[ ]Explicación del modelo ricardiano, derivación matemática y utilización para explicar aspectos de la Economía Uruguaya

2013CRECIMIENTO Y DESARROLLO

Pablo Ampuero Bruno Maddalena Fernando Barbeito

MODELIZACIÓN DEL PENSAMIENTO DE RICARDO

El modelo clásico de crecimiento

En las clases anteriores planteamos un modelo que pretendía explicar la dinámica de la acumulación capitalista bajo ciertos supuestos como: no cambia la tecnología de producción, fijación convencional del salario, factor trabajo abundante, dos factores de producción: Capital y trabajo, etc.

Llegamos a la conclusión, mediante la utilización de una función de utilidad de consumo presente-consumo futuro del capitalista, que la acumulación depende positivamente de la tasa de rentabilidad y de las preferencias por el consumo futuro. Esto implicaba que dado un nivel de capital inicial, ceteris paribus todo lo demás, la acumulación crece sostenidamente período a período, por tanto crece la producción de la economía; no así el producto por trabajador, ya que al permanecer incambiada la tecnología de producción, un aumento de la producción lleva a un aumento de los trabajadores de manera que se mantenga la productividad aparente del trabajo.

Vemos que en el modelo de Ricardo al introducir el factor tierra, esa visión positiva de acumulación de capital y de crecimiento del producto puede llegar a cortarse, e incluso pueden darse procesos de desacumulación y menor crecimiento.

Supuestos

Economía capitalista con derechos de propiedad definidos

Libre movilidad de capitales

Ausencia de riesgo

Factor tierra limitado

Régimen de abundancia de tierras (Kt<U)

Régimen de escasez de tierras (Kt=U)

Cuatro agentes en la economía: Trabajadores, Terratenientes, Capitalistas, Emprendedores

Determinación convencional del salario

Una única técnica de producción

Agentes maximizadores

Factor tierra no se deprecia

El capitalista conoce las trayectorias tanto del precio de la tierra como de las tasas de rentabilidades del capital y de la tierra.

Situación general

Partiendo de los supuestos mencionados pasemos a modelizar el comportamiento del capitalista racional maximizador.

En una primera instancia el capitalista debe resolver cuánto consumir y como conformar su portafolio de activos. Por tanto definimos una función de utilidad de acuerdo a las propiedades clásicas y

definimos la restricción presupuestal, de la maximización del consumo surge como subproducto una óptima combinación del portafolio.

Para resolver el problema utilizaremos programación lineal, y definiremos el tiempo en dos períodos; en el último período el capitalista consume el capital y vende la tierra, o sea, extingue su portafolio de activos.

Las restricciones expresan que dada estructura del portafolio inicial, la cantidad a consumir y a comprar activos en el período siguiente no puede superar las remuneraciones de los factores y la venta de la tierra al iniciar el período consecutivo.

De la resolución del problema de Khun-Tucker obtenemos un sub-producto que es el principio de arbitraje. El principio de arbitraje establece que dado dos activos libre de riesgo ambos deben rendir lo mismo ya que de lo contrario uno de ellos va a predominar en nuestro portafolio. El razonamiento es que la compra de un activo como la tierra tiene determinado retorno que es igual al precio futuro de la misma y las rentas que pueden generar; para comparar con el capital debe suponerse que se invierte ese mismo costo de la tierra en capital. Con el resultado de la ecuación del arbitraje debemos modificar el resto de las ecuaciones con el objetivo de encontrar como el capitalista resuelve cuanto consumir y cuanto acumular.

Por tanto, dado el ajuste de rendimientos de los activos, la mayor acumulación de riqueza dependerá de la tasa de rendimiento de dichos activos y de la preferencia del individuo por el consumo futuro.

Básicamente el modelo adopta las mismas características que el modelo clásico convencional, nada más que se considera un portafolio de activos debido a la escasez del factor tierra.

El primero implica la preferencia por el consumo presente por unidad de consumo presente. Podría interpretarse como la preferencia marginal por el presente, mientras el multiplicador sea positivo, un aflojamiento de la restricción presupuestaria llevará a seguir consumiendo más en el presente. El mismo sentido toma el segundo multiplicador, es la preferencia por el consumo marginal futuro, un aflojamiento de la restricción llevará a un mayor consumo futuro.

El Modelo con abundancia de tierras

Dado los supuestos del modelo estamos en la situación: K t<U

Esto implica que el capital no está siendo aplicado a todo el factor tierra disponible y por tanto es abundante. Esto lleva a que la renta que genera el activo sea cero, dado que la competencia entre sus poseedores llevará a que rebajen sucesivamente sus rentas para atraer a los capitalistas.

Si se da el principio de arbitraje, y por tanto las condiciones de optimalidad derivadas en el anexo, entonces ha de esperarse que el precio de la tierra suba conforme a la tasa de rentabilidad neta de la economía. Esto implica que los capitalistas tengan incentivos a especular con el precio de la tierra en vez de acumular capital y apostar al crecimiento del producto de la economía. Incluso puede darse un efecto de desacumulación de capital generando desempleo en la economía, dado que la tecnología de producción mantiene la relación capital trabajo constante.

Se trata al mercado de tierra como un mercado de bienes y se supone clarificado. Esto implica también (dado el efecto especulativo) que si el capitalista prefiere el consumo presente, menos va a acumular, ya que con el activo tierra que tiene en su portafolio aumenta su riqueza y por tanto lo que pueda consumir en el futuro; por tanto lo que antes dedicaba a acumular en este caso específico lo puede usar para consumir.

Incluso si, por ejemplo, nos alejáramos del supuesto de que no hay riesgo podría darse una menor acumulación ya que los emprendimientos productivos tienen un mayor riesgo que la sola tenencia de un activo.

El Modelo con Escasez de Tierra

Dado los supuestos del modelo estamos en la situación: K t=U

Este modelo parte de que el capital aplicado en la economía utiliza todo el recurso tierra disponible y apto para emprendimientos productivos.

Como el mercado de tierras está clarificado, y además ya las tierras están siendo explotadas según la tierra disponible, no hay incentivos a la compra y venta de tierras; por tanto el precio de un período a otro permanece incambiado. Esto implica que la riqueza que poseen los capitalistas permanece incambiada.

La tasa de rentabilidad pasa a depender de los parámetros de preferencia por consumo presente y futuro, O sea, la tasa de rentabilidad de la economía es el opuesto de la elasticidad del consumo futuro-presente de la utilidad del capitalista.

Esto implica que en el modelo de escasez de tierra, dado que la misma no se deprecia y la productividad y tecnología aplicada es constante, la misma se comporta como un bono a perpetuidad. Lo que implica que su precio de equilibrio es igual al valor presente de todos los sucesivos pagos infinitos de renta actualizados por el costo de oportunidad que es la tasa de rentabilidad.

Consideraciones finales del modelo

Uno de los aspectos claves del modelo es la especulación que se produce en torno al precio de la tierra en la transición del régimen con tierra abundante hacia el Estado estacionario.

Esta especulación genera que fondos que podían dedicarse a la acumulación de capital terminan yendo hacia la compra de tierras apostando a un mayor precio futuro de la misma. Esto implica menores niveles globales de acumulación y crecimiento de la economía.

Dado los supuestos hechos de la relación capital trabajo y de una tecnología constante, el menor crecimiento implica menos mano de obra ocupada y por tanto un aumento de la tasa de desempleo. Si bien el modelo no toma en cuenta la demanda agregada, podemos suponer que los trabajadores forman parte sustantiva de la demanda, esto implica una menor demanda agregada y por tanto la producción se irá ajustando a la baja, impactando nuevamente de forma negativa sobre los niveles de acumulación (Efecto del multiplicador keynesiano “perverso”)

El modelo supone igual riesgo de acumular capital y comprar tierra, pero por lo general los emprendimientos productivos son más riesgosos que la solo inversión en activos para que se valoricen; por tanto en condiciones de incertidumbre los ahorros fugaran mayormente a la compra de tierras.

Si bien el modelo considera neutro el impacto institucional, este se puede ver expresado a través de las preferencias por el consumo futuro. En el régimen de abundancia de tierras este parámetro es fundamental, ya que cuánto menos preferencia halla por el futuro mayormente irá la riqueza hacia el consumo y la compra de tierras para especular. Entendemos el factor institucional de forma amplía, como pautas de conducta y como normas y regulaciones que rigen la vida económica. Por ejemplo, si hay libertad de compra-venta de tierras y los costos de transacción son bajos, esto estimula a la especulación.

Alcance del Modelo Ricardiano (Puede explicar la realidad económica ¿?)

Una forma de aplicar el modelo a la realidad económica, mejor dicho, ver si el modelo puede explicarnos la realidad, es suponer que el estado de abundancia de tierras se relaciona con la sub utilización de

recursos; esto es consideramos los ciclos económicos. Por ejemplo, las crisis son períodos de sub utilización de recursos y por tanto “debería comportarse” como el modelo de abundancia de tierra y esperar un incremento de los precios de la tierra así como aumentos de la compra-venta del recurso.

(Extraído CINVE “Precio de la tierra en Uruguay”)

Vemos que si tomamos en cuenta los períodos de grandes crisis 1982 y 2002, se da un proceso en el cual el precio de la tierra baja producto de una desacumulación y luego se da el proceso inverso de crecimiento del precio como se podría prever con el modelo ricardiano. Luego cuando se retoma el proceso de crecimiento y por tanto pasamos al modelo con tierra escasa, el precio de la tierra parece tener una tendencia estable.

Sin embargo aparentemente el modelo no explica porque luego del 2005, año en el cuál se retoma la senda del crecimiento sostenido, el precio de la tierra sigue creciendo y no se mantiene estable. Esto puede ser explicado mediante el impacto que tiene el cambio técnico que retrasa la llegada al estado estacionario. A partir del 2002 se comienza a introducir los agronegocios, que es una visión sobre el agro con métodos productivos y agentes diferentes. Este cambio técnico generó incrementos en las expectativas de rentas de la tierra futuras, con lo cual si se actualizan a la tasa de rentabilidad suponen un mayor precio. Este es solo un componente, ya que la mayor demanda de tierras también tiene su impacto en las presiones alcistas del precio.

2000 2001 2002 2003 2004 20050

50

100

150

200

250

Compraventa tierras Vs FBKF

Operaciones compra venta (en decenas)

IVF FBKF

añoOperaciones compraventa(decenas) FBK

2000 152,3 87,82001 170,8 81,82002 142,8 64,12003 190,5 62,62004 239,1 74,52005 255,8 88,5

(Elaboración propia datos del BCU y del MGAP)

Vemos también como los capitalistas utilizan sus ahorros para la compra de tierras en tanto que la FBKF disminuye, lo cual implicaría que ante el contexto de incertidumbre y menor rentabilidad de los proyectos productivos los ahorros se van hacia la compra de activos como la tierra impactando negativamente en la inversión y en el crecimiento.

Bibliografía

Foley y Michl (1999). “Growth and distribution” David Ricardo. “Principios de economía política y tributación” Cinve (2009). “Precio de la tierra en Uruguay” MGAP. “El precio de la tierra de uso agropecuario” BCU. Cuentas nacionales. Por las derivaciones matemáticas puede consultarse “Principios de Economía

Matemática”. Alpha Chiang.

Anexo

Significado de las variables

C t :Consumoen el período t ; K t :Capital en el período t ; β :Preferencia por el consumo presente

vut :Renta del suelo en período t ;U t :Cantidad de tierra quedispone el capitalista en t ; put : preciode la tierraen t

δ :Depreciación de K ;v kt : tasa deremuneraciónbruta del k en t ;rt : tasa deremuneración netade k en t

J t :Riqueza del capitalistaen t

Situación general

El problema de Khun-Tucker es el siguiente:

Max (1−β ) L (C0 )+βL (C1 )

Sujeto a: K1+ pu1U 1+C0≤ (1+vk 0−δ ) K0+( pu1+V u0)U 0

K2+ pu2U 2+C1≤ (1+vk 1−δ )K 1+( pu2+V u1)U1

Solución del modelo:

L=(1−β ) L (C0)+ βL (C1 )+α ( (1+v k0−δ )K 0+( pu1+V u0 )U 0−K1−pu1U 1−C0 )+γ ( (1+vk1−δ ) K1+( pu2+V u1 )U 1−K2−pu2U 2−C1 )

Condiciones de primer orden

dLdC0

=1−βC0

−α ≤0C0≥0C0 [ 1−βC0

−α ]=0dLdC1

= βC1

−μ≤0C1≥0C1[ βC1

−μ]=0

dLd K 1

=−α+γ (1+v k1−δ )≤0K1≥0K1 [−α+γ (1+vk 1−δ ) ]=0

dLd K 2

=−γ K2≥0K2 [−γ ]=0

dLdU 1

=−α pu1+γ ( pu2+V u1 )≤0U 1≥0U 1 [−α pu1+γ ( pu2+V u1 ) ]=0

dLdU 2

=−pu2γ ≤0U 2≥0U 2 [−pu2 γ ]=0

dLdα

=( (1+v k0−δ )K 0+( pu1+V u0 )U 0−K1−pu1U 1−C0 )≥0

α ≥0 ( (1+vk 0−δ ) K0+( pu1+V u0 )U 0−K1−pu1U 1−C0 ) α=0

dLdγ

=((1+vk 1−δ ) K1+( pu2+V u1 )U 1−K 2−pu2U 2−C1 )≥0

γ ≥0 ( (1+vk 1−δ ) K1+( pu2+V u1 )U 1−K2−pu2U 2−C1) γ=0

Para que el modelo sea consistente los multiplicadores no pueden ser cero, y de allí surge que el portafolio de activos ya no existe en el período dos:

U 2=K 2=0 ;α ≠0 ;γ ≠0

Esto provoca que nos quede el siguiente sistema a resolver:

(1 ) 1−βC0

=α ; (2 ) βC1

=γ ; (3 )−α pu1+γ ( pu2+V u1 )=0 ; (4 )−α+γ (1+vk 1−δ )=0

Resolviendo el sistema con las ecuaciones 3 y 4.

(4 ) α=γ (1+vk 1−δ ) ;despejandoen (3 ) y factorizando

γ [(1+vk 1−δ+ pu2) pu1+V u1 ]=0; dedónde1+vk 1−δ=pu2+V u1

pu1

Sumando uno y restando uno del lado derecho y acomodando términos queda un costo de oportunidad único para ambos activos:

rt=gpt+V u1

pu1

La riqueza la definimos como J t=K t+ put+1U 1

Debemos transformar las restricciones de acuerdo al principio de arbitraje:

K1+ pu1U 1+C0=(1+r ) K0+( pu1+vu0 )U 0→J 1=(1+r ) (K0+U 0 p0 )−C0

J1=(1+r ) J0−C0

La segunda restricción queda:

C1=(1+r ) K1+ (1+r )U 1 pu1→C1=J 1(1+r )

Trabajando con las demás ecuaciones:

1−βC0

=α→C0=1−βα

α=(1+r )γ →α=(1+r ) βC1

→α=(1+r ) β(1+r )J 1

→α= βJ 1

C0=(1−β )[ J 1β ]Como J1=(1+r ) J0−C0 Entonces sustituyendo llegamos a la Ecuación de Cambridge sobre el total de

la riqueza:

J1=(1+r ) J0−(1−β )[ J1β ]→J1+(1−β )[ J 1β ]=(1+r ) J 0

[ J1β ]=(1+r ) J0→J 1=(1+r ) J 0β

Con el resultado podemos replantearnos el consumo en el período cero:

(1+r ) J 0 β=(1+r ) J 0−C0→C0=(1+r)J 0(1−β )

La ecuación de Cambridge de la riqueza podemos desagregarla en la conformación de los activos del portafolio:

K1=(1+r ) J0 β−U 1 p1

Generalizando las ecuaciones a n tiempos tenemos que:

J t+1=(1+r t )J t β

C t=(1+rt ) J t (1−β )

K t+1=(1+rt )J t β−U t+1 p t+1

Condiciones de Segundo orden

El Lagrangiano cumple las condiciones de Khun-Tucker de máximo. Las restricciones son lineales, y la función objetivo es cóncava.

Demostrar la concavidad de una función logarítmica es relativamente fácil, ya que si tomamos en cuenta el Hessiano será una matriz diagonal con todas las componentes negativas; y al ser una matriz diagonal los valores propios son los de la diagonal y al ser negativos, la matriz queda definida negativa y por tanto la función cóncava.

d2 fdC0

=−1C0

2 ;d2 fd C1

=−1C1

2 ;……. ;d2 fdCn

=−1Cn

2

H=|−1C0

2 0 0

0−1C1

2 0

0 0−1Cn

2|

El significado económico de los multiplicadores de Lagrange

α=1−βC0

; γ= βC1

El primero implica la preferencia por el consumo presente por unidad de consumo presente. Podría interpretarse como la preferencia marginal por el presente, mientras el multiplicador sea positivo, un aflojamiento de la restricción presupuestaria llevará a seguir consumiendo más en el presente. El mismo sentido toma el segundo multiplicador, es la preferencia por el consumo marginal futuro, un aflojamiento de la restricción llevará a un mayor consumo futuro.

El Modelo con abundancia de tierras

De la ecuación del principio de arbitraje podemos obtener la consecuencia de este modelo con abundancia de tierras:

rt=gpt+vut

put

; comov t=0→r t=gpt

La dinámica de acumulación en este caso específico de abundancia de tierras podemos obtenerlo de la ecuación de acumulación obtenida anteriormente:

K t+1=β (1+r ) (K t+ put U t )−pt+1U t+1

Si tomamos en cuenta que el mercado de tierras está en equilibrio, es decir, cada capitalista ya eligió el consumo óptimo de tierra tenemos que:

U t+1=U t=U

Es decir, se trata al mercado de tierra como un mercado de bienes y se supone clarificado.

Sustituyendo en la ecuación de acumulación de capital:

K t+1=β (1+r ) (K t+ ptU )−(1+r) ptU

Factorizando y resolviendo

K t+1=(1+r ) (β K t−(1−β ) p tU )

El Modelo con Escasez de Tierra

. Dado los supuestos tecnológicos de igual dotación de capital por trabajador y tierra por trabajador, tenemos en este caso:

K t+1=K t=U=K ¿

Tenemos que la tasa de ganancia neta la podemos expresar:

rt=vkt−δ= BK

XX

−δ

Teniendo en cuenta que dentro de los beneficios brutos se halla la remuneración por rentar la tierra, tenemos que:

rt=πρ−vut−δ

Tomando la ecuación de acumulación de capital ya utilizada tenemos que:

K t+1=β (1+r ) K t+β (1+r ) put U−put+1U ;como K t=K ¿=U →

K t+1=K ¿=β (1+πρ−δ−vut )K ¿+β ( put+1+vut )U−put+1U

¿ β (1+πρ−δ ) K ¿+vut(U−K ¿)−(1−β ) put+1U

¿ β (1+πρ−δ ) K ¿−(1−β) put+1U

. Esto genera la siguiente ecuación de acumulación:

K ¿=β (1+r ) (K ¿+ ptU )−pt+1U

K ¿=β J¿ (1+r¿)−p tU

De esta ecuación de acumulación podemos ver qué sucede con la riqueza:

K ¿+ p tU=β J ¿ (1+r¿)→J ¿=β J ¿ (1+r¿ )

Esto implica que la riqueza que poseen los capitalistas permanece incambiada. Podemos despejar la tasa de rentabilidad del modelo:

(1+r )=1β

r¿=1−ββ

Es decir, la tasa de rentabilidad pasa a depender de los parámetros de preferencia por consumo presente y futuro.

A su vez tenemos que partiendo de la Utilidad del capitalista:

U=(1−β ) L (C0 )+βL (C1 )

Si hacemos el diferencial total de la ecuación:

dU=1−βC0

d C0+βC1

dC1

Suponemos que el capitalista ya maximizó y no está dispuesto a variar su utilidad por tanto:

dU=0→−d C1

C1

β=1−βC0

dC0→−

d C1

C1

d C0

C0

=1−ββ

→−ε c1c0=1−β

β

r¿=−εc1c0

O sea, la tasa de rentabilidad de la economía es el opuesto de la elasticidad del consumo futuro-presente de la utilidad del capitalista.

Siguiendo con el razonamiento la renta de la tierra quedaría:

vu¿=πρ−δ−r¿

Tomando la ecuación de arbitraje y adaptándola para este modelo de escasez tenemos que:

Esto es:

pu¿=∑

j=1

j=∞ vu¿

(1+r ¿)j

Demostración:

pu¿=vu

¿ ( 1

(1+r )1+

1

(1+r )2… ..

1

(1+r )n )Multiplicamos por la tasa de descuento y luego restamos ambas ecuaciones:

1(1+r )

pu¿=vu

¿ ( 1

(1+r )2+

1

(1+r )3…..

1

(1+r )n+1 )pu

¿−1

(1+r )pu

¿=vu¿ ( 1

(1+r )1−

1

(1+r )n+1 );comon→+∞

pu¿ r=vu

¿→ pu¿=

vu¿

r¿

vu¿+ pu

¿=(1+r ) pu¿→ pu

¿=vu

¿

r¿