INGENIERIA DE CONTROL II INGENIERIA MECANICA ELECTRICA

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SISTEMAS DE CONTROL Y MODELAMIENTO MATEMATICO

INTRODUCCIN. Qu es un sistema? Se puede pensar en un sistema como una caja negra que tiene una entrada y

una salida. Se considera en realidad una caja negra debido a que en realidad no es importante que

tiene dentro, sino la relacin entre la salida y la entrada. Este sistema es de control si la salida se

controla de modo que pueda adoptar un valor o cambio en particular de alguna manera definida.

As, para controlar la temperatura en un recinto a un valor especifico, se disea un sistema de

control de calefaccin central, mientras que una mquina herramienta se puede controlar para

seguir una trayectoria dada.

SISTEMAS. Un sistema de control es un conjunto de dispositivos encargados de administrar, ordenar, dirigir

o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de fallo y

obtener los resultados deseados. Por lo general, se usan sistemas de control industrial en procesos

de produccin industriales para controlar equipos o mquinas.

Existen dos clases comunes de sistemas de control, sistemas de lazo abierto y sistemas de lazo

cerrado. En los sistemas de control de lazo abierto la salida se genera dependiendo de la entrada;

mientras que en los sistemas de lazo cerrado la salida depende de las consideraciones y

correcciones realizadas por la retroalimentacin. Un sistema de lazo cerrado es llamado tambin

sistema de control con realimentacin. Los sistemas de control ms modernos en ingeniera

automatizan procesos en base a muchos parmetros y reciben el nombre de controladores de

automatizacin programables (PAC).

Qu es un sistema de Control?

Un sistema dinmico puede definirse conceptualmente como un ente que recibe unas acciones

externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas acciones externas son las denominadas

variables de salida.

Las acciones externas al sistema se dividen en dos grupos, variables de control, que se pueden

manipular, y perturbaciones sobre las que no es posible ningn tipo de control. La Figura ilustra

de un modo conceptual el funcionamiento de un sistema.

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Dentro de los sistemas se encuentra el concepto de sistema de control. Un sistema de control es

un tipo de sistema que se caracteriza por la presencia de una serie de elementos que permiten

influir en el funcionamiento del sistema. La finalidad de un sistema de control es conseguir,

mediante la manipulacin de las variables de control, un dominio sobre las variables de salida, de

modo que estas alcancen unos valores prefijados (consigna).

Un sistema de control ideal debe ser capaz de conseguir su objetivo cumpliendo los siguientes

requisitos:

1. Garantizar la estabilidad y, particularmente, ser robusto frente a perturbaciones y errores en los modelos.

2. Ser tan eficiente como sea posible, segn un criterio preestablecido. 3. Normalmente este criterio consiste en que la accin de control sobre las variables de

entrada sea realizable, evitando comportamientos bruscos e irreales.

4. Ser fcilmente implementable y cmodo de operar en tiempo real con ayuda de un ordenador.

SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO Y CERRADO

SISTEMA DE CONTROL EN LAZO ABIERTO

En un sistema de lazo abierto la entrada se elige en base a la experiencia que se tiene con dichos

sistemas para producir el valor de salida requerido. Esta salida, sin embargo, no se ve modificada

por el cambio de las condiciones de operacin externas. As por ejemplo, un calefactor elctrico

puede tener una seleccin que permita elegir una disipacin en el elemento calefactor de 1kw o

2kw. De este modo, la seal de entrada al sistema, est determinada por la posicin del selector, ya sea en 1kw o en 2kw. La temperatura producida en habitacin acondicionada por el

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calefactor, depende nicamente de la seleccin del nivel de disipacin del calefactor. Si se

presentan cambios en las condiciones de operacin, quiz alguien abre una ventana, la

temperatura en la habitacin cambiar debido a que no hay modo de que el calor de salida se

ajuste para compensar dicha condicin.

SISTEMA DE CONTROL EN LAZO CERRADO

Con un sistema de control en lazo cerrado se tiene una seal de realimentacin hacia la entrada desde la salida, la cual se utiliza para modificar la entrada de modo que la salida

se mantenga constante a pesar de los cambios en las condiciones de operacin.

El sistema de calefaccin anterior. Se podra convertir en un sistema de lazo cerrado si le aadimos un sistema de medicin de temperatura a la salida del sistema y un sistema de

comparacin a la entrada del sistema.

ELEMENTOS BSICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL EN LAZO ABIERTO

ENTRADA SALIDA

SEAL DE TEMPERATURA TEMPERATURA

REQUERIDA

CALEFACTOR

ELCTRICO

CALEFACTOR ELECTRICO

MEDICION DE

TEMPERATURA

SALIDA

COMPARACION ENTRE

LAS TEMPERATURAS

REAL Y REQUERIDA

ENTRADA

SEAL DE

TEMPERATURA

REQUERIDA

SEAL DE

REALIMENTACION

RELACIONADA CON LA

TEMPERATURA REAL

TEMPERA

TURA

ENTRADA QUE DEPPENDE

DE LA DIFERENCIA ENTRE

LAS TEMPERATURAS

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ELEMENTO DE CONTROL. Este elemento determina qu accin se va a tomar dada una entrada al sistema de control.

ELEMENTO DE CORRECCIN. Este elemento responde a la entrada que viene del elemento de control e inicia la accin para producir el cambio en la variable controlada al

valor requerido.

PROCESO. El proceso o planta es el sistema en el que se va a controlar la variable.

ELEMENTOS BSICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL EN LAZO CERRADO

ELEMENTO DE COMPARACIN. Este elemento compara el valor requerido o de referencia de la variable por controlar con el valor medio de lo que se obtiene a la salida y

produce una seal de error, la cual indica la diferencia del valor obtenido a la salida y el

valor requerido.

ELEMENTO DE CONTROL. este elemento decide que accin tomar cuando recibe una seal de error.

ELEMENTYO DE CORTRECCION. este elemento se utiliza al producir un cambio en el proceso al eliminar el error.

ELEMENTO DE PROCESO. Es el sistema donde se va a controlar la variable

ELEMENTO DE MEDICION. Este elemento produce una seal relacionada con la condicin de la variable controlada.

MODELO MATEMATICO

Es una expresin que permite representar el comportamiento de un proceso fsico en funcin de

las variables que intervienen en dicho proceso.

La aplicacin de las Leyes que rigen los procesos generan modelos matemticos basados en

Ecuaciones Diferenciales (E.D)

2.1 Modelado matemtico

Con la finalidad de no operar con dispositivos (electromecnicos, hidrulicos, neumticos, electrnicos,

etc.) o componentes fsicos, se les reemplaza por sus modelos matemticos.

Un modelo matemtico debe representar los aspectos esenciales de un componente fsico. Las

predicciones sobre el comportamiento de un sistema basadas en el modelo matemtico deben ser

bastantes precisas. Se utilizan ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo, funciones de

transferencia y ecuaciones de estado, para modelos matemticos de SLIT y de tiempo continuo.

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Aunque las relaciones entrada- salida de muchos componentes son no-lineales, normalmente esas

relaciones se linealizan en la vecindad de los puntos de operacin, limitando el rango de las variables a

valores pequeos.

II.1. Descripcin interna / externa: Modelo de estado.

El modelo de espacio de estados es una opcin para la representacin matemtica ya que es de extenso

uso en teora de sistemas y control.

El mtodo de FDT solo es vlido para los SLIT, mientras que las ecuaciones de estado, que son

ecuaciones diferenciales de primer orden pueden utilizarse para describir tanto sistemas lineales como

no lineales.

El estado de un sistema se refiere a las condiciones pasadas, presentes y futuras del mismo.

Para describir las caractersticas dinmicas de un sistema es conveniente definir un conjunto de

variables de estado txtxtx n,,, 21 y ecuaciones de estado txtxtx n ,,, 21 .

Las variables de estado deben satisfacer las siguientes condiciones:

1. En cualquier momento t = t0 , las variables 00201 ,,, txtxtx n definen los estados iniciales

del sistema en el tiempo inicial seleccionado.

2. Una vez que se especifican las entradas al sistema para t t0 y se definen los estados iniciales

como se acaba de describir, las variables de estado deben definir totalmente el comportamiento

futuro del sistema.

Definicin:

Variables de estado: Son un conjunto mnimo de variables x1(t), x2(t),xn(t) tal que

su conocimiento en t = to y la entrada para tt0, caracterizan el comportamiento del sistema para tt0.

Ejemplo: Dado el siguiente sistema, representarlo en variables de estado.

Sistema

Planta

u(t)

U(s)

y(t)

Y(s)

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6

tuyydt

dy

dt

d3623

2

2

3

3

uyyy 36''2'''3

13

...

3

...

3

3

..

2

..

2

2

.

11

23

2xxuyxyx

xyxyx

xyxyx

Cxy

BuAxx

.

3x 2x 1x

3x 2x 1x

3

2

1

3

2

1

.

3

2

.

.

1

001

1

0

0

3

202

100

010

x

x

x

y

u

x

x

x

x

x

x

Las ecuaciones diferenciales de primer orden, llamadas ecuaciones de estado, pueden expresarse de

manera conveniente en forma matricial.

DuCxy

BuAxx

.

3

2 2

3

Y(s)

2

U(s) s-1 s-1 X(s)

Diagrama de lazo

s-1 1

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En general para un sistema lineal de orden n para el que hay n variables de estado, n ecuaciones de

estado y p entradas, se tiene:

A

B C

D

U Y

xx

donde: x = Vector de estado, formado por una matriz columna de (n x 1)

A = Matriz del sistema (n x n)

B = Matriz de entrada (n x p)

C = Matriz de salida (1 x n)

u = Vector de entrada (p x 1)

La representacin anterior se generaliza para sistemas MIMO.

A un sistema coordenado n dimensional donde las coordenadas son las variables de estado se le llama

espacio de estados.

DESCRIPCIN INTERNA/ EXTERNA.

VARIABLES EXTERNAS := { Entradas, Salidas }

VARIABLES INTERNAS = VARIABLES DEPENDIENTES

las variables internas pueden ser variables externas: p. ej. las salidas son variables internas y externas

a la vez.

VARIABLES DE ESTADO - versin ecuaciones diferenciales

Conjunto de variables internas cuyo valor en un instante t0 es suficiente para calcular cualquier otra

variable interna en t t0 (conjuntamente con las seales u[t0, t] ).

ECUACIONES DE ESTADO: CONCENTRAN LA DINMICA.

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ECUACIONES DE SALIDA : ECUACIONES ESTTICAS.

MODELO EN EL ESPACIO DE ESTADOS (tiempo continuo)

Ecuacin (Vectorial) de Estado: ttutxftx ,,

Ecuacin (Vectorial) de Salida: ttutxgty ,,

x(t): Vector de Estado, n-dimensional

u(t): Vector de Entrada, m-dimensional

y(t):Vector de Salida, p-dimensional

Por componentes:

ttututxtxftx mn ,,,,,, 1111 ttututxtxgty mn ,,,,,, 1111

ttututxtxftx mn ,,,,,, 1122 ttututxtxgty mn ,,,,,, 1122

. .

. .

. .

ttututxtxftx mnnn ,,,,,, 11 ttututxtxgty mnpp ,,,,,, 11

La notacin anterior permite describir modelos alineales ( f y g alineales en x y/o u ) e inestacionarios (la

dependencia directa de f y g respecto del tiempo permite representar la presencia de parmetros

variables). El modelo estacionario y alineal:

tutxftx ,

tutxgty ,

Si las funciones f y g son lineales en x y u el modelo se dice Lineal y se escribe:

tutBtxtAtx

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tutDtxtCty Para el caso inestacionario

donde A(t),B(t),C(t),D(t) son matrices reales de dimensiones:

A: n x n

B: n x m

C: p x n

D: p x m

El modelo es Lineal y Estacionario sii estas matrices son independientes del tiempo .

PROCEDIMIENTO DE MODELADO DEL ESTADO

A partir del modelo fsico de un sistema dinmico, se utiliza el siguiente mtodo para derivar el modelo

de estado:

1. Realizar una descomposicin del sistema. Identificar componentes: trazando diagramas de

cuerpo libre, mostrar todas las variables, entradas, interacciones, convencin de signos,

elementos separados dinmicos y estticos, y escribir las relaciones que rigen el

comportamiento de cada elemento.

2. Asignar variables de estado; a los componentes dinmicos como primer intento.

3. Escribir la ecuacin de estado para cada variable independiente de estado. Utilizar las relaciones

del paso 1 y cualquier otra relacin adicional entre variables. Usar el formato para las

ecuaciones de estado.

4. Con base en las consideraciones de los objetivos del modelo, escriba las ecuaciones de salida y/o

modifique las ecuaciones de estado. Especificar lo que constituye el modelo final del sistema.

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MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS ELECTRICOS

El primer paso para el diseo de un sistema de control consiste en obtener ecuaciones

Diferenciales para todas aquellas partes del sistema que no varan. Comnmente, los

componentes de un sistema de control incluyen elementos elctricos, electrnicos, mecnicos y

electromecnicos. Este apartado intenta proporcionar una breve resea de las ecuaciones que

caracterizan a algunos de los componentes comunes del sistema de control y sus conexiones.

Muchos otros tipos de elementos menos comunes, hidrulicos, trmicos, neumticos, biolgicos

y qumicos. Pueden, en determinado momento, integrarse tambin en un sistema de control. Este

apartado intenta proporcionar una breve resea de las ecuaciones que caracterizan a algunos de

los componentes comunes del sistema de control y sus conexiones.

Muchos otros tipos de elementos menos comunes, hidrulicos, trmicos, neumticos, biolgicos

y qumicos. Pueden, en determinado momento, integrarse tambin en un sistema de control.

Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos elctricos son las leyes de corrientes y

voltajes de Kirchhoff. Esta seccin trata primero los circuitos elctricos sencillos y despus

presenta el modelado matemtico de sistemas con amplificadores operacionales.

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Un modelo mediante la funcin de transferencia del circuito tambin se obtiene del modo

siguiente. Se toma la transformada de Laplace de las ecuaciones suponen condiciones iniciales

iguales a cero, para obtener

Si se supone que ei es la entrada y eo la salida, la funcin de transferencia de este sistema

resulta ser

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Modelado Matemtico de sistemas mecnicos

Introduccin

Para el estudio de los sistemas de control es necesario conocer el comportamiento de los

elementos que eventualmente pueden formar parte de un sistema a controlar y del sistema de

control. Este comportamiento se puede expresar en forma de un modelo matemtico.

Se conoce como modelo matemtico a las expresiones que representan el comportamiento

dinmico de un sistema.

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El estudio dinmico consiste entonces en determinar analticamente la respuesta (salida) cuando

la entrada experimenta una variacin en el tiempo.

Los modelos matemticos de los sistemas fsicos son ecuaciones diferenciales, que pueden ser

ordinarias para los sistemas a parmetros concentrados o parciales para los sistemas distribuidos.

Estas ecuaciones diferenciales.

Pueden ser lineales o no lineales segn el rango de funcionamiento en el cual se quiere estudiar

al sistema.

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BIBLIOGRAFIA

Dinmica de sistemas y control, Eronini Umez-Eronini, Mxico: Thomson Learning, 2001, ISBN

970686041X

Dinmica de sistemas, Katsuhiko Ogata, Mxico: Prentice Hall, 1987, ISBN 968-880-074-0

Ingeniera de control moderna, Katsuhiko Ogata, Cuarta edicin, Mxico: Prentice Hall, 2003.

Sistemas de control en ingeniera, Paul H., Clang Yang, Espaa: Prentice Hall, 1999.

Sistemas de control automtico, Bemjamin C. Kuo, Mxico: Prentice Hall Hispanoamericana,

1996.