Modelos ARCH e GARCH Aula 8 - Hedibert
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Modelos ARCH e GARCH Aula 8 Morettin e Toloi, 2006, Cap´ ıtulo 1 e 14 Morettin, 2011, Cap´ ıtulo 1 e 5 Bueno, 2011, Cap´ ıtulo 8
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Modelos ARCH e GARCHAula 8
Morettin e Toloi, 2006, Capıtulo 1 e 14Morettin, 2011, Capıtulo 1 e 5Bueno, 2011, Capıtulo 8
Motivacao
Pesquisadores que se dedicam a prever series temporais, tais comoprecos de acoes, taxas de inflacao, taxas de cambio, etc.,costumam observar que a capacidade dos modelos em prever taisvariaveis oscila consideravelmente de um perıodo para outro: paraalguns perıodos, os erros de previsao sao relativamente pequenos,ja para outros, tais erros sao relativamente grandes, e entao saooutra vez pequenos para um outro perıodo.
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Motivacao
Observando as expressoes de calculo dos erros de previsao:
eT (1) = yT+1 − yT (1) = εT+1
eT (2) = yT+2 − yT (2) = εT+2 + ψ1εT+1
eT (3) = yT+3 − yT (3) = εT+3 + ψ1εT+2 + ψ2εT+1
...
eT (h) = yT+h − yT (h) = εT+h + ψ1εT+h+1 + · · ·+ ψh−1εT+1
nao e difıcil notar que tais quantidades realmente podem guardaralgum tipo de relacao.
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Motivacao
Nao e difıcil notar que o comportamento dos erros de previsaodependem do comportamento das perturbacoes εt .
Dessa forma, temos uma justificativa plausıvel para a existencia deauto-correlacao na variancia de εt .
Assim, podemos observar que as variancias dos erros de previsaonao sao constantes. Ou seja, ha uma especie de auto-correlacaonas variancias dos erros de previsao.
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Modelos ARCH e GARCH
Para capturar a estrutura de correlacao na variancia condicional dainflacao do Reino Unido, Engle (1982) propos um modelodenominado como ARCH (Modelo Autorregressivo para aHeteroscedasticidade Condicional), que e um exemplo de modelonao-linear.
Uma generalizacao do modelo ARCH foi sugerida por Bollerslev(1986, 1987, 1988), o chamado modelo GARCH (generalizedARCH), que pode ser usado para descrever a volatilidade commenos parametros do que um modelo ARCH.
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Objetivos
Assim, nesta parte da disciplina o objetivo sera modelar o que sechama de volatilidade, que e a variancia condicional de umavariavel, comumente de um retorno.
Embora nao seja medida diretamente, a volatilidade manifesta-sede varias maneiras numa serie financeira e nos a trataremos apartir de uma abordagem estatıstica, que modela diretamente avolatilidade da serie de retornos usando alguma classe de modeloscomo, por exemplo, o GARCH.
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Fatos estilizados sobre os retornos
(a) Retornos sao, em geral, nao auto-correlacionados;
(b) Series de retornos apresentam agrupamentos de volatilidadesao longo do tempo;
(c) Os quadrados dos retornos sao auto-correlacionados,apresentando uma correlacao de lag 1 pequena e depois umaqueda lenta das demais;
(d) A distribuicao (incondicional) dos retornos apresenta caudasmais pesadas do que as caudas de uma distribuicao normal; alemdisso, a distribuicao, embora aproximadamente simetrica, e, emgeral, leptocurtica;
(e) Algumas series de retornos sao nao-lineares.
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Petrobras (PBR/NYSE) - 11/08/00 - 27/03/15 (3678 obs)
days
Log−
retu
rns
−0.
2−
0.1
0.0
0.1
0.2
8/10/00 7/18/03 6/19/06 5/21/09 4/20/12 3/26/15
8
Funcao de autocorrelacao
0 5 10 15 20 25 30 35
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Defasagem
FAC
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Funcao de autocorrelacao parcial
0 5 10 15 20 25 30 35
−0.
06−
0.04
−0.
020.
000.
020.
040.
06
Defasagem
FAC
P
10
Normalidade ou nao?D
ensi
ty
−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2
05
1015
datanormal
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Normalidade ou nao?
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−2 0 2
−0.
2−
0.1
0.0
0.1
0.2
Normal Q−Q Plot
Quantis teoricos
Qua
ntis
am
ostr
ais
12
Estatısticas basicas
Media 0.00008045Mediana 0.00065148Mınimo -0.2625885Maximo 0.2641932Desvio Padrao 0.0305223Assimetria -0.1103535Excesso de curtose 7.379875
13
Quadrados dos log-retornos
days
Log−
retu
rns
squa
red
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
8/10/00 7/18/03 6/19/06 5/21/09 4/20/12 3/26/15
14
Quadrados dos log-retornos - FAC
0 5 10 15 20 25 30 35
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Defasagem
FAC
15
Quadrados dos log-retornos - FACP
0 5 10 15 20 25 30 35
0.0
0.1
0.2
0.3
Defasagem
FAC
P
16
Modelos nao-lineares
Na analise de modelos nao-lineares as inovacoes (choquesaleatorios) εt sao, em geral, supostas i.i.d e o modelo tem aseguinte forma
rt = µ(εt−1, εt−2, . . .) + σ(εt−1, εt−2, . . .)εt ,
de mode que
I µ(·) representa a funcao media condicional; e
I σ2(·) representa a funcao variancia condicional.
Se µ(·) for nao-linear ⇒ modelo nao-linear na media.
Se σ2(·) for nao-linear ⇒ modelo nao-linear na variancia.
17
Media e variancia condicionais de rt
• Considere rt uma serie de log-retornos.
• It−1 = {r1, r2, . . . , rt−1} denota toda a informacao ate t − 1.
• A media condicional de rt e dada por
µt = E (rt |It−1) = Et−1(rt).
• A variancia condicional de rt e dada por
σ2t = E [(rt − µt)2|It−1] = Et−1[(rt − µt)2].
• Se µt = 0, entao σ2t = E [r2t |It−1] = Et−1[r2t ]
18
Notacao
Um modelo tıpico para a volatilidade e da forma
rt = µt + σtεt
em queEt−1(εt) = 0
eVart−1(εt) = 1
e tipicamente εt e uma sequencia i.i.d. com certa distribuicao.
Obs: A media e a variancia incondicionais de rt serao denotadaspor
µ = E (rt) e σ2 = Var(rt),
respectivamente.
19
ARCH(m)
Um modelo ARCH(m) e definido por
rt = σtεt
onde εt ∼ IID(0, 1) e com variancia condicional
σ2t = α0 + α1r2t−1 + α2r
2t−2 + · · ·+ αmr
2t−m
em que α0 > 0, αi ≥ 0, i = 1, . . . ,m − 1 e αm > 0.
20
r 2t e AR(m)
Definindo vt = r2t − σ2t e substituindo em
σ2t = α0 + α1r2t−1 + α2r
2t−2 + · · ·+ αmr
2t−m,
obtemos
r2t = α0 + α1r2t−1 + α2r
2t−2 + · · ·+ αmr
2t−m + vt .
Portanto:
I r2t segue um processo AR(m).
I vt = r2t − σ2t = σ2t (ε2t − 1) e nao Gaussiano, mesmo quandoεt ∼ NID(0, 1).
21
Observacoes
Na pratica, usualmente e suposto que os erros εt sigam umadistribuicao, N(0,1).
Ou ainda t-Student, tν , com baixo graus de liberdade ν, oualguma distribuicao que descreva melhor as caudas pesadas deseries financeiras.
Os coeficientes αi devem satisfazer certas condicoes, dependendodo tipo de imposicao que colocamos sobre o processo rt .
Pela propria definicao, valores grandes de rt sao seguidos poroutros valores grandes da serie.
22
GARCH(m,n)A variancia condicional de modelo GARCH(m,n) e definida por
σ2t = α0 +m∑i=1
αi r2t−i +
n∑j=1
βjσ2t−j
em que α0 > 0,I αi ≥ 0, i = 1, . . .m − 1 e αm > 0,I βi ≥ 0, i = 1, . . . n − 1 e βn > 0,I Para q = max(m, n)
q∑i=1
(αi + βi ) < 1.
Coeficientes positivos dao uma condicao suficiente, mas naonecessaria, para que σ2t > 0 (Nelson & Cao, 1992).
Como no caso de modelos ARCH, usualmente trabalhamos com asuposicao de que os εt sejam normais ou t-Student, ou ainda, umadistribuicao de erro generalizada. 23
r 2t e AR(q,n)
Definindo vt = r2t − σ2t e substituindo em
σ2t = α0 +m∑i=1
αi r2t−i +
n∑j=1
βjσ2t−j
obtemos
r2t = α0 +
q∑i=1
(αi + βi )r2t−i −
n∑j=1
βjvt−j + vt
Portanto:
I r2t segue um processo AR(q,n).
I vt nao e, em geral, um processo i.i.d.
24
Modelo ARCH(1)
Para investigarmos algumas propriedades dos modelos ARCH(m),vamos considerar o caso especial onde m = 1. Ou seja,
rt = σtεt
com erro εt ∼ iid(0, 1) e variancia condicional
σ2t = α0 + α1r2t−1
e parametros α0 > 0 e α1 > 0.
25
Media e variancia incondicionais
Nao e difıcil verificar que
E (rt) = E [E (rt |It−1)] = E [E (σtεt |It−1)] = E [σt E (εt |It−1)︸ ︷︷ ︸=0
] = 0,
e que Var(rt) = E (r2t ). Portanto,
E (r2t ) = E [E (r2t |It−1)] = E [E (σ2t ε2t |It−1)]
= E [σ2t E (ε2t |It−1)︸ ︷︷ ︸=1
] = E (σ2t )
= E (α0 + α1r2t−1) = α0 + α1E (r2t−1).
26
Restricao adicional: 0 < α1 < 1
Se o processo rt for estacionario de segunda ordem, entao, paratodo t e k , segue que E (r2t ) = E (r2t−k).
Se µ e σ2 sao media e variancia incondicionais do processo rt ,entao
σ2 = E (r2t ) = α0 + α1E (r2t−1) = α0 + α1σ2
e, consequentemente a variancia incondicional de rt e
Var(rt) = σ2 =α0
1− α1,
implicando que α0 > 0 e 0 < α1 < 1.
27
Covariancias incondiconais
Cov(rt , rt+k) = E (rtrt+k) = E [E (rtrt+k |It+k−1)]
= E [rtE (rt+k |It+k−1)] = E [rtE (σt+kεt+k |It+k−1)]
= E [rtσt+k E (εt+k |It+k−1)︸ ︷︷ ︸=0
] = 0
para todo k ≥ 1.
Poranto, rt e uma sequncia de variaveis nao correlacionadas (ruıdobranco), com media zero e variancia dada por α0/(1− α1).
28
Curtose maior que 3
Um dos fatos estilizados e que os retornos apresentam geralmentecaudas mais longas, de modo que a curtose e maior do que 3.
A curtose, supondo que rt ∼ ARCH(1) com εt ∼ NID(0, 1), edada por
K =E (r4t )
[Var(rt)]2= 3
(1− α2
1
1− 3α21
)> 3
Vemos, pois, que se admitirmos que rt siga um modelo ARCH, ascaudas serao mais pesadas do que as da normal, o que e umapropriedade vantajosa do modelo.
29
GARCH(1,1)
Um modelo bastante usado na pratica e o GARCH(1,1), para oqual a volatilidade conditional e expressa como
σ2t = α0 + α1r2t−1 + β1σ
2t−1
com α0 > 0 e α1, β1 ∈ (0, 1).
Para os modelos GARCH temos as mesmas vantagens edesvantagens dos modelos ARCH:
I Volatilidades altas sao precedidas de retornos ou volatilidadesgrandes, observando-se os grupos de volatilidades presentesem series financeiras;
I Retornos positivos e negativos sao tratados de forma similar,ja que quadrados dos retornos entram na formula davolatilidade.
30
Curtose maior que 3
A curtose, supondo que rt ∼ GARCH(1,1) com εt ∼ NID(0, 1), edada por
K =E (r4t )
[E (r2t )]2= 3
(1− (α1 + β1)2
1− (α1 + β1)2 − 2α21
)> 3
Vemos, pois, que se admitirmos que rt siga um modelo GARCH, ascaudas serao mais pesadas do que as da normal, o que e umapropriedade vantajosa do modelo.
31
Variancia incondicional
E facil provar que, supondo que rt ∼ GARCH(1,1) com εt ∼ (0, 1),a variancia incondicional de rt e
Var(rt) =α0
1− (α1 + β1),
portanto α1 + β1 < 1 e uma restricao adicional.
No longo prazo, a volatilidade convergira para tal zresultadoincondicional.
32
ARCH/GARCH no R
install.packages("fGarch")
library(fGarch)
data = read.csv("petrobras.csv",header=TRUE)
y = diff(log(as.numeric(data[,2])))
fit.arch = garchFit(~garch(1,0),data=y,trace=F,include.mean=FALSE)
fit.garch = garchFit(~garch(1,1),data=y,trace=F,include.mean=FALSE)
33
fit.arch
Title: GARCH Modelling
Conditional Distribution: norm
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
omega 6.440e-04 2.043e-05 31.52 <2e-16 ***
alpha1 3.388e-01 3.142e-02 10.78 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Log Likelihood:
7793.993 normalized: 2.119085
34
fit.arch
Title: GARCH Modelling
Conditional Distribution: norm
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
omega 1.473e-05 3.152e-06 4.673 2.96e-06 ***
alpha1 7.197e-02 8.042e-03 8.949 < 2e-16 ***
beta1 9.100e-01 1.010e-02 90.127 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1
Log Likelihood:
8179.795 normalized: 2.223979
35
Fitted standard deviations
Days
Sta
ndar
d de
viat
ion
0.04
0.08
0.12
0.16
8/11/00 4/13/04 12/5/07 7/29/11 3/27/15
ARCH(1)
Days
Sta
ndar
d de
viat
ion
0.02
0.06
0.10
8/11/00 4/13/04 12/5/07 7/29/11 3/27/15
GARCH(1,1)
36
Residual analysis
Days
Sta
ndar
dize
d re
sidu
als
−5
05
8/11/00 4/13/04 12/5/07 7/29/11 3/27/15
ARCH(1)
0 5 10 15 20 25 30 35
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
F
ACF residuals squared
0 5 10 15 20 25 30 35
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Lag
Par
tial A
CF
PACF residuals squared
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−2 0 2
−4
−2
02
46
Normal Q−Q Plot
Theoretical Quantiles
Sam
ple
Qua
ntile
s
37
Ljung-Box statistic
Box.test(res.arch^2,lag=10,type=’Ljung’)
# Box-Ljung test
# data: res.arch^2
# X-squared = 742.0735, df = 10, p-value < 2.2e-16
Box.test(res.garch^2,lag=10,type=’Ljung’)
# Box-Ljung test
# data: res.garch^2
# X-squared = 8.7553, df = 10, p-value = 0.5555
38
Unconditional variances and kurtosis
# Sample ARCH(1) GARCH(1,1)
#Variance 0.0009316083 0.0009740429 0.0008170309
#St.Dev. 0.0305222590 0.0312096596 0.0285837524
#Kurtosis 4.3625780142 4.0506396090 4.2243098902
39
