Como sabemos, la heterocedasticidad consiste en que las ... · financiera, con series de...

______________________________________Manual de Econometría. Capítulo 9, página 1 .

© Carlos Murillo Fort1 y Beatriz González López-Valcárcel2 (2000)1 Catedrático Universidad Pompeu Fabra

2 Catedrática Universidad de Las Palmas de GC

Fichero: capitulo 9 nuevo.doc

CAPÍTULO 9

HETEROCEDASTICIDAD.

1. CAUSAS MUESTRALES Y ESTRUCTURALES

Como sabemos, la heterocedasticidad consiste en que las observaciones

muestrales tienen varianzas del error diferentes entre sí: var(Ui)= σ2i, i=1,2,...n.

Viola la hipótesis clásica de homocedasticidad, o igual varianza de los n errores

aleatorios, y es un caso particular, junto a la autocorrelación, de perturbaciones no

esféricas. Las figuras 9.1 y 9.2 presentan los casos de perturbaciones

homocedásticas y heterocedásticas respectivamente.




A lo largo de este capítulo se abordan las siguientes cuestiones: cuándo y por qué

surge; cuáles son las consecuencias de estimar por MCO un modelo

heterocedástico; cómo hacer un diagnóstico correcto del problema, es decir, qué

contrastes ponen a prueba la hipótesis de homocedasticidad frente a la evidencia

de los datos muestrales; y por último, cómo estimar un modelo heterocedástico, y

cómo evitar que surja la heterocedasticidad, eliminándola, si llega el caso.

La heterocedasticidad puede surgir por causas estructurales o muestrales, es

decir, su presencia puede ser sugerida por la teoría o por el propio diseño muestral

y plan de muestreo en la recogida de la información para estimar el modelo.

Las causas estructurales o teóricas suelen darse en modelos de corte transversal

con unidades muestrales de diferente "tamaño". Consideremos, por ejemplo, un

modelo de decisiones de gasto en vivienda de las familias en función de la renta

familiar y de otras características. Podemos suponer que el grado de aleatoriedad

del gasto de las familias crece con los ingresos; las familias de ingresos bajos son

muy homogéneas entre sí, es decir, gastarán cantidades similares, ya que su

margen de maniobra para tomar decisiones de gasto es reducido. En cambio, las

familias de renta alta tendrán pautas de gasto más heterogéneas entre sí. La

variabilidad del gasto entre familias "ricas" es mucho mayor que entre familias

"pobres". En este ejemplo, la propia teoría sugiere la forma o pauta de la

heterocedasticidad: la varianza del error depende positivamente de la renta.

Otros ejemplos donde posiblemente surja el problema de la heterocedasticidad

'estructural' son los siguientes: un modelo que explica el reparto de dividendos (en

millones de ptas.) de una sociedad en función de los beneficios obtenidos en el

ejercicio (también en millones de ptas.) y de otras variables como el tamaño de la

sociedad; un modelo de gastos en publicidad de diferentes marcas comerciales en




función de sus ventas y otras variables; un modelo que explica las ventas de una

compañía en función de su marketing-mix. Nótese que en todos los ejemplos los

datos muestrales son transversales, las unidades muestrales tienen diferente

"tamaño" (familias de bajos y altos ingresos, empresas de dimensión reducida y

grande, etc.) y que la variable dependiente se mide en términos absolutos

(millones de ptas. por ejemplo). Un hecho frecuente es que la dispersión absoluta

sea mayor en las unidades de mayor volumen precisamente por este motivo

'estructural', si bien es posible que la dispersión relativa sea más homogénea. Así,

aunque los dividendos distribuídos por las sociedades grandes estén muy

dispersos en torno al valor esperado, es posible que el ratio dividendos distribuídos

sobre beneficios, dados los beneficios y demás características de la sociedad,

tenga una dispersión similar, independiente del tamaño de las sociedades.

Los errores de especificación de la forma funcional también pueden producir

heterocedasticidad1. Así, si el verdadero modelo, homocedástico, es doble-log y

estimamos un modelo lineal, las perturbaciones de éste son heterocedásticas,

como demostramos en el apéndice 9.1.

Hay un tipo de modelos heterocedásticos con datos temporales que está

despertando creciente interés por su potencial de aplicación en econometría

financiera, con series de cotizaciones o de rendimientos de valores. Son los

modelos ARCH, o GARCH, de varianza condicionada heterocedástica, en los que

el riesgo condicional de un valor (varianza de sus rendimientos en el día t, dada

toda la información disponible hasta ese día) va variando a lo largo del tiempo. A

diferencia de las situaciones anteriores, en las que la heterocedasticidad se

consideraba un 'problema' a evitar o tratar, en este caso es una fuente de

información que mejora sensiblemente la capacidad predictiva del modelo.

1 Para los alumnos de Bea: ya nos hemos encontrado un caso en la práctica 1




La heterocedasticidad puede surgir también por causas muestrales, en el sentido

de que el propio diseño de recogida de información o plan de muestreo genera

perturbaciones con varianzas distintas. Por ejemplo, cuando trabajamos con datos

agregados o medios procedentes de distintas submuestras, siendo variable el

tamaño de las mismas. Supongamos un modelo lineal que explica el gasto en

publicidad de las empresas en función de las ventas del año anterior y de otras

variables que omitimos por simplicidad. Supongamos también que el modelo

desagregado es homocedástico:

donde Yi y Xi representan respectivamente los gastos de publicidad y las ventas

desfasadas un año de la empresa i-ésima, y Ui es el error aleatorio y

homocedástico del modelo.

Supongamos que solamente tenemos datos medios por zonas, obtenidos a partir

de muestras de empresas de cada una de las J zonas. El plan de muestreo ha sido

una estratificación por zonas con afijación proporcional, es decir, en cada estrato

(zona) se tomó una muestra proporcional al número de empresas radicadas en la

misma, resultando J submuestras de empresas de tamaño nj (j=1,2,...J), de

forma que Σnj=n. Nuestro modelo explica el gasto medio en publicidad en cada

zona en función de las ventas del año previo. El modelo se estima con J

observaciones:

Los errores Uj de este modelo son la media de los nj errores de las empresas de la

zona j. Tienen esperanza nula y son por construcción heterocedásticos, ya que la

σββ 2iii10i =)Uvar( 1,2,...n);=(i ;U+X+=Y (9.1)

1,2,...J)=(j ;U+X+=Y jj10j ββ




varianza de la media es la varianza de la población dividida entre el tamaño

muestral. En nuestro caso, la varianza del error de cada observación es

inversamente proporcional al número de empresas en la muestra de la zona:

Ejercicio 9.1.- Si en el ejemplo anterior los J datos son valores agregados en vez

de medios (ventas y gastos en publicidad totales de las nj empresas del grupo)

obtenga la expresión de las varianzas de las perturbaciones

Heterocedasticidad por grupos. En ocasiones, la heterocedasticidad aparece en

modelos de datos agrupados. Pongamos a título de ejemplo la ecuación de salarios

de licenciados universitarios que propusimos en el capítulo 6. El logaritmo del

salario depende de los años de experiencia laboral (EXPER), con una relación

cuadrática, es decir, como explicativas incluímos la experiencia y su cuadrado.

Además, el modelo hipotetiza que hay diferencias sistemáticas entre los hombres

y las mujeres, y entre las cuatro titulaciones (Humanidades, Economía, Medicina e

Ingeniería). La muestra, de 600 licenciados, se reparte entre las titulaciones con

n1(Humanidades) = 172; n2(Ingeniería) = 345; n3(Medicina) = 148;

n4(Economía) = 335; El modelo que proponíamos en el capítulo 6 era el siguiente,

en el que se suponía que las perturbaciones eran independientes, con media cero y

varianza constante:

1,2,...J)=(j ;n

=)UVar(

1,2,...J=j 0=)UE(

1,2,...J)=(j ;n

U=U

j

2

j

j

j

in=1i

j

j

σ

∀

∑

(9.2)




laboralerienciaE

IngenieríadeDummyTEconomíadeDummyTMedicinadeDummyTMUJERS

u+E+E+T+2T+1T+S+ =SalarioLog Y

iiiii

iiii5i4i3i21ii

exp

;32;1;

;3)( 276

=====

= βββββββ

Ahora supongamos que la varianza del error aleatorio difiere entre las titulaciones.

A la titulación j (j=1,...4) corresponde una varianza σ2j. Esto puede ocurrir porque,

por ejemplo, los salarios de los de Humanidades, para un nivel dado de

experiencia, son muy homogéneos, al trabajar en su mayoría como enseñantes,

mientras que los ingenieros presentan un abanico salarial mayor dependiendo del

puesto de trabajo y las funciones desempeñadas. En este ejemplo, hay

heterocedasticidad por grupos. El modelo contiene tantas varianzas del error

desconocidas, a estimar, como grupos y hay un número suficientemente grande

de observaciones en cada grupo para estimarlas, basándose en las sumas de

cuadrados de los respectivos errores. Más adelante veremos un contraste de

homocedasticidad por grupos.

2. FORMAS FUNCIONALES. HETEROCEDASTICIDAD ADITIVA Y

MULTIPLICATIVA.

Hemos visto que cuando la heterocedasticidad es un problema producido por el

plan de muestreo o por la agregación de variables, generalmente conocemos,

excepto por un factor de escala, las varianzas de los errores de cada una de las

observaciones, que dependen del número de unidades muestrales desagregadas

contenido en cada observación agregada. Conocemos, pues, la matriz Σ y el

método de MCG puede aplicarse sin dificultad, obteniendo estimadores ELIO como

se indicaba en la lección anterior. El único parámetro a estimar, aparte de los

coeficientes de regresión, es σ2, el factor de escala en la expresión Ε(UU') =V =




σ2∑.

Pero cuando la heterocedasticidad obedece a otras causas, que hemos llamado

'estructurales' o bien es consecuencia de una especificación incorrecta de la

forma funcional, las varianzas de los n errores son desconocidas. Si no hay

autocorrelación, la matriz V es diagonal y contiene n valores desconocidos. Con

una muestra de tamaño n no se pueden estimar libremente esas n varianzas y los

K parámetros de regresión por falta de grados de libertad. Pero para aplicar MCGF

es preciso tener, como sabemos, una estimación consistente de la matriz V ( o Σ,

ya que en este caso podemos considerarlas equivalentes). Una posibilidad es

parametrizar el comportamiento de las varianzas σ2i. La propia teoría, el tipo de

variables, la experiencia previa o la propia voz de los datos pueden sugerir un

determinado esquema funcional de comportamiento. Por ejemplo, en el modelo

explicativo del gasto familiar en turismo y ocio una hipótesis teóricamente

plausible y avalada por diversos estudios previos sugiere que la varianza del error

del gasto es proporcional a la renta familiar. Las siguientes son algunas formas

funcionales posibles para la varianza de las perturbaciones:

donde Zi representa alguna variable explicativa del modelo u otra ajena al mismo.

En las formas 1) y 2) la varianza del error es directamente proporcional a la

( )N,...1ni;

)n1,2,...=(i ; =)U5)Var(

1,2,...N=i ;e=)U4)Var(

1,2,...N=i 0);>( ;Z+=)U3)Var(

1,2,...N=i 0;> ;Z=)U2)Var(

1,2,...N=i 0);>( ;Z=)U1)Var(

122

121i

Z+i

1i10i

2ii

ii

i10

+==σ

σ

δδδ

δδ

δδ

δδ

(9.3)




variable Z y a su cuadrado respectivamente. En 2) se evita la posibilidad absurda

de tener varianzas negativas. El esquema 3) recibe el nombre de

heterocedasticidad aditiva, ya que la varianza de los errores es una función lineal

de Z, con término constante. La forma 4) se llama heterocedasticidad

multiplicativa. En ella, la varianza de los errores es una función exponencial de Z.

En ambos casos, se puede generalizar para incluir varias variables Zp (p=1,2,...P).

El caso 5) indica que la muestra contiene dos submuestras diferentes en cuanto a

la dispersión de las perturbaciones, y admite también una generalización a más de

dos submuestras. Por ejemplo, con datos trimestrales podría ocurrir que la

varianza del error fuera homogénea dentro de cada trimestre pero diferente para

los cuatro trimestres del año; en ese caso, tendríamos cuatro submuestras. En

otras ocasiones tendremos menos suerte, y no seremos capaces de encontrar una

especificación adecuada para σ2i compatible con los datos. Aún en este caso,

como veremos en el apartado 4, podremos estimar el modelo por MCGF

estimando consistentemente Σ mediante los residuos de la regresión por MCO.

3. DIAGNÓSTICO DE LA HETEROCEDASTICIDAD. CONTRASTES

En este apartado se reseñan varios métodos, incluyendo, de menor a mayor

formalización, desde la inspección visual de algunos gráficos hasta los contrastes

cuya hipótesis nula es la homocedasticidad del modelo, frente a la hipótesis

alternativa de heterocedasticidad, en alguna de sus múltiples formas.

El tipo de datos y de problema nos previene sobre la posible presencia de

heterocedasticidad. En general, cuando trabajemos con datos transversales y

unidades de "tamaños" diferentes, debemos estar prevenidos. Por otra parte,

como vimos en el primer apartado, si los datos son agregados o medias de




distintas submuestras sabemos que el modelo es heterocedástico.

El análisis visual de algunos gráficos hará que aumente o disminuya nuestra




sospecha, e incluso nos puede ayudar a detectar las variables (Z) responsables de

los cambios de varianza entre observaciones. En abscisas se representan las

posibles Z (generalmente, los regresores, uno cada vez), o los valores ajustados de

Y. En ordenadas, los residuos de la regresión MCO en valor absoluto o sus

cuadrados. Veamos algunos ejemplos: La figura 9.3 representa una situación

homocedástica: los errores son independientes de los valores de Y ajustados, y

por tanto, podemos pensar que también lo son del conjunto de regresores. En la

figura 9.4, los errores cuadráticos crecen linealmente con Xr (una de las variables

explicativas del modelo): sospechamos una forma 1) de heterocedasticidad, donde

Zi es Xri. En la figura 9.5, la relación parece ser cuadrática (heterocedasticidad de

la forma 2).

Existen múltiples test estadísticos para detectar la heterocedasticidad, cuya

hipótesis nula es siempre que los errores son homocedásticos.

Uno de los contrastes clásicos es el de Goldfeld y Quandt (1972), adecuado

cuando sospechamos que dos o más submuestras o grupos de individuos

perfectamente identificables pueden diferenciarse en la varianza de sus

respectivos errores. Es el caso 5) del apartado anterior. Por ejemplo, supongamos

que para explicar el precio de los coches en España se recurre a un conjunto de

variables de prestación: velocidad máxima, potencia del motor, etc.. La muestra

abarca una amplia gama de modelos incluyendo los pequeños utilitarios y los

familiares. Es posible que el grupo de modelos base, los más pequeños, baratos y

sencillos de cada marca, tengan desviaciones respecto al precio esperado, dadas

sus características, que los modelos familiares, más grandes y de mayor precio.

Supongamos, pues, un modelo con heterocedasticidad de la forma 5), es decir,

hay dos submuestras independientes de tamaños respectivos n1 y n2, con n1>k y

n2>k y n1+n2 = n, con varianzas del error σ21 y σ2

2 respectivamente. Podríamos




estimar dos modelos de regresión independientes, uno para cada submuestra:

Como sabemos, en cada regresión se verifica que la suma de cuadrados de los

residuos MCO dividida entre la varianza de la perturbación aleatoria sigue una

distribución χ2 y ambas son independientes:

Para contrastar la hipótesis nula de homocedasticidad:

H0: σ21 = σ2

2

construimos una distribución F a partir de las dos distribuciones, como cociente

entre ambas distribuciones χ2, cada una de ellas dividida entre sus grados de

libertad. Si se cumple H0, se verifica que:

Si el estadístico de prueba [9.6] calculado para nuestro problema es mayor que el

valor crítico de la F, decidimos rechazar la hipótesis nula.

)IN(0;U ;U+X=Y

)IN(0;U ;U+X=Y

22222222

12111111

σβ

σβ

~

~

(9.4)

χσσ

χσσ

2

k-n22

2

22

2

2

k-n21

1

21

1

2

1

S=SCERR

S=SCERR

~

~

(9.5)

F

k-n

Sk-n

S

k-nk,-n

1

1

2

2

12~ (9.6)




Este contraste es exacto para muestras finitas admitiendo la posibilidad de que los

coeficientes de regresión β de ambas submuestras sean diferentes. Para el modelo

restringido (coeficientes iguales), solamente es válido asintóticamente.

Este contraste de Goldfeld y Quandt puede extenderse al caso de g grupos, y

muestra de tamaño n. La hipótesis nula de homocedasticidad es:

n

g

IVuuE

H2

222

2

2

10

)'(

...:

σ

σσσσ

==

====(9.7)

La hipótesis alternativa de heterocedasticidad es:

==

gng

n

n

I

I

I

VuuE

2

2

2

2

1

...00

0...0

0...0

)'( 2

1

σ

σσ

MOMM(9.8)

El contraste, basado en el proncipio del ratio de verosimilitudes, consiste en

estimar por MV el modelo restringido (bajo la hipótesis nula) y el no restringido

(permitiendo varianzas diferentes entre grupos). El estadístico de prueba y su

distribución asintótica bajo la hipótesis nula es:

21

22

1

2 ~ˆˆ −=∑−= gi

g

iiLnnLnnRV χσσ (9.9)

Goldfeld y Quandt partieron de los resultados anteriores para diseñar un contraste

de heterocedasticidad que no valiera solamente para aplicar a dos submuestras




previamente identificables sino también para esquemas de dependencia funcional

desconocida. Supongamos un modelo en que la varianza del error es proporcional

a una variable Zi conocida, que generalmente será alguno de los regresores. La

idea es formar dos submuestras, una con los individuos para los que Zi presenta

los valores más pequeños y otra de individuos con Zi mayor, estimar el modelo

para ambas muestras por separado y hacer el contraste [9.6]. Los pasos a seguir

son: 1) ordenar la muestra en orden creciente de valores de Zi; 2) eliminar las h

observaciones centrales; 3) Estimar el modelo para las dos submuestras extremas,

ambas de igual tamaño (N-h)/2; 4) Realizar el contraste [9.6]. El estadístico de

prueba es S2/S1 porque las dos submuestras tienen el mismo tamaño. La elección

del número de datos centrales a descartar, h, debe garantizar que las dos

muestras extremas resulten bastante 'separadas' pero a la vez que tengan un

tamaño suficiente para estimar el modelo. Es recomentable descartar

aproximadamente un tercio de la muestra.

Un segundo tipo de contrastes se basa en hacer una regresión de los residuos

mínimocuadráticos de la regresión (en valor absoluto o al cuadrado) contra un

conjunto de variables Z que se suponen conjuntamente causantes de la

heterocedasticidad. Supongamos, por ejemplo, una pauta lineal de

heterocedasticidad:

Aproximando el cuadrado de las perturbaciones, desconocidas, mediante el

cuadrado de los residuos MCO, se estima por regresión la ecuación que 'explica'

linealmente el cuadrado de los residuos MCO en función de las Z:

La hipótesis nula de homocedasticidad es la de nulidad conjunta de los

coeficientes d, excluyendo el término independiente, que se pone a prueba con el

1,2,...n=i ;Z...++Z+==)UE(=)UVar( i pp1i102i

2ii δδδσ

1,2,...n)=(i ; v+Zd+...+Zd+d=e ii ppi 110i




estadístico F:

Esta es la base de una prolífica familia de contrastes, entre los cuales el más

destacado representante es el de Breusch y Pagan.

El contraste de Breusch y Pagan, que ya se ha presentado en el capítulo 5,

detecta incluso pautas no lineales de comportamiento de la varianza de la

perturbación:

La hipótesis nula, de homocedasticidad, es que todos los coeficientes excepto δ0

son nulos:

Para realizar el test se siguen los siguientes pasos: 1) se estima el modelo original

por MCO y se calculan los residuos MCO; 2) se calcula la serie eN de residuos

tipificados, restando a cada uno la media y dividiendo entre la desviación típica. Si

el modelo tiene constante, la media de los residuos es cero y en este caso tipificar

es simplemente dividir entre la desviación típica (n

ee'). Se calcula también la

serie eN^2 de residuos tipificados al cuadrado; 3) se hace la regresión lineal de

estos últimos, eN^2 contra el conjunto de variables Z, incluyendo una constante y

se calcula la suma de cuadrados explicada; 4) si la hipótesis nula es cierta, la

mitad de la suma de cuadrados explicada se distribuye asintóticamente como una

χ2 con p grados de libertad. Si el valor del estadístico de prueba supera el valor

crítico tabulado, dado el nivel de significación elegido, rechazamos la hipóteis nula

decidiendo que el modelo presenta heterocedasticidad.

0 = d =... = d = d :H p210

)Z...++Z+( f= i ppi 1102i δδδσ

0 ==...==:H p210 δδδ




El contraste de White es el más general. Es un contraste asintótico que no

necesita especificar la lista de variables responsables de la heterocedasticidad. Se

estima una regresión auxiliar en la que los cuadrados de los residuos

minimocuadráticos vienen “explicados” por una constante, cada una de las

variables explicativas, sus respectivos cuadrados y todos los productos cruzados

entre cada dos variables explicativas. Bajo la hipótesis nula de homocedasticidad,

el estadístico )(~ 22 qnR χ , donde R2 es el coeficiente de determinación de la

regresión auxiliar y q es el número de variables explicativas de dicha regresión

auxiliar, excluyendo la constante. La ventaja de este contraste es que es muy

flexible, detectando heterocedasticidad bajo condiciones muy generales. Su

principal problema es que, en caso de detectarla, no nos da pista alguna sobre la

forma de la heterocedasticidad o la lista de variables responsables de la misma.

Una dificultad adicional, si la muestra no es muy grande, es el escaso número de

grados de libertad que quedan, ya que la lista de regresores es tan ampli.

Ejercicio 9.2. Si en el modelo original, del que queremos averiguar si hay o no heterocedasticidad,

hay K=6 variables explicativas, incluyendo la constante, y la muestra es de tamaño 100, calcula el

número de grados de libertad de la regresión auxiliar para el test de White.

Otros contrastes basados en regresiones auxiliares de los residuos o sus

cuadrados, son los de Glejser y de Park. Puedes consultar detalles en los manuales

de econometría.

4. TRATAMIENTO DE LA HETEROCEDASTICIDAD. ESTIMACION DE UN MODELO

HETEROCEDASTICO O TRANSFORMACIÓN DEL MODELO

Al ser un caso particular de perturbaciones no esféricas, ya conocemos los




efectos de la estimación por MCO de un modelo heterocedástico: los estimadores

de MCO son insesgados y consistentes, pero no eficientes. Los estimadores de

MCG son óptimos o eficientes, es decir, los de varianza mínima. Además,

recordemos que si estimamos por MCO el modelo suponiendo homocedasticidad

cometemos un sesgo en la estimación de la matriz de covarianzas de los

estimadores, ya que calcularemos σ2(X'X)-1 cuando en realidad su matriz de

covarianzas es [7.3].

Recordemos también que las medidas de bondad del ajuste y los contrastes de

significación y de restricciones sobre los parámetros pueden ser engañosas debido

a la mala estimación de la precisión de los estimadores, sin que a priori pueda

conocerse la dirección del sesgo.

En el caso concreto de un modelo heterocedástico pero sin autocorrelación, los

estimadores de MCG son de hecho estimadores de mínimos cuadrados

ponderados porque, la transformación [7.10] consiste en ponderar a cada

individuo de la muestra inversamente a la desviación típica de su respectiva

perturbación. En efecto, en este caso la matriz V=Σ es diagonal de forma que la

matriz C de [7.5] es la matriz identidad y P es también diagonal:




de forma que Y*i = Yi/σi y X*

ri = Xri/σi. La función a minimizar es ahora la suma de

cuadrados de los residuos ponderada según la fiabilidad de cada dato: si la variaza

de la perturbación de un individuo es grande, el dato muestral de la variable

dependiente de ese individuo tiene un intervalo de confianza grande, no debemos

asignar demasiado peso a los individuos poco fiables. Piense en la situación

opuesta: si supiéramos que la perturbación de un individuo tiene varianza casi

nula, esto significa que el dato de su endógena es (casi) exactamente la función

de regresión poblacional, o sea, el valor esperado de Y dadas las X. Al ser una

estimación muy fiable de un punto de la FRP, es lógico que asignemos a ese

individuo mucho peso.

Ejercicio 9.3.- Un modelo de gastos en vivienda

Queremos estimar un modelo con datos de N=20 familias que explique el gastoanual en vivienda de cada una (Y) en función de la renta (X). El modelo es:

donde Yi son los gastos anuales en vivienda de la familia i-ésima en miles deunidades monetarias, y Xi son sus ingresos anuales expresados en las mismasunidades. Los datos muestrales son los siguientes:

ΣΛΣ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

2n

22

21

2n

22

21

2

1 -

2

1 -

n

1

...

1

1

=P

...

=V

V ==P ;I =C ; ==V

1,2,...20)=(i ;U+X+=Y iii βα




GRUPODEFAMILIAS

GASTOS EN VIVIENDA/AÑO (MILES DE PTAS.)

Y

INGRESOSNETOS/AÑO (Millonesde ptas.)

X

Gastomedio de

lasfamilias

del grupo

Varianzadel gastodentro del

grupo

S2y

1 210 220 230 235 240 0.8 227 116

2 405 415 450 540 580 2 478 4866

3 650 600 790 820 900 4 752 12296

4 550 700 1020 1200 980 6 890 54560

a) Estimar por MCO el modelo de regresión lineal.b) Suponiendo que la varianza de las perturbaciones sea proporcional al cuadrado

de la renta, reestimar el modelo por mínimos cuadrados ponderados.��

Solución:

a) La estimación del modelo por MCO es la siguiente:

( )61.53;7486.0

3220.7

9694.125648.186

2 ===

+=

FR

t

XYii

b) La transformación adecuada para convertir el modelo en homocedástico

consiste en dividir cada variable del modelo entre la renta disponible Xi. El modelo

resultante, estimado por MCO, es:

( )50067.30;6289.0

5227.5

15.1109167.154

2 ==

=

+=

FR

t

XX

Y

ii

Si la pauta de heterocedasticidad es como hemos supuesto, estos últimos

estimadores son los de varianza mínima (óptimos) y las medidas de bondad del

ajuste del modelo original están basadas en una estimación errónea de la matriz de




covarianzas de U. Por tanto, los R2 de ambos modelos no pueden compararse.

¿Han cambiado mucho los resultados de la estimación (coeficientes estimados)?

Observación: para contestar esta pregunta, piensa qué coeficientes de ambos

modelos son comparables entre sí.��

Ejercicio 9.4.- Para el modelo de regresión lineal siguiente:

indicar cuál es el modelo (homocedástico) transformado en cada uno de lossiguientes casos:��Solución:

a)i

ii

ii

i

X

XX

XX

Y

2

3322

2

1

2

1 βββ ++=

b)i

i

i

i

ii

i

X

U

X

X

XX

Y

22

332

2

1

2

1+++= βββ

c)ii

i

iiiii

i

XX

U

XXXXXX

Y

322

3

3

2

321

1

32

111+++= βββ

��

EL MÉTODO DE MCGF. CÓMO ESTIMAR CONSISTENTEMENTE LA MATRIZ Σ

Como sabemos, para aplicar MCG es preciso estimar previamente la matriz de

covarianzas de los errores σ2Σ, es decir, determinar los pesos wi por los que

ponderar a cada individuo de la muestra. Hay dos posibilidades para determinar

dichos pesos. La primera consiste en admitir alguna hipótesis específica acerca de

XX= d)

X X= c)

X= b)

X= a)

2i1i22

i

22i

21i

22i

i

22i

2i22

i

σσσσσσσσ

2

2

U+X+X+=Y ii 33i 221i βββ




la forma funcional de la heterocedasticidad, como en el ejercicio anterior y aplicar

mínimos cuadrados

ponderados, estimando el modelo transformado :

Observe que en general el modelo resultante no tiene término independiente, por

lo que las medidas de bondad del ajuste basadas en la fórmula habitual de

descomposición de la varianza pierden validez.

Pero hay ocasiones en las que no tenemos base teórica ni empírica para apostar

por una determinada hipótesis en este sentido. En este caso, podríamos estimar

σ2i mediante e2

i, es decir, el cuadrado del residuo MCO correspondiente a cada

observación. El modelo a estimar sería, pues:

Ejercicio 9.5. ¿Qué desventajas tiene esta propuesta?, ¿Cómo será el ajuste?.

Aplíquelo con E-Views a un ejemplo concreto

Como se advirtió en el capítulo anterior, las propiedades en muestras pequeñas de

los estimadores de MCGF son desconocidas y en la práctica es posible que,

cuando trabajamos con muestras pequeñas, sea incluso preferible estimar el

modelo por MCO que al menos proporciona estimadores insesgados. En este caso,

σ

βββ

ˆ i

i

KiKi2i2i1iii

1=w con

+Xw+...+Xw+w=Yw

e

U+e

X...++e

X+e

1=

e

Y

i

i

i

KiK

i

2i2

11

i

i βββ




si la muestra es grande, conviene emplear la corrección de White para estimar sus

varianzas.

Los estimadores de White de las varianzas de los estimadores MCO

Si optamos por el método de MCO, hay, como sabemos, un problema adicional.

La matriz de varianzas covarianzas de los estimadores MCO, como sabemos, es

[7.3], fórmula que contiene las varianzas desconocidas σ2i. White (1980) demostró

que [7.3] se puede estimar consistentemente sustituyendo en ella σ2i por e2

i,

siendo como de costumbre ei el residuo minimocuadrático de la observación i-

ésima. Todos los paquetes econométricos dan la opción de calcular los

“estimadores consistentes de White”, o la “corrección de White” de la s varianzas

de los estimadores. Con esos términos, se están refiriendo a la estimación de la

matriz de varianzas-covarianzas de los estimadores MCO que acabamos de

presentar.

Ejemplo. Observa atentamente y comenta los siguientes resultados, del modelo

explicativo del salario de 600 licenciados universitarios con el que ya hemos

trabajado en el capítulo 6. ¿Qué se ha hecho en cada estimación y por qué?

Dependent Variable: LOG(SALARIO)Method: Least Squares

Sample: 1 600Included observations: 600

Estimación 1




Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 12.58346 0.016769 750.3996 0.0000EXPER 0.017376 0.002316 7.503810 0.0000

EXPER^2 -0.000711 9.23E-05 -7.706221 0.0000INGENIERO 0.188897 0.013384 14.11378 0.0000MEDICINA 0.145605 0.016136 9.023679 0.0000ECONOMIA 0.093852 0.013465 6.970193 0.0000

MUJER -0.091262 0.009081 -10.04968 0.0000HARVARD 0.195579 0.016143 12.11571 0.0000

POSGRADO 0.031638 0.009881 3.202046 0.0014

R-squared 0.476313 Mean dependent var 12.75184Adjusted R-squared 0.469224 S.D. dependent var 0.152242S.E. of regression 0.110915 Akaike info criterion -1.545225Sum squared resid 7.270516 Schwarz criterion -1.479271Log likelihood 472.5676 F-statistic 67.19209Durbin-Watson stat 1.944500 Prob(F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: LOG(SALARIO)Method: Least SquaresDate: 10/28/01 Time: 18:25Sample: 1 600Included observations: 600Weighting series: 1/RESID


C 12.58582 0.002295 5484.304 0.0000EXPER 0.017251 0.000291 59.25447 0.0000

EXPER^2 -0.000705 1.03E-05 -68.17610 0.0000INGENIERO 0.187151 0.001405 133.1850 0.0000MEDICINA 0.141893 0.001816 78.13480 0.0000ECONOMIA 0.091417 0.001488 61.43859 0.0000

MUJER -0.091320 0.000286 -318.7607 0.0000HARVARD 0.193591 0.002048 94.54385 0.0000

POSGRADO 0.032478 0.000723 44.90079 0.0000

Weighted Statistics

R-squared 1.000000 Mean dependent var 12.79008Adjusted R-squared 1.000000 S.D. dependent var 211.6233S.E. of regression 0.017002 Akaike info criterion -5.296063Sum squared resid 0.170843 Schwarz criterion -5.230109Log likelihood 1597.819 F-statistic 22658.27

Estimación 2




Durbin-Watson stat 0.028731 Prob(F-statistic) 0.000000

Unweighted Statistics

R-squared 0.476236 Mean dependent var 12.75184Adjusted R-squared 0.469146 S.D. dependent var 0.152242S.E. of regression 0.110923 Sum squared resid 7.271588Durbin-Watson stat 1.942783

Dependent Variable: LOG(SALARIO)Method: Least Squares

Sample: 1 600Included observations: 600White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance


C 12.58346 0.017261 729.0193 0.0000EXPER 0.017376 0.002524 6.885542 0.0000

EXPER^2 -0.000711 0.000100 -7.113170 0.0000INGENIERO 0.188897 0.012327 15.32370 0.0000MEDICINA 0.145605 0.015941 9.133909 0.0000ECONOMIA 0.093852 0.012654 7.416805 0.0000

MUJER -0.091262 0.009088 -10.04158 0.0000HARVARD 0.195579 0.020375 9.598800 0.0000

POSGRADO 0.031638 0.011118 2.845817 0.0046

R-squared 0.476313 Mean dependent var 12.75184Adjusted R-squared 0.469224 S.D. dependent var 0.152242S.E. of regression 0.110915 Akaike info criterion -1.545225Sum squared resid 7.270516 Schwarz criterion -1.479271Log likelihood 472.5676 F-statistic 67.19209Durbin-Watson stat 1.944500 Prob(F-statistic) 0.000000

OTRAS FORMAS DE AFRONTAR LA HETEROCEDASTICIDAD: LAS SOLUCIONES

“AD HOC”

Estimación 3




Se han sugerido otras soluciones prácticas para eliminar la heterocedasticidad,

mediante ciertas transformaciones del modelo, entre las que destacan:

a) Estimar el modelo con las variables en logaritmos

b) Tomar valores relativos (porcentaje de gasto sobre la renta en lugar de la

cifra de gasto en unidades monetarias)

c) Emplear deflactores cuando los datos son temporales y corresponden a

series largas

d) Dividir la muestra en submuestras más homogéneas en cuanto al

'tamaño' de sus individuos y estimar por separado.

Esos son procedimientos 'ad hoc' cuya justificación estadística se encuentra

fácilmente. Por ejemplo, podría ocurrir que el modelo 'verdadero' fuera doble-log y

la heterocedasticidad provocada por la especificación incorrecta de la relación, de

ahí que al tomar logaritmos se corrija el problema. (Está el lector capacitadopara

descubrir en qué casos las transformaciones b), c) y d) sugeridas pueden eliminar

la heterocedasticidad?).

5. LOS MODELOS ARCH DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL

AUTOREGRESIVA

Engle (1982) propuso una clase de modelos llamados genéricamente ARCH

(Autoregressive Conditional Heterocedasticity) que han demostrado ser muy útiles

para explicar el comportamiento de muchas series financieras, como las

cotizaciones bursátiles o los tipos de cambio de las monedas y en general los




precios en mercados especulativos2. Se trata de modelos para datos temporales

que por construcción tienen varianzas condicionadas variables a lo largo del

período muestral. El término 'condicional' se refiere al conjunto de información

disponible en el momento t, es decir, a los datos históricos previos observados.

Un modelo ARCH sencillo es el ARCH(1):

La variable endógena depende de su propio valor con un retardo, en una regresión

de Y contra sí misma por lo que recibe el nombre autoregresivo y de alguna/s

exógenas. En este modelo, la varianza de la perturbación aleatoria en el momento

t condicionada a la información disponible hasta el período anterior, depende del

cuadrado de la propia perturbación en t-1 (de ahí que el orden de este sencillo

modelo ARCH sea 1) y por tanto el modelo es heterocedástico, en la medida en

que U va variando a lo largo del tiempo también lo hace la varianza ht. Los

modelos ARCH se estiman por procedimientos iterativos de estimación no lineal.

La propia existencia de efectos ARCH, es decir, de heterocedasticidad condicional,

puede contrastarse mediante contrastes específicos que se pueden encontrar

descritos en la literatura especializada.

─────────────────────────────────────────────Caso .- Un modelo ARCH para los rendimientos de la bolsa de MadridA título ilustrativo, se presenta la salida de una estimación GARCH de los rendimientos de lasacciones en la bolsa de Madrid. Los datos corresponden a cotizaciones diarias al IBEX35 desde el28-03-96 al 21-09-99. El alumno puede consultar la ayuda el E-Views para interperetar esosresultados

2 Estos modelos se han generalizado a los GARCH, como el del ejemplo

U+=h=)UVar(

)hN(0,U ;U+X+Y=Y

2-1t10tt

tttt-1tt

αα

βδ ~




─────────────────────────────────────────────

CAPÍTULO 9. RESUMEN

La heterocedasticidad consiste en que las varianzas de las perturbacionesdifieren entre unidades muestrales o 'individuos'.

Generalmente, surge en muestras transversales: a) cuando los individuos sonagregados o promedios de unidades muestrales homocedásticas; b) cuando losindividuos tienen 'tamaño' muy diferente (grandes empresas y PYMES en lamisma muestra); c) cuando por error de especificación se ha estimadoincorrectamente la forma funcional. Un caso frecuente ocurre cuando elmodelo es doble-log y se estima una ecuación lineal.

Surge también en modelos de precios en mercados especulativos, para datostemporales. En los modelos ARCH, que explican satisfactoriamente elcomportamiento de cotizaciones bursátiles y tipos de cambio, la varianza de laperturbación Ut condicionada a la información disponible hasta t-1 depende deU2

t-1 y por tanto, al variar a lo largo de la muestra, es heterocedástica.

Para detectar la heterocedasticidad existen diversos contrastes. Su hipótesisnula siempre es homocedasticidad y difieren en la hipótesis alternativa, quepuede ser más o menos general. Hemos estudiado los test de Goldfeld yQuandt y sus extensiones, el de Breusch y Pagan y el de White

Los estimadores MCO de un modelo heterocedásticos son insesgados pero noóptimos. Para estimar su matriz de varianzas-covarianzas es recomendableemplear el estimador consistente de White, que aplica [7.3] sustituyendo loselementos de Σ por los cuadrados de los residuos MCO e2

i.




APENDICE 9.1

Si el verdadero modelo es log-lineal y se estima un modelo lineal, éste es

heterocedástico.

Demostración:

El modelo verdadero, log-lineal, suponiendo sin pérdida de generalidad un solo

regresor, es:

El modelo estimado es lineal en x. Queremos demostrar que su error, vi, es

heterocedástico:

Puesto que ui es normal,eui sigue una distribución log-normal, con:

de forma que la esperanza del error del modelo estimado, vi, es:

y su varianza resulta ser:

ααβα

σα β

= con u+X +=Y

) (0, Nu ;eX=Y

iii

2i

uii

i

lnlnln

_

′′

v+X+=Y ii10i γγ

1)-e(e=)eVar(

e=)eE(

22i

2i

u

2

1u

σσ

σ

X--eX=

)X--eXE(

=)X--YE(=)vE(

i102

1

i

i10u

i

i10ii

2

i

γγα

γγα

γγ

σβ

β




Vemos que vi es heterocedástica, ya que su varianza depende de los datos

muestrales de la variable exógena Xi. Concretamente, si β>0 es una función

creciente y si β<0 es una función decreciente de Xi.

1)-e(eX=

])e-e (XE[=

] X+eX-X-eXE[=

])vE(-vE[=)vVar(

22

2i

2i

2i

2

22

1u

i

i102

1

ii10u

i

2iii

σσβ

σβ

σββ

α

α

γγαγγα

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