GUÍA DE MATEMATICA

Plan de aprendizaje remoto

Probabilidad condicionada

Objetivo de Aprendizaje 0A02: Comprender el concepto de probabilidad condicionada y aplicarlo en la

toma de decisiones.

1. Analiza la siguiente situación y realiza lo solicitado.

Se extrae una bolita al azar desde una urna que contiene 10 bolitas, como se muestran

en la imagen. Si se sabe que la bolita extraída tiene un número mayor que 3, ¿cuál es

la probabilidad de que sea par? Considera los siguientes sucesos:

A = extraer una bolita con un número mayor que 3

B = extraer una bolita con un numero par.

a) Observa el diagrama de Venn y analiza el razonamiento.

La probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A, es decir, P(B / A) ,

corresponde a la probabilidad de extraer bolitas numeradas con 4, 6, 8 o 10

(casos favorables), considerando los valores mayores que 3, es decir: 4, 5,

6, 7, 8, 9 y 10 (casos posibles).

b) Calcula el cociente entre P(A ∩ B) y P(A). ¿Qué obtienes?

(A ∩ B) se lee A intersección B Corresponde a los elementos comunes a los conjuntos A y B

Los elementos de A (mayores a tres) son: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Los elementos correspondientes a B (pares) son: 2, 4, 6, 8, 10

Por ende los elementos de A ∩ B son 4, 6, 8, 10, son 4 elementos en total, luego la su probabilidad es

4

P A B10

La probabilidad de A (mayor a tres) corresponde a P(A) 7

10

Definición:

La probabilidad condicionada P(B / A) es la probabilidad de que ocurra un suceso B dado que ocurrió

otro A y se calcula con la siguiente expresión:

P A BP(B / A)

P A

La probabilidad condicionada P(B / A) , se lee “la probabilidad de que B ocurra, dado que ocurrió A” es

4P A B 10P(B / A)

7P A

10

4 10P(B / A)

10 7

4P(B / A)

7

Liceo Bicentenario Ignacio Carrera Pinto Departamento de Matemática

Nivel Unidad Guía Año

: Tercero Medio : 1 :N°7 2020

Consultas: claudiapino@licap.cl anamariaescandor@licap.cl

Reemplazamos los valores antes calculados

en la fórmula

Aplicamos regla de la división de fracciones. Multiplicamos los extremos y los medios

Este problema de probabilidad condicionada, también se podría resolver haciendo una reducción del

espacio muestral.

Recordemos la situación: Se extrae una bolita al azar desde una urna que contiene 10 bolitas, como se

muestran en la imagen. Si se sabe que la bolita extraída tiene un número mayor que 3, ¿cuál es la

probabilidad de que sea par?

Al ser la bolita extraída un número mayor que tres, podemos “olvidarnos” del número 1, 2 y 3 (pues no

cumplen con la condición indicada). Entonces, los números que estarían en juego, serían:

4 5 6 7 8 9 10

Al realizar este simple proceso, podemos ahora calcular la probabilidad de forma “normal”, considerando

los casos favorables, respecto del total

Casos favorables son cuatro, sirven los números 4, 6, 8 y 10 (2 no se considera)

Casos totales son siete (se descartaron los números 1, 2 y 3)

La probabilidad es 4

Pr ob7

2. Se extraen al azar dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener dos reyes?

a.) Observa los diagramas de árbol para los siguientes casos.

Extracción CON REPOSICIÓN Extracción SIN REPOSICIÓN

4

40Corresponde a la probabilidad de que salga un rey, debido a que el naipe tiene 4 reyes de un

total de 40 cartas

36

40Corresponde a la probabilidad de que salga una carta distinta de rey (36) de un total de 40

cartas que corresponde al naipe español

b.) ¿En qué caso obtener rey en la primera extracción condiciona el resultado de obtener rey en la

segunda extracción?, ¿y en cuál no lo condiciona?

c.) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos reyes de la baraja española al extraer dos cartas sin

reposición?, ¿y al extraerlas con reposición? Calcula.

Ojo: 39

porque ya se

sacó una carta

de un total de

40 que tiene

el Naipe

Definición: Dos sucesos A y B son independientes, si la realización de A no condiciona la realización de B, es

decir, P(B/A) = P(B). Entonces, P(A ⋂ B) = P(A) · P(B).

Dos sucesos A y B son dependientes si la realización de A condiciona la realización de B, es decir,

P(B/A) ≠ P(B). Entonces, P(A ⋂ B) = P(A) · P(B/A).

3. La siguiente tabla de contingencia muestra la cantidad de participantes en una corrida de cierta

localidad según las siguientes categorías:

Como tenemos la información resumida en una tabla, utilizaremos dicha información para poder

calcular la probabilidad condicionada de una forma mucho más simple, haciendo una reducción del espacio

muestral.

a) La probabilidad de que sea una corredora, sabiendo que pertenece a la categoría sénior.

Si consideramos que la condición en este caso es ser de la categoría sénior y hacemos la reducción del

espacio muestral, obtenemos.

Masculino Femenino Total

Sénior 75 90 165

Al realizar la reducción del espacio muestral, podemos calcular esta probabilidad de forma “normal”,

analizando los casos favorables versus los casos totales. En este ejemplo, los casos favorables son 90

(femenino) y los casos totales son 165 (total de sénior).

Finalmente, la probabilidad es 90 6

165 11

b) La probabilidad de que sea de la categoría adulto, sabiendo que es un corredor.

Si consideramos que la condición en este caso es ser hombre y hacemos la reducción del espacio

muestral, obtenemos.

Masculino

Adolescente 25

Adulto 125

Sénior 75

Total 225

Analizando los casos favorables versus los casos totales. En este ejemplo, los casos favorables son 125

(adulto) y los casos totales son 225 (total de hombres).

Finalmente, la probabilidad es 125 5

225 9

Las tablas de contingencia son aquellas en

las que se resume y organiza la información

según dos o más criterios.

c) Si se decide realizar otra corrida y premiar a alguien que pertenezca a la categoría (genero-edad)

que tenga más inscritos, ¿qué tipo de corredor es probable que reciba el premio?

Si consideramos que la categoría que tiene más inscritos es la categoría adulto (condición) y hacemos

la reducción del espacio muestral, obtenemos.

Masculino Femenino Total

Adulto 125 70 195

Analizando los casos favorables versus los casos totales. En este ejemplo, los casos favorables son 125

(hombres) y los casos totales son 195 (adultos).

Finalmente, la probabilidad es 125 25

195 39

Ejercicios para Practicar

4. Para curar una enfermedad, un grupo de doctores han aplicado un nuevo tratamiento, obteniendo

los siguientes resultados.

Si se elige un paciente al azar, calcular la probabilidad de que:

a) Se haya curado

b) No se haya curado

c) Se haya curado dado que se le aplicó el tratamiento nuevo

d) No se haya curado dado que se le aplicó el tratamiento nuevo

e) Se haya curado dado que se aplicó el tratamiento antiguo

f) No se haya curado dado que se le aplicó el tratamiento antiguo

g) ¿Qué decisión debe tomar el equipo médico: seguir con el nuevo tratamiento o volver al antiguo?

5. Un estudio médico indica que, de una población de 1000 pacientes, 400 tienen diabetes, 500 son

hombres y 200 de estos sufren hipertensión. Además, 230 hombres tienen diabetes y 100 mujeres,

hipertensión. Calcula la probabilidad de que uno de estos pacientes:

a) Tenga diabetes si es mujer

b) Tenga diabetes si es hombre

c) Tenga hipertensión si es mujer

d) Tenga hipertensión si es hombre

Para concluir

a) Explica con tus palabras lo que entiendes por el concepto de probabilidad condicionada.

b) ¿En qué otras situaciones se podrían tomar decisiones a partir de la probabilidad condicionada?

Justifica tu respuesta.

Curados No Curados Total

Tratamiento Nuevo 60 21 81

Tratamiento Antiguo 43 36 79

Total 103 57 160

Hombres Mujeres Total

Diabetes

Hipertensión

Otra enfermedad

Total