Modelos Matemáticos Sistemas de Control

Modelos matemáticos de

sistemas dinámicos

Alain Gauthier

[email protected]

Modelos de Sistemas Lineales Continuos Caso Monovariable

x

Estado

y

Salida

u

Entrada

Ecuación Diferencial: Función de Transferencia: Ecuaciones de Estado:

Sistemas físicos reales: n ≥ m u(t) y y(t) son escalares

x(t) : vector dimensión n

ububub

yayaya

m

m

n

n

01

01

...

...

n

n

m

m

sasaa

sbsbb

sU

sY

...

...

)(

)(

10

10

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

Ecuación característica: Fundamental para el estudio de un

sistema, se deduce de cualquiera de los modelos y se presenta

de la forma:

n

naaaP ...)( 10 )det()( AIP

Ecuación Diferencial: Función de Transferencia: Ecuaciones de Estado:

Ecuación característica de la

ecuación diferencial

Denominador de la función de

transferencia

Polinomio característico

de la matriz A

n = Grado de polinomio característico

= orden del sistema

Raíces de la ecuación característica = Polos de la función de transferencia

= Valores propios de A = Modos del sistema

n

nsasaasP ...)( 10

Modelos matemáticos

Relación entre los diferentes modelos

Ecuación

diferencial

Función de

Transferencia

Ecuaciones

de Estado

Varios

métodos

Modelos

únicos

x=Mx*

Transformación

de similaridad

Múltiples modelos

Multiplicidad del

vector de estados

Transformada

de

Laplace

DBAsICsG 1)()(

Representación de Estado

Sistema Lineal e Invariable en el tiempo

111

111

)()()(

)()()(

rrmnnmm

rrnnnnn

tuDtxCty

tuBtxAtx

x(t) Vector de estado

u(t) Vector de entradas

y(t) Vector de salidas

A Matriz de estado

B Matriz de entradas

C Matriz de salidas

D Matriz de acoplamiento directo entrada/salida

Relación con Función de Transferencia

)()()0()()( 11 sBUAsIxAsIsX

)(])([)0()()( 11 sUDBAsICxAsICsY

Para definir la función de transferencia se necesita x(0)=0:

DBAsICsU

sYsG 1)(

)(

)()(

Representación de Estado a Función de transferencia

Función de Transferencia a Representación de Estado

Existen varios métodos como las formas canónicas, la forma de

Jordan y la forma natural

Ecuación Característica y Valores Propios

0det AsI

Ecuación Característica del Sistema

Las raíces de la ecuación característica son los valores propios

de la matriz A

La ecuación característica y los valores propios son invariantes

bajo una transformación no singular

Función de transferencia y diagramas de bloques

Interés de la función de transferencia:

Trabajo en el dominio de la transformada Laplace.

Uso de los diagramas de bloques.

Relación con los métodos frecuenciales.

Diagramas de bloques:

Se puede representar sistemas complejos mediante la

interconexión de numerosos subsistemas.

Para la reducción de los sistemas complejos se usa algebra de

bloques.

Ejemplo 1: Con base en la siguiente planta de reactores obtener la

función de transferencia que relacione 0

2

A

A

C

C

Dinámicas para cada reactor: 1

1)(

10

11

s

k

C

CsG

A

A

1

2)(

21

22

s

k

C

CsG

A

A

Diagramas de bloques

Topologías

REPRESENTACIÓN EN BLOQUES

CONFIGURACIÓN CASCADA O SERIE

11

21

211

2

0

1

0

2

ss

kk

C

C

C

C

C

C

A

A

A

A

A

A

0AC2AC

)(1 sG )(2 sG)(1 sCA


Topologías

Ejemplo 2: Con base en la siguiente planta de reactores obtener la función de transferencia que relacione la salida de las dos concentraciones en términos de la entrada.

Dinámicas para cada reactor:

1

1)(

10

11

s

k

C

CsG

A

A

1

2)(

21

22

s

k

C

CsG

A

A


Topologías

AC


CONFIGURACIÓN PARALELO

+ +

0AC

2AC

)(1 sG

)(2 sG

)(1 sCA

AC

21

0

2010

21

GGC

C

GCGCC

CCC

A

A

AAA

AAA


Topologías

R(s) C(s) + -


)(1 sG

)(2 sG

21

1

1)(

)(

GG

G

sR

sC

CONFIGURACIÓN REALIMENTADA


Topologías

Fórmula de la Ganancia de Mason La formula general de la ganancia de MASON para grafos de

flujo de la señal es:

N

k

kk

ent

salM

y

yM

1

Donde:

M = ganancia entre yent y ysal

ysal = variable de un nodo de salida

yent = variable de un nodo de entrada

N = numero total de trayectos directos

Mk = ganancia del trayecto directo k

... m

mm

mm

mPPP

3211

Pmr = producto de las ganancias de la combinación

posible m de r lazos que no se toquen

Fórmula de la Ganancia de Mason

Se dice que dos partes de un grafo de flujo de señal no se tocan

cuando no tienen un nodo común.

∆ = 1 – (suma de todas las ganancias de lazos individuales) +

(suma de los productos de las ganancias de todas las

combinaciones posibles de dos lazos que no se toquen) -

suma de los productos de las ganancias de todas la

combinaciones posibles de tres lazos que no se toquen) +

...

∆k = ∆ de la parte del grafo de flujo de señal que no toca el

trayecto directo k.

Esta formula se aplica solamente entre un nodo de entrada y

un nodo de salida.

Solución de la Ecuación de Estado

)()( tAxtx

Solución de la ecuación de

estado lineal homogénea:

La solución está dada por: )(),()( 00 txtttx Φ

Donde:

y )()( tCxty

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

Ecuación de Estado:

)(

00),(

ttAett

Φ

Entonces: )()( 0

)( 0 txetxttA

Solución de la Ecuación de Estado

)()()( tButAxtx

Solución de la ecuación de estado lineal no-homogénea

t

t

tAttAdBuetxetx

0

0 )()()( )(

0

)(

y

)()()( tDutCxty

Otros)4

HamiltonCayleydeTeorema)3

)2

0,!!2

)1

1

0

22

AsIe

tn

tA

tAAtIe

At

nnAt

L

Cálculo de (t-t0)=eA(t-t0)

FORMAS CANONICAS ASOCIADAS

(CASO MONOVARIABLE)

DuCxy

BuAxx1 Sistema Controlable

y Observable

xPx ~

uDxCy

uBxAx~~~

~~~~2

Forma Canónica

CPC

BPB

APPA

~

~

~

1

1

Polinomio Característico

P(s) = det (sI – A) = sn – a1sn-1 - ... – an-1s- an

Dasasas

bsbsbsbDBAsICsg

nn

nn

nn

nn

1

1

1

1

2

2

1

11

...

...

Función de Transferencia: (condiciones iniciales nulas)

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

ydnnn

n

n

n

nnn

n

n

n

12

2

21

1

111

1

1 ......

Ecuación Diferencial (solamente si D = 0)

Formas Canónicas de Observabilidad (caso monovariable)

Transformaciones: VVP~1

VBVB 1~~

Relación entre los coeficientes βi y bi

nnn b

b

b

aa

a 2

1

2

1

11

1

*

1

01

1


1~ VPIV n

FCO # 1

121

10000

000

100

0010

~

aaaa

A

nnn

n

B

2

1

~

0001~

C DD ~

Haciendo una rotación de la forma canónica de observabilidad

(FCO) número 1 se puede encontrar la número 3


Para conexión

directa con las

representaciones

externas:

1

0

1

~

1

11

1

a

aa

V

n


FCO # 2

Haciendo una rotación de la FCO número 2 se puede

encontrar la número 4

1

2

1

100

000

010

001

000

~

a

a

a

a

An

n

n

1

1

~

b

b

b

B

n

n

1000~

C DD ~

Formas Canónicas de Controlabilidad (caso monovariable)

Transformaciones:

1~ UUP

1~~ UCUC

Relación entre los coeficientes βi y bi

nnn b

b

b

aa

a 2

1

2

1

11

1

*

1

01

1


UPIU n ~

FCC # 5

1

2

1

100

000

010

001

000

~

a

a

a

a

An

n

n

0

0

1

~B

nC 321

~DD

~

Haciendo una rotación de la forma canónica de controlabilidad

(FCC) número 5 se puede encontrar la número 7


Para conexión

directa con las

representaciones

externas:

1

0

1

~

1

11

1

a

aa

U

n


FCC # 6

Haciendo una rotación de la FCC número 6 se puede

encontrar la número 8

121

10000

000

100

0010

~

aaaa

A

nnn

1

0

0

~B

11

~bbbC nn DD

~

Repaso - Expansión en fracciones parciales

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

ps

A

ps

A

ps

A

asasasa

bsbsbsb

sP

sQ

2

2

1

1

01

1

1

01

1

1

)(

)(

Caso 1. Raíces del polinomio característico diferentes

nnpspppppppp

pQ

sP

sQpsA

1113121

111

)(

)(

)()(

1

Se hace esta misma evaluación para el resto de coeficientes

rr

r

iirn

rn

ps

K

ps

K

ps

K

ps

A

ps

A

ps

AsG

2

21

2

2

1

1)(

Caso 2. Raíces del polinomio característico iguales

n - r raíces diferentes r raíces iguales

i

i

i

i

ps

r

ir

r

ps

r

ir

ps

r

ir

ps

r

ir

sGpsds

d

rK

sGpsds

dK

sGpsds

dK

sGpsK

)(!1

1

)(!2

1

)(

)(

1

1

1

2

2

2

1

Repaso - Expansión en fracciones parciales

Forma Diagonal

(caso monovariable)

n

n

DA

0000

0000

00

00

000

1

3

2

1

CPC

BPB

APPA

D

D

D

1

1Con nP vvv 21

y ii aasociadopropiovectorv

A tiene n valores propios diferentes

Forma Diagonal

(caso monovariable)

Ds

a

s

a

s

aD

asasas

bsbsbsbsG

n

n

nn

nn

nn

nn

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

...

...

Ds

a

s

a

s

a

sU

sYsG

n

n

2

2

1

1

)(

)()(

n

n

DA

0000

0000

00

00

000

1

3

2

1

n

D

a

a

a

B

2

1

111 DC DDD

Desde la función de transferencia:

Controlabilidad

1)( tBtAt uxx

1:,: nBnnA

La ecuación de estado es (completamente) Controlable a t0, si

para todo estado x(t0) ≡ x0 y ∀ x1, existe t1 > t0 (t1 finito) y un vector

de entrada u(t0, t1) que transfiere el sistema del estado x0 hasta el

estado x1= x(t1).

Si no ⇒ Sistema No Controlable

Observación: No existen limitaciones sobre las entradas.

Observabilidad

tDtCt

tBtAt

uxy

uxx

)(

)(1

La ecuación dinámica (1) es (completamente) Observable en t0, si

para cualquier estado x(t0) ≡ x0, existe un instante finito t1 > t0 tal

que el conocimiento de u(t0, t1) y de y(t0, t1) sobre el intervalo [t0, t1]

es suficiente para determinar x0 .

Si no se dice que la ecuación (1) es no Observable.

Forma Diagonal

(caso monovariable)

n

n

DA

0000

0000

00

00

000

1

3

2

1

CPC

BPB

APPA

D

D

D

1

1Con nP vvv 21

y ii aasociadopropiovectorv

A tiene n valores propios diferentes

Forma Diagonal

(caso monovariable)

Ds

a

s

a

s

aD

asasas

bsbsbsbsG

n

n

nn

nn

nn

nn

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

...

...

Ds

a

s

a

s

a

sU

sYsG

n

n

2

2

1

1

)(

)()(

n

n

DA

0000

0000

00

00

000

1

3

2

1

n

D

a

a

a

B

2

1

111 DC DDD

Desde la función de transferencia:

Controlabilidad

1)( tBtAt uxx

1:,: nBnnA

La ecuación de estado es (completamente) Controlable a t0, si

para todo estado x(t0) ≡ x0 y ∀ x1, existe t1 > t0 (t1 finito) y un vector

de entrada u(t0, t1) que transfiere el sistema del estado x0 hasta el

estado x1= x(t1).

Si no ⇒ Sistema No Controlable

Observación: No existen limitaciones sobre las entradas.

Observabilidad

tDtCt

tBtAt

uxy

uxx

)(

)(1

La ecuación dinámica (1) es (completamente) Observable en t0, si

para cualquier estado x(t0) ≡ x0, existe un instante finito t1 > t0 tal

que el conocimiento de u(t0, t1) y de y(t0, t1) sobre el intervalo [t0, t1]

es suficiente para determinar x0 .

Si no se dice que la ecuación (1) es no Observable.

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

n = orden del sistema

Matriz de

Controlabilidad de (1) BABAABBU n 12

1

2

nCA

CA

CA

C

V

Matriz de

Observabilidad

de (1)

U~ y V

~

Matrices de

controlabilidad y

observabilidad

de (2)

El sistema es Controlable si:

det(U) ≠ 0

El sistema es Observable si:

det(V) ≠ 0

Controlabilidad, Observabilidad y Formas

canónicas de JORDAN

Invariante)()()(

)()()(1

tDtCt

tBtAt

uxy

uxx

xx ~P

CPC

APPA

~

~ 1

DD

BPB

~

~ 1

P(n x n) no singular

eEquivalentSistema)(

~)(~~

)(

)(~

)(~~)(~

2

tDtCt

tBtAt

uxy

uxx



Teorema 1 La Controlabilidad y la Observabilidad de un sistema lineal invariante en

el tiempo son invariantes bajo cualquier transformación equivalente.

Demostración:

igual para Observabilidad

Este teorema se extiende a caso variante en el tiempo.

Idea: Transformar a forma canónica de JORDAN → Controlabilidad y

Observabilidad por simple inspección, además se ve Controlabilidad y

Observabilidad por modo.

,...],,[]~~

,...~~

,~~

,~

[ 11111112 BAPPAPPPBAPPPBPBABABAB n

],...,,[ 12 BABAABB n



p

nm

p

rn

p

nnCCCC

B

B

B

B

A

A

A

A 21

2

1

2

1

Supongamos (1) en forma de JORDAN:

)(21

)(

2

1

)(

2

1

iiqiinmii

iiq

i

i

rnii

iiq

i

i

ninii CCCC

B

B

B

B

A

A

A

A

lijijij

nijm

ij

lij

ij

ij

rnij

ij

i

i

i

i

nijnij

ij CBA ccc

b

b

b

21

2

1

1

1

1

p valores propios

distintos λ1, λ2 …, λp

Ai = Todos los bloques de

Jordan asociados a λi

q(i) = # de bloques de Jordan en Ai

Aij = Bloque de Jordan N° j en Ai



Teorema 2

El sistema (1) (Forma de Jordan) es Controlable si y solamente si para

cada i = 1, 2, ..., p, las filas de la matriz:

son linealmente independientes

(1) Es Observable si y sólo si para cada i = 1, 2, ..., p, las columnas de la

matriz:

son linealmente independientes

iliq

li

li

riq

l

iB

b

b

b

2

1

)(

iiqii

iqmiC 12111

)(

1ccc

Modelos y Estructuras

2

1

s

2

1

s

3

1

2

s

x1

S3 S2 S1

x3

x2

u y

_ _ v w

Linealización

Se realiza alrededor de un punto de operación del sistema (punto de

equilibrio).

Definición: Un estado de equilibrio es un estado no modificado no

recibe cambios en la entrada u(t). También llamado punto singular.

))(),(()( tutxftx

)(

)(

tu

tx Vector de estados (n x 1)

Vector de entrada (r x 1)

Los puntos de equilibrio son solución de 0)0),(( txf

Linealización

linealnoSistematutxftx ))(),(()(

Expandiendo en series de Taylor alrededor de e ignorando

los términos de orden superior se obtiene: )(0 tx

j

ux

r

jj

i

j

ux

n

jj

i

iu

u

uxfx

x

uxfx

0000 ,1

,1

),(),(

linealSistemauBxAx

jopjjxxx

_

Retardo de Transporte )()( txty

La representación en polos y ceros del retardo requiere un número infinito

de ceros y polos. La expansión produce:

!2

)(1

2sse s

Y la Transformada de Laplace:

ss esx

sysxesy

)(

)()()(

ó

!2

)(1

112s

se s

ó

21

21

2

2

s

s

e

es

s

La aproximación más común es la aproximación

de Pade y se obtiene truncando la última

expansión en el primer o segundo orden:

s

se s

2

2

1

1

ó 2

82

2

822

2

1

1

ss

sse s

ANEXOS

Ecuación diferencial

Laplace y Función de Transferencia

Ecuaciones diferenciales lineales

Definición

49 jul-13

El modelo matemático de un sistema lineal puede incluir

cualquier orden de derivada de variables temporales del

sistema. En la ecuación diferencial aparecen estos

términos como combinación lineal de las derivadas de la

entrada y de la salida.

Un sistema lineal invariante en el tiempo, en tiempo

continuo puede ser representado con una ecuación

diferencial lineal y constante.

Sistema u(t)

Entrad

a

y(t)

Salida


Definición

50 jul-13

tubtubtubtyatyatyam

m

n

n 0101 ......

tubDbDbtyaDaDa m

m

n

n 0101 ......

Utilizando el operador , que representa la derivada

enésima, y factorizando podemos escribir:

nD

Se le denomina Polinomio Característico

nm


Solución

51 jul-13

La solución de una ecuación diferencial lineal se compone de dos

partes: 1. Solución homogénea , llamada también respuesta natural, se

obtiene de resolver:

2. Solución particular , llamada también respuesta forzada, se

obtiene de resolver:

0... 01

tyatyatyan

n

tyh

ty p

ttyatyatyan

n f

01...

tubtubtubtm

m 01...

f

Entrada al

sistema

tytyty ph Solución

total


Solución

52 jul-13

Para encontrar la solución homogénea, se debe tomar el Polinomio

Característico de la ecuación diferencial:

De donde se obtienen n

raíces

n

i

t

ihieCty

1

0... 01 aDaDa n

n

Entonces la solución homogénea está dada por:

nii ,...2,1

Si las raíces son diferentes y

reales

Ejemplo

53 jul-13

)(1

outine qqcM

T

tanque,al entrando fluido del temp.

),(= masa de flujo

,

,

tanqueelen fluido del Masa

fluido, del especificocalor

tanque,del temp.

ei

outin

eoutout

eiinin

e

T

mmm

Tmcq

Tmcq

M

c

T

ecT

eiT

Cold Hot

eT

Dar la ecuación diferencial donde la salida es Te y la

entrada es Tec

Ejemplo

54 jul-13

ecT

eiT

Cold Hot

eT

Dar la función de transferencia del

sistema

decee tTM

mtT

M

mtT

Ecuación diferencial que relaciona la

temperatura en el interior del tanque

con la temperatura de entrada a él:

Transformada de Laplace

Definición

55 jul-13

La transformada de Laplace ofrece muchas ventajas al utilizarla para

resolver ecuaciones diferenciales lineales. Permite pasar estas ecuación

diferenciales a ecuaciones algebraicas.

)(

)(

sF

js

tf

Función en el tiempo t tal que f(t) = 0 para t

< 0

Variable compleja

Transformada de Laplace de f(t)

0

)()()( dtetftfLsF st


Definición

56 jul-13

0)( aetf atEjemplo

:

Plano s jω

σ -a X

assa

edtesF

tsatsa

1

)(

00

Existe si Real(s) > a

No Existe Terrible !


Definición

57 jul-13

Teorema de variable compleja:

“Teorema de extensión analítica”

Si dos funciones analítica son iguales durante una longitud

finita sobre cualquier arco en una región en que ambas son

analíticas deben ser iguales en toda la región.

El arco de igualdad puede ser el eje real.

F(s) se extiende a todo el plano s (se determina en una zona

válida y se extiende) excepto en el punto singular (F(s) no

analítica)


Algunas transformadas

58 jul-13

asdteedtetfsFetf statstat

1)()()(

00

1)()()()()()(00

0

dtetdtetfsFttutf stst

sdtedtetfsFtutf stst 1

)()()()(00

1

2

00

1)()()(

sdttedtetfsFttf stst

Función Impulso o Delta Dirac

Función Escalón Unitario

Función Rampa

Función

Exponencial


Propiedades

59 jul-13

Linealidad

Corrimiento en el tiempo

Derivación en el tiempo

Integración en el tiempo

Teorema del Valor Final

)()()()()()( 212121 sbFsaFtfbLtfaLtbftafL

)()( sFetfL s

)0()0()0()()( )1()2(1 nnnnn fsffssFstfDL

s

sFdfL

t)(

)(

)(0

lim)(

limssF

stf

t

Si el límite existe


Transformada Inversa

60 jul-13

jc

jc

stdsesFj

sFLtf )(2

1)()( 1

Cuando se resuelve algebraicamente la variable dependiente de

la ecuación diferencial en el dominio de Laplace deseamos

conocer su función temporal para lo cual necesitamos la

transformada inversa de Laplace.

Sin embargo este método puede resultar complicado para la

mayoría de funciones encontradas en la industria. Un método

más práctico es la utilización de expansión en fracciones y

parciales y utilización de tablas de transformadas de Laplace de

funciones comunes.


Transformada Inversa

61 jul-13

jc

jc

stdsesFj

sFLtf )(2

1)()( 1

c = abscisa de convergencia. Real.

c > puntos singulares (polos) de F(s)

Plano s jω

σ

c

X

X

X


Expansión en fracciones

parciales

62 jul-13

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

ps

A

ps

A

ps

A

asasasa

bsbsbsb

2

2

1

1

01

1

1

01

1

1

nm

Caso 1. Raíces del polinomio característico

diferentes

nn

nnnn

pspspsps

pspspsApspsApspsA

121

1211221

Conocido Desconocid

o Se resuelven las multiplicaciones e igualamos término a

término.

Se tiene n ecuaciones con n incógnitas.



parciales

63 jul-13

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

ps

A

ps

A

ps

A

asasasa

bsbsbsb

sP

sQ

2

2

1

1

01

1

1

01

1

1

)(

)(

Caso 1. Raíces del polinomio característico

diferentes

nnpspppppppp

pQ

sP

sQpsA

1113121

111

)(

)(

)()(

1

Se hace esta misma evaluación para el resto de

coeficientes



parciales

64 jul-13

nn

n

n

m

m

ps

A

ps

A

ps

A

asasa

bsbsb

1

2

1

2

1

1

01

01

nm


n

nn

nn

ps

ApsApsApsA

1

11

2

12

1

11

Conocido Desconocid


término.



Expansión en fracciones parciales

65 jul-13

rr

r

iirn

rn

ps

K

ps

K

ps

K

ps

A

ps

A

ps

AsG

2

21

2

2

1

1)(


n - r raíces diferentes r raíces

iguales

i

i

i

i

ps

r

ir

r

ps

r

ir

ps

r

ir

ps

r

ir

sGpsds

d

rK

sGpsds

dK

sGpsds

dK

sGpsK

)(!1

1

)(!2

1

)(

)(

1

1

1

2

2

2

1


Expansión en fracciones parciales

66 jul-13

n

n

n

n

m

m

ps

A

ps

A

cdss

AsA

asasa

bsbsb

3

3

2

21

01

01

nm

Caso 3. Raíces del polinomio característico complejas

conjugadas

Desconocid


término.


nn

nnnn

pspspscdss

pspscdssApspscdssApspsAsA

13

2

13

2

4

2

3321

Función de transferencia

67 jul-13

La función de transferencia de un sistema LTI se define como el cociente

entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace

de la entrada, suponiendo C.I. nulas.

tubDbDbLtyaDaDaL m

m

n

n 0101 ......

tuLbsbsbtyLasasa m

m

n

n 0101 ......

)(...)(... 0101 sUbsbsbsYasasa m

m

n

n

01

01

...

...

)(

)(

asasa

bsbsb

sU

sYn

n

m

m

Partimos de la ecuación

diferencial

Con la transformada de Laplace y sus

propiedades

A este cociente se le

llama Función de

Transferencia

Polinomio Característico


Características

68 jul-13

La transformada inversa de Laplace de la función de

transferencia corresponde a la respuesta al impulso del

sistema.

Función de transferencia representa la dinámica de un

sistema mediante ecuaciones algebraicas.

La función de transferencia es una propiedad del sistema,

independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada.

Si se desconoce la función de transferencia de un sistema,

puede aproximarse experimentalmente (Identificación).


Características

69 jul-13

01

01

...

...

)(

)(

asasa

bsbsb

sU

sYn

n

m

m

Las raíces del numerador de la función de transferencia son

llamados los ceros del sistema.

Las raíces del denominador de la función de transferencia son

llamados los polos del sistema.

m

m

m cscscsbsbsb 2101 0...

n

n

n pspspsasasa 2101 0...


Es una Herramienta que puede ser usada para:

Representar sistemas lineales y no lineales, variantes e

invariantes mediante el modelamiento por:

Ecuaciones diferenciales.

Variables de estado.

Análisis y diseño en el dominio de la frecuencia.

Representar sistemas complejos mediante la

interconexión de numerosos subsistemas para obtener

la función de transferencia.

Para la reducción de los sistemas complejos se usará

algebra de bloques.

70 jul-13


Topologías

Ejemplo 1: Con base en la siguiente planta de reactores

obtener la función de transferencia que relacione

71 jul-13

0

2

A

A

C

C

Dinámicas para cada reactor: 1

1)(

10

11

s

k

C

CsG

A

A

1

2)(

21

22

s

k

C

CsG

A

A


Topologías


72 jul-13

CONFIGURACIÓN CASCADA O SERIE

11

21

211

2

0

1

0

2

ss

kk

C

C

C

C

C

C

A

A

A

A

A

A

0AC2AC

)(1 sG )(2 sG)(1 sCA

Ejemplo 2: Con base en la siguiente planta de reactores obtener la función de transferencia que relacione la salida de las dos concentraciones en términos de la entrada.

73 jul-13

Dinámicas para cada reactor:

1

1)(

10

11

s

k

C

CsG

A

A

1

2)(

21

22

s

k

C

CsG

A

A


Topologías

AC


74 jul-13

CONFIGURACIÓN PARALELO

+ +

0AC

2AC

)(1 sG

)(2 sG

)(1 sCA

AC

21

0

2010

21

GGC

C

GCGCC

CCC

A

A

AAA

AAA


Topologías

75 jul-13

R(s) C(s) + -


)(1 sG

)(2 sG

21

1

1)(

)(

GG

G

sR

sC

CONFIGURACIÓN REALIMENTADA


Topologías

Realizar una representación en bloques del sistema:

76 jul-13

Sistemas de Control


77 jul-13

Ti(s) To(s) + -

PLANTA

)(sE)(sU

SENSOR

CONTROLADOR

Sistemas de Control

Bibliografía

Gauthier, A., Duque, M. Fundamentos básicos en matemáticas para control. Universidad de Los Andes.

Kuo, B.Ch. Automatic Control Systems. Prentice Hall, 8th ed. 2003.

Katsuhiko OGATA Modern Control Engineering Fourth Edition Prentice Hall 2001.

Astrom, K., Wittenmark, B. "Computer Controlled Systems“ Prentice Hall, 1990.

Anderson, B.D.O., Moore, J. Optimal Control. Prentice Hall, 1989.

Landau, I. D. Adaptive Control. M Dekker, 1979.

Franklin P. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley, 1990.

Ljung, L. System Identification. Prentice Hall 1987

Norman S. Nise CONTROL SYSTEMS ENGINEERING Fourth Edition WILEY 2004

.

78 jul-13

Control de Velocidad de

Crucero en un Automóvil

Alain Gauthier

[email protected]

jul-13 80

PROYECTO EJEMPLO

Fg Fa

Vw

Fd F u

+ + +

+

+

_

V

2

Wa vvC

Ts

eC s

1

1

s

1

M

1

senM g

Ts

eC

vvCF

senMF

FFdt

dvMF

s

waa

gg

ad

1

)(

1

2

,1000

;5.0

,1

,7431

kgM

s

sT

C

2

2

/8.9

20

,2000

,)//(19.1

smg

NF

NF

smNC

dmín

dmáx

a

Modelos Matemáticos Sistemas de Control

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