Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos

7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos

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“Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas

Biológicos”



I. INTRODUCCION

La belleza de las formas naturales y las formas intrincadas, estructuras en los

seres vivos han sido una fuente de asombro para los filósofos de la naturaleza

mucho antes de nuestro tiempo. Las formas de los seres vivos fueron utilizadas

desde la antigüedad como un medio de clasificar las relaciones entre los

organismos. El estudio de fenómenos que son la base de tales formas, aunque

más reciente, también se remonta a siglos anteriores.

En los ltimos tiempos el énfasis ha cambiado un poco en nuestro estudio de

desarrollo, la diferenciación y la morfogénesis de los seres vivos. !emos

llegado a reconocer que las formas de los organismos, as" como los modelos

de sus ho#as, abrigos, o escalas, surgen por procesos dinámicos comple#os que

abarcan muchos niveles de la organización, desde el subcelular hasta la

totalidad del individuo. $ientras el entendimiento detallado es incompleto,

algunos conceptos generales son ahora reconocidos como principios

subyacentes.

En primer lugar, en algn nivel, las formas de los organismos están

determinadas genéticamente. En segundo lugar, la forma final, el dise%o, o la

estructura es generalmente el resultado de mltiples etapas de desarrollo, cada

uno de ellos implica una variedad de influencias, intermedios y productos

qu"micos o factores f"sicos. & tercer lugar, durante el desarrollo son a veces

debido a cambios bastantes graduales que culminan en transiciones bruscas.

'or ltimo, las influencias ambientales y las interacciones con otrosorganismos, células o sustancias qu"micas pueden desempe%ar funciones no

triviales en el desarrollo. E(isten numerosas teor"as a#enas y modelos para la

diferenciación y la morfogénesis, as" como hay muchos aspectos a los

fenómenos. En lugar de tratar de generalidades, la discusión se basará en dos

modelos muy interesantes para el desarrollo y la morfogénesis que son de la

invención reciente.

En el primer modelo nos concentramos en el fenómeno de agregación, un

aspecto espec"fico de un sistema de desarrollo inusualmente curioso, los



mohos mucilaginosos celulares. )na ecuación diferencial parcial *'+E modelo

debido a -eller y egel. e presenta a continuación un segundo tema, el de

qu"micos morfógenos. La teor"a *debido a /$ 0uring tiene menos de 12 a%os,

pero se presenta como una de las nicas contribuciones más importantes de

las matemáticas ha hecho al ámbito de la biolog"a del desarrollo.

Los modelos presentados aqu" son e#emplos de una visión genuina que la

matemática puede contribuir a la biolog"a. Estos estudios de caso apuntan a

cuestiones fundamentales que ser"a dif"cil, si no imposible resolverse basado

en argumentos verbales e intuición biológica sola. Estos e#emplos refuerzan la

creencia que la teor"a puede tener un papel importante para #ugar en las

ciencias biológicas.



II. MARCO TEORICO

II.1. Moho mucilaginoso celular

Los mohos mucilaginosos son particularmente fascinantes criaturas que

ofrecen un e#emplo e(tremo de 3doble personalidad3. En su estado natal una

población moho de fango puede consistir en cientos o miles de células

ameboides unicelulares. 4ada uno de ellos se mueve de forma independiente y

se alimenta de bacterias mediante fagocitosis. !ay muchas especies de

hongos mucilaginosos se encuentran comnmente en el suelo5 uno de los más

estudiados con mayor frecuencia es discoideum +ictyostelium.

4uando el alimento se hace escaso, las amebas entran en una fase de hambre

y una interesante secuencia de acontecimientos se produce. En primer lugar,

una distribución uniforme de células inicialmente se desarrolla lo que parecen

ser los centros de organización llamado sitios de agregación. Las células se

sienten atra"dos por estos loci y se mueven hacia ellos, a menudo de una

manera pulsátil, en forma de onda. Los contactos comienzan a formarse entre

vecinos, y las corrientes de células convergen en un solo sitio, formando unamasa multicelular sin forma. El agregado sufre contorsiones curiosas en los

que su forma cambia varias veces. +urante un tiempo se toma la apariencia de

una babosa en miniatura que se mueve de una forma caracter"stica. Las

células que forman la parte delantera se convierten en algo diferente

bioqu"micamente de sus colegas en la parte trasera. &a se ha producido un

proceso de diferenciación5 si se de#a sin ser molestados los dos tipos de células

*llamado prespore y prestal6 tendrá suertes muy distintas7 las células

anteriores se convierten en células tallo mientras que las células posteriores se

convierten en esporas.

En esta etapa la diferenciación de la masa multicelular es an reversible. )na

fascinante serie de e(perimentos *véase el recuadro en la ección 88.9 se ha

llevado a cabo para demostrar que la relación de los dos tipos de células se

autorregula5 i una parte de la babosa se escinde, algunas de las células

cambian su tipo aparente a fin de preservar la proporción adecuada.



La colección babosa de células e#ecuta un movimiento de rastreo5 comprensión

del mecanismo subyacente apenas comienza a surgir *véase :dell y ;onner,

8<=>. / continuación, lleva a cabo una secuencia de formas, incluyendo la de

un domo. 4omo culminación de esta incre"ble secuencia de eventos, streaming

de celular se aseme#a a una 3fuente inversa3 trae todas las células prestal6

alrededor del e(terior y hacia aba#o a través del centro de la masa. El resultado

es un delgado tallo, bellamente esculpida que lleva una cápsula de esporas

lleno en su parte superior. 4on el fin de proporcionar una base estructural

r"gida, las células tallo endurecer y finalmente mueren. Las células de esporas

son por lo tanto cuentan con una oportunidad de sobrevivir a las durascondiciones, para ser dispersados por las corrientes de aire, y propagar as" las

especies en ambientes más favorables. +ado que las células del moho de

fango individuo no se reproducen después de la aparición de la agregación,

siempre hay alguna fracción de la población que está destinado a morir como

parte del material estructural. *!ay una tendencia natural a ver esta

antropomórficamente como un e#emplo de auto?sacrificio por el interés del

grupo.

$oldes del limo tienen fascinado a los biólogos durante décadas, no sólo por

su incre"ble repertorio, sino también debido a su sistema de desarrollo de fácil

acceso y maleable. !ay muchas preguntas intrigantes que deben abordarse en

la comprensión de la conducta social complicada de esta población de

organismos relativamente primitivas. 'ara esbozar sólo algunas preguntas

teóricas, tenga en cuenta7

8. @Aué hace que las células de agregar, y cómo las células 3sabe3 dónde

debe formar un centro de agregaciónB

C. @Aué mecanismos subyacen movimiento en la babosaB

9. Aué determina el compromiso preespora?prestal6, y cómo se controla la

relaciónB *Este es un problema de la regulación del tama%o en un patrón.

1. @4ómo se ordenan las células de modo que las células prestal6 y preespora

caen en lugares apropiados en la estructuraB



D. @Aué fuerzas conducen a la formación de una variedad de formas,

incluyendo la de la sporangiophore final *la estructura de soporte de esporasB

igura 88.8 ciclo de vida del discoideum +ictyostelium moho de fango que

muestra la secuencia de eventos que conducen a la formación del tallo de la

espora?transporte, el esporangióforo.

i bien la literatura teórica se ocupa de estas cuestiones, vamos a abordar sólo

el primero de ellos. *:tros temas son e(celentes materiales para el estudio

independiente avanzado. 0al vez entiende me#or hasta la fecha, el proceso de

agregación se ha analizado con bastante é(ito por -eller y egel *8<F2 en un

modelo matemático que lleva a una apreciación más fundamental de esta

etapa clave en la cadena más larga de los acontecimientos.

+urante muchos a%os se ha sabido que estas amebas secretan una sustancia

qu"mica que atrae a otras células. Gnicialmente llamado acrasin, se identificó

posteriormente como /$' c"clico *c/$', una molécula ubicua cuya función es



la de un mensa#ero intracelular. Las células también secretan la

fosfodiesterasa, una enzima que degrada el /$'c. la secreción de c/$' es

autocatal"tica en el sentido de que c/$' e(tracelular libre promueve an más

la secreción c/$' por una cadena de reacciones enzimáticas *en la que una

enzima unida a la membrana, la adenilato ciclasa, está implicada. El sistema

molecular se ha estudiado con cierta profundidad. 'ara dar un modelo m"nimo

para la fase de agregación, -eller y egel *8<F2 hicieron una serie de

supuestos simplificadores7

8. Las células individuales se someten a una combinación de movimiento

aleatorio y la quimiota(is hacia c/$'.

C. Las células morir ni dividan durante la agregación.

9. El c/$' atrayente se produce a una tasa constante por cada célula.

1. La velocidad de degradación de /$'c depende linealmente de su

concentración.

D. c/$' difunde pasivamente sobre el campo de agregación.



igura 88.C )nidos en la agregación de una distribución inicial uniforme de los

moldes de limo *cada punto representa una célula. H+e ;anner, I. 0. *8<F1. En

+esarrollo5 la biolog"a de la forma. ig. 9<, reimpreso con el permiso de

!arvard )niversity 'ress, 4ambridge, $ass., ig. 9<.

+e esta lista, sólo suposiciones 9 y 1 son simplificaciones drásticas.

Estos supuestos conducen al siguiente con#unto de ecuaciones, se da aqu"

para un dominio unidimensional7



+onde7

a*(,tJ densidad de celulares limo molde amebas por unidad de área en *(, t,

c*(,tJ concentración de c/$' *por unidad de área en *(, t,

IJflu#o

'or los resultados del cap"tulo <, los supuestos apropiados para quimiotáctica y

para el plomo movimiento aleatorio al flu#o términos que pueden ser

incorporados en estas ecuaciones5 entonces obtenemos lo siguiente7

+onde

u J motilidad ameboide,

K J coeficiente quimiotáctica,

+ J tasa de difusión de c/$',

f J tasa de secreción de /$'c por unidad de densidad de amebas,

6 J velocidad de degradación de c/$' en el entorno.

Las cantidades u, (, f, 6 pueden depender, en principio, en densidades

celulares y concentraciones qu"micas, pero para un primer paso que se supone

que son parámetros constantes del sistema.

Estudiaremos este modelo en dos etapas. En primer lugar, nos encontramos

con la solución más simple de las ecuaciones, es decir, una constante desolución en el espacio y el tiempo. Esto se denomina el estado estacionario



homogéneo. / continuación, vamos a e(aminar sus propiedades de estabilidad

y por lo tanto abordar la cuestión de la agregación.

11.2 ESTADOS ESTABLES OMO!"NEOS # $ERTURBACIONES NO

OMO!"NEOS

)n estado estable homogénea de un modelo de '+E es una solución que es

constante en el espacio y en el tiempo. 'ara las ecuaciones *C este tipo de

soluciones deben entonces satisfacer la siguiente7

donde7

/hora sustituir estos en las ecuaciones *Ca, b. :bserve que, dado que todos

los derivados son cero, se obtiene

En el estado estacionario homogéneo debe seguir ese

Esto significa que en cada ubicación de la cantidad de c/$' degradada

por unidad de tiempo coincide con la cantidad secretada por las células por

unidad de tiempo.

Es de interés para determinar si tales estados estacionarios son

estables. /l igual que antes, se analizan las propiedades de estabilidad,

considerando el efecto de peque%as perturbaciones. in embargo, un poco

novel.feature del problema a ser e(plotado es su dependencia espacial. 'ara

determinar si la agregación de los moldes de limo es probable que comience,



debemos mirar *también llamados no homogéneos perturbaciones

espacialmente no uniformes, y e(plorar si estos se amplifican o atenan.

i se produce una amplificación, a continuación, una situación cercana al

estado estacionario espacialmente uniforme desestabilizará, dando lugar a un

nuevo estado en el que predominan las variaciones espaciales. -eller y egel

*8<F2 identificaron la aparición de agregación con un proceso de

desestabilización. 4omenzando cerca de / y 4 tomamos nuestras

distribuciones ser

donde / y 4 son peque%os. En preparación, reescribimos *C en forma

ampliada

En esta forma las ecuaciones *>a, b contienen dos términos no lineales entre

paréntesis. *0odos los demás términos no contienen mltiplos o funciones no

lineales de las variables dependientes. in embargo, el hecho de que a y c

son peque%os permisos nosotros de#emos los términos no lineales. 'ara ver

esto, sustituto *Da, b en *>a, b y ampliar. Luego, utilizando el hecho de que a y

c son constantes y uniformes llegamos a las siguientes ecuaciones7



Los términos *+a M d( *;c M d( y adCc M +KC son cuadrática en las

perturbaciones o sus derivados y en consecuencia son de magnitud menor que

otros términos, siempre a y c y sus derivados son peque%as *ver problema 8.

/hora volvemos a escribir las ecuaciones apro(imadas7

0enga en cuenta que ahora son lineales en las cantidades a y c. obre la base

de una similitud con la ecuación de difusión se discutió en el cap"tulo anterior,

vamos a construir soluciones a las ecuaciones *=a, b a partir de las funciones

básicas comen cos q( y em q( pecado. in tratar de hacer frente en su

totalidad generalidad restringimos nuestra atención a las siguientes

posibilidades7

i bien esta suposición bastante especial puede parecer a primera vista

sorprendente, tiene sentido por varias razones.

8. Las funciones que aparecen como factores en las ecuaciones *<a, b están

relacionados con sus propias derivadas parciales primero y segundo *con

respecto al tiempo y el espacio, respectivamente. Estas funciones son por lo

tanto buenos candidatos para soluciones a las ecuaciones, tales como *= en el

que aparecen dt dC M d(C y d M. *+e hecho, este tipo de funciones, se mostró a

aparecer en lugar de forma natural en el cap"tulo <, donde nos encontramos

con sus partes espaciales como funciones propias del operador de difusión.

C. La dependencia espacial de 4: q( es la de una función con má(imos y

m"nimos?precisamente descriptivo de un campo de agregación donde hay

agotamiento de las células en algunos lugares y la acumulación en otros.



9. $ás tarde nos consideran e(pl"citamente el efecto del tama%o de dominio y

las condiciones de contorno en el proceso de agregación. Nimos en la ección

<.= que por fronteras impermeables, las funciones propias cos q( *donde el

nmero de onda q está adecuadamente definido es apropiado. Esto pronto se

discutirá con más detalle.

1. La dependencia del tiempo de *<a, b, e 3ser"a adecuado para aumentar o

disminuir las perturbaciones. Es hasta el análisis para determinar si crO 2 *es

decir, la inestabilidad del estado uniforme es compatible con el modelo.

D. En un e#emplo realista dado, a *(, t y c *(, t podr"a tener formas espaciales

más complicados. !ay, pues, un teorema *llamado el teorema de ourierP

análoga a la del /péndice del 4ap"tulo <, lo que garantiza que la forma

funcional espacial de las perturbaciones se puede e(presar como una suma

infinita de los cosenos. *Esta e(pansión se llama un coseno de ourier serie.

'ara simplificar, no son más que aislar un componente en *<. 'uesto que las

ecuaciones apro(imadas *=a, b son lineales, siempre es posible construir

soluciones generales de superposiciones lineales de otras más simples.

'erseguir las consecuencias de las hipótesis *< para las perturbaciones, que

sustituye *< en *= y diferenciar. Esto lleva a

)n factor de e Q e cos q( se puede cancelar para obtener un par de ecuaciones

en / y 47

/s" las ecuaciones *<a, b constituyen de hecho una solución de *=a, b,

siempre que las ecuaciones algebraicas *8 la, b están satisfechos. )na forma

de resolver estos trivial es establecer / J 4 J 2. *Esto es, de hecho, la nica

solución a menos que las ecuaciones son redundantes. 'ero esto no es lo que

queremos ya que significa que las perturbaciones a y c son idénticamente ceropara todo t. 'ara estudiar las perturbaciones no nulos que es esencial contar



con un 2 J R 2 y 4 J R5 la nica manera esto puede lograrse es mediante el

establecimiento el determinante de ecuaciones *LL/, b igual a cero7

La ecuación resultante para a? es entonces.

o, después de la reordenación de los términos, la ecuación cuadrática en cr7

dónde

/hora podemos abordar la cuestión de si la tasa de crecimiento Sr de las

perturbaciones nunca pueden tener una parte real positiva *Te aO 2. 'rimera

nota que los dos posibles ra"ces de *81a son7

ormulario *81b se observa que #= es siempre positivo, por lo que siempre hayuna ra"z cuya parte real es negativo. 'ara que la segunda ra"z de tener una

parte real positiva por lo que es necesario que el valor de y dado por *81 c sea

negativa Hvéase problema *leP7

4ondición para la agregación de celular limo moldes



*Uota7 Esto también implica que tanto a y c son nmeros reales. En estas

condiciones podemos concluir que la distribución de células homogénea es

inestable a las perturbaciones de la forma *< y que la población uniforme

comenzaremos a agregar.

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