Modelos matemáticos para Optimización de Reemplazo Preventivo e Inspecciones

PreventivasIng. Roberto Bottini

1010ºº Congreso Nacional de Mantenimiento y Congreso Nacional de Mantenimiento y 44ºº Congreso Congreso TrinacionalTrinacional de Mantenimientode Mantenimiento

Buenos Aires, 29 al 31 de Octubre 2008Buenos Aires, 29 al 31 de Octubre 2008

OtrasTácticas

Equipos redundantes

Rediseñar

MantenimientoApropiado

(ad hoc)

Tácticas basadas en la condición

Operación hasta la falla

Actividades de monitoreo de condición

Vibraciones- monitoreo- análisis

Análisis del lubricante- condición del aceite- partículas de desgaste

Eléctrico- análisis corriente- condición del motor

E.N.D- termografía- ultrasonido- radiografía industrial

Inspecciones- por operarios- por mantenimiento

(diario/semanal)

Tácticas basadas en intervalos de tiempo u otra unidad de medida

Reemplazo Preventivo de componentes

Overhaul programado

Mantenimiento preventivo de propósitos generales

Limpieza- durante la operación- antes del mantenimiento

Lubricación- rutinaria mientras funciona- al comienzo/final del cambio

Ajustes menores

Mantenimiento Proactivo

Pregunta de Examen !!!

`

CORREA DISTRIBUCION

PORQUE LA CAMBIAMOS A LOS 85.000 Km. ???

• Queremos compartir algunas herramientas de la ingeniería de la Confiabilidad que nos permiten tomar las mejores decisiones cuando se esta cumpliendo la expectativa de vida de un sistema ocomponente. Nuestro enfoque se limita a aquellos componentes que presentan Desgaste por uso.

• El tiempo a la falla para cualquier componente o sistema no puede ser predecido exactamente. Si es posible obtener información de la transición entre el estado OPERATIVO al de FALLA.

• La Ocurrencia de la Falla puede únicamente ser caracterizada por las propiedades Probabilísticas de la populación Total.

• Para algunos sistemas la Falla no es Tolerada, puede ser un evento catastrófico, ahí es mandatorio considerar metodologías de CONFIABILIDAD del sistema.

CONFIABILIDAD• La calidad del Ciclo de Vida de una maquina o de sus

componentes debe ser evaluada con respecto a la duracion esperada, a la complejidad de las tareas de mantenimiento , a la cantidad y gravedad de fallas ocurridas.

• Partiendo del estudio de leyes de ocurrencia de fallas, la ingenieria de la confiabilidad es el conjunto de teorias y métodos matemáticos que se traducen en procedimientos de gestión orientados a la solución de problemas de estimación y optimización de las probabilidades de supervivencia, vida media y porcentaje de tiempo de buen funcionamiento de un sistema.

La Confiabilidad Incorpora la incertidumbre a la Ingeniería.

• Podríamos decir que la certeza de un hecho (en nuestro contexto Falla de Maquina), es un acontecimiento DETERMINISTA con un resultado finito.

• En cambio la incertidumbre de un hecho seria un acontecimiento INDETERMINISTA con un resultado probabilístico.

Los Criterios de Confiabilidad Cuantitativa se difunden cada vez mas en el mundo industrial debido a varias razones :

• El aumento de la complejidad de los equipos.• Las dificultades de mantenimiento de ciertas

maquinas o sistemas.• La necesidad de reducir los pesos sin afectar la

seguridad del funcionamiento.• El cambio de visión con respecto a la

responsabilidad civil vinculada a la producción y comercialización de un producto.

1- Mortalidad Infantil

– Inadecuada Instalación.

– Error armado-reparación.

– Problemas de Calidad

Tasa de Falla λ<1

EL modelamiento de las probabilidades de falla esta condicionado a la etapa de vida en que se encuentre el elemento.Con la curva de la bañera es posible modelar el comportamiento en cada una de las tres etapas de la tasa de falla a través de leyes conocidas de probabilidades.

2- Fallas Aleatorias durante la vida Útil.

– Independientes del Tiempo.– Errores de Mantenimiento.– Electrónica.– Mezcla de Errores.– Averías por contaminación

externa (aceite).

Tasa de Falla λ= cte

3- Desgaste por Envejecimiento

– Low Cicle Fatiga en TG.– Rodamientos.– Corrosión.– Correas.– Corrosión bajo Stress.– Materiales frágiles.– Materiales Cerámicos.– Algunas formas de erosión.

Tasa de Falla λ > 1

481345678752FALLAS

TOTALOCTUBRESEPTIEMBREAGOSTOJULIOJUNIOMAYOABRIL MARZO FEBRERO ENEROMES

HISTOGRAMA

024

68

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

MESES

FALL

AS

Serie1

• Comúnmente usamos un simple histograma (Falla-mes) para estudiar la ocurrencia de las Fallas y su impacto en la disponibilidad de equipos.

Sin embargo en estudios de Confiabilidad y Mantenimiento necesitamos utilizar funciones continuas, debido que la variable tiempo a la falla es continua. Entonces transformamos el Nro de fallas por mes en probabilidades. Empezamos por la función densidad de probabilidad de fallas (pdf), que indica la probabilidad de que ocurran fallas entre un intervalo de tiempo determinado. En la figura el área bajo la curva para el intervalo dado.

FUNCIÓN pdf

0

5

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

meses

f(t)

Cumulative Distribucion Function cdf .En estimaciones de Confiabilidad necesitamos determinar la probabilidad de que una falla ocurra antes de un determinado tiempo t . La podemos encontrar con la Función acumulativa cdf. Que es representada por el área bajo la curva desde 1 a t, y nos indica la probabilidad de acumulación de fallas transcurrido un tiempo (el fracaso).

cdf =

Tiempo t

Funcion Reliability R (t).La Confiabilidad es la función complementaria a la cdf. La probabilidad de éxito, es decir que sobrevivan sin falla transcurrido el mismo tiempo t. Representando el área bajo la curva desde t .

R(t)= 1- cdf

Tiempo t

El ultimo tipo de función que tenemos derivada de las anteriores es la Función Riesgo, también llamada función tasa de falla f (λt) en determinados contextos como el de mantenimiento.

h (t) Función riesgo = pdf/1-cdf

Las cuatro funciones que definimos pueden usarse una vez que los datos REALES de ocurrencia de falla han sido transformados en las distribuciones estadisticas que adopten.

Afortunadamente, los datos reales de fallas, generalmente modelan alguna distribucion estadistica conocida. En la figura vemos las funciones de Probabilidad, Acumulativa y Riesgo para :

– Dist. Exponencial– Dist. Normal – Dist. Lognormal – Dist. Weibull

En estudios de Confiabilidad para Optimizar Reemplazo Preventivo u Overhaul son importante las siguientes premisas:

1- La tasa de falla del equipamiento debe ser creciente. Desgaste por Uso. Esta evidencia puede ser obtenida realizando una análisis de Weibull.

1- El Costo total del reemplazo debe ser mayor DESPUES de la falla que ANTES. Debería tener como causal una gran perdida de Producción o efecto domino sobre otros equipamientos.

Para tasa de falla menor o igual a 1 no es conveniente Reemplazo preventivo u Overhaul. Por lo tanto el Mantenimiento preventivo de propósitos generales que no retorna el equipamiento a nuevo sigue siendo apropiado para componentes sujeto a tasa de falla constante. (Ej. Inspecciones menores).

• Vemos entonces que la Ingeniería de la confiabilidad nos da herramientas para iniciar la batalla contra la incertidumbre de las fallas en las plantas complejas.

• Podemos describir varias distribuciones de fallas y ver qué podemos aprender de ellas para gestionar los recursos de mantenimiento. Convirtiendo el conocimiento ganado de ellas en acciones proactivas.

• Prediciendo cuando las fallas probablemente ocurrannosotros podemos determinar el mejor momento para el mantenimiento Preventivo (Reemplazo Preventivo) y las políticas de mantenimiento relacionadas con el periodo optimo para operar hasta la falla o inspección

Como Incorporar estas Características de Confiabilidad ?

• Realizando un análisis Cualitativo– Que indicara el tipo y clase de fallas que van

a presentarse en los componentes del sistemas. (Camino del RCM).

• O Bien ampliarse a un campo Cuantitativo– Proporcionando las probabilidades

numéricas correspondientes.

Modelos Matemáticos• Una de las principales herramientas en este

avance científico hacia la optimización de las decisiones de Gestión son los modelos matemáticos como simple representación del problema en estudio.

• En la aplicación de técnicas cuantitativas de Optimización del Mantenimiento, el tipo de modelo usado es frecuentemente un modelo simbólico donde los componentes del sistema están representados por símbolos y la relación de estos componentes esta representada por ecuaciones matemáticas.

Reemplazo Preventivo Optimo de un ítem sujeto rotura

• Construcción del Modelo Decimos que el costo total de reemplazo es

C(tp)=Costo Total esperado del Reemplazo por ciclo

Tiempo Esperado del ciclo.

Aplicación Decisión de Overhaull Motores Eléctricos de 1500HP en Planta Petroquímica.

• Familia de 20 Motores similares 4000 Kva., 3 Phase, 60 Ciclos.

• Cp = Costo Overhaul preventivo $ 120.000.

• Cf = Costo reparación Emergencia 125.000+ Costo lucro cesante $1.600.000.

Aplicación Decisión de Overhaul Motores Eléctricos de 1500HP en Planta Petroquímica.

Tabla 3.2. Fallas en bobinados de grandes motores: datos de falla y cálculos de riesgo

7.6916.0325.12

36.2348.7363.01

7.698.339.09

11.1112.5814.29

888888

1011a

12a

13a

1315a

16a

17a

171718b

181818

2019181716151413121110987654321

C-70C-71AC-71BP-70AP-70BP-71C-25C-11C-52C-13C-31C-53C-41C-91

C-32AC-32BC-01C-30C-50C-51

Riesgo acumuladoRiesgoAñosRangoMotor

a Fallas en bobinadosb Remplazo preventivo de los bobinados

6 fallas ocurridas antesde la expectativa de vidade 18 años.

Ploteo de Weibull para determinar parámetros de la distribución de fallas.

• El procedimiento es plotear en Weibull los datos representativos de la falla contra la función cdf. Obteniendo un factor de forma beta de 4.3.

• Demostrando que las ocurrencias de falla se suceden dentro de la distribución normal de desgaste por uso y en consecuencia es consistente el uso de modelos matemáticos para optimizar el tiempo de rebobinado.

Factor Beta 4.3

Distribución de Weibull (cuanto más chica la dispersión mayor el factor de forma y mejor la estimación).

Modelo Matemático utilizado

• Cp: costo del Reemplazo Preventivo.• R(tp): es la confiabilidad. Multiplicamos aquí el costo del

éxito por la probabilidad de lograrlo.• Cf: costo total del Reemplazo por Falla. • 1- R(tp): Es la Inconfiabilidad. Multiplicamos aquí el costo

del fracaso por la probabilidad de fracasar.• tp: tiempo medio del Reemplazo Preventivo.

• es el tiempo medio a la falla MTTF (para el intervalo de reemplazo).

• f(t): es la función pdf para la distribución normal o distribución de Weibull para beta >1

(. )pt f t dt∫pt ( )pR t 1 ( )pR t− ( )pC t ( )ph t

2,5395,0618,141,000,0025

2,0495,0218,121,000,0024

1,6394,7618,001,000,0023

1,2793,5817,600,980,0222

0,9890,1116,600,930,0721

0,7382,9214,750,850,1520

0,5471,6812,090,710,2919

0,3857,719,000,550,4518

0,2643,296,020,380,6217

0,1730,553,590,240,7616

0,1020,761,890,130,8715

0,0514,260,860,060,9414

0,0310,680,320,020,9813

0,019,280,090,000,9912

0,009,270,020,001,0011

0,0010,010,000,001,0010

0,0011,110,000,001,009

0,0012,500,000,001,008

0,0014,290,000,001,007

0,0016,670,000,001,006

0,0020,000,000,001,005

0,0025,000,000,001,004

0,0033,330,000,001,003

0,0050,000,000,001,002

0,00100,000,000,001,001

0Cálculo términos modelo matemático

Gráfico Resultante

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

Gráfico Resultante

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

SOBRE MANTENIMIENTO

Gráfico Resultante

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

SUB MANTENIMIENTO

Gráfico Resultante

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

Costo Mínimo Reemplazo Óptimo

Tiempo Óptimode rebobinado11 /12 años

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

Gastamos de mas !!!

Volviendo a la pregunta inicial que hacemos con la Correa de distribución !!!

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

Nos arriesgamos !!!

•B: Beneficio de la operación no interrumpida por unidad de tiempo.• Perdida de Beneficio por Reparaciones, donde λ(n) es el Nº de Reparaciones y µ el tiempo medio de reparaciones MTTR.• Perdida de Beneficio por inspecciones, donde n es el Nº de Inspecciones e i el tiempo medio para las inspecciones.•R es el costo promedio de reparaciones.•I es el costo promedio de inspecciones.

P(n)= - B -B -R -IB

P(n): Valor del Beneficio con operación interrumpida por reparaciones en la unidad de tiempo.

Resolviendo la anterior ecuación y despejando despejando n, resulta:

n ES EL NÚMERO ÓPTIMO DEINSPECCIONES A REALIZAR

Si sustituimos n en la formula del Beneficio vemos su valor optimo, insertando otros valores de n vemos como puede variar en funcion de la politica de inspecciones y comparar a efectos de tomar la decisión mas adecuada.

PRECISIÓNPRECISIÓN INCREMENTAR

TAREAS

PROACTIVAS y SU

PLANIFICACION.

INCREMENTAR

TAREAS

PROACTIVAS y SU

PLANIFICACION.

WEIBULL y

Modelos

matemáticos

de

Optimización.

WEIBULL y

Modelos

matemáticos

de

Optimización.

BUENA PRÁCTICA GENERAL DE MANTENIMIENTO!!!

La importancia de la confiabilidad también depende del alcance que demos a nuestra probabilidad de éxito, a veces llamado Factor de Servicio F= 1- R(t). Pensemos que tener un factor de servicio del 99 % seria bastante bueno !!!!!

Sin embargo en EEUU ocasionaría :

• Una hora de agua no potable por mes.• Dos aterrizajes peligrosos por día en JFK. • 10.000 piezas de correo perdidas por hora.• 20.000 prescripciones incorrectas de

medicamentos por año.• 22.000 cheques deducidos de la cuenta

equivocada por hora.

Fuentes consultadas para el presente trabajo:

• Andrew Jardine, Universidad de Toronto, Canada

• Albert Tsang, Hong Kong Politechnic University• Adolfo Arata Andriani, Universidad Tecnica

Federico Santa Maria, Chile.• John Campbell, PriceWaterhouseCoopers,

Canada • Heinz Bloch, Machinary Reliability Assesment.• Luciano Furlaneto, Politecnico de Milan.

Preguntas ?

MUCHAS GRACIAS !!

Ing. Roberto Bottinirbottini@austral.edu.ar

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