Capítulo iii modelos univariados de series de tiempo

CURSO: INTRODUCCIÓN A

LA ECONOMETRÍA

APLICADA A LAS FINANZAS

02 de junio de 20161

3.- Modelos univariados de series de tiempo para estimación. Modelos

autorregresivos, promedios móviles, funciones de autocorrelación parcial,

Modelos ARMA, EWMA.

CAPÍTULO III: MODELOS UNIVARIADOS DE SERIES DE TIEMPO

2

Este es un análisis alternativo al Modelo clásico de regresión lineal, el cual

surgió en los años 70 de la mano del libro Time Series Analysis,

Forecasting and Control de George Box y Gwilym Jenkins, donde

propusieron un análisis univariado de series de tiempo postulando la

existencia de un proceso estocástico generador de datos (data generating

process).

Modelos que predicen variables financieras usando sólo información

contenida en sus propios valores pasados y posiblemente en los valores

presentes y pasados del término de error. La evolución de una serie de

tiempo puede explicarse por su propio pasado más la acción de una

perturbación aleatoria.

Modelos de series de tiempo son a-teóricos. Su construcción y uso no está

basado en algún modelo teórico sobre el comportamiento de la variable. En

lugar de ello, estos modelos capturan características empíricas relevantes

de la data observada (por eso se recomienda no abarcar largo plazo en

data).

Ejemplos: ARIMA (Box – Jenkins 1976) yt = ǿ Yt-1


3

Lo más importante en una serie de tiempo es determinar si los datos son

estacionarios o no para determinar si la serie puede influenciar sus

propiedades y comportamiento.

Proceso estrictamente estacionario (mean-reverting), es decir, el ǿ<0,8

Es aquel cuya función de distribución se mantiene igual en la medida que

el tiempo pasa implicando que la probabilidad de que yt caiga dentro de un

intervalo particular es la misma ahora como en cualquier momento en el

pasado o futuro.

Proceso débilmente estacionario

Presentan promedio, varianza y auto-covarianza constante.

Auto-covarianza: Determina como yt está relacionado con sus valores

previos y por una serie estacionaria. Dependen sólo de la diferencia entre

Yt-1 y Yt-2. Así que la covarianza entre Yt-1 y Yt-2 es la misma como la

covarianza entre Yt-10 y Yt-11.


4

Fórmulas Covarianza

Covarianza Muestral (X,Y) = ∑ [(Xi – X)(Yi – Y) ]

n-1

Covarianza = Correlación lineal entre X y Y (ρ) * σx * σy

Autocovarianza: Autocorrelación de una serie temporal discreta de un

proceso Xt no es más que simplemente la correlación de dicho proceso con

una versión desplazada en el tiempo de la propia serie temporal.

5

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_temporal

Es más conveniente usar las autocorrelaciones los cuales son las

autocovarianzas normalizadas cuando son divididas por la varianza. Este tipo

de autocorrelación tiene la propiedad estándar como los coeficientes de

correlación en las que los valores se mueven en un rango de ± 1. Y si estos

valores son graficados podríamos obtener una función de autocorrrelación o

correlograma.

Proceso de ruido Blanco (White Noise) Es decir, el ǿ=0

Proceso en la cual no presenta una estructura discernible. Presenta media y

varianza constante y cada observación es incorrelacionada con todos los otros

valores de la secuencia. Se asume que Yt se distribuye como una normal,

entonces los coeficientes de autocorrelación aproximadamente también están

normalmente distribuidos. Asímismo, los residuos no están correlacionados.

Los coeficientes de autocorrelación pueden ser usados para construir pruebas

de significancia para determinar si es significativamente diferente de cero

±1.96*1/√(T). Si el coeficiente de autocorrelación se encuentra fuera de la

región entonces la hipótesis nula de no autocorrelación es rechazada (es decir,

existe autocorrelación).

Autocorrelación Parcial: correlación entre yt y yt-3 después de controlar yt-1 y yt-2


6

También se pueden hacer pruebas conjuntas (globales) usando el estadístico Q de Box

y Pierce (1970) Ho= NO ACR (ojo propiedad de fallar en caso de muestras pequeñas)…

Para solventar esta situación, en 1978 Ljung y Box desarrollaron una estadística en la

cual cuando la muestra se aproxima al infinito se aproxima a la Q de Box y Pierce.

Proceso de Promedio Móvil (MA)

Combinación de procesos de ruido blanco…. (Yt. Depende de los valores presentes y

pasados de los términos de error de ruido blanco). Ø son los ponderadores que indican

la persistencia de shocks pasados. Si Ø=0.3 de Ut-1 indica que en el mes en curso, la

perturbación ocurrida el mes pasado todavía conserva esa parte de su magnitud (un

30% en este caso).

Yt = μ + ut + ø1 ut-1 + ø2 ut-2 + ø3 ut-3 + ø4 ut-4 + ….. + øq ut-q

Proceso Autoregresivo (AR) utilizado en 1927 por Yule aplicado en la predicción de las

manchas solares.

Los valores presentes de la variable Y depende sólo de los valores que la variable

toman en los períodos previos (realizaciones anteriores) más su término de error.

Realizaciones más lejanas en el tiempo no tienen influencia destacable sobre magnitud

actual de la variable.

Yt = μ + ø1 yt-1 + ø2 yt-2 + ø3 yt-3 + ø4 yt-4 + ….. + øq yt-p + ut

Estacionariedad es una propiedad deseable de un modelo AR.


7

En caso de que un proceso AR es no estacionario tiene la mala propiedad

de que los valores previos del término de error tendrá un efecto no

descendiente sobre los valores corrientes de yt a la medida que el tiempo

progresa.

Proceso ARMA

Combinación AR y MA. Los valores corrientes de la serie de y depende

linealmente de sus previos valores propios (yt-1, yt-2, etc.) más una

combinación de valores corrientes y presentes del término de error de ruido

blanco.

Yt = μ + ø1 yt-1 + ø2 yt-2 + ø3 yt-3 + ….. + øq yt-p + ut + ø1 ut-1 + ø2 ut-2 + ø3 ut-3

+ ø4 ut-4 + ….. + øq ut-q

La correlación parcial es importante en este caso.


8

Proceso ARIMA

Combinación AR y MA integrado (lo mismo que un proceso ARMA con

datos que se lograron diferenciar o se hicieron transformaciones para ser

estacionarios).

Ruido Blanco:

Rt = Ro +Ԑt

Ԑt = variable aleatoria (distribución N(0,σ2)). Es decir, el ǿ=0

Este modelo es una clase de modelo estacionario e implica que la variable

oscila alrededor del valor “natural” o de largo plazo (Ro), movida por la

influencia de un factor aleatorio no predecible. Los cambios que se

producen en un período no persisten en el tiempo. Cuando una serie se

comporta de acuerdo a este modelo se dice que es I(0), integrada de orden

cero.


9

Random Walk:

Rt = ǿ Rt-1 +Ԑt Es decir, el ǿ=1

Donde Ԑt tiene una distribución normal1 con media cero y variancia finita y

no tiene correlación serial (o sea, Ԑt es ruido blanco). Según este modelo,

el mejor predictor de una variable en el período t es la tasa del período t-1.

Cuando se produce una perturbación aleatoria en la variable, ésta tiene

infinita persistencia en el tiempo. La tasa no está acotada (puede adoptar

cualquier valor).

Cuando una serie se comporta de acuerdo a este modelo es no

estacionaria y se dice que es I(1), integrada de orden uno.

El modelo random walk es un caso límite de un modelo más general, el

autorregresivo de orden uno (AR(1)), en el cual las perturbaciones tienen

cierta persistencia, pero la variable vuelve eventualmente a su nivel de

equilibrio.


1 No es imprescindible la normalidad para los procesos de ruido blanco.10

Modelo Autoregresivo de Orden 1 (AR(1)):

Rt = c + βRt-1 + Ԑt

donde 0<β<1 y Ԑt tiene una distribución normal con media cero y variancia

finita. El valor de β determina la velocidad de la variable (tasa de interés, tc,

etc.) para regresar a su valor de largo plazo. Ese período se denomina de

"reversión a la media" ("mean reversion"). La "vida media" ("half life") es el

tiempo que demora en reducirse a la mitad un shock inicial en R y

constituye una medida de la persistencia de los shocks. La vida media (así

como la persistencia) es mayor en la medida en que β se aproxima a uno.

Así, un β =0,9950 implica que el proceso tiene una vida media de 5 años,

mientras que si β =0,9975 la vida media es de 10 años.

Estos modelos suponen que el término del error Ԑt posee varianza

constante, lo cual puede no ser cierto. Una manera de modelar una

varianza variable en el tiempo es suponer que ésta depende de la varianza

y del error en el período anterior. Los modelos más comúnmente

considerados son los modelos GARCH y, especialmente, el modelo

GARCH (1,1). Interesante paper sobre modelos de comportamiento de las tasas de interés

en Argentina: http://www.bcra.gov.ar/pdfs/invest/descal98.pdf


11

http://www.bcra.gov.ar/pdfs/invest/descal98.pdf

http://www.bcra.gov.ar/pdfs/invest/descal98.pdf

Fuente: Software Shop 13

Identificación de tipos de modelos que mejor se adaptan al

comportamiento de los datos. AC varia entre -1 y 1

CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.

pacac

MA(1) Yt = -0,5 ut-1 + ut

pacac

MA(2) Yt = 0,5 ut-1 – 0,25 ut-2 + ut

acf

pacf

1 Ac y descendente pac 2 Ac y descendente pacBarra vertical distancia +2sigma un valor AC dentro de las líneas punteadas no es signif

diferente de cero es decir hay ACR (Ho= ACR=0=no ACR) p-value=0,000 a nivel sig 5%

hay ACR30

Proceso ARIMA

ACF: Sus valores pueden variar entre –1 y 1 correspondientes a un rezago

k indican si existe correlación entre los valores de la serie separados por k

períodos. Si los valores decrecen rápidamente a medida que los rezagos

se incrementan hasta hacerse menores que las líneas punteadas trazadas

a ambos lados del eje vertical. Estas líneas están trazadas a una distancia

de dos desviaciones estándares de la serie, e indican que un valor

individual de ACR dentro de dichas líneas no es significativamente

diferente de cero (nivel de significación aproximado del 5%).

PACF: para un rezago dado k indican la autocorrelación remanente entre

valores de series separados por k períodos, removiendo previamente la

ACR correspondiente a períodos intermedios. Mismas líneas punteadas +-

2 sigmas. Distancia entre líneas punteadas y la línea base se computa

como 2 / √T.

En regresión lineal clásica la ACR constituye una violación de los

supuestos, en enfoque ARMA corresponde la materia prima del análisis.

(Pág. 173 libro fabris).


31


comportamiento de los datos.


pacac

AR(1) Yt = 0,9 yt-1 + ut

acf

pacf

1 Pacf no pacf entre yt y yt-1

Función descendente acf

(lenta)

pacac

AR(1) Yt = 0,5 yt-1 + ut

1 Pacf y función descendente

acf

acf pacf

32




pacac

AR(1) Yt = -0,5 yt-1 + ut

acf

pacf

pacac

Modelo no estacionario

coeficiente uno: yt = yt-1 +ut1 Pacf no pacf entre yt y yt-1

Función descendente acf

(rápida)33




pacac

ARMA(1,1) Yt = 0,5 yt-1 + 0.5ut-1 + ut

acf

pacf

Yt

acf

AR

Ut

pacf

MA

Resumen

34

Pasos en la construcción de un modelo ARMA según Box-Jenkins.

1.- Identificación: Determinación del orden del modelo requerido para

capturar las características dinámicas de la data (AC y PAC para ver el

patrón de dependencia temporal de la serie) para determinar la

especificación mas apropiada. Criterios de información de Akaike, Schwarz

(penaliza mas que Akaike) y Hannan-Quinn….agregando nuevas variables

o rezagos tienen efectos castigo sobre los Criterios de información

mencionados arriba…penalizan agregación nuevos parámetros…los

valores más favorables son los menores o en su caso los más negativos)…

RSS se reducen pero la penalidad se incrementa R.

Akaike (AIC)= -2 ( L/T) + 2 (k/T)

Schwarz (SIC)= -2 (L/T)+ k (ln(T) / T )

L es la función de verosimilitud… log likelihood. k= parámetros. T= Número

observaciones.

2.- Estimación: Determinación de los parámetros del modelo especificado

en el paso 1…. Usando MCO (OLS) o máxima verosimilitud. Ver estad t

(valor abs mayor a 2 rechazamos Ho), error estándar, p-value, R2.


Akaike y Schawrz

AR/MA 0 1

0 2.7525 2.75537

1 2.75582 2.75941

35

3.- Chequeo de Diagnóstico: sobre alimentación (overfitting) y diagnóstico de los

residuales (residual diagnostics)… Overfitting: buscando un modelo más grande

para capturar la dinámica de la data (ojo ni muy pequeño ni muy

grande…parsimonioso)….. Diagnóstico de los residuales: chequeo de los

residuales para evidenciar si existe dependencia lineal (modelo inadecuado), acf,

pacf, Ljung-box (Q o significancia conjunta desde el orden 1 hasta el orden k). Se

busca un modelo parsimonioso porque un modelo que posea rezagos irrelevantes

de la variable y del término de error (muchos parámetros innecesarios) incrementa

el EE (error estándar) y dificulta encontrar relaciones significativos en la data.

Necesitamos verificar que los residuos sean de ruido blanco.

Modelos con parámetros innecesarios se inclinan en ajustar a los datos

características específicas las cuales no se pueden replicar fuera de la muestra

(elevados R2) pero con estimaciones imprecisas.

Lo importante en estos casos de modelos univariados de series de tiempo es que el

coeficiente de bondad de ajuste R2 no resulta ser una buena guía respecto de la

adecuación de nuestro modelo. Como a diferencia de las regresiones tradicionales,

los regresores en este caso son variables aleatorias, el estadístico R2 que es una

razón de variabilidades, depende de la variabilidad de los mismos. Fabris pp. 181.


36

3.- Chequeo de Diagnóstico (cont.): La adecuación del modelo, como también ha sido

dicho no resulta de chequear la bondad del ajuste con el estadístico R2. Lo más importante

en este enfoque, que se basa en la modelización de la autocorrelación presente, es que

no quede autocorrelación permanente, lo cual indicaría que hay información disponible

que no está siendo utilizada. Esto se prueba verificando que los residuos de la regresión

sean ruido blanco.

Verificar que el residuo es ruido blanco (es decir, sin ACR):

1)Verificar correlograma de los residuos de la regresión. Q stat. De Ljung-Box desde

orden 1 hasta el orden k. Significancia conjunta Ho=no ACR. Para un nivel de significancia

del 5% un valor p menor que 0,05 indica rechazar la Ho de no ACR hasta el orden k. Que

valor de k? algunos econometristas como Diebold (1998) sugiere k=√T para series

cortas…Otros sugieren guiarse por la periodicidad de la serie y así chequear valores Q

para k=4,8,12 en series trimestrales y k=12,24 y 36 para series mensuales. Otra prueba:

2)Test de Breusch y Godfrey: View/residual test…serial correlation LM test….el test Q

solo se reporta para valores de k que superan la cantidad de regresores…si una ecuación

hay 3 regresores (β), el primer test Q que el programa calcula es el correspondiente a k=4

Ho=no existencia de correlación serial en los residuos hasta el orden k. Verificada la

ausencia de ACR en los residuos de las regresiones…Q*R2 p- value mayor 0,05 hay más

de 5% de probabilidad de No ACR en los residuales..Bueno. En cada modelo se verifica

que los residuos de la estimación de los parámetros sean de ruido blanco.. Para hacerlo

se inspecciona tambien correlograma Q Ljung Box. Cuando residuo no sea ruido blanco

este criterio es prioritario.


37

Para el caso de no tener ningún modelo que haya conseguido eliminar la ACR en los

residuos de la regresión, simplemente elegiremos entre los candidatos el que presente el

mayor valor del criterio elegido.

Transformaciones para estacionarizar series de tiempo (Fabris 189):

a) Extracción de una tendencia determinística: Por ejemplo está claro que una serie

que crece en el tiempo no será estacionaria en media, pero si la regresamos contra

una tendencia (lineal, cuadrática, logarítmica, etc.) quizás podamos transformarla en

una serie que si lo sea. Luego analizaríamos la serie transformada, la identificaríamos,

predeciríamos sus valores futuros y, finalmente, haríamos la transformación inversa

para tener las predicciones de la serie original. La extracción de la tendencia es muy

sencilla si sabemos el tipo de tendencia de qué se trata. Por ejemplo, una tendencia

lineal se determina mediante una regresión contra una tendencia, o sea una serie que

crece uniformemente en el tiempo (t=1, 2, 3) que el programa E-views genera

automáticamente con el comando @trend. Archivo pbi.wf1. Esta serie no es

estacionaria en media (ver gráfico), pero regresándola contra una tendencia quizás

logremos estacionalizarla. La regresaremos contra una tendencia lineal (@trend) o

podríamos probar con @trend^2 o @log(@trend) para tendencia logarítmica. PBI_PM

regresada contra @tend podría tenerse una serie destendenciada es el residuo (en

este caso no se logró). Fuente: Fabris, Julio (capítulo de Modelos univariados).

b) Transformaciones de Box y Cox (igual que con heteroscedasticidad) aplicando log

aplanaría la variabilidad de la misma. (logaritmación)


38

Para el caso de no tener ningún modelo que haya conseguido eliminar la ACR en los

residuos de la regresión, simplemente elegiremos entre los candidatos el que presente el

mayor valor del criterio elegido.

Transformaciones para estacionarizar series de tiempo (cont.):

c) Extracción de una tendencia estocástica… Diferenciándola Zt= Yt- Yt-1 = d(Yt)… se

denominan también series integradas (orden 1 cuando es primera diferencia). La

característica de las series integradas es la persistencia de las perturbaciones en el

tiempo. Es por eso, que en los correlogramas puede detectarse a partir del no

decaimiento de la función de autocorrelación. Se logra un claro retorno a la media

(ejemplo con D(pbi_pm del texto de Julio Fábris).

d) Test de Raíz unitaria: Si hay tendencia determinística (se estacionariza restándole

dicho valor de tendencia como ya hemos visto), pero si la tendencia es aleatoria o

estocástica (es decir generada por un proceso denominado paseo aleatorio o random

walk) que no tiene dirección definida y tiene varianza infinita. En este caso no hay

forma de extraer la tendencia… se trabajaría con las diferencias de la serie original.

Así nuestros procedimientos sería no válidos en el caso de NO ESTACIONARIEDAD.

Ver inverted roots del polinomio AR que si valen 1 es no estacionaria.. Un valor

superior a 0,95 amerita estudio más cuidadoso. También se puede usar View/ARMA

Structure… /Roots… El problema de la estacionariedad sólo se presenta en el

polinomio AR, no en el polinomio MA.


39

Pruebas de raíces unitarias (cont.)… EViews ..hacer prueba intercepto y tendencia

(trend)… este es el test que brinda menos potencia y si no se rechaza ir eligiendo

modelos en orden creciente de potencia (solo intercepto) y luego none.

Ho= ø = 1 (es decir tiene raíz unitaria, o sea que es no estacionaria…p-value=0,1497

es decir, hay 14,97% de probabilidad de caer en Ho de raíz unitaria, es decir es no

estacionaria.


NEE

Valores críticos

del test (1%, 5%

y 10%)

Si diferenciamos una vez (primer orden), dos veces (segundo orden).

-2,4154-3,0123

40

Recomendación…como cuando aplicábamos Dummy para dar cuenta de la estacionalidad

(ojo!! no estacionariedad) estacionalidad: variación de los valores a lo largo del año,

mientras estacionariedad se refiere a metodología Box-Jenkins en la búsqueda de data

estable… se reemplaza variables Dummy por términos de autocorrelación coincidentes

con la serie trimestral para detectar si los valores de los trimestres análogos de cada año

están correlacionados. En las series mensuales un término AR(12) detectaría los patrones

anuales….AR(4) ara detectar si los valores de los trimestres análogos de cada año están

correlacionados. AR(5) efecto fin de semana, los retornos de los días lunes deberían ser

diferentes de los retornos del resto de la semana hábil. Ejemplo pág. 197 Julio Fábris..

modelo con componentes estacionales…. Seleccionamos modelo AR(1) con un término

estacional SAR(4)… En caso de que no se logre.. Existiría raíz unitaria estacional..

Ejemplo en los casos de que no se pueda remover una correlación de cuarto orden,

ejemplo en una serie trimestral agregando términos AR(4), SAR(4) o sus equivalentes MA,

se deberá realizar la diferenciación estacional de la serie…. Zt=Yt- Yt-4.


41


Ejemplo:

En este caso el valor de la inflación en el año en curso “hereda” una magnitud de 84,88% del valor

alcanzado en el período anterior y puede persistir Inercia inflacionaria? Las realizaciones más lejanas

en el tiempo no tienen influencia destacable sobre la magnitud actual de la variable. 42


43

Estimación en econometría:

La modelización univariada de la serie propuesta por metodología Box

Jenkins el pronóstico se basa sólo en las realizaciones pasadas de las

misma, por lo cual no se presenta aquí el problema que aparecía en las

regresiones clásicas, que para pronosticar el consumo del próximo

trimestre se necesitaba suponer el valor del PIB para el próximo trimestre.

Es por eso que en 1970 los pronósticos realizados con la metodología

univariada resultaron ser mucho más precisos que los de la econometría

clásica, generando un gran prestigio para la nueva disciplina. La

modelización univariada de la serie genera una dinámica autónoma que le

permite evolucionar en el corto plazo replicando el patrón histórico de la

misma.

Sin embargo, es de señalar que los pronósticos con un horizonte de más

de media docena de períodos (en realidad este número depende del orden

del modelo y de si se trata de un AR o de un MA) ya no son tan precisos (el

modelo tiende a pronosticar un valor igual a la media de la serie).


44

Estimación en econometría (cont.):

Determinación de los valores que las series podrían tomar. Es fundamental

importante verificar la adecuación estadística de un modelo en término de

si viola o no los supuestos del modelo clásico de regresión lineal o si

contienen parámetros insignificantes.

Por que estimar?.... Mejor precisión, más utilidad se obtendría de una

buena estimación financiera.

Ejemplos:

1.- Estimación del retorno de una acción en particular.

2.- Estimación del precio de una vivienda de acuerdo a sus características

3.- Estimación del grado de riesgo de un portafolio de inversión para el año

próximo.

4.- Estimación de la volatilidad de los retornos de los bonos.

5.- Estimación de correlación entre el índice de acciones de EEUU y Reino

Unido para la próxima sesión.

6.- Estimación del número probable de moratorias en los portafolio de

préstamos de viviendas.


45

Tipos de estimación:

1.- Estimación Econométrica (estructural) MCO…. Variable dependiente

en función de variable(s) independiente(s). Estos modelos trabajan bien

para relaciones a largo plazo…. APT1, eficiencia del mercado.

2.- Estimación de series de tiempo. Envuelve la estimación de los

valores futuros de las series dados los valores previos y/o los valores

previos del término de error.

Un paso adelante versus varios pasos adelante

…rolling versus recursive.

Un paso adelante es la estimación generada solamente para la próxima

observación, mientras varios pasos involucra 1, 2, 3, …. S pasos adelante

(horizonte de estimación para los próximos S períodos.


1Arbitrage Pricing Theory (APT) dice que el retorno esperado de un activo financiero puede ser modelado como una función lineal de

varios factores macroeconómicos, donde la sensibilidad a cambios en cada factor es representada por un factor específico, el coeficiente

beta….

Si APT se cumple, entonces el retorno de un activo debe satisfacer la siguiente relación:

E(rj) = rf + bj1F1 + bj2F2 + ... + b(jn)Fn + Єj

donde

E(rj) es la tasa de retorno esperada del activo, rf es el retorno esperado de un activo libre de riesgo,

Fk es el factor macroeconómico, b(jk) es la sensibilidad del activo al factor k,

Єj es el término de error de media cero del activo de riesgo.

Lo anterior significa que la tasa de retorno incierta de un activo j es una relación lineal entre n factores. Adicionalmente, se considera que

cada factor es una variable aleatoria con media cero.46

Muestras de datos en Rolling versus Recursive.

Recursive: La data de estimación inicial es fija y se incrementan las

observaciones son adicionadas una cada vez (muestra de datos crece).

Ventana Rolling: Muestra de datos no crece sino que se va desplazando.


Datos usados para estimar los parámetros del modelo

estimación de 1, 2, 3 pasos adelante para: Ventana Rolling Ventana Recursiva

1999M1, M2, M3 1990M1 - 1998M12 1990M1 - 1998M12

1999M2, M3, M4 1990M2 - 1999M1 1990M1 - 1999M1

1999M3, M4, M5 1990M3 - 1999M2 1990M1 - 1999M2

1999M4, M5, M6 1990M4 - 1999M3 1990M1 - 1999M3

1999M5, M6, M7 1990M5 - 1999M4 1990M1 - 1999M4

1999M6, M7, M8 1990M6 - 1999M5 1990M1 - 1999M5

1999M7, M8, M9 1990M7 - 1999M6 1990M1 - 1999M6

1999M8, M9, M10 1990M8 - 1999M7 1990M1 - 1999M7

1999M9, M10, M11 1990M9 - 1999M8 1990M1 - 1999M8

1999M10, M11, M12 1990M10 - 1999M9 1990M1 - 1999M9

muestra de datos no crece muestra de datos CRECE47

Pronóstico Estático y Dinámico

Estático: Pronóstico a un período. Si se quiere pronosticar PIB del primer

trimestre 2013 se tienen en cuenta las observaciones hasta el 4 trimestre

2012. Luego para pronosticar el PIB del 2 trimestre 2013 se tienen en

cuenta todas las observaciones hasta el 1 trimestre de 2013…No se

recalculan las estimaciones de los coeficientes, utilizándose las

inicialmente estimadas para todos los pronósticos.

Dinámico: Pronóstico en el que sólo se tienen en cuenta las

observaciones iniciales, o sea, las que se usaron para la estimación de los

coeficientes. En nuestro caso, sólo se utilizan los datos hasta el 4 trimestre

2012 y con ellos se pronostica el 1 trim. 2013. Luego para pronosticar el

PIB del 2 trimestre de 2013 se tienen en cuenta todas las observaciones

hasta el 4 trim 2012 y como dato para el 1 trim 2013 se utiliza el pronóstico

obtenido en el paso ….generalmente no es tan bueno como el estático.

Fabris Julio. Pág. 160


48

Muestras de datos en Rolling versus Recursive.

Estimación de los futuros valores del un MA(q): Este modelo tiene una

memoria de la longitud de q y esto limita el horizonte sensible de

estimación (ej: un MA(3) tiene una memoria de sólo 3 períodos, todas las

estimaciones de 4 o más pasos adelante colapsa en el intercepto. Si no

hay intercepto se obtendría cero.

Estimación de los futuros valores del un AR(p): Presenta una memoria

infinita. Ej Para una estimación de un modelo autorregresivo de 2 rezagos

AR(2) está obtenido por el intercepto + el coeficiente de 1 período.


49

El fenómeno de Regresión Espúrea.

Modelos de regresión que involucran datos de series de tiempo algunas

veces dan resultados espúreos o de dudoso valor en el sentido de que

resultan superficialmente buenos pero si se le investiga más de cerca

presentan sospechas.

Existen casos en donde R2 es extremadamente alto, el valor t es

extremadamente elevado, sin embargo, Durbin y Watson (d) es bajo.

(Granger y Newbold sugirieron que R2>d es una buena regla de pulgar

para sospechar que la regresión estimada es espúrea.


50

Determinación de precisión del modelo univariado de estimación.

Estimaciones se producen por períodos fuera de la muestra y luego se

busca comparar con los valores actuales. (MSE, MAE) se comparan con

otros modelos para datos similares y periodos de estimación. El modelo

con el más bajo valor en estas medidas de error es el más preciso.


Pasos adelante Datos estimados Datos actuales Error al Cuadrado Error Absoluto

1 0.20 -0.4 (0.20- - 0.40)2 = 0.360 |0.20- - 0.40 | = 0.600

2 0.15 0.2 (0.15- 0.20)2 = 0.002 |0.15- 0.20 | = 0.050

3 0.10 0.1 (0.10- 0.10)2 = 0.000 |0.10 - 0.10 | = 0.000

4 0.06 -0.1 (0.06- - 0.10)2 = 0.026 |0.06- - 0.10 | = 0.160

5 0.04 -0.05 (0.04- - 0.05)2 = 0.008 |0.04- - 0.05 | = 0.090

MSE= 0.079 MAE = 0.180

51


Error de pronóstico: diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y

el valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último

período utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los

períodos posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para

un período T+t con t=1,2,3….n. Si el superíndice P refiere el valor

pronosticado y el superíndica O al valor efectivamente observado, el error

de pronóstico será:

eT+t = YPT+t – YO

T+t

EVALUACIÓN DE LOS PRONÓSTICOS:

RMS=Root mean Square error = Raiz {1/n ∑(YPT+t – YO

T+t)2 }

Es la varianza del error del mismo…raiz cuadrada de dicha varianza

evaluada en el horizonte de pronóstico. Dato poco informativo, solo para

comparación.


52


EVALUACIÓN DE LOS PRONÓSTICOS:

U de Theil= varia entre cero y uno (0,1) correspondiendo el valor cero a un

pronóstico perfecto. Se descompone en tres (las tres deben sumar 1):

Proporción de Bias (o desvío)= Cuánto difiere la media de los valores

pronosticados respecto a la media de los valores observados.

Proporción de Varianza=cuánto difiere la varianza de los valores

pronosticados respecto a la varianza de los valores observados

Proporción de Covarianza=mide los errores de pronóstico no sistemáticos

remanentes.

SI EL PRONÓSTICO ES BUENO, LA PROPORCIÓN DE COVARIANZA

DEBERÍA CONCENTRAR LA MAYOR PARTE DEL ERROR, MIENTRAS

QUE LAS PROPORCIONES DE DESVÍO Y VARIANZA DEBERÍA SER

PEQUEÑAS.


53


54


Resumen METODOLOGÍA Box and Jenkins.

INICIO

VERIFICAR

ESTACIONAREIDAD

IDENTIFICACIÓN

ESTIMACIÓN

VERIFICACIÓN

PRONÓSTICO

NO

TRANSFORMAR

LA SERIE

55

Quick / Estimate Equation… y ajustemos en la

ventana Sample la muestra como 1993q1 a

2005q4 limitando nuestra muestra al 4 trim 2005

y con ella, realizamos la estimación de los

coeficientes del modelo

Para hacer pronóstico fuera de muestra:

Forecast .. forecast sample comenzamos con el

período siguiente al último de la muestra utilizada

para estimar los coeficientes.

Fuente: Fabris, Julio: ejemplo Capítulo 5 pbi resuelto capítulo 5.wf1

Pronóstico

56

Static Forecast

Static Forecast: El valor usado es el verdadero valor de la

variable (suponiendo que estén disponibles, con lo cual el

pronóstico, aunque se extienda por varios períodos, en

realidad es un pronóstico un período hacia adelante. (más

ajustado, ya que en realidad actualiza los verdaderos

valores del término AR(1) perído a período 57

Dinamic Forecast: Se usa el valor

pronosticado de la variable con lo cual los

errores aumentan. Tiene proporción de desvío

(bias) demasiado grande, con lo cual se

caracteriza por un mal pronóstico

Dinamic Forecast: Subestima sistemáticamente el valor de la variable pronosticada

58

Pronóstico


Mediciones de efectividad y error de pronóstico :

Error de pronóstico: Diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y el

valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último período

utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los períodos

posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para un período T+t

con t=1, 2, ….n Si el superíndice P refiere al valor pronosticado y el superíndice O

al valor efectivamente observado, el error de pronóstico será:

eT+t = YPT+t- YO

T+t

Evaluación de pronósticos: La magnitud que se tiene en cuenta para la

evaluación de los pronósticos es la varianza del error del mismo, la cual puede

medirse mediante la llamada Raíz del Error Medio Cuadrático de Pronóstico (RMS

– Root Mean Squared Error), que es simplemente la raíz cuadrada de dicha

varianza evaluada en el horizonte de pronóstico. Si n son los períodos que

constituyen dicho horizonte:

Forecast U de Theil

U de Theil (econometrista) varia entre cero y uno, correspondiendo valor cero a un pronóstico perfecto.

Se descompone en tres partes:

a) Proporción de desvío (Bias Proportion): Cuánto difiere la media de los valores pronosticados, respecto

a la media de los valores observados

b) Proporción de Varianza: Cuando difiere la varianza de los valores pronosticados, respecto de la

varianza de los valores observados.

c) Proporción de Covarianza (las tres suman 1): mide los errores de pronóstico no sistemáticos

remanentes.

Si el pronóstico es bueno, la proporción de Covarianza debería concentrar la mayor parte del error, mientras

que las proporciones de desvío y de varianza deberían ser pequeñas.59

Webinar: Introducción a los modelos AR(p)

http://software-videos.com/2409/

60

https://www.youtube.com/watch?v=e_jrj_zW5b8

Estimación de Modelos de Series de Tiempo en EViews

http://software-videos.com/2409/

https://www.youtube.com/watch?v=e_jrj_zW5b8

Capítulo iii modelos univariados de series de tiempo

Economy & Finance

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