Modelos de Series de Tiempo Estacionarios Univariados II

8/18/2019 Modelos de Series de Tiempo Estacionarios Univariados II

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3.1

C APÍTULO 3MODELOS DE SERIES DE TIEMPO

ESTACIONARIAS MULTIVARIADOS

La técnica de series de tiempo univariadas que revisamos en el Capítulo 2 provee unaimportante herramienta de pronóstico sobre la evolución futura de alguna variable de la economía yde hecho es ampliamente utili!ada. "in embargo ella es limitada para entender y modelar elfuncionamiento de la economía en general pues e#cluye la interacción entre variables económicasque ra!onablemente es lo que caracteri!a la estructura de la economía. $l instrumental de losmodelos %&'% puede ser e#tendido directamente para hacer modelos multivariados es deciraquellos en que se modela un vector de variables de interés.

$n este capítulo nos concentraremos en modelos de vectores autoregresivos ()%&*e#cluyendo del an+lisis los vectores de medias móviles ()'%*. $#isten dos ra!ones para e#cluirestos ,ltimos. -rimero los modelos )'% son altamente no lineales lo que complica su estimación yhace muy difícil su interpretación. "egundo como hemos visto cualquier modelo '%(q* puede serapro#imado de manera arbitrariamente cercana usando un modelo %& de orden suficientementegrande.

3.01 V ECTORES A UTOREGRESIVOS1

Consideremos el siguiente modelo de series de tiempo multivariadas que llamaremos )ector %utoregresivo de orden 1 o m+s sintéticamente )%&(1*

y t =1/−12 z t 11 y t −112 z t −1t y

z t =2/−21 y t 21 y t −122 z t −1t z (3.1*

donde ε y y ε z son dos procesos ruido blanco independientes entre sí es decir con cov(ε y ,ε z )=0.

La ecuación (3.1* que a lo largo de este capítulo llamaremos VAR primitivo presenta trescaracterísticas interesantes

• %mbas variables z t e y t son endógenas en el sentido que su nivel y su trayectoria se determinapor la interacción con la otra variable al interior del modelo.

1 Los modelos )%& fueron impulsados por el célebre traba0o de C. "ims (1/ * 'acroeconomics and &eality Econometrica 4 154 donde se hace una l,cida crítica de los modelos econométricos tradicionales para el an+lisis depolíticas económicas.


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3.2

• $n ambas variables hay din+mica en el sentido que las innovaciones se propagan en elsistema con re!agos afectando a las variables en el tiempo.

• "i estas ecuaciones se estimasen por separado usando mínimos cuadrados ordinarios losestimadores de los par+metros incurrirían en sesgo de simultaneidad si 6 12 o 621 no son cero.

%unque no podemos estimar la forma primitiva del modelo podemos estimar su formareducida. Considere

[ 1 1221 1 ][ y t z t ]=[

1/2/][

11 1221 22][

y t −1z t −1 ] [

t y

t z ] (3.2*

La ecuación (3.2* puede ser escrita de manera abreviada como

Bx t = /1 x t −1t (3.3*

-remultiplicando por B-1 obtenemos

x t = A/ A1 x t −1e t (3.4*

donde con A/= B−1 / A1= B

−11 y e t = B−1 t . Como resulta evidente el modelo (3.4* no tiene

problemas de simultaneidad por lo cual es posible estimarlo directamente usando mínimoscuadrados. % la ve! nótese que mantiene la estructura din+mica del modelo primitivo. "in embargolas innovaciones de la ecuación (3.4* 7que llamaremos forma redcida o e!tima"#e 7 no son las mismas

que las del modelo primitivo por cuanto si 6 12 o 621 no son cero habr+ correlación entre loscomponentes de e t .

$quivalentemente podemos escribir el modelo de forma reducida como

[ y t z t ]=[a 1/a 2/][

a 11 a 12a 21 a 22] [

y t −1z t −1][

e t 1

e t 2] (3.8*

3.02 EL PROBLEMA DE IDENTIFICACIÓN

9ebido a que el modelo que se puede estimar sin problemas econométricos es la formareducida 7que no es de interés en muchas ocasiones7 resulta importante preguntarse si podemosrecuperar el )%& primitivo a partir de los par+metros estimados en la forma reducida. :na cuentar+pida de incógnitas y ecuaciones sugiere que esto no es posible2

2 $n estricto rigor lo que debe verificarse es la condición de rango del sistema de ecuaciones y no la condición deorden (ver %péndice %*. -ara fines did+cticos el uso de la condición de orden es suficiente.


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3.3

9esconocidos 1/ ,2/ , 21 , 12 ,11 ,12 , 21 , 22 ,z 2 , y

2

Conocidos a 1/ ,a 2/ , a 11 , a 12 , a 21 , a 22 , 12 , 2

2 , cov e t

1 , e t

2

$l n,mero de par+metros desconocidos en el modelo primitivo es mayor que el n,mero deecuaciones que determinan los par+metros de la forma reducida para la cual tenemos estimadores.-or lo tanto no se puede identificar el modelo primitivo a partir del modelo reducido al menos quese imponga una restricción 12=/ o 21=/ . 9e hecho este resultado es general no importando eln,mero de variables incluidas en el )%& ni su orden (n,mero de re!agos*. La principal implicaciónde este resultado es que todo modelo de ecuaciones simult+neas est+ sub5identificado. $l corolariode este resultado es que para identificar un modelo primitivo obligatoriamente habr+ que imponerrestricciones de identificación. $l problema de estimar modelos de ecuaciones simult+neas setransforma entonces en un problema de tipos y formas de restricciones de identificación que cadacientífico impone y la 0ustificación que se le da a dichas restricciones.

)eamos qué es lo que hace una restricción de identificación en este conte#to. ;


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3.4

La descomposición de Choles@y no es ,nica. 9e hecho podríamos haber supuesto 12=/ yhaber obtenido otro modelo primitivo a partir de la misma forma reducida. $sto implicanecesariamente que toda identificación es arbitraria. -ara hacer un an+lisis con )%&s de manera

seria debemos presentar y estudiar las posibles descomposiciones alternadamente.La descomposición de Choles@i no es la ,nica forma de identificar. ay una línea de an+lisis

basada en imponer ceros e#5ante con prete#tos (buenos y malos* teóricos con el nombre de )%&estructural que discutiremos m+s adelante. ay otra posibilidad de identificar la forma primitiva del )%& no con restricciones a innovaciones contempor+neas sino mediante la imposición derestricciones sobre los efectos acumulados de las innovaciones de alguna variable sobre el sistema.4 $n cualquier caso sea que se ocupe la descomposición de Choles@y o alg,n otro modo deidentificación el econometrista debe incluir información e#ógena al sistema en el momento deidentificar la cone#ión entre forma primitiva y forma reducida.

3.03 ECUACIONES SIMULTÁNEAS TRADICIONALES VS. VAR S

La descomposición de Choles@y tiene una venta0a que los modelos de ecuacionessimult+neas tradicionales no tiene es e#plícita. $l econometrista debe seDalar la o las restriccionesque impuso y efectuar sus an+lisis condicionales en dichas restricciones. $n los modelos deecuaciones simult+neas tradicionales8 la identificación es frecuentemente confusa y no es reconocidapor el econometrista como un elemento que condicione su an+lisis. Como un e0emplo de esteproblema consideremos el siguiente modelo típico de ecuaciones simult+neas tradicionales

emanda ' d =1 p t 2 y t t d

*ferta ' ! =1 p t t !

E'i#i"rio ' ! =' d

(3.*

$l fol@lore de los modelos de ecuaciones simult+neas tradicionales seDala que (1* pt y ' t son variables endógenas (2* y t es una variable e#ógena y (3* que las ecuaciones refle0an la estructura de laEeconomíaF en particular su din+mica. 9e la ecuación (3.* es posible obtener la siguiente formareducida por reempla!o

' t =12 y t 1−1

t

d −t !

1−1

pt = 2 y t

1−1

1t d −1t

!

1−1

(3.*

4 )er Glanchard y


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3.8

la que puede ser estimada usando p.e. mínimos cuadrados. $llo permite recuperar la ecuación deEofertaF en (3.* 7que est+ exactamente identificadaH pero no se podría parametri!ar la función deEdemandaF porque est+ !"identificada .

Las diferencias de enfoque entre la metodología de series de tiempo multivariadas y lasecuaciones simult+neas tradicionales son notorias y muy profundas. $n particular

• $n )%&s no se clasifica las variables en EendógenasF o Ee#ógenasF a priori. Iodas las variables son potencialmente endógenas y ser+n los datos los que sugieran si es ra!onableuna u otra especificación como la m+s adecuada.

• $n )%&s no se impone una determinada estructura de re!agos a priori. "e determina ladin+mica en función de los datos. $n particular nótese la arbitrariedad implícita en (3.*pues el econometrista eliminó e#5ante cualquier re!ago de las variables. $s decir sin siquieraestudiar los datos se eliminó cualquier forma de din+mica.

• $n )%&s se impone el n,mero mínimo de restricciones de identificación se reconoce apriori éstas y se estudia cómo cambian los resultados con distintas maneras de identificar.$n particular note la arbitrariedad de la identificación impuesta por el econometrista en(3.*.>

• $n )%&s los par+metros y su significancia estadística no son un fetiche. $n las ecuacionessimult+neas tradicionales la Eestructura del modeloF es frecuentemente escogida sobre labase de determinar si los coeficientes son individualmente significativos con alg,n nivel deconfian!a en un ambiente donde el sesgo de simultaneidad y la colinealidad son evidentes.

3.04 C AUSALIDAD EN SERIES DE TIEMPO

$l tema de causalidad en economía y en particular en series de tiempo ocupa un lugarcentral en la modelación económica. "in embargo no e#iste consenso respecto de qué ese#actamente EcausalidadF (ver Le&oy 2//4 para una discusión del tema*?. "iguiendo a endry(2//4* una causa puede ser definida como un proceso quantitativo que induce cambios en eltiempo a través de una estructura. La estructura permanece invariable y caracteri!a las relacionesentre variables (es decir refle0a la realidad*. La relación entre causa y efecto es asimétrica pues lasegunda no induce la primera. $sta noción es congruente con "imon (18?*.

:sualmente en economía se postula que y es causado por x al escribir y=f(x). $sta simple

e#presión tiene algunos problemas (1* la descripción es esencialmente circular (el modelo no estaría> %l respecto se le aplica la célebre opinión de "herloc@ olmes +t i! a capita# mi!tae to teorize "efore one a! te data.

+n!en!i"#y one "e%in! to t$i!t te fact! to !it teorie! in!tead of teorie! to !it fact! . %rthur Conan 9oyle A !canda# in Boemia en Ihe Complete "herloc@ olmes Garnes and Aoble pp. 1>3.

? "tephen J. Le&oy ECausality in $conomicsF Iechnical &eport 2/K/4 Centre for -hilosophy of Aatural and "ocial"cience London "chool of $conomics 2//4.

9avid J. endry ECausality and $#ogeneity in Aon5stationary $conomic Iime5"eriesF Iechnical &eport 1K/4Centre for -hilosophy of Aatural and "ocial "cience London "chool of $conomics 2//4.

"imon . %. (18?*. ode#! of an . Ae Mor@ Nohn Oiley P "ons.


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3.>

bien definido si f(.) no describiera la relación* (2* la asimetría de causalidad est+ fuera del problemaporque si f(.) es invertible entonces x podría ser causado por y, (3* la teoría f(.) podría estar biendefinida pero ser irrelevante para el fin del an+lisis económico y (4* una definición de causalidad a

partir de un modelo puede ser insuficiente para carateri!ar todos los canales de causalidad. $l puntocentral sobre causalidad es que ésta es una propiedad de la realidad y no de un modelo teórico oestadístico.

-or ello los economistas tendemos a usar una definición de causalidad basada en los datos yno en teorías. Como las relaciones económicas no son leyes la formulación es estoc+stica lo quenos lleva al an+lisis de tests de causalidad y m+s adelante a la idea de evaluar causalidad en términosde los cambios en la distribución con0unta de las variables.

% continuación estudiamos los tests m+s comunes de causalidad por dos ra!ones. -rimeroporque ellos son ,tiles para determinar una forma particular de causalidad en economía. "egundoporque e#iste la tentación de identificar los modelos )%& (y a veces los modelos estructurales* sobrela base de la causalidad en el tiempo lo que es incorrecto. -ara entender esto estudiaremos primeroalgunas definiciones de causalidad y luego su relación con el problema de identificación.

Causa!"a" "# G$a%$ '1()(*10

$l concepto de causalidad m+s ampliamente usado en series de tiempo es el desarrollado porQranger (1>*. %nalíticamente

i / 0 / en y t = 0 y t −10 z t −1t ⇒ z t ca!a −a −#a −&ran%er a y t

(3.1/*

es decir z t causa5a5la5Qranger a y t si ésta contiene información util para predecir y t que no est+contenida en la historia de y t .

$s importante hacer varias observaciones con respecto a este test

• -rimero este no es un test de causalidad en el sentido profundo de Ecausa y efectoF sinosólo un test de Eprecedencia temporalF.11 La mec+nica mediante la cual z t afecta a y t esdesconocida y se debe tener cuidado con la interpretación de los resultados pues éstosdependen del modelo que se esté estudiando. )er Go# 1.

•

"egundo debido a la probable e#istencia de colinealidad el test se hace sobre el bloque dere!agos de z t y no sobre par+metros individuales es decir se hace un test J sobre la hipótesis

1/ Qranger C.O.N. (1>* Rnvestigating Causal &elations by $conometric 'ethods and Cross5"pectral 'ethods Econometrica 34 424543. Como Qranger se basó en traba0os previos de A. Oiener (EIhe Iheory of -redictionF en$.J. Grec@enbrac@ 2e 2eory of 3rodction 'cQra5ill AM 18>* a veces se le llama causalidad de Oiener5Qranger.

11 :na discusión profunda sobre el problema de hacer equivalente causalidad y precedencia temporal se encuentra en N.Qee@e (14* ERnference and Causality in $conomic Iime "eries 'odelsF 4and"oo of Econometric! vol. RR pp.11/151144


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3.?

nula /()=0. 9ado que e#iste la posibilidad que haya correlación espurea el test se hacesobre la hipótesis nula z t no causa a la Qranger a y t .

• Iercero es posible que z t cause5a5la5Qranger a y t y simult+neamente que y t cause5a5la5Qranger a z t . $llo puede suceder tanto porque las varables efectivamente son simult+neas 7 por e0emplo cuando ambas son generadas por una tercera variable $ t 7 como cuando sonobservacionalmente simult+neas por problemas de medición (p.e. hay causalidad mensualpero los datos observados trimestralmente*.

• Cuarto un )%& es el entorno óptimo para testear causalidad a la Qranger. $sto se deduce alcomparar el test de causalidad de la ecuación (3.1/* con la especificación del )%& de formareducida de la ecuación (3.8*.

Stra manera de pensar el mismo test es en términos del error cuadr+tico medio z t no causa5a5la5Qranger a y t si

E5( [ y t f T y t −1 , ... ]= E5( [ y t

f T y t −1 , ... , z t −1 , ...] (3.11*

B+, 1I%-#$$#-a/!% "# a Causa!"a" "# G$a%$12

12 "e debe ser siempre cuidadoso con la intepretación de la causalidad E# matrimonio e! #a ca!a n6mero no de divorcio!. E!tad7!ticamente, e# 100 por ciento de #o! divorcio! comenz8 con n matrimonio.

ay que tener cuidado con la interpretación del test de causalidad de Qranger con variables for$ard- #ooin% . 9e acuerdo a Jama (1?/* el precio de las acciones refle0a el valor presente de los dividendos

esperados de dichas acciones. $s decir pt = E t ∑i =1

∞

[1

1r ]i

d t i .

"i los dividendos tienen la siguiente ley de movimientos d t =d t t −1 t entonces el

valor esperado de d t es Et d t 9 =d t !i 9 =1

Ud !i 9 1.

$ntonces el precio pt es pt =d r

t 1r

es decir es ruido blanco. -or lo tanto debe concluirse que

ninguna variable causa a5la5Qranger al precio.

'+s a,n se obtiene f+cilmente que dado que d t depende de pt-1 hay causalidad a5la5Qranger deprecios a dividendos.


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3.

Causa!"a" "# S!s '1(2*13

"ims (1?2* plantea que el test de causalidad debiese ser hacia el futuro ( for$ard #ooin% * no

hacia el pasado. -or ello

!i 0 / en y t =c ∑i =/

∞

i z t −i ∑i =1

∞

i z t i t

⇒ z t ca!a a −#a −im! a y t (3.12*

Causa!"a" "# G###5 M##s# 6 D#%- '1(73*14

:n problema del test de "ims es que el residuo es típicamente autocorrelacionado y por lotanto un test J no funciona. :na solución simple consiste en controlar la autocorrelación usandore!agos es decir

!i / en y t =c −∑i =1

∞

i y t −i ∑i =/

∞

i z t −i ∑i =1

∞

i z t i t

⇒ z t ca!a a −#a −& a y t

(3.13*

%sí la causalidad determinada usando tests de Qranger "ims o Qee@e et al. nos informasobre cómo se afecta una variable en el instante t frente a innovaciones en otras variables en t-i o ent:i pero no nos dice cómo se afecta ésta frente a innovaciones contempor+neas. -or ello estos testsno pueden ser usados para EidentificarF un modelo ya que la identificación requiere conocer lacorrelación contempor+nea de shoc@s.

$l siguiente cuadro presenta los resultados de tests de causalidad aplicados a datostrimestrales de dinero y producto de la economía chilena en el periodo 1??52//2.18 Los tests usan >re!agos (m+s adelante volveremos sobre el tema de re!agos óptimos*.

Cua"$+ 3.1T#s-s "# Causa!"a" #%-$# D!%#$+ 6 P$+"u/-+

Qranger "ims Qee@e et al.

9inero no causa producto 8./> 4.2 2.??

-roducto no causa dinero 3.11 2.4> 1.Aota el valor crítico del J(>/* es 2.22.

13 "ims C. (1?2*. 'oney Rncome and Causality American Economic Revie$ >284/5882.14 Qee@e N. 'eese &. and 9ent O. (13* Comparing %lternative Iests of Causality in Iemporal "ystems

%nalytic &esults and $#perimental $vidence ;orna# of Econometric! 21 1>1514.18 $n el %péndice % se encuentra el código Qauss usado para computar estos resultados.


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3.

3.08 ESTIMACIÓN DE UN VAR'P* POR M Á9IMA V EROSIMILITUD

%l igual que en los modelos %&( p * vamos a formar la densidad condicional en las primeras p

observaciones del modelo y t =c 1 y t −12 y t −2... p y t − p t (3.18*

donde y t es un vector con n variables. $s decir lo que queremos es obtener

f y t , y t −1 , ...T y / y 1 , ... , y p −1 *

y ma#imi!ar con respecto a =[c ,1 ,2 , ... , p ,] donde V es la matri! de varian!as ycovarian!as de los residuos de las n ecuaciones del modelo.

9e nuevo para y t est+n dados c y los primeros p re!agos de y t por ello la ,nica estocasticidadproviene de Wt. $ntonces

y t T y t −1 ... y t − p ↝ = [ c 1 y t −1... p y t − p , ] (3.1?*

"ea x t =[1 y t −1 , y t −2 ,... , y t − p ] > y =[c ,1 2 , ... , p ] . $scribimos entonces la esperan!acondicional de y t como ?@x t . $scribimos la densidad condicional de y t como

y t T y t −1 ... y t − p ↝ = [ > x t , ] (3.1*

y la densidad de la muestra como

f y t , y t −1 , ...T y / , ... , y p −1 x t ](3.2/*

Consideremos el ,ltimo término ya que los otros son constantes. %l igual que en el caso delos modelos %&( p * ma#imi#ar la función de verosimilitud equivale a minimi!ar el tercer término esdecir a minimi!ar la suma de residuos al cuadrado del sistema de ecuaciones. %sí se puedeparametri!ar todo el modelo )%& usando mínimos cuadrados ordinarios ecuación por ecuación.


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3.1/

; −1 t (3.21*

donde X son los residuos muestrales. -odemos derivar la función de verosimilitud con respecto a Vpara encontrar un estimador adecuado

∂ log ℒ

∂−1 =

2 2

∂ log T−1T

∂−1 −

1

2

∑t =1

2

∂ t > −1 t

∂−1

U 2

2 > −

1

2 ∑t =1

2

t t > =−/

(3.22*

-or lo que el estimador asintótico de V es

=12

∑t =1

2

t t > (3.23*

Rntroduciendo (3.23* en (3.2/* podemos estimar el )%&( p * a,n si V es desconocido.

log ℒ , =−2n

2

log 2 2

2

logT −1 T−1

2

∑t =1

2

t > −1 t

U−2n

2 log 2

2

2 log T −1 T−

2n

2

(3.24*

La inclusión del estimador de V como se muestra en (3.24* produce la llamada fnci8n devero!imi#itd conden!ada que es la que usualmente se utili!a para el an+lisis empírico. La estimación sehace por medio de métodos numéricos (ver "oto 2//8a*.

$sta función nos permite pensar en otra aplicación ,til. "i adem+s del )%&( p * estimamosadem+s un )%& con pY re!agos podemos desarrollar un test de largo de re!agos óptimos.

• La / es que el n,mero óptimo de re!agos es p y se computa log ( ℒ p *.

• La 1 es que el n,mero óptimo de re!agos es p y se calcula log ( ℒ pY *

obviamente

2 [ log ℒ p Y−log ℒ p]=2 [ logT pY T−logT T ] n 2 p Y− p 2 (3.28*

donde los grados de libertad vienen de n ecuaciones con (p-p) restricciones.


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3.11

$ste test es de uso com,n pero no necesariamente es óptimo en términos de poder. %lternativas frecuentemente usadas son los tests de contenido informacional 7como los de %@ai@e y"chart! descrito en el Capítulo 27 y aplicados a la matri! de varian!a y covarian!a de los residuos

del sistema de ecuaciones.$n el e0emplo descrito en la "ección 3./4 se usó arbitrariamente seis re!agos. $l

procedimiento *pt#a% del %péndice G aplicado a estos datos seDala sin embargo que el n,meroóptimo es ? re!agos.

3.0) FUNCIONES IMPULSO:R ESPUESTA DEL VAR

%l igual que en el caso de los modelos univariados e#iste interés en estudiar las respuestas de

las variables frente a impulsos dados en forma de innovaciones.

1>

&ecordemos que la respuesta a unimpulso queda descrita por la rpresentación de media móvil de orden infinito del sistema. Iomemosel modelo de forma reducida (ecuación 3.8*.

[ y t z t ]=[a 1/a 11][

a 11 a 12a 21 a 22] [

y t −1z t −1 ][

e t 1

e t 2] (3.2>*

por lo tanto la representación de media móvil es

[ y t

z t ]=

[ y

z ]∑

i =/

∞

[a 11 a 12

a 21 a 22]

−i

[e t −i 1

e t −i 2

](3.2?*

La e#presión (3.2>* no es ,til. La interpretación económica de las funciones impulso5respuestas descritas en el capítulo anterior no puede hacerse usando las perturbaciones de la formareducida del modelo sino respecto de las innovaciones de la forma primitiva. Lo que queremos es larespuesta de y t o z t frente a las innovaciones ( ε y y ε z * y no a frente a perturbaciones del tipo e 1 o e .

-or ello tenemos que imponer la condición de identificación. %sí

[

y t

z t

]=

[

y

z ]∑

i =/

∞

[

a 11 a 12

a 21 a 22

]

−i

[

1 −12

−21 1 ][

t −i y

t −i z

](3.2*

9e nuevo vemos que la respuesta din+mica del sistema es su representación )'%(Z*. Gastallamar a los términos a la derecha de [ (con =[ y ,z ] > *.

1> $l EimpulsoF que se le da a un sistema din+mico para perturbarlo corresponde a una función tipo de#ta de L.\ronec@er en tiempo discreto o de -. 9irac si se trata de tiempo continuo. %l respecto de la relación entre modelos yrealidad 9irac seDala 2i! re!#t i! too "eatif# to "e fa#!e< it i! more important to ave "eaty in one>! e'ation! tan to ave tem

fit experiment . EIhe evolution of the -hysicist]s -icture of AatureF cientific American 2/(8* 1>3.


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3.12

x t =∑i =/

∞

i t −i (3.2*

$n la 0erga de sistemas din+micos se suele llamar EmultiplicadoresF a los i . %sí i / esllamado el multiplicador de impacto i 2 es el multiplicador de largo pla!o etc.

"e debe hacer notar varias características de las respuestas

• 9ado que se cumple absolute summability las respuestas desaparecen en el largo pla!o.

• La morfología de las respuestas no depende del tamaDo de las innovaciones pero el nivel sí.$s decir una innovación de tamaDo 1 tiene la misma forma de disipación que una de tamaDo2 pero a un nivel que es ^ del otro.

• Las respuestas dependen de la identificación impuesta por lo que de nuevo se deben

presentar varias descomposiciones. $ste es el concepto de ordenamiento.• -odemos dar una innovación y ver respuesta de todas las variables yKo podemos comparar

las respuestas de cada variable frente a varios shoc@s.

3.0 FUNCIONES IMPULSO:R ESPUESTA USANDO T;CNICA ESPACIO:ESTADO

Sbtener las funciones impulso5respuesta 7que describen la din+mica del sistema deecuaciones del )%&5 podría ser bastante difícil si el n,mero de ecuaciones y rega!os es alto. Aoobstante e#iste una técnica que hace este paso trivial. % modo de e0emplo vamos a transformar un

)%&'%(21* en un modelo %&(1*

y t =1 y t −12 y t −2t 1 t −1 (3.3/*

podemos mapear este proceso en esta otra representación

[ y t

y t −1t ]=[

1 2 11 / // / / ][

y t −1 y t −2t −1 ][

1/1]t (3.31*

si ahora definimos

x t =[ y t

y t −1t ] (3.32*

$l modelo de la ecuación (3.3/* puede ser re5escrito directamente como un %&(1*


13/29

3.13

x t = Ax t −15 t (3.33*

$ntonces podemos aplicar directamente la función de impulso5respuesta que obtuvimos en

el caso del %&(1* univariado sólo que sin olvidar que las respuestas son multivariadas.

$n este caso si damos un impulso (shoc@ o innovación* de tamaDo 1 en el instante cero yluego no perturbamos el sistema la respuesta del mismo queda descrita en el Cuadro 3.1

Cua"$+ 3.1Ius+ 6 R#su#s-a

/ 1 2 3 ... 9

ε t / 1 / / ... /

x t / C %C %_C ... %0C

La función de impulso5respuesta es naturalmente la primera fila de la secuencia % 0C para laforma reducida y G51 %0C para la forma primitiva. Aótese que la función de impulso5respuesta ese#actamente lo mismo que la representación media móvil del sistema.

3.07 ERRORES ESTÁNDARES DE LA FUNCIÓN IMPULSO:R ESPUESTA

&ecordemos que la función impulso5respuesta se construye sobre variables aleatorias (loscoeficientes estimados* y por lo tanto es también una variable aleatoria. -or ello queremos conocersu distribución.

:samos los par+metros estimados ` y el teorema central del límite para escribir

2 A2 − A C D donde D ↝ = /⊗ −1 (3.34*

donde < es el valor esperado de la matri! de momentos de los regresores i.e. E y t y t > Como loque queremos es la distribución de la función impulso5respuesta que a su ve! es una función f(.) delos par+metros usamos el teorema de "lut!@y para obtener

2 f A2 − f A C &! ,2 D (3.38*

donde &! ,2 =∂ f .∂ F

. $ntonces

2 [ f A2 − f A ] C = / & ! , 2 ⊗ −1& ! , 2 > (3.3>*

el error est+ndar que queremos es directamente la raí! de la diagonal de &! ,2 ⊗ −1&! ,2 > .


14/29

3.14

3.0( FUNCIONES IMPULSO:R ESPUESTA GENERALI ]=

"upuesto 2 Las raíces características de T + n −∑ i i T=/ caen fuera del círculounitario. $s decir las variables son estacionarias.

La representación media móvil de (3.3?* es

x t =∑i =/

∞

Ai e t −i t =12 (3.3*

Las matrices A se obtienen recursivamente como

Ai =1 A

i −12 Ai −23 A

i −3... p Ai − p (3.3*

La función impulso respuesta es conceptualmente equivalente al siguiente e#perimento;cómo habría reaccionado la economía si hubiese recibido una innovación versus cómoefectivamente evolucionó= $sto depende primero del perfil de las innovaciones segundo de lahistoria de la economía + t −1 y tercero del hori!onte de simulación H .

La función generali!ada de impulso 7QRH se define como&+ x ! , , + t −1= E x t n T e t = , + t −1− E x t ! , + t −1 (3.4/*

:sando (3.4/* en (3.3* obtenemos &+ ! , ,t −1= A! . $s decir la función impulso

respuesta es independiente de + t-1 pero no de I . -or ello cómo se modelan las innovaciones es clave.

1? -esaran. . and M. "hin (1* EQeneralised Rmpulse &esponse %nalysis in Linear 'ultivariate 'odelsF Economic!etter! 81?52.


15/29

3.18

Como hemos discutido "ims (1/* sugiere utili!ar la descomposición de Choles@y es decirescoger una matri! triangular tal que

33 > = (3.41*

%sí el )%& en representación media móvil con la restricción de identificación se escribecomo

x t =∑i =/

∞

A i 3 3 −1 e t −i t =1 2

= ∑i =/

∞

Ai

3 "t −i (3.42*

donde "t =3 −1

e t es decir la innovación ortogonali!ada. Aote que E" t " > t =+ > n .

-or ello el vector de impulsos5respuestas J ortogonali!ado de una innovación en laecuación 9 en el instante t:H es

# 9 / != A! 3 $+ 9 (3.43*

donde +(9) es un vector EindicadorF que selecciona la ecuación 9 del sistema (1 en 9 / en cualquierotro lugar*.

:na propuesta diferente sería usar (3.4/* pero en ve! de darle un innovación a todos loscomponentes de e t darle una innovación sólo a un elemento y desconectarle del efecto de las otras

innovaciones 7observadas o simuladas sobre la base de alguna distribución7. $s decir

&+ x n , , + t −1= E x t n Te t = 9 , + t −1 − E x t n , + t −1 (3.44*

\oop et al. (1>*1 demuestran que si las innovaciones se distribuyen normal entonces

Ee t Te 9t = 9 =10 , 20 , ... ,n9 > 99 −1 9 =% e 9 99

−1 9 (3.48*

por lo que el vector de impulsos5respuestas generali!adas (no escaladas* de una innovación en laecuación 9 en el instante t:n es

A! % e 9

99 9

99 (3.4>*la respuesta normali!ada se obtiene si 9 99 . $s decir

1 \oop Q. '. . -esaran ". '. -otter (1>* ERmpulse response analysis in nonlinear multivariate modelsF ;orna#of Econometric! ?4 1514?


16/29

3.1>

# 9 % != 99

^ A

!% + 9 (3.4?*

$n resumen las diferencias entre las funciones de impulso5respuesta est+ndares y las

generali!adas son• J 9 0 es sensible al ordenamiento (ortogonali!ación* de los innovación s en cambio J 9 % no es

sensible.• J 9 0 y J 9 % coinciden si [ es diagonal.• "i [ no es diagonal J 9 0 y J 9 % coinciden sólo en 9=1 (es decir para la primera variable del

)%&*.

• mientras las funciones impulso5respuesta ordinarias est+n normali!adas a uno ∑ 9 =1

∞

i9 o =1 las

funciones impulso5respuesta generali!adas no lo est+n ∑ 9 =1

∞

i9 %

1 perdiendo

comparabilidad.

3.10 DESCOMPOSICION DE LA V ARIAN* el error de pronóstico un paso adelante esx t 1− Et x t 1=t 1 . $l error de pronóstico H pasos adelante es

x t !− Et x t ! =∑i =/

!−1

i t !−i (3.4*

Iomemos el error de pronóstico H pasos adelante sólo para el componente y t pero en

función de sus componentes estructurales.

y t !− E t y t !=11/ t ! y 111 t !−1

y ...11!−1 t 1 y

12 / t !z 12 1 t !−1

z ...12 !−1 t 1z (3.8/*

Iomemos ahora la varian!a de este error de predicción sin olvidar que las innovaciones sonno correlacionadas

y 2 != y

2 [11 /2111

2...11 !−12 ]z

2 [12 /2121

2...12!−12 ]

z 2 != y

2 [21 /22112...21!−1 2] z 2 [22 /22212...22!−12 ](3.81*

La ecuación (3.81* es la descomposición de la varian!a del error de pronóstico. ;Cómoentendemos esta descomposición= Lo que tenemos es la suma de varian!as de las innovacionesEestructuralesF ( ε t * ponderadas por su importancia en la estructura din+mica (memoria* de cada variable ( Ki *. $s decir la incertidumbre de la predicción es una combinación variable de laincertidumbre de las innovaciones originales condicional en el proceso de identificación.


17/29

3.1?

:na consecuencia de lo anterior es que si la mayor parte de la incertidumbre de lapredicción de x t proviene de innovaciones propias entonces la variable ser+ m+s bien Ee#ógenaF.

$l an+lisis que utili!amos para la función de impulso5respuesta generali!ada en la secciónanterior es perfectamente v+lido en este conte#to. Las funciones J 9 o y J 9 % pueden ser utili!adastambién para obtener las funciones de descomposición de la varian!a del error de pronóstico (*

i9 o !=

∑i =/

!

e i > Ai

3e 9 2

∑i =/

!

e i > Ai % A i > e 9

i9 % !=

99 −1∑

i =/

!

e i > Ai % e 9

2

∑i =/

!

e i > Ai % A i > e 9

(3.82*

3.11 VAR ESTRUCTURALES

$l ob0etivo de un )%& estructural ( VAR * es obtener una ortogonali!ación no recursiva delos residuos para la función impulso5respuesta basada no en la descomposición de Choles@y sino enla teoría económica. $llo naturalmente requiere imponer restricciones de modo de identificar laforma primitiva desde la reducida.

9ado x t de orden se busca reali!ar el mappin% Ae t =B t donde ε t son las innovacionesprimitivas y e t los residuos de la forma reducida. "ea [ la matri! de covarian!a de los residuos. %sumiendo (por comodidad* que las innovaciones son ortonormales (es decir con varian!a 1*entonces

A % A> =BB> (3.83*

Como las matrices de (3.83* son simétricas el supuesto de ortonormalidad provee (:1)Lrestricciones sobre los elementos de % y G. "e requiere proveer M (:1)L restriccionesadicionales.

La especificación de las restricciones de identificación es frecuentemente de dos tipos Ecortopla!oF y Elargo pla!oF. -ara aquellas de corto pla!o usualmente basta con poner ceros.

'+s generalmente se pueden imponer restricciones del tipo

1=c 1$e 12=−c 2$e 1c 3$e 2 (3.84*

Stra manera de incorporar EestructuraF en el )%& es imponer restricciones de largo pla!o.Glanchard y


18/29

3.1

pla!o de la función impulso5respuesta. La respuesta de largo pla!o (acumulada* de las innovacionesprimitivas es

5 =#∞ A−1

B (3.88*

donde #∞= + − A1− A2−...− A p −1

es decir la respuesta acumulada estimada de la forma reducida.La restricción de largo pla!o afecta los elementos de la matri! C 7por e0emplo 5 i9 =0 7 lo quepermite la identificación. La restricción anterior dice que la respuesta acumulada de la i 5ésima variable a la innovación EestructuralF 9 5ésimo es cero.

$#isten algunas consideraciones en el uso de un ")%&

• Las matrices % y G deben ser cuadradas y no5singulares i.e. debe haber tantas ecuacionescomo variables endógenas.

• Las restricciones deben ser lineales.• La restricción que las innovaciones tengan varian!a unitaria es innecesaria pero ellas debenser no correlacionadas entre ecuaciones y en el tiempo.

• $s posible que las restricciones no provean EsignoF para un coeficiente (e0 a 11=" 23 *. )erChristiano $ichenbaum and $vans (1*2/ para una descripción de este problema.

• % diferencia de un )%& est+ndar se puede testear el modelo por el método de Eover- identifyin% re!triction! F. $s frecuente que una EteoríaF provea muchas restricciones para lospar+metros o entre ecuaciones. 9e hecho podrían sobre5identificar. $llo permite testear elmodelo con restricciones y sin restricciones usando un test 2.

3.12 CUASI VAR S

Como es obvio los modelos )%& son intensivos en par+metros. $n ocasiones ello no esproblema pero en muestra pequeDa puede ser costoso. :na e#tensión de los modeos )%&s son loscuasi5)%& que pueden ser vistos como un híbrido entre un modelo )%& puro y un modelo $"I.$s decir aquellos )%&s donde algunas variables son consideradas e#ógenas e#5ante pero sudin+mica y efecto sobre las variables endógenas es determinado al interior del modelo. $s decire#cluimos del )%& la ecuación para la variable considerada e#ógena y la incluimos como una variable determinística.

[

y t z

t

]=

[

a 1/a

2/

]

[

a 11 a 12

a 21

a 22

][

y t −1z

t −1

]

[

e t 1

e t 2

]

[

11 12

21

22

][

m t −1!

t −1

](3.8>*

$n muchos casos el uso de un modelo cuasi5)%&s es 0ustificado (p.e. la tasa de interésinternacional en un modelo para una economía pequeDa la demanda de bienes e#portables etc.*. La0ustificación de la especificación no obstante debe estar bien hecha.

2/ Christiano Larence N. 'artin $ichenbaum and Charles L. $vans. 1. E'odeling 'oney.F Oor@ing -aper no.>3?1 (Nanuary* AG$& Cambridge '%.


19/29

3.1

A P;NDICE A= MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS TRADICIONALES

Los modelos de ecuaciones simult+neas han sido la base de muchos desarrollos

econométricos en los ,ltimos 8/ aDos y proveen una herramienta ,til para modelar problemaseconómicos. $n este apéndice presentamos los dos aspectos m+s destacados de esta literatura laderivación formal de las condiciones de identificación y las técnicas de estimación de sistemacompleto.

:na manera pr+ctica de describir un modelo de ecuaciones simult+neas es

11 y t 112 y t

2...1m y t m 11x t

112x t 2...1@ x t

=t 1

21 y t 122 y t

2...2m y t m 21x t

122x t 2...2@ x t

=t 2

&

m1 y t 1

mB y t 2

...mm y t m

m1 x t 1

m1 x t 2

...m x t

=t m

(%.1*

donde las variables y son llamadas tradicionalmente EendógenasF y las variables x Ee#ógenasF. Aoteque hay m variables endógenas y e#ógenas. %dem+s hay m ecuaciones x 1 es una columna de unos(constante* y ε son innovaciones.

-odemos escribir el modelo de manera m+s simple usando matrices de modo que

[ y t 1 y t

2 ... y t m ]

[

11 ' 1m21 ' 2m& ( &

m1 ' mm

][x t

1x t

2 ... x t ]

[

11 ' 1@ 21 ' 2@ & ( &

1 '

]=[ t

1 t 2 ... t

] (%.2*

9e manera m+s compacta

y t > x t > B=t > (%.3*

A.1 E# pro"#ema de identificaci8n

%ntes de derivar la técnica general de identifiación estudiemos un caso particular paraentender este problema en el conte#to de ecuaciones simult+neas. "ea el siguiente modelo

)emanda ' d =1 p t 2 y t t d

*ferta ' ! =1 p t t !

E'i#i"rio ' ! =' d

(%.4*

con ENε d O=ENε ! O=0 y ENε d ,yO=ENε ! ,yO=ENε d ,ε ! O=0.


20/29

3.2/

&esulta evidente que p y ' son endógenos y es e#ógeno y las dos ecuaciones no sonindependientes. -odemos resolver el sistema de dos incógnitas y dos ecuaciones

' t = 12 y t

1−1 t

d

−t !

1−1

pt = 2 y t 1−1

1 t

d −1t !

1−1

(%.8*

Aote que hay problemas derivados de 5ov [ p t , t d ]=

d

2

1−1. Aaturalmente debemos

restringir 1)1 pero ese no es el problema m+s grave. "i quisieramos estimar la ecuación dedemanda directamente el estimador 1 sería sesgado. $ste es el llamado sesgo de simultaneidadcada ve! que hay variables endógenas en el lado derecho de la ecuación los par+metros est+nsesgados. La ecuación (%.4* es ma# ##amada la representación EestructuralF.

&eescribamos la ecuación (%.8* de modo que conforme la llamada Eforma reducidaF

' t =1 y t t 1

pt =2 y t t 2

(%.>*

la que sí puede ser estimada directamente porque no hay covarian!a entre los regresores y losresiduos 1 o 2.

:na ve! obtenidos los estimadores 1 y 2 notemos que

1= 2

1−12=

1 21−1

(%.?*

por lo tanto podemos obtener el estimador 1= 21

y naturalmente la ecuación de oferta. "in

embargo no podemos obtener la ecuación de demanda de la misma forma. $n la 0erga de ecuacionessimult+neas se dice que esta ecuación de demanda est+ sub5identificada en tanto que la ecuación deoferta est+ identificada.

"i volvemos al modelo general de la ecuación (%.2* su forma reducida ser+ del tipo

[ y t 1 y t 2 , ... , y t m ]=[x t 1 x t 2 ... x t ][11 ' 1@ 21 ' 2@ ' ' '1 '

][t 1t 2 ... t m ] (%.*


21/29

3.21

Jrente al modelo general cabe preguntarse cómo podemos saber cu+ndo una ecuación est+identificada de modo que podamos estimar los par+metros de la forma reducida y obtener lospar+metros de la forma estructural.

-ara ello estudiemos la ecuación (%.2*

• en la matri! hay m par+metros desconocidos (podemos hacer que los par+metros del tipoP ii sean 1 por lo que hay m -m incógnitas*.

• en la matri! G hay m par+metros desconocidos• en la matri! de varian!as y covarian!as de los errores hay Qm(m-1) incógnitas (las

covarian!as* porque la matri! es simétrica.

$studiemos ahora la ecuación (%.*

• en la matri! hay m par+metros estimados• en la matri! de varian!as y covarian!as de los residuos hay Qm(m-1) par+metros estimados

(las covarian!as* porque la matri! es simétrica.

-or lo tanto no es posible resolver el sistema de ecuaciones porque hay m+s incógnitas quepar+metros estimados. $s por ello que los modelos de ecuaciones simult+neas deben imponerrestricciones de identificación las que toman diferentes formas

• $n ocasiones algunas ecuaciones son identidades es decir ecuaciones con par+metrosconocidos (por e0emplo MCRQ*.

• $n otros casos se imponen restricciones cru!adas entre par+metros (por e0emplo de unafunción de producción Cobb59ouglas con retornos constantes de escala obtenemoslogMU6log\ (156*log L*.

• "e restringen innovaciones porque se sabe que no covarían ( ENε d ,ε ! O=0 *.

$n realidad en la mayoría de los casos es el econometrista el que impone las restriccionesnecesarias para poder identificar. %lgunas veces éstas se derivan de la teoría pero ello no esfrecuente. Iípicamente éstas son arbitrarias.

todo %enera# de determinar e# %rado de identificaci8n

-ara evaluar si una ecuación est+ identificada separaremos las variables endógenas ye#ógenas en grupos


22/29

3.22

Cua"$+ A>%"!/# 1

Rncluidas en la

ecuación

$#cluidas de la

ecuación$ndógenas y 0 #0$#ógenas y 0Y #0Y

-or lo tanto la 05ésima ecuación estructural puede ser escrita como

y 9 =S 9 > 9 S 9 Y > 9

Y x 9 > B 9 x 9 Y > B 9

Y 9 (%*

en tanto que la 9 5ésima ecuación reducida es

[ y 9 S 9 > S 9 Y > ]=[x 9 x 9

Y ] > [ 9 * 9 * 9 9 Y * 9 Y * 9 Y ] 9 (%1/* %l buscar la equivalencia para volver de (%.1/* a (%.* encontramos las siguientes

condiciones de identificación

* 9 −* 9 9 = 9 * 9

Y −* 9 Y 9 =/

(%11*

9e la primera condición no podemos derivar mucho pues depende de 6 que esdesconocida. 9e la segunda condición tenemos T 9 ecuaciones y 9 incógnitas. "i T 9 9 elproblema tiene solución. $sta es la m+s simple regla de identificación llamada condición de orden

i e# n6mero de varia"#e! ex8%ena! exc#ida! de #a ecaci8n e! mayor o i%a# 'e e# n6mero de end8%ena!inc#ida!, entonce! #a ecaci8n e!tU identificada.

$l problema de la condición de orden radica en que es posible que alguna o algunas de lascolumnas de T 9 o de 9 "ean linealmente dependientes de las otras. -or ello la condición de ordenno es suficiente. Lo que queremos es que e# ran%o de #a matriz T 9 !ea mayor o i%a# a# ran%o de #a matriz 9 .Ao muy sorprendentemente esta condición es llamada condición de rango.

abr+ entonces tres casos

• T 9 U 9 la ecuación est+ e#actamente identificada• T 9 9 la ecuación est+ sobre identificada• T 9 j 9 la ecuación est+ sub identificada

Ianto en el primero como segundo caso la estimación es posible. $n el tercero no esposible identificar los par+metros estructurales a partir de la forma reducida.


23/29

3.23

A.2 M>-+"+s 6 T>/%!/as "# Es-!a/!%

%ntes de revisar los métodos de estimación es conveniente notar que sólo se necesita

identificar si es que se va a hacer algun test sobre los par+metros estructurales. "i se desea predecire#clusivamente basta con estimar la ecuación reducida (3.>>*.

)amos a separar los métodos de estimación en dos familias (1* estimación ecuación porecuación y (2* estimación del sistema completo. Iambién vamos a separar por técnica de estimación(1* mínimos cuadrados y (2* m+#ima verosimilitud. $s decir hay cuatro casos para estudiar

Cua"$+ A>%"!/# 2

'étodo de estimación Iécnica de estimación

'ínimos cuadrados '+#ima verosimilitud

$cuación por ecuación % G"istema completo C 9

M>-+"+s "# Es-!a/!% E/ua/!% +$ E/ua/!%

5a!o A 2cnica de m7nimo! cadrado!

$s importante preguntarse cu+ndo es legítimo estimar ecuación por ecuación. $#iste un tipode modelo de ecuaciones simult+neas que es posible estimar eficientemente ecuación por ecuación

el llamado modelo recursivo.

y t 1=1x t

1t 1

y t 2=2 x t

121 y t 1t

2

&

y t m =m x t

1m1 y t 1mB y t

2...m# y t m t

m

(%12*

Aote que este modelo se puede estimar de la siguiente manera (1* estime la primeraecuación por SL" (no hay problema por que no hay sesgo de simultaneidad* (2* prediga y t 1 usandola ecuación anterior y reempla!e y t

1 por y t 1 en la segunda ecuación , (3* estime la segunda ecuación

(4* prediga y t 2 usando la ecuación anterior etc.

:n segundo caso sucede cuando es lícito usar mínimos cuadrados indirectos de modosimilar al usado en el e0emplo de oferta y demanda. "i en la condición de identificación 7ecuación(%.11*7 el rango de la matri! T 9 es igual al rango de la matri! 9 entonces

* 9 Y −* 9

Y 9 = / ⇒ 9 = * 9 Y−1 * 9

Y (%13*


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3.24

$n el caso en que el rango de la matri! T 9 es mayor que el rango de la matri! 9 la preguntam+s interesante es ;cómo usar este Ee#cesoF de información de manera creativa= Sbviamentepodríamos botar alguna columna pero eso raramente es óptimo. :na alternativa interesante es

utili!ar lo que aprendimos en los métodos de variables instrumentales.$n primer lugar note que si la ecuación est+ e#actamente identificada entonces hay una

variable e#ógena e#cluida por cada endógena incluida es decir un instrumento por cada variable delado dercho que tiene covarian!a con el residuo. $n segundo lugar si rango de la matri! T 9 es mayorque el rango de la matri! 9 habr+ m+s instrumentos de lo estrictamente necesario. -ero esteproblema ya sabemos enfrentarlo usando un estimador en dos etapas (1* buscamos la combinaciónlineal de D 9 que me0or represente (prediga* S 9 usando mínimos cuadrados y (2* estimamos la 9 5ésimaecuación usando la predicción hecha en la primera etapa. $ste es el llamado estimador de mínimoscuadrados en dos etapas ( *.

5a!o B 2cnica de mUxima vero!imi#itd

:na alternativa es hacer la estimación por m+#ima verosimilitud que a diferencia de es asintóticamente normal independientemente de la distribución de los residuos. $n principio lafunción de verosimilitud de la 9 5ésima ecuación es

max =−n 2

[m 9 1 log 2 logT 9 T]−1

2∑i =1

n

[ y 9 −x > 9 * 9 ] 9 −1[ y 9 −x > 9 * 9 ] > (%14*

su0eto a

* 9 −* 9 9 = 9 * 9

Y −* 9 Y 9 =/

(%18*

$#iste un algoritmo que soluciona este problema de ma#imi!ación y que es m+s simple quetratar de estimar los par+metros directamente usando la función de verosimilitud.

• "ea W 9 / = E/ > 9 E 9

/ donde E 9 /= ( 9 S 9

/=[ + − D 9 D 9 > D 9 −1 D 9 > ]S 9

/ . $s decir E 9 0 son losresiduos de una regresión de S 9 0 en D 9 .

• 9efinimos adem+s W 9 1 = E 9

1> E 9

1 donde E 9 1 =[ + − D D > D −1 D > ] S 9

/ . $s decir losresiduos de una regresión de S 9 0 en k.

• Computamos =W 9 1

−1

W 9 /

la raí! característica m+s pequeDa. "ea W 9 /

=

[$ 99

/$ > 9

/

$ 9 /W > 99

/

] y

W 9 1=[ $ 99

1$ > 9

1

$ 9 1W > 99

1 ] .• $ntonces los estimadores de m+#ima verosimilitud son 9 0+(0 =[W 99

/−W 99

1 ]−1

$ 9 /− $ 9

1 y

9 0+(0 =[ D 9 > D 9 ]−1

[ D 9 > y 9 −S 9 9 0+(0 ]


25/29

3.28

M>-+"+s "# Es-!a/!% "# S!s-#a C+#-+

La principal diferencia entre la estimación de un modelos como sistema en ve! de ecuación

por ecuación es aprovechar la información que pueda haber sobre la correlación de residuos demodo de hacer m+s eficiente la estimación. $s decir los métodos uniecuacionales dan cuenta delproblema de inconsistencia en tanto que los métodos de sistema dan cuanta adem+s del problemade eficiencia. $s decir estos ,ltimos hacen una corrección tipo mínimos cuadrados generali!ados0unto con variables instrumentales.

5a!o 5 2cnica de m7nimo! cadrado!

$ste método llamado mínimos cuadrados en tres etapas consiste en

1. Sbtenga S 9 para cada ecuación2. Compute el estimador de mínimos cuadrados en dos etapas 2"L" .3. Compute el estimador de la covarian!a de los residuos entre ecuaciones

i9 = y 9 − 9 X 9 > y 9 − 9 X 9

2

4. Sbtenga la varian!a asintótica de los estimadores A!.Var 9 =X > %−1

X −1 .

5a!o 2cnica de mUxima vero!imi#itd

La ,ltima alternativa es usar el estimador de m+#ima verosimilitud que en este casocorresponde a

max log =−2

2 [ log2 logT Ttr −1 ]

su0eto a*=− B−1

=−1> % −1

(%1>*

donde los elementos de V son +i9 = y i −x i *i > y 9 −x 9 * 9

2 .

La solución de (%.1>* el llamado estimador de m+#ima verosimilitud con información

completa o JR'L requiere del uso de métodos de c+lculo numérico.


26/29

3.2>

C+a$a/!% "# M>-+"+s

• $l ,nico método que usa toda la información eficientemente es JR'L (asintótico*.

• "i los residuos se distribuyen normales entonces 3"L" es eficiente.• "i la ecuación esta e#actamente identificada JR'L equivale a SL" ecuación por ecuación.• "i la muestra es grande (n Z* los métodos JR'L y 3"L" dominan a los uniecuacionales.↝• "i hay problemas de especificación los métodos uniecuacionales son preferidos a

multiecuacionales porque no se EcontagianF.

S!ua/!% "# M+"#+s "# E/ua/!+%#s S!u-?%#as

$l principal ob0etivo de los modelos de ecuaciones simult+neas es obtener predicción de las variables endógenas condicional en distintos supuestos sobre la evolución futura de las variablese#ógenas. La 0erga de la simulación de estos modelos distingue entre efectos (llamados

EmultiplicadoresF* de corto pla!o (llamado EimpactoF* de los de largo pla!o. Iambién distingueentre simulaciones est+ticas (sin retroalimentación de las variables predeterminadas* y simulacionesdin+micas (con retroalimentación*.

"ea el modelo y t > x t > y t −1 > = t > . "u forma reducida es

y t > =x t > * y t −1 > , t > (%1?*

#tip#icador +mpacto.

$l efecto instant+neo de la variables x en la ecuación m 5ésima es simplemente

∂ y t m >

∂ x t =*m (%1*

#tip#icadore! de ar%o 3#azo.

&ecuerde que si y t > x t > y t −1 > =t > entonces y t −1 > x t −1 > y t −2 > = t −1 > .-or ello cada ve! que cambia una variable e#ógena las variables endógenas siguen una trayectoriaes decir tienen una evolución en el tiempo.

∂ y t m

> ∂ x t −!

=*,! m (%1*


27/29

3.2?

im#aci8n inUmica v!. E!tUtica

Aote que cuando se simula el modelo y t > =x t > * y t −1 > ,t > dentro de la muestra hay

dos maneras de tratar el valor de los re!agos de las variables endógenas el predicho por el modelo(simulación din+mica* o el efectivamente observado (simulación est+tica*.


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3.2

A P;NDICE B= E @ERCICIOS

1. ;% qué se refieren los econometristas cuando seDalan que la descomposición de Choles@y es

una forma de identificación de mínima restricción en un modelo= :se como e0emplo del rol que0uega una restricción de identificación en el siguiente modelo propuesto por "ims. $n particularresponda ;cu+ntas incognitas hay en la forma estructural= ;Cuantos par+metros se obtienen de laforma reducida= ;Cuantas restricciones se necesitan= ;Cu+les restricciones impone la técnica deCholes@y=

m t =" 11 y t " 12 i t a 11 m t −1a 12 y t −1a 13 i t −1t m

y t =" 21 m t " 22 i t a 21 m t −1a 22 y t −1a 23 i t −1t y

i t =" 31 m t " 32 y t a 31 m t −1a 32 y t −1a 33 i t −1t i.

2. "uponga que :d. desea obtener la función impulso5respuesta del siguiente modelo y t =/.?y t −1/.2y t −2t con t ↝ = / YZ . :tilice la técnica de la representación espacio5estado(es decir convierta el modelo en un modelo tipo %&(1** y obtenga la la función impulso5respuestagenerali!ada.

3. Considere el siguiente modelo )%&. Le proponen el siguiente algoritmo para testear lacausalidad entre y y z (1* estimar cada modelo por SL" y (2* testear si P i9 es cero. "eDale al menostres limitaciones que invalidan el algoritmo.

y t =" 1/−" 12 z t 11 y t −112 z t −1t y

z t =" 2/−" 21 y t 21 y t −122 z t −1t z

4. 9escriba de manera precisa cómo se deriva la varian!a del error de predicción un pasoadelante de un )%&(p* bivariado. ;Cu+les son sus componentes= ;Cómo se interpretan=


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3.2

C+%-#%!"+sCapítulo 3...............................................................................................................................................................1

'odelos de "eries de Iiempo ...........................................................................................................................1$stacionarias 'ultivariados................................................................................................................................13./1 )ectores %utoregresivos............................................................................................................................13./2 $l -roblema de Rdentificación..................................................................................................................23./3 $cuaciones "imult+neas Iradicionales vs. )%&s..................................................................................43./4 Causalidad en "eries de Iiempo...............................................................................................................83./8 $stimación de un )%&(p* por '+#ima )erosimilitud........................................................................ 3./> Junciones Rmpulso5&espuesta del )%&...............................................................................................113./? Junciones Rmpulso5&espuesta usando Iécnica $spacio5$stado.....................................................123./ $rrores $st+ndares de la Junción Rmpulso5&espuesta.......................................................................133./ Junciones Rmpulso5&espuesta Qenerali!adas......................................................................................14

3.1/ 9escomposicion de la )arian!a del $rror de -ronóstico.................................................................1>3.11 )%& $structurales.....................................................................................................................................1?3.12 Cuasi )%&s................................................................................................................................................1 %péndice % 'odelos de $cuaciones "imult+neas Iradicionales .............................................................2/ %péndice G $0ercicios.......................................................................................................................................2

:ltima corrección 24K/3K/

Modelos de Series de Tiempo Estacionarios Univariados II

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