Modelos de redes para solucin de problemas de transporte.Terminologia de redes.Se ha desarrollado una terminologa relativamente extensa para describir los tipos de redes y sus componentes. Aunque se ha evitado en lo posible el uso del vocabulario especfico, es necesario introducir un nmero considerable de trminos que se usarn en este captulo. Se sugiere al lector que lea la seccin completa una vez para entender las definiciones y planee despus regresar para repasar los trminos a medida que stos se utilicen en las secciones siguientes. Como ayuda, se resalta el nombre de cada trmino en negritas en el punto en que se define. Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de lneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vrtices); por ejemplo, la red de la figura 1 tiene siete nodos que son representados por siete crculos. Las lneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas); por ejemplo, la red de la figura 1 tiene 12 arcos que corresponden a los 12 caminos del sistema del parque. Los arcos se etiquetan al dar el nombre de los nodos en sus puntos terminales; por ejemplo, en la figura 1, AB es el arco entre los nodos A y B.

Figura 1 Sistema de caminos del Seevada Park

Los arcos de una red pueden tener un flujo de algn tipo que pase por ellos; por ejemplo, el flujo de tranvas sobre los caminos de Seervada Park en la seccin 1. La tabla 1 proporciona varios ejemplos de flujo en redes. Si el flujo a travs de un arco se permite slo en una direccin como en una calle de un sentido, se dice que el arco es un arco dirigido. La direccin se indica al agregar una cabeza de flecha al final de la lnea que representa el arco. Cuando se etiqueta un arco dirigido con el nombre de los nodos que unen, siempre se pone primero el nodo de donde viene y despus el nodo hacia dnde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra manera de etiquetarlo es AB.Si el flujo a travs de un arco se permite en ambas direcciones como una tubera que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones, se dice que el arco es un arco no dirigido. Para ayudar a distinguir entre los dos tipos de arcos, con frecuencia se har referencia a los arcos no dirigidos con el sugestivo nombre de ligadura.Aunque se permita que el flujo a travs de un arco no dirigido ocurra en cualquier direccin, se supone que ese flujo ser slo en una direccin, en la seleccionada, y no se tendrn flujos simultneos en direcciones opuestas. (Este ltimo caso requiere usar un par de arcos dirigidos en direcciones opuestas.) En el proceso de toma de decisiones sobre el flujo de un arco no dirigido, se permite hacer una secuencia de asignaciones de flujos en direcciones opuestas, pero en el entendido de que el flujo real ser el flujo neto, esto es, la diferencia de los flujos asignados en las dos direcciones. Por ejemplo, si se asigna un flujo de 10 en una direccin y despus un flujo de 4 en la direccin opuesta, el efecto real es la cancelacin de 4 unidades de la asignacin original, lo que reduce el flujo en la direccin original de 10 a 6. Aun en el caso de un arco dirigido, en ocasiones se usa la misma tcnica como una manera conveniente de reducir un flujo asignado con anterioridad. En particular, se puede hacer una asignacin ficticia de flujo en la direccin equivocada a travs de un arco dirigido para registrar una reduccin en esa cantidad del flujo que va en la direccin correcta. Una red que tiene slo arcos dirigidos se llama red dirigida. De igual manera, si todos sus arcos son no dirigidos, se dice que se trata de una red no dirigida. Una red con una mezcla de arcos dirigidos y no dirigidos o incluso una con todos sus arcos no dirigidos se puede convertir en una red dirigida, si se desea, mediante la sustitucin de cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en direcciones opuestas. (Despus se puede optar por interpretar los flujos a travs de cada par de arcos dirigidos como flujos simultneos en direcciones opuestas o de proporcionar un flujo neto en una direccin, segn convenga al caso.)Tabla 1 Componentes de redes representativas

Cuando dos nodos no estn unidos por un arco es vlido preguntar si estn conectados por una serie de arcos. Una trayectoria entre dos nodos es una sucesin de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan a los nodos O y T en la fi gura 9.1 es la sucesin de arcos OBBDDT (O B D T), y viceversa. Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distincin entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j a travs de esta trayectoria es factible. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin (si la tiene) puede ser hacia o desde el nodo j. (Observe que una trayectoria dirigida tambin satisface la definicin de trayectoria no dirigida, pero el inverso no se cumple.) Con frecuencia, una trayectoria no dirigida tendr algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde l, es decir, hacia el nodo i. Para ilustrar estas definiciones, la figura 2 muestra una red dirigida comn. La sucesin de arcos ABBCCE es una trayectoria dirigida (A B C E) del nodo A al nodo E, puesto que el flujo hacia el nodo E en toda esta trayectoria es factible. Por otro lado, BCACAD (B C A D) no es una trayectoria dirigida del nodo B al nodo D, porque la direccin del arco AC es desde el nodo D (sobre esta trayectoria). No obstante, B C A D es una trayectoria no dirigida del nodo B al nodo D, debido a que la secuencia de arcos BCACAD conecta a estos dos nodos (aun cuando la direccin del arco AC evita el flujo a travs de esta trayectoria).Como ejemplo de la relevancia de las trayectorias no dirigidas, suponga que se haban asignado dos unidades de flujo del nodo A al nodo C al arco AC.En razn de esta asignacin previa, ahora es factible asignar un flujo ms pequeo, por ejemplo una unidad, a la trayectoria no dirigida B C A D, aunque la direccin de AC evite un flujo positivo a travs de C A. La razn es que esta asignacin de flujo en la direccin equivocada para el arco AC en realidad slo reduce el flujo en la direccin correcta en una unidad. Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, segn la trayectoria en cuestin sea dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida tambin es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.) Por ejemplo, en la figura 2, DEED es un ciclo dirigido. Por el contrario, ABBCAC no es un ciclo dirigido puesto que la direccin del arco AC es opuesta a la de los arcos AB y BC. Por otro lado, ABBCAC no es un ciclo dirigido porque A B C A

Figura 2 Red de distribucin Unlimited Co., ilustra una red dirigida.Es una trayectoria no dirigida. En la red no dirigida que se muestra en la fi gura 9.1 existen muchos ciclos; por ejemplo, OAABBCCO. De cualquier forma, observe que la definicin de trayectoria una sucesin de arcos distintos elimina la posibilidad de retroceder para formar un ciclo. Por ejemplo, OBBO en la figura 1 no califica como ciclo, porque OB y BO son dos etiquetas del mismo arco (ligadura). Por otra parte, en la figura 2, DEED es un ciclo (dirigido) porque DE y ED son arcos distintos.Se dice que dos nodos estn conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. (Observe que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida.)Una red conexa es una red en la que cada par de nodos est conectado. Entonces, las redes de las figuras 1 y 2 son ambas conexas.La ltima red no sera conexa si se eliminaran los arcos AD y CE.Considere una red conexa con n nodos por ejemplo, los n = 5 nodos de la figura 2 en la que han sido eliminados todos los arcos. Se puede hacer crecer un rbol si se agrega un arco o rama a la vez a partir de la red original de cierta manera. El primer arco puede ir en cualquier lugar de modo que conecte algn par de nodos. De ah en adelante, cada arco nuevo debe agregarse entre un nodo que ya haya sido conectado a otros nodos y a un nuevo nodo no conectado. Si se agregan arcos de esta manera, se evita que se forme un ciclo y adems se asegura que el nmero de nodos conexos sea uno ms que el nmero de arcos. Cada nuevo arco crea un rbol ms grande, que es una red conexa para algn subconjunto de n nodos que no contiene ciclos no dirigidos. Una vez agregado el (n l)-simo arco, el proceso se detiene porque el rbol resultante se expande (conecta) hacia todos los n nodos. Este rbol, que se llama rbol de expansin, es una red conexa de los n nodos que contienen ciclos no dirigidos. Todo rbol de expansin tiene exactamente n 1 arcos, puesto que ste es el nmero mnimo de arcos necesario para tener una red conexa y el mximo nmero posible para que no haya ciclos no dirigidos.En la figura 3 se muestran los cinco nodos y algunos de los arcos de la figura 2 para ilustrar este proceso de hacer crecer un rbol mediante la colocacin de un arco (rama) a la vez, hasta que se obtiene un rbol de expansin.En cada etapa del proceso existen varias alternativas para el nuevo arco, por lo que la figura 3 muestra slo una de las muchas formas de construir un rbol de expansin en este caso. Sin embargo, observe cmo cada nuevo arco que se agrega satisface las condiciones especificadas en el prrafo anterior.Los rboles de expansin se estudiarn ms a fondo en la seccin 9.4.

Los rboles de expansin tienen un papel clave en el anlisis de muchas redes. Por ejemplo, forman la base del problema del rbol de mnima expansin que se presenta en la seccin 9.4. Otro ejemplo es que los rboles de expansin (factibles) corresponden a las soluciones BF del mtodo smplex de redes que se analiza en la seccin 9.7.Por ltimo, ser necesario introducir terminologa adicional sobre los flujos en redes. La cantidad mxima de flujo (quizs infinito) que puede circular en un arco dirigido se conoce como capacidad del arco.Entre los nodos se pueden distinguir aquellos que son generadores netos de flujo, absorbedores netos de flujo o ninguno de los dos. Un nodofuente o nodo origen tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo supera al que entra a l. El caso inverso es un nodo demanda (o nodo destino), donde el flujo que llega excede al que sale de l. Un nodo de trasbordo (o intermedio) satisface la conservacin del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.