar debemos recalcar que

la constancia de ` no implica que la distancia al origen de coordenadas (r) o la velocidad

1si quiere imaginar un ejemplo aproximado piense en la rotacion anual de la tierra en su orbita alrededor del

sol

3

angular () sean constantes. Lo que es constante es el producto de ambas cantidades. Esta

observacion tiene una implicacion geometrica acerca del movimiento de la partcula sobre la

cual comentaremos mas adelante (vease la secion 2). En segundo lugar, observemos que la

igualdad (5) se puede reescribir en la forma

` = r(Mr) =(~r Mru

). k (6)

donde k = ur u es un vector unitario ortogonal al plano en que ocurre el movimiento. Laformula (6) no dice mucho, sin embargo, si recordamos que ur ur = 0 podemos anadir un 0en la formula (6) para obtener una nueva expresion para `

` =(~r (Mru +Mrur)

). k (7)

ahora bien, en coordenadas polares la velocidad se escribe en la forma: ~v = rur + ru, as que,

al usar que el momentum de una partcula se define como ~p =M~v, podemos concluir finalmente

que el numero ` puede expresarse de manera bastante natural en terminos de dos cantidades

fsicas (la posicion y el momentum) muy bien definidas segun:

` = (~r ~p) . k (8)

Ahora bien, evidentemente ~r ~p es un vector ortogonal al plano y ` no es otra cosa que suproyeccion a lo largo del vector k = ur u. En definitiva, y recapitulando hasta este punto,hemos encontrado que:

Si el movimiento bajo la accion de una fuerza central es en un plano entonces el

vector

~L ~r ~p (9)

4

es constante.

El vector ~L denominadoMomentum Angular es una cantidad fsica de importancia fundamental

que aparece inexorablemente ligada a la descripcion de la dinamica de objetos no puntuales,

cabe comentar que la definicion del momentum angular (formula (9)) es bastante natural y que

surge inducida por el hecho de que la fuerza es central.

Nuestro resultado acerca de la constancia de ~L depende de introducir la hipotesis simpli-

ficadora segun la cual el movimiento es en un plano. Cabe preguntarse acerca de la validez

de esta hipotesis. A continuacion utilizaremos la la definicion de ~L para demostrar rigurosa-

mente que el movimiento de una partcula bajo la accion de una fuerza central ocurre efectiva

y necesariamente en un plano.

Para lograr la demostracion comenzaremos por probar que, bajo la hipotesis de fuerzas

centrales, el Momentum Angular es constante. En efecto, usando la definicion de ~L, su derivada

temporal se calcula facilmente

d~L

dt= ~r ~p+ ~r ~p = 0 + ~r ~F , (10)

ahora bien, la fuerza es central si y solo si ~F ||~r en cuyo caso, el segundo sumando de la igualdad(10) se anula y eso demuestra que ~L es un vector constante.

Para concluir la demostracion observemos que, por definicion, ~L es ortogonal al plano for-

mado por el radio vector de posicion de la partcula (~r) y a su mpetu (~p), como ~L es constante,

dicho plano tiene que ser fijo.

5

2. Ley de las Areas

Habamos adelantado que la constancia de ` tena una implicacion geometrica sumamente

interesante, y este es un buen momento para discutir este punto. Consideremos el triangulo

infinitesimal formado por el origen de coordenadas y dos puntos del movimiento separados por

un intervalo de tiempo infinitesimal (dt). El area de dicho triangulo esta dada por (por que?)

dA =1

2|~r(t+ dt) ~r(t)| (11)

pero:

~r(t+ dt) = ~v(t) dt+ ~r(t) (12)

as que al sustituir resulta:

dA =1

2|~v(t) ~r(t) dt| = 1

2

M

M|~v(t) ~r(t) dt| = 1

2M|~p(t) ~r(t) dt| = 1

2M|~L(t) dt| (13)

esto es

dA =1

2M`dt (14)

donde hemos utilizado que, como el movimiento es bajo la accion de una fuerza central, |~L| =` = ctte.

En definitiva, hemos demostrado que

dA

dt=

`

2M. (15)

El significado fsico de esta formula es tremendamente interesante. Como el movimiento es en

un plano, el radio vector de posicion de la partcula va barriendo un area, la cantidad

dA

dt(16)

6

no es mas que la rapidez con la cual se barre dicha area. As que la formula (15) establece que, en

vista de que ` es constante, esta rata es fija (y proporcional a `). No es posible sobreenfatizar el

hecho de que las manipulaciones matematicas que nos trajeron hasta la igualdad (15) garantizan

que esta es valida para cualquier fuerza central sin importar la forma explcita de la funcion

F (r).

La constancia de dA/dt conocida como Ley de las Areas, fue descubierta por Johannes

Kepler (1571-1630), quien la establecio para las orbitas planetarias basandose en las mediciones

astronomicas de Tycho Brahe (1546 1601).

3. Leyes de Kepler

Las mediciones de astronomicas de Brahe le permitieron a Kepler enunciar las siguientes

tres leyes para los movimientos planetarios

1. Los planetas se mueven a lo largo de orbitas elpticas en uno de cuyos focos se encuentra

el Sol.

2. Los radios que unen al sol con los planetas barren areas iguales en tiempos iguales

3. Los cubos de las distancias al sol y los cuadrados de los perodos son proporcionales.

Hay varios comentarios interesantes que se pueden hacer en relacion a las leyes de Kepler. El

primero consiste en destacar que los resultados de Kepler fueron totalmente empricos, es decir,

obtenidos directamente a partir de las observaciones y sin ninguna referencia a alguna relacion

7

causa efecto ya que no fue sino hasta los trabajos de Newton que tales relaciones pudieron

establecerse.

El segundo comentario es el siguiente: a la luz de las leyes de Newton y segun hemos visto,

resulta evidente que la ley de las areas es un fenomeno asociado a cualquier fuerza que tenga

caracter central.

Finalmente debemos destacar (como exhibiremos mas adelante) que la primera y tercera

leyes estan directamente relacionadas con la Ley de Gravitacion Universal de Newton. Descri-

biendo las cosas en terminos modernos, Newton propuso que entre cualquier par de partculas

puntuales se establece una fuerza central dada por:

~F = GMMor2

ur (17)

donde, M y M0 son las masas de las partculas, G es una constante, r la distancia que separa

las partculas y ur el vector unitario que define la radial entre ambas partculas. El exito de esta

teora de gravitacion proviene del hecho de que las leyes de Kepler pueden derivarse directamente

a partir de la formula de la fuerza (17) y de las leyes del movimiento de Newton. La ley del

movimiento elptico requiere la integracion de una ecuacion diferencial (vease la seccion (10)).

3.1. Descubriendo la Ley de Gravitacion Universal

Es interesante tratar de imaginar el proceso de descubrimiento de una Ley Fsica2. Supong-

amos que tenemos a nuestra disposicion las tres leyes de Kepler, las leyes de movimiento de

Newton y la notacion matematica que usamos hoy da. Nuestro interes se va a centrar en ver

2aprend esta forma pedagogica de presentar el problema del Dr. Rodrigo Medina (IVIC, USB)

8

que podemos descubrir al pensar en lo que ocurre cuando meditamos acerca del movimiento

planetario como es descrito por las leyes de Kepler (esto es, estamos interesados en hacer algo

de investigacion cientfica!).

En primer lugar, y a la luz de lo que hemos aprendido en la seccion (2) la ley de las areas

nos hace pensar en que la fuerza que el sol ejerce sobre el planeta es central y que el centro

de fuerza esta localizado en el sol3 de manera que la ecuacion radial de movimiento para un

planeta de masa m sera

m(r r 2

)= F (r). (18)

En segundo lugar, el hecho de que la orbita del planeta sea una elipse con el Sol en un foco nos

permite relacionar la distancia radial entre el Sol y el planeta y el angulo polar a traves de la

3Debemos resaltar que estamos imaginando que el sol esta fijo en el centro de fuerzas. En verdad esto no

es cierto, podemos imaginar un sistema de dos partculas de masas similares -las componentes de un sistema

estelar binario constituyen un buen ejemplo de esto- que interactuan gravitacionalmente, en tal caso y si el

sistema formado por ambas partculas se encuentra muy lejos de cualquier otra fuente de gravitacion, ambas

partculas ejecutaran una danza en la cual ninguna de las dos esta fija. En el caso de la tierra y el sol ocurre

que la masa del sol es fantasticamente mayor que la de la tierra y esto provoca que desde todo punto de vista

practico se pueda considerar al sol como fijo

9

ecuacion conica (0 < 1)4:r =

1 + cos , (19)

igualdad en que debe entenderse que la dependencia temporal de r esta codificada (implcita)

en la dependencia temporal del angulo polar.

Al calcular la velocidad radial (r) se obtiene

r = (1 + cos )2

( sen ) = `m

sen , (20)

donde hemos usado que, como la fuerza es central,

` = mr2 = ctte. (21)

Diferenciando r con respecto al tiempo se obtiene la aceleracion radial (r)

r = `

mcos =

`2

m2

cos

r2(22)

que al ser sustituida en el lado izquierdo de la ecuacion de movimiento, lleva al resultado

m(r r 2

)= m

( `2

m2

cos

r2 `

2

mr3

)=

=`2

mr2

( cos

r

)=

4La excentricidad () caracteriza el tipo de conica como sigue:

> 1 hiperbola.

= 1 parabola.

0 < < 1 elipse

= 0 crculo.

10

=`2

mr2[ cos (1 cos )] =

= `2

mr2(23)

comparando con el lado derecho de la ecuacion radial se obtiene en definitiva

F = r2

con: =1

`2

m(24)

de manera que el uso juicioso de las observaciones experimentales (leyes de Kepler) y de la

mecanica Newtoniana nos ha permitido mostrar que la ley de las areas y la primera ley de

Kepler implican que la fuerza entre el Sol y el planeta es central, atractiva y de magnitud

recproca con el cuadrado de la distancia, es decir:

Hemos redescubierto la ley de Gravitacion Universal!

En la seccion (10) demostraremos el recproco de este resultado, es decir, probaremos que

el uso de las leyes de movimiento de Newton en conjuncion con una fuerza que va como 1/r2

implica que las trayectorias deben ser conicas.

3.2. La ley de cubos y cuadrados

La ley de los perodos puede ser mostrada a traves de un argumento sencillo que exhibe

claramente el alcance del teorema de conservacion del momentum angular. El argumento parte

de inquirir acerca de las condiciones que permitan la existencia de una orbita planetaria circular

asociada a la fuerza de gravitacion universal, en cuyo caso y debido a que ` = constante resulta

claro que la velocidad angular tiene que ser uniforme, de esta forma, la ecuacion radial

11

(3) se puede reescribir en la forma (por que?)

R2 = GMoR2

, (25)

donde R es el radio orbital y M0 es la masa del sol, que estamos suponiendo fijo en el centro

de fuerzas; de esta ecuacion sigue

R32 = GMo . (26)

Recordando que la frecuencia angular y el perodo estan relacionados por

T =2pi

(27)

se obtiene inmediatamente

R3

T 2= constante (28)

que no es otra cosa que la tercera ley de Kepler, que en el contexto de esta presentacion, se

convierte en la condicion que permite la existencia de una orbita circular de radio R.

La prueba del caso general (orbitas elpticas) es mas engorrosa y no la presentaremos en

este curso.

4. Consideraciones energeticas: El Potencial Efectivo

Comenzaremos esta seccion demostrando que toda fuerza central es conservativa. Para tal

fin recordemos que el trabajo realizado por una fuerza para llevar a una partcula entre los

puntos A y B de una trayectoria C se calcula como sigue

W = BA C

~F . d~r . (29)

12

Ahora bien, el diferencial de trayectoria mas general posible en tres dimensiones esta dado por

d~r = dr ur + d~r , (30)

donde dr ur es un elemento infinitesimal de trayectoria a lo largo de la direccion radial que une

la partcula con el origen de coordenadas, y d~r un movimiento infinitesimal en una direccion

arbitraria contenida en el plano ortogonal a ur.

Recordando que estamos estudiando fuerzas centrales y utilizando un origen de coordenadas

que corresponda con el centro de fuerza, la fuerza queda descrita por la formula (1) y por lo

tanto

~F . d~r = F (r) dr . (31)

De acuerdo a este resultado, los puntos A y B de la trayectoria C quedan identificados por susrespectivas distancias al origen de coordenadas (rA, y rB) de manera que el calculo del trabajo

queda reducido al calculo de la siguiente integral ordinaria

W = rBrA

F (r) dr , (32)

en donde todo rastro de la trayectoria ha desaparecido. En consecuencia, hemos demostrado que

efectivamente la fuerza es conservativa. En consecuencia, existe una energa potencial asociada

a la fuerza central dada por la integral

U(P ) = Parb

~F . d~r , (33)

donde P es el punto en que queremos calcular la energa potencial, y arb es un punto arbitrario.

Debido a la estructura de la fuerza central, el potencial solo puede depender de la distancia al

origen, razon por la cual, en lo sucesivo, describiremos al potencial central por la formula

13

U(r) = rr0F (s) ds , (34)

donde ahora r0 es un radio arbitrario. Por cierto que esta ultima formula nos permite escribir

a la fuerza en la forma

~F (r) = dUdr

ur . (35)

Con la ayuda del potencial la energa mecanica total de la partcula que se mueve bajo la accion

de una fuerza central se escribe en la forma

E =M

2

(r2 + (r)2

)+ U(r) (36)

la conservacion del momentum angular nos permite expresar la velocidad angular en terminos

del radio

=`

Mr2(37)

lo que en definitiva lleva a la siguiente expresion para la energa

E =M

2r2 +

`2

2Mr2+ U(r) (38)

podemos obtener una forma bien interesante de esta expresion si definimos el potencial efectivo

por la igualdad

Ueff `2

2Mr2+ U(r), (39)

en efecto, en terminos del potencial efectivo la formula para la energa se reduce a la siguiente

expresion

E =Mr2

2+ Ueff (r) (40)

14

que es formalmente identica a la formula para la energa de una partcula que se mueve a lo largo

del eje x (E = mx2

2+ U(x)). Esto nos va a permitir estudiar algunos aspectos muy generales

del movimiento bajo la accion de fuerzas centrales.

A partir de la formula (40) podemos encontrar la siguiente expresion general para la rapidez

radial de la partcula

r =

2

M(E Ueff (r)) (41)

de aca podemos calcular directamente los puntos de retorno del movimiento, es decir los valores

de r para los cuales se anula la rapidez radial.

5. Introduccion al Problema de Kepler

El problema de Kepler consiste en calcular la orbita que corresponde a la fuerza de grav-

itacion Newtoniana. En esta seccion vamos a aplicar las ideas que hemos introducido en la

anterior para estudiar algunos aspectos del movimiento bajo la accion de la gravedad, en este

caso

F (r) = GMM0r2

, (42)

de donde (escogiendo r0 =) se obtiene el potencial gravitacional

U(r) = GMM0r

, (43)

lo que nos lleva a la siguiente expresion para el potencial efectivo:

Ueff (r) =`2

2Mr2GMM0

r. (44)

15

30

20

10

0

10

20

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5r

Figura 1: Los potenciales centrfugo (contnuo) y gravitacional (en puntos)

El primer aspecto obvio de este potencial efectivo es el hecho de que tiene dos sumandos de

signo diferente, el segundo consiste en que el potencial se anula a grandes distancias del origen

region en la cual domina el potencial gravitacional de manera que

lmrUeff = 0

, (45)

cerca del origen el potencial efectivo es totalmente dominado por el termino centrfugo y ocurre

que

lmr0Ueff = . (46)

El potencial efectivo tiene una sola raz y un solo mnimo global (para el cual el valor

de Ueff es negativo). Como veremos a continuacion, estas propiedades del potencial efectivo

nos permiten discutir algunas caractersticas cualitativas del movimiento de una partcula bajo

la accion de la gravedad si se conoce su energa mecanica total. Estudiaremos los tres casos

posibles, a saber: E > 0, E = 0 y E < 0

16

8

6

4

2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

r

Figura 2: El potencial efectivo para el problema de Kepler. Note que el potencial tiene un

mnimo absoluto

1. Comencemos considerando el caso en que E < 0 en este caso (y asumiendo por supuesto

que 0 > E > Min(Ueff )), los puntos de retorno5, es decir las soluciones de la ecuacion

E Ueff = E `2

2Mr2+G

MM0r

= 0 (47)

son dos, esto es: hay dos puntos de retorno, y en consecuencia durante todo el movimiento,

la distancia entre la partcula y el origen debera mantenerse entre estos dos valores, es

decir

rmin r(t) rmax , (48)

de manera que podemos asegurar que la orbita es acotada.

2. En el caso en que la energa total sea positiva E > 0 solo hay un punto de retorno y

ademaas la partcula puede escapar al infinito (el movimiento no es acotado) ya que a

5recordemos que los puntos de retorno son los puntos del movimiento en que la rapidez radial r es nula

17

grandes distancias E Mr22

> 0

3. El caso de energa nula E = 0 justamente separa las orbitas acotadas de las no acotadas,

en efecto, si E = 0 la partcula apenas puede alcanzar el infinito con velocidad nula.

En general los potenciales centrales atractivos son negativos y se anulan a distancia infinita

del centro, razones por las cuales algunos de los aspectos que acabamos de discutir mantienen

su validez. As por ejemplo, las orbitas acotadas estan asociadas a movimientos con energa

mecanica total negativa.

Hay sin embargo un comentario sobre el que debemos hacer especial enfasis. El hecho de que

una orbita sea acotada no significa que sea periodica (es decir que el movimiento se repita exac-

tamente luego de un intervalo finito de tiempo). Las preciosas orbitas elpticas del movimiento

kepleriano son mas bien excepcionales y bajo ningun concepto representan la geometra de

las orbitas bajo potenciales generales, de hecho el movimiento Kepleriano es casi milagroso y

esta inexorablemente ligado al hecho de que la fuerza gravitacional sea inversa al cuadrado de

la distancia entre las masas.

NOTA Hasta aca usted hemos estudiado el material basico para el tema de fuerzas centrales

del curso FS1112. Para reforzar el material lea con detenimiento el ejemplo de la seccion 7 y

por supuesto, haga los problemas propuestos!.

Si usted es curioso seguramente estara interesado en ir un poco mas alla, con ese fin estudie

los temas avanzados secs. 9 y 10.

18

6. Resumen

Definicion 1 La fuerza entre dos partculas se denomina central si y solo si es paralela al

vector ~R que une las dos partculas y su magnitud solo depende de |~R|.

Definicion 2 El momentum angular de una partcula con respecto a un origen de coordenadas

O es el vector dado por

~L = ~r ~p , (49)

donde ~r y ~p son la posicion y el momentum de la partcula con respecto a O.

Teorema 1 El momentum angular de una partcula que se mueve bajo la accion de una fuerza

central es constante.

Teorema 2 Toda fuerza central tiene una energa potencial asociada. Mas aun, si ~r es la

posicion con respecto al centro de fuerzas, el potencial se calcula como:

U(r) = rr0F (s) ds , (50)

donde r = |~r| y r0 es un radio arbitrario.

Teorema 3 Dado el potencial asociado a una fuerza central, la fuerza se calcula como

~F (r) = U dUdr

ur . (51)

Teorema 4 Al utilizar coordenadas polares en el plano del movimiento la energa mecanica

total de una partcula de masa M que se mueve bajo la accion de una fuerza central cuyo

potencial es U(r) se puede expresar en la forma

E =M r

2+ Ueff , (52)

19

donde el potencial efectivo es

Ueff =`2

2M r2+ U(r) , (53)

y ` es la magnitud del momentum angular de la partcula

Definicion 3 Los puntos de retorno son los radios para los cuales la velocidad radial r es nula.

7. Problema de Revision

Ejemplo 1 Una partcula de masa m se mueve bajo la accion de una fuerza central cuyo

potencial es

U =

r2,

donde es una constante positiva y r la distancia al centro de fuerza.

1. Determine la fuerza.

2. Que puede decir de la trayectoria de la partcula?

3. La posicion y velocidad iniciales de la partcula de prueba son

~r0 = x0 i+ z0 k, ~v0 = v0 i ,

Determine la mnima distancia a la que la partcula puede acercarse al centro de fuerza

Solucion La fuerza asociada al potencial se calcula sencillamente recordando que la fuerza es

opuesta al gradiente del potencial, es decir (formula 35 de la seccion 4),

~F = U = dUdr

ur = 2

r3ur , (54)

20

como es una constante positiva, la fuerza es siempre paralela al vector ur (es decir, es una

fuerza repulsiva).

La fuerza es central, y por lo tanto la trayectoria de la partcula de prueba tiene que estar

contenida en un plano (seccion 1), adicionalmente, como U siempre es positivo Ueff tambien

lo es, y por lo tanto la energa mecanica total tiene que ser positiva lo que implica que el

movimiento no puede ser acotado, es decir, la partcula tiene que escapar al infinito (seccion 5).

Como el momentum angular y la energa total de la partcula son constantes, la posicion y

velocidad iniciales nos permiten calcular estas cantidades sin ninguna dificultad (secciones 1 y

4),

~L = m(x0 i+ z0 k

) ~v0 = v0 i = mx0 v0 k i = mz0 v0 j (55)

E =mv202

+

x20 + z20

=mv20 (x

20 + z

20) + 2

2 (x20 + z20)

> 0 . (56)

La energa escrita en terminos de la velocidad radial y el potencial efectivo es

E =m r2

2+

`2

2mr2+

r2(57)

sustituyendo los resultados (55) y (56), e igualando r = 0 para calcular la posicion radial del

punto de retorno se obtiene la siguiente ecuacion para rmin:

mv20 (x20 + z

20) + 2

2 (x20 + z20)

=mz20 v

20

2 r2min+

r2min(58)

o equivalentemente

mv20 (x20 + z

20) + 2

2 (x20 + z20)

=mz20 v

20 + 2

2 r2min(59)

de donde sigue:

rmin =

m (x20 + z20) v20 + 2mv20 z

20 + 2

x20 + z

20 . (60)

21

Notese que si la velocidad inicial fuera nula, la distancia de mnimo acercamiento sera

rmin =x20 + z

20 . (61)

que no es otra cosa que la distancia inicial al centro de fuerza.

8. Problemas propuestos

Problema 1 Demuestre la formula (5). Ayuda: observe que el lado izquierdo recuerda vaga-

mente a la derivada de un producto, multiplique la ecuacion (4) porM r -el factorM esta all por

conveniencia posterior- y observe lo que ocurre )

Problema 2 Muestre que la ecuacion

r =

1 + cos , (62)

describe una conica en coordenadas polares

Problema 3 A que altura sobre la superficie terrestre debera colocarse un satelite cuya orbita

es circular para que esta sea geoestacionaria?

Problema 4 Sabiendo que el radio orbital medio de Marte es aproximadamente 1,52 veces el

radio orbital terreste, Cual sera el perodo orbital marciano?

Problema 5 El perodo de Pluton es de unos 248,5 anos, estime el radio medio de su orbita.

22

Problema 6 Una estacion espacial de masa M viaja en el sistema solar orbitando alrededor

del sol. En un cierto instante la posicion y velocidad de la estacion espacial estan dadas por los

vectores

~r0 = pi2 j UA , ~v0 =

(i+~j + k

)UA/ano (63)

con respecto a un sistema de referencia cartesiano con origen en el Sol. Despreciando totalmente

la interaccion gravitacional entre la estacion espacial y cualquier miembro del sistema solar

distinto del Sol mismo,

1. Encuentre la energa total de la estacion espacial, de acuerdo a su resultado diga como es

la orbita elptica, parabolica, hiperbolica?.

2. Calcule el momentum angular (~LS) de la estacion espacial y describa (mas bien, carac-

terize) su plano orbital.

3. Cual es la velocidad radial de la estacion en los puntos de mnima (perihelio) y maxima

(afelio) distancia entre esta y el Sol?.

4. Determine el afelio y el perihelio de la estacion.

5. Que tiempo requiere la estacion para completar una orbita alrededor del sol?.

Observacion Una Unidad Astronomica (UA) es una distancia igual al semieje mayor de la

orbita terrestre. GM0 = 4pi2 (UA)3/ano, M0=masa solar.

Problema 7 Que puede decir de los angulos que forman la velocidad y la aceleracion de un

planeta en su afelio y su perihelio?

23

Problema 8 Considere el potencial U(r) = er/r0r

donde es una constante real, r la dis-

tancia al centro de fuerza y r0 una constante positiva.

1. Cuales son las dimensiones de y r0?

2. Encuentre la fuerza asociada a U .

3. Que puede decir de la fuerza en funcion del signo de

9. Tema Avanzado I: Ecuacion de la orbita

Las ecuaciones de Newton (ecuaciones de movimiento) para el movimiento bajo la accion

de una fuerza central son

M(r r2) = F (r) (64)

M(r + 2r) = 0 (65)

Sabemos que estas son ecuaciones diferenciales que una vez integradas nos permiten conocer

la posicion de la partcula en funcion del tiempo, es decir, las funciones r(t) y (t). Sin embargo,

hemos visto que aun sin resolver estas ecuaciones podemos entender algunos aspectos generales

del movimiento (conservacion del momentum angular, condiciones para que los movimientos

sean acotados, etc.). Cabe preguntarse si podremos decir algo mas. Esta seccion esta dedicada

a mostrar que efectivamente este es el caso, para ello demostraremos que es posible utilizar las

ecuaciones de movimiento para encontrar una ecuacion diferencial para la trayectoria trayectoria

que no requiere la integracion (en tiempo) de las ecuaciones de Newton.

24

Comencemos por observar que si lograramos encontrar las dependencias temporales r(t) y

(t) podramos intentar despejar el tiempo para expresar (por ejemplo) al radio como funcion

del angulo (r(t))6. De acuerdo a esto, si quisieramos calcular la rapidez radial podramos utilizar

la regla de la cadena para obtener

dr

dt=

ds

d

d

dt(66)

de esta manera, la derivacion temporal se puede expresar como sigue

d

dt=d

dt

d

d(67)

Ahora bien, ya hemos aprendido que la segunda ecuacion de movimiento implica la igualdad

Mr2 = `(= constante) (68)

de manera que la derivacion con respecto al tiempo puede sustituirse por7

d

dt=

`

Mr2d

d(69)

en el entendimiento de que r = r(). Si iteramos la diferenciacion temporal obtendremos

d2

dt2=

`

Mr2d

d(

`

Mr2d

d) =

`2

M2r2d

d(1

r2d

d), (70)

de manera, que la segunda derivada del radio con respecto al tiempo es

d2r

dt2=

`2

M2r2d

d(1

r2dr

d) =

`2

M2r2d

d( d

d(1

r)) (71)

6exactamente como se hace con el movimiento de proyectiles para demostrar que la trayectoria es parabolica7esto no es tan raro como parece, ya lo hicimos en la seccion (3.1)

25

nuestro objetivo es utilizar este resultado para eliminar el tiempo de la ecuacion:

M(r r2

)= F (r) (72)

veremos que esto es posible y que la ecuacion resultante es facilmente resoluble. En efecto, al

sustituir (71) y la formula para la velocidad angular en (72) resulta

`2

Mr2d2

d2

(1

r

) rM

(`

Mr2

)2= F (r), (73)

o

d2

d2

(1

r

)+1

r= M r

2

`2F (r) , (74)

resultado que se denomina ecuacion de la orbita. Esmenester que hagamos hincapie en que

la resolucion de esta ecuacion nos lleva a encontrar r = r(), es decir, la trayectoria u orbita.

10. Tema avanzado II: Solucion al al Problema de Kepler

Como ya habamos mencionado, el problema de Kepler consiste en calcular la orbita que

corresponde a la fuerza de gravitacion Newtoniana. En este caso, al sustituir F (r) = r2en la

ecuacion de la orbita se obtiene

d2

d2

(1

r

)+1

r= 1 , (75)

donde

`2

M (76)

Si ahora efectuamos el cambio de variables

u 1r

(77)

26

obtenemos la siguiente ecuacion diferencial

u + u = 1 (78)

La ecuacion (78) cumple con nuestro objetivo inicial: buscar una descripcion de la trayectoria,

en efecto, si resolvemos (78) obtendremos r = r(), la ecuacion diferencial que hemos obtenido

es reminiscente de la ecuacion del oscilador armonico (x+ 20x = 0) y se diferencia de esta por

el termino constante no-homogeneo, en este punto es necesario mencionar (sin demostracion)

el siguiente teorema

Teorema 5 La solucion general de la ecuacion diferencial nohomogenea

x(t) + 20x(t) = f(t) (79)

es

xgral(t) = xH(t) + xp(t) , (80)

donde xH(t) es la solucion general del problema homogeneo mientras que xp(t) es una solucion

del problema nohomoenea.

Es claro que la funcion constante up(t) = 1 es una solucion de la ecuacion (78), de manera

que la solucion general esta dada por

u(t) = U0 cos( 0) + 1 (81)

donde U0 > 0 y 0 son constantes, podemos introducir una nueva constante (= 1 U0) para

reescribir la ecuacion de la trayectoria en la forma

r= {1 + cos( 0)} (82)

27

escogiendo = 0 de manera tal que el punto de maximo acercamiento al centro de fuerzas

corresponda con r(0) se obtiene el resultado final:

r= {1 + cos } (83)

que como ya sabemos, es la ecuacion general de una conica.

No es difcil convencerse (ejercicio) de que la eccentricidad (), la energa total de la orbita

estan y el momentum angular estan relacionadas por

=

1 +

2E `2

M 2(84)

de donde resulta evidente que, para las orbitas acotadas (E < 0) la eccentricidad es de magnitud

menor a uno ( < 1) condicion que asegura que la orbita es elptica.

En terminos del signo de la energa el resultado es el siguiente:

E < 0 orbita elptica (acotada)

E > 0 orbita hiperbolica (no acotada)

E = 0 orbita parabolica (no acotada)

Problema 9 Observacion: Este problema nos lleva a una forma integral de la ecuacion de la

orbita.

La regla de la cadena nos permite escribir:

d

d r=d

d t

d t

d r=

r(85)

28

1. Utilice la igualdad (85), la identidad ` = mr2 y la formula general para la energa para

despejar en terminos de r, e integre para obtener la formula general:

(r) = `/r2 dr

2M (E Ueff )(86)

2. Para estudiar el problema de Kepler sustituya

Ueff =`2

2M r2 GMM0

r(87)

y utilice el cambio de variables u = `/r calcule la integral (esto puede ser largo y tedioso)

y encuentre una formula para (r).

3. Escoja la constante de integracion de forma que el mnimo r coincida con = 0, despeje

y obtenga r(), verifique que el resultado coincide con la formula para una orbita conica.

11. Apendice: Secciones Conicas

Las secciones conicas son las curvas que se obtienen de efectuar la interseccion de un cono

recto con un plano. El ejemplo mas sencillo es un crculo, es bastante obvio que esta es la curva

que resulta al atravesar un cono recto con un plano ortogonal a su eje de simetra. Las otras

secciones conicas son la elipse, la parabola y la hiperbola.

En coordenadas polares (r, ) las conicas estan descritas por la ecuacion

r =

1 + cos(88)

Donde las constantes que aparecen y se denominan excentricidad y latus rectum de la

conica.

29

Toda conica posee dos puntos de interes particular el pericentro y el apocentro, cuyas posi-

ciones estan dadas por las coordenadas (rmin, 0) y (rmax, pi) respectivamente.

En el caso en que 1 se obtienen las dos conicas no acotadas: la parabola y la hiperbola.Queremos centrar nuestro interes en las elipses ya que estas son las curvas que representan

las trayectorias keplerianas de las partculas con orbitas acotadas.

La elipse se define como el lugar geometrico de los puntos cuya suma de distancias a un

punto fijo es constante. En coordenadas cartesianas la ecuacion de una elipse cuyo eje mayor

es paralelo al eje x se describe por la ecuacion

x2

a2+y2

b2= 1 , (89)

donde a y b son las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse. Si a = b = R esta ecuacion

se reduce a la de un crculo de radio R con centro en (0, 0).

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

5 4 3 2 1

Figura 3: Las elipses que mostramos aca tienen = 1 en ambos casos, y excentricidades 0,7 y

0,8

30

En la ecuacion polar (88) de las conicas la distancia r se mide a partir de uno de los focos

de la elipse. Es claro que la formula (88) supone que el eje mayor de la elipse esta localizado a

lo largo del eje x ( = 0). A partir de la representacion de la curva en coordenadas polares es

facil ver darse cuena de que

rmax =

1 (90)

rmin =

1 + (91)

de manera que la media de estas cantidades no es otra cosa que la longitud del eje mayor de la

elipse

rmax + rmin2

=1

2

[

1 +

1 +

]=

1 2 = a , (92)

mientras que la longitud del eje menor (b) esta dada por

b =1 2 . (93)

En terminos de la excentricidad del semieje mayor

rmin = a(1 ) (94)

rmax = a(1 + ) , (95)

mientras que la mitad de la separacion entre los focos esta dada por el producto del eje mayor

por la excentricidad, esto es: a .

31