Modelos de series de tiempo no estacionarios

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Escuela Profesional de Ingeniera EconmicaLIBRO DE SERIES DE TIEMPO APLICADO A LAS FINANZAS

Rafael CaparApaza Ari Delia

Contreras Vera CarlosHuamn Bernaola Jessica

Salas Carhuaz Luis

23 de junio de 2015

ndice general

15.Modelos de Series de Tiempo no Estacionario 515.0.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.0.2. Por qu tendencia temporal lineal y races unitarias? . . . . . . . . . . . 815.0.3. Comparacin entre un proceso estacionaria en tendencia y una con raz

unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.0.4. El significado de las pruebas de Races Unitaria . . . . . . . . . . . . . . . 1615.0.5. Otros mtodos para series de tiempo con tendencia . . . . . . . . . . . . . 20

.

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4 NDICE GENERAL

Captulo 15

Modelos de Series de Tiempo noEstacionario

Hasta aqu nuestro anlisis normalmente se ha limitado a procesos estacionarios. Este captulopresenta varios enfoques para el modelado de series temporales no estacionarias y analiza laspropiedades dinmicas de los diferentes modelos de no estacionariedad. Consecuencias de la noestacionariedad por inferencia estadstica se investigan en los captulos siguientes.

15.0.1. Introduccin

Los captulos 3 y 4 discutieron los modelos univariados de series de tiempo que pueden serescritas en forma:

yt = + t + 1t1 + 2t2... = + (L) (15.0.1.1)

donde j=0 |j | < , races de (z) = 0 se encuentran fuera del crculo unitario, y t es unasecuencia de ruido blanco con media cero y varianza 2. Dos caractersticas de este tipo deprocesos ameritan repetir aqu. En primer lugar, la expectativa incondicional de la variable esuna constante, independiente de la fecha de la observacin:

E(yt) = .

En segundo lugar, como se intenta pronosticar la serie ms lejos en el futuro, el pronsticoyt+S E(yt+S | yt, yt1, ...) converge a la media no condicional:

lmS

yt+S|t = .

Estos pueden ser suposiciones muy poco atractivas para muchas de las series de tiempo eco-nmicas y financieras encontradas en la prctica. Por ejemplo, la Figura 15.1 traza el nivel delproducto bruto nacional nominal para los Estados Unidos desde la Segunda Guerra Mundial.No hay duda de que esta serie ha tenido una tendencia al alza en el tiempo, y esta tendencia alalza se debe incorporar en los pronsticos de esta serie.

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6 CAPTULO 15. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIO

Hay dos enfoques populares que describen tales tendencias. La primera consiste en incluir unatendencia de tiempo determinista:

yt = + t+ (L)t. (15.0.1.2)

De este modo, la media del proceso estacionario1 [15.0.1] se sustituye por una funcin linealpara la fecha t. Tal procedimiento se describe a veces como "tendencia-estacionaria", ya que sise resta la tendencia + t de [15.1.2], el resultado es un proceso estacionario.La segunda especificacin es un proceso de raz unitaria.

(1 L)yt = + (L)t, (15.0.1.3)

Figura 15.1: PNB nominal de EE.UU. 1947-87

donde (1) 6= 0. Para un proceso de raz unitaria, una representacin estacionaria de laforma de [15.0.1] describe los cambios en las series. Por razones que se aclararn en breve, lamedia de (1 L)yt se denota en lugar de .

El operador de primera diferencia (1 L) se va a plantear con suficiente frecuencia con unsmbolo especial (la letra Griega 4) que se reserva para esto:

4yt yt yt1El ejemplo prototipo de un proceso de raz unitaria se obtiene mediante el establecimiento de(L) igual a 1 en [15.0.1.3]:

yt = yt1 + + t. (15.0.1.4)11Recordemos que .estacionario"se entiende por ovarianza estacionaria".

7Este proceso se conoce como un random walk con deriva .En la definicin del proceso de raz unitaria en [15.0.1.3], se asumi que (1) es distinto de cero,donde (1) denota el polinomio

(z) = 1 + 1z1 + 2z2 + ...

evaluado en z = 1. Para ver por qu tal restriccin debe ser parte de la definicin de un procesode raz unitaria, supongamos que la serie y original yt es de hecho estable con una representacinde la forma

yt = + (L)t.

Si tal serie estacionaria es diferenciada, el resultado es

(1 L)yt = (1 L)(L)t (L)t,

donde (L) (1 L)(L). Esta representacin es en la forma de [15.0.1.3] - si la serie originalyt es estacionaria, entonces tambin lo es yt. Sin embargo, el operador de media mvil (L)que caracteriza yt tiene la propiedad de que (1) = (1 1).(1) = 0. Cuando estipulamos que6= 0 en [15.0.1.3], fuimos descartando as la posibilidad de que la serie original yt es estacionaria.A veces es conveniente trabajar con una representacin ligeramente diferente del proceso de razunitaria [15.0.1.3]. Considere la siguiente especificacin:

yt = + t+ t, (15.0.1.5)

donde t sigue un proceso ARMA con media cero:

(1 + 1L 2L2 ... pLp)t = (1 + 1L+ 2L2 + pLp)t, (15.0.1.6)

y donde el operador de media mvil (1 + 1L+ 2L2 + pLp)t es invertible. Supongamos que eloperador autorregresivo en [15.0.1.6] aparece como un factor como en la ecuacin [2.4.3]:

(1 + 1L 2L2 ... pLp)t = (1 1)(1 2)...(1 p).

Si todos los valores propios 1, 2, ..., p estn dentro del crculo unitario, entonces [15.0.1.6] sepuede expresar como

= 1 + 1L+ 2L2 + ...+ qLq

(1 1L)(1 2L)...(1 pL)t (L)t

con j=0 |j | < y las races de (z) = 0 fuera del crculo unitario. As, cuando |i| < 1para todo i, el proceso [15.0.1.5] no sera ms que un caso especial del proceso de tendenciaestacionaria de [15.0.1.2].Supongamos que en lugar de que 1 = 1 y |1 < 1| para i = 2, 3, ..., p. Entonces [15.0.1.6]establecera que

(1 1L)(1 2L)...(1 pL)t = (1 + 1L+ 2L2 + ...+ qLq)t, (15.0.1.7)

lo que implica que

(1 L) = 1 + 1L+ 2L2 + ...+ qLq

(1 1L)(1 2L)...(1 pL)t (L)t


con j=0 |j | < y races de (z) = 0 en el exterior del crculo unitario. Por lo tanto, si[15.0.1.5] es diferenciada por primera vez, el resultado es

(1 L)yt = (1 L)+ [t (t 1)] + (1 L)t = 0 + + (L)tque es de la forma del proceso de raz unitaria [15.0.1.3].La representacin en [15.0.1.5] explica el uso de la expresin "proceso de raz unitaria". Una delas races o valores propios 1 del polinomio autorregresivo en [15.0.1.6] es la unidad, y todoslos dems valores propios estn dentro del crculo unitario.Otra expresin que se utiliza a veces es que el proceso [15.0.1.3] es ntegrada"de orden 1. Estose indica como yt I1. El trmino ntegrado"viene del clculo; si dy/dt = x, entonces y es laintegral de x. En series de tiempo discreto, si yt = x , entonces y podr tambin ser visto comola integral, o suma sobre t, de x.

Si un proceso escrito en la forma de [15.0.1.5] y [15.0.1.6] tiene dos valores propios 1 e 2que son iguales a la unidad con todos los dems dentro del crculo unitario, entonces la segundadiferencias de los datos tienen que ser tomadas antes de llegar a una serie de tiempo estacionaria:

(1 L)2yt = + (L)tTal proceso se dice que est integrada de orden 2, denotado yt I(2).

Un proceso general escrito en la forma de [15.0.1.5] y [15.0.1.6] se le llama un procesoautorregresivo, integrado y medias mviles, denotado ARIMA(p,d, q). El primer parmetro (p)se refiere al nmero de retardos autorregresivos (sin contar las races de la unidad), el segundoparmetro (d) se refiere a la orden de integracin, y el tercer parmetro (q) da el nmerode retardos promedio en movimiento. Tomando diferencias dth de un modelo ARIMA(p,d,q)produce un proceso estacionario ARMA(p,q).

15.0.2. Por qu tendencia temporal lineal y races unitarias?

Uno podra preguntarse por qu, para la especificacin de tendencia estacionaria [15.0.1.2],se especifica que la tendencia sea una funcin lineal del tiempo (t) en lugar de una funcin cua-drtica (t+ t2) o exponencial (et). De hecho, la serie de PBI en la Figura 15.1, al igual quemuchas series de tiempo econmicas y financieras, parece que se caracteriza mejor por una ten-dencia exponencial que una tendencia lineal. Una tendencia exponencial exhibe un crecimientoconstante proporcional, es decir, si

yt = et (15.0.2.1)

Entonces dy/dt = .yt. Crecimiento proporcional en la poblacin surgira si el nmero de niosnacidos fuera una fraccin constante de la poblacin actual. Crecimiento proporcional de losprecios (o inflacin constante) se planteara si el gobierno estuviera tratando de recoger un nivelconstante de los ingresos reales de la emisin de dinero. Estas historias son a menudo un puntode partida atractivo para pensar en las fuentes de las tendencias temporales, y el crecimientoexponencial se confirma generalmente por el aspecto visual de la serie como en la Figura 15.1.Por esta razn, muchos economistas asumen que el crecimiento es de la forma exponencial.

9Tenga en cuenta que si tomamos el logaritmo natural de la tendencia exponencial [15.0.2.1],el resultado es una tendencia lineal,

log(yt) = t

Por lo tanto, es comn tomar registro de los datos antes de intentar describir con el modelo en[15.0.1.2].Argumentos similares sugieren tomando logaritmos naturales antes de aplicar [15.0.1.3]. Parapequeos cambios, la primera diferencia del logaritmo de una variable es aproximadamente elmismo que el porcentaje de cambio en la variable:

(1 L)log(yt) = log(yt/yt1)

= log(1 + [(yt yt 1)/yt1])= (yt yt1)/yt1,

Cuando hemos utilizado el hecho que para x cercano a cero, log(1 + x) = x22. Por lo tanto, silos logaritmos de una variable se especifican para seguir un proceso de raz unitaria, el supuestoes que la tasa de crecimiento de la serie es un proceso estocstico estacionario. Los mismosargumentos utilizados para justificar la toma de logaritmos antes de aplicar [15.0.1.2] tambinsugieren tomar logaritmos antes de aplicar [15.0.1.3]. A menudo las unidades son ligeramentems conveniente si el log(yt) se multiplica por 100. Entonces los cambios se miden directamenteen unidades de variacin porcentual. Por ejemplo, si (1L)[100xlog(yt)] = 1, 0 , entonces yt, esmas alto 1% ms alto que yt1

15.0.3. Comparacin entre un proceso estacionaria en tendencia y una conraz unitaria

Esta seccin compara un proceso estacionario en tendencia [15.0.1.2] con un proceso de razunitaria [15.0.1.3] en trminos de prediccin, varianza del error de prediccin, multiplicadoresdinmicos, y las transformaciones necesarias para lograr la estacionariedad.

Comparacin de prediccin

Para predecir de una serie estacionaria en tendencia [15.1.2], debemos de adherir al predecirdel componente estacionario el componente determinsticos (+ t), como:

yt+s|t = + (t+ s) + st + s+1t1 + s+2t2... (15.0.3.1)

Aqu yt+s|t denota la proyeccin lineal de yt+s sobre una constante yt, y1,.... Note que parael proceso no estacionario, nosotros usaremos el trmino constante + (t + s), no obstanteeste puede ser diferente para cada periodo t + s. Como el horizonte de prediccin (s) aumenta

2Ver el resultado [A.3.36] en la Revisin Matemtica (Apndice A), al final del libro


en tamao, y la serie j es absolutamente sumable, implicando que la prediccin converge enmedia cuadrada a la tendencia temporal:

E[yt+s|t (t+ s)]2 0; comos

Para predecir una serie con raz unitaria como [15.0.1.3] recordar que el yt , es como unproceso estacionario que puede ser predecido usando la frmula estndar.:

yt+s|t E[(yt+s yt+s1)|yt, yt1, ...]= + st + s+1t1 + s+2t2 + ... (15.0.3.2)

La variable en nivel a la fecha t+ s es simplemente la suma de los cambios entre t y t+ s:

yt+s = (yt+s yt+s1) + (yt+s1 yt+s2) + ...+ (yt+1 yt) + yt (15.0.3.3)

= yt+s + yt+s1 + ...+ yt+1 + yt.

Tomando la proyeccin lineal de [15.0.3.3 sobre una constante yt, yt?1, ... y sustituyndolo en[15.0.3.2] obtenemos:

yt+s/t = yt+s/t + yt+s/t + ...+ yt+s/t= + st + s+1t1 + s+2t2 + ...)

+( + s1t + st1 + s+1t2 + ...)

+...+ ( + 1t + 2t1 + 3t2 + ...) + yt

yt+s/t = s + yt + (s + s1 + ...+ 1)t + (s+1 + s + ...+ +2)t1 + ... (15.0.3.4)

Adems la prediccin para un proceso con raz unitaria se obtiene analizando algunos casosespeciales. Consideremos primero un random walk con deriva [15.0.1.4], en la cual 1 = 2 =... = 0. Entonces [15.0.3.4] llega a ser:

yt+s/t = s + yt

Un random walk con deriva es de esperarse que crezca a una tasa constante e igual a por cada periodo desde su valor actual yt.

Consideremos ahora un ARIMA(0,1,1) con especificacin (1 = , 2 = 3 = ... = 0). Porlo tanto:

yt+s/t = s + yt + t (15.0.3.5)

Aqu, el valor presente de la serie yt, con un valor de innovacin actual (componente alea-torio) t, tambin es de esperarse que crezca a una tasa constante e igual a .

11

Note que t es el valor del error de prediccin un periodo adelante:

t = yt yt/t1

Esto sigue desde [15.0.3.5] que para = 0 y s = 1,

yt+1/t = yt + (yt yt/t1) (15.0.3.6)

o

yt+1/t = (1 + )yt yt/t1 (15.0.3.7)

La ecuacin [15.0.3.7] toma la forma de una ecuacin en diferencia de primer orden, relacio-nando yt+1/t con su propio rezago y con una variable de insumo (1 + )yt. Siempre que || < 1,la expresin [15.0.3.7] puede ser escrita usando el resultado [2.2.9] como:

yt+1/t = [(1 + )yt] + ()[(1 + )yt1] + ()2[(1 + )yt2] + ()3[(1 + )yt3] + ... (15.0.3.8)

= (1 + )j=0()jytjLa expresin [15.0.3.7] es conocida en economa como expectativas adaptativas, y la serie

[15.3.8] es referida a una forma de suavizamiento exponencial; en muchas aplicaciones se asu-me que 1 < < 0.Dejando a yt representar el ingreso, Friedman(1975) uso un mtodo desuavisamiento exponencial para construir la una de las medidas del ingreso permanente. Muth(1960) not que las expectativas adaptativas o suavisamiento exponencial corresponde a unaprediccin racional sobre el ingreso futuro solo si yt sigue un proceso ARIMA(0,1,1) y el pesode suavizamiento () igual al valor negativo del coeficiente del componente dela media movilde la data diferenciada ().

Para un proceso ARIMA(0,1,q), el valor de yt y los q valores mas recientes de t influyen enla prediccin yt+1/t, yt+2/t, ..., yt+q/t, pero an es lgico pensar que crecer a una tasa igual a .Para un ARIMA(p,1,q), la tasa de crecimiento de la prediccin se aproxima asintticamente a.

As el parmetro en la serie con raz unitaria [15.0.1.3] juega un rol muy similar al en unaserie con tendencia determinstica [15.0.1.2]. Con cualquier especificacin, la prediccin yt+s/t in[1.3.1] o [1.3.4] converge a una funcin lineal en el horizonte de prediccin s con pendiente , verla figura 15.2. La diferencia central es en el intercepto de la linea. Para un proceso estacionarioen tendencia, la prediccin converge a una linea cuyo intercepto es independiente al valor yt. Encambio, el intercepto de la prediccin para una serie con raz unitaria es cambiante con cadavalor nuevo de y.


Comparacin entre los errores de prediccin

Las series estacionarias en tendencia y las series con raz unitaria son muy diferentes en susimplicaciones de sus varianzas del error de prediccin. Para un proceso estacionario en tendencia[15.1.2], el error de prediccin s periodos adelante es:

yt+s yt+s/t = (+ (t+ s) + t+s + 1t+s1 + 2t+s2 + ...+s1t+1 + st + ...)

(+ (t+ s) + sts+1t+1 + ...)= t+s + 1t+s1 + 2t+s2 + ...+ s1t+1.

El error cuadrtico medio (ECM) para la prediccin es:

E[yt+s yt+s/t]2 = 1 + 21 + 22 + ...+ 2s12

El ECM se incrementa al incrementar el horizonte de prediccin s. Sin embargo cuando sse hace grande, la incertidumbre agregada desde la prediccin mas alla en el futuro se vuelveinsignificante:

lmsE[yt+s yt+s/t]

2 = 1 + 21 + 22 + ...+ 2s12

Note que el limite del ECM es justamente la varianza no condicional del componente esta-cionario (L)t.

En contraste el error de prediccin de una raz unitaria [1.1.3] s periodos adelante es:

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yt+s yt+s/t = yt+s + yt+s1 + ...+ yt+1 + ytyt+s/t + yt+s1/t + ...+ yt+1/t + yt

= t+s + 1 + 1t+s1 + 1 + 1 + 2t+s2 + ...

+1 + 1 + ...+ s1t+1

Con ECM

E[yt+s yt+s/t]2 = (1 + 1 + 12 + 1 + 1 + 22 + ...+(1 + 1 + 2 + ...+ s1)2)2

El ECM se incrementa a medida que el horizonte de prediccin s se incrementa, sin embargo,a diferencia de una serie estacionaria en tendencia, el ECM no converge a ningn valor fijo cuandos tiende al infinito. En cambio, este se aproxima asintticamente a una funcin lineal de s conpendiente (1 + 1 + 2 + ...)22. Por ejemplo para un proceso ARIMA(0,1,1),

E[yt+s yt+s/t]2 = 1 + (s 1)(1 )22 (15.0.3.9)

En resumen, para un proceso estacionario en tendencia el ECM converge a un valor finitoa medida que el horizonte de prediccin tiende al infinito, mientras que para una serie con razunitaria el ECM se incrementa linealmente con el horizonte de prediccin. Este resultado se


puede contemplar en la figura 15.2.Note que desde que el ECM crece linealmente con el horizonte de prediccin , la desviacinestndar del error de prediccin crece con la raz cuadrada de s. Por otro lado, si > 0, laprediccin crece linealmente en s. As el intervalo a un 95 % de confianza para yt+s se expandemas lentamente que el nivel de la serie, lo que siginifica que los datos de un proceso de razunitaria con deriva positiva mostrar una tendencia ascendente si se observa por un periodo su-ficientemente largo. En este sentido la tendencia introducida por una tendencia se incrementaasintoticamente debido al componente con raz unitaria. Este resultado es muy importante paraentender los resultados estadsticos asintticos presentados en el capitulo 18 y 17.

La figura 15.3 grfica un random walk gausiano (distribucin normal)sin deriva y otro conderiva. El random walk sin deriva es mostrado en el panel (a), no muestra ninguna tendencia aregresar a su valor inicial . El random walk con deriva, mostrado en el panel (b) , muestra latendencia a retornar a un valor determinstico fijo sobre una lnea de tendencia, sin embargo laserie es asintticamente dominada por el trmino con deriva positiva.

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comparacin de los multiplicadores dinmicos

Otra diferencia entre los procesos de tendencia estacionaria y de raz unitaria es la per-sistencia de las innovaciones. Tenga en cuenta las consecuencias para yt+s si t eran aumentaren una unidad con s para todas las dems fechas no afectados. Para el proceso de tendenciaestacionaria [15.0.1.2], este multiplicador dinmico est dada por

yt+st

= s

Por un proceso de tendencia estacionaria, entonces, el efecto de cualquier perturbacin estocs-tica finalmente desaparece:

lmx+

yt+st

= 0

Por el contrario, para un proceso de raz unitaria, el efecto de t en yt+1 se ve desde [15.3.4]

yt+st

= ytt

+ s + s1 + ...1 = 1 + 1 + 2 + ...+ (s)

Una innovacin t tiene un efecto permanente en el nivel de y que es capturado por

lmx+

yt+st

= 1 + 1 + 2 + ... = (1) (15.0.3.10)

Esto, por supuesto, en contraste con el multiplicador que describe el efecto de t, en el entreyt+s , y yt+s1, que viene dada por

yt+st

= s

Como una ilustracin del clculo de un multiplicador tal, el siguiente modelo ARIMA (4,1,0) seestim para y, igual a 100 veces el registro de trimestrales de EE.UU. PNB real (t = 1952: II1984: IV):

yt = 0,555 + 0,312 yt1 + 0,122 yt2 0,116 yt3 0,081 yt4 + t

Para la especificacin, el efecto permanente de un cambio de una unidad en x, en el nivelde PNB real se estima que es

(1) = 1/(1) = 1/(1 0,312 0,122 + 0,116 + 0,081) = 1,31.

Transformaciones para conseguir estacionariedad

Una diferencia final entre los procesos de tendencia estacionaria y los de raz unitaria quemerece comentario es la transformacin de datos necesaria para generar una serie de tiempoestacionaria. Si el proceso es relemnte de tendencia estacionaria como en [15.0.1.2] el apropiadotratamiento es substraer t de yt, para producir una representacin estacionaria de la forma de


[15.0.1]. En contraste , si los datos fueron realmente generados por un proceso de raz unitaria[15.0.1.3], substrayendo t de yt se lograra remover la dependencia temporal de la media perono de la varianza. Por ejemplo,si los datos fueron generados por [15.0.1.4], el paseo aleatorio conderiva, entonces

yt t = y0 + (1 + 2 + ...+ t) = y0 + utLa varianza del residuo ut es t2; esta crece con los datos de la observacin. As, substraer latendencia temporal de un proceso de raz unitaria no es suficiente para producir una serie detiempo estacionaria.

El tratamiento correcto para un proceso de raz unitaria es a diferencia de la serie, y por estarazn un proceso descrito por [15.0.1.3] a veces se denomina un proceso de diferencia estacionaria.Tenga en cuenta, sin embargo, que si uno fuera a tratar de diferencia un proceso de tendenciaestacionaria [15.0.1.2], el resultado sera

yt = + (1 L)(L)t

Esta es una serie de tiempo estacionaria, pero una raz unitaria se ha introducido en la repre-sentacin media mvil. Este, el resultado sera un proceso invertible no sujeto a las posiblesdificultades en los captulos 3 a 5.

15.0.4. El significado de las pruebas de Races Unitaria

Saber si la no estacionariedad de los datos se debe a una tendencia temporal determinista ode una raz unitaria parece ser una pregunta muy importante. Por ejemplo , los macroeconomis-tas estn muy interesados en saber si las recesiones econmicas tienen consecuencias permanentespara el nivel de PBI futuro, o en su lugar representan las crisis temporales con la produccin per-dida finalmente compuesta durante la recuperacin. Nelson y Plosser (1982) argumentaron quemuchas series econmicas estn mejor caracterizados por las races unitarias que por factores detiempo determinsticos. Varios economistas han tratado de medir el tamao de las consecuenciaspermanentes mediante la estimacin (1) para diversas representaciones de series de tiempo decrecimiento del PIB.Aunque puede ser muy interesante saber si una serie temporal tiene una raz unitaria, variostrabajos recientes han argumentado que la pregunta es inherentemente incontestable sobre labase de una muestra finita de observaciones.5 El argumento toma la forma de dos observaciones.La primera observacin es que para cualquier proceso de raz unitaria existe un proceso esta-cionario que ser imposible de distinguir de la representacin de raz unitaria para cualquiertamao de muestra dado T . Tal proceso estacionario se encuentra con bastante facilidad me-diante el establecimiento de uno de los valores propios cerca pero no del todo igual a la unidad.Por ejemplo , supongamos que la muestra se compone de T = 10000 observaciones que fueronrealmente generados por un paseo aleatorio poco desviado:

5Ver Blough (1992a,b),Cochrane (1991), Christiano and Eichenbaum (1990), Stock (1990), y Sims (1989). Ladeclaracin ms aguda de este punto de vista y la perspectiva en la que se basan estas declaraciones en el texto,es la de Blough

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yt = yt1 + t modelo verdadero (raz unitaria)c (15.0.4.1)

Considere la posibilidad de tratar de distinguir esto del siguiente proceso estacionario:

yt = yt1 + t || < 1 modelo falso (estacionario) (15.0.4.2)

La prediccin s periodos adelante de [15.4.1] es

yt+s|t = yt (15.0.4.3)

con ECM

E(yt+s yt+s|t)2 = s2 (15.0.4.4)

La prediccin correspondiente de [15.4.2] es

yt+s|t = 2yt (15.0.4.5)

con ECM

E(yt+s yt+s|t)2 = (1 + 2 + 4 + . . .+ 2(s1))2 (15.0.4.6)

Es evidente que existe un valor de suficientemente cerca de la unidad de tal forma que lasconsecuencias observables de la representacin estacionaria (15.0.4.5 y [15.0.4.6]) son arbitra-riamente cercanas a las del proceso de raz unitaria ([15.0.4.3] y [15.0.4.4]) en una muestra detamao 10000Ms formalmente, la funcin de probabilidad condicional para un proceso Gaussiano caracte-rizado por [15.0.1.7] es continua en el parmetro 1.Por lo tanto, dado cualquier tamao demuestra fijo T, cualquier pequeo nmero y , y cualquier especificacin de raz unitaria con1 = 1, existe una especificacin estacionaria con 1 < 1 con la propiedad de que la probabilidades menos de que uno observara una muestra de tamao T para que el valor de la probabili-dad implcita en la representacin de raz unitaria difiere en ms de a partir del valor de laprobabilidad implcita en la representacin estacionaria.La proposicin inversa tambin es verdadera - para cualquier proceso estacionario y un tamaode muestra dado T, existe un proceso de raz unitaria que ser imposible de distinguir de larepresentacin de raz unitaria. Una vez ms, considere un ejemplo sencillo. Supongamos que elverdadero proceso es ruido blanco:

yt = t modelo verdadero (estacionario) (15.0.4.7)

Considere la posibilidad de tratar de distinguir esto de

(1 L)yt = (1 + L)t || < 1 modelo falso (raz unitaria) (15.0.4.8)

y0 = 0 = 0


La prediccin s periodos adelante de [15.4.7] es

yt+s|t = 0

con ECM

E(yt+s yt+s|t)2 = 2

La prediccin de [15.4.8] se obtiene a partir de [15.3.5]:

yt+s|t = yt + t= {yt + yt1 + . . .+ y2 + y1}+ t= {(t + t1) + (t1 + t2) + . . .+ (2 + 1) + (1)}+ t= (1 + ){t + t1 + . . .+ 1}

Desde [15.3.9], el ECM de la prediccin s periodos adelante es:

E(yt+s yt+s|t)2 = {1 + (s 1)(1 + )2}2

Una vez ms, claramente, dado cualquier tamao de muestra fijo T , existe un valor de suficientemente cerca de 1 de modo que el proceso de raz unitaria [15.0.4.8] tendr prctica-mente las consecuencias observables idnticas a las del proceso estacionario [15.0.4.7].La raz unitaria y los procesos estacionarios difieren en sus implicaciones en horizontes de tiem-po infinitos, pero para cualquier nmero finito de observaciones sobre la serie de tiempo, hayun representante de cualquiera clase de modelos que podran explicar todas las caractersticasobservadas de los datos. Por tanto, debemos tener cuidado con nuestra eleccin de palabras- probando si una serie de tiempo determinada ontiene una raz unitaria", o probando si lasinnovaciones "tienen un efecto permanente en el nivel de las series"por muy interesante, es sim-plemente imposible de hacer.Otra forma de expresar esto es la siguiente. Para un proceso de raz unitaria dada por [15.0.1.3],la funcin de generacin de autocovarianza de (1 L)y es

gY (z) = (z)2(z1).

La funcin de generacin de autocovarianza evaluada en z = 1 es entonces

gY (z) = [(z)]22 (15.0.4.9)

Recordando que el espectro de poblacin de y en frecuencia w esta definido por

sy(w) =1

2pigY (eiw),

la expresin [15.0.4.9] alternativamente se puede describir como 2pi veces el espectro enfrecuencia cero:

sY (0) =1

2pi [(1)]22

19

Por el contrario, si el verdadero proceso es la especificacin de tendencia estacionaria [15.1.2],la funcin de generacin de autocovarianza de y puede calcularse a partir de [3.6.15] como

gY (z) = (1 z)(z)2(z1)(1 z1),

que evaluada en z = 1 es cero. Por lo tanto , si el verdadero proceso es de tendencia estaciona-ria, el espectro de la poblacin de y en la frecuencia cero es cero, mientras que si el verdaderoproceso se caracteriza por una raz unitaria, el espectro de la poblacin de y en la frecuenciacero es positivo.La interrogante de si yt sigue un proceso de raz unitaria puede por lo tanto equivalentementeser expresada como un problema de si el espectro poblacin de y en la frecuencia cero es cero.Sin embargo, no hay informacin de una muestra de tamao T sobre ciclos con plazo mayor aT , al igual que no hay informacin de una muestra de tamao T sobre el multiplicador dinmicopara un horizontes s > T .Estas observaciones, no obstante, hay varias interrogantes estrechamente relacionadas y muyinteresantes que son solucionables. Teniendo en cuenta los datos suficientes, sin duda podemospreguntarnos si las innovaciones tienen un efecto significativo sobre el nivel de la serie en unhorizonte finito especificado. Para un horizonte de tiempo fijo (por ejemplo, s = 3 aos), existeun tamao de la muestra (por ejemplo, el medio siglo de observaciones desde la Segunda GuerraMundial) de tal manera que con sentido podemos preguntar si yt+s/t es cercana a cero. Nopodemos decir si los datos fueron realmente generados por[15.0.4.1] o un pariente cercano dela forma de [15.0.4.2], pero podemos medir si las innovaciones tienen mucha persistencia en eseintervalo (como en [ 15.0.4.7] o [ 15.0.4.8)].

Tambin podemos llegar a una hiptesis comprobable, si estamos dispuestos a restringir anms la clase de los procesos considerados. Supongamos que la dinmica de una muestra dada[yt, . . . , yT ] debe ser modelada utilizando una autorregresin de orden fijo, conocido orden p. Porejemplo, supongamos que estamos comprometidos con el uso de un proceso de AR(1):

yt = yt1 + t (15.0.4.10)

dentro de esta clase de modelos, la restriccin

Ho : = 1

es ciertamente comprobable. Si bien es cierto que existen alternativas locales (como = 0,99999)contra la cual una prueba no tendra esencialmente el poder, esto es cierto para la mayora delas pruebas de hiptesis. Tambin hay alternativas (tales como = 0,3) que conduciran a ciertorechazo de H0 dado suficientes observaciones. La hiptesis {yt} es un AR(1) con un procesode raz unitaria ", es potencialmente refutable; la hiptesis de que {yt} es un proceso de razunitaria general de la forma [ 15.0.1.3]"no lo es.

Puede haber buenas razones para restringirnos nosotros mismos a pensar slo en represen-taciones autorregresivas de orden inferior. Modelos parsimoniosos a menudo funcionan mejor,


y autorregresivos son mucho ms fciles de estimar y de prediccin de los procesos de MediasMviles, particularmente procesos de Medias Mviles con una raz cercana a la unidad.

Si realmente estamos comprometidos con la descripcin de los datos con un autorregresivode orden inferior, saber si la restriccin adicional de una raz unitaria debe ser impuesta puedeser claramente importante por dos razones. La primera consiste en una familiar disyuntivaentre eficiencia y coherencia. Si una restriccin (en este caso, una raz unitaria ) es cierto, lasestimaciones ms eficientes resultan de imponerla. Las estimaciones de los otros coeficientes ymultiplicadores dinmicos sern ms precisas, y las previsiones sern mejores. Si la restriccin esfalsa, las estimaciones no son fiables, no importa cun grande sea la muestra. Los investigadoresdifieren en sus consejos sobre cmo hacer frente a esta disyuntiva. Una gua prctica es estimarel modelo tanto con y sin la raz unitaria impuesta. Si las conclusiones clave son similares, muchomejor. Si las conclusiones son diferentes, algn intento de explicar los resultados contradictorios(como en el Christiano y Ljungqvist, 1988, o Stock y Watson, 1989) puede ser deseable.Adems de la conocida disyuntiva entre la eficiencia y coherencia, la decisin de imponer o noraces unitarias en una autorregresin tambin plantea cuestiones relacionadas con la teora dela distribucin asinttica que uno utiliza para poner a prueba hiptesis sobre el proceso. Estetema se trata en detalle en los captulos posteriores.

15.0.5. Otros mtodos para series de tiempo con tendencia

A pesar que la mayor parte del anlisis de la no estacionariedad en este libro son en base ala raz unitaria y tendencia temporal,esta seccin brevemente explica dos mtodos alternativospara modelar la no estacionariedad: procesos fraccionalmente integrados y procesos con ocasio-nales y discretos cambios en la tendencia temporal.

Integracin FraccionalRetomando que un proceso integrado de orden d puede ser representado de la siguiente

forma

(1 L)dyt = (L)t (15.0.5.1)

donde nfj=0 |j | < nf. El supuesto principal es que d = 1, o que la primera diferencia dela serie es estacionaria. Ocasionalmente se pueden encontrar series donde d = 2 puede ser unamejor opcin.

Granger y Joyeux (1980) y Hosking (1981) sugieren que valores no enteros de d en la ecuacinanterior tambin pueden resultar tiles. Para entender la ecuacin anterior con un d no entero,considere la representacin MA() de la expresin [15.0.5.1]. Se puede demostrar fcilmenteque la inversa del operador (1 L)d existe siempre que d < 1/2. Multiplicando ambos lados de[15.0.5.1] por (1 L)d resulta en

yt = (1 L)d(L)t (15.0.5.2)

21

Para un escalar z, se define la funcin

f(z) = (1 z)d

Esta funcin posee derivadas definidas como sigue

fz = d (1 z)d12fz2 = (d+ 1) d (1 z)d23fz3 = (d+ 2) (d+ 1) d (1 z)d2...jfzj

= (d+ j 1) (d+ j 2) (d+ 1) d (1 z)dj

Una expansin de la serie para f(z) al rededor de z = 0 es dada por

(1 z)d = f(0) + fz |z=0 z + 12! 2fz2 |z=0 z2 + 13!

3fz3 |z=0 z3 +

= 1 + dz + (1/2!)(d+ 1)dz2 + (1/3!)(d+ 2)(d+ 1)dz3 +

Esto sugiere que el operador (1 L)d puede ser representado por el filto

(1 L)d = 1 + dL+ (1/2!)(d+ 1)dL2 + (1/3!)(d+ 2)(d+ 1)dL3 + = nfj=0 hjLj , (15.0.5.3)

donde h0 1 y

hj (1/j!)(d+ j 1)(d+ j 2)(d+ j 3) (d+ 1)(d) (15.0.5.4)El apndice 15.A de este captulo establece que si d < 1, hj puede ser aproximado para un

j grande por

hj = (j + 1)d1 (15.0.5.5)

As, el modelo de series de tiempo

yt = (1 L)dt = h0t + h1t1 + h2t2 + (15.0.5.6)describe una representacin MA() en la cual el coeficiente de impulso - respuesta hj se

comporta como (j + 1)d1 para un j grande. Para comparar, tome que el coeficiente de impulso- respuesta asociado con el proceso AR(1) yt = (1 L)1t esta dado por j . Los coeficientesde impulso - respuesta para un ARMA estacionario caen geomtricamente, en contraste con eldecaimiento ms lento que se observa en [15.0.5.5]. Debido a este menor decaimiento, Granger


y Joyeux proponen el proceso integrado fraccional como un mtodo para modelar datos grandesen una series de tiempo.

En una muestra finita, esta gran memoria puede ser aproximada arbitrariamente bien parauna representacin ARMA de orden superior. El objetivo de esta especificacin de diferenciasfraccionales es el de capturar parsimoniosamente multiplicadores de largo plazo que caigan muylentamente.

La secuencia de los coeficientes que limitan las medias mviles hj nfj=0 dadas en [15.0.5.4]pueden ser demostradas como la suma de cuadrados sabiendo que d < 12 3

j=0 h2j 12 ,

la propuesta es la diferencia del proceso antes de descrita por [15.5.2]. Por ejemplo, si d = 0,7,el proceso de [15.5.1] implica

(1 L)0,3(1 L)yt = (L)t;

Esto es, y, fraccionalmente integrado con el parmetro d = 0,3 < 12 .Las condiciones bajo las cuales la integracin fraccional puede aparecer de la agregacin de otrosprocesos fueron describidos por Granger (1980). Geweke y Porter - Hudak (1983) y Sowell (1992)propusieron tcnicas para estimar d. Diebold y Rudebusch (1989) analizaron la data del PBIy la persistencia de las fluctuaciones de los ciclos econmicos utilizando este mtodo mientrasLo (1991) proporcionado una investigacin interesante de la persistencia de los movimientos deprecios stock.

Saltos ocasionales en tendencia

De acuerdo con la especificacin de raz unitaria [15.0.1.3], los eventos estn ocurriendo todoel tiempo que afectan de forma permanente el curso de y. Perron (1989) y Rappoport y Reichlin(1989) han argumentado que los hechos econmicos que tienen grandes efectos permanentes sonrelativamente raros. La idea se puede ilustrar con el modelo siguiente, en la que y es estacionariaalrededor de una tendencia con una sola interrupcin:

yt =

1 + t+ para t < T0,2 + t+ para t T0 (15.0.5.7)3zonamiento como en el Apndice 3.A el Captulo 3.

N1j=0

(j + 1)2(d1) =Nj=0

j2(d1)

< 1 + N1

x2(d1)dx

= 1 + [1/(2d 1)]x2d1|Nx=1= 1 + [ 1(2d 1) ][N

2d1 1],

que converge a 1 [1/(2d 1)] como N , siempre que d < 12

23

El hallazgo es que dicha serie parecera a exhibir unidad raz no estacionaria sobre la basede las pruebas que se discutir en el Captulo 17. Otra forma de pensar acerca del procedimientoen [ 15.0.5.7 ] es el siguiente:

yt = t + + t t1 (15.0.5.8)

donde t = (2 1) cuando t = T0 y es cero en caso contrario. Supongamos t como unavariable aleatoria con una cierta distribucin de probabilidad - dice,

t =

2 1 con probabilidad p0 con probabilidad 1-pEvidentemente, p debe ser bastante pequeo para representar la idea de que este es un

evento relativamente raro. La ecuacin [ 15.0.5.8 ] entonces podra ser reescrita como

yt = + t (15.0.5.9)

donde

= p(2 1) +

t = t p(2 1) + t t1Pero t, es la suma de un cero significa proceso de ruido blanco [tp(21] y un proceso

[t t1] independiente MA(1) Por lo tanto, un MA(1) representado por , existe. Desde estaperspectiva, [ 15.0.5.9 ] podra ser visto como un proceso ARlMA(0, 1, 1),

t = + t + t1,

La regla de prediccin lineal ptima,

E(yt+s|yt, yt1, ...) = s+ yt + t

pone un peso que no se anula en la innovacin de cada fecha. Este peso no desaparece comos , porque cada perodo proporciona esencialmente una nueva observacin de la variablet y la realizacin de t, tiene consecuencias permanentes para el nivel de la serie. Desde estaperspectiva, una serie de tiempo que satisface [ 15.0.5.7 ] podra ser describedas un proceso deraz unitaria con innovaciones no Gaussianos.

Lam (1990) estima un modelo estrechamente relacionado con [ 15.0.5.7 ] donde se suponeque los cambios en la pendiente de la lnea de tendencia a seguir una cadena de Markov y dondeEE.UU. PNB real se le permiti seguir un estacionaria autorregresin de tercer orden en torno aesta tendencia. Resultados de la estimacin de mxima verosimilitud se presentan en la Figura15.4. Estos hallazgos son muy interesantes para la cuestin de las consecuencias a largo plazo delas recesiones econmicas. De acuerdo con esta especificacin, los acontecimientos que cambiaronde forma permanente el nivel de PNB coincidieron con las recesiones de 1957, 1973 y 1980.


Figura 15.4: Cambios de tendencia discretos estimadas por U.S PNB real, 1952-1984 (Lam,1990

APNDICE 15.A. Derivacin de las ecuaciones seleccionadas pa-ra el Captulo 15

-

Derivacin de la ecuacin [15.5.5] como

hj = (1/j!)(d+ j 1)(d+ j 2)(d+ j 3)...(d+ 1)(d)= d+ j 1

j][d+ j 2

j 1 ][d+ j 3j 2 ]...[

d+ 12 ][

d

1 ]

= [j + d 1j

][j 1 + d 1j 1 ][

j 2 + d 1j 2 ]x...x[

j (j 2) + d 1j (j 2) ][

j (j 1) + d 1j (j 1) ].....(15.A,1)

= [1 + d 1j

][1 + d 1j 1 ][1 +

d 1j 2 ]x...x[1 +

d 1j 1 ].

Por grande j, tenemos la aproximacin

25

[1 + d 1j

] = [1 + 1j

]d1..(15.A,2)

Para justificar esta formalmente, considere la funcin g(x) = (1 + x)d1. El teorema deTaylor afirma que

(1 + x)d1 = g(0) + gx|x=0x+

122g

2x|x=0 .x2 = 1 + (d 1)x+ 12(d 1)(d 2)(1 + )

d3x2....(15.A,3)

para algn entre cero y x. Para x > 1 y d < 1, la ecuacin [15.A.3] implica que

(1 + x)d1 1 + (d 1)x.

Siendo x = 1/j da

1 + d 1j [1 + 1

j]d1 = [j + 1

j]d1...(15.A,4)

para todo j > 0 y d < 1, con la aproximacin [15.A.2] mejorando mientras j . Sustituyendo[15.A.4] en [15, A, 1] implica que

ht = [j + 1j

]d1[ jj 1]

d1[j 1j 2]

d1...[32 ]d1[21 ]

d1 = (j + 1)d1........(15.A,5)

Modelos de Series de Tiempo no EstacionarioIntroduccin Por qu tendencia temporal lineal y races unitarias?Comparacin entre un proceso estacionaria en tendencia y una con raz unitariaEl significado de las pruebas de Races UnitariaOtros mtodos para series de tiempo con tendencia

Modelos de series de tiempo no estacionarios

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