Modulo 3 de_A_y_T

37Álgebra y trigonometría

Introducción

En este módulo se estudiarán progresiones. Una progresión es una lista de núme-

ros que siguen una ley general de formación. Según como sea esa ley, las

progresiones que se verán serán aritméticas o geométricas. Se verá cómo estas

progresiones tienen aplicación en el cálculo de interés compuesto y en el crecimien-

to exponencial de algunos seres vivos.

Objetivos

1. Caracterizar sucesiones de números reales o complejos.

2. Deducir fórmulas compactas para la suma de estas sucesiones.

Preguntas básicas

1. ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una geométrica?

2. ¿Habrá progresiones que sean a la vez aritméticas y geométricas?

3. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre-

sión geométrica?

4. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre-

sión aritmética?

Contenido

3.1 Progresiones aritméticas

3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética

3.2 Progresiones geométricas

3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica

Progresiones aritméticas y geométricas

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Álgebra y trigonometría

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3

Zenón de Elea (s. V a. C.)

Fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea(Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno delos filósofos griegos más importantes de la época y de losmás señalados en la escuela eleática) y, según variosescritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo.

Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariabley que todo movimiento es ilusorio. Era costumbre suyamostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentementese valía de paradojas (expresión o situación que pareceabsurda y sin embargo es razonable), en las que dice quetodo movimiento es un engaño.

Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contrael movimiento se revelan al punto como paradojas y comoauténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa).

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3.1 Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente:

1 2 3 4, , , ,..., ,

na a a a a donde la diferencia entre cualquier par de números consecu-

tivos es siempre constante, es decir, 1n na a d ! para todo n. El término d se llama

diferencia constante.

En la notación anterior se tendrá que:

a1: primer término de la progresión.

d: diferencia común.

n: número de términos.

Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:

1 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., ( 1) .a a d a d a d a n d" " " " Como consecuencia de lo anterior, en

una progresión aritmética en la cual la diferencia común es d y el primer término es

1,a se tiene que el enésimo término se denota por 1 ( 1) .

na a n d! "

Ejemplo 15

La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cual el primer

término es 3 y la diferencia común es 3.

Ejemplo 16

Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ...

Solución

Se tiene que 1a = 10, 3d ! . Se sabe que 1

( 1) .n

a a n d! " En consecuencia, para

n = 12 se tiene que # $ # $12 10 12 1 3 ,a ! " 12

23.a !

Ejemplo 17

Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34, encuentre

el primer término.

Solución

Como 1 ( 1) ,n

a a n d! " se tiene entonces que:

para n = 4, 114 3 .a d! "

para n = 9, 134 8 .a d! "

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que 1 2a ! y d = 4.

Ejemplo 18

Encuentre una progresión aritmética de siete términos cuyo primer término es 1/2 y

cuyo último término es 13/2.

Capítulo 1: Elementos de aritmética

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Àlgebra y trigonometría


Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas

Escuche La paradoja deZenón en su multimedia de

Álgebra y trigonometría

Solución

Se sabe que # $1 1

1, 7, 1 .

2n

a n a a n d! ! ! "

En nuestro caso se tiene que # $13 17 1

2 2d! " . Por tanto, 6 = 6d o sea que

d = 1. De lo anterior se concluye que la progresión aritmética es:

1 3 5 7 9 11 13, , , , , ,

2 2 2 2 2 2 2.

3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética

Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma

1 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., ( 1) ,a a d a d a d a n d" " " " de este modo su suma se expresa

como 1 1 1 1 12 3 ... ( 1) .Sn a a d a d a d a n d! " " " " " " " " " Se puede fácilmen-

te demostrar que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:

# $12 1 .2

n

nS a n d! " % &' (

Demostración

Si Sn denota la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, se

tiene:

) *1 1 1 1( ) ( 2 ) ... ( 1) .

nS a a d a d a n d! " " " " " " "

Si invertimos el orden de la suma anterior, se tiene:

) * ) * ) *1 1 1 1( 1) ( 2) ... .n

S a n d a n d a d a! " " " " " " "

Si se suman las dos igualdades anteriores, se tiene:

) * ) * ) *1 1 12 2 ( 1) 2 ( 1) ... 2 ( 1) .n

S a n d a n d a n d! " " " " " "

Puesto que hay n términos de la forma ) *12 ( 1) ,a n d" podemos decir que:

) *12 2 ( 1)n

S n a n d! + " .

Por lo tanto, ) *12 ( 1)2

n

nS a n d! + " .

Como el enésimo término de una progresión aritmética es 1

( 1) ,n

a a n d! " enton-

ces también 1( ).2

n n

nS a a! + "

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Ejemplo 19

Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 5, 1, 3, 7,

Solución

Se tiene que 1 5, 4, 10.a d n! ! !

# $ # $# $10

102 5 10 1 4

2

130.

S ! , " ,

!

Ejemplo 20

La suma de los primeros 15 términos de una progresión aritmética es 360. Halle el

primer término y la diferencia común si el término de lugar 15 es 39.

Solución

Se sabe que # $1 .2

n n

nS a a! "

Se sabe también que 15 15360, 39.S a! !

# $1

1

1

15 39360 , 15 585 720,

2

9.

aa

a

"! " !

!

Como # $1 1 ,n

a a n d! " entonces 39 9 14 ,d! "

15.

7d !

Ejemplo 21

Encuentre la suma de los enteros impares de 1 hasta 51 inclusive.

Solución

1 1, 2, 51n

a d a! ! ! .

Como # $11 ,

na a n d! " entonces

# $51 1 1 2,

26.

n

n

! " ,

!

Por consiguiente,


# $26

261 51

2

676.

S ! , "

!

3.2 Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una expresión de la forma 1 2 3 4, , , ,...,n

a a a a a y en

donde la razón r de dos términos consecutivos cualesquiera es constante; es decir,

1k

k

ar

a

"! , para 1 ,k n- - es constante.

Hay que notar que como consecuencia de la definición, en toda progresión

geométrica se cumple que 1

1 ,n

na a r

! donden

a es el término situado en el lugar

enésimo.

Ejemplo 22

La sucesión 4, 12, 36, 108, 324, 972 es una progresión geométrica que consta de seis

términos.

Ejemplo 23

Dada una progresión geométrica donde r = 3, 1 2a ! , halle el quinto término.

Solución

Si en la fórmula en que 1

1

n

na a r

! se toma 12a ! , r = 3, n = 5, se tiene que

5 162.a !

Ejemplo 24

Si en una progresión geométrica el octavo término es 32 y el quinto es 4, halle los

cuatro primeros términos.

Solución

Se sabe que 1

1.n

na a r

! En consecuencia, se tendrán las siguientes dos ecuaciones:

8 1

132 ,a r

! haciendo n = 8, y

5 1

14 ,a r

! haciendo n = 5.

De las anteriores ecuaciones se tiene que 3 8r ! y, por tanto, r = 2, y reemplazando

este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores se tiene que a1

= 1/4. Por

consiguiente, los primeros cuatro términos de la progresión son: 1/4, 1/2, 1, 2.


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3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica

Dada una progresión geométrica con n términos de la forma

2 3 1

1 1 1 1 1, , , ,..., ,n

a a r a r a r a r la suma que se denota por Sn viene dada por

2 3 1

1 1 1 1 1... .n

nS a a r a r a r a r

! " " " "

Se puede demostrar fácilmente que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:

1(1 )

,1

n

n

a rS

r

!

con 1.r .

Demostración

Si Sn denota la suma de los n términos de una progresión geométrica, se tiene que:

2 1

1 1 1 1... n

nS a a r a r a r

! " " " "

y por tanto:

2 3

1 1 1 1... .n

nrS a r a r a r a r! " " " "

Restando miembro a miembro, se tiene:

1 1

11

,

(1 )(1 ) (1 ), .

1

n

n n

n

n

n n

S rS a a r

a rr S a r S

r

!

! !

Como el enésimo término de una progresión geométrica viene dado por 1

1

n

na a r

!

con 2,n / entonces también 1 1 .1

n

n

a a rS

r

!

1

1 1

1

1

.1

n

n

n

a ra rS

r

a ra

r

!

!

Cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1, es decir, 1,r 0 se puede

demostrar que la «suma» de los infinitos términos de una proyección geométrica de

este tipo viene dada por 1 .

1n

aS

r!

Ejemplo 25

Halle la suma de los 7 primeros términos de la sucesión 5, 10, 20,

La progresión es geométrica con 5, 2 y 7.a r n! ! !



# $# $# $

7

7

5 1 2215.

1 2S

, ! !

Ejemplo 26

Halle la suma de una progresión geométrica en la cual el primer término es 4, el

ultimo término es 1

8y la razón común es

1.

2

Solución

1

1

1 14, , .

8 2

1 14

638 2.

11 81

2

n

n

n

a a r

a raS

r

! ! !

1 2 ,3 4 5 6! ! !

Ejemplo 27

Divida el número 195 en tres partes que formen una progresión geométrica cuyo

tercer término exceda al primero en 120.

Solución

Sea x el primer término y r la razón común de la progresión.

Se debe cumplir que:

2

2

195,

120.

x xr xr

xr x

" " !

! "

De la segunda ecuación se tiene:

# $2

2

1201 120, .

1x r x

r ! !

Por tanto,

2

2 2 2

120 120 120195.

1 1 1

r r

r r r" " !

Simplificando se obtiene que 2 7

5 8 21 0, 3, 5

r r r r ! ! ! y por tanto

15, 125.x x! ! Así: 15, 45, 135 y 125, 175, 245 son progresiones geométricas

que cumplen estas posibilidades.


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