Modulo Inferencia Completo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ

(Director Nacional de Curso)

100403 – INFERENCIA ESTADÍSTICA

Vol. 1

IBAGUÉ

FEBRERO 2013

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100403 –INFERENCIA ESTADISTICA

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COMITE DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador

Rector

Constanza Abadía García

Vicerrectora Académica y de Investigación

Gloria Herrera

Vicerrector de Medios y mediaciones Pedagógicos

Maribel Córdoba Guerrero

Secretaria General

Inferencia Estadística

Tercera Versión

Actualización por Jeammy Julieth Sierra Hernández

Autores Primera Edición: Jorge Rondon Danis Brito Copyright

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2012

Unidad de Ciencias Básicas UNAD



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CAMPOS DE

FORMACIÓN

Básica CRÉDITOS: 2 TRABAJO INDEPENDIENTE: 72

Horas TIPO DE CURSO Teórico CÓDIGO:100403 ACOMPAÑAMIENTO TUTORIAL: 24

Horas

OBJETIVO GENERAL:

Que el estudiante comprenda, aplique y desarrolle la teoría y las técnicas de la

inferencia estadística en diversos campos de su saber formativo, y que dicha

aplicación se convierta en una herramienta de uso matemático para la toma de

decisiones sobre hipótesis cuantitativas de datos, basado en la información

extraída de una muestra.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Que el estudiante identifique las técnicas y procedimientos que se

deben emplear para que las muestras sean representativas de la población

que se pretende estudiar, de forma que los errores en la determinación de

los parámetros de la población objeto de estudio sean mínimos.

Que el estudiante comprenda el comportamiento de una población a

partir del análisis metódico de una muestra aleatoria de la misma, y que

entienda que la inferencia inductiva de los parámetros estadísticos que

estime sobre dicha muestra, conlleva un error, el cual es posible de ser

cuantificado.

Conocer los criterios técnicos que hay que tener en cuenta antes

de seleccionar un tamaño de muestra.

Identificar el tipo de muestreo de acuerdo a los objetivos del estudio.

Diferenciar y analizar las ventajas y desventajas de la estimación

por intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis.

Determinar la prueba o técnica apropiada a aplicar en las diferentes

pruebas de hipótesis paramétricas y No paramétricas.

COMPETENCIA GENERAL DE APRENDIZAJE:

Identificar un procedimiento adecuado para seleccionar de una población una

parte de ella, con el fin de obtener resultados confiables y poder generalizar los

resultados obtenidos a toda la población.

Determinar los estadísticos necesarios para el análisis y solución de situaciones

que implican conjuntos de datos de su disciplina de formación, por medio del



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conocimiento de la teoría elemental del muestreo y de las distribuciones

muestrales.

Plantear y desarrollar el proceso de la inferencia estadística para resolver

problemas concretos de investigación en el ámbito de otras disciplinas.

Aplicar apropiadamente los resultados teóricos y metodológicos de la inferencia

estadística de estimación y prueba de hipótesis en el marco de la modelación.

Habilidad para planear una investigación, diseño de instrumentos, definición de

variables, recolección de la información, resumen y presentación de los datos.



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UNIDADES DIDÁCTICAS

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 6

UNIDAD UNO: ........................................................................................................................................ 7

MUESTREO, DISTRIBUCIÓN MUESTRAL E INTERVALOS DE CONFIANZA ............................................. 7

CAPITULO UNO: PRINCIPIOS DE MUESTREO .................................................................................... 8

Lección No 1: Conceptos Básicos ................................................................................................ 10

Lección No 2: Tipos de muestreo y selección de muestra ......................................................... 15

Lección No 3: Tipos de Selección de Muestras .......................................................................... 30

Lección No 4: Métodos de Inferencias, Paramétrico y No Paramétrico.................................... 31

Lección No 5: Estimadores y propiedades de los estimadores .................................................. 34

..................................................................................................................................................... 36

CAPITULO DOS: DISTRIBUCIONES MUESTRALES ............................................................................ 37

Lección No 6: Distribuciones Muestrales ................................................................................... 38

Lección No 7: Distribución Muestral de la Media y de la Proporción ....................................... 40

Lección No 8: Distribución Muestral de la proporción .............................................................. 58

Lección No 9: Distribución Muestral de Diferencias de Medias y de la Proporciones .............. 63

Lección No 10: Tamaño de la muestra para estimar la media, la proporción y el total de la

Población ..................................................................................................................................... 67

CAPITULO TRES: INTERVALOS DE CONFIANZA ............................................................................... 74

Lección No 11: Nociones Fundamentales. ................................................................................. 75

Lección 12. Intervalos de confianza para medias y diferencias de medias con muestras

pequeñas 30n ....................................................................................................................... 80

Lección 13. Intervalos de confianza para la media y diferencias de medias muestras grandes

30n ...................................................................................................................................... 101

Lección 14. Intervalos de confianza para la proporción y diferencias de proporciones (siempre

son muestras grandes) 30n ................................................................................................ 105

Lección 15. Intervalos de confianza para la varianza poblacional. .......................................... 107



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INTRODUCCIÓN

El presente modulo está dirigido a estudiantes de programas de pregrado que

oferta la UNAD, bajo la modalidad de educación superior a distancia.

El material está estructurado en dos unidades que son las temáticas macro del

curso académico.

El contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta los

saberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la

Universidad Nacional Abierta y a Distancia en el campo de la Inferencia

estadística.

La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos

mínimos del curso en mención, que le permita resolver situaciones propias del

mismo y además, abordar posteriores temáticas que requieran de éstos

conocimientos.

Para el mejor aprovechamiento de este material, se recomienda que el estudiante

posea como conocimientos previos: de estadística descriptiva y de la teoría de

probabilidad.

El modulo se caracteriza porque en cada lección se presentan ejemplos

modelos del tema en estudio, al final de cada capítulo se exponen ejercicios con

respuesta, que permite a los estudiantes contextualizarse en diversas áreas del

conocimiento, con el fin de fortalecer las temáticas propias del curso.

Al final de cada unidad se presenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las

cuales permiten verificar los alcances de los estudiantes en las temáticas

analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en éstas, con el fin de

alcanzar las metas propuestas.

Finalmente, el Material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se

recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas

audiovisuales, visitas a sitios Web y prácticas de laboratorio; entre otros, así

lograr una efectiva comprensión, y aplicación de las temáticas estudiadas.



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UNIDAD UNO:

MUESTREO, DISTRIBUCIÓN MUESTRAL E INTERVALOS DE CONFIANZA



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CAPITULO UNO: PRINCIPIOS DE MUESTREO

Introducción

En los estudios de investigación lo primero que se define es el fenómeno a

analizar, luego la población objeto de estudio, la cual puede ser finita cuando

se conocen todos los elementos, o infinita cuando no se conocen todos

los elementos de la misma. Desde estos puntos de vista analizar la población

no es práctico, por tiempo y costos, lo que induce a seleccionar una

muestra, cuya importancia radica en el proceso de consecución de

datos que proporcionan la información suficiente y necesaria a cerca de

la población, además que con la muestra se están utilizando menos recursos,

debido a que sólo una parte de la población se encuentra bajo observación,

lo que resulta significativamente beneficioso sobre todo cuando se trata

de poblaciones grandes y dispersa.

Otro aspecto que justifica la decisión de tomar una muestra es en casos donde

se debe destruir los elementos de ésta, por ejemplo cuando se desea

identificar el grado de vacío de un producto enlatado, la resistencia de un

material y otros.

En las encuestas de opinión sobre la preferencia de un producto se nota más

claramente la utilidad de una muestra en contraste con la población,

para conocer las preferencias de los consumidores y poder acomodar

rápidamente el sistema de producción a dichos cambios.

En desarrollo del presente modulo, se utiliza la coma para indicar la parte decimal

de un número.



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Objetivo general

Que los estudiantes identifiquen los principios sobre población y

muestra, métodos de muestreo, distribución de muestreo para medias,

el teorema central del límite, aplicados al cálculo de tamaños de muestras

pertinentes.

Objetivos específicos

Comprender los conceptos de población y muestra.

Identificar los diferentes diseños de muestreo y su utilidad en

diferentes campos del saber.

Conceptuar una distribución muestra y calcular las estimaciones

requeridas, la varianza y el error de estimación para los mismos.

Conocer y comprender los elementos del teorema central de

límite y su utilidad.

Determinar un tamaño de muestra representativo tanto para medias

como para proporciones.

Realizar aplicaciones en Excel y SPSS.



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Lección No 1: Conceptos Básicos

Dentro de la inferencia estadística, el proceso de muestreo permite que a

partir de los resultados obtenidos al analizar una muestra, se pueda obtener

conclusiones en cuanto a una o varias de las características o parámetros de una

población. Esta área de la Estadística, ayuda a determinar la confiabilidad de la

inferencia de que los fenómenos observados en la muestra ocurrirán también

en la población de donde se selecciona la muestra. Es decir, sirve para

estimar la eficacia del razonamiento inductivo con el cual se infiere que lo

observado en una parte ser equivalente a lo observado en la población.

Las técnicas de muestreo son importantes en la medida que se utilice en

forma adecuada para la situación que se requiera. De las técnicas más

conocidas y utilizadas se tienen el Muestro Aleatorio Simple (M.A.S), Muestreo

Aleatorio Estratificado (M.A.E), Muestro Sistemático (M.S) y Muestreo por

Conglomerados (M.C). Se tratará de analizar estas técnicas, especialmente el

M.A.S y M.A.E.

El Éxito en el desarrollo del curso en mención está en los buenos

conocimientos previos en Estadística Descriptiva, Probabilidad y, algebra,

Trigonometría y Geometría analítica. Lo anterior debido a que se debe predecir

resultados o tomar decisiones que tienen un grado de incertidumbre o un

grado de error que se debe definir de antemano.

1.1. Población Y Muestra

Existe una serie de términos estadísticos básicos, que son muy utilizados y se

requiere sean comprendidos para avanzar en otros temas o unidades, en

esta sección se tratarán los conceptos de población y muestra.

Población ó Universo: Se considera a todo aquello sobre el que se

desea hacer un estudio estadístico. Según el número de unidades,

elementos o casos que la constituyen, la población puede ser finita o infinita.

Población Finita: Es aquella conformada por un determinado o limitado número

de elementos.

Población Infinita: Es aquella conformada por un determinado o limitado

número de elementos.

Cuando el número de unidades que integra una población es muy grande, se

puede considerar a ésta como una población infinita. El investigador define la



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población objeto de estudio en términos de espacio y tiempo, ya que de esta

manera los resultados serán sobre la población definida en el espacio

demarcado y en el tiempo definido.

Ejemplo

Estudiantes del Programa de Ingeniería de Sistemas

Estudiantes del programa de Ingeniería de sistemas de la UNAD

Estudiantes del programa de Ingeniería de sistemas en la UNAD de los

años

2.010, 2.011 y 2.012

Muestra: Se considera una muestra al subconjunto representativo de la

población, que ha sido seleccionada de manera técnica mediante un

procedimiento denominado diseño de muestreo, para garantizar que dicha

muestra es representativa de la población, es decir, que las unidades

seleccionadas en la muestra mediante un proceso aleatorio, hayan tenido

igual probabilidad de haber sido seleccionadas para el análisis.

Figura 1. Población y muestra

Muestra representativa: Subconjunto de sujetos que pertenecen a una

población determinada. Debería tener las mismas características generales que

la población. En caso contrario, tenemos una muestra sesgada. (M. J. Navas,

2001, p. 19). Ir al referente. Los dos principios que determinan la

http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/b/biasedsample.htm



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representatividad de una muestra son, la forma de selección, que debe ser

aleatoria y el otro corresponde al tamaño de la muestra.

Parámetros: Según Moore, D. (2000) es un número que describe alguna

característica de la población. En la práctica estadística el valor del parámetro no

es conocido ya que en muchos casos no podemos examinar toda la población.

Pudiendo ser por ejemplo el porcentaje de personas con VIH en Colombia, aquí

el parámetro es la “Proporción” de personas en la población (Colombia) que

tienen dicho virus.

Es conveniente el uso de un símbolo general para designar el parámetro de

interés, entonces éste será:

Entre los parámetros más importantes tenemos:

= Tamaño total de la población

= Promedio Poblacional

= Varianza Poblacional = Desviación estándar Poblacional

= Total Poblacional

=Proporción poblacional

Estadístico: Es un número que se puede calcular a partir de los datos de la

muestra. Moore, D. (pág. 270). Entonces un estadístico mide características,

pero en una parte de la población, es decir, en una muestra; por ejemplo el

porcentaje de personas en Bogotá con VIH; aquí se evidencia que la muestra es

la capital en donde se está analizando una característica, lo que permite sacar

conclusiones de todo el país, por lo cual se dice que la inferencia suministra

conclusiones de la población sirviéndose de los resultados encontrados en las

muestras.

El objetivo fundamental del muestreo es Estimar los parámetros de la

población a partir de algunos elementos cuyas mediciones son los Estadísticos

Los estadísticos más utilizados por su importancia son:

n =Tamaño de la muestra

=Promedio de muestra

S2 =Varianza Muestra

S =Desviación estándar Muestra

=Total Estimado

p =Proporción Muestra

Cuando los dos nuevos términos de arriba son usados, por ejemplo, el proceso



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de estimación en inferencia estadística puede ser descrito como el proceso de

estimar un parámetro a partir del estadístico correspondiente, tal como usar una

media muestra (un estadístico) para estimar la media de la población (un

parámetro).

Error de muestreo (error muestral): En estadística se sabe que existen

diferencias entre lo que se obtuvo en el estudio y lo que se esperaba. En el

proceso de estimación es poco probable que la media Muestra sea idéntica a la

media poblacional, igual para la varianza y la desviación estándar. El error de

muestreo es la diferencia entre el estadístico y el parámetro, es decir diferencia

entre lo encontrado en la muestra con lo esperado en la población.

| | es el Parámetro y es el estadístico.

Recuerde que | | es el símbolo de valor absoluto

A medida que el tamaño de la muestra aumenta el error de muestreo disminuye,

es decir, son inversamente proporcionales.

Error tolerable: Se considera el error tolerable al error máximo que se

está dispuesto a aceptar y aún considerar que el muestreo ha alcanzado

su objetivo. En todo estudio estadístico siempre se considera un error tolerable,

partiendo del principio que a menor error tolerable, mayor será el tamaño de

la muestra. Si es el parámetro y es el estadístico, el error tolerable está

determinado por B, donde:

| |

Error estándar: La desviación estándar de una distribución, en el

muestreo de un estadístico, es frecuentemente llamada el error estándar del

estadístico. Por ejemplo, la desviación estándar de las Medias de todas las

muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada el

error estándar de la media. De la misma manera, la desviación estándar de las

proporciones de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una

población, es llamada el error estándar de la proporción. La diferencia entre los

términos desviación estándar y error de estándar es que la primera se refiere

a los valores originales, mientras que la segunda está relacionada con valores

calculados.



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1.2. Razones para seleccionar una muestra

Entre los motivos que inducen a tomar una muestra aleatoria están:

Naturaleza Destructiva: Existen casos donde se requiere destruir los

elementos de la muestra para medir la característica, como es el caso de

medir la resistencia de un material, el vacío de un producto enlatado, otros. No

es lógico pensar en destruir todos los elementos de la población, de allí que se

tome una muestra.

Imposibilidad Física de Medir Todos los Elementos de la Población:

Se sabe que existen poblaciones muy grandes, consideradas infinitas y es

casi imposible conocer todos los elementos de la misma.

Costos: Estudiar todos los elementos de la población es muy costoso, tanto en

tiempo como en dinero, por lo que es más rentable hacer un estudio Muestra.

Confiabilidad del Estudio Muestra: Esta demostrado con soporte matemático

que una muestra representativa arroja resultados que permiten inferir sobre la

población con una confiabilidad muy alta.

Unidad de observación: Son los elementos que se miden; es decir, sobre los

que se toman los datos de las variables a medir. En el caso de los hogares, la

unidad de observación serán las personas y en el caso de las llantas del

automóvil, cada una serán las unidades de observación.

Marco de muestreo: Se considera el referente para identificar las unidades de

observación, éste NO incluye todos los elementos de la población. Ejemplos de

marcos de muestreo tenemos el directorio telefónico de una ciudad, como

potenciales votantes, el registro de ventas de los últimos 5 años en

una compañía comercializadora y muchos otros.

1.3. Etapas en la Selección de La Muestra

En todo estudio de muestreo se debe definir las etapas que permiten su

desarrollo.

a) Definición de objeto de Estudio: Comprende la identificación del problema y

el establecimiento de las metas que busca el estudio.



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b) Marco de Muestreo: Establecimiento de una metodología para identificar los

elementos que estarán en el muestreo, sus características y el modelo que

los identifica.

c) Identificación de Variables: Es pertinente identificar las variables de

estudio, para así definir la forma de medición que se haría.

d) Tamaño de la Muestra: Por medio del modelo de muestreo pertinente

seleccionar la muestra representativa, sobre la que se realizarán las

mediciones.

e) Unidad de Muestreo: Se debe extraer las unidades de muestreo según el

modelo definido que determinan las n unidades maestrales de la población N.

f) Trabajo de Campo: Son todas las acciones necesarias para obtener la

información, definiendo los costos, desplazamientos, herramientas física y

logísticas para su realización.

g) Análisis de Información: La información obtenida, requiere de un proceso

estadístico, el cual puede ser descriptivo o inferencia, para el curso que

nos ocupa se deben hacer los dos.

h) Resultados: Con el proceso desarrollado sobre los datos obtenidos, se

procede a la emisión de los resultados y la confrontación con las metas

propuestas para verificar el grado de eficiencia del trabajo realizado. Es

pertinente saber presentar los resultados, ya que un buen trabajo que no se

presente de la mejor manera, quedaría oscuro en su información.

Lección No 2: Tipos de muestreo y selección de muestra

Tipos de Muestreo

Con los conceptos previos que se han analizado, ahora corresponde

estudiar las clases de muestreo. Los dos grandes grupos están enmarcados en

las siguientes clases:

Muestreo probabilístico

Muestreo No probabilístico



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2.1. Muestreo No Probabilístico

Son aquellos muestreos donde los elementos de la muestra se toman al azar,

siendo imposible determinar el grado de representatividad de la muestra. Para

el caso de una población homogénea, la representatividad de tal muestra puede

considerarse satisfactoria.

Por otra parte, en problemas comerciales diarios y en la toma de decisiones

que a falta de tiempo no permiten disecar métodos de muestreo probabilístico

hay que recurrir a este tipo de muestreo, donde el investigador conoce la

población.

Dentro del muestreo no probabilístico se conoce varios

tipos:

Muestreo por conveniencia.

Muestreo por juicio

Muestreo Causa / Efecto

Muestreo por Cuotas

Muestreo de Poblaciones Móviles

2.1.1. Muestreo por conveniencia

La muestra se determina por conveniencia, incorporando elementos en la muestral

sin probabilidades especificadas o conocida de selección. Por ejemplo un

profesor que se encuentra investigando una causa universitaria, puede usar

alumnos voluntarios para formar la muestra, tan solo porque dispone fácilmente

de ellos y participan como elementos a un costo pequeño o nulo. Tiene la

ventaja de ser de fácil selección y recolección de sus datos. Tiene la

desventaja de no poderse evaluar en su bondad de la muestra en

función de la representatividad de la población, motivo por el cual se hace

imposible inferir a cerca de la población correspondiente.

2.1.2. Muestreo por juicio

En este método la persona por experiencia y capacidad selecciona a los

individuos u otros elementos de la población, que supone son los más

representativos de esa población. Por ejemplo un reportero puede

muestrear uno o dos senadores, por considerar que ellos reflejan la opinión

general de todos.

2.1.3. Muestreo causa / efecto

Se realiza cuando no hay una población definida y se requiere tomar

elementos para el estudio en cuestión, caso por el cual se toman los elementos

disponibles.



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2.1.4. Muestreo por cuotas

Cuando es necesario obtener una cantidad dada de elementos que constituyen

una muestra proporcional a la población, se toman elementos hasta cubrir

dicha cuota. El caso de tomar una cantidad de carros en una esquina para

hacer un estudio sobre accidentalidad en dicho sitio.

2.1.5. Muestreo de poblaciones móviles

Método propio de poblaciones móviles como en estudios de migración

ocurridos en un sitio determinado. El caso típico es con animales que migran,

donde se hace captura-marca- recaptura.

2.2. Muestreo Probabilístico

El muestreo aleatorio o muestreo probabilístico, es aquel en que cada uno de

los elementos de la población objeto de estudio, tienen una probabilidad

matemática conocida, y frecuentemente igual, para ser elegido en la muestra.

Muestra probabilística

Una muestra se considera probabilística si cumple con las siguientes

condiciones:

a) Se pueda definir un conjunto de muestras M1, M2, M3... Mi posibles

derivados del proceso de selección propuesta. Así se puede identificar

que unidades de muestreo pertenecen a la muestra M1, M2, M3... Mi

b) A cada muestra posible le debe corresponder una probabilidad de

selección conocida P(S).

c) El proceso de selección garantiza que todos los elementos de la población

tienen una probabilidad P(yi)>0 de ser elegido en alguna muestra.

d) La selección es un proceso aleatorio que garantiza que cada

muestra S tenga una probabilidad P(S) de ser elegida. Muestreo aleatorio

simple

Dentro del muestreo probabilístico o aleatorio existen cuatro métodos:

1. Muestreo aleatorio simple

2. Muestreo estratificado

3. Muestreo sistemático

4. Muestreo por conglomerados



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2.2.1. Muestreo Aleatorio Simple

El M A S es la forma m á s sencilla de muestreo probabilístico y es la base de

técnicas más complejas. La muestra se puede tomar de una población finita

o infinita, la cantidad de muestras posibles depende del tipo de diseño y la

forma de tomar las muestras. Este tipo de muestreo se utilize cuando se

considera que la población es más o menos homogénea. Como ya sabemos el

muestreo puede ser con y sin reemplazamiento.

El marco de muestreo corresponde a la lista codificada de todas las observaciones

que hacen parte de la población. La muestra se elige de tal manera que cada

observación tiene la misma probabilidad de ser elegida, la elección de una

observación NO tiene influencia sobre la elección de otra. Es de aclarar que en el

M.A.S la unidad de muestreo es igual a la unidad de observación.

Este tipo de muestreo requiere la construcción de un marco de

muestreo, consistente en el listado completo de las unidades de la

población.

Técnicas para Seleccionar la Muestra

a) Tabla de números aleatorios

(Ver tabla siguiente). Se enumeran las unidades que conforman la población

objetivo de estudio, partiendo desde 01 hasta 99, desde 001 hasta 999, y así

sucesivamente, dependiendo del tamaño poblacional. Luego se define el

tamaño de la nuestra y como los elementos de la población están

listados y codificados, entonces se establece un punto de partida:

Columna x Fila y, se van leyendo ya sea horizontal o verticalmente los

números de la tabla hasta completar el tamaño de la muestra.

Ejemplo

Suponga que tenemos N=30 facturas de servicios públicos (unidades en la

población), saque una muestra aleatoria simple de tamaño n=5.

Paso 1: Asigne etiquetas: Dé a cada unidad en la población un número, etiqueta o

identificación. Todas las etiquetas deben tener el mismo número de dígitos. Como

tenemos 30 unidades y el número 30 tiene dos dígitos, todas las unidades tienen

que tener dos dígitos.



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Tabla 1.

Facturas de servicios públicos

Paso 2: Use la tabla: Empezando en un lugar escogido al azar lea grupos de

dígitos (dependiendo del número de dígitos en las etiquetas) de izquierda a

derecha, continuando con la línea siguiente cuando se acabe la línea que está

leyendo. Si el grupo de dígitos corresponde a una de las etiquetas, ese número

identifica a una de las unidades que será seleccionada. Si el grupo de dígitos no

corresponde a una de las etiquetas o si ya fue seleccionado, se salta al grupo

siguiente.

Por ejemplo suponga que el lugar de partida escogido al azar fue la fila 05,

columna 1 (la columna 1 es la 12345) y la lectura sera vertical (aunque puede ser

horizontal):

Se toman dos digitos porque la muestra es 30 (que tiene dos digitos)

33850 Este número no se escoge porque está por encima de 30

97340

Este número no se escoge porque solo se escogen numerous entre

01 y 30. Se sigue buscando y se llega hasta un número menor o

igual a 30

Este número si se escoge porque es menor a 30.

14756

Se continúa y si con la primera columna no se han encontrado los 5 números para

la muestra se pasa a la siguiente.

Cabe notar que el número 23913 de la tabla se salta ya que se repite el 23 que se

encontró en 23236

La muestra está conformada por las observaciones que se ubican en la posición:

14, 23, 09, 11 y 06

Recibo No. Valor $ Recibo No. Valor $ Recibo No. Valor $

01 $ 45.661 11 $ 37.798 21 $ 44.901 02 $ 43.629 12 $ 33.672 22 $ 40.155 03 $ 41.502 13 $ 39.607 23 $ 48.082 04 $ 45.069 14 $ 34.904 24 $ 32.825 05 $ 45.813 15 $ 36.701 25 $ 45.915 06 $ 49.687 16 $ 34.001 26 $ 30.382 07 $ 45.960 17 $ 36.302 27 $ 41.835 08 $ 35.001 18 $ 48.728 28 $ 47.227 09 $ 49.553 19 $ 48.706 29 $ 48.485 10 $ 46.976 20 $ 34.881 30 $ 45.159



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Tabla 2.

Números aleatorios

Columna

00000 00001 11111 11112 22222 22223 33333 33334

Renglón 12345 67890 12345 67890 12345 67890 12345 67890

01 49280 88924 35779 00283 81163 07275 89863 02348

02 61870 41657 07468 08612 98083 97349 20775 45091

03 43898 65923 25078 86129 78496 97653 91550 08078

04 62993 93912 30454 84598 56095 20664 12872 64647

05 33850 58555 51438 85507 71865 79488 76783 31708

06 97340 03364 88472 04334 63919 36394 11095 92470

07 70543 29776 10087 10072 55980 64688 68239 20461

08 89382 93809 00796 95945 34101 81277 66090 88872

09 37818 72142 67140 50785 22380 16703 53362 44940

10 60430 22834 14130 96593 23298 56203 92671 15925

11 82975 66158 84731 19436 55790 69229 28661 1367512

39087 71938 40355 54324 08401 26299 49420 59208

13 55700 24586 93247 32596 11865 63397 44251 43189

14 14756 23997 78643 75912 83832 32768 18928 57070

15 32166 53251 70654 92827 63491 04233 33825 69662

16 23236 73751 31888 81718 06546 83246 47651 04877

17 45794 26926 15130 82455 78305 55058 52551 47182

18 09893 20505 14225 68514 46427 56788 96297 78822

19 54382 74598 91499 14523 68479 27686 46162 83554

20 94750 89923 37089 20048 80336 94598 26940 36858

21 70297 34135 53140 33340 42050 82341 44104 82949

22 85157 47954 32979 26575 57600 40881 12250 73742

23 11100 02340 12860 74697 96644 89439 28707 25815

24 36871 50775 30592 57143 17381 68856 25853 35041

25 23913 48357 63308 16090 51690 54607 72407 55538

26 79348 36085 27973 65157 07456 22255 25626 57054

27 92074 54641 53673 54421 18130 60103 69593 49464

28 06873 21440 75593 41373 49502 17972 82578 16364

29 12478 37622 99659 31065 83613 69889 58869 29571

30 57175 55564 65411 42547 70457 03426 72937 83792

31 91616 11075 80103 07831 59309 13276 26710 73000

32 78025 73539 14621 39044 47450 03197 12787 47709

33 27587 67228 80145 10175 12822 86687 65530 49325

34 16690 20427 04251 64477 73709 73945 92396 68263

35 70183 58065 65489 31833 82093 16747 10386 59293

36 90730 35385 15679 99742 50866 78028 75573 67257

37 10934 93242 13431 24590 02770 48582 00906 58595

38 82462 30166 79613 47416 13389 80268 05085 96666

39 27463 10433 07606 16285 93699 60912 94532 95632

40 02979 52997 09079 92709 90110 47506 53693 49892

41 46888 69929 75233 52507 32097 37594 10067 67327

42 53638 83161 08289 12639 08141 12640 28437 09268

43 82433 61427 17239 89160 19666 08814 37841 12847

44 35766 31672 50082 22795 66948 65581 84393 15890

45 10853 42581 08792 13257 61973 24450 52351 16602

46 20341 27398 72906 63955 17276 10646 74692 48438

47 54458 90542 77563 51839 52901 53355 83281 19177

48 26337 66530 16687 35179 46560 00123 44546 79896

49 34314 23729 85264 05575 96855 23820 11091 79821

50 28603 10708 68933 34189 92166 15181 66628 58599

Fuente:Web

Paso 3: Indicar según las posiciones que arroja la tabla de números aleatorios



21

cuales elementos se escogerán para la muestra

Tabla 3:

Selección muestra de 5 recibos ejemplo 1

Este método de selección permite que todos los elementos que constituyen la

población tengan la misma posibilidad de ser incluidos en la muestra. Los

elementos se escogen en forma individual y aleatoriamente de la totalidad de

la población. Esta selección puede ser sin reemplazamiento, similar a la que

se realiza en la extracción aleatoria de números en el juego denominado baloto.

Cada elemento que constituye la muestra se selecciona una sola vez,

denominándose extracciones sin reposición.

En otras ocasiones, cada elemento puede ser elegido más s de una vez en

la misma muestra, como por ejemplo, cuando se selecciona aleatoriamente el

número ganador de una lotería, que puede ocurrir ser el mismo número; en

estos casos se dice que las extracciones son realizadas con reposición.

b) Programa de Computador: Utilizando el programa Excel que es el más

común se puede desarrollar números aleatorios de la siguiente manera:

Si la población es de N = 1.000 observaciones y se desea una muestra de 20,

entonces: Sobre una celda se escribe =ALEATORIO ()*N y se da clic, el

sistema genera el primer número aleatorio, se despliega en la parte inferior

derecha de la celda del número hasta el tamaño de la muestra definida.

Sintaxis para obtener números aleatorios de una población de 1000

observaciones

Figura 2. Sintaxis número aleatorio en Excel

No. Recibo Valor $ No. Recibo Valor $ No. Recibo Valor $

01 $ 45.661 11 $ 37.798 21 $ 44.901

02 $ 43.629 12 $ 33.672 22 $ 40.155

03 $ 41.502 13 $ 39.607 23 $ 48.082

04 $ 45.069 14 $ 34.904 24 $ 32.825

05 $ 45.813 15 $ 36.701 25 $ 45.915

06 $ 49.687 16 $ 34.001 26 $ 30.382

07 $ 45.960 17 $ 36.302 27 $ 41.835

08 $ 35.001 18 $ 48.728 28 $ 47.227

09 $ 49.553 19 $ 48.706 29 $ 48.485

10 $ 46.976 20 $ 34.881 30 $ 45.159



22

Al dar clic se genera el primer número aleatorio y desplegando se obtiene los

que se desea.

De esta manera se obtiene los números aleatorios que se requieren

para tomar la muestra aleatoria de la población objeto de estudio. Si se

vuelve a hacer el proceso, se obtendrán nuevos números y cada que se realice

un nuevo proceso, se generarán diferentes números; esto por lo de Aleatorio.

VIDEOS

c) Método de Fan Muller:

Para seleccionar una muestra aleatoria simple mediante este método hay que

seguir los siguientes pasos:

1. Para cada elemento de la población se genera un número aleatorio entre 0

y 1. Ese número aleatorio se llamará r.

2. Se hace un recorrido secuencial de la población y se incluye a la muestra

el número aleatorio r si cumple:

Comprobando que no estuviera anteriormente introducida, en el caso de

que esté repetida se pasa a la siguiente unidad. Si se introduce la unidad

se vuelve a empezar en el paso 1.

3. El algoritmo termina cuando

d) Coordinado Negativo: El proceso general es de la siguiente manera:

1. Se adiciona una variable aleatoria U con distribución uniforme U (0, 1)

2. Se ordena el marco muestral según la distribución U.

3. La muestra se forma de los n primeros elementos del marco ordenado

Selección de

muestras a través

de M.A.S

https://sites.google.com/site/unadjeammysh/recursos-de-apoyo/Trab1_Pto2.mp4?attredirects=0&d=1





23

2.2.2. Muestreo Aleatorio Estratificado

En el diseño de muestreo probabilístico, es pertinente identificar la población

objeto de estudio, ya que no siempre la variable de análisis es más o menos

homogénea. Si se desea analizar la variable peso; por lo general los hombres

pesan más s que las mujeres, en estratos altos se paga más arriendo que

en estratos bajos. En estos y otros muchos casos el M. A. S. no es adecuado.

En casos donde la población es muy heterogénea respecto a la variable

de estudio el muestreo estratificado es mejor que el muestreo aleatorio simple.

La palabra estratificar hace referencia a formar Capias.

DEFINICIÓN: Una muestra aleatoria estratificada se obtiene mediante la

separación de los elementos de la población en subgrupos llamados ESTRATOS,

los cuales son disyuntos.

Obtenidos los estratos, en cada uno se obtiene la muestra por M.A.S para el

estudio de la variable de interés.

Como los elementos de los estratos son disyuntos, entonces cada

unidad de muestreo pertenece solo a un estrato. Las muestras

seleccionadas en los estratos deben ser independientes; es decir, la elegida

en un estrato no debe afectar la elección de otra muestra en otro estrato.

La esencia de la estratificación es que ésta saca provecho de la

homogeneidad conocida de las sus poblaciones, de tal forma sólo se requieran

muestras relativamente pequeñas para estimar las características de cada

sub-población, estas estimaciones individuales pueden entonces ser

fácilmente combinadas para producir una estimación de toda la

población; además, la economía en el tamaño de la muestra, un

valioso sub-producto del esquema del muestreo estratificado es que las

estimaciones obtenidas para diferentes partes de la población se

pueden usar posteriormente para hacer comparaciones.

Para una descripción general del muestreo aleatorio estratificado y los

métodos de inferencia asociados con este procedimiento, suponemos

que la población está dividida en h subpoblaciones o estratos de tamaños

conocidos N1, N2,..Nh tal que las unidades en cada estrato sean

homogéneas respecto a la característica en cuestión.



24

Figura 3. Población divida en estratos

Ejemplo

Población de tutores del CEAD Ibagué - UNAD (ver figura 3). El tamaño de la

población 18 tutores (N= 18), la cual está dividida en 3 escuelas o subgrupos

(H=3). Cada escuela es un estrato, y se tiene que son diferentes los perfiles de los

tutores de una escuela a otra pero al interior de cada una son similares sus

profesiones, esto significa que los subgrupos son heterogéneos entre sí, pero

homogéneos dentro de cada uno.

VENTAJAS DEL MUESTREO ESTRATIFICADO

1. Evitar la obtención de muestras erróneas, tal es el caso de

escoger elementos que podrían sesgar el muestreo, por consiguiente

se puede perder representatividad de la población.



25

2. Obtener información precisa de ciertos subgrupos para hacer

comparaciones

3. Producir un límite de error de estimación (B) más pequeño, comparado con

el obtenido en el M.A.S. para un mismo tamaño de muestra.

4. Los costos por observación en las encuestas son más reducidos ya

que se evitan desplazamientos extremos.

5. Las estimaciones se obtienen por subgrupos así los estratos se hacen

identificables.

Notación: Partiendo de la población o universo U cuyo tamaño es N,

ésta se divide en NL estratos.

Figura 4. Tamaño de estratos

N = N1 + N2 +…+NL (Tamaño poblacional)

= Tamaño del estrato i.

= Valor de la observación j en el Estrato i.

= Media poblacional en el estrato i.

= Varianza poblacional en el estrato i.

= Total poblacional en el estrato i.

Proporcion poblacional en el estrato i

La media poblacional del estrato, la varianza poblacional del estrato, el

total poblacional del estrato y el total poblacional, se obtiene de la siguiente

manera:

En cada estrato se obtiene una muestra aleatoria por M.A.S. Si tenemos el



26

estrato l, se puede hacer el siguiente análisis.

Tamaño de la muestra en el estrato i

Promedio de la muestra del estrato i

Varianza muestral del estrato i

Proporción estimada del estrato i

∑

Donde son los elementos j del estrato i

Tamaño de la submuestras en los estratos

(

) Ecuación No.1

Dónde:

N = Tamaño de la población

N = Tamaño de la muestra

Ni= Tamaño del estrato i

ni= Tamaño de muestra en el estrato i

N= N1+N2+N3+..+Nh

n = n1 + n2+…+ ni

Ejemplo

La sección operativa de una empresa de confecciones cuenta con 100

empleados, la cual está dividida en operarios de maquina plana, dibujantes y

cortadores, de los que hay 40, 35 y 25 operarios respectivamente; se quiere hacer

un estudio estadístico y se toma una muestra de 20 empleados. ¿Cuántos

operarios de cada línea deben escogerse si la selección se hace a través de un

muestreo estratificado?

N= 100

n = 20

N1= 40

N2= 35

N3= 25



27

(

)

(

)

(

)

La muestra de 20 empleados debe estar compuesta por 8 de máquina plana,

7 dibujantes y 5 cortadores.

2.2.3. Muestreo Sistemático

Es utilizado por algunos contadores para revisar sumas, cuentas, inventarios,

etc., por ser un método directo y económico. Consiste en seleccionar uno a

uno, los elementos de la muestra en un orden determinado, dando un inicio

aleatorio. Es decir, la muestra queda ordenada.

La fracción de muestreo se establece por medio de la siguiente relación:

Dónde:

f = Fracción de muestreo

N= Población

n = Tamaño de la muestra

Ejemplo

De una población de 1.000 observaciones, se desea tomar una muestra de 10,

cuáles serían las observaciones que harían parte de la muestra sistemática.

La fracción de muestreo es:

f = Fracción de muestreo

N= Población

n = Tamaño de la muestra

Como la fracción de muestreo dio 100, el primer elemento se selecciona

aleatoriamente en el intervalo cero a cien, por ejemplo seleccionando el

número 25, el segundo elemento que se selecciona es 125 (25+100), luego el

225 (125+100) y así sucesivamente, hasta completar la muestra de diez.



28

Puede ver un ejemplo de muestreo sistemático en:

https://sites.google.com/site/unadjeammysh/recursos-de-apoyo

Figura 5. Recursos de apoyo

Un problema específico del muestreo sistemático es la existencia de cualquier

factor periódico o cíclico en la lista de la población que pudiera conducir a

un error sistemático en los resultados muestrales.

Ejemplo

Si en un hospital hay un universo de quince mil cien historias clínicas

que están numeradas interrumpidamente y se desea tener una muestra

equivalente al 10%, o sea, mil quinientas diez historias, ello significa que ha

de tomarse una de cada 10, ya que (15100 /1510 = 10). La primera historia

puede seleccionarse del primer grupo de 10. Si la primera historia

seleccionada es la número 8 en la población, teniendo en cuenta que el

ocho es un número cualquiera tomado aleatoriamente; la segunda será la 18=

(8+10) la tercera será la 28 = (18 + 10), la cuarta será la 38 = (28 + 10), y así

sucesivamente.

La estimación y tamaño de muestra tiene un análisis similar al muestreo

aleatorio simple M.A.S.

2.2.4. Muestreo Conglomerados

Este es un método de muestreo aleatorio en el que los elementos de la

población se dividen en forma natural en subgrupos, de tal forma que dentro de

ellos sean lo más heterogéneo posible y entre ellos sean homogéneos, caso

contrario al muestreo estratificado.

Este tipo de muestreo se usa en particular cuando no se dispone de una

Clic allí para descargar archivo

https://sites.google.com/site/unadjeammysh/recursos-de-apoyo



29

lista detallada y enumerada de cada una de las unidades que conforman el

universo y resulta muy complejo elaborarla. Se le denomina así debido a

que en la selección de la muestra en lugar de escogerse cada unidad se

procede a tomar los subgrupos o conjuntos de unidades, a los que se llama

"conglomerados". Aunque quizá por ello se tienda a creer que es lo

mismo que el estratificado, ambos se diferencian en que en los

conglomerados los subconjuntos se dan en la vida real o ya están

agrupados de esa manera; por ejemplo: Escuelas, tipos de Industrias,

bloques de casas y otros. En el estratificado el investigador decide las

agrupaciones que utilizar según la posible variabilidad de los fenómenos a

estudiar; otra diferencia es que en este el investigador conoce la distribución

de la variable, todo lo contrario que en el muestreo por conglomerado.

El proceso se indica definiendo los conglomerados, después se seleccionan los

subconjuntos a estudiar (o sea, que se realiza un muestreo de

conglomerados); de estos seleccionados se procede a hacer el listado de las

unidades que componen cada conglomerado, continuando posteriormente con la

selección de las unidades que integrarán la muestra, siguiendo algunos de los

métodos aleatorios indicados.

Si se desea hacer un estudio en las escuelas de educación primaria sobre un

determinado fenómeno, inicialmente se seleccionan las escuelas que se

estudiarán, de esas escuelas seleccionadas se determinan los grados o clases

que deben incluir y posteriormente se escogen los alumnos, que serán las

unidades de observación, utilizando uno de los métodos aleatorios. Se estima

que las inferencias que se hacen en una muestra conglomerada no son tan

confiables como las que se obtienen de un estudio hecho por muestreo aleatorio.

Ejemplo

Si un analista de la Secretaría de Salud necesita hacer un estudio de los

servicios médico-asistenciales que reciben los trabajadores del área

metropolitana, sería difícil obtener una lista de todos los trabajadores de la

población objetivo. Sin embargo podría obtenerse una lista de las empresas y

fábricas del área. Con esta lista, el analista puede tomar una muestra aleatoria

de las empresas o fábricas, que representan conglomerados de

trabajadores, y obtener la información de los servicios médicos que se les

están prestando.



30

Lección No 3: Tipos de Selección de Muestras

En el diseño Muestra hacemos referencia a la probabilidad de selección, la

cual consiste en definir el valor de probabilidad de que una muestra dada

sea seleccionada. En teoría de probabilidad existen dos tipos de selección:

3.1. Selección con Reemplazamiento:

Consiste en que los elementos seleccionados una vez medidos vuelven a la

muestra, lo que hace que el espacio Muestra permanezca constante. Por lo

anterior la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de otro, por lo que

los eventos se consideran independientes.

Ejemplo

Si en una bolsa se tiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. ¿ Cuál será

la probabilidad que al seleccionar dos bolas, estas sean blancas?

La probabilidad de que la primera sea negra es: ( )

La probabilidad de que la segunda sea negra es: ( )

3.2. Selección sin Reemplazamiento:

Los elementos elegidos una vez la medición, estos NO vuelven a la

muestra, lo que hace que el espacio muestral cambie a medida que se van

tomado elementos de la muestra.

Ejemplo

Si en una bolsa se tiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. ¿Cuál será la

probabilidad que al seleccionar dos bolas estas sean blancas, la selección es

sin reemplazamiento?

La probabilidad de que la primera sea negra es: 4/9

La probabilidad de que la segunda sea negra es: 3/8

Recordemos que una vez elegida la primera, ésta no vuelve a la muestra.



31

Ejemplo

Suponga que tenemos N = 4 unidades 1, 2, 3 y 5 en una población

hipotética y desea seleccionar muestras con reemplazamiento y sin

reemplazamiento de tamaño n=2

Para los propósitos de esta selección, los valores podrían ser el número de

las personas que viven en cada una de cuatro unidades habitacionales que

constituyen una población. Se realizará una comparación entre el muestreo

aleatorio con y sin reemplazamiento para una muestra de tamaño n=2.

Primero se listan todas las posibles muestras no ordenadas de tamaño n= 2.

Para recordar:

Tabla 4:

Técnicas de conteo

Muestreo Con Orden Sin Orden

Con Repetición Regla del exponente (o permutaciones con repetición)

Nn

Multiplicación de opciones: n1 x n2 x n3….

Combinaciones

( ) ( )

( )

Sin Repetición

Permutaciones (de n elementos tomados todos a la vez)

N! = NPn Permutaciones (de N elementos tomados

de r en r. con )

( )

Combinaciones (de N elementos tomados de r en r. con )

( )

Lección No 4: Métodos de Inferencias, Paramétrico y No

Paramétrico

4. Métodos De Inferencia

Los procedimientos de inferencia permiten establecer conclusiones acerca de

una población, a partir de las propiedades estudiadas en una muestra de ella.

Además, como dichas conclusiones dependen de sucesos aleatorios, se les

asociará un nivel de confianza o de verosimilitud.



32

Gráfico No.1 Métodos de inferencia

4.1. Métodos Paramétricos

Resuelve objetivos relacionados con parámetros de una población, tales como

media, varianza, proporción etc. Estos modelos se apoyan en el conocimiento

de la distribución de probabilidad asociada a dicha población aunque se

desconozca algún parámetro de dicho modelo. Por ejemplo podemos suponer

que el número de clientes atendidos por hora en una entidad bancaria sigue un

modelo de Poisson pero de parámetro µ desconocido.

Para resolver un problema de inferencia paramétrico se utilizan dos tipos de

procedimientos:

4.1.1. Estimación: Puntual cuando obtenemos valores aproximados del

parámetro desconocido y una medida de error asociado; por Intervalos

cuando obtenemos un rango de valores, que contiene el verdadero valor

del parámetro con una probabilidad o confiabilidad prefijada.

4.1.2. Test de Hipótesis: Cuando aceptamos o rechazamos una hipótesis

relacionada con uno o varios parámetros de una población desconocidos,

con un cierto nivel de error prefijado.

4.2. Métodos no paramétrico

Los métodos no paramétricos se refieren a menudo como distribución

libremente métodos pues no confían encendido asunciones que los datos están

dibujados del dado distribución de la probabilidad. Resuelven situaciones

relacionadas con el tipo de distribución de probabilidad asociada a la población

de estudio u otros objetivos no relacionados directamente con parámetros.

Lo deseable en estos casos será buscar la inferencia en contrastes que sean

válidos bajo un amplio rango de distribuciones de la población. Tales contrastes

Métodos de Inferencia

Parámetrico

Estimación Pruebas de Hipótesis

No Parámetrico

Pruebas No Parámetricas

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Assumption

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Probability_distribution



33

se denominan no paramétricos.

El término no paramétrico no se significa implicar que tales modelos carecen

totalmente parámetros, sino que el número y la naturaleza de los parámetros son

flexibles y no fijados por adelantado.

Ventajas y Desventajas

Las pruebas no paramétricas no necesitan suposiciones respecto a la

composición de los datos poblacionales. Las pruebas no paramétricas son de

uso común:

1. Cuando no se cumplen las suposiciones requeridas por otras

técnicas usadas, por lo general llamadas pruebas paramétricas.

2. Cuando es necesario usar un tamaño de muestra pequeño y no es

posible verificar que se cumplan ciertas suposiciones clave.

3. Cuando se necesita convertir datos cualitativos a información útil para

la toma de decisiones.

Existen muchos casos en los que se recogen datos medidos en una escala

nominal u ordinal. Muchas aplicaciones de negocios involucran opiniones o

sentimientos y esos datos se usan de manera cualitativa.

Ventajas

Las pruebas no paramétricas tienen varias ventajas sobre las pruebas

paramétricas:

1. Por lo general, son fáciles de usar y entender.

2. Eliminan la necesidad de suposiciones restrictivas de las pruebas

paramétricas.

3. Se pueden usar con muestras pequeñas.

4. Se pueden usar con datos cualitativos.

Desventajas

También las pruebas no paramétricas tienen desventajas:

1. A veces, ignoran, desperdician o pierden información.

2. No son tan eficientes como las paramétricas.



34

Lección No 5: Estimadores y propiedades de los estimadores

5. Estimador

En estadística, un estimador es un estadístico (esto es, una función de la

muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Por

ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro

desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en

diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las

observaciones puede utilizarse como estimador del precio medio.

Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general,

escogeremos el estimador que posea mejores propiedades que los restantes,

como insesgadez, eficiencia, convergencia y robustez (consistencia).

5.1. Propiedades de un estimador

El concepto de estimación de parámetros mediante la especificación de las

propiedades que deben cumplir los estimadores y el desarrollo de técnicas

apropiadas para implementar el proceso de estimación. Se utilizar· el punto

de vista práctico de la teoría del muestreo, que considera un parámetro como

una cantidad fija pero desconocida.

Para evaluar la calidad de un estadígrafo como un estimador este debe

cumplir las siguientes propiedades:

5.1.1. Insesgado

Un estimador insesgado es aquel cuya media o valor esperado de la distribución

de las de las estimaciones es igual al parámetro estimado. En otras palabras,

cuando el promedio de un estimador muestral es igual al parámetro poblacional

que se desea estimar.

5.1.2. Eficiencia:

La eficiencia se refiere al tamaño del error estándar del estadígrafo de la

muestra. Si se comparan dos estadígrafos de una muestra del mismo tamaño y

se desea decidir cuál de los dos es el estimador más eficiente, se escogerá

el estadígrafo que tenga el menor error estándar o desviación de la

distribución muestra. Supóngase que se escoge una muestra de un tamaño

dado y se decide cuando usar la media muestra o la mediana muestra para



35

estimar la media de la población. Si se calcula el error estándar de la media

muestra y se encuentra que es igual a 2.15 y luego se calcula el error

estándar de la mediana muestra y se encuentra que es de 2.6, se podrá

decir que la media muestra es un estimador más eficiente de la media de la

población porque su error estándar es menor o con menos variación, tendrá

una mayor oportunidad de producir un estimador más cercano al parámetro de

la población bajo estudio.

5.1.3. Consistencia:

Un estadígrafo es un estimador consistente de un parámetro de la población

si en la medida en que el tamaño de la muestra aumenta se está seguro de

que el valor del estadígrafo se acerca al valor del parámetro de la población.

Cuando un estimador es consistente, se vuelve más confiable tomando

muestras grandes. De esta manera, cuando usted se preocupa por

aumentar el tamaño de la muestra para obtener más información acerca de

un parámetro de la población, debe primero encontrar si su estadígrafo es

un estimador consistente, si no es así, usted desperdiciará dinero y tiempo

al tomar muestras grandes.

5.1.4. Suficiencia:

Estadísticos que, de alguna manera, resumen toda la información de una muestra

relacionada con un parámetro objetivo, se dice que tienen la propiedad de

suficiencia, es decir, utilizan toda la información relevante contenida en una

muestra.



36

Ejercicios propuestos

En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el

departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el de

contabilidad y 100 en el de servicios al cliente. Con el objeto de realizar una

encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores. Qué

número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento

atendiendo a un criterio de proporcionalidad

R/ta: 30, 90, 40, 20

Suponga que se quiere estimar el número de días-hombre perdidos debido

a accidentes de trabajo en un mes particular. Además se sabe que la mayor

parte de dichos accidentes se presentan en los niveles operativo, técnico y

administrativo. ¿Cuál de los siguientes diseños de muestreo es el más

aconsejable?:

R/ta: Estratificado, identificando como estrato los niveles de trabajo

Supongamos que en la ciudad “T” hay 200 barrios. Si elegimos al azar dos

de estos barrios, de manera que la muestra esté compuesta por todos

los individuos de esos dos barrios. Se trata de de:

R/ta: Por conglomerados

Se ha proyectado realizar una encuesta sobre el consumo de leche en

las familias. El número de familias de la población es 6000 y el tamaño de

la muestra 840, con la siguiente clasificación de profesión u oficio:

Profesionales: 100 Comerciantes: 200

Operarios: 2000 Agricultores: 600

Servicios Generales:

1900 Empleados: 1200

Cuántas familias de agricultores deben estar representadas en la muestra.

R/ta: 84



37

CAPITULO DOS: DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Introducción

Como se ha señalado anteriormente, el propósito del muestreo es averiguar las

características de la población en estudio. Se recuerda de nuevo que para

poder dar conclusiones de los parámetros se usan los estadísticos que son

mediciones obtenidas en la muestra, mientras que los parámetros son

características medibles propias de la población.

El escoger una muestra, es un proceso que inevitablemente puede arrojar

diferentes subconjuntos de la población, por ejemplo de la población de tutores,

se puede escoger como muestra los tutores de la ECBTI o escoger los de

ECEDU. El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos

elegidos en la muestra seleccionada- también aleatoria- de tamaño “n” y, por lo

tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual es llamada la

Distribución Muestral del estadístico.

Objetivo general

Que los estudiantes lleguen a formar, no sólo, una muestra si no un conjunto de

posibles muestras de una población, con las unidades de observación y sean

capaces de reconocer la distribución de ese conjunto de muestras.


Comprender la importancia del teorema del límite central.

Establecer las diferencias entre un parámetro y un estadístico



38

Lección No 6: Distribuciones Muestrales

En estadística, la distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las

muestras posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite

calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al

parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puede estimar el

error para un tamaño de muestra dado.

Como bien lo afirma Ximenez, C. (S, F.) “La estadística inferencial trata sobre las

inferencias con respecto a las poblaciones (sus parámetros µ y σ2) a partir de la

información contenida en las muestras (los estadísticos y S2).

Para poder llevar a cabo esas inferencias es necesario conocer la relación que se

establece entre estadísticos y parámetros. El concepto que permite poner en

relación ambas cosas es “la distribución muestral de un estadístico”.

Figura 6. Distribución de un estadístico

Algunos estadísticos pueden ser: La media, la proporción y la desviación.

Recuerde que todos son cálculos en las muestras.

A cada una de las muestras se les calcula el respectivo estadístico, es decir, se

tendrá tantos estadísticos como muestras se haya obtenido. Por ejemplo, si el

estadístico que se está estimando es la media, y si se obtuvo 8 muestras,

entonces, serán 8 medias muestrales las que tendrá.

Con todos los resultados del estadístico en todas las muestras, se forma la

distribución muestral del estadístico.

Distribución Muestral: Es la distribución de Probabilidad de un estadístico



39

6. Diferentes distribuciones muestrales

Ya que a nivel muestral se pueden calcular diferentes estadísticos, como la

media, desviación y la proporción entre otros, se pueden encontrar sus

respectivas distribuciones muestrales, entre estas:

Distribución muestral de la medias

Distribución muestral de las proporciones

Distribución muestral de la diferencias de medias

Distribución muestral de la diferencias de proporciones

Nota: El muestreo se puede hacer sin o con reemplazamiento.

Ejemplo

En la figura a continuación se tiene que la variable X, es el número de párrafos

digitado por minuto, X: 1, 2, 3, 4.

Figura 7. Distribución de la población

Poblacionalmente se tiene:

Parámetros

E(X)= 2.5

Var (X)= 1.1180

E(x) es el valor esperado de la variable o promedio, y V(x) es la varianza.

( ) ∑

( ) ∑( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Se sugiere al lector comprobar los cálculos para la varianza con el comando

VAR.P en Excel.



40

Ejemplo

Si se quiere escoger una muestra de tamaño 3, es decir compuesta por 3

personas y si además las muestras se toman con reposición es decir se puede

volver a incluir el individuo. La distribución muestral será:

Gráfico No.2. Histograma de medias muestrales

El 1,00 que se observa corresponde a la media de la muestra conformada por las

observaciones 1, 1, 1; es decir se tomo una muestra de tres personas pero al ser

con reposición, el primer elemento que se obtuvo fue 1, éste se devuelve la

población y tiene de nuevo la posibilidad de ser escogido, que es lo que vuelve a

suceder, del mismo modo en la tercera extracción. El valor 1,33 es la media de

una muestra que puede ser por ejemplo las observaciones 1, 1, 2. El total de

muestras es 24 conformadas por 3 personas, ya que se aplica el principio de las

permutaciones.

Lección No 7: Distribución Muestral de la Media y de la

Proporción

Los estadísticos obtenidos en una muestra son variables aleatorias, por lo cual

deben tener una distribución de probabilidad, así que la media muestral tiene una

distribución.

Supongamos que se tiene una muestra de tamaño “n” observaciones tomada de

una población normal N (µ; σ2) cada observación X1= 1, 2, 3,…, n tendrá la

misma distribución que la población de donde fue tomada la muestra.

0

2

4

6

8

10

12

14

1,00 1,33 1,67 2,00 2,33 2,67 3,00 3,33 3,67 4,00

Distribución de frecuencias de medias muestrales



41

7. Principios y conceptos en la medias muestrales

Teorema: (Población infinita)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sea

la media de la muestra aleatoria de tamaño n

proveniente de una población infinita de tamaño N con media µ y varianza σ2.

Entonces:

( )

El valor esperado de la media muestral es la media poblacional

( )

La varianza del estimador es igual a la varianza poblacional dividida por el tamaño

de la muestra.

Teorema: (Población Finita)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sea

la media de la muestra aleatoria de tamaño n

proveniente de una población finita de tamaño N con media µ y varianza σ2.

Entonces:

( )

( )

Comentario:

Se conoce como el factor de corrección para poblaciones finitas. Cuando N es

muy grande comparado con n, la diferencia se hace despreciable lo que origina

que para poblaciones infinitas dicho factor de corrección se hace uno.

7.1. Distribución Muestral de la Media

Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia,

impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y

tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean

completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la

media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie



42

su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos

los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes en

el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones

se harán usando estadísticas muestrales. Como el análisis de las distribuciones

asociadas con los estadísticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un

estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro

poblacional desconocido.

Como los valores de un estadístico, tal como x, varían de una muestra aleatoria a

otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente

distribución de frecuencias.

La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución

muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus

valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.

Figura 8. Distribución muestral de medias

Ejemplo Construcción de la distribución de las medias muestrales.

Un Colegio tiene siete profesores, la retribución por hora cátedra es la que se

muestra a continuación:

Tabla 5:

Tabla No. Salario profesores

Profesor Salario $ 1 2 3 4 5 6 7

7000 7000 8000 8000 7000 8000 9000



43

Para determinar la distribución muestral de las medias, se seleccionaron todas

las muestras posibles de tamaño 2, sabiendo que son sin sustitución y que

no interesa el orden de selección en la población. Se calculan las medias de

cada muestra y se calcula la media de las medias muestrales.

Para saber cuántas muestras posibles se pueden tomar, se utiliza la combinatoria,

por los preceptos tomados: Sin repetición y no importa el orden

El valor de 21, es el número de muestras tamaño 2 que se pueden formar de

una población de 7 elementos. A continuación se indican las 21 muestras posibles

y el valor de la media para cada una de las muestras:

7 2 =7!

(7 2)! 2!=

7!

(5)! 2!=

5! × 6 × 7

5! 2!=

42

2!=

42

2= 21

Paso 1: Media de la población

𝜇𝑥 9

Paso 2: Varianza de dicha población.

𝜎𝑥

𝑁 (𝑥𝑖 𝜇) 𝑁

𝑖

𝜎𝑥

( ) (9 ) 9 9

𝜎𝑥

∑ 𝑥𝑖

𝑁 𝜇

La varianza poblacional está dada por:

Entonces:

Otra formulación es:

Recuerde que la desviación es la raiz cuadrada de la varianza, entonces la

desviavión en este caso es 𝜎𝑥 9 9 699

Paso 3: Distribución muestral de las medias



44

Tabla 6:

Distribución salarios de profesores. Muestreo sin reemplazamiento y las medias

Muestra Prof. Salario Media Muestra Prof. Salario Media

1 1 y 2 7000-7000 7000 12 3 y 4 8000-8000 8000

2 1 y 3 7000-8000 7500 13 3 y 5 8000-7000 7500

3 1 y 4 7000-8000 7500 14 3 y 6 8000-8000 8000

4 1 y 5 7000-7000 7000 15 3 y 7 8000-9000 8500

5 1 y 6 7000-8000 7500 16 4 y 5 8000-7000 7500

6 1 y 7 7000-9000 8000 17 4 y 6 8000-8000 8000

7 2 y 3 7000-8000 7500 18 4 y 7 8000-9000 8500

8 2 y 4 7000-8000 7500 19 5 y 6 7000-8000 7500

9 2 y 5 7000-7000 7000 20 5 y 7 7000-9000 8000

10 2 y 6 7000-8000 7500 21 6 y 7 8000-9000 8500

11 2 y 7 7000-9000 8000

Suma Total 162.000

En el cuadro siguiente se indica la distribución de probabilidad para el

muestreo de medias, donde la sumatoria de todas las probabilidades es igual

a uno:

Tabla 7:

Distribución de probabilidad

Media muestral Número de medias Probabilidad

7000 3 0,1429

7500 9 0,4285

8000 6 0,2857

8500 3 0,1429

Suma 21 1,000

Gráfico No.3. Histograma de medias muestrales salario de los profesores



45

La media poblacional es igual a la media de las medias muestrales

La media de la distribución muestral de medias, se determina sumando las

diferentes medias muestrales y dividiendo la suma entre el número de muestras.

La media de todas las medias muestrales en general se expresa:

Ecuación No.2

Primero se obtiene todas las muestras (todos los subconjuntos) y luego a cada

muestra le calcula la media, finalmente obtendrá, tantas medias como muestras

haya, y con esas medias calcula de nuevo un promedio; es decir, se calcula una

media de medias.

6

Vea el valor obtenido en el paso 1 (Media poblacional) y compárelo con el

resultado anterior ¡Son equivalentes!

Note que: es la media de las medias muestrales y es la media poblacional.

Por tanto para nuestro caso:

Paso 4: Media de la distribución muestral de medias



46

Paso 5: Construcción de distribución de errores muestrales

�� 𝜇 𝑒

𝜇𝑒

𝜎𝑒

Error Muestral

Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la

media poblacional 𝜇, entonces la media muestral, como medida, conlleva algún

error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de

tamaño 25 de una población con media 𝜇 ; si la media de la muestra es

�� , entonces a la diferencia observada �� 𝜇 se le denomina

el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos

cantidades: la media poblacional 𝜇 y el error muestral; si e denota el error

muestral, entonces:

Ecuación No.3

Al calcular la media y desviación estándar de los errores muestrales “e” (última

columna de la tabla 7) se tiene respectivamente:

Se deja como ejercicio al lector calcular 𝜇𝑒 y 𝜎𝑒



47

Tabla 8:

Distribución de errores muestrales. Salario promedio de profesores

Muestra No.

�� Media de la muestra

𝜇�� Media de las medias muestrales Error muestral

e

1 7000 7714,3 -714,3 2 7500 7714,3 -214,3 3 7500 7714,3 -214,3 4 7000 7714,3 -714,3 5 7500 7714,3 -214,3 6 8000 7714,3 285,7 7 7500 7714,3 -214,3 8 7500 7714,3 -214,3 9 7000 7714,3 -714,3

10 7500 7714,3 -214,3 11 8000 7714,3 285,7 12 8000 7714,3 285,7 13 7500 7714,3 -214,3 14 8000 7714,3 285,7 15 8500 7714,3 785,7 16 7500 7714,3 -214,3 17 8000 7714,3 285,7 18 8500 7714,3 785,7 19 7500 7714,3 -214,3 20 8000 7714,3 285,7 21 8500 7714,3 785,7

𝝈𝟐𝒙 : 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 �� 𝒙 𝒊 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑖 𝝁𝒙 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝒏 ∶ 𝑁 𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

𝜎��

𝜎��

. . .

𝜎�� 9. . 9. .

𝝈𝟐𝒙 ∑(𝒙 𝒊 𝝁𝒙 )

𝟐

𝒏 Y otra forma es: 𝜎��

∑𝑥𝑖

𝑁 𝜇��

Dónde:

𝜎�� . 6 Varianza

𝜎�� Desviación

Paso 6: Desviación estándar de las medias muestrales



48

Muestreo con reemplazo

Si de una población se eligen muestras de tamaño n con

reemplazo (o la población es No finita), entonces el error estándar

de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de

los errores muestrales.

En general se tiene:

Ecuación No.4

Muestreo sin reemplazo

Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin

reemplazo se puede usar la siguiente fórmula para encontrar :

√

Ecuación No.5

Error estándar del estadístico

La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce

como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar

de la media denotado por 𝜎��, es 451,75.

Aunque, se puede notar que en este caso la desviación de los errores

muestrales y el error estándar, son iguales.

𝜎𝑒 𝜎��,

𝑁 𝑛

𝑁 : Es llamado factor de corrección para poblaciones finitas, o en donde

se muestrea sin reemplazo.



49

Más adelante se verá que, estas dos concepciones hacen parte de los principios

del teorema del límite central. Para lo cual se desarrollan dos ejemplos, uno de

muestreo con reemplazamiento y otro sin reemplazamiento.

El siguiente es un diagrama de flujo que le permite identificar en que caso debe

usar o no el factor de corrección.

Gráfico No.4. Diagrama de flujo para error estándar de la media

Teorema central del límite.

En el caso de una población con media y varianza 2 , la distribución muestral

de medias de todas las muestras posibles de tamaño n a partir de la población,

tendrá una distribución aproximadamente normal (siendo la media de la

distribución muestral igual a y la varianza igual a n/2 ) considerando que el

tamaño de la muestra es bastante grande.

El teorema central del límite es uno de los teoremas más importantes dentro de

¿Es la población

infinita?

COMIENZO

¿Se muestrea

con sustitución?

¿Es N≥ 20n?

𝜎�� 𝜎

𝑛√𝑁 𝑛

𝑁

𝜎�� 𝜎

𝑛

si

si

si

No

No



50

las ciencias estadísticas, ya que su funcionalidad es muy grande.

Hay que destacar tres aspectos importantes del teorema central de límite.

Primer principio:

Si el tamaño de la muestra n es suficientemente grande, la distribución muestral

de las medias será más o menos normal. Esto se cumple ya sea que la población

esté o no distribuida normalmente. Esto es, el teorema se verifica, ya sea que la

población esté distribuida en forma normal, o bien sea sesgada o uniforme.

Segundo principio:

Como se mostró con anterioridad, la media de la población, , y la media de todas

las medias muestrales posibles, x , son iguales. Si la población es grande y se

selecciona un número grande de muestras de la población, la media de las medias

muestrales se aproximará a la media poblacional.

Tercer principio:

La varianza de la distribución de medias muestrales se determina de n/2 .

No existe acuerdo general sobre lo que constituye un tamaño de muestra

“suficientemente grande”. Algunos estadísticos consideran que es 30; otros

piensan que un número pequeño como 12 es adecuado. El ejemplo sobre los

salarios por hora de todos los profesores del colegio funcionó bastante bien con

una muestra de 2. Sin embargo, a menos que la población sea aproximadamente

normal, los tamaños de muestra así de pequeños, por lo general no dan como

resultado una distribución muestral que se distribuya normalmente. A medida que

el tamaño de la muestra se vuelve cada vez más grande, la distribución de la

media muestral se aproxima más a la distribución normal con forma de campana.

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE:

Sea X1, X2,…, Xn una variable aleatoria independiente e

idénticamente distribuida de una población infinita con media µ y

varianza σ2. Para σ2< ∞, Entonces: Presenta una

distribución Normal estándar.

O sea:



51

Ejemplo: Muestreo sin Reemplazamiento

Suponga que se tiene una población conformada por 5 empleados de una empresa (N = 5), y la variable de interés es el número de años de experiencia

laboral de cada empleado. Los datos de la población son: 5,4,3,2,1iX

35

543211

1

N

i

ixN

Promedio de años de experiencia por empleado.

999.1)35(...)32()31(5

1)(

1 222

1

22

N

i

ixN

Ahora extraemos la raíz cuadrada a la varianza y obtenemos la desviación

estándar. 414.1

Seleccione ahora todas las muestras posibles de tamaño dos, sin

reemplazamiento (poblaciones finitas):

Recordar que cuando el muestreo es sin reemplazamiento y no interesa el orden,

entonces tenemos una combinatoria.

!!

!

xnnN

NC N

N

Reemplazando:

102!3

!345

!2!3

!5

!2!25

!55

2

x

xx

xC

Se tiene 10 muestras posibles de tamaño dos. Las posibles muestras se indican a

continuación:

Tabla 9:

Distribución de las medias muestrales

Muestra Media Muestral X Muestra Media Muestral X 1 - 2 1 – 3 1 – 4 1 – 5 2 – 3

1.5 2.0 2.5 3.0 2.5

2 – 4 2 – 5 3– 4 3– 5 4 - 5

3.0 3.5 3.5 4.0 4.5

Paso 1: Media de la población

Paso 2: Varianza de dicha población.




52

310

5.40.45.35.30.35.20.35.20.25.1

X

Con la información anterior se logra demostrar el primer principio del teorema central del límite, que consiste en que el promedio de la población es igual al promedio de la distribución muestral de medias: 3

X

Observe que dicho principio se ha cumplido, en consideración a que el promedio

de años de experiencia para la población es de tres y el promedio de la

distribución muestral de medias es igual también a tres.

Como siempre primero calculamos la varianza y luego la desviación estándar.

7499.0

10

0.35.430.235.1222

2

2

n

XX

X

Ahora extrayendo raíz cuadrado a la varianza, obtenemos la desviación estándar.

8660.07499.0 X

Observemos que la desviación estándar de la población (1.4142) es diferente a la

desviación estándar de la distribución muestral de medias (0.8660), y una forma

de corregir esta diferencia es mediante la siguiente igualdad:

1

N

nN

nX

Ecuación No.6

Dónde:

X Desviación estándar de la distribución muestral de medias.

Desviación estándar de la población.

n Tamaño de la muestra.

N Tamaño de la población.

1

N

nN Factor de corrección para poblaciones finitas.





53

Reemplazando los valores correspondientes se tiene:

8660,015

25

2

4142,1

x

El segundo principio del teorema central del límite para poblaciones finitas se

expresa: La desviación estándar de la distribución muestral de medias es igual al

factor de corrección poblacional multiplicada por la relación entre la desviación

estándar poblacional y la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Dicho principio

queda demostrado con la relación anterior.

Ejemplo: Muestreo con Reemplazamiento

Ahora, cuando el muestreo se realiza para poblaciones finitas, y con reemplazamiento, el

número de muestras posibles está dada por:

nN Para N = Tamaño de la población y n = Tamaño de la muestra

El número de muestras de tamaño dos es: 2552 nN

Tabla 10:

Distribución de las medias muestrales

No. muestra Muestra Media muestral No. muestra Muestra Media muestral

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 3-1 3-2 3-3

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 2.0 2.5 3.0

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

3-4 3-5 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5

3.5 4.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

325

0.55.40.45.20.25.10.1

X

El primer principio se mantiene, en el sentido, que la media poblacional es igual a

la media de la distribución muestral de medias.





54

0.1

25

0.30.50.35.435.1312222

2

n

XX

X

Observe que la desviación estándar de la población (1.4142) sigue siendo diferente a la desviación estándar de la distribución muestral de medias (1.0) La forma de corregir esta diferencia para poblaciones no finitas es mediante la siguiente igualdad:

nX

Corrección para poblaciones no finitas

Reemplazando en el caso que nos ocupa: 12

41421356.1x

¿Para qué me sirve conocer la distribución muestral de las medias?

Recordemos que se puede calcular la probabilidad de algún

evento relacionado con la variable aleatoria que se distribuye

normal, mediante la siguiente fórmula:

(lo que se conoce como estandarización)

Para transformar una variable normal general en una normal estándar (este

proceso se llama tipificar) se debe:

X ~ N ( , )

~ N(0,1)

Ejemplo

a) Probabilidad acumulada en el valor 0,67: la respuesta es 0,7486

b) Probabilidad acumulada en el valor 1,35: la respuesta es 0,9115

c) Probabilidad acumulada en el valor 2,19: la respuesta es 0,98574

La décima del valor buscado (por ejemplo en 0.67, es 0.6) le indica el valor a

buscar en la primera columna; luego use la centésima para ubicarse en la primera

fila (por el ejemplo en 0.67, es 7); finalmente la intersección de esas dos hileras es

la probabilidad buscada.




55

Gráfico No 5. Ejemplo de uso de la tabla normal

Veamos ahora, como podemos utilizar la tabla de una distribución normal:

Así mismo, las medias muestrales se distribuyen como una normal, por tanto, se

puede calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la

media de la muestral, de la siguiente manera:

Poblaciones infinitas (o no se conoce):

Ecuación No.7

Poblaciones finitas y muestreo con reemplazo:

Ecuación No.8

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de medias

Poblaciones infinitas (o no se conoce)

La altura media de los alumnos de un plantel de secundaria es de 1,50 mts. Y su desviación típica es de 0,25 mts. Determinar la probabilidad de que en una muestra de 36 alumnos, la media sea superior a 1,60 mts.

P( X > 1,60) = ?

Se estandariza la variable (aplicar ecuación 7):

40,225,0

60,0

6

25,0

10,0

36

25,0

50,160,1

Z

Clic para ver Video:

Uso de la tabla normal

https://vimeo.com/49181071




56

Ahora la pregunta queda convertida en: P(Z> 2,40)

O su equivalente: 1- P(Z< 2,40) =?

Si se observa en la tabla de la normal, P(Z< 2,40) = 0,9918,

Entonces

1- P(Z< 2,40) = 1 – 0,9918 = 0,0082 = 0,8%

Entonces al tomar una muestra la probabilidad de que la media muestral de la

estatura sea superior a 1,60 es 0,8%, es decir, menos del 1%.

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de medias

Poblaciones finitas y muestreo con reemplazo

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye

aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación

estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de

16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Se estandariza la media muestral (se aplica la ecuación 7):

6



57

es equivalente:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16

focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

7.1.1. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones Finitas:

Las poblaciones finitas, tiene la característica de que N es conocido, al hacer la

distribución muestral de las medias y muestreo sin reemplazamiento, se obtiene

una gráfica de la distribución que presenta una forma aproximadamente

acampanada, lo cual se puede observar en la siguiente gráfica.

Figura 9. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones Finitas

7.1.2. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones No Finitas:

La gráfica de la distribución muestral de medias para poblaciones no finitas y

muestreo con reemplazamiento tiene una distribución normal, tal como se puede



58

observar a continuación:

Figura 10. Distribución muestral de medias: Poblaciones No Finitas:

Entonces:

Lección No 8: Distribución Muestral de la proporción

8. Distribución muestral de proporciones

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la

muestra, sino que deseamos investigar la proporción de artículos defectuosos o

la proporción de personas con teléfono, etc en la muestra.

La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a

estas situaciones.

Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de

medias, a excepción de que se calcula la proporción en la población y no la

media (paso 1) ese cálculo corresponde a P = A /N, en donde “A” es el total de

elementos con la característica en la Población y “N” el tamaño de la población.

Así mismo, al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico

proporción (p= a / n en donde “a” es el número de éxitos u observaciones de

interés y “n” el tamaño de la muestra, en lugar de la media de cada muestra que

era lo que se calcula antes. (Curso de Estadística 1. Página web, Instituto

Tecnológico De Chihuahua). Ir a la página.

No importa que distribución tenga la población, pero la distribución muestral de

medias a partir de esa población, tiene una distribución normal

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap01b.html



59

Ahora bien, se debe tener en cuenta que cuando se hace análisis de una

característica cualitativa o atributo, se emplea la proporción de éxitos y no el

número de éxitos como en la distribución binomial.

Una distribución es una distribución total de éxitos en las muestras, mientras que

una distribución de proporciones es la distribución de un promedio (media) de los

éxitos.

Figura 11. Distribución muestral de proporciones

Imagen extraída de: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image802.gif

Ejemplo

Construcción de la distribución de las proporciones muestrales.

Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos

defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo.

Genere la distribución muestral de proporciones para el número de piezas

defectuosas.

Paso 1: Proporción Poblacional

𝑃 𝐴

𝑁 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote están defectuosas.

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image802.gif



60

Paso 2: Distribución muestral de proporciones

El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12

elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente

manera:

Tabla 11:

Distribución de proporciones

Artículos Buenos

Artículos Malos Proporción de artículos

defectuoso

Número de maneras en las que se puede obtener la

muestra 1 4 4/5=0.8 8C1*4C4=8

2 3 3/5=0.6 8C2*4C3=112

3 2 2/5=0.4 8C3*4C2=336

4 1 1/5=0.2 8C4*4C1=280

5 0 0/5=0 8C5*4C0=56 Total 792

Gráfico 6. Frecuencias para las proporciones de las muestras

Paso 3: Media de la distribución muestral de proporciones

𝜇𝑝 ( ) ( 6 ) ( 6) ( ) ( 6)

9

𝜇𝑝

𝜇𝑝 𝑃

Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría

que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y

dividirla entre el número total de muestras. Esto es:

Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la Proporción de la población.



61

Error estándar del estadístico

La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce

como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar

de la proporción denotado por , es 0,1681

La varianza de la distribución binomial es , por lo que la varianza de la

distribución muestral de proporciones es

.

Ecuación No.9

Si se sustituyen los valores en esta fórmula tenemos que:

√( ⁄ )( ⁄ )

Este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta agregar el factor de

corrección para una población finita y un muestreo sin reemplazo:

√

√

Ecuación No.10

Lo que da como resultado: ( ⁄ )( ⁄ )

6

Paso 4: Desviación estándar de la distribución muestral de proporciones

𝜎𝑝 (

)

( 6 )

( )

6 ( )

( )

6

9

𝜎𝑝

𝜎𝑝 6

También se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones, directamente con los datos:



62

¿Para qué me sirve conocer la distribución muestral de las proporciones?

Recordemos que se puede calcular la probabilidad. La fórmula

que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una

distribución muestral de proporciones está basada en la

aproximación de la distribución normal a la binomial. Esta

fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del

comportamiento de la proporción en la muestra.

Ecuación No.11

A esta fórmula se le puede agregar el factor de corrección

si se cumple con

las condiciones necesarias.

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de proporciones muestrales

Cuarenta y seis por ciento de los sindicatos del país están en contra de comerciar

con la China Continental; ¿Cuál es la probabilidad de que en una encuesta a 100

sindicatos muestre que más del 52% tengan la misma posición?

P = 0,46 p = 0,52 n = 100 P(p>0,52) = ?

21,1

100

2484,0

06,0

100

54,046,0

46,052,0

n

PQ

PpZ

P ( z > 1,21) = 0,1131 P (p > 0,52) = 11,31%



63

Lección No 9: Distribución Muestral de Diferencias de Medias y

de la Proporciones

9. Dos poblaciones.

En esta sección es importante destacar que ya no se trabaja con una sola

población sino con dos, de las cuales se extraen muestras respectivamente para

ser analizadas y que permitan inferir y comparar las dos poblaciones.

9.1. Distribución Muestral de Diferencia de Medias

Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media y

desviación estándar , y la segunda con media y desviación estándar . Más

aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una

muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula

la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La

colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las

diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico

Figura 11. Distribución muestral de diferencia de medias

Imagen tomada de:


La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las

poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal

sin importar los tamaños de las muestras. En ejercicios anteriores se había

demostrado que Y




64

Así que:

Ecuación No.12

√

Ecuación No.13

La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de

diferencia de medias es:

( ) ( )

√

Ecuación No.14

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de diferencia de medias

muestrales

El rendimiento de los autos de la marca A es de 20 kilómetros por galón de

gasolina (k.p.g), con una desviación estándar de 6 k.p.g. las cifras comparables

para los autos B son de 25 y 5,5 k.p.g. se supone que el rendimiento de cada una

de ambas marcas está normalmente distribuido. ¿cuál es la probabilidad de que

en un concurso, el rendimiento medio para 10 autos de la marca A sea mayor que

el de 9 autos de la marca B?

x = 20 y = 25 x = 6

y = 5,5 1n = 10

2n = 9

P( yx > 0) = ?

90,1

96,6

5

36,36,3

50

9

25,30

10

36

25200

Z

P( yx > 0) = 0,5000 - 0,4713 = 0,0287 = 2,87%



65

9.2. Distribución muestral de diferencias de dos proporciones

Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben

compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos

ejemplos:

Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban

matemáticas que las de los que aprueban inglés?

Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que

presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que

también presentan una reacción de ese tipo?

Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y

mujeres en posiciones gerenciales.

Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos

que genera la máquina A a los que genera la máquina B?

Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos

proporciones muestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es

aproximadamente normal para tamaños de muestra grande (n1p1 5, n1q1 5,n2p2

5 y n2q2 5). Entonces p1 y p2 tienen distribuciones muestrales aproximadamente

normales, así que su diferencia p1-p2 también tiene una distribución muestral

aproximadamente normal.

Figura 12. Distribución muestral de diferencia de proporciones

Imagen tomada de:





66

En el caso de dos poblaciones independientes de tamaño 1N y

2N , distribuidas

binomialmente, con parámetros, medias poblacionales 1P y

2P (también se

pueden representar las medias por 1P y

2P ) y desviaciones proporcionales 1P

y 2P , siendo: 111

QPP y 222QPP .

El error estándar de las diferencias entre las dos medias proporcionales estará

dada por:

2

22

1

11

21 n

QP

n

QPPP Cuando son valores poblacionales

Cuando 1n y

2n corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a

30:

2

22

1

11

21 n

qp

n

qps PP

La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza por:

212121PPPPPP

La variante estadística Z, estará dada en la misma forma en que fue presentada para diferencias entre dos medias muéstrales:

2

22

1

11

2121

2

22

1

11

21 21

n

qp

n

qp

PPpp

n

QP

n

QP

ppZ

PP

cuando

1n y 2n > 30

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de diferencia de proporciones muestrales

Consideremos dos máquinas que producen un determinado artículo, la primera

produce por término medio un 14% de artículos defectuosos, en tanto que otra,

produce el 20% de artículos defectuosos; si se obtienen muestras de 200

unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿Cuál es la probabilidad

que difiera A de B en 8% o más?

P( 08,021 PP ) = ? 1n = 200

2n = 100 1P = 0,14

2P = 0,20

21 PP = 0,14 – 0,20 = -0.06



67

21 pp = 8% = 0,08

98,2

047,0

14,0

100

8,02,0

200

86,0014

06,008,0

Z

P( 08,021 PP ) = 0,0014 = 0,14%

Lección No 10: Tamaño de la muestra para estimar la media, la

proporción y el total de la Población

10. Tamaño de muestra

En el apartado anterior se analizó la forma de estimar los parámetros de la

población: P 2 Promedio, Varianza, total y proporción poblacional

respectivamente. Pero siempre que se realiza una investigación se debe definir el

tamaño de la muestra. Tomar observaciones para una muestra cuesta dinero, por

lo cual se debe tomar la muestra adecuada, que de la información necesaria y a

costos razonables. Una muestra mal tomada arroja información inadecuada, lo

que hace perder tiempo y dinero.

10.1. Tamaño de la Muestra para estimar µ:

Determinar el número de observaciones que harán parte de la muestra, para

estimar µ, con un límite de estimación B definido, se obtiene a partir de la

ecuación del error de estimación.

10.1.1. Para poblaciones Finitas y Varianza Poblacional Conocida:

1

2

)2/1(N

nN

nZB

Ecuación No.15

Despejando n, se obtiene:

222

22

)2/1(

)1(

ZBN

NZn

Ecuación No.16



68

Ejemplo

Un Banco desea identificar el promedio de cuentas por cobrar, estudios previos

han determinado que la variación de las cuentas está en $1.000. El Banco cuenta

con 1.400 clientes activos. Si el límite de error de estimación es de $50 ¿Cuál

debe ser el tamaño de la muestra a un nivel de significancia del 5%?

Se trata de una población finita. Por teoría la amplitud de variación es 4 veces la

desviación típica: A = 4σ entonces: σ = A/4 = 1.000/4 = 250

Z(1-α/2) = Z0,975 = 1,96

222

22

222

22

)2/1(

)250()96,1()50)(11400(

400.1)250()96,1(

)1(

ZBN

NZn

93,89100.240500.497'3

000.140'336

)250()96,1()50)(11400(

400.1)250()96,1(222

22

n

En las condiciones dadas, la muestra debe ser de n = 90 cuentas.

10.1.2. Para Poblaciones Infinitas y Varianza Poblacional Conocida:

Cuando N es muy grande, se asume una población infinita, en estos casos N –

1 se aproxima a N, entonces N – n ~ N, así se puede obtener el tamaño de una

muestra para poblaciones infinitas.

nZB

2

)2/1(

Ecuación No.17

Entonces:

2

22

)2/1(

B

Zn

Ecuación No.18

Ejemplo

En un estudio sobre el tamaño de las manos para el diseño de guantes, se

estableció que la longitud de estas sigue una distribución normal. Por datos

conocidos se sabe que la desviación típica es de 1,5 cm. ¿Cuál será el tamaño de



69

la muestra para estimar el promedio de la longitud de los guantes, si se asume un

error de estimación de 0,5 cm. y un nivel de significancia del 5%?

Z(1-α/2)=Z0,975 = 1,96

B = 0,5 y σ = 1,5

Según el problema la población es infinita, entonces:

57,34)5,0(

)5,1()96,1(2

22

2

2

)2/1(

B

Zn

En tamaño requerido para estimar la media de la longitud de los guantes, con un

error de estimación de 0,5 cm. y un nivel de significancia del 5% debe ser de n =

35 observaciones.

10.2. Tamaño de la Muestra para estimar P:

En muchos estudios el Investigador está interesado en estimar la proporción de

población que tienen la característica, como la proporción de dietas preparadas

del total de dietas planeadas, la proporción de aves con un peso definido respecto

al total de aves pesadas, el porcentaje de personas que observan un programa de

televisión respecto al total de la población potencial que puede ver la televisión.

Dichos fenómenos son de tipo binomial.

Se sabe que:

n

i

iyn

p1

1 Para yi = 1.

El número de observaciones necesarias para estimar la proporción poblacional,

con un límite de error de estimación asumido B y un nivel de significancia

definido, está dado a partir de la ecuación del error de estimación.

N

nN

n

qpZB

1

*)2/1(

Ecuación No.19

Despejando n se obtiene:

qpZNB

NBNqpZn

*

*2

)2/1(

2

22

)2/1(

Ecuación No.20

NOTA: Cuando no se conoce o no se puede determinar el valor de p, entonces se

asume como un caso dudoso y en estos casos p = 0,5



70

Ejemplo

En una ciudad se desea realizar una encuesta para determinar la proporción de

habitantes que están de acuerdo con el consumo de cigarrillo. La ciudad tiene

7.500 habitantes y por estudios previos se ha determinado que de cada 100

habitantes, 15 están de acuerdo. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para

estimar la proporción poblacional P; con un límite de error de estimación de 0,05 y

un nivel de significancia del 5%.

Por los datos:

15,0100

15p

Luego 85,015,01 q

Aplicando la ecuación correspondiente:

)85,0)(15,0()96,1()05,0)(500.7(

)05,0)(500.7()500.7)(85,0)(15,0()96,1(

*

*22

22

2

)2/1(

2

22

)2/1(

qpZNB

NBNqpZn

4898,075,18

75,1853,3673

)85,0)(15,0()96,1()05,0)(500.7(

)05,0)(500.7()500.7)(85,0)(15,0()96,1(22

22

n

908,1912398,19

28,3692

4898,075,18

75,1853,3673

n

Por consiguiente se debe tomar una muestra de 192 habitantes para estimar la

proporción poblacional, con un límite de error de 0,05 y un nivel de confianza de

95%.

Ejemplo

En una compañía de 3.500 empleados, se desea saber la proporción de

empleados que están a favor de la organización de un Sindicato. El investigador

tomo una muestra de 400 empleados fruto del cálculo respectivo; además, asume

un nivel del 5%. Por ser una compañía relativamente nueva, NO hay datos al

respecto. ¿De qué valor fue tomado el error de estimación del muestreo?

Inicialmente por no conocer proporciones anteriores, entonces se asume un

fenómeno dudoso, así p = 0,5 luego q = 0,5. Conocemos el tamaño de la

población y de la muestra. Debemos despejar B de la ecuación del tamaño

muestral.

qpZNB

NBNqpZn

*

*2

)2/1(

2

22

)2/1(

Despejando B:



71

500.3500.3*400

000.4*5,0*5,0*)96,1(500.3*5,0*5,0*)96,1(** 222

)2/1(

2

)2/1(2

NnN

nqpZNqpZB

002132,0500.396'1

24,977.2

500.3500.3*400

000.4*5,0*5,0*)96,1(500.3*5,0*5,0*)96,1( 222

B

04617,0002132,0 B

El error de estimación tomado fue casi de 0,04617, es decir casi 0,05

Ejemplos

1. El mantenimiento de cuentas puede resultar demasiado costoso, si el promedio

de compra por cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un gran almacén por

departamentos desea estimar el promedio de lo comprado mensualmente por los

clientes que usan la cuenta de crédito, con un error de $1.500, y una probabilidad

aproximada de 0,95. ¿Cuántas cuentas deberá seleccionar, si sabe que la

desviación estándar es de $30.000, la cual fue obtenida de los balances

mensuales de la cuenta de crédito?

n = 2

22

E

Z =

2

22

500.1

000.302 = 1.600 cuentas se deben seleccionar

2. un auditor desea tener un nivel de confianza del 95%, para que la verdadera

proporción de error no exceda del 2%. Si la población es muy grande, ¿Qué

tamaño tendrá la muestra que va a tomarse, si el auditor estima que la proporción

de error es del 5%?

n = 2

2

E

PQZ =

2

2

02,0

95,005,02 = 475 cuentas

Calculo de n en poblaciones finitas

La fórmula más utilizada para el tamaño óptimo en el muestreo aleatorio simple,

cuando la población es finita, se obtiene:

n =

N

n

n

o

o

1

donde: 2

22

E

Zno

En variables



72

n =

N

n

n

o

o

1

donde: 2

2

E

PQZno En proporciones

10.3. Tamaño de la Muestra para estimar Г:

El número de observaciones necesarias para estimar Г, el total poblacional, con

un límite de error de estimación asumido B y un nivel de significancia definido,

está dado a partir de la ecuación del error de estimación, partiendo que se conoce

la varianza poblacional.

1

22

)2/1(N

nN

nNZB

Ecuación No.21

Despejando n se obtiene:

222

)2/1(

2

232

)2/1(

)1( NZBN

NZn

Ecuación No.22

Ejemplo

Una compañía que hace estudios a nivel social, desea estimar el total de ingresos

de una población de 3.000 habitantes que tiene ingresos. Por estudios previos se

sabe que la varianza poblacional para los ingresos es de $40.000 ¿Cuántas

personas se deben tomar como muestra, si se asume un límite de error de

estimación de $100.000 y un nivel de confianza del 95%?

Los datos:

N = 3.000

σ2 = 40.000

B = 100.000

Entonces:

222

)2/1(

2

232

)2/1(

)1( NZBN

NZn

Para Z(1-α/2) = Z0,975 = 1,96 Reemplazando en la ecuación:



73

000.40)000.3()96,1()000.100)(1000.40(

000.40)000.3()96,1(222

32

n

281,71001372976,4

109225,2

10382976,1109999,3

10148928,414

15

1214

15

X

X

XX

Xn

Por consiguiente para estimar el promedio de ingresos de la población objeto de

estudio, con un nivel de confianza del 95% y el error de estimación de $40.000, se

debe tomar una muestra aleatoria de 8 personas.

10.4. Tamaño de muestra para la diferencia de dos medias

Para calcular los tamaños de muestras en estos casos, se presentan dos

situaciones:

Tamaños de muestras iguales

Tamaños de muestras diferentes Para el primer caso no se tiene ningún problema porque al ser n1 sería igual n2

Se calcula una sola muestra de tamaño “n”

(

)

Ecuación No.23

Para el segundo caso se calcula una “n” en función de la otra así.

(

)

Ecuación No.24

10.5. Tamaño de muestra para la diferencia de dos proporciones

En este caso se calculan los tamaños con los mismos criterios anteriores, es decir

para muestras de igual tamaño y tamaños desiguales, así:

Tamaños Iguales:

( )

Ecuación No.25

Tamaños Desiguales:

( )

Ecuación No.26



74

CAPITULO TRES: INTERVALOS DE CONFIANZA

Introducción

El problema que presenta la estimación puntual de un parámetro reside en que

no garantiza ni mide la precisión de la estimación. Sólo la bondad de ajuste y el

tamaño de la muestra pueden proporcionar una mayor o menor confianza en la

estimación obtenida. Por esta razón es necesario dar, junto a la estimación, una

medida del grado de confianza que se merece, la cual se consigue mediante un

intervalo de confianza que proporcione unos límites dentro de los cuales se

confía esté el valor desconocido del parámetro. Esta confianza de inclusión se

mide mediante un porcentaje.

Con frecuencia se encuentra información como la siguiente:

El peso de un objeto es 104 más o menos 2 gramos.

El diámetro de un tornillo es de 8 más o menos 0.05 milímetros.

El contenido de proteínas de la carne de pollo es de 20.2 más o menos 1%.

En estos casos y otros similares se quiere indicar que la media verdadera se

encuentra en algún lugar entre el intervalo.

Lo anterior indica que existe la probabilidad de error en la medición y además no

se puede estar absolutamente seguro que el verdadero valor se encuentre

dentro del intervalo obtenido. Nótese que si el intervalo se hace más amplio

aumenta la posibilidad que se incluya el verdadero valor de la media.

Objetivo general

Mostrar los diferentes métodos para calcular los intervalos de confianza, a partir

de muestras grandes y pequeñas, para estimar los parámetros poblacionales de

una media y proporción, así como para la diferencia de medias y proporciones.


Calcular el intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional a

partir de muestras pequeñas, para una media y una proporción.

Calcular el intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional a

partir de muestras grandes, para una media y una proporción.

Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias y dos

proporciones.

Exponer el uso de cálculo de intervalos de confianza utilizando paquetes de

Excel y SSPS.



75

Lección No 11: Nociones Fundamentales.

En estadística muchos problemas exigen construir conjuntos (intervalos) que

contengan el verdadero valor del parámetro en estudio con una probabilidad

dada generalmente alta. Si por ejemplo X representa los grados de grasa de

una margarina se puede estar interesado en encontrar los límites bajos y altos

aceptables para este tipo de producto; pero no se puede asegurar con

probabilidad de uno que el verdadero valor se encuentre entre estos dos límites,

lo máximo que se puede lograr es elegir un número uno menos alfa ( 1 ) que

esté muy próximo a uno (recuerde que alfa es el nivel de significación o error

tipo uno) tal que la probabilidad que el verdadero valor se encuentre entre estos

dos límites inferior y superior sea mayor o igual a uno menos alfa.

En la práctica se elige un alfa fijo generalmente pequeño 0.01 o 0.05. La

probabilidad que la afirmación del intervalo incluya al parámetro sea cierta es

por lo menos (1 ) ; por lo tanto la probabilidad que la afirmación sea falsa es

por lo más un alfa. Un intervalo de confianza dado que incluya o no el verdadero

valor del parámetro, esto nunca se conoce con exactitud al menos que se

conozca el parámetro, pero se sabe que se tendrá éxito en encontrar el valor

verdadero del parámetro dentro de este tipo de intervalos por lo menos en el

(1 ) 100% de las veces.

Los dos tipos de problemas que resuelven las técnicas estadísticas son:

estimación y contraste de hipótesis. En ambos casos se trata de generalizar la

información obtenida en una muestra a una población. Estas técnicas exigen

que la muestra sea aleatoria. En la práctica rara vez se dispone de muestras

aleatorias, por la tanto la situación habitual es la que se esquematiza en la figura

Figura 13. Estimación

http://www.hrc.es/bioest/Introducion_est.html

http://www.hrc.es/bioest/Introducion_ch.html

http://www.hrc.es/bioest/estadis_1.html#muestra

http://www.hrc.es/bioest/estadis_1.html#alea



76

Entre la muestra con la que se trabaja y la población de interés, o población

diana, aparece la denominada población de muestreo: población (la mayor parte

de las veces no definida con precisión) de la cual nuestra muestra es una

muestra aleatoria. En consecuencia la generalización está amenazada por dos

posibles tipos de errores: error aleatorio que es el que las técnicas estadísticas

permiten cuantificar y críticamente dependiente del tamaño muestral, pero

también de la variabilidad de la variable a estudiar y el error sistemático que

tiene que ver con la diferencia entre la población de muestreo y la población

diana y que sólo puede ser controlado por el diseño del estudio.

11. Estimación.

El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que

mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las

conclusiones al total de la misma. Como vimos en la sección anterior, los

estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras

menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros

sus valores.

Gráfico No.7 Estimación

La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de

conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para

hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de

las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en

los valores calculados de varias cantidades muestrales. Por ejemplo,

representamos con (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la

ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de

ESTIMACION

Puntual:

Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador

Por intervalos:

Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro, de la forma (a, b)

http://www.hrc.es/bioest/Introducion.html#tammue



77

semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para

determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la

resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del

valor de . De forma similar, si es la varianza de la distribución de resistencia a

la ruptura, el valor de la varianza muestral s2 se podría utilizar para inferir algo

acerca de .

11.1. Estimación puntual

Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente

tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra

griega para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar

sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más

razonable de .

Una estimación puntual de un parámetro es un sólo número que se puede

considerar como el valor más razonable de . La estimación puntual se obtiene al

seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la

muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de .

El proceso de estimación conlleva a obtener un estimador que tenga ciertas

condiciones deseables para hacer inferencia sobre el modelo de probabilidad que

ha generado los datos. Entre los métodos de estimación de la estadística

paramétrica, se tiene: Momentos, mínimos cuadrados y máxima verosimilitud.

Gráfico No.8 Estimación puntual

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador

Media poblacional

Proporción Total

poblacional De

proporciones Diferencias de

medias



78

11.2. Intervalos de confianza

Es un conjunto de valores formado a partir de una muestra de datos, de forma que

exista la posibilidad de que el parámetro poblacional se encuentre en dicho

intervalo, cuyos extremos son aleatorios; con una probabilidad especifica que

efectivamente se encuentre allí el parámetro, llamada nivel de confianza (NC).

La estimación por intervalo se calcula al sumar o restar al estimador puntual una

cantidad llamada margen de error. La fórmula general de una estimación por

intervalo es:

Dependiendo del estadístico a usar el margen de error puede ser:

Tabla 12:

Margen de error

MARGEN DE ERROR

Se conoce la varianza

Poblacional

Estadístico

Si No

Media (

) (

)

Gráfico No.9 Intervalos de confianza

Clic acá para ver Recurso: Mapas conceptuales intervalos de confianza

INTERVALOS DE CONFIANZA

UNA POBLACIÓN

MUESTRAS GRANDES n

>=30

Proporción

Media

MUESTRAS PEQUEÑAS

n<30

Media

DOS POBLACIONES

MUESTRAS GRANDES n>=30

Diferencia de medias

Diferencia de proporciones

MUESTRAS PEQUEÑAS n<30

Diferencia de medias

VARIANZA

𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ±𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

http://www.ugr.es/~metcuant/asignaturas/docencia/Tc-ii/MapasConceptuales/Tema3/IC.html



79

Tabla 13. Valores de Z y Z más frecuentemente utilizados

Za

Test unilateral Test bilateral

0.200

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.842

1.036

1.282

1.645

1.960

2.326

1.282

1.440

1.645

1.960

2.240

2.576

Potencia

(1-) Zb

0.01

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.99

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

2.326

1.645

1.282

1.036

0.842

0.674

0.524

0.385

0.253

0.126

0.000

Nivel de Confianza y significancia.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el

intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota . La

probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza .

Generalmente se construyen intervalos con confianza 9 (o significancia

. Menos frecuentes son los intervalos con o .

VIDEOS

Intervalo de

confianza para la

media

Intervalo de confianza

para la diferencia de

medias

Intervalo de

confianza para la

proporción

http://www.youtube.com/watch?v=gTvpdAUXKqM&feature=related



http://www.youtube.com/watch?v=JMwIzFroEgQ&feature=relmfu



http://www.youtube.com/watch?v=nrpx7bzU0gQ&feature=related





80

Lección 12. Intervalos de confianza para medias y diferencias de

medias con muestras pequeñas 30n

La inferencia de la distribución muestral de la media en muestras grandes es una

curva normal. Con mucha frecuencia la varianza se desconoce 2σ en los

problemas de la vida real. Cuando se desconoce la varianza el estadígrafo z ya no

puede utilizarse para obtener intervalo de confianza. Parece lógico desarrollar

procedimientos en los cuales se utilice 2S en lugar de 2σ , de esta manera en lugar

del estadígrafo z utilizaremos el para deducir inferencias acerca de la media. Si

la media de la población es μ la distribución muestral de 1-nt es una distribución t,

teniendo en cuenta que las observaciones, x1, x2, x3,… xn son elegidas

aleatoriamente y extraídas de una población normal.

Entonces, queda claro que cuando las muestras son pequeñas la distribución

muestral es la distribución t. Esta se caracteriza porque es más puntual que la

distribución normal, reuniendo mayor proporción de casos en los extremos de la

curva a diferencia de la distribución normal.

La distribución t a medida que el tamaño de la muestra "n" aumenta, tal

distribución t se va pareciendo más a la normal, de tal modo que cuando n > 30

no existen diferencias entre la distribución normal y la distribución t. Entonces,

cuando n < 30 existe una curva diferente para cada valor de "n".

Grados de libertad.

Números de elementos en una muestra que pueden variar después de haber

seleccionado cierto número de ellas. Supóngase que existen dos elementos en

una muestra y se conoce la media. Se tiene libertad para especificar sólo uno de

los dos valores, ya que el otro queda determinado automáticamente; queda claro

que el total de los dos valores es dos veces la media.

Ejemplo

Si la media es de $ 6 pesos es posible elegir sólo un valor. Si se elige $ 4 pesos el

otro valor es $ 8, ya que $ 4 + $ 8 = 12 /2 = $ 6. Así que hay un grado de libertad

en este ejemplo. Se podría haber determinado mediante n - 1 = 2 - 1 = 1 grados

de libertad. Si n=4, entonces hay 3 grados de libertad, lo que se obtiene mediante

n - 1 = 4 – 1 = 3.

1nt



81

En general, para la distribución t de Student, se puede decir que el número de

grados de libertad es igual al tamaño de la muestra o número de datos menos

uno, es decir: g.l =

12. Pasos para la construcción de un Intervalo de confianza para la media

μ, muestras pequeñas.

1. Determinar el nivel de confianza al que vamos a trabajar.

2. Obtener los grados de libertad g • L = n – 1

3. Calcular el valor t correspondiente al nivel de confianza fijado con

grados de libertad y con ayuda de la tabla del anexo.

4. La tabla se divide en 10 columnas. La primera indica los grados de

libertad, y las siguientes columnas corresponden a los niveles de

significancía que son 0.5, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.010, 0.005 y

0.001

5. De esta manera para un valor t correspondiente a un nivel de

significancía del 10% y 18 grados de libertad hay que buscar la

intersección de la columna del 10% y la fila donde aparezca 18 (grados)

g • 1, obteniendo un valor de t = 1.734

6. Calcular el error típico de la media y determinar el error muestral

7. Determinar el intervalo de confianza para la media de la población,

sumando y restando a la media de la muestra ( x ) el error muestral así:

n

StX

Ecuación No.27

1nt



82

con n – 1 grados de libertad y el valor de t depende del nivel de confianza.

Ejemplo Intervalo de confianza para pequeñas muestras

Una muestra de 10 cajas de atún dio un peso neto medio de 184 gramos y una

desviación estándar de 3.0 gramos. Encontrar los límites de confianza con un 95%

para el verdadero peso promedio de todas las latas de atún.

La siguiente grafica nos ayuda a comprender la presente situación:

Gráfico No.10 Distribución t-student con 9 grados de libertad

En la tabla de la distribución t con 9 grados de libertad y un nivel de significancia

del 5% para dos colas, se registra un valor de 2.262 como valor crítico. (Recuerde

que es a dos colas.

El intervalo de confianza para la media de peso de todas las cajas de atún está

dado por:

± (

) ± 6 (

) ± 6 ( 6 )

Se interpreta que las cajas de atún tienen un promedio de peso entre 181.85 y

186.14 gramos con un nivel de confianza del 95% y expresado matemáticamente

es: ( 6 ) 9

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

Pro

bab

ilid

ad

Valor estadístico t

Distribución T-student con V grados de libertad

/2 0,025 1 0,95/2 0,025

1 0,95

-2,26 +2.26

Grados de Libertad n-1 =

10 - 1= 9



83

La tabla t-student que se usa en este módulo es a dos colas, por

tanto deben ubicarse en la columna directamente del nivel de

significancia que se esté aplicando, es decir, si el alfa es de 5% se

ubica en la columna del 0,05 y busca los grados de libertad

correspondiente.

Clic acá para descargar tablas

12.1. Intervalos diferencias de medias, varianzas desconocidas pero

iguales ( = = )

Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente una prueba

estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes. Para realizarlo debemos

hacer uso de la distribución F, bien sea mediante el cálculo de la probabilidad de

que la muestra tomada provenga de dos poblaciones con varianzas iguales, o

mediante el uso de un intervalo de confianza para la relación de dos varianzas,

según se estudiará más adelante.

Gráfico No.11 Intervalos de confianza para diferencia de medias

INTERVALO PARA LA

DIFERENCIA DE MEDIAS

(varianza desconocida )

Verificar si las varianzas son iguales usando la prueba F

F

SI.

Aplicar la fórmula:

𝛼 ⁄

El limite inferior se obtiene restandole a la diferencia de medias muestrales lo que da la fórmula y

el limite superior sumando.

NO.

Usar fórmula de intervalo para la diferencia de medias

pero con varianzas desiguales

https://sites.google.com/site/unadjeammysh/recursos-de-apoyo/Tablas%20Inferencia.xlsx?attredirects=0&d=1



84

Primera fase: Probar varianzas iguales

Gráfico No.12 Distribución F. Prueba varianzas iguales

Ejemplo Prueba para determinar si las varianzas son iguales.

Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve

ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben

el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en años, a partir del

momento en que comienza el experimento son los siguientes:

Con Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9

Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1

Con un nivel de significancia del 0.05 pruebe que las varianzas son iguales.

Datos:

Con tratamiento Sin tratamiento

6

s= 1.97 s = 1.1672

n = 5 n = 4

Estadístico de prueba: F



85

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . En este

caso la desviación más grande corresponde a la muestra “con tratamiento”.

Entonces los grados de libertad se calculan restándole 1 al tamaño de la muestra;

ya que con tratamiento se ubica en el numerador, los grados de libertad de dicho

numerador son 4.

GL1= 5-1 = 4 y GL2 = 4-1=3.

Gráfico No.13 Prueba de varianzas iguales. Tratamiento de leucemia

Para hallar un valor crítico en la tabla de la F, se debe tener en cuenta que dichos

valor está calculando el área bajo la curva hacia la derecha del mismo, es decir,

determinan el área por arriba del valor critico.

Si quiere determinar el valor en la tabla F que deja por encima el 2.5% del área,

debe hacer en Excel: =DISTR.F.INV(0,025;4;3)=15,1

Si quiere determinar el valor en la tabla F que deja por encima el 97.5% del área,

debe hacer en Excel: =DISTR.F.INV(0,975;4;3)=0.10

VIDEOS :

Regla de decisión:

Clic para ver video:

Valores críticos en la

tabla F





86

Si 0.10 Fc 15.1 no hay evidencia para decir que las varianzas NO son iguales,

Si la Fc < 0.10 ó si Fc > 15.1 las varianzas No son iguales.

Cálculo:

F

9

6

Decisión y Justificación:

Como 2.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con

un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las

poblaciones son iguales.

Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las

varianzas son iguales, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de

confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente:

Pasos después de verificar que las varianzas son iguales:

a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 - µ2

será T, que es un estimador suficiente.

b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida como:

Ecuación No.28

Donde es un estimador combinado de , mejor que

o por separado, y

( ) ( )

Ecuación No.29

Segunda fase: intervalo de confianza

𝑇 𝑋 𝑋

𝜇 𝜇

𝑆𝑝 𝑛

𝑛

≈ 𝑡𝛼 ⁄ 𝑛 𝑛



87

c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta la siguiente

probabilidad:

[

𝛼

⁄

( )

𝛼

⁄

]

Ecuación No.30

De nuevo, manipulando la expresión anterior en forma similar a los casos se llega

al siguiente teorema que nos define el intervalo de confianza para la diferencia

entre dos medias µ1 - µ2 con varianzas desconocidas y

, pero iguales:

Teorema. Si , , y

son las medias y las varianzas de dos muestras

aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones

normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un

intervalo de confianza del 100(1- )% para la diferencia entre medias µ1 - µ2 es:

Ecuación No.31

Si el intervalo de confianza que se construye contiene al cero (0) no

existe diferencia significativa entre las medias .

𝑋 𝑋

𝑡𝛼 𝑛 𝑛

⁄ 𝑆𝑝√

𝑛

𝑛

𝜇 𝜇 𝑋 𝑋

𝑡𝛼 𝑛 𝑛

⁄ 𝑆𝑝√

𝑛

𝑛

Construcción de un intervalo de confianza

1. Se usa la ecuación No. 31

2. Calcular 𝑋 𝑋

3. Calcular la t-student con n1+n2-2 grados de libertad

4. Calcular el 𝑆𝑝 es la raíz del valor que se encuentre al reemplazar la ecuación No. 29

5. Calcular

𝑛

𝑛

6. Hallar los limites del intervalo:

(𝑋 𝑋

) 𝑡𝛼 𝑛 𝑛

⁄ 𝑆𝑝√

𝑛

𝑛

El limite inferior se encuentra al realizar la operación:

(𝑋 𝑋

) 𝑡𝛼 𝑛 𝑛

⁄ 𝑆𝑝√

𝑛

𝑛

El limite supeior se encuentra al realizar la operación:



88

Recordar:

Con tratamiento Sin tratamiento

6

s= 1.97 s = 1.1672

n = 5 n = 4

𝑆𝑝 6

𝑋 𝑋

𝑡𝛼 𝑛 𝑛

⁄ 𝑆𝑝√

𝑛

𝑛

6 ( 6 )( 6 )

𝑋 𝑋

𝑡𝛼 𝑛 𝑛

⁄ 𝑆𝑝√

𝑛

𝑛

6 ( 6 )( 6 )

2. 𝑋 𝑋

6

3. 𝐺𝐿 entonces buscar en la tabla t-student, el valor para 7 grados de

libertad y 𝛼

T=2,365

4. 𝑆𝑝

(𝑛 )𝑆 (𝑛 )𝑆

𝑛 𝑛

( ) 7 ( ) 67

( ) 7 ( ) 67

7

recuerde que 𝑆 , debe ser siempre la desviación más grande

5.

𝑛

𝑛

0 6

6. El limite inferior se encuentra al realizar la operación:

El limite supeior se encuentra al realizar la operación:

Intervalo: (-1,87; 3,44)

Cómo el intervalo contiene al cero (0) no existen evidencia para decir que hay

diferencias entre las medias.



89

Ejemplo Intervalo de confianza para pequeñas muestras

La siguiente tabla presenta los resultados de dos muestras aleatorias para comparar el

contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos.

Marca A Marca B

10 8

3,1 2,7

0,5 0,7

Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de

poblaciones normales con varianzas desconocidas, construya un intervalo de

confianza del 95% para la diferencia real de nicotina de las dos marcas.

Inicialmente mediante la distribución F debemos verificar si las varianzas son

iguales

( = = )

Buscando en la tabla de la distribución F para 7 grados de libertad en el

numerador y 9 en el denominador, vemos que los dos valores que acotan la zona

de aceptación son 0.207 y 4,197, entonces el F calculado 1,96 cae en la zona de

aceptación . Se concluye que no hay evidencia para rechazar la hipótesis de que

las varianzas sean iguales.

Como las varianzas son iguales, calculamos que está dado por:

El intervalo de confianza del 95% está dado por (t0.025,16 = 2.12):





90

( )⏟

⏟

⁄

96⏟

√

⏟

( )⏟

⏟

⁄

96⏟

√

⏟

La diferencia de medias ( ) esta en el intervalo (-0,2 ; 1,0)

Debido a que la diferencia real puede ser nula, ya que el intervalo construido

contiene al cero, no se puede concluir que existe una diferencia en el contenido de

nicotina de las dos marcas de cigarrillos.

Ejercicio propuesto

El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a

partir de petróleo crudo. El gerente hará la modificación sólo si la gasolina

promedio que se obtiene por este nuevo proceso (expresada como un porcentaje

del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en

experimentos de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de

tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso

en uso es de 24.6 con una desviación estándar de 2.3, y para el proceso

propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que

los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias

independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta

evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso?

12.2. Intervalos para diferencias de medias y varianzas desconocidas y

desiguales

Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las

varianzas son diferentes, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de

confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente:

a. El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 -

µ2 será , que es un estimador suficiente

b. La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida

como:



91

Estadístico de prueba para la diferencia de medias con varianzas desiguales

V: grados de libertad Donde V es:

c. El intervalo de confianza está dado por el siguiente teorema, basado en la

distribución t con n grados de libertad.

Teorema. Si

son las medias y las varianzas de dos muestras

aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones

normales e independientes con varianzas desconocidas y desiguales, entonces un

intervalo de confianza aproximado del 100( )% para la diferencia entre medias

µ1 - µ2 es:

Ecuación No.32

Ejemplo

Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si

producen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los

datos siguientes:

Diseño 1 n1 = 16

s12 = 10

Diseño 2 n2 = 10

s22 = 40

𝑇𝑐 𝑥 𝑥 (𝜇 𝜇

)

√𝑆

𝑛 𝑆

𝑛

≈ 𝑡𝑣

𝑣 (𝑆

𝑛 𝑆

𝑛 )

[ (𝑆

𝑛 )

𝑛

]

[ (𝑆

𝑛 )

𝑛

]

𝑿𝟏 𝑿𝟐

𝒕𝜶𝟐⁄ 𝒗 √

𝑺𝟏𝟐

𝒏𝟏 𝑺𝟐𝟐

𝒏𝟐 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝑿𝟏

𝑿𝟐 𝒕𝜶

𝟐 𝒗⁄ √𝑺𝟏𝟐

𝒏𝟏 𝑺𝟐𝟐

𝒏𝟐



92

Con = 0.05, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo

de corriente promedio entre los dos diseños, donde se supone que las dos

poblaciones son normales, pero no es posible suponer que las varianzas

desconocidas sean iguales.Tomado de la web del Instituto Tecnológico de

Chihuaha, México)

Estadístico de prueba:

F

0

0

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . En este

caso la desviación más grande corresponde a la muestra “Diseño 2”.

Entonces los grados de libertad GL1= 10-1 = 9 y GL2 = 16-1=15.

Gráfico No.14 Prueba de varianzas iguales. Diseño de microcircuitos

Decisión y Justificación:

Como 4 es mayor que 3.12, esta en la zona de rechazo, se concluye con un = 0.05 no existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales, por tanto se suponen varianzas diferentes.




93

⁄ √

Para poder buscar el valor de t en la tabla, se necesita saber el valor de los grados de libertad:

(

)

[ (

)

]

[ (

)

]

( 6

)

[( 6

)

6 ] [

(

)

]

Este valor se redondea al próximo menor que sería 11. Entonces los grados de libertad son 11.

Ver la tabla t-student en los Contenidos del curso, Anexo: Tablas estadísticas.

Recuerde que si el nivel de significancia es 0,05 debe ubicarse directamente en la columna 0,05 con 11 grados de libertad, ya que siempre un intervalo de confianza supone una distribución a dos colas y el Excel por defecto supone distribución a dos colas con la función =DISTR.T.INV, por tanto, no es necesario dividir el alfa en dos.

En el caso de las pruebas de hipótesis se pueden dar pruebas a una o dos colas, por ello cuando se utilice la tabla t-student del anexo si la prueba tiene un alfa de 0,05 y es a una cola, usted deberá ubicar la columna 0,10 ( es decir multiplica por dos el alfa antes de ver en la tabla).

Estadístico de prueba

Se aplica el estadístico de prueba para la diferencia de medias con varianzas

desiguales:

9 ( )

6

. 9

Y se compara con los valores encontrados en la tabla t-student con 11 grados de

libertad y un = 0.05




94

Gráfico No.15 Intervalos de confianza. Diseño de microcircuitos

Justificación y decisión:

Como 0.1395 esta entre –2.201 y 2.201, no se rechaza la hipótesis de que las

diferencia de medias es cero. Se concluye con un = 0.05, que no existe

diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños.

El intervalo de confianza aplicando la ecuación No.32 es:

( . . ) √

( . . ) √

Al realizar los cálculos se tiene que el intervalo de confianza para la diferencia de

las medias del flujo corrientede los diseños es (-4,43; 5,033) el cual contiene al

número cero, por tanto no hay evidencia de diferencias entre los diseños, es decir

que producen un flujo de corriente equivalente y por tanto es indiferente el diseño

que seleccione el fabricante de monitores para los microcircuitos.

En el ejemplo anterior si en el intervalo no estuviera el cero, por ejemplo un

intervalo (0.12 ; 3) se concluiría que la diferencia entre los amperajes

promedios esta entre 0.12 y 3; además que el diseño 2 produce un flujo

promedio de corriente mayor, por lo cual el fabricante de monitores escogería

dicho diseño.

En el caso de que el intervalo no contenga al cero, se rechaza la

hipótesis de que las medias son iguales, por tanto al ser diferentes se

asume que 𝜇 es mayor que 𝜇



95

Ejercicio propuesto

Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se

desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del

metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera

diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos

procesos. Para cada metal se seleccionan 12 ejemplares y cada uno de éstos se

somete a una tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las

tensiones de ruptura de los ejemplares, en kilogramos por centímetro cuadrado:

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e

independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 95 y 99% para

la diferencia entre los dos procesos. Interprete los resultados

12.3. Intervalos unilaterales para diferencias de medias y varianzas

desconocidas e iguales

En algunas situaciones prácticas, no es necesario encontrar tanto el limite inferior

como el limite superior para el parámetro de interés, sino solo uno de ellos. Por

esta razón, ahora se contruirán intervalos unilaterales para la diferencia de medias

cuando las varianzas son desconocidas pero iguales.

Ejemplo

Usar los datos del ejemplo del fabricante de monitores que prueba dos diseños de

microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente, pero en este

caso construir un intervalo unilateral para diferencia de medias con varianzas

desconocidas pero iguales

Población1 Población2

Tamaño de la muestra = 16 10

Cuasi varianza = 10 40

Media muestral = 24,2 23,9

Nivel de confianza = 0,95



96

Caso de varianzas poblacionales desconocidas pero iguales

Intervalo bilateral Intervalos unilaterales

to = 2,063898562 to = 1,71088208

Radio del intervalo = 3,835257238 Radio = 3,179261327

Límite infer.= -3,535257238 Cota inferior = -2,879261327

Límite super.= 4,135257238 Cota superior = 3,479261327

El procedimiento en el caso unilateral es idéntico al bilateral, en primer lugar se

prueba si las varianzas son iguales y luego se procede a calcular el intervalo de

confianza; pero en el caso unilateral cuando se calcula el estadístico teórico (ó

tabulado) se debe multiplicar por dos (2) el nivel de confianz alfa (); en excel se

obtiene con la función =DISTR.T.INV(2*(1-);n1+n2-2)

Los valores de la table se obtienen así:

Estadístico tabulado

to =DISTR.T.INV(2*(1-0,95);16+10-2)

Radio

Recordar:

√( )

( )

( ) √

( ) √

( ) ( )

√

Cota inferior y superior



97

12.4. Intervalos unilaterales para diferencias de medias y varianzas

desconocidas y desiguales

Ejemplo

Usar los datos del ejemplo del fabricante de monitores que prueba dos diseños de

microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente, pero en este

caso construir un intervalo unilateral para diferencia de medias con varianzas

desconocidad pero desiguales.

Caso de varianzas poblacionales desconocidas y desiguales

Intervalo bilateral Intervalos unilaterales

Cuasivarianza1/Cuasivarianza2= 0,25

Grados de libertad= 11

to = 2,20098516 to = 1,795884819

Radio del intervalo = 4,733397564 Radio = 3,862196338

Límite infer.= -4,433397564 Cota inferior = -3,562196338

Límite super.= 5,033397564 Cota superior = 4,162196338

Los valores de la table se obtienen así:

Estadístico tabulado

to =DISTR.T.INV(2*(1-0,95);GL)

Radio

( )√

Cota inferior y superior

12.5. Intervalos de confianzas para diferencias entre dos medias con

muestras relacionadas o dependientes.

Cuando se comparan las medias de dos niveles es deseable que las

observaciones dentro de cada nivel sean lo más homogéneas posibles. Si existe

un efecto debido a factores externos éstos pueden neutralizarse mediante la



98

aplicación del principio de la aleatoriedad. Esto se logra tomando las

observaciones en pares. Se supone que las condiciones exteriores son las

mismas para cada par, pero pueden variar de un par a otro. Por ejemplo, suponga

que se tiene un grupo de personas que se someten a una dieta para reducción de

peso, y para cada persona se lleva el registro del peso, en kgs, antes de la dieta, y

un tiempo razonable después de haber empezado la dieta. En este caso, el peso

de cada persona después de la dieta no es independiente del peso de la misma

persona antes de la dieta; por lo tanto estas dos variables están correlacionadas, y

si se quiere examinar el efecto de la dieta, se debe llevar el registro del peso para

la misma persona antes y después de la dieta.

Sean (X11, X21), (X12, X22),..., (X1n, X2n) los datos consistentes de n pares;

supondremos que las variables aleatorias X1 y X2 tienen medias µ1 y µ2, y

varianzas y

, respectivamente. Podemos suponer que el conjunto de datos

apareados son observaciones de un conjunto independiente de parejas de

variables aleatorias provenientes de una distribución normal bivariada

(X1 X2) ~ f(X1, X2), y que las diferencias D = X1 - X2 se distribuyen normalmente

con valor esperado ED y varianza .

Sea Dj la diferencia entre las variables aleatorias del j-ésimo par, es decir, Dj =

X1j-X2j. El valor esperado y la varianza de la diferencia entre las variables está

dado por:

Si las variables X1 y X2 se distribuyen normalmente, las diferencias estarán

distribuidas también de manera normal con media y varianza

Para estimar la media y la varianza de la diferencia, se debe tomar una muestra

aleatoria de tamaño n, antes y después, calcular la diferencia, y luego la diferencia

promedio y la varianza muestral de las diferencias, como se ilustra en el siguiente

cuadro.



99

Dada la muestra aleatoria se calculan los siguientes estadísticos que servirán para

estimar la media y la varianza de la diferencia, y , respectivamente:

Sabemos que la siguiente variable aleatoria sigue una distribución normal

estándar:

Sin embargo, como

, no es conocido, lo podemos estimar mediante la varianza

muestral , en cuyo caso la siguiente variable aleatoria sigue una distribución t

con n-1 grados de libertad.

Usando la distribución t podemos calcular el intervalo de confianza para la media

de observaciones pareadas, el cual está dado por el siguiente teorema.

Teorema. Si y son la media y la desviación estándar muéstrales de la

diferencia de n pares aleatorios de mediciones normalmente distribuidas, entonces

un intervalo de confianza del ( ) para la diferencia de medias

Es:

𝛼 ⁄

𝛼

⁄

Ecuación No.33



100

Ejemplo Intervalo de confianza diferencia de medias para pequeñas muestras

Se está investigando la utilidad de dos lenguajes de diseño para mejorar las tareas

de programación. Se le ha pedido a 12 programadores expertos, familiarizados

con los dos lenguajes, que codifiquen una función estándar con ambos lenguajes,

y se registra el tiempo requerido, en minutos, para realizar estas dos tareas. Los

datos obtenidos son los siguientes:

Encuentre un intervalo de confianza para la diferencia en los tiempos medios de

codificación. Use un nivel de confianza del 95%. ¿Existe alguna evidencia que

indique una preferencia por alguno de los dos lenguajes?

Tenemos que:

El intervalo de confianza está dado por:

Dado que la diferencia puede ser cero, se concluye que no hay evidencia para

rechazar la hipótesis de que ambos lenguajes requieren el mismo tiempo de

programación, y por lo tanto no hay preferencia por ninguno de los dos lenguajes.



101

Lección 13. Intervalos de confianza para la media y diferencias de

medias muestras grandes 30n

13. Recordemos que para obtener un intervalo de confianza se procede

como sigue:

1. Se determina el riesgo de error que se quiere asumir al afirmar que el

parámetro (en este caso la media) se encuentra en el interior del

intervalo.

2. El intervalo de confianza se obtiene separando a izquierda y derecha

de la estimación del parámetro (en este caso la media) un múltiplo de

error estándar ( )n

. El múltiplo está determinado por el valor del

estadístico Z asociado al nivel de confianza escogido.

13.1. Para la construcción del intervalo de confianza para la media

poblacional μ, se han fijado los siguientes pasos:

1. Fijar el nivel de confianza α-1

2. Calcular la estandarización z de acuerdo al nivel de confianza

predeterminado a través de la tabla de la distribución normal N (0,1)

3. Calcular la media x y desviación típica S de la muestra.

4. Calcular el error típico de la media (desviación típica de la distribución

muestral)

5. Calcular el error muestral

6. Construir el intervalo de confianza, sumando y restando a la media de la

muestra ( x ) el error muestral.

Ecuación No.34

�� ± 𝑧 (𝜎

𝑛)



102

Ejemplo

Suponga por ejemplo que Ud. está dispuesto a aceptar un riesgo de error de

05.0 ; entonces 95.01 , se trata de un intervalo de confianza del nivel 0.95.

Dado que esta probabilidad se distribuye simétricamente a los dos lados de la

media, se obtiene 0.475 a cada lado. Ahora bien, recuerde que no buscará en la

tabla el valor de Z asociado a una probabilidad de 0.95, ya que debe agregarle la

cola, que en este caso es la mitad del nivel de significancia alfa (es decir

/2=0,05/2=0,025), entonces lo que buscará es el valor Z asociado a una

probabilidad de 0.975 que es 1.96 (de acuerdo a la tabla de la distribución

normal) a la derecha de la media y de –1.96 a la izquierda, como se puede

apreciar en la siguiente gráfica:

Intervalo de confianza para grandes muestras

Gráfico No.16 Intervalo de confianza para muestras grandes

El intervalo de confianza está dado por la siguiente relación:

nX

nX

96.1;96.1

Expresado en forma generalizada, para poblaciones infinitas o si se muestrea sin

reemplazamiento una población finita, la relación es:



103

nX

96.1

Si la población es finita o si se muestrea sin reemplazamiento una población finita,

la relación es la siguiente:

1N

nN

nZX

Ecuación No.35

Recuerde que Z depende del nivel de confianza que se fije y que si la desviación

estándar poblacional es desconocida, se utiliza como estima la desviación

muestral (S).

Podrá darse cuenta las semejanzas con los procedimientos utilizados para las

pruebas de hipótesis, vistas anteriormente para pruebas unilaterales y bilaterales.

Ejemplo

El contenido de proteínas de una muestra de 100 pollos criados en una

determinada granja dio una media de 20.2 gramos con una desviación estándar

de 1.14 gramos. Obtener el intervalo de confianza del 99% para el contenido

medio de proteína de todos los pollos de la granja.

Como el intervalo de confianza se distribuye simétricamente a los dos lados de la

media, en este caso a cada lado le corresponde una probabilidad de 0.495 (0.99/2

= 0.495). El valor de Z asociado a una probabilidad de 0.995 es 2.58.

El intervalo para la media será:

294.02.20100

14.158.22.20

n

SZX

El contenido medio de proteína de toda la población de pollos de la granja está

dentro de un intervalo de 19.91 y 20.49 gramos con un nivel de confianza del 99%,

y se expresa de la siguiente forma:

99.049.2091.19 P



104

Ejemplo

Se toma una muestra al azar de 40 vasos de kumis de un lote de 500, dieron un

promedio de 76 calorías por cada 100 gramos con una desviación estándar 2.9

calorías. Obtener el intervalo de confianza del 95% para el contenido medio de

calorías para todo el lote.

Nótese que se trata de una población finita y muestreo sin reemplazamiento. El

valor de Z asociado a un nivel de confianza del 95% es 1.96 (0.95/2 = 0.475) de

acuerdo a la tabla de la distribución normal.

El intervalo de confianza en este caso está dado por:

87.076499

40500

40

9.276

1

N

nN

nZX

Por tanto el contenido medio de calorías del lote esta dentro del intervalo de 75.13

y 76.87 calorías con un 95% de nivel de confianza, y expresado matemáticamente

es: 95.087.7613.75 P

13.2. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias.

El intervalo de confianza para la diferencia de medias de poblaciones infinitas está

dado por:

2

2

2

1

2

121

nnZXX

Ecuación No.36

Se analizó el contenido de vitamina A de una muestra de mantequilla y de una

muestra de margarina enriquecida. En la muestra de mantequilla formada por 40

potes de 100 gramos, el contenido medio de vitamina A fue de 4.86 unidades con

una desviación estándar de 0.06. En la muestra de margarina enriquecida formada

por 50 potes de 100 gramos el contenido medio de vitamina A fue de 5.0 unidades

con una desviación estándar de 0.08 unidades. Encontrar el intervalo de confianza

del 95% para la diferencia de contenido medio de vitamina A para el experimento

en mención.

Generalmente el mayor valor de la media se toma como 1X .



105

El nivel de confianza del 95% corresponde un Z = 1.96.

Aplicando la fórmula se tiene:

029.014.000009.0000128.096.114.0

40

06.0

50

08.096.186.40.5

22

2

2

2

1

2

121

nn

ZXX

Por lo tanto se puede afirmar con un nivel del 95% que la diferencia de los dos

contenidos de vitamina A de la mantequilla y la margarina enriquecida se

encuentran entre 0.111 y 0.169 unidades.

Lección 14. Intervalos de confianza para la proporción y

diferencias de proporciones (siempre son muestras grandes)

30n

14. Las proporciones.

Siempre que se trabaje con proporciones la muestra debe ser grande.

14.1. Intervalo de confianza para proporciones.

Recuerde las propiedades de la distribución binomial y de las pruebas de hipótesis

vistan anteriormente.

El intervalo de confianza para la proporción de la población infinita y muestreo con

reemplazamiento está dada por:

n

PQZP

Ecuación No.37

En tanto que el intervalo de confianza para la proporción de la población finita y

muestreo con reemplazamiento está dada por:

1

N

nN

n

PQZP

Ecuación No.38

Donde el valor de Z depende del nivel de confianza deseado.



106

Ejemplo

De un lote de 500 frascos de jugo se extrae una muestra de 50 frascos de los

cuales 43 cumplen con las especificaciones exigidas y 7 fueron rechazados. Hallar

el intervalo de confianza del 95% para la proporción de frascos de jugo aceptados

del lote de estudio.

Para un nivel de confianza de 95% el valor de Z = 1.96 (tabla de distribución

normal)

Aplicando la fórmula se tiene:

09.086.095.0049.096.186.0

499

450

50

)14.0)(86.0(96.186.0

1500

50500

50

50431

5043

96.150

43

1

N

nN

n

PQZP

Con un nivel de confianza del 95% la proporción de frascos aceptados fue de 0.77

y 0.95, es decir el nivel de aceptación está entre 380 y 480 frascos de lujo de un

lote de 500 frascos

14.2. Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones.

El intervalo de confianza para la diferencia de proporciones de poblaciones

infinitas está dado por:

2

22

1

1121

n

qp

n

qpZPP

Ecuación No.39

En un supermercado se vende queso de dos marcas diferentes. En el mismo

período de tiempo se vende 380 de un total de 500 unidades de la marca A y 333

de un total de 450 unidades de la marca B. Hallar el intervalo de confianza del



107

99% para la diferencia entre las proporciones de los quesos A y B que salen al

mercado y se venden.

Aplicando la fórmula de la diferencia de proporciones se tiene:

073.002.0450

)26.0)(74.0(

500

24.0)(76.0(58.274.076.0

450

450

117

450

333

500

500

120

500

380

58.2450

333

500

380

2

22

1

1121

n

qp

n

qpZPP

Por lo cual es de esperar con un nivel de confianza del 99% que la verdadera

diferencia de proporción de venta de los quesos A y B se encuentre entre –0.053 y

0.093. La diferencia de proporción negativa del límite inferior del intervalo indica

que en esta región la diferencia está a favor del queso B cuya proporción de venta

es menor en las muestras estudiadas.

Lección 15. Intervalos de confianza para la varianza poblacional.

Para ver cómo se aplica un intervalo de confianza para la varianza poblacional,

suponga que se está interesado en estimar la varianza poblacional para el

mecanismo de llenado de tal modo que la media de la cantidad de llenado sea de

16 onzas y es crítica la varianza de los llenados. Para el efecto se toma una

muestra de 20 envases llenos y se encuentra que la varianza de las cantidades de

llenado es 0025.02 s Sin embargo, no se puede esperar que esa varianza que

procede de una muestra de 20 envases, proporcione el valor exacto de la varianza

de la población de recipientes llenos con dicho producto. En consecuencia el

interés está es determinar un estimado de intervalo de la varianza poblacional.

Se utiliza el símbolo 2

para representar el valor de la distribución ji cuadrado que

da como resultado un área, o probabilidad, de a la derecha del valor ji

cuadrado establecido. Por ejemplo en la siguiente figura, se observa la distribución

ji cuadrado con 8523,322

025.0 que indica que el 2.5% de los valores de ji

cuadrado está a la derecha de 32,8523, y 90655,82

975.0 que indica que el 97.8%

de los valores de ji cuadrado está a la derecha de 8,90655. Consultan con la tabla

del anexo “G” que hace relación a la tabla de distribución de ji cuadrado, los

resultados son iguales.



108

En la gráfica se puede observar que 0.95 o el 95% de los valores de la ji cuadrada

están entre 2

975.0 y 2

025.0 . Significa esto que existe una probabilidad del 95% de

obtener un valor de 2 tal que:

2

025.02

22

975.0

1

Sn

Esta ecuación define un estimado de intervalo, porque el 95% de todos los valores

posibles de

2

21

Sn se encuentran en el intervalo de

2

975,0 a 2

025.0 .

Gráfico No.17 Intervalo de confianza. Mecánismo de llenado.

Ahora se requiere llevar a cabo algunas operaciones algebraicas de la ecuación,

para determinar un estimado de intervalo de 2 de la varianza poblacional.

Realizando operaciones del extremo izquierdo de la ecuación se tiene:

2

22

975.0

1

Sn

despejando la varianza se tiene:

2

975.0

22 1

Sn

realizando operaciones semejantes con la desigualdad del extremo derecho de la

ecuación se tiene:

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,0

01 2 4 6 8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

Distribución Chi-Cuadrado. Función de Densidad Probabilidad con 19 grados de libertad

1 0,95

/2 =0,025 /2= 0,025

2(0,975) =8,90 2(0,025) =32,85



109

2

2

025.0

21

Sn despejando la varianza se tiene:

2

025.0

22 1

Sn

Por último combinando los resultados de las operaciones se llega a:

2

975.0

22

2

025.0

2 11

SnSn

Esta relación representa el estimado del intervalo de confianza para la varianza 2

.

Ejemplo

Regresando al problema para determinar un estimado de intervalo de la varianza

poblacional de las cantidades de llenado, recuerde que la muestra es de 20

envases que presenta una varianza de 0025.02 S . Con un tamaño de muestra

de 20, los grados de libertad son de 19. En la figura presentada anteriormente, se

determina que 90655,82

975.0 y 8523,322

025.0 . Con dichos valores,

reemplazando en la ecuación del intervalo para la varianza poblacional se tiene:

90655,8

0025.0120

8523,32

0025.0120 2

O sea que el intervalo se encuentra dentro de los límites: 0728.00374.0 2 .

Con lo anterior se ha ilustrado el proceso de aplicar la distribución ji cuadrado para

establecer estimados de intervalo de una varianza y de una desviación estándar

de una población. Específicamente observe que como se usó 2

975,0 y 2

025.0 el

estimativo tiene un coeficiente de confianza de 0.95. Cuando la ecuación se

amplía a un caso general de cualquier coeficiente de confianza, el estimativo del

intervalo de confianza es:

2

21

22

2

2

2 11

SnSn

Ecuación No.40

En donde los valores de 2 se basan en una distribución ji cuadrado con (n-1)

grados de libertad, y en donde 1 es el coeficiente de confianza.



110

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Una investigación efectuada a 400 familias de clase medias, reveló que un

62% de sus ingresos anuales son utilizados para servicios de salud.

Determinar los límites de confianza del 99%

2. En una muestra de 14 observaciones que tienen una media de 34.86 y una

desviación estándar de 4.23, encuentre los límites que en el 95% de los casos

permiten acertar al afirmar que la media poblacional queda incluida entre ellos.

3. Un laboratorio químico desea estimar la reacción promedio de mercurio

utilizadas en un medicamento. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para

garantizar que habrá un riesgo de solo 0.001 de sobrepasar un error de 5mm o

más en la estimación? La desviación estándar de la reacción se estima en

50mm

4. Un sondeo efectuado a 400 familias de clase media reveló un gasto trimestral

promedio de $ 374.000 en productos de salud, con desviación de $80.000.

a) Determine un intervalo de confianza del 95%

b) ¿Cuál es el máximo error, cuando se afirma que dicha media es de $374.000 con

una confianza del 99%?



111

REFERENTES

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http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/Esta

distica/index.html

http://ice.unizar.es/uzinnova/jornadas/pdf/95.pdf

http://www.fcnym.unlp.edu.ar/catedras/estadistica/programa2002.html#2

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=3

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=3

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/portal/

http://egkafati.bligoo.com/content/view/182409/Del_como_y_porque_ensenar_estadistica.html

http://egkafati.bligoo.com/content/view/182409/Del_como_y_porque_ensenar_estadistica.html

http://metro40.edv.uniovi.es/metroweb/charlas/Estadistica.pdf

http://www.uned.es/experto-metodos-avanzados/

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=322

http://server2.southlink.com.ar/vap/PROBABILIDAD.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/pprobjunio99.htm

http://www.fvet.edu.uy/estadis/probabilidad.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/Estadistica/index.html

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/Estadistica/index.html

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ

(Director Nacional de Curso)

100403 – INFERENCIA ESTADÍSTICA

Vol. 2

IBAGUÉ

FEBRERO 2013



2

COMITE DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador

Rector

Constanza Abadía García

Vicerrectora Académica y de Investigación

Gloria Herrera

Vicerrector de Medios y mediaciones Pedagógicos

Maribel Córdoba Guerrero

Secretaria General

Inferencia Estadística

Tercera Versión

Actualización por Jeammy Julieth Sierra Hernández

Autores Primera Edición: Jorge Rondon Danis Brito

Copyright

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2012

Unidad de Ciencias Básicas UNAD



3

CAMPOS DE

FORMACIÓN

Básica CRÉDITOS: 2 TRABAJO INDEPENDIENTE: 72

Horas TIPO DE CURSO Teórico CÓDIGO:100403 ACOMPAÑAMIENTO TUTORIAL: 24

Horas

OBJETIVO GENERAL:

Que el estudiante comprenda, aplique y desarrolle la teoría y las técnicas de la

inferencia estadística en diversos campos de su saber formativo, y que dicha

aplicación se convierta en una herramienta de uso matemático para la toma de

decisiones sobre hipótesis cuantitativas de datos, basado en la información

extraída de una muestra.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Que el estudiante identifique las técnicas y procedimientos que se

deben emplear para que las muestras sean representativas de la población

que se pretende estudiar, de forma que los errores en la determinación de

los parámetros de la población objeto de estudio sean mínimos.

Que el estudiante comprenda el comportamiento de una población a

partir del análisis metódico de una muestra aleatoria de la misma, y que

entienda que la inferencia inductiva de los parámetros estadísticos que

estime sobre dicha muestra, conlleva un error, el cual es posible de ser

cuantificado.

Conocer los criterios técnicos que hay que tener en cuenta antes

de seleccionar un tamaño de muestra.

Identificar el tipo de muestreo de acuerdo a los objetivos del estudio.

Diferenciar y analizar las ventajas y desventajas de la estimación

por intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis.

Determinar la prueba o técnica apropiada a aplicar en las diferentes

pruebas de hipótesis paramétricas y No paramétricas.

COMPETENCIA GENERAL DE APRENDIZAJE:

Identificar un procedimiento adecuado para seleccionar de una población una

parte de ella, con el fin de obtener resultados confiables y poder generalizar los

resultados obtenidos a toda la población.

Determinar los estadísticos necesarios para el análisis y solución de situaciones

que implican conjuntos de datos de su disciplina de formación, por medio del



4

conocimiento de la teoría elemental del muestreo y de las distribuciones

muestrales.

Plantear y desarrollar el proceso de la inferencia estadística para resolver

problemas concretos de investigación en el ámbito de otras disciplinas.

Aplicar apropiadamente los resultados teóricos y metodológicos de la inferencia

estadística de estimación y prueba de hipótesis en el marco de la modelación.

Habilidad para planear una investigación, diseño de instrumentos, definición de

variables, recolección de la información, resumen y presentación de los datos.



5

UNIDADES DIDÁCTICAS

UNIDAD DOS: ......................................................................................................................................... 6

PRUEBA DE HIPÓTESIS, ANÁLISIS DE VARIANZAS Y ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS ..................... 6

CAPITULO CUATRO: PRUEBAS DE HIPÓTESIS ................................................................................... 7

Lección 16: Conceptos Básicos ..................................................................................................... 8

Lección 17: Pruebas para la Media y la Diferencia de medias con grandes muestras. ............. 14

Lección 18: Pruebas para la proporción y la Diferencia de proporciones (siempre con grandes

muestras). .................................................................................................................................... 26

Lección 19: Pruebas para la media y la diferencia de medias (muestras pequeñas). ............... 34

Lección 20: Pruebas para la varianza.......................................................................................... 44

CAPITULO CINCO: ANÁLISIS DE VARIANZA .................................................................................... 47

Lección 21: Generalidades .......................................................................................................... 49

Lección 22. Análisis de Varianza de un Factor ............................................................................ 50

Lección 23. Comparación Múltiple de Medias (Pruebas “a Posteriori”) .................................. 60

Lección 24. Análisis de varianza con dos factores (diseño de bloques aleatorizados). ........... 61

Lección 25. Análisis de varianza de dos factores con interacción. (Diseño factorial). ............. 66

CAPITULO SEIS: PRUEBAS NO PARAMETRICAS .............................................................................. 80

Lección 26. Generalidades .......................................................................................................... 82

Lección 27. Prueba de Bondad de Ajuste de Ji-cuadrado ................................................... 83

Lección 28. Prueba de Kolmogorov-Smirnov ............................................................................. 87

Lección 29. Prueba de Wilcoxon ................................................................................................. 88

Lección 30. Prueba de Mann-Whitney para muestras independiente y prueba de Kruskal-

Wallis para comparar k muestras independientes..................................................................... 89



6

UNIDAD DOS:

PRUEBA DE HIPÓTESIS, ANÁLISIS DE VARIANZAS Y

ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS



7

CAPITULO CUATRO: PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Introducción

En casos relacionados con situaciones especiales en las cuales se desea

comprobar la efectividad de estándares preestablecidos, la técnica de prueba de

hipótesis resultaba bastante apropiada, por cuanto permite comprobar con

bastante certeza el grado de acierto en la fijación de éstos.

Una hipótesis estadística se define como un supuesto hecho sobre algún

parámetro de la población. Por ejemplo, los siguientes enunciados podrían ser

tomados como hipótesis:

- El ingreso promedio de los trabajadores de la fábrica es de $X.

- El rendimiento promedio de los empleados de dos fábricas es

diferente.

- El promedio de duración de las bombillas es de 1.000 horas.

- El promedio de duración de las llantas es de 100.000 kilómetros.

Ya se ha recabado en muchas ocasiones, que el objetivo es tomar muestras

para extraer alguna conclusión o inferencia sobre la población y que el único

objetivo de examinar muestras, es que las poblaciones suelen ser demasiado

grandes y costosas de estudiar.

Objetivo general.

Contrastar la validez de una hipótesis o conjetura que se haya planteado en relación con una situación determinada de la empresa, analizando errores estadísticos posibles en las pruebas de hipótesis Objetivos específicos.

Examinar que se entiende por hipótesis y qué por prueba de hipótesis.

Describir los pasos que se siguen para demostrar una hipótesis.

Describir los errores estadísticos que se pueden presentar.

Realizar pruebas en relación con una y dos medias poblacionales, con una

y dos colas.

Realizar pruebas con una y dos proporciones poblacionales.

Realizar pruebas de hipótesis para datos que se encuentran en una escala

nominal u ordinal con aplicación de la distribución chi cuadrado.



8

Lección 16: Conceptos Básicos

16. DECISIONES ESTADÍSTICAS

En la práctica, con frecuencia se tienen que tomar decisiones acerca de una

población con base en información muestral.

A tales decisiones se les llama decisiones estadísticas. Por ejemplo, tal vez se

tenga que decidir, con base en datos muestrales, si determinado suero es

realmente eficaz en la curación de una enfermedad, si un método educativo es

mejor que otro, o bien si una moneda está alterada o no.

16.1. Hipótesis

Hipótesis estadísticas: Cuando se trata de tomar una decisión es útil hacer

suposiciones o proposiciones (o conjeturas) acerca de la población de que se

trata. Muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se

tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún

parámetro. A estas suposiciones, que pueden ser o no ciertas, se les llama

hipótesis estadísticas. Estas hipótesis estadísticas son por lo general afirmaciones

acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.

Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que

muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el

mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de

hipótesis. Consultado en la Web de ITC (s.f).

Otras definiciones

“Una hipótesis estadística es una afirmación para verificar acerca de las

características de una o más poblaciones”. Alvarado, J. & Obagi, J. (2008)

“Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura acerca de la distribución

de la población, afirmación que generalmente está asociada a un subconjunto del

espacio del parámetro correspondiente al modelo probabilístico que representa

la citada población”. Mayorga, J. (2004, p. 189)

Una hipótesis estadística es un enunciado provisional referente a uno o más parámetros de una población o grupo de poblaciones. En el proceso de estadística inferencial hay dos tipos de hipótesis:



9

1. Hipótesis nula, designada mediante Ho y se lee “H subcero”. La letra H

significa hipótesis y el subíndice cero indica “no hay diferencia”. Por lo

general en la hipótesis nula se plantea en términos de “no hay cambio”, “no

hay diferencia”, se plantea con el objetivo de aceptarla o rechazarla.

2. Hipótesis alternativa, describe lo que se considerará si se rechaza la

hipótesis nula. A menudo también se le denomina hipótesis de investigación,

y se designa por H1, que se lee “h subuno”

Otras definiciones

Hipótesis Nula: Es la conjetura inicial, es la suposición que se hace sobre la

base de la experiencia del pasado, el conocimiento a priori y las necesidades

empresariales, es, en un comienzo la respuesta más lógica al problema que

se ha planteado; es el valor que se asumiría como cierto de no poderse hacer

la investigación. La aseveración se enuncia después de la abreviatura y

Mayorga, J. (2004, p. 189).

Hipótesis Alternativa: A toda hipótesis que difiera de la hipótesis dada se le

llama hipótesis alternativa. Por ejemplo, si una hipótesis es p = 0.5, la

hipótesis alternativa puede ser 7 5 . La hipótesis

alternativa a la hipótesis nula se denota H1. Murray, R. ()

16.2. Prueba de hipótesis

Prueba de hipótesis: Según Mayorga, prueba de hipótesis es una de las

acepciones más comunes, al igual que Contraste de hipótesis o Docimacia, para

lo que él prefiere llamar, como justifica en su libro, “juzgamiento de hipótesis”, que

define como, “el proceso que culmina con una decisión de rechazar o de no

rechazar una hipótesis con base en la información de una muestra aleatoria

de una población para la cual se ha asumido un modelo probabilístico

cuya función de densidad es ( )”.

Si se supone que una hipótesis es verdadera, pero se encuentra que los

resultados que se observan en una muestra aleatoria difieren marcadamente de

los resultados esperados de acuerdo con la hipótesis (es decir, esperados con

base sólo en la casualidad, empleando la teoría del muestreo), entonces se dice

que las diferencias observadas son significativas y se estará inclinado a rechazar

la hipótesis (o por lo menos a no aceptarla de acuerdo con la evidencia obtenida).

Murray, R. ()



10

Pasos en una prueba de hipótesis

La prueba de hipótesis consiste en aplicar técnicas estadísticas que

permitan aceptar o rechazar una hipótesis. Este procedimiento se conoce como

contraste de hipótesis. Las pruebas de hipótesis utilizan un procedimiento

de cinco pasos, los cuales se mencionan a continuación:

1. Plantear las hipótesis nula y alternativa. Definiendo la lateralidad de la

prueba.

2. Determinar el nivel de significancia. (valores aceptables de error I y II)

3. Estimar el valor estadístico de prueba. (a partir de la muestra)

4. Establecer la regla de decisión. (al comparar el valor crítico o teórico con el

de prueba)

5. Tomar la decisión.

Gráfico 1. Pruebas de Hipótesis

16.3. Tipos de error.

La hipótesis nula y alternativa son entonces aseveraciones sobre la población

que compiten entre sí, en el siguiente sentido: ó la hipótesis nula (Ho) es

verdadera, o lo es la hipótesis alternativa (H1), pero no ambas. En el caso ideal,

el procedimiento de prueba de hipótesis debe conducir a la aceptación de Ho

cuando sea verdadera y al rechazo de H1. Desafortunadamente no siempre es

posible puesto que como las pruebas de hipótesis se basan en la información de

la muestra, se debe considerar la posibilidad de cometer errores. La siguiente

tabla muestra los dos tipos de errores que se pueden cometer:

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Muestras Grandes (Z-normal)

*Meias

*Proporciones

*Diferencia de Medias

*Diferencia de Proporciones

Muestras pequeñas n<30 (T-student)

*Medias

*Diferencia de Medias

Varianza

Una Prueba de hipótesis es el proceso para determinar si las muestras

observadas difieren significativamente de los resultados esperados, ayudando

así a decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis.



11

Tabla No.1 Tipos de errores

DECISIÓN SOBRE Ho VERDADERA FALSA

Aceptar H0 Correcta 1 Error tipo II

Rechazar H0 Error tipo I Nivel de significancia

Correcta 1 Potencia de la prueba

Cuando se tiene una hipótesis esta puede ser verdadera o falsa y la decisión que

se toma en la prueba es aceptar o rechazar la hipótesis. Si la decisión que se

toma está de acuerdo con la realidad no se cometen errores, en este caso las

dos buenas decisiones son: aceptar la hipótesis nula cuando es cierta o rechazar

la hipótesis nula cuando es falsa.

Pero cuando la decisión no está de acuerdo con la realidad se pueden comete r

dos tipos de errores vistos anteriormente: rechazar la hipótesis nula cuando en

realidad es cierta, llamado error tipo I representado por alfa ( ); aceptar la

hipótesis nula cuando en realidad es falso, llamado error tipo II representado por

beta ( ), llamados también nivel de significancia. El procedimiento utilizado

consiste en limitarlos a un nivel preestablecido pequeño, generalmente 0.01 ó

0.05. Este planteamiento se le denomina la potencia de la prueba y se

representa así:

Probabilidad de cometer el error tipo I

Probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera.

Probabilidad de NO cometer el error tipo I (1 - ) Probabilidad de acertar la Ho cuando es verdadera.

Probabilidad de cometer el error tipo II

Probabilidad de aceptar Ho cuando es falsa. Probabilidad de NO cometer el error tipo II

(1 - ) Probabilidad de rechazar Ho cuando es falsa.

Toda prueba de hipótesis determina una región de rechazo de la hipótesis

llamada región crítica, la cual depende del tipo de hipótesis que se pruebe y se

determina utilizando un nivel de significancia .



12

16.4. El Nivel mínimo o de rechazo.

Al establecer una prueba de hipótesis una de las formas de llegar a una

conclusión es a través de la comparación del valor crítico (o teórico) con el de

prueba. Otra forma de poder tomar una decisión es, usar en lugar del valor

crítico, es decir, observar la probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera

(error tipo I), o como afirma Alvarado, J.A y Otros (2008), responder a la pregunta:

¿cuál es el riesgo que debo correr para poder rechazar Ho? Si ese riesgo es

grande, no se puede rechazar Ho; si es pequeño se rechaza Ho.

El p-valor

El mínimo de rechazo recibe también el nombre de “valor p” en el cual Ho sería

rechazado. Si el p-valor es menor que el nivel de significancia, la hipótesis nula se

rechaza. Lo puede encontrar en algunos textos como p-value en inglés. Más

adelante puede verse un ejemplo dónde se utiliza el p-value para rechazar la

hipótesis nula.

16.5. Lateralidad de las pruebas

Dependiendo del planteamiento de la hipótesis alternativa (H1) se distingue dos

tipos de pruebas:

Pruebas bilaterales.

Pruebas unilaterales

Prueba Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en

el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de

rechazo.

En una prueba de hipótesis unilateral derecha, no se puede rechazar la

hipótesis nula Ho, si el estadístico de prueba (o calculado) es menor o igual

que el teórico (tabulado). O lo mismo es, se rechaza la hipótesis nula cuando

el valor calculado es mayor que el tabulado

𝑆𝑖 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑃𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

Una prueba de hipótesis es significativa si el p-value es menor que el nivel de

significación, es decir:



13

Prueba Unilateral Derecha: El investigador desea comprobar la hipótesis de un

aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo

hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo

Prueba Unilateral Izquierda: El investigador desea comprobar la hipótesis de una

disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo

hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo.

Gráfico No. 1. Prueba bilateral (o a dos colas)

Pro

bab

ilid

ad

valor crítico Valor crítico

Región de rechazo

/2

1

Región de rechazo

/2

Región de aceptación

Ho

Verdadera)

𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥


Prueba de hipótesis:

𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ≤ 𝑥



𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ≥ 𝑥

𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 < 𝑥




14

Gráfico No. 2. Prueba unilateral izquierda (inferior)

Gráfico No. 3. Prueba unilateral derecha (superior)

Lección 17: Pruebas para la Media y la Diferencia de medias con

grandes muestras.

17. Prueba para la media y diferencia de medias (Muestras grandes

( ≥ )

En las pruebas para la media de población de muestra grande se distingue dos

situaciones:

Conocida la desviación estándar de la población.

Desconocida la desviación estándar de la población.

17.1. Prueba para la media (conocida la desviación estándar poblacional).

Cuando se tiene la oportunidad de conocer

Pro

ba

bil

ida

d

Valor crítico

1

Región de rechazo Región de aceptación

Ho (Verdadera)

Pro

bab

ilid

ad

1

Valor crítico

Ho (verdadera)

Región de aceptación Región de rechazo



15

17.1.1. Prueba bilateral (para la media)

El procedimiento de prueba de hipótesis para pruebas bilaterales a cerca de la

media de una población, cuando se considera el caso de muestra grande ≥ 3

en que el teorema del límite central permite suponer que la media de la

distribución muestral de medias se puede aproximar a una distribución normal de

probabilidad, y la desviación estándar de la población es conocida, sigue la

siguiente forma general:

Muestra grande ( ≥ 3 ) Planteamiento de hipótesis:

01

00

:

:

H

H

Estadístico de prueba para desviación estándar poblacional conocida:

−

√

Ecuación No.1

Regla de rechazo a un nivel de significancia :

220 Z Zsi o -Zz si HRechazar

Ejemplo

La empresa coca cola ha establecido como política general para su producción en

pequeña escala, un promedio ( ) de llenado para sus envases de 200

centímetros cúbicos con una desviación estándar ( ) de 16 centímetros cúbicos.

Dado que recientemente se han contratado y diseñado nuevos métodos de

producción, utilizando un nivel de significancia del 0.01, se desea probar la

hipótesis, que el promedio de llenado sigue siendo de 200 centímetros cúbicos.

Para tal efecto se tomó una muestra de 100 envases llenos, los cuales mostraron

una media de llenado de 203.5 centímetros cúbicos.



16

En los intervalos de confianza el alfa siempre se divide en

dos, para distribuirlo en las dos colas, en las pruebas de

hipótesis el alfa sólo se divide, si la prueba es a dos colas

Paso 1: Planteamiento de hipótesis

Planteamiento de la hipótesis nula: la media poblacional es 200

Planteamiento de la hipótesis alternativa: La media poblacional es

diferente a 200. Estas hipótesis se expresan como sigue:

Esta es una prueba de dos colas, debido a que la hipótesis alternativa ( ) es

planteada en palabras de diferencia, es decir, la hipótesis no indica si la media

es mayor o menor que 200.

Paso 2: Nivel de significancia 𝜶

El nivel de significancia es de 0.01 que es el alfa ( ), la probabilidad de

cometer el error de tipo uno, es decir la probabilidad de rechazar la hipótesis

siendo verdadera. Para éste tipo de problema se utiliza la distribución normal

estandarizada en Z.

Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)

El valor estadístico de prueba para este tipo de problema es utilizando la

distribución normal estandarizada en Z:



17

Se concluye que el llenado de los envases cumple con las políticas generales de

la empresa, y la diferencia de promedios se atribuye a variaciones aleatorias.

Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión

La formulación de la regla de decisión consiste en hallar el valor crítico de Z

con una prueba de dos colas. En la tabla de la normal estándar (descargar

tabla) se identifica el valor de Z correspondiente a una probabilidad igual

1 − 𝛼2 1 − 5 995. El valor más cercano a 0,995 es 0.995059 que

corresponde a un valor de Z igual a 2.58, que es el valor crítico para la prueba

de hipótesis. Dado que es una prueba de dos colas, se tendrán dos valores

críticos, tal como se indica en el siguiente gráfico:

Gráfico No. 4. Prueba bilateral (a dos colas)

La regla de decisión es aceptar la hipótesis nula (Ho), puesto que el valor

estadístico de prueba (2.19) ha caído en la zona de aceptación de dicha

hipótesis

Paso 5: Tomar la Decisión

Prueba de

hipótesis para la

media (Bilateral)

https://sites.google.com/site/unadjeammysh/recursos-de-apoyo/Dist-Norm.xlsx?attredirects=0&d=1







18

17.1.2. Prueba unilateral (para la media)

Con anterioridad de dijo que la hipótesis alternativa indica una dirección ya sea

“mayor que” o “menor que”, la prueba es de una cola. El procedimiento para

demostrar la hipótesis es por lo general igual a la prueba de dos colas, excepto

que el valor crítico es diferente. Ahora se modificará la hipótesis alternativa del

problema anterior, sobre el llenado de los envases de una factoría de coca cola,

pues se sospecha que el promedio de llenado está por encima de lo que la

empresa determina (por eso en la hipótesis alterna se plantea una relación mayor

que).

200:

200:

1

0

H

H

Igual al ejemplo anterior.

Igual al ejemplo anterior.

El valor crítico cambia. En la tabla de la distribución normal se identifica el valor

de Z correspondiente a una probabilidad igual 0,99. El valor más cercano a 0,99

corresponde a un valor de Z igual a 2.33, que es el valor crítico para la prueba de

hipótesis. Dado que es una prueba de una cola, se tendrá el valor crítico, tal como

se indica en la siguiente gráfica:





Prueba de

hipótesis para la

media (unilateral)







19


Igual, puesto que el valor estadístico de prueba está ubicado en la zona de

aceptación de la hipótesis nula, es decir, se está diciendo que el promedio de

llenado es de 200, tal como está planteada la hipótesis nula.

17.2. Prueba para la media (desconocida la desviación estándar

poblacional).

En la mayoría de los casos se desconoce la desviación estándar de la población

, la cual debe calcularse en estudios previos o se estima utilizando la desviación

estándar de la muestra (s). En estos casos se utiliza la desviación estándar de la

muestra, quedando la fórmula para el estadístico de prueba así:

−

√

Ecuación No.2

Ejemplo

Una cadena grande de almacenes expide su propia tarjeta de crédito y Ud. desea

saber si los saldos promedios por créditos de los clientes son mayores que 400

unidades monetarias. El nivel de significancia se fija en 0.05. Una revisión

aleatoria de 172 clientes, reveló que el promedio por crédito de los clientes es de

407 unidades monetarias y la desviación estándar de la muestra es de 38

Pro

bab

ilid

ad

200

Escala Z |2.33

Ho (verdadera)





20

unidades monetarias. ¿Concluye UD. que la media poblacional es mayor que 400

unidades monetarias?

400:

400:

1

0

H

H

Dado que la hipótesis alternativa se enuncia “mayor que”, se aplica una cola a la

derecha, y como la muestra es grande (n >= 30), se aplica la distribución normal

estandarizada en Z.

El nivel de significancia se fija en 0.05

42.2

172

38

400407

n

S

XZ


El valor crítico es 1.645 y la ubicación del estadístico de prueba se encuentra en la

zona de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto se acepta la hipótesis

alternativa.

Pro

bab

ilid

ad

200

Escala Z |2.42

Ho (verdadera)


|1,645

Unidades monetarias de crédito

1- =0,95 = 0,05







21

La decisión a tomar por Ud. es que el promedio de los créditos es mayor que 400

unidades monetarias con un grado de confianza del 95%.

17.3. Prueba para la diferencia de medias (desconocida la desviación

estándar poblacional).

En la mayor parte de los casos no se conoce la varianza o desviación estándar

real de ninguna población. En general la única información que es posible obtener

se relaciona con las medias muestrales y , las varianzas muestrales y

y las desviaciones estándar de las muestras y . Si se hacen las suposiciones

que las muestras se obtienen de manera aleatoria e independiente a partir de las

poblaciones respectivas que tiene una distribución normal y que las varianzas

poblacionales son iguales, es decir,

, se puede utilizar una prueba de

distribución normal de varianzas combinadas para determinar si existe una

diferencia significativa entre las dos poblaciones.

Recordemos que para diferencias de medias se utiliza el siguiente estadístico de

prueba:

( ) ( )

√ 12

1 22

2

Ecuación No.3

Ejemplo

Una obra de construcción requiere un gran número de bloques de concreto. Dos

empresas abastecedoras A y B licitan para su adjudicación, y dentro del pliego de

condiciones se estipula que la resistencia mínima es de 1.000 unidades métricas a

la resistencia, y el contrato se adjudicará a la empresa que mayor resistencia

presente su producto.

Se plantea la hipótesis nula (Ho) que no existe diferencia entre las resistencias

medias a la compresión de los bloques de concreto. La hipótesis alternativa se

plantea en términos que hay alguna diferencia significativa entre las dos

resistencias medias a la compresión. Simbólicamente se expresa así:





22

BA

BA

H

H

:

:

1

0

Dado que la hipótesis alternativa no indica una dirección específica, la prueba es

de dos colas

Se elige un nivel de significancia de 0.01. Esto equivale a cometer un error de tipo

I. Se usará una distribución normal estandarizada en Z, razón por la cual se debe

seleccionar una muestra que al menos contenga como mínimo 30 unidades de

bloque, cada una de las empresas licitantes.

El estadístico de prueba a aplicar está dado por la siguiente fórmula:

−

√ 12

1 22

2

Ecuación No.4

Suponga que Ud. Seleccionó una muestra de cada una de las empresas licitantes

y determinó la resistencia a la compresión, con los siguientes resultados:

Tabla No.2 Resultados de muestra

Licitante A Licitante B

X = 1.070 X = 1.020

n = 81 n = 64

S = 63 S = 57

El valor del estadístico de prueba es:

01.5

98827.9

50

64

57

81

63

020.1070.122

2

2

2

1

2

1

21

n

S

n

S

XXZ





23

Recuérdese que se seleccionó un nivel de significancia del 0.01 y se utilizará una

prueba de dos colas. Los valores críticos y zonas de aceptación para las hipótesis

se presentan en la siguiente figura:

Gráfico No. 7. Prueba bilateral (o a dos colas)

El valor Z calculado queda en el área de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto se

concluye que la media poblacional de la resistencia a la compresión es diferente en las

dos empresas y la diferencia no se debe al azar del muestreo, con un grado de confianza

del 99%.

17.4. Prueba para la diferencia de medias (Muestras independientes

desviación estándar poblacional conocida).

( 1− 2)−( 1− 2)

√ 12

1 22

2

Ecuación No.5

Pro

bab

ilid

ad

valor crítico -2.58| |2.58

Región de rechazo

0.01/2= 0.005

|5.01

Región de rechazo

0.01/2=0.005

Región de aceptación

Resistencia ladrillos

Ho (Verdadera)





24

Si − < <

entonces No se rechaza

Recuerde que es el estadístico de prueba (o calculado)

Ejemplo

Un constructor está considerando dos lugares alternativos (dos comunidades)

para construir un centro comercial. Como los ingresos de los hogares de la

comunidad son una consideración importante en ésta selección, desea probar que

el ingreso promedio de la primera comunidad excede al promedio de la segunda

comunidad en cuando menos $1.500 diarios. Con la información de un censo

realizado el año anterior sabe que la desviación estándar del ingreso diario de la

primera comunidad es de $1.800 y la de la segunda es de $2.400

Para una muestra aleatoria de 30 hogares de la primera comunidad, encuentra

que el ingreso diario promedio es de $35.500 y con una muestra de 40 hogares de

la segunda comunidad el ingreso promedio diario es de $34.600. Pruebe la

hipótesis con un nivel de confianza del 95 por ciento.

− ≥ 15

− < 15

Recordemos que el nivel de confianza es 95%

Es decir 1 − 95 eso indica que:

5

El tamaño de las muestras es grande y las varianzas poblacionales son conocidas,

por consiguiente la estadística de trabajo a utilizar la ecuación 5.






25

Tabla No.3 Resultados de las comunidades

Comunidad 1 Comunidad 2

4

34 6

24

−

√ 12

1 22

2

(35 − 346 ) − 15

√18 2

3 24 2

4

−1 195

Para un nivel de confianza del 95 %, ya que es una prueba de unilateral izquierda, lo que se busca es el valor crítico que deja por encima un 95% de área, por tanto es lógico pensar que el valor será un Z negativo, en la tabla de la distribución normal se tiene un valor de Z de -1,64 (estadístico teórico o tabulado). Como puede observarse en el gráfico No.8, el estadístico de prueba se ubica en la zona de aceptación de la hipótesis nula.

Gráfico No. 8. Prueba unilateral izquierda (cola inferior)

Pro

bab

ilid

ad

= 0.05

Valor crítico -1.64| -1.195|

Región de rechazo Región de aceptación

Ho (Verdadera)




26

Por lo tanto, con una confiabilidad del 95 por ciento, la diferencia entre el ingreso promedio por hogar en las dos comunidades es mayor a $1.500 diarios.

En una prueba de hipótesis la confiabilidad significa la probabilidad

de no rechazar la hipótesis nula que es cierta, porque el nivel de

confianza es la probabilidad que el estadístico de prueba se

encuentre en la zona de aceptación.

Lección 18: Pruebas para la proporción y la Diferencia de

proporciones (siempre con grandes muestras).

18. Prueba de hipótesis para proporciones.

Se entiende por proporción, la porción relativa o porcentaje que expresa la parte

de la población o muestra que tiene un atributo particular de interés como el

resultado comparativo de contar algo, Se cuenta el número de partes defectuosas;

se cuenta el número de votantes por la preferencia de un candidato. Así la prueba

de proporción implica niveles nominales de medida.

18.1. Prueba para una proporción

Para demostrar una proporción muestral se requiere cumplir con ciertos principios

binomiales, tales como:

1. Los datos recolectados son el resultado de un conteo.

2. El resultado de un experimento se clasifica en una de las dos

categorías mutuamente excluyentes: un éxito o un fracaso.

3. La probabilidad de éxito se mantiene constante.

4. Los intentos para realizar cada experimento son independientes.

5. El tamaño de la muestra debe ser tan grande para que se dé la

siguiente condición: (n)(p)>5 y (n)(1-p)>5

Para realizar una prueba de hipótesis a fin de evaluar la magnitud de la diferencia

entre la proporción muestral p y la proporción poblacional (P), se puede usar el

siguiente estadístico de prueba:




27

n

PP

PPZ

)1(

Ecuación No.6

Dónde:

P es la proporción muestral.

P es la proporción poblacional.

n es el tamaño de la muestra.

De otra manera, en lugar de examinar la proporción de éxitos en una muestra

como en el caso anterior, es posible estudiar el número de éxitos en una muestra,

para determinar el número de éxitos esperados o hipotéticos en la población, se

utiliza el siguiente estadístico de prueba:

qpn

pnXZ

Ecuación No.7

Dónde:

X es el número de éxitos en la muestra.

P es la proporción hipotética de éxitos.

Ejemplo

Suponga que para que lo elijan a Ud. como alcalde, es necesario que logre al

menos el 80% de los votos del barrio donde vive. Dado su interés decide hacer

una encuesta en el barrio con una muestra de 2.000 personas, para ver la

posibilidad y 1.550 dieron respuesta favorable por sus aspiraciones. Pruebe la

hipótesis de favorabilidad, con un nivel de significancia del 0.05.

Antes de realizar el procedimiento de los cinco pasos, veamos si cumple la

condición de:

(n)(p)>5 (2.000)(0.8)>5 1.600>5 Cierto

(n)(1-p)>5 (2.000)(0.2)>5 400>5 Cierto

La hipótesis nula se plantea diciendo que Ud. sí tiene el 80% de favorabilidad de

voto en su barrio y la hipótesis alternativa en que no alcanza a tener este




28

porcentaje de favorabilidad de voto. Simbólicamente se expresa como sigue:

80.0:

80.0:

1

PH

PHo

La distribución de probabilidad a utilizar es la normal estandarizada en Z, con un

nivel de significancia del 5%, con una cola a la izquierda.

n

PP

PPZ

)1(

Dónde:

P es la proporción muestral.

P es la proporción poblacional.

n es el tamaño de la muestra.

Pn

PP

)1( Es el error estándar de la proporción poblacional.

Reemplazando los diferentes valores en la ecuación se tiene:

80.20089443.0

025.0

00008.0

80.0775.0

000.2

)80.01(80.0

80.0000.2

550.1

)1(

n

PP

PPZ

La regla de decisión se toma sobra la base de un valor critico calculado a partir de

la tabla de distribución Z, con un área de 0.4500 (0.5000-0.0500)






29

Gráfico No. 9. Prueba unilateral izquierda (cola inferior)

Como el valor Z (-2080) está en la región de rechazo de la hipótesis nula,

entonces se acepta la hipótesis alternativa y se concluye la favorabilidad de voto

es menos al 80%.

Ejemplo

Probar al nivel de significancia del 0.01 la aseveración que el 55% de las familias

que planean adquirir una residencia en Melgar desea su ubicación en un

condominio. Para su estudio Ud. toma una muestra aleatoria de 400 familias que

planean comprar una residencia en Melgar, de las cuales 228 familias desean en

un condominio.

La hipótesis nula se plantea diciendo que el 55% de las familias desean adquirir

residencia en un condominio en Melgar.

55.0:

55.0:

1

PH

PHo

La distribución de probabilidad a utilizar es la normal estandarizada en Z, con un

nivel de significancia del 1%, con dos colas.






30

80.00248747.0

02.0

400

)55.01(55.0

55.0400

280

)1(

n

PP

PPZ

La regla de decisión se toma sobre la base del siguiente gráfico:

Gráfico No. 10. Prueba Bilateral (a dos colas)

La hipótesis nula que la proporción verdadera es del 55% no es rechazada a un

nivel de significancia del 1%, concluyendo que el 55% de las familias planean

adquirir residencia vacacional en Melgar lo desean en un condominio.

18.2. Prueba para diferencias entre dos proporciones

Se presenta a continuación un ejemplo donde se emplea la prueba de proporción

para dos poblaciones, utilizando el siguiente estadístico de prueba:

21

2121

)1()1(

)(

n

PP

n

PP

PPPPZ

CCCC

Ecuación No.8






31

Dónde:

1n Es la cantidad seleccionada en una muestra.

2n Es la cantidad seleccionada en la otra muestra.

21

21

nn

XXPC

Es la media ponderada de las proporciones muestrales.

1X Es la cantidad de éxitos de la primera muestra.

2X Es la cantidad de éxitos de la segunda muestra.

21yPP Proporción de éxitos de la población uno y dos respectivamente.

Ejemplo

Una fábrica de perfumes ha desarrollado un nuevo producto. Varias pruebas de

comparación indican que el perfume tiene un buen potencial en el mercado. Sin

embargo el departamento de mercadotecnia y publicidad quieren planear una

estrategia de manera que el producto llegue e impresione al sector más grande

posible del público comprador. Una de las preguntas es si prefiera el perfume una

proporción mayor de mujeres jóvenes o una proporción mayor de mujeres

maduras. Por tanto, existen dos poblaciones: una que consta de mujeres jóvenes

y otra de damas maduras. Se usó una prueba estándar de aroma. Se

seleccionaron aleatoriamente damas y se les pidió que olieran varios perfumes,

incluyendo el que suelen usar, y por supuesto el nuevo perfume. La persona que

realiza la prueba es la única que conoce el nombre de los perfumes. Cada mujer

selecciona el perfume que le agrada más.

La hipótesis nula se plantea diciendo que no hay diferencia entre la proporción de

mujeres jóvenes y maduras que prefieren el nuevo perfume. La hipótesis

alternativa se plantea que las dos proporciones no son iguales.

211

21

:

:

PPH

PPHo

Se designa P subuno como la proporción de mujeres jóvenes y P subdos como la

proporción de mujeres maduras.

Se decidió un nivel de significancia del 0.05.





32

Los planes son tomar una muestra al azar de 100 mujeres jóvenes designada por

n subuno y una muestra de 200 mujeres mayores designada como n subdos. Los

resultados una vez hecha el experimento dio los siguientes resultados: de las 100

mujeres jóvenes 20 eligieron el nuevo perfume, designando este valor como X

subuno; y de las 200 mujeres maduras 100 prefirieron el nuevo perfume,

designando este valor como X subdos.

La proporción ponderada, da como resultado:

40.0300

120

200100

10020

21

21

nn

XXPC

0.506.0

30.0

200

)40.01(40.0

100

)40.01(40.0

200100

10020

)1()1(

21

21

n

PP

n

PP

PPZ

CCCC

Los valores críticos para un nivel de significancia del 5% son –1.96 y +1.96. Igual

que en los otros casos, la siguiente grafica establece la regla de decisión:


El valor de Z calculado de –5.0 se encuentra en el área de rechazo de la hipótesis

nula. Por tanto, la hipótesis que las proporciones son iguales se rechaza a un nivel

del 5% de significancia.






33

Ejemplo

Dos lotes de frutas conformados cada uno por 250 unidades son tratados y

almacenados en iguales condiciones salvo que el lote No 1 está a temperatura

ligeramente inferior que el lote No 2. Pasado un tiempo se encuentra que el lote

No 1 hay 225 frutas sanas y en el lote No 2 hay 200 sanas. Probar la hipótesis que

la temperatura más baja favorece la conservación de las frutas al nivel de

significación de 0.05.

211

21

:

:

PPH

PPHo

Utilizando la distribución de probabilidad normal con ensayo unilateral a la derecha

con un nivel significativo de 0.05, el valor critico es de 1.645.

13.30319.0

10.0

250

)15.0)(85.0(

250

)15.0)(85.0(

80.090.0

)1()1(

21

21

n

PP

n

PP

PPZ

CCCC

85.0250250

200225

21

21

nn

XXPC

Gráfico No. 12. Prueba unilateral superior (cola derecha)







34

Como 3.12>1.645 se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.

La temperatura más baja favorece la conservación de las frutas.

Lección 19: Pruebas para la media y la diferencia de medias

(muestras pequeñas).

19. Pruebas de hipótesis para pequeñas muestras.

Ahora veamos el caso en que las muestras son pequeñas, 30n , pero donde la

distribución muestral del estadístico de prueba se puede aproximar a una

distribución t student. Dicha aproximación es posible cuando los valores

subyacentes de la población son casi normalmente distribuidos, y cuando

intervienen poblaciones donde las desviaciones estándar, aunque desconocidas,

se sabe que son iguales. Habiendo estudiado pruebas para muestras grandes con

todo detalle, podemos restringirnos a ejemplos en donde se aplique este tipo de

distribución.

19.1. Prueba para media (pequeña muestra)

Si también es razonable suponer que la población tiene una distribución normal de

probabilidad, con la distribución t se puede hacer inferencia a cerca del valor de la

media de la población.

Ejemplo

Una compañía de seguros revela que en promedio la investigación por demandas

en accidentes y todos los trámites tiene un costo promedio de 60 unidades

monetarias. Este costo se considera exagerado comparado con el de otras

compañías del mismo tipo. A fin de evaluar el costo se seleccionó una muestra

aleatoria de 26 demandas recientes y se realizó el estudio de costos. Se concluyó

que el costo promedio es de 57 unidades monetaria con una desviación estándar

de 10 unidades monetarias. Con un nivel de significancia del 0.01 se puede decir

que ¿el estudio reveló un costo menor al establecido por la empresa?

La hipótesis nula se plantea en el sentido que el costo promedio es de 60





35

unidades monetarias. La hipótesis alternativa que el costo es menor a 60 unidades

monetarias. Esto se expresa en la siguiente forma:

60:

60:

1

0

H

H

La prueba es de una cola a la izquierda, según el planteamiento de la hipótesis

alternativa.

Se usa un nivel de significancia del 0.01 con una distribución “t”, en consideración

a que la muestra en menor a 30, es decir, es una pequeña muestra.

Utilizando los datos de la muestra, se utiliza la siguiente fórmula como estadístico

de prueba:

530.1

26

10

6057

n

S

Xt

Los valores críticos para la distribución “t” se encuentran en la tabla

correspondiente (anexo D), con 25 grados de libertad (26 – 1), prueba de una cola

a un nivel de significancia de 0.01, correspondiendo un valor crítico de 2.485. En el

siguiente figura se indica el presente planteamiento:

Gráfico No. 13. Prueba unilateral superior (cola derecha)

Puesto que –1.53 se encuentra en la región de aceptación de la hipótesis nula a







36

un nivel del 1% de significancia, se concluye que los costos para los tramites de

seguros de accidente no se han disminuido y se mantiene a un nivel promedio de

costo de 60 unidades monetarias.

Ejemplo

Una empresa produce elementos con un promedio de 43 mm de largo. Un ajuste

en las máquinas de producción supone que dicho estándar ha cambiado. Se

quiere probar ésta hipótesis con un nivel de significancia del 0.02.

Para afrontar el problema Ud. selecciona una muestra aleatoria de 12 elementos y

procede a medir su largor con los siguientes resultados:

Tabla No. 4. Selección muestra aleatoria

Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Medida 42 39 42 45 43 40 39 41 40 42 43 42

Plantea sus hipótesis:

43:

43:

1

0

H

H

Como hipótesis nula que no se ha producido un cambio en las dimensiones del

producto. Como hipótesis alternativa que se ha producido un cambio en las

características internas del producto debido a los ajustes en las máquinas.

Se dispone a probar la hipótesis con un nivel de significancia del 0.02, utilizando la

distribución “t” porque es una pequeña muestra, con 11 grados de libertad

aplicando el principio de (n- 1) y cálculo para dos colas puesto que la hipótesis

alternativa está planteada desde el punto de vista de “diferente”.

El estadístico de prueba a utilizar es el siguiente:






37

n

S

Xt

Procede al cálculo de la media y la desviación estándar muestral:

5.4112

498

n

XX

78.1

11

35

1

2

n

XXS

Con la información anterior, aplica la fórmula del estadístico de prueba:

92.2

12

78.1

0.435.41

n

S

Xt

Para aplicar la regla de decisión, muestra en el siguiente gráfico el planteamiento

anterior:


La hipótesis nula que la media poblacional es 43 mm se rechaza a un nivel de

significancia del 0.02 y se acepta la hipótesis alternativa, concluyendo que los

ajustes en las máquinas sí causaron un cambió en la calidad de control en el





38

largor de los diferentes elementos que se producen.

Anteriormente se analizó ampliamente la prueba de hipótesis para cuando las

muestra son pequeñas, es decir, el tamaño de la muestra es menor a 30. A

continuación se propone un ejercicio de aplicación, para que Ud. los desarrolle

atendiendo las sugerencias dadas.

19.2. Prueba para dos medias muestrales (pequeña muestra)

Una prueba que utiliza la distribución t también puede aplicarse para comparar dos

medias muestrales que tienen las siguientes características:

1. Las poblaciones deben de distribuirse normalmente. 2. Las poblaciones deben de ser independientes. 3. Las varianzas de las poblaciones deben de ser iguales. 4. Las muestras tienen menos de 30 observaciones. 5. Las desviaciones estándar de las poblaciones no se conocen.

Cuando se está frente a estas características, el estadístico de prueba a utilizar es

el siguiente:

2121

2

2

21

2

1

2121

11

2

11

)(

nnnn

nSnS

XXt

Ecuación No.9

Dónde:

21 XyX Las medias de las muestras

21ynn Los tamaños de las muestras

2

2

2

1 ySS Las varianzas de las muestras

G.L. Grados de libertas, igual a = 221 nn

Ejemplo

Se ha propuesto realizar un examen de estadística a dos grupos de estudiantes,

con el propósito de saber si los grupos tienen similares conocimientos sobre

pruebas de hipótesis. Para ello Ud. seleccionó el grupo A compuesto de 5



39

estudiantes de educación a distancia y el grupo B compuesto por 6 estudiantes de

educación presencial, y los sometió a la prueba, dando como resultado los

siguientes tiempos en minutos:

Tabla No. 5. Prueba para dos grupos

Educación a distancia Educación presencial

2

4

9

3

2

3

7

5

8

4

3

Probar con un nivel de significancia del 0.10 si existe alguna diferencia de

habilidad en los conocimientos de los dos grupos.

Las hipótesis las plantea en los siguientes términos:

211

21

:

:

H

Ho

La hipótesis nula consistente en que los dos grupos no tienen alguna diferencia en

la habilidad de conocimiento, y la hipótesis alternativa en que existe diferencia

entre los grupos sobre la habilidad en la aplicación de los conocimientos.

Prueba la hipótesis con un nivel de significancia del 10%, utilizando la distribución

t student porque las muestras son menores que 30, con 9 grados de libertad (5+6

– 2) y prueba de dos colas porque la hipótesis alternativa está planteada en

función de “diferente”.

Para el cálculo del estadístico de prueba se requiere estimar las medias de los

grupos y sus varianzas, los cuales se presentan en el siguiente cuadro:






40

Tabla No.6. Resultados para los grupos de estudiantes

Grupo estudiantes a distancia Grupo presencial

Media = 4 Media = 5

Varianza = 8.5 Varianza = 4.4

Muestra = 5 Muestra = 6

6620.0

6

1

5

1

265

164.4155.8

54

11

2

11

2121

2

2

21

2

1

21

nnnn

nSnS

XXt

Gráfico No. 15. Prueba Bilateral (a dos colas). Diferencia de dos medias

La decisión es no rechazar la hipótesis nula debido a que el valor del estadístico

de prueba –06620 ha caído en la zona de aceptación de dicha hipótesis,

concluyendo que no existe diferencia en la habilidad de aplicación de

conocimientos entre los estudiantes a distancia y los estudiantes de presencial,

con un nivel de significancia del 10%.





41

19.3. Prueba de hipótesis para observaciones pareadas o relacionadas

La característica principal para aplicar este tipo de prueba, es que las muestras

sean dependientes y el tamaño de cada muestra sea inferior a 30 elementos

seleccionados.

Ejemplo

Un grupo de alumnos registra un índice de puntuación en estadística, que se

considera muy bajo para aceptarlos al siguiente nivel. Proceden a tomar un curso

de nivelación, obteniendo los siguientes registros antes y después del curso. Con

un nivel de significancia del 0.05 probar si el curso de nivelación mejoró las

condiciones del grupo.

Antes 128 105 119 140 98 123 127 115 122 145

Después 135 110 131 142 105 130 131 110 125 149

En estas condiciones hay un par de índices de eficiencia para cada miembro del

grupo, antes y después del curso,; éste conjunto de pares es lo que se denomina

muestra por pares. La prueba de hipótesis que se realiza para determinar si hay

diferencia entre los índices antes y después del curso de nivelación, es lo que

denomina prueba de diferencia por pares. Obsérvese que las dos muestras, una

antes y una después, dependen entre sí, debido a que los mismos alumnos están

en ambas pruebas, por tanto son dependientes.

La muestra está constituida por la diferencia entre los registros de puntuación

antes y después del programa. Así, la media de las diferencias entre los registros

de rendimiento, se designa mediante d . Se presenta a continuación el

procedimiento de la prueba:

0:

0:

1

d

d

H

Ho

La hipótesis nula plantea que no hay diferencia de eficiencia después del curso. La

hipótesis alternativa plantea que el programa de nivelación mejoró el nivel de los

estudiantes.




42

Se usa un nivel de significancia del 5%, la muestra seleccionada es de 10

estudiantes considerada pequeña muestra, la distribución de probabilidad a utilizar

es la “t” student, con n – 1 grados de libertad.

El estadístico de prueba a utilizar es:

n

S

dt

d

Ecuación No.10

Dónde:

d : es la media de la diferencia entre las observaciones por pares.

dS : es la desviación estándar de las diferencias entre las observaciones por

pares.

n: es el número de observaciones por pares.

G.L: son los grados de libertad (n –1)

Para determinar el cálculo del estadístico de prueba se requiere conocer la media

de las diferencias y su desviación estándar, para lo cual procedemos a su cálculo

utilizando el siguiente cuadro:

Tabla No. 7. Calculo estadístico sobre diferencia de medias

Muestra Registro

antes

Registro

después

Diferencia

d

Diferencia al

cuadrado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

128

105

119

140

98

123

127

115

122

145

135

110

131

142

105

130

131

110

125

149

7

5

12

2

7

7

4

-5

3

4

49

25

144

4

49

49

16

25

9

16

Sumas 46 386





43

60.410

46

n

dd

40.4110

10

46386

1

22

2

n

n

dd

Sd

Aplicando la fórmula, se obtiene:

30.3

10

4.4

6.4

n

S

dt

d

El valor crítico de t para esta prueba de una cola a la derecha, es 1.833 que se

obtiene en la tabla de la distribución “t” (anexo D), ubicando en la columna de la

izquierda 9 grados de libertad y recorriendo a la derecha hasta la columna de una

cola con 0.05 nivel de significancia. En la siguiente gráfica se indica lo expuesto:

Gráfico No. 16. Prueba unilateral superior (cola derecha). Prueba de hipótesis por pares

Como el valor t (3.30) está en la región de rechazo de la hipótesis nula, entonces

se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que el programa de adiestramiento

para los alumnos fue eficaz para aumenta su eficiencia.





44

Lección 20: Pruebas para la varianza

20. Pruebas de hipótesis para la varianza

Como su nombre lo indica, consiste en comparar tres o más medias de una

muestra para identificar su homogeneidad o variabilidad. esta técnica estadística,

normalmente es utilizada para analizar resultados en la investigación con diseños

experimentales y cuasi-experimentales; muchas veces necesitamos comparar dos

o más distribuciones que corresponden a variaciones de una misma variable

dependiente, afectada por una o más variables independientes.

Comparación de dos varianzas poblacionales

Su utilidad radica en determinar si una población normal tiene más variación que

otra población que se considera también normal. Como ejemplo se pueden

mencionar, si dos máquinas dedicadas a producir cierto artículo de precisión

pueden ser confiables en el control de calidad, es decir, el producto tiene el mismo

largor, el mismo diámetro y las variaciones presentadas son similares.

Ejemplo

La tasa media de rendimiento de dos tipos de acciones se puede apreciar en el

siguiente cuadro, se desea saber si el rendimiento promedio es diferente a un nivel

de significancia del 0.10.

Tabla No. 8. Tasa de rendimiento de las acciones

Acciones Rendimiento

promedio

Desviación

estándar

Tamaño de la

muestra

Tipo A

Tipo B

56

58

12

5

7

8

2

2

2

11

2

2

2

1

:

:

H

Ho

La variación de los rendimientos promedios de las acciones es igual como la

hipótesis nula. La variación de los rendimientos de las acciones es diferente como




45

hipótesis alternativa.

Se selecciona un nivel de significancia de 0.01 utilizando la distribución F.

El valor del estadístico de prueba sigue una distribución F, con la siguiente

relación:

76.55

122

2

2

2

2

1 S

SF

Se acostumbra a colocar el mayor valor en el numerador, de tal forma que la

relación siempre será por lo menos igual a uno.

El valor crítico se obtiene del Anexo F, para lo cual se reproduce una parte de la

tabla. Debido a que utiliza una prueba de dos colas, el nivel de significancia para

cada cola será de:

05.02

10.02

.

Grados de libertad para el numerador: n – 1 = 7-1 = 6

Grados de libertad para el denominador: n – 1 = 8 – 1 = 7

Para encontrar el valor crítico, se incorpora parte de la tabla F:

Tabla No. 9. Grados libertad numerador denominador

GRADOS LIBERTAD NUMERADOR

G.L

Denominador

5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

230

19.3

9.01

6.26

5.05

4.39

3.97

3.69

3.48

3.33

234

19.3

8.94

6.16

4.95

4.28

3.87

3.58

3.37

3.22

2.7

19.4

8.89

6.09

4.88

4.21

3.79

3.50

3.29

3.14

239

19.4

8.85

6.04

4.82

4.15

3.73

3.44

3.23

3.07






46

Dado que el valor de la distribución F (5.76) se encuentra a la derecha del valor

crítico (3.87), se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que los rendimientos

promedios de las acciones son diferentes.


A continuación se proponen dos ejercicios para que los desarrolle aplicando las

sugerencias propuestas:

1. Se lanza una moneda 200 veces y se obtienen 105 caras. Si el nivel de

significancia es de 1% probar la hipótesis que la probabilidad de caras es de ½

contra la hipótesis:

a. Que es mayor de ½. b. Que es menor de ½. c. Que es diferente de ½.

Sugerencia: En este caso utilice las propiedades de la distribución binomial donde:

1002

1200 np 07.72

12

1200 qpn

qpn

pnXZ

2. Un fabricante de un empaque para harinas garantiza que tiene una efectividad

de 95% en la protección contra la humedad durante un período de 6 meses. Se

observó una muestra de 100 paquetes encontrándose resultados positivos en

85 paquetes. Comprobar si la afirmación del fabricante es verdadera con un

nivel de significancia de 0.05.

Sugerencia: Utilizar prueba de una proporción.

3. Un fabricante de pastas alimenticias sostiene que el contenido medio de

proteínas del producto es de 10.7. Un análisis de una muestra de 8 paquetes

dio como resultado un contenido medio de 10% con una desviación de 1. ¿Se

puede aceptar como verdadera la afirmación del fabricante a un nivel de 0.01?

Sugerencia:

Utilizar el siguiente estadístico de prueba:

n

S

Xt

Un ensayo unilateral con cola a la izquierda con un nivel significativo de 0.01 el

valor crítico con 7 grados de libertad es igual a –3.0




47

CAPITULO CINCO: ANÁLISIS DE VARIANZA

Introducción.

En esta unidad se prosigue con el análisis de pruebas de hipótesis. Recuerde que

en capítulo anterior se examinó la teoría general de la prueba de hipótesis y se

describió el caso en el que fue seleccionada una muestra grande a partir de la

población. Se empleó la distribución Z como base para determinar si es razonable

concluir que una media calculada a partir de una muestra, proviene de una

población hipotética. Además se probó si dos medias muestrales provienen de

poblaciones iguales. También se efectuaron pruebas de una y dos muestras para

relaciones proporcionales utilizando la distribución normal como entidad

estadística de prueba. Se utilizó la distribución t como entidad estadística de

prueba para muestras pequeñas (con menos de 30 observaciones)

Cuando se desea conocer la homogeneidad que existe entre tres o más medias

muestrales, se procede a determinar la variabilidad entre esas medias, técnica que

se conoce como “análisis de varianza”. Es decir, cuando productos o individuos

son sometidos a tratamientos determinados para ver cómo éstos influyen en

resultados o comportamientos, lo más aconsejable es utilizar la técnica de análisis

de varianza.

El objetivo del análisis de varianza es determinar cuáles son las variables

independientes de importancia en un estudio, y en qué forma interactúan y afectan

la respuesta.

El Análisis de varianza en el presente capitulo se encuentra dividido de la

siguiente forma.

Gráfico No. 17. ANOVA

ANALISIS DE VARANIZA

De un Factor De dos Factores

Con interacción



48

Objetivo general.

Reconocer la importancia principios en que se basa y campos de aplicación de la

técnica de Análisis de Varianza.

Objetivos específicos.

Comprender la noción general del análisis de varianza.

Realizar una prueba de hipótesis para determinar si dos varianzas

muestrales provienen de poblaciones iguales.

Probar e interpretar hipótesis aplicando el análisis simple de varianza.

Establecer y organizar datos en una tabla de ANOVA de una y de dos

direcciones.

Plantear, probar e interpretar hipótesis de análisis de varianza de dos

factores de diseño de bloque aleatorizado.

Plantear, probar e interpretar hipótesis de análisis de varianza de dos

factores con interacción o diseño de factorial.

Definir los términos tratamientos y bloques.

Dar a conocer el manejo de la herramienta de Análisis de varianza en

Excel.



49

Lección 21: Generalidades

Como su nombre lo indica, el ANALISIS DE VARIANZA, se utiliza para probar

hipótesis sobre la igualdad de tres o más medias poblacionales. Al comparar las

varianzas muestrales, es posible sacar una conclusión o inferencia sobre los

valores relativos de las medias poblacionales.

21. Comparación de más de dos poblaciones

Del análisis de varianza, podemos decir que esta técnica estadística normalmente

es utilizada para analizar resultados en la investigación con diseños

experimentales y cuasi-experimentales; muchas veces necesitamos comparar dos

o más distribuciones que corresponden a variaciones de una misma variable

dependiente, afectada por una o más variables independientes.

El análisis de varianza estudia la relación entre una variable cualitativa (o variable

independiente) con más de dos categorías y una variable cuantitativa (o variable

dependiente).

Ejemplo

Un agrónomo desea estudiar el rendimiento (en libras) de cuatro variedades

diferentes de calabacitas.

La variable cualitativa es el factor de este experimento, que en este caso es la

variedad de calabacita, los niveles son cada una de las cuatro variedades. Y la

variable cuantitativa es el rendimiento (en libras).

El factor corresponde a la variable cualitativa y los niveles a las

categorías de esa variable

El análisis de varianza tiene como objetivo identificar, si hay evidencia de una

diferencia significativa entre los niveles, basados en las medias muestrales.



50

21.1. Variabilidad producto de factores controlables e incontrolables

Teóricamente es posible dividir la variabilidad del resultado de un experimento en

dos partes: la originada por factores o tratamientos que influyen directamente en el

resultado del experimento, y la producida por el resto de factores desconocidos o

no controlables, que se conoce con el nombre de error experimental. En el

ejemplo anterior los factores desconocidos pueden ser: la humedad, la

temperatura y plagas entre otros.

21.2. Tipos de modelos

Modelo de efectos fijos: Un modelo de análisis de varianza es de efectos

fijos cuando los resultados obtenidos sólo son válidos para esos determinados

niveles del factor estudiado y lo que ocurra a otros niveles del factor puede ser

diferente.

Modelo de efectos aleatorios: Un modelo de análisis de varianza es de

efectos aleatorios cuando los resultados obtenidos son válidos para cualquier

nivel del factor estudiado.

Modelo replicado: Un modelo es replicado si el experimento se repite varias

veces para cada nivel del factor; en caso contrario se dice que el modelo es

por unidad de casilla.

21.3. Supuestos Del Análisis De Varianza

Para cada población la variable de respuesta está normalmente distribuida.

La varianza de la variable respuesta es la misma para todas las

poblaciones.

Las observaciones deben ser independientes.

Lección 22. Análisis de Varianza de un Factor

El análisis de varianza simple se presenta cuando se tiene un solo factor

estudiado en sus distintos niveles que influyen sobre una variable respuesta que

mide el resultado del experimento, y el resto de los factores conforman el error

experimental influyendo sobre la variable respuesta de manera no controlable. El

factor se presenta con j niveles, y dentro de cada nivel se analiza una serie de

observaciones del experimento en control (unidades experimentales) y su efecto

sobre la variable respuesta, es decir, para cada nivel se repite el experimento

varias veces (replicación).



51

El análisis de varianza descompone la variabilidad del resultado de un

experimento en componentes independientes (variación total descompuesta en

variaciones particulares).

Ejemplo

Se puede considerar los rendimientos de un mismo cultivo en parcelas diferentes,

que aunque labradas en las mismas condiciones, producen cosechas que son

distintas. La variabilidad de rendimientos es producida por factores o tratamientos

controlables (abono, riego, etc.), donde cada factor o tratamiento puede presentar

diferentes niveles (diferentes cantidades o calidades de abono, distinta intensidad

de riego); también puede ser producida por otros factores o tratamientos no

controlables (humedad relativa, clima, plagas, etc.).

Tabla No. 10. Observaciones por cada nivel

Nivel1 Nivel 2 … Nivel j

X11 X12 X1j X21 X22 X2j

.

.

.

.

.

.

. . .

Xi1

Xi2

Xij

ijX : Observación i-ésima de la variable respuesta relativa al j-ésimo nivel de

factor.

En el ejemplo anterior, ijX es el rendimiento obtenido (variable respuesta) bajo el

nivel j del factor (abono) en la observación i-ésima (Para cada nivel j de factor se

repite el cálculo de rendimiento veces para recoger el efecto del error

experimental).

: Tamaño de la muestra para cada nivel (categorías de la variable cualitativa)

En esta sección se considera el análisis de varianza de un solo factor, en el cual

solo interviene en el experimento un solo tipo de tratamiento. Cuando se desea

contrastar las hipótesis sobre la diferencia global entre tres o más medias de

población, se aplica la distribución de probabilidad F encontrando en cociente de



52

dos varianzas calculadas a partir de los datos experimentales. El modelo lineal en

que se basa el método de análisis de varianza de un solo factor es:

ijiiJX

Ecuación No.11

Dónde:

Es la i-ésima observación del j-ésimo nivel experimental.

La media de todas las observaciones de todas las poblaciones j del tratamiento. Es

una constante.

Efecto del tratamiento en la población j. Son variables aleatorias independientes.

Error aleatorio asociado a la i-ésima observación del factor de la población j

El efecto i del tratamiento o factor es la diferencia entre la gran media y la media

J de la población en tratamiento J, esto es:

Ji .

Ecuación No.12

Por consiguiente, si hay J tratamientos en un experimento, la suma de todos los J

efectos de los tratamientos debe ser igual a cero:

0111

JJ

J

J

J

J

J

J

J

i

Ecuación No.13

El último término iK refleja la variabilidad dentro de cada una de las poblaciones

en tratamiento, y su presencia se atribuye al proceso aleatorio, y se interpreta

como lo resultante de la diferencia entre el resultado observado y la media de la

población del tratamiento:

jijiJ X

Ecuación No.14

El valor esperado o la esperanza de ij es igual a cero.



53

El modelo se basa en las siguientes suposiciones:

Admite que los errores aleatorios ij tienen una distribución normal

para cada población en tratamiento J.

Admite que los errores iJ se distribuyen independientemente tanto

entre poblaciones en tratamiento como dentro de ellas.

Acepta que la varianza 2 del error permanece constante para cada

una de las poblaciones.

Hipótesis del ANOVA de un factor.

El análisis de varianza se usa para probar la igualdad de K medias poblacionales

y la forma general del planteamiento de las hipótesis es:

Dónde: j = Media de la j-ésima población.

La media general de las muestra, está representada por X , y es la suma de todas

las observaciones divida entre la cantidad total de las mismas, expresada de la

siguiente forma:

Media General:

t

K

j

n

i

ij

n

X

X

j

1 1

Ecuación No.15

Dónde: Kt nnnn ...21

Si el tamaño de cada muestra es knnn T , , la ecuación de la media general se

reduce a:

K

X

K

n

X

n

X

X

K

j

j

K

j

n

i

ij

t

K

j

n

i

ij

jj

11 11 1

Ecuación No.16

En otras palabras, cuando los tamaños de muestra son iguales, la media general

muestral es justamente el promedio de las medias de las K muestras.



54

Si supone que se ha tomado una muestra aleatoria simple de tamaño jn de cada

una de las K poblaciones, se tiene:

ijX es la i-ésima observación del grupo, nivel j.

jn es el número de observaciones del grupo, nivel j.

n es el total del número de observaciones en todos los grupos combinados.

K Es el número total de grupos, niveles del factor de interés.

to. tratamienésimo-j del muestra la de MediaX j

Pasos para la Realizar un análisis de varianza.

1. Establecer la hipótesis nula y alterna.

2. Establecer el nivel de significancia α

3. Realizar el ANOVA

4. Calcular el valor F o el valor crítico correspondiente al nivel de confianza

fijado con los grados de libertad.

5. Hallar el estadístico de prueba

6. Tomar la decisión teniendo en cuenta que:

críticoValor B

A si H Rechaza 0

Gráfico No. 18. Distribución F.



55

Ejemplo 1

Suponga que una empresa tiene tres dependencias diferentes en donde produce

tubos de iluminación, y desea verificar el control de calidad en cuanto a duración

se refiere de las bombillas, y para ello toma una muestra de 6 unidades de cada

factoría y las somete a desgaste hasta que dejan de iluminar con los siguientes

resultados en horas:

Tabla No. 11. Observaciones por cada nivel

Observación Planta 1 Planta 2 Planta 3 Total

1 2 3 4 5 6

85 75 82 76 71 85

71 75 73 74 69 82

59 64 62 69 75 67

JX 79 74 66 73

2

JS 34 20 32

JS 5.83 4.47 5.66

Jn 6 6 6 18

n

J

iJX!

474 444 396 1314

La media general es igual a:

733

219

18

667479

3

1

J

J

J

n

X

X

Se observa que se obtienen las medias para cada tratamiento (79, 74 y 66) y una

media general (73). Para llevar a cabo la prueba de la igualdad de las medias de

la población, se subdivide la variación total en dos mediciones:

Diferencia entre los grupos.

Diferencia dentro de los grupos.

La varianza de la muestra total se particiona en la varianza dentro de las plantas y

la varianza entre las plantas, tal como se indica en el siguiente gráfico:


Variación

Total (VT) =

Variación Dentro

del Grupo (VDG) + Variación Entre

Grupo (VEG)



56

Variación total (VT)

2

1 1

k

j

n

i

ij XXVT

Ecuación No.17

6

1 22

22222

3

1 94673647359

...73757371...73757385

i

ij

J

XXVT

Variación dentro del grupo (VDG)

k

j

n

i

jij XXVDG1 1

2

Ecuación No.18

3

1

6

122

2222

430....66646659

...74757471...79757985

j I

VDG

Variación entre grupos (VEG)

K

j

jj XXnVEG1

2

Ecuación No.19

3

1

2222

6 516736667374673796J

XXnVEG

Se debe comprobar que la variación total sea igual a la sumatoria de la variación

entre y dentro de los grupos.

Puesto que K es el total de niveles comparados, existen (K-1) grados de libertad

asociados con la suma de cuadrados entre los grupos, niveles o tratamientos.

Como cada uno de los K niveles contribuye con ( 1jn ) grados de libertad, existen

(n–k) grados de libertad asociados con la suma de cuadrados dentro de los

grupos.

Si cada suma de cuadrados se divide entre sus grados de libertad asociados, se

obtienen tras varianzas o términos cuadráticos medios, como se indica en el



57

siguiente cuadro:

Tabla No. 12. Componentes del análisis de varianza

Variación Suma cuadrados Grados libertad Cuadrado medio Distribución F

Entre tratamiento

K

j

jj XXn1

2

(K-1)

A

K

VET

1

B

A

Dentro o error

k

j

n

i

jij XX1 1

2

(n-K)

B

kn

VDT

Total

2

1 1

k

j

n

i

ij XX

(n-1)

Los resultados para el problema de análisis es el siguiente:

Tabla No. 13. Resultados del análisis de varianza

Variación Suma cuadrados Grados libertad

Cuadrado medio

Distribución F

Entre tratamiento

516 (K-1)= 2 00.258

2

516 99.8

67.28

258

Dentro o error 430 (n-K)=15 67.28

15

430

Total 946 (n-1)=17

En la Tabla de Distribución F se determina el correspondiente valor crítico para el

numerador (k-1= 3-1=2) y el denominador (n-K = 18-3=15), con una probabilidad

de error tipo 1 o un nivel de significancia del 5%, que corresponde a 68.305.0 F ,

significando que si se tuviera que seleccionar un valor al azar de una distribución F

con 2 grados de libertad en el numerador y 15 en el denominador, sólo el 5% de

las veces se obtendría un valor mayor que 3.68. Además la teoría del análisis del

varianza indica que si es cierta la hipótesis nula, la relación entre los cuadrados

medios entre y dentro de los tratamientos sería un valor dentro de esa distribución,

tal que se rechaza si, el valor de dicha relación es mayor que el valor crítico:

El valor de la relación es superior al valor crítico, por tal razón se rechaza la

hipótesis nula consistente en que las medias poblacionales sean iguales.

críticoValor B

A si H Rechaza 0

Para el caso la relación es igual a 8.99 mayor que el valor crítico 3.68, entonces se

tienen pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula consistente en que las

1n

VT



58

medias de las tres poblaciones son iguales. En otras palabras el análisis de

varianza apoya la conclusión que las medias para la duración de las bombillas es

diferente en las tres plantas.

El gráfico para dicho planteamiento es el siguiente:


Ejemplo: Análisis de varianza

Suponga que dispone de un conjunto de árboles clasificados por altura (en

metros) y por especie, según los siguientes datos:

Tabla No. 14. Altura de árboles según especies

Especie Altura Especie Altura Especie Altura

A

B

C

A

B

D

E

D

C

C

8.52

6.45

7.41

7.15

8.73

7.55

6.54

7.74

8.65

8.81

B

A

A

E

B

B

D

C

C

B

8.52

6.43

6.21

7.07

8.83

8.53

7.84

8.59

7.41

8.94

A

E

A

C

A

B

C

D

B

B

8.13

7.17

8.40

8.87

6.12

8.91

8.81

7.40

8.19

8.56

Para ajustar la información a un modelo de análisis de varianza, se considera

como variable respuesta la altura de los árboles en metros, y como único factor la

variable cualitativa especie con cinco niveles (A, B, C, D, E). Dado que se tiene un



59

modelo de un solo factor, se desea probar si las variadas especies de árboles

tienen igual o diferente promedio de altura con un nivel de significancia del 1%.

Primero se estiman las medias para cada una de las especies y la media total, conforme al siguiente cuadro:

Tabla No. 15. Registro de estadísticos para diferentes especies

Especie A Especie B Especie C Especie D Especie E Total

8.52 7.15 6.43 6.21 8.13 6.12

6.45 8.73 8.52 8.83 8.53 8.94 8.40 8.91 8.19 8.56

7.41 8.65 8.81 8.59 8.87 8.81

7.55 7.74 7.84 7.41 7.40

6.54 7.07 7.17

Sumas 42.56 84.06 51.14 37.94 20.78 236.48

Promedio 7.093 8.406 8.523 7.588 6.926 7.707

Observaciones 6 10 6 5 3 30

Gran media =

882666.730

48.236

30

.......65.841.7...76.845.6...15.752.8

5

1 1

t

j

n

i

ij

n

X

X

j

Variación total (VT) =

0741867.2488.717.788.707.7...88.712.6...88.752.82222

2

1 1

k

j

n

i

ij XX

Variación dentro del grupo (VDG) =

9584533.11

926.617.7....523.841.7...406.845.6...09.752.82222

1 1

2

k

j

n

i

jij XX



60

Variación entre grupos (VEG) =

1157333.1288.7926.6....88.7406.888.7093.7222

1

2

K

j

jj XXn

Para calcular el estadístico de prueba perteneciente a la distribución F , se resume

en el siguiente cuadro:

Tabla No. 16. Cálculos del cuadro de análisis de varianza

Variación Suma cuadrados Grados libertad Cuadrado medio Distribución F

Entre tratamiento 12.1157333 (K-1)= 4 3.0289 6.332 Dentro o error 11.9584533 (n-K)=25 0.4783

Total 24.0741867 (n-1)=29

En la tabla “F” determina el correspondiente valor crítico para el numerador (k-1=

5-1=4) y el denominador (n-K = 30-5=25), con una probabilidad de error tipo 1 o un

nivel de significancia del 1%, que corresponde a 18.401.0 F . Para el caso la

relación es igual a 6.332 mayor que el valor crítico 4.18, entonces se tienen

pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula consistente en que las medias

de las cinco variedades de árboles son iguales. En otras palabras el análisis de

varianza apoya la conclusión que las medias para la altura de las diferentes

especies de árboles es diferente.

Lección 23. Comparación Múltiple de Medias (Pruebas “a

Posteriori”)

Las pruebas "a posteriori" son un conjunto de pruebas para probar todas las

posibles medias que podría ser diferente al rechazar la hipótesis.

Existen varias, (Duncan, Newman-Keuls, LSD): todas ellas muy parecidas. Usan el

rango (diferencia entre medias) de todos los pares de muestras como estadístico y

dicho rango debe superar un cierto valor llamado mínimo rango significativo para

considerar la diferencia significativa.

La principal diferencia con respecto a la t-student radica en que usan MSE como

estimador de la varianza, es decir un estimador basado en todas las muestras.



61

Lección 24. Análisis de varianza con dos factores (diseño de

bloques aleatorizados).

Con frecuencia interesa analizar los efectos de dos tipos de factores o

tratamientos. Suponga que un experimento incluye dos tipos de factores: el uno

llamado C (lo que sugiere columna) consistente en K tratamientos diferentes, y el

otro, denominado F (lo que sugiere fila) consistente en J tratamientos diferentes.

Se admite que respecto al j-ésimo tratamiento de F y el K-ésimo tratamiento de C,

existen cuatro componentes así:

ijkjiijKX

Ecuación No.20

Dónde:

−

La varianza total de la muestra se particiona en la varianza entre las filas, varianza

entre columnas, varianzas entre la j x k, y las varianzas del error aleatorio. Para

este modelo, los cálculos del análisis de la varianza para las sumas de los

cuadrados son idénticos a los realizados en el modelo de un solo factor, tan solo

que se calculan variaciones para el factor de fila, de columna y para el error

aleatorio. De manera análoga, los grados de libertad y los cuadrados medios son

los mismos. A continuación se indica el cuadro resumen para el análisis de

varianza de dos factores:

Tabla No. 17. Análisis de varianza para dos factores

Fuente de

variación

Suma de los cuadrados, SC Grados de

Libertad, gl

Media cuadrática,

MC

Relación F

Entre los grupos

o columnas (j)

C

j

j XXrVEC1

2

. 1c

1

c

VECMCA

MCE

MCAF

Entre los bloques

o filas (i)

r

i

i XXcVEF11

2

. 1r

1

r

VEFMCB

MCE

MCBF

Error de

muestreo, E

c

j

r

i

ijij XXXXVE1 1

2

.. 11 cr

11

cr

VEMCE

Total, T

c

j

r

i

ij XXVT1 1

2

1rc



62

La definición de los términos del cuadro son los siguientes:

nes.observacio de totalNúmeron

grupos. de número Elc

bloques. de número Elr

.gran total al eequivalent

grupos, los todosdey bloques los todosde valoreslos de sumatoria La X

j. grupo del to tratamienel para valoreslos todosde media LaX

i. bloque elen valoreslos todosde media La

ésimo.-i grupo del to tratamienel para ésimo-i bloque delValor

1 1

ij

j

X

X

X

c

j

r

i

i

ij

Para contrastar los efectos de los factores en el modelo, se construye un

estadístico que se compara los cuadrados medios, que bajo la hipótesis nula sigue

una distribución F.

Ejemplo

Suponga que existen cuatro parcelas diferentes las cuales son sometidas

sucesivamente a seis tipos de insumos y se piensa que la producción es afectada

por el tipo de insumo y mantenimiento a que es sometida. Se desea probar los

diferentes tratamientos afectan la producción por parcela, y la producción es la

siguiente:

Tabla No. 19. Rendimientos en kilos por parcela

Tratamiento RENDIMIENTO EL KILOS Parcela 1 Parcela 2 Parcela 3 Parcela 4 Total Medias

A B C D E F

70 77 76 80 84 78

61 75 67 63 66 68

82 88 90 96 92 98

74 76 80 76 84 86

287 316 313 315 326 330

71.75 79.00 78.25 78.75 81.50 82.50

Totales 465 400 546 476 1.887

Medias 77.50 66.67 91.00 79.33 78.625

Los totales por grupo (parcelas) y sus correspondientes promedios, los totales y

los promedios por tratamientos o bloques (insumo y manteniendo), así como la

gran media se indican en el cuadro.

Además de las estadísticas representadas en el cuadro, se tiene:

24rcn 4;c ;6 r



63

625,7824

887.11 1

rc

X

X

c

j

r

i

ij

Para determinar los resultados del experimento de diseños de bloques

aleatorizados con fines ilustrativos, se hacen los siguientes cálculos:

Variación Total de Cuadrados:

c

j

r

i

ij XXVT1 1

2

63,295.2625,7886...625,7877625,7870222

Variación entre grupos o columnas:

C

j

j XXrVEC1

2

.

Ecuación No.21

46,787.1625,7833.79...625,7867.66625,785.776222

Variación entre bloques o filas:

r

i

i XXcVEF11

2

.

Ecuación No.22

38,238625,785.82...625,7879625,7875.714222VEF

Variación del error de muestreo:

c

j

r

i

ijij XXXXVE1 1

2

..

Ecuación No.23



64

244.79

78,62582.50-79.33-86

.

.

625,7800.7950.7777

625,7875.715.7770

2

2

2

VE

Los medios o promedios cuadráticos, se calculan así:

82,59514

46,787.1

1

c

VECMCA

676,5616

38.283

1

r

VEFMCB

986,14

15

79.224

1416

79.224

11

cr

VEMCE

Los cálculos anteriores se pueden resumir en el siguiente cuadro:

Tabla No. 20. Resultados del análisis de varianza para dos factores

Fuente Suma de cuadrados

Grados libertad

Cuadrado medio (varianza)

F

Entre grupos 1.787.46

4-1=3

595,820

3

46.787.1

VEC

39,758

986,14

82.595

F

Entre Bloques

283.38

6-1=5

56,676

5

38.283

VEF

3,782

986,14

676,56

F

Error 224.79

(6-1)(4-1)=15

Total 2.295.63 (6)(4)-1=23

14,986

15

79.224

VE



65

Además de los registros anteriores, en las tablas ANOVA de los diferentes

paquetes de software estadísticos, incluyen el p-valor que consiste en la

probabilidad de obtener un estadístico F igual o mayor a la obtenida dado que la

hipótesis nula sea verdadera, es decir, si el p- valor es menor que el nivel

especificado de significancia , la hipótesis nula es rechazada. Para nuestro caso

se utiliza la información contenida en el cuadro anterior.

Si se desea probar las diferencias entre los rendimientos de las parcelas con un

nivel de significancia del 5%, la regla de decisión consiste en rechazar la hipótesis

nula 4321: oH si el valor F calculado es mayor que 3.29 (Ver tabla F

con 3 grados de libertad en el numerador y 15 grados en el denominador). Para el

caso F = 39,758 es mayor que el valor crítico 3.29, entonces se rechaza la

hipótesis nula y se llega a la conclusión que existe evidencia de una diferencia

entre la producción promedio de las diferentes parcelas, como se puede apreciar

en el siguiente gráfico:

Gráfico No. 20. Región de aceptación de hipótesis

Como una verificación de la efectividad de la utilización de insumos, se puede

probar la diferencia de efectividad de los diferentes insumos aplicados. La regla de

decisión utilizando un nivel de significancia del 5%, sería la de rechazar la

hipótesis nula 654321: oH si el valor F calculado excede a

2.90 (Ver anexo F con 5 grados de libertad en el numerados y 15 grados en el

denominador). Para el caso el valor F = 3,782 es mayor al valor crítico, lo que se

concluye que la utilización de los diferentes insumos, produce diferencia

significativa entre los promedios de producción para las parcelas, y que la

conformación de dichos bloques es ventajosa para reducir el error experimental,

situación que se presenta en el siguiente gráfico:



66

Gráfico No. 21. Región de aceptación de hipótesis

Lección 25. Análisis de varianza de dos factores con interacción.

(Diseño factorial).

Se ha visto hasta ahora el análisis de varianza de una dirección o el modelo de

diseño completamente aleatorizado, después el modelo de diseño de bloque

aleatorizado, y en la presente sección el análisis de varianza de dos factores con

interacción.

Con el propósito de desarrollar el procedimiento de la prueba F, se define a

continuación los siguientes términos:

'

'

.j.

i..

ij

r.c.nn(con oexperiment del nesobservacio de totalNúmeron

celda. cada para replicas) valores(de Númeron

B.factor del niveles de Númeroc

A.factor del niveles de Númeror

columnas.y hileras las en todas valoreslos todosde Gran totalGT

B.factor del j columna la de valoreslos de SumaX

A.factor del i hilera la de valoreslos de SumaX

B.factor del j nivel dely A factor del i nivel del nesobservacio (las ij celda la de valoreslos de SumaX

B.factor del j nivel delA t factor del i nivel deln observació ésima-k la deValor

ijkX

Con fines ilustrativos se hacen planteamientos tanto conceptuales como de

cálculos para la descomposición de la variación total necesaria para el desarrollo

del procedimiento de la prueba F. Debido a la gran cantidad de cálculos se

recomienda que dicho proceso sea llevado por el paquete de software analizado



67

más adelante.

Tabla resumen para el análisis de varianzas de dos vías con más de una

observación por célula se resume en el siguiente cuadro:

Tabla No. 21. Resumen de análisis de varianza de dos vías

Fuente de variación

Suma de los cuadrados, SC

Grados de libertad, gl

Media cuadrática, MC

Relación F

Entre grupos de tratamiento A

'

2

1'

2

..

rcn

GT

cn

XVEGA

r

i

i

1r

1

r

VEGAMCA

MCE

MCAF

Entre grupos de tratamiento, B

'

2

1'

2

..

rcn

GT

rn

XVEGB

c

j

j

1c 1

c

BEGBMCB

MCE

MCBF

Interacción entre factores A y B.

'

2

1'

2

..

1'

2

..

1 1'

2

rcn

GT

rn

X

cn

X

n

XVEAB

c

j

j

r

i

ir

i

c

j

ij

11 cr 11

cr

VEABIMCC

MCE

MCIF

Error de muestreo, E 1' nrc

1'

nrc

VEMCE

Total, T

r

i

c

J

n

K

ijkrcn

GTXVT

1 1 1'

2

2

'

1' rcn

Ejemplo

Para ilustrar el modelo factorial de dos factores, suponga que UD como dueño y

propietario de una cadena de supermercados está interesado en saber el efecto

de la colocación de los estantes en la venta de un producto. Para ello estudia 4

posibles lugares distintos donde colocar los estantes: Colocación normal entre el

pasillo(A), colocación ingreso del pasillo (B), colocación a la entrada del pasillo con

impulsadora (C) y colocación normal con propaganda (D). Se toman ventas

aleatorias en las jornadas de la mañana, tarde y noche y los resultados de las

ventas semanales se resumen en la siguiente tabla:

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

ij

ijkn

XXVE

1 01 1 1 1'

2

.2

'



68

Tabla No. 22. Colocación de productos en un estantes durante jornadas

JORNADA COLOCACIÓN ESTANTE

A B C D Totales Medias Mañana 45

50 56 63

65 71

48 53

451 56,375

Tarde 57 65

69 78

73 80

60 57

539 67,375

Noche 70 78

75 82

82 89

71 75

622 77,750

Totales 365 423 460 364 1.612

Medias 60.83 70.50 76.67 60.67 67,167

Se tiene la siguiente información:

2

4

3

'

n

c

r

622

539

451

..3

..2

..1

X

X

X

364

460

423

365

.4.

.3.

.2.

.1.

X

X

X

X

101

136

119

95

.14

.13

.12

.11

X

X

X

X

117

153

147

122

.24

.23

.22

.21

X

X

X

X

146

171

157

148

.34

.33

.31

.31

X

X

X

X

612.1GT

r

i

c

j

n

k

ijkX1 1

222

1

2 550.11175...5045

'

75,100.110

24

622539451 222

1'

2

..

r

i

i

cn

X

375.109

23

364460423365 2222

1'

2

..

c

j

j

rn

X

292.111

2

146...11995 222

1 1'

2

.

r

i

c

j

ij

n

X

66.272.108243

612.1 2

'

2

rcn

GT



69

Variación Total de Cuadrados:

34.277.366.272.108550.111

1 1 1'

2

2

'

r

i

c

J

n

K

ijkrcn

GTXVT

Variación entre grupos del tratamiento A:

09.828.166.272.10875.100.110

'

2

1'

2

.. rcn

GT

cn

XVEGA

r

i

i

Variación entre grupos del tratamiento B:

34.102.166.272.108375.109

'

2

1'

2

..

rcn

GT

rn

XVEGB

c

j

j

Variación entre los factores A y B:

88.91108.272.66109.375-110.100.75-111.292

'

2

1'

2

..

1'

2

..

1 1'

2

rcn

GT

rn

X

cn

X

n

XVEAB

c

j

jr

i

ir

i

c

j

ij

Variación del error de muestreo:

258292.111550.111

1 1 1'

2

2

'

r

i

c

J

n

K

ijkrcn

GTXVT

Para el cálculo de las varianzas se utilizan las siguientes relaciones:

045.91413

09.828.1

1

r

VEGAMCA

447.36714

34.102.1

1

c

BEGBMCB



70

818,14

1413

91.88

11

cr

VEABIMCC

5.21

1243

258

1'

nrc

VEMCE

Los cálculos anteriores se resumen en el siguiente cuadro:

Tabla No. 23. Resumen de análisis de varianza de dos vías

Fuente de variación Suma de los cuadrados, SC

Grados de libertad, gl

Media cuadrática, MC

Relación F

Entre grupos de tratamiento A

1.828.09

213

914.045

42.51

Entre grupos de tratamiento, B

1.102.34

314

367.447

17.09

Interacción entre factores A y B.

88.91

61413

14.818

0.69

Error de muestreo, E 258 121243 21.5

Total, T 3.277.34 231243

Si utiliza un nivel de significancia del 0.05 y se prueba la diferencia entre las

ventas en las diferentes jornadas (mañana, tarde, noche), la regla de decisión es

la rechazar la hipótesis nula ( rH ...: 210 ) si el valor calculado para F

(42.51) es mayor que 3.49 (observar tabla F para 2 grados de libertad en el

numerador y 12 grados de libertad en el denominador); se rechaza la hipótesis

nula y se llega a la conclusión que existe evidencia que entre las diferentes

jornadas las ventas en promedio son diferentes.

Así mismo si utiliza un nivel de significancia de 0.05 para probar si existe alguna

diferencia entre la ubicación de los estantes, la regla de decisión es rechazar la

hipótesis nula ( cH ...: 210 ), si el valor calculado F (17.09) es mayor que

3.49 (observar tabla F para 3 grados de libertad en el numerador y 12 grados de

libertad en el denominador); se rechaza la hipótesis nula y se concluye que existe

una diferencia entre los promedios de ventas para la colocación de los diferentes

estantes en el almacén.

Finalmente se puede probar si existe algún efecto de interacción entre el factor A

(ventas en las diferentes jornadas) y el factor B (colocación de los estantes).

Utilizando un nivel de significancia del 5%, la regla de decisión es rechazar la

hipótesis nula ( jy i todopara ,0ijAB ), si el valor calculado F (0.69) es mayor que

3.0 (observar tabla F para 6 grados de libertad en el numerador y 12 grados de



71

libertad en el denominador); no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que no

existe evidencia de un efecto de interacción entre las jornadas del día y la

colocación de los estantes.

INTERPRETACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA INTERACCIÓN

Se ha realizado hasta ahora las pruebas para la significación del factor A, del

factor B y de la interacción, corresponde entender en mejor forma el concepto de

interacción, si se grafica las medias, empleando la siguiente fórmula:

'n

XX

ij

ij

5.502

101

2

136

2

119

5.472

95

.14

.13

.12

.11

X

X

X

X

5.582

117

5.762

153

5.732

147

0.612

122

.24

.23

.22

.21

X

X

X

X

0.732

146

5.852

171

5.782

157

0.742

148

.34

.33

.32

.31

X

X

X

X

Se procede a graficar las ventas semanales promedio de cada jornada y de cada

colocación de la estantería, como se indica a continuación:

Gráfico No. 22. Ventas de producto en tres jornadas

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

Mañana Tarde Noche

Ven

tas

Jornada

Ventas Jornada mañana-tarde-noche

A

B

C

D



72

Las cuatro líneas representan las colocaciones de las estanterías aparecen

apuntando casi representando en la misma dirección, lo que significa que la

diferencia en las ventas entre las cuatro colocaciones de los estantes es

virtualmente la misma para las ventas de las diferentes jornadas. En otras

palabras, no existe interacción entre los dos factores (jornada y estantería), como

claramente se evidenció en la prueba F vista anteriormente.

¿Cuál es la interpretación si se presenta el efecto de interacción? En tal situación,

algunos niveles del factor A responden mejor con ciertos niveles del factor B; por

ejemplo, suponga que algunas colocaciones en los estantes fueran mejor para las

jornadas. Si este fuera el caso, las líneas de la figura no estarían apuntando en la

misma dirección que las hace casi paralelas y el efecto de interacción sería

estadísticamente significativo, y por consiguiente, las diferencias entre las

diferentes localizaciones de estantes no serían las mismas para las diferentes

jornadas.



73

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Un inspector de un distrito escolar quiere estudiar el ausentismo de los

profesores de diversos grados escolares. Se seleccionaron muestras aleatorias de

profesores en escuelas primarias, secundarias, y preparatorias, y el número de

días de ausencia el año anterior fue como sigue:

Primaria Secundaria Preparatoria 7 13 7 4 14 2 10 9 6 6 8 9 5 7 9 10

Con un nivel de significancia de .025, determine si hay una diferencia en el

ausentismo entre los diversos grados.

2. El propietario de una distribuidora de combustible pretende investigar la

rapidez con la cual le pagan sus facturas en tres áreas suburbanas. Se

seleccionaron muestras de clientes en cada zona y se registró el número de días

entre la entrega y el pago de la factura, con los siguientes resultados:

Área 1 Área 2 Área 3 8 10 32 18 16 8 14 28 16 20 25 27 12 7 17 14 17 20 15 19 16 21 20

Con un nivel de significancia de .025, determine si hay una diferencia en la

rapidez con que pagan las facturas en estas tres áreas.

3. Un agrónomo desea estudiar el rendimiento (en libras) de cuatro variedades

diferentes de calabacitas. Se dividió una parcela en 16 lotes y se asignaron cuatro

lotes al azar a cada variedad. Los resultados del experimento (en libras) fueron



74

Calabacita redonda

Calabacita común

Calabaza alargada

Calabacita rayada

86 40 30 48 74 48 36 54 88 54 42 42 76 46 34 56

Con un nivel de significancia de .01, determine si hay una diferencia en el

rendimiento de las diferentes variedades de calabacitas.

4. Un distribuidor de automóviles nuevos quiere estudiar la cantidad de dinero

aplicado a la compra de equipo opcional en automóviles de tamaño grande. Se

seleccionó una muestra de 20 compras. Los sujetos se dividieron en las siguientes

clasificaciones por edades: 18-24, 25-29, 30-39, 40-59, 60 y más. La cantidad de

equipo opcional comprado (en miles de pesos) se organizó en grupos de edad

como sigue:

Edad 18-24 25-29 30-39 40-59 60 y más 6.31 7.64 8.37 11.23 6.74 4.27 5.36 9.26 10.64 7.36 5.75 3.85 10.16 8.32 5.12

6.24 6.48 9.00 7.86 7.53

Con un nivel de significancia de .05, determine si hay una diferencia en la

cantidad de dinero aplicado a la compra de equipo opcional en automóviles

nuevos entre los diferentes grupos de edad.

5. Los alumnos de la clase de mercadotecnia calificaron el desempeño del

profesor como excelente, bueno, malo y pésimo. Las calificaciones que dieron los

estudiantes al profesor fueron comparadas con sus calificaciones finales del curso

de mercadotecnia. Lógicamente, se pensaría que en general, los estudiantes que

calificaron al profesor con excelente tendrían una calificación final mucho más alta

que los que lo calificaron como bueno, malo o pésimo. Esto supondría también

que quienes calificaron al docente como pésimo obtendrían las calificaciones mas

bajas. Se seleccionaron muestras de calificaciones finales de los alumnos por

cada tipo de calificación dada al maestro.

Calificaciones finales de la clase de Mercadotecnia Excelente Bueno Malo Pésimo

94 75 70 68 90 68 73 70 85 77 76 72 80 83 78 65 88 80 74



75

68 65 65

Se pretende determinar si hay una diferencia estadística entre la calificación

promedio obtenida por los estudiantes de acuerdo a la calificación otorgada al

maestro. Utilice un nivel de significancia de .01

6. En un esfuerzo por determinar la más efectiva manera de enseñar

principios de seguridad a un grupo de empleados de una compañía, cuatro

diferentes métodos fueron tratados. Veinte empleados fueron asignados

aleatoriamente a cuatro grupos. El primer grupo recibió instrucción programada en

folletos y trabajaron a lo largo del curso a su propio paso. El segundo grupo

atendió lecturas. El tercer grupo observó presentaciones en televisión, y el cuarto

fue dividido en pequeños grupos de discusión. Al final de las sesiones, una prueba

fue aplicada a los cuatro grupos. Los resultados fueron:

Calificaciones Instrucción programada

Lecturas Televisión Grupos de discussion

6 8 7 8 7 5 9 5 6 8 6 6 5 6 8 6 6 8 5 5

Pruebe en el nivel de significancia de .05 si hay o no diferencia entre las cuatro

medias.

7. Una revista para consumidores está interesada en saber si existe o no

alguna diferencia en la duración promedio de cuatro marcas diferentes de pilas

para radios de transistores. Se probó una muestra aleatoria de cuatro pilas de

cada marca, con los siguientes resultados (en horas):

Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 4 12 14 21 14 15 17 19 21 18 12 20 25 10 19 23 20

Con un nivel de significancia de .05, pruebe si hay alguna diferencia en la

duración promedio de estas cuatro marcas de pilas para radios de transistores

8. Un psicólogo industrial querría determinar el efecto del consumo de

bebidas alcohólicas sobre la capacidad mecanográfica de un grupo de secretarias.

Se asignaron en forma aleatoria cinco secretarias a cada uno de los tres niveles



76

de consumo y a cada una de las tres diferentes bebidas. Se dieron a cada

secretaria las mismas instrucciones para mecanografiar la misma página. Se

registró el número de errores cometido por cada secretaria con los siguientes

resultados

Consumo de alcohol 1 onza 2 onzas 3 onzas

Tequila Brandy Ron Tequila Brandy Ron Tequila Brandy Ron 2 3 4 7 5 9 10 8 12 5 4 4 5 6 4 6 7 5 3 4 4 6 4 8 10 8 12 6 5 4 3 4 2 12 13 11 4 5 4 9 7 11 12 10 12

Con un nivel de significancia de .01, pruebe las siguientes hipótesis:

Es diferente la cantidad de errores dependiendo de la cantidad de bebida.

Es diferente la cantidad de errores dependiendo del tipo de bebida.

Es diferente la cantidad de errores dependiendo de la interacción de las

dos variables.

9. El gerente de menudeo de una cadena de tiendas desea determinar si la

ubicación del producto tiene o no algún efecto sobre la venta de juguetes de

peluche en forma de animales. Se van a considerar tres ubicaciones diferentes en

el pasillo: frente, centro y atrás. Se seleccionó una muestra de 18 tiendas y se hizo

una asignación aleatoria en seis tiendas para cada ubicación en el pasillo. Los

juguetes estaban presentados en cuatro figuras de animales diferentes. Al final de

un periodo de prueba de una semana las ventas de los productos fueron como

sigue:

frente centro Atrás osos perros gatos león osos perros gatos león osos Perros gatos león

86 81 76 71 20 16 19 24 46 51 56 56 72 77 82 87 32 36 32 29 28 24 20 21 54 49 44 39 24 20 23 28 60 65 68 66 40 45 50 55 18 22 18 15 22 18 16 19 50 45 40 35 14 10 13 18 28 33 34 30 62 67 72 77 16 20 16 13 40 36 36 41

Con un nivel de significancia de .01 pruebe las siguientes hipótesis:

Las ventas en las diferentes ubicaciones del pasillo son diferentes

Las ventas de las diferentes figuras de animales son diferentes

Las ventas son diferentes debido a la interacción de las dos variables.



77

10. El departamento de nutrición de cierta universidad lleva a cabo un estudio

para determinar si hay diferencia o no en el contenido de ácido ascórbico entre

tres diferentes marcas de concentrado de jugo de naranja. Se hacen cuatro

pruebas de los tres tipos de concentrado de jugo de naranja que fue congelado

durante tres periodos de tiempo diferentes (en días). Los resultados, en

miligramos de ácido ascórbico por litro, son los siguientes:

MARCA TIEMPO ( DÍAS ) 0 3 7

RICA 52.6 54.2 49.4 49.2 42.7 48.8 49.8 46.5 42.8 53.2 40.4 47.6

BUENA 56.0 48.0 48.8 44.0 49.2 44.0 49.6 48.4 44.0 42.4 42.0 43.2

BARATA 52.5 52.0 48.0 47.0 48.5 43.3 51.8 53.6 48.2 49.6 45.2 47.6

Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis de que:

Los contenidos de ácido ascórbico por marca de jugo son diferentes

Los contenidos de ácido ascórbico por tiempo de congelamiento son

diferentes

Los contenidos de ácido ascórbico son diferentes debido a la interacción de

las dos variables.

11. Se estudia el comportamiento de tres camadas de ratas bajo dos condiciones

ambientales en una prueba de laberinto. Las calificaciones de error para las 48

ratas se registran a continuación:

Camada Ambiente Libre Restringido

Brillante 28 22 25 36 72 25 32 93 12 23 10 86 48 91 31 19

Mezclada 36 33 41 22 60 35 83 99 83 14 76 58 89 126 110 118

Lenta 101 33 122 35 136 38 64 87 94 56 83 23 120 153 128 140


Las calificaciones de error para las camadas son diferentes

Las calificaciones de error para los ambientes son diferentes

Las calificaciones de error son diferentes debido a la interacción de las dos

variables

12. Considere la combinación de dos factores en la eliminación de mugre en

cargas estándar de lavandería. El primer factor es la marca del detergente, X, Y o



78

Z. El segundo factor es la temperatura del agua, caliente o tibia. El experimento se

replica seis veces. La respuesta es el porcentaje de eliminación de mugre. Los

datos son los siguientes:

Marca Temperatura Caliente Caliente

X 85 88 80 82 83 85 78 75 72 75 75 73

Y 90 78 76 86 88 76 92 92 76 88 76 77

Z 85 60 70 76 74 78 87 88 68 55 57 54


Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes dependiendo del

detergente.

Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes dependiendo de la

temperatura.

Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes debido a la

interacción de las dos variables.

13. Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento motor hecha a dos

grupos de estudiantes que participan en deportes universitarios, el primer grupo

está formado por estudiantes que practicaron deporte en la preparatoria, mientras

que el segundo está formado por estudiantes que no practicaron deporte en la

preparatoria. Los puntajes obtenidos por ambos grupos son los siguientes:

GRUPO 1 GRUPO 2 GIMNASIA FUTBOL GIMNASIA FUTBOL 55 56 59 40 58 86 48 55 63 59 58 70 58 65 54 56 50 52 52 43 51 55 42 32 69 28 77 37 79 45 60 51 45 32


El rendimiento motor es diferente dependiendo del grupo

El rendimiento motor es diferente dependiendo del deporte

El rendimiento motor es diferente debido a la interacción de las dos variables.

14. La asociación de egresados de la escuela “Mao Meno”, sospecha que sus

miembros reciben en promedio un sueldo inferior al ingreso de los egresados de la

escuela “Much A. Money”. Para comprobarlo se obtuvieron muestras de



79

egresados de ambas escuelas. La información que se obtuvo fue la siguiente: (en

miles de pesos)

MAO MENO MUCH A. MONEY CRIMINOLOGÍA PSICOLOGÍA CRIMINOLOGÍA PSICOLOGÍA

5.0 3.2 5.5 7.5 5.5 3.5 3.5 5.5 4.5 4.5 9.5 4.5 3.5 8.2 3.4 8.5 7.5 6.6 6.8 3.2


El ingreso es diferente dependiendo de la escuela

El ingreso es diferente dependiendo de la carrera

El ingreso es diferente debido a la interacción de las dos variables.

15. En una secundaria se formaron al azar dos grupos de estudiantes,

formados por alumnos de todos los grados. En un grupo se utilizó un nuevo

método de enseñanza. En el otro se utilizaron los métodos tradicionales. Las

calificaciones al final del curso fueron las siguientes:

MÉTODO TRADICIONAL MÉTODO NUEVO PRIMERO SEGUNDO TERCERO PRIMERO SEGUNDO TERCERO

8 9 8.5 8 8 7.5 6.5 10 10 7 10 8.5 7 8 9 5 10 7.5 8 7 8.5 8 9 8 6 7.5 8 7 8.5 9 8 8 8 7.5 9 9


Las calificaciones son diferentes dependiendo del método

Las calificaciones son diferentes dependiendo del grado

Las calificaciones son diferentes debido a la interacción de las dos variable



80

CAPITULO SEIS: PRUEBAS NO PARAMETRICAS

Introducción

Uno de los problemas más difíciles para el principiante y para el investigador

experimentado, es decidir cuál de las pruebas estadísticas es la más adecuada

para analizar un conjunto de datos. La aplicación de la estadística en el análisis de

datos es muy amplia y las áreas en las que se aplica son diversas, desde las

ciencias exactas hasta las ciencias sociales. La selección de la prueba estadística

necesaria para el caso, depende de varios factores, en primer lugar se debe saber

cuál es la escala con la que se están midiendo los datos que se analizarán, pues

no se puede aplicar la misma prueba estadística para el caso en que la variable de

interés sea el peso de un producto que cuando lo es la profesión del usuario de un

producto.

Queremos introducir en este parte la noción de pruebas no paramétricas como

aquellas que no presuponen una distribución de probabilidad para los datos, por

ello se conocen también como de distribución libre. En la mayor parte de ellas los

resultados estadísticos se derivan únicamente a partir de procedimientos de

ordenación y recuento, por lo que su base lógica es de fácil comprensión. Cuando

trabajamos con muestras pequeñas (n < 10) en las que se desconoce si es válido

suponer la normalidad de los datos, conviene utilizar pruebas no paramétricas, al

menos para corroborar los resultados obtenidos a partir de la utilización de la

teoría basada en la normal.

En estas técnicas, solamente se necesitan conocimientos elementales de

matemáticas, pues los métodos son relativamente más sencillos que en las

pruebas paramétricas. En estas pruebas, también se tienen supuestos, pero son

pocos y no tienen que ver con la naturaleza de la distribución de la población, por

lo que a estas técnicas también se les conoce como de libre distribución.

En general el único supuesto que se debe cumplir en la mayoría de las pruebas no

paramétricas para confiar en ellas, es que la muestra haya sido seleccionada en

forma probabilística.

Las pruebas que se mencionarán son las que se podrían necesitar con mayor

frecuencia, se mencionarán sus principales características y aplicaciones.



81

Objetivo general.

Contrastar la validez de hipótesis o conjetura sobre la relación entre variables y

sobre las distribuciones de probabilidad teórica que adoptan dichas variables, sin

sujetarse a los condicionamientos de la validez de supuestos paramétricos.

Objetivos específicos.

Examinar que se entiende por hipótesis y por prueba de hipótesis No

paramétricas.

Realizar pruebas No paramétricas para una variable y para datos pareados

Realizar pruebas sobre la bondad de ajustes de variables a distribuciones

de probabilidad teórica de carácter cuantitativas.

Realizar pruebas de hipótesis para datos que se encuentran en una escala

nominal u ordinal con aplicación de la distribución chi- cuadrado.

Realizar pruebas sobre la relación entre dos y más variables poblacionales.



82

Lección 26. Generalidades

Las pruebas de hipótesis hacen inferencias respecto a los parámetros de la

población, como la media. Estas pruebas paramétricas utilizan la estadística

paramétrica de muestras que provinieron de la población que se está probando.

Para formular estas pruebas, se hace suposiciones restrictivas sobre las

poblaciones de las que se extraen las muestras. Por ejemplo: se suponía que las

muestras eran grandes o que provenían de poblaciones normalmente distribuidas.

Pero las poblaciones no siempre son normales.

Los estadísticos han desarrollado técnicas útiles que no hacen suposiciones

restrictivas respecto a la forma de las distribuciones de las poblaciones. Éstas se

conocen como pruebas sin distribución, o pruebas no paramétricas. Las hipótesis

de una probabilidad no paramétrica se refieren a algo distinto del valor de un

parámetro de población

Ventajas de los métodos no paramétricos.

1. No requieren que hagamos la suposición de que una población está

distribuida en forma de curva normal u otra forma específica.

2. Generalmente, son más fáciles de efectuar y comprender.

3. Algunas veces, ni siquiera se requiere el ordenamiento o clasificación formal.

Desventajas de los métodos no paramétricos.

1. Ignoran una cierta cantidad de información

2. A menudo, no son tan eficientes como las pruebas paramétricas. Cuando

usamos pruebas no paramétricas, efectuamos un trueque: perdemos

agudeza al estimar intervalos, pero ganamos la habilidad de usar menos

información y calcular más rápidamente.

Pruebas no paramétricas son procedimientos estadísticos que pueden

utilizarse para contrastar hipótesis cuando no son posibles lo supuestos

respecto a los parámetros o a las distribuciones poblacionales.



83

Lección 27. Prueba de Bondad de Ajuste de Ji-cuadrado

La pruebas de Bondad de Ajuste ji-cuadrado ( ) tiene como objetivo verificar si

los datos de una muestra se asocian a una distribución teórica, para variables

cuantitativas discretas y continuas.

A continuación se establece la prueba 2χ para bondad de ajuste. Supóngase que

al realizar un experimento aleatorio n veces, se presentan los resultados

con frecuencias observadas y de acuerdo con las leyes

de las probabilidades, se espera que estos resultados se presenten con

frecuencias .

Una medida de las diferencias entre las frecuencias observadas y las esperadas

está dada por el estadístico 2 definido por:

∑( − )

Ecuación No.24

= Frecuencias Observadas

= Frecuencias Esperadas

K= Número de observaciones

Si las frecuencias observadas coinciden o se aproximan mucho a las esperadas,

el valor estadístico tiende a cero. Por el contrario, si las frecuencias

observadas difieren significativamente de las esperadas, el valor del estadístico

será positivo y tan grande cuantos mayores sean las diferencias entre las

frecuencias. Bajo estas condiciones se tiene que la región de rechazo es sólo la

región derecha (cola derecha o unilateral superior), cuando la hipótesis son las

siguientes:

: Los datos provienen de una muestra al azar de una población

distribuida de acuerdo a un modelo teórico.

: Los datos no provienen de una población distribuida de acuerdo al

modelo teórico.

En una prueba de hipótesis usando Ji-cuadrado las frecuencias esperadas se calculan suponiendo que La hipótesis nula es cierta



84

El estadístico de prueba se puede expresar, para fines de cálculo, como:

∑( − )

∑

−

Ecuación No.25

Con k – r grados de libertad.

k: es el número de eventos o categorías

r : es el número de restricciones (r ≥ 1 es siempre es una restricción, ya que

∑ ∑

, y cada parámetro que se estima con la información de la

muestra es otra restricción más).

En ocasiones, las frecuencias esperadas dan resultados menores que 1, y los

investigadores frecuentemente hacen notar en la literatura que el estadístico no

se distribuye como si las frecuencias esperadas son pequeñas. Por lo tanto

≥ 1 Si, en la práctica resultaran una o varias < 1 se juntan las categorías.

El estadístico teórico es el valor de la Ji-cuadrado con k-r grados de libertad al

nivel de significancia dado.

Esta prueba de hipótesis utiliza un procedimiento de cinco pasos, los cuales se

presentan a continuación:

Plantear las hipótesis nula y alternativa.

Determinar el nivel de significancia.

Estimar el valor estadístico de prueba.

Establecer la regla de decisión.

Tomar la decisión.

Ejemplo. Distribución de Poisson

El administrador de un hospital ha estado estudiando el número de urgencias que

llega a un hospital por día y sospecha que estas se distribuyen según un modelo

de Poisson. También ha determinado que el número medio de urgencias por día

es de 3.

Para determinar si efectivamente el número de urgencias por día que llegan al

hospital siguen la distribución de Poisson, se tomó una muestra al azar de 90 días

de los archivos del hospital. Los datos se resumen en la siguiente tabla.



85

Tabla No. 23. Número de urgencias que llegan por día al hospital.

¿Apoyan estos datos la sospecha del administrador? Use = 0.05.

: Los datos se distribuyen según el modelo de Poisson.

Los datos no están distribuidos según el modelo de Poisson.

= 0.05.

Cálculos con 3 y la tabla de la distribución Poisson, determinamos las

probabilidades de Poisson para x= 0, 1, 2,…., 9; y para ≥ 1 ; restamos de 1 la

suma de las probabilidades anteriores. Para obtener las frecuencias esperadas

multiplicamos las probabilidades por n=90. Véase en la tabla No.24.

Podemos ver que < en las tres últimas categorías, por lo tanto debemos

unirlas quedando 9 categorías, así k=10; r=1 ya que el valor de , fue dado.

El valor calculado de la Ji-cuadrada es:

∑

− 9 93 7563 − 9 3 75

Número de

urgencias

por día

Número de días

0 5

1 14

2 15

3 23

4 16

5 9

6 3

7 3

8 1

9 1

10 o mas 0

90

Paso 1: Plantear la hipótesis

nula y alternativa

Paso 2: Determinar el nivel de significancia.

.

Paso 3: Estimar el estadístico de prueba.



86

Tabla No. 24 Frecuencias esperadas.

( )

0 5 0,050 4,481

1 14 0,149 13,443

2 15 0,224 20,164

3 23 0,224 20,164

4 16 0,168 15,123

5 9 0,101 9,074

6 3 0,050 4,537

7 3 0,022 1,944

8 1 0,008 0,729

9 1 0,003 0,243

10 o mas 0 0,001 0,099

90 1,000 90

Valor Critico: El valor de la ji-cuadrada teórica para 8 (k-r=9-1) grados de

grados de libertad, a un nivel de significancia de 0.05 es 15.507

Como el valor del estadístico de prueba no cae en la región de rechazo y es

menor que el estadístico teórico concluimos, por tanto, que el número de

urgencias que llegan por día al hospital sigue una distribución de Poisson con

3

Paso 4: Establecer la Decisión

Paso 5: Toma de la Decisión



87

Lección 28. Prueba de Kolmogorov-Smirnov

La única premisa que se necesita es que las mediciones se encuentren al menos

en una escala de intervalo. Se necesita que la medición considerada sea

básicamente continua. Además dicha prueba es aplicable cualquiera sea el

tamaño de la muestra.

La prueba Kolmogorov-Smirnov Compara las funciones de distribución teórica y

empírica (sólo válido para variables continuas).

Características de la prueba

La prueba de K-S de una muestra es una hipótesis de bondad de ajuste. Esto es,

se interesa en el grado de acuerdo entre la distribución de un conjunto de valores

de la muestra y alguna distribución teórica específica. Determina si

razonablemente puede pensarse que las mediciones muéstrales provengan de

una población que tenga esa distribución teórica. En la prueba se compara la

distribución de frecuencia acumulativa de la distribución teórica con la distribución

de frecuencia acumulativa observada. Se determina el punto en el que estas dos

distribuciones muestran la mayor divergencia.

Se trata de un método no paramétrico sencillo para probar si existe una diferencia

significativa entre una distribución de frecuencia observada y otra frecuencia teórica. Es

otra medida de la bondad de ajuste de una distribución de frecuencia teórica.

Se basa en la comparación de distribuciones acumuladas: la distribución acumulada de

los datos observados y la distribución acumulada teórica correspondiente al modelo

elegido.

Hipótesis

Ho: La distribución observada se ajusta a la distribución teórica.

F(x) = Ft(x) para todo x.

H1: La distribución observada no se ajusta a la distribución teórica.

Ft(x): es la función teórica. Esta puede ser por ejemplo la función normal con cierta

media y varianzas conocidas.

Estadístico de prueba

D = máxima

Sn(x): es la función de distribución empírica.

Tiene varias ventajas: es una prueba poderosa y fácil de utilizar, puesto que no

requiere que los datos se agrupen de determinada manera.



88

Es particularmente útil para juzgar qué tan cerca está la distribución de

frecuencias observada de la distribución de frecuencias esperada, porque la

distribución de probabilidad Dn depende del tamaño de muestra n, pero es

independiente de la distribución de frecuencia esperada (Dn es una estadística de

distribución libre).

Para calcular la estadística K-S, simplemente se elige Dn (la desviación absoluta

máxima entre las frecuencias observadas y teóricas).

Una prueba K-S siempre debe ser una prueba de un extremo.

Luego se busca el valor crítico en la tabla, para las n observaciones, considerando

el nivel de significancia adoptado.

Si el valor de la tabla es mayor que el valor de Dn, entonces aceptaremos la

hipótesis nula.

SUGERENCIAS:

La prueba de Kolmogorov puede usarse con muestras muy pequeñas, en

donde no se pueden aplicar otras pruebas paramétricas.

Podemos usar la prueba de Kolmogorov para verificar la suposición de

normalidad subyacente en todo análisis de inferencia.

Si bien constituye una prueba de implementación sencilla, tenga en cuenta que

carga con las desventajas de los métodos no paramétricos en general, en el

sentido de producir resultados menos precisos que los procedimientos

convencionales.

Cuando trabaje con muestras pequeñas, recuerde usar la frecuencia cumulada

experimental.

Lección 29. Prueba de Wilcoxon

29.1. Wilcoxon de los rangos con signo

Esta prueba nos permite comparar nuestros datos con una mediana teórica.

Llamemos M0 a la mediana frente a la que vamos a contrastar nuestros datos, y

sea X1, X2 .. Xn los valores observados. Se calcula las diferencias X1-M0, X2-M0,

..., Xn-M0. Si la hipótesis nula fuera cierta estas diferencias se distribuirían de

forma simétrica en torno a cero.

Para efectuar esta prueba se calculan las diferencias en valor absoluto |Xi-M0| y se

ordenan de menor a mayor, asignándoles su rango (número de orden). Si hubiera

dos o más diferencias con igual valor (empates), se les asigna el rango medio (es



89

decir que si tenemos un empate en las posiciones 2 y 3 se les asigna el valor 2.5 a

ambas). Ahora calculamos R+ la suma de todos los rangos de las diferencias

positivas, aquellas en las que Xi es mayor que M0 y R- la suma de todos los

rangos correspondientes a las diferencias negativas. Si la hipótesis nula es cierta,

ambos estadísticos deberán ser parecidos, mientras que si nuestros datos tienen a

ser más altos que la mediana M0, se reflejará en un valor mayor de R+, y al

contrario si son más bajos. Se trata de contrastar si la menor de las sumas de

rangos es excesivamente pequeña para ser atribuida al azar, o, lo que es

equivalente, si la mayor de las dos sumas de rangos es excesivamente grande.

29.2. Wilcoxon para contrastar datos pareados

El mismo razonamiento lo podemos aplicar cuando tenemos una muestra de

parejas de valores, por ejemplo antes y después del tratamiento, que podemos

denominar (X1,Y1), (X2,Y2), ... ,(Xn,Yn). De la misma forma, ahora calcularemos

las diferencias X1-Y1, X2-Y2, ... , Xn-Yn y las ordenaremos en valor absoluto,

asignándoles el rango correspondiente. Calculamos R+ la suma de rangos

positivos (cuando Xi es mayor que Yi), y la suma de rangos negativos R-. Ahora la

hipótesis nula es que esas diferencias proceden de una distribución simétrica en

torno a cero y si fuera cierta los valores de R+ y R- serán parecidos.

Lección 30. Prueba de Mann-Whitney para muestras

independiente y prueba de Kruskal-Wallis para comparar k

muestras independientes

30.1. Prueba de Mann-Whitney para muestras independientes

La prueba de Mann-Whitney puede utilizarse para probar la hipótesis nula de que

las medianas de dos poblaciones son iguales. Se supone que las dos poblaciones

tienen la misma forma y dispersión, porque tales diferencias también podrían

conducir al rechazo de la hipótesis nula. Es necesario que los valores de las dos

muestras aleatorias independientes estén al menos en la escala ordinal.

Las dos muestras se combinan en un conjunto ordenado, en el que cada valor

muestral se identifica según el grupo muestral original. Los valores se clasifican

entonces de menor a mayor, asignando el rango 1 al menor valor muestral

observado. En caso de valores iguales, se les asigna el rango medio. Si la

hipótesis nula es cierta, el promedio de los rangos de cada grupo muestral debería

ser aproximadamente igual.

30.2. Prueba de Kruskal-Wallis para comparar k muestras independientes (o

Prueba H de suma de rangos)



90

Cuando se tiene interés o necesidad de probar una hipótesis nula en la que se

afirma que k tratamientos son iguales o que k muestras aleatorias independientes

provienen de poblaciones idénticas, siendo k > 2, la prueba estadística que se

realizaría dentro de la estadística paramétrica sería el análisis de varianza de un

sentido y para la prueba se utilizaría la distribución F; sin embargo, cuando la

escala es ordinal o se desconfía del supuesto de que las muestras provienen de

poblaciones con forma de distribución normal, se puede utilizar esta prueba para

muestras independientes. La hipótesis alternativa sería que al menos dos

poblaciones tienen una distribución diferente.

La prueba de Kruskal-Wallis sirve para probar la hipótesis nula de que varias

poblaciones tienen las mismas medianas. Así, es el equivalente no paramétrico

del diseño completamente aleatorizado de un factor de análisis de varianza. Se

supone que las diversas poblaciones tienen la misma forma y dispersión para que

la hipótesis anterior sea aplicable, ya que diferencias en forma o dispersión

podrían también conducir al rechazo de la hipótesis nula. Es necesario que los

valores de las diversas muestras aleatorias independientes estén al menos en la

escala ordinal.

Las varias muestras son vistas primeramente como un conjunto de valores, y cada

valor de este grupo combinado se clasifica de menor a mayor. En caso de valores

iguales, se les asigna el rango medio. Si la hipótesis nula es cierta, el promedio de

los rangos de cada grupo muestral debería ser más o menos igual.


1. Cinco antiguos pacientes son seleccionados aleatoriamente del ala A de un

hospital y cuatro pacientes son seccionados del ala B. Los pacientes estuvieron

los siguientes números de días:

Ala A 13 4 2 10 6

Ala B 10 9 7 8

Se debe efectuar una prueba U de Mann-Whitney para determinar si existe

diferencia significativa entre la duración de las estancias en el hospital para las

dos alas. ¿Cuál es la clasificación para la estancia de 13 días en el Ala A?

R/ta: 9 días



91

2. Elija la muestra con la mayor suma de rangos si los elementos son clasificados de mayor a menor:

Muestra A: 1 3 9

Muestra B: 5 1 8 Muestra C: R/ta: 16

9 4 2

3. En una partida de Rol se lanza 200 veces un dado de cuatro caras obteniéndose 60 veces el número 1, 45 veces el número 2, 38 veces el número 3 y 57 veces el número 4. Se puede aceptar, a un nivel de confianza del 95%, que estos resultados corresponden a un dado homogéneo. R/ta: Se acepta de la hipótesis que los resultados corresponden a un dado homogéneo

4. En una encuesta preelectoral realizada a 500 personas se obtuvo la

siguiente distribución en función de sus edades y de su intención de

voto:

Partido

Edad

18 – 35

35 – 50

50 o más A 10 40 60 B 15 70 90 C 45 60 35 D 30 30 15

A un nivel de confianza del 90% ¿Puede afirmarse que la intención de

voto es independiente de la edad?

R/ta: Se rechaza la hipótesis de independencia de las variables 5. Los tiempos de respuesta de 9 sujetos en una tarea de reconocimiento de palabras, previamente presentadas, han sido los siguientes: 115, 98, 123, 109, 112, 87, 118, 104, 116

A un nivel de confianza del 95% ¿Son compatibles estos resultados con la hipótesis de que el tiempo de reacción en esta tarea sigue una distribución Normal de media 110 y desviación típica 10? R/ta: Se acepta la hipótesis de normalidad de la variable.



92

Autoevaluación

1. Los miembros de un equipo ciclista se dividen al azar en tres grupos

que entrenan con métodos diferentes. El primer grupo realiza largos recorridos

a ritmo pausado, el segundo grupo realiza series cortas de alta intensidad y el

tercero trabaja en el gimnasio con pesas y se ejercita en el pedaleo de alta

frecuencia. Después de un mes de entrenamiento se realiza un test de

rendimiento consistente en un recorrido cronometrado de 9 Km. Los tiempos

empleados fueron los siguientes:

Método I Método II Método III

15 14 13 16 13 12 14 15 11 15 16 14 17 14 11

A un nivel de confianza del 95% ¿Puede considerarse que los tres métodos

producen resultados equivalentes? O por el contrario ¿Hay algún método

superior a los demás?

Solución: E estadístico de contraste vale: F = 13,4/ 1,43 = 9,37

El valor de la F teórica con 2 y 12 grados de libertad, a un nivel de confianza

del 95% es 3,89. Por consiguiente se rechaza la hipótesis nula y se concluye

que los tres métodos de entrenamiento producen diferencias significativas.

(Tomado de problemas de análisis de datos Tema 14 Análisis de varianzas: José

María Salinas)

Test No Parámetro 2. En una partida de Rol se lanza 200 veces un dado de cuatro caras obteniéndose 60 veces el número 1, 45 veces el número 2, 38 veces el número 3 y 57 veces el número 4. Se puede aceptar, a un nivel de confianza del 95%, que estos resultados corresponden a un dado homogéneo. Solución:

Paso 1: La hipótesis nula será que el dado es homogéneo, esto implica que la distribución de los números es uniforme, es decir que los cuatro números tienen una probabilidad de aparecer de 0,25.



93

Paso 2: La hipótesis alternativa será que la distribución no es uniforme. Paso 3: Como la variable es discreta utilizaremos el test Ji-cuadrado de

bondad de ajuste a una distribución.

Paso 4: En la tabla siguiente se han realizado todos los cálculos necesarios, obteniéndose el valor 4,36 para el estadístico de contraste. xi ni pi Npi ni-np i (ni-np i)

2 (ni-

np i)2/np i

1 60 0,25 50 10 100 2 2 45 0,25 50 -5 25 0,5 3 38 0,25 50 -12 144 2,88 4 57 0,25 50 7 49 0,98

200 4,36

Paso 5: Como el estadístico tenía 4 sumandos, buscamos en las tablas de la

Ji- cuadrado con 3 grados de libertad el valor que deja por debajo una

probabilidad de 0,95 y obtenemos que el valor crítico es 7,81.

Como el valor del estadístico es inferior al valor crítico, aceptamos la

hipótesis nula. Estos resultados son compatibles con el hecho de que el

dado sea homogéneo.

3. En una encuesta preelectoral realizada a 500 personas se obtuvo la

siguiente distribución en función de sus edades y de su intención de voto:

Partido 18 - 35 35 - 50 50 o más

A 10 40 60

B 15 70 90

C 45 60 35

D 30 30 15

A un nivel de confianza del 90% ¿Puede afirmarse que la intención de voto es independiente de la edad? Solución: 1º La hipótesis nula es que las dos variables son independientes. 2º La hipótesis alternativa es que hay relación entre ambas variables. 3º Se trata de un contraste de independencia entre dos variables, por consiguiente el estadístico de contraste a utilizar es el estadístico Ji- cuadrado para tablas de contingencia.



94

4º Las tablas siguientes presentan los cálculos del estadístico:

Partido

Edad 18 – 35 35 – 50 50 o más

A B C D

10 40 60 15 70 90 45 60 35 30 30 15

110 175 140 75

100 200 200 500

A partir de las frecuencias marginales de la tabla anterior, se obtienen las

frecuencias esperadas que aparecen a continuación:

Partido

Edad 18 – 35

35 – 50

50 o más

A 22 44 44 B 35 70 70 C 28 56 56 D 15 30 30

Por consiguiente las discrepancias entre frecuencias empíricas y frecuencias

esperadas son:

Los cuadrados de las discrepancias son:

Partido

Edad 18 – 35

35 – 50

50 o más

A 144 16 256 B 400 0 400

C 289 16 441 D 225 0 225



95

Dividiendo por las frecuencias esperadas se obtiene:

Partido

Edad

18 – 35 35 – 50 50 o más

A B C D

6,55 0,36 5,82 11,43 0 5,71 10,32 0,29 7,88

15 0 7,5

43,30 0,65 26,91 70,86 Sumando, se obtiene el valor del estadístico 70,86. 5º Como la edad presenta tres intervalos y los partidos son cuatro, el estadístico tendrá (3 - 1)·(4 -1 ) = 6. Buscamos en las tablas de la distribución Ji-cuadrado con 6 grados de libertad el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,9 encontramos que el valor crítico es 10,64.

6º Como el valor del estadístico es mayor que el valor crítico rechazamos la hipótesis nula de que ambas variables son independientes. 7º La edad cambia la intención de voto. 4. Los tiempos de respuesta de 9 sujetos en una tarea de reconocimiento de palabras, previamente presentadas, han sido los siguientes: 115, 98, 123, 109, 112, 87, 118, 104, 116

A un nivel de confianza del 95% ¿Son compatibles estos resultados con la

hipótesis de que el tiempo de reacción en esta tarea sigue una distribución

Normal de media 110 y desviación típica 10? Solución: 1º La hipótesis nula es que los datos proceden de una Normal (110, 10).

2º La hipótesis alternativa es que no siguen esa distribución Normal.

3º Como la variable es continua, y la hipótesis nula específica totalmente la distribución utilizaremos el test de Kolmogoroff-Smirnoff, cuyo estadístico de contraste es: max | Fn(xi ) - Mn(xi) | 4º los cálculos del estadístico se especifican en la siguiente tabla:



96

xi 87 98 104 109 112 115 116 118 123

zi -2,3 -1,2 -0,6 -0,1 0,2 0,5 0,6 0,8 1,3 Fn 0,0107 0,1151 0,2743 0,4602 0,5793 0,6915 0,7257 0,7881 0,9032 Mn 0,1111 0,2222 0,3333 0,4444 0,5556 0,6667 0,7778 0,8889 1

|Fn-Mn | 0,1004 0,1071 0,059 0,0158 0,0237 0,0248 0,0521 0,1008 0,0968

5º Buscando en las tablas del test Kolmogoroff-Smirnoff para n = 9 el valor crítico para un nivel de confianza del 95% se obtiene 0,43001. 6º Como el valor del estadístico 0,1071 es menor que el valor crítico se acepta la hipótesis nula.

7º A un nivel de confianza del 95% no hay evidencia en contra de que el tiempo de reacción siga una distribución N(110, 10). (Tomado de problemas de análisis de datos Tema 14 Análisis de varianzas: José María Salinas)



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REFERENTES

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