INTRODUCCIN A LOS CLCULOS EN INGENIERA QUMICA

La mejor educacin al alcance de todosBALANCE DE MATERIA

MDULO 1UNIDAD UNO

INTRODUCCIN A LOS CLCULOS EN INGENIERA QUMICA

Preparado por: Freddy Daz Mendoza y Leda Pernett Bolao

UNIVERSIDAD DEL ATLNTICO

FACULTAD DE INGENIERA

PROGRAMA DE INGENIERA QUMICABarranquilla, septiembre de 2008(ltima actualizacin)1INTRODUCCIN A LOS CLCULOS EN INGENIERA QUMICA

Al finalizar esta seccin usted deber ser capaz de:

1) Sumar, restar, multiplicar y dividir unidades asociadas con nmeros.

2) Identificar las unidades asociadas en el sistema internacional (SI) y el sistema americano de ingeniera (SAI).

3) Convertir una cantidad expresada en un conjunto de unidades a otro sistema utilizando los factores de conversin correspondientes

4) Definir y usar el factor de conversin gc.

5) Explicar el concepto de consistencia dimensional y aplicar este concepto para, dadas las unidades de ciertos trminos de una ecuacin, asignar las unidades de los otros trminos.

1.1DIMENSIONES Y UNIDADES

Una dimensin es una propiedad que puede medirse. Una cantidad medida tiene un valor numrico y una unidad:

Dimensiones:Longitud, masa, tiempo, temperatura o tambin pueden resultar de la multiplicacin o divisin de otras unidades:

Longitud/tiempo=velocidad

Longitud3

=volumen

Masa/Longitud3=densidad

Los valores numricos de dos o ms cantidades pueden sumarse o restarse slo si las unidades son las mismas:

3 cm 1 cm = 2 cm

4m2 2 m3 = ??

Los valores numricos y sus correspondientes unidades pueden combinarse por multiplicacin o divisin:

5 km / 2 horas= 2.5 km/h

3 cm 4 cm= 12 cm2

Un valor numrico que no tiene unidades: cantidad adimensional

Fjense que aunque se puede dividir o multiplicar unidades, si la dimensin es igual, stas deben ser iguales para poder realizarlo, i. e. (= abreviatura de id est, locucin latina que traduce esto es):

1.2SISTEMAS DE UNIDADES

Un sistema de unidades tiene los siguientes componentes:

Unidades bsicas[=] Longitud, masa, tiempo y temperatura.

Unidades derivadas[=] Multiplicacin o divisin de las unidades bsicas.

Una lista de las unidades bsicas en el Sistema Internacional (SI) y el Sistema Americano de Ingeniera (SAI) se presenta en la siguiente tabla:

DimensinSISAI

Longitudmft

Masakglbm

Tiemposs

TemperaturaKR

Volumenm3ft3

FuerzaNlbf

PresinPapsi

EnergaJBtu

El sistema SAI tiene dos dificultades: una, 1 ft = 12 pulgadas (o sea que no son mltiplos de 10), y la otra es que lbf lbm, es decir, puede confundirse las unidades de dos dimensiones diferentes, libra masa con libra fuerza.

Una de las unidades que se derivan en el Sistema Internacional es la unidad de fuerza:

1 N equivale a la fuerza que se le imprime o se le comunica a 1 kg una aceleracin de 1 m/s2.

En el Sistema Americano de Ingeniera, la unidad que se deriva se conoce como lbf y se define como el producto de una unidad de masa (1 lbm) por la aceleracin de la gravedad medida a nivel del mar y una latitud de 45, donde g= 32.174 ft/s2.

La conversin de unidades es desagradable, pero esencial en cualquier clculo tcnico. Para convertir una cantidad expresada en una unidad en trminos de otra unidad deben utilizarse los factores de conversin.

Ejemplo:convertir 6 ft ( cm

Hemos expresado el factor de conversin en forma de cociente

Ejercicio: convertir

Para convertir una fuerza a partir de una unidad definida (i. e., N) a una unidad natural (kg m/s2), empleamos el factor de conversin correspondiente:

25 N (

El valor de gc puede tener diferentes valores dependiendo del sistema de unidades

Sistemagc

SI

SAI

Mtrico

Britnico

El valor de gc es un factor de conversin y no debe confundirse con el valor de la aceleracin de la gravedad, el cual se escribe como g.

1.3CONSISTENCIA DIMENSIONAL Y CANTIDADES ADIMENSIONALES

Previamente habamos establecido que ciertas cantidades se podan sumar y restar solo si las unidades eran las mismas. Si las unidades son las mismas, sus dimensiones tambin lo son. Esto nos establece que para que una ecuacin sea vlida, debe tener consistencia dimensional, o lo que es lo mismo, debe ser dimensionalmente homognea, i. e., que todos los trminos deben tener las mismas unidades.

Ejercicio:A(ft) = 3t (segundos) + 4Cules deben ser las unidades de 3 y 4?

Existen ciertos parmetros que no tienen unidades y se les llama grupos adimensionales. Por ejemplo un grupo adimensional frecuente en mecnica de fluidos es el nmero de Reynolds:

Los exponentes, por ejemplo x2 y los argumentos de funciones transcendentes como seno(x), log(x), ex son cantidades adimensionales, es decir no tienen unidades.

Ejercicio:Si , donde la densidad est en g/cm3 y P en N/m2, Cules deben ser las unidades de 1.13 y 1.210-10?2PROCESOS Y VARIABLES DE PROCESO

Al finalizar este seccin usted deber ser capaz de:

Explicar con sus propias palabras: a) qu es proceso, b) cules son las unidades de proceso ms importantes en la industria de los procesos qumicos, c) el significado del mol, d) la diferencia entre densidad y densidad relativa.

Convertir moles a masa (y viceversa) y calcular los pesos moleculares de una sustancia a partir de su peso molecular.

Calcular la densidad de una sustancia a partir de los valores de su densidad relativa (y viceversa).

Calcular la masa (o flujo msico), el volumen (o flujo volumtrico) o las moles (o el flujo molar) de una especie dado un valor de una de las variables y conocida su densidad y peso molecular.

Convertir la composicin de una mezcla expresadas en fraccin molar, a fraccin msica, y viceversa.

Determinar el peso molecular promedio de una mezcla a partir de su composicin molar o msica.

Convertir la concentracin de un material de una medida a otra, incluidas masa/volumen, moles/volumen, ppm y molaridad.

Definir que es temperatura y cmo convertir una temperatura dada en cualquiera escala (K, C, F, R), a otra.

2.1PROCESOS Y UNIDADES DE PROCESO

Un proceso es una operacin o serie de operaciones que provoca cambios fsicos, qumicos o bioqumicos en un material o mezcla de materiales. Unidad de proceso es un aparato en el cual se lleva a cabo una de las operaciones que forma parte del proceso. Un proceso con sus partes se muestra en la siguiente figura:

Como parte de su trabajo, el ingeniero qumico hace:

Disear unidades individuales de proceso

Supervisar la operacin de un proceso

Modificar y optimizar el diseo de un proceso.

Pero para poder realizar estos trabajos el debe conocer las composiciones y las condiciones de las corrientes de salida y entrada, la que se conoce como variables de proceso.

Cuando en las unidades de proceso slo se producen cambios fsicos, estos se conocen como operaciones unitarias. Ejemplos: destilacin, extraccin lquidolquido, filtracin, secado, lixiviacin, absorcin y adsorcin. Si la unidad envuelve un cambio qumico, se conoce como reactor. Bsicamente existen tres tipos de reactores: el reactor por tandas o discontinuo, el reactor de mezcla completa y reactor de flujo en pistn. Otros tipos de reactores son el reactor cataltico de lecho fijo, el reactor de lecho fluidizado y el reactor de membrana.

2.1.1

REACTORES

Reactor por tandas o discontinuo (batch)

El reactor por tandas o discontinuo (batch,) es el ms sencillo de los reactores que se usa en la industria de los procesos qumicos. En l, los reactivos se introducen al reactor, se mezclan, se deja que reaccionen durante determinado tiempo, y luego se descarga la mezcla final, compuesta por los productos y los reactivos sin reaccionar. Un diagrama del reactor por tandas se muestra en la siguiente figura (adaptado de Elements of Chemical Reaction Engineering, por H. Scott Fogler, Prentice Hall, 2th Ed., 1992):

Los reactores por tandas operan en condiciones no estacionarias, i. e., la composicin va variando con el tiempo, aunque en cada instante es uniforme en todo el volumen del reactor. Se utilizan bsicamente para reacciones en fase lquida, donde se requieran tiempos de reaccin largos. Un reactor batch tiene la ventaja de poder utilizarse para diferentes productos, es fcil de limpiar y puede alcanzarse conversiones altas dejando reaccionar los reactivos el suficiente tiempo. Entre sus desventajas se cuenta el alto costo de mantenimiento y de la mano de obra durante la produccin, y los periodos muertos durante la carga, descarga y limpieza.

Reactor de mezcla completa (CSTR)

Los reactores de mezcla completa (CSTR, por sus siglas en ingls Continuous Stirred Tank Reactors) son sistemas abiertos (i.e., hay entrada y salida continua de materiales al sistema), que operan en estado estacionario (i.e., las condiciones en el reactor no varan con el tiempo). Debido a la accin de un agitador, la mezcla se encuentra completamente homognea, y sus propiedades son relativamente uniformes a lo largo de todo el volumen del reactor. Igualmente, las condiciones de la corriente de salida son las mismas de la mezcla en el interior del reactor.

Los reactores de mezcla completa se utilizan en la industria de los procesos qumicos, fundamentalmente en reacciones homogneas en fase lquida y puede utilizarse en serie o en paralelo. Normalmente poseen una chaqueta para intercambiar calor. Los fermentadores son reactores de mezcla completa que se usan en procesos biolgicos, tales como las cerveceras, antibiticos y tratamiento de agua. Entre sus ventajas se cuentan: fcil control de la temperatura, econmicos y fciles de acceder en su interior. Entre sus desventajas estn que las conversiones de los reactivos a productos por volumen de reactor es pequea comparada con otros reactores continuos. Un reactor de mezcla completa utilizado como fermentador se muestra en la siguiente figura (adaptado de: www.nbsc.com, New Brunswick Scientific Co., Inc., New Jersey, USA):

Reactor de flujo en pistn (PFR)El reactor de flujo en pistn o tubular (PFR, por sus siglas en ingls Plug Flow Reactor) consiste en una tubo por donde fluyen los reactivos. Operan generalmente en estado estacionario, y los reactivos se consumen continuamente a medida que fluyen a lo largo del reactor, provocando un gradiente de concentracin. Finalmente, los productos (y reactivos sin reaccionar) salen del reactor continuamente.

El PFR puede ser, un solo tubo o un banco de tubos. Su dimetro vara desde pocos milmetros hasta varios metros. La seleccin del dimetro depende de los costos de construccin, de bombeo y de los requerimientos de transferencia de calor.

Los reactores de flujo en pistn se utilizan en reacciones en fase lquida o gaseosa. Entre sus ventajas se cuentan: fcil mantenimiento ya que no tienen piezas mviles, conversiones altas por volumen del reactor, mecnicamente sencillo, la calidad de los productos no vara, buenos para estudiar reacciones rpidas y para procesos de volmenes grandes. Entre sus desventajas se incluyen que son difciles de controlar, debido a las variaciones de su temperatura y composicin Un reactor de flujo en pistn o tubular se muestra en la siguiente figura:

Reactor de lecho fijo (PBR)

Los reactores de lecho fijo (PBR, por sus siglas en ingls Packed Bed Reactor) consisten en un tubo o coraza, en cuyo interior se encuentra un lecho fijo de catalizador. Este sistema de reaccin heterognea se utiliza principalmente para las reacciones en fase gaseosa. En los PBR los reactivos entran al reactor, fluyen al lecho cataltico, donde reaccionan para formar los productos, que salen del reactor.

Al disear un PBR debe tenerse en cuenta el tiempo de vida del catalizador, ya que establece cuanto tiempo trabajar el reactor antes de que se necesite regenerar el catalizador. Las pastillas del catalizador son generalmente granulares, de dimetros entre 1 y 5 mm.

Los PBR son fciles de construir, operar y mantener, econmicos, se alcanzan altas conversiones por peso del catalizador, y efectivos para reacciones a trabajar a presiones y temperaturas altas. Sin embargo los procesos de transferencia de calor desde o hacia el reactor y el control de temperatura son difciles, ocasionando la formacin de gradientes de temperatura; el catalizador es complicado de reemplazar, y tienden a formar canalizaciones a lo largo del reactor, al igual que reacciones laterales.

Reactor cataltico de lecho fijo: un solo tubo y mltiples tubos. (Adaptado de Heterogeneous Catalysis, por Mark. G. White, Prentice Hall, 1990 y Elements of Chemical Reaction Engineering, por H. Scott Fogler, Prentice Hall, 2th Ed., 1992).

2.1.2UNIDADES DE SEPARACIN

Torre de destilacin

Las columnas de destilacin se usan bsicamente para separaciones lquidoliquido. La columna de plato es la columna utilizada. La destilacin se usa cuando existen diferencias en la volatilidad relativa. La diferencia en la concentracin causa que el componente ms voltil se transfiera de la corriente de vapor a la corriente lquida. El vapor que sale del condensador contiene el componente ms voltil, mientras que el menos voltil sale por la corriente lquida del rehervidor.

Cuando la corriente de alimentacin entra a la columna, en un punto generalmente centrado (ver figura), el vapor que se eleva en la seccin de arriba del alimentador, se lava con el lquido que viene bajando absorbiendo el componente menos voltil y permitiendo la separacin. En el tope de la columna el vapor se condensa en un condensador. La corriente del condensado se divide en dos corrientes: una que regresa a la columna, conocida como reflujo, y otra, la corriente de producto o destilado. En el fondo, un rehervidor separa la corriente en una corriente lquida, el residuo, mientras que una corriente de vapor retorna a la columna.

Adpatacin tomada de Visual Encyclopedia of Chemical Engineering Equipment, Susan Montgomery, Universidad de Michigan.

Torres de absorcin

En las columnas de absorcin, una mezcla gaseosa se pone en contacto con un lquido, de forma que uno o ms de los componentes del gas se disuelven en el lquido, obtenindose una solucin de stos en el lquido. La deshidratacin del gas natural con glicol es un ejemplo tpico. En la columna de absorcin se hace pasar el gas natural hmedo, en cual entra en contacto con el dietilenglicol. El agua es altamente soluble en el glicol, con lo se genera una corriente lquida con el agua absorbida, mientras que por arriba sale la corriente de gas natural deshidratado, como se muestra en la figura.

Las torres de extraccin lquido-lquido, son similares a la torres de absorcin, pero la diferencia es que ambas fases son lquidas. Generalmente se utiliza cuando los componentes no se pueden separar porque sus volatilidades relativas son similares.

Torre de absorcin. (Tomado de Introduccin a la Industria del Gas Natural, Notas de Mauricio Campo, Empresa Colombiana de Petrleos ECOPETROL, 2000).

Torre de adsorcin

Adsorcin es un proceso de separacin en que cierto componente de un fluido (el adsorbato), se transfiere o acumula en la superficie de un slido llamado adsorbente. Generalmente, las partculas del adsorbente se colocan en un lecho fijo, mientras que el fluido se hace pasar continuamente a travs del lecho, hasta que el slido se satura y no hay ms separacin. El flujo se cambia a un segundo lecho, mientras que el primer lecho se regenera.

Existen dos tipos de adsorcin. La primera, la fisisorcin, es un fenmeno fsico, que ocurre a temperaturas menores a 200C, donde el material se adsorbe debido a las interacciones fsicas entre el adsorbato y el adsorbente, como puentes de hidrgeno y fuerzas de van der Waals. En el segundo caso, la quimisorcin, ocurre a temperaturas mayores de 200C, y ocurre debido a la formacin de un compuesto qumico. El material adsorbente puede ser natural o sinttico, generalmente granular y extremadamente poroso, con grandes reas superficiales internas. Un sistema de adsorcin se muestra en la siguiente figura (Adaptacin tomada de Unit Operations of Chemical Engineering, W. L. McCabe, J.C. Smith y P. Harriot, 5th Ed., McGraw Hill, 1993).

Un adsorbente ampliamente utilizado es la silica gel, la cual encontramos comnmente en pequeas bolsitas como agente secante acompaando artculos medicinales, alimenticios y electrnicos.

Existen otros procesos de separacin tanto qumica como fsicos, tales como los separadores, cristalizadores, secadores, columnas de intercambio inico, humidificadores membranas, evaporadores, ciclones, centrifugas, etc. Cuando hay presentes slidos, estos pueden removerse por filtracin o sedimentacin.

2.2VARIABLES DE PROCESO

2.2.1EL MOL

Un gramo-mol (g-mol) o simplemente mol en el sistema internacional de medidas (SI) es la cantidad de dicha especie cuya masa es numricamente igual a su peso molecular e igual a 6.0231023 partculas.

Otras especificaciones de mol se definen de forma similar:

1 lbmol de C12H22O11

=342 lb de C12H22O111 kgmol de C12H22O11

=342 kg de C12H22O111 tonmol de C12H22O11

=342 ton de C12H22O111 onzamol de C12H22O11=342 onzas de C12H22O11En pocas palabras, s el peso molecular de una sustancia es M (recordemos que el peso molecular de una sustancia es la suma de los pesos atmicos individuales que constituyen la molcula; y el peso atmico de un elemento es la masa en gramos de un tomo en una escala que asigna al carbono 12 una masa molecular igual a 12), entonces:

1 gmol de una sustancia (o simplemente mol)=M g de la sustancia

1 lbmol de una sustancia

=M lb de la sustancia

1 kgmol de una sustancia

=M kg de la sustancia

1 tonmol de una sustancia

=M ton de la sustancia

As como empleamos los factores de conversin para diferentes unidades de masa, podemos utilizarlo para las unidades molares.

Qu cantidad de partculas hay en 270 gramos de agua?

Cuntas lbmol?

Cuantas lbmol de H?

2.2.2DENSIDAD

La densidad es la masa por unidad de volumen de la sustancia:

Si la densidad de una sustancia es , equivale a decir que: 1 cm3 de la sustancia tiene una masa de 1.6 gramos que 1.6 gramos de la sustancia ocupa un volumen de 1 cm3, y debe utilizarse como factor de conversin.

Para poder calcular la densidad de una sustancia se necesita medir tanto la masa como el volumen que ocupa esa masa. La densidad de los lquidos y slidos no vara significativamente con la presin, pero cambia con la temperatura.

El volumen especfico de una sustancia es el inverso de la densidad:

La densidad relativa (o tambin conocida como peso especfico relativo) de una sustancia es el cociente entre la densidad de la sustancia y la densidad de una sustancia de referencia bajo condiciones especficas.

(s.g. por sus siglas en ingls specific gravity)

La densidad de referencia en slidos y lquidos es el agua medidos a 4C:

(H2O @ 4C)=1.000g/cm31000kg/m362.43lbm/ft3La simbologa que se usa es:

La densidad es una propiedad termodinmica de las sustancia que no depende de la cantidad (i.e., es una propiedad intensiva) y la nica forma de poder estimarla es midindola.

El peso especfico relativo del etanol (C2H6O) es 0.789 (M=46.1 g/gmol):

Cul es su densidad en g/cm3, lbm/ft3, kg/m3? Cul es el volumen en ft3 que ocupa 120 kg de la sustancia? Cuntas moles se encuentran en 200 cm3 de la sustancia?

2.2.3FLUJO MSICO Y FLUJO VOLUMTRICO

Los procesos continuos implican el movimiento de material desde un punto a otro. La velocidad a la cual se mueve o se transporta este material se conoce como flujo del material: flujo msico [=] masa/tiempo, flujo volumtrico [=] volumen/tiempo, flujo molar [=] moles/tiempo. Los flujos volumtricos, molares o msicos se relacionan a travs de la densidad y del peso molecular.

2.2.4FRACCIN MSICA Y FRACCIN MOLAR

La fraccin msica es la relacin entre la cantidad de una sustancia especfica dividida entre la cantidad de masa total presente.

20 g agua + 50 g etanol +10 g de acetona = 80 g totales

Cul es la fraccin msica de agua en la mezcla?

Si la mezcla preparada la guardamos en tres recipientes diferentes con las masas especificadas, Cul es la fraccin msica del agua en cada uno de los recipientes?

El valor numrico de las fracciones msica no depende de las unidades en tanto que stas sean iguales:

La fraccin molar se define en forma idntica:

El porcentaje msico de A es 100XA, y el porcentaje molar es 100YA. La composicin msica o molar expresa los porcentajes msicos y molares de las sustancias presentes en la mezcla.

Las fracciones msicas pueden convertirse a una serie de fracciones molares (o viceversa):

Suponer una base de clculo (masa o moles)

Convertir la masa de cada componente en moles (masa ( moles), o moles en masa (moles ( masa)

Calcular la respectiva fraccin molar

Una mezcla de gases tiene la siguiente composicin msica: O2 ( 16%, CO ( 4%, CO2 ( 17% y N2 ( 63%. Cul es la composicin molar? Cul es su peso molecular promedio?

Base de clculo: 100 gramos de la mezcla total

CompuestoComposicin msicaFraccin msicaMasa en gramosMolesFraccin molar

O216%0.16160.50.152

CO4%0.0440.1430.044

CO217%0.17170.3860.118

N263%0.63632.250.686

100%1.001003.2791.000

El peso molecular promedio de una mezcla es el cociente entre la masa de la muestra entre el nmero de moles totales de la mezcla; tambin puede calcularse a partir de la fraccin molar (o msica) y sus respectivos pesos moleculares:

Donde:mt= masa total

nt = nmero de moles totales

yn= fraccin molar del componente n-simo

xn= fraccin msica del componente n-simo

Mn= peso molecular del componente n-simo2.2.5CONCENTRACIN

Es la cantidad de cierto soluto sobre la cantidad de cierto solvente o solucin en una mezcla de dos o ms compuestos:

Concentracin msica (masa por unidad de volumen)

Concentracin molar (moles por unidad de volumen)

Molaridad =

Molalidad =

ppm = una forma de expresar la concentracin de soluciones muy diluidas

ppm = XA 106fraccin msica para lquidos y slidos

ppm = YA106fraccin molar para gases

2.2.6TEMPERATURA

La temperatura es una medida de la energa cintica que poseen las sustancias. Sin embargo, la energa cintica de una sustancia no es una propiedad que puede medirse fcilmente, y se recurre a otras propiedades que s pueden medirse:

Como cambia el volumen de una masa fija: termmetro de Hg.

Voltaje en la unin de dos metales: termopar.

Resistencia elctrica: termmetros de resistencia

Las escalas de temperatura se obtienen asignando valores numricos a dos medidas fcilmente recordables. Existen dos escalas relativas y dos absolutas. Las escalas absolutas tiene parte de punto cero, la temperatura ms baja que se cree puede existir. Esta temperatura est relacionada con las leyes de los gases ideales y las leyes de la termodinmica.

K = C + 273

R = F + 460

F = 1.8 C + 32

2.2.7PRESIN

La presin se define como el cociente de una fuerza que acta sobre una superficie:

La presin del fluido es la fuerza mnima que se debe ejercer sobre el tapn a fin de evitar la salida del fluido. Sin embargo, una definicin adicional de presin de un fluido se debe introducir para explicar el concepto de presin atmosfrica. En un recipiente vertical cerrado:

La presin del fluido en la base de la columna es por definicin la fuerza ejercida en la base dividida por el rea.

Como se puede observar, la superficie A no aparece en esta ecuacin por lo cual resulta aplicable a una columna de fluido tan delgada como un capilar o tan ancha como un tanque.

Lo anterior nos lleva a que adems de expresar la fuerza por unidad de superficie, pueda expresarse como la altura de un fluido. Esta presin se denomina presin hidrosttica.

Si en la superficie del recipiente se ejerce una presin:

Para una columna de mercurio, la presin en la base del recipiente puede expresarse como:

El anlisis que hemos hecho se puede aplicar directamente a varios dispositivos, que se emplean para medir la presin de un fluido, llamado manmetros. El ms sencillo de todos es el manmetro de tubo abierto, el anlisis se basa en la aplicacin del Principio de Pascal: la presin en un punto al interior de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones.

Las presiones hasta ahora mencionadas son presiones absolutas, en cuanto a que una presin igual a cero corresponde a un vaco perfecto. Muchos dispositivos medidores de presin miden la presin manomtrica de un fluido, es decir, la presin relativa a la presin atmosfrica:

Traduccin y adaptacin tomada de Visual Encyclopedia of Chemical Engineering Equipment, desarrollada por la profesora Susan Montgomery de la Universidad de Michigan. La enciclopedia viene en el disco compacto Interactive Chemical Process Principles (ICPP), el cual viene con el texto Elementary Principles of Chemical Processes de Richard M. Felder y Ronald W. Rousseau (3rd Ed., John Wiley & Sons, 2000).

PAGE 19

_1167745519.doc2 pies} Una dimensin: Longitud

Valor

Unidad

Numrico

_1167745796.unknown

_1167745615.unknown