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Modelización con sistemas de EDOs lineales 1 / 52

Modelización con sistemas de EDOs lineales

Rafael Ramírez Ros

Aplicaciones de las Matemáticas a la Ingeniería(27/11/2019)


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1 Introducción

2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosLimpiando los Grandes LagosCentrifugadoras Zippe

3 Muelles verticales sin fricciónMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce


Introducción

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1 Introducción




Introducción

Requisitos académicos

Álgebra Lineal: Lenguaje matricial, VAPs & VEPs,diagonalización de matrices, etcétera.Cálculo 1: Cálculo de derivadas, resolución de EDOslineales de 1er orden, etcétera.Ecuaciones Diferenciales: Modelización, resolución yestabilidad de SLHs a CC, etcétera.MATLAB: Dibujar gráficas, resolver numericamente EDOs,etcétera.


Introducción

Sistemas de EDOs lineales: Formulación inicial

Un sistema lineal de 1er orden es un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias lineales de 1er ordende la forma

x ′1 = a11(t)x1 + · · · + a1n(t)xn + b1(t),x ′2 = a21(t)x1 + · · · + a2n(t)xn + b2(t),

......

......

x ′n = an1(t)x1 + · · · + ann(t)xn + bn(t),

donde t es la variable independiente. Además, ′ = d/dt .Datos: Coeficientes aij(t) y términos no homogéneos bi(t),que son funciones continuas en algún intervalo I ⊂ R.Incógnitas: Funciones x1(t), . . . , xn(t).


Introducción

Sistemas de EDOs lineales: Formulación matricial

Escribiremos el SL anterior como x ′ = A(t)x + b(t), donde

x =

x1...

xn

, A =

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

, b =

b1...

bn

.


Introducción

Sistemas de EDOs lineales: Tipos

El sistema es homogéneo si y sólo si b(t) ≡ 0.El sistema es a coeficientes constantes si y sólo si loscoeficientes aij(t) (y, por tanto, la matriz A(t)) sonconstantes (es decir, no dependen de t).n es la dimensión del sistema.SLH = Sistema Lineal Homogéneo.SLNH = Sistema Lineal No Homogéneo.EDO = Ecuación Diferencial Ordinaria.CC = Coeficientes Constantes.


Problemas de concentraciones

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1 Introducción





Un depósito

Un depósito: Unidades, parámetros & incógnita

Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal entrada, γ = concentración deuna sustancia X en la entrada y V = volumen.Incógnita: c(t) = concentración de X en el instante t

- -

r m3/h

γ kg/m3

r m3/h

c(t) kg/m3

V m3

c(t) kg/m3

Figura : Un único depósito con una salida y una entrada.



Un depósito

Un depósito: Hipótesis & modelización

1a hipótesis: El volumen V se mantiene constante, luegoel caudal de salida es igual a r .2a hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme por todo el depósito, luego laconcentración de salida es igual a c(t).Cantidad dentro = Vc(t) kg→ variación = Vc′(t) kg/h.Entrada = rγ kg/h. Salida = rc(t) kg/h.Vc′ = variación = entrada− salida = rγ − rc, luego

c′ = −pc + pγ = p(γ − c),

donde p = r/V = porción del depósito que se renueva porhora (tiene unidades 1/h).



Un depósito

Un depósito: Solución & interpretación

La solución general es

c(t) = γ + e−pt (c(0)− γ).

Interpretación: Independientemente de cuál sea laconcentración inicial, la concentración dentro del depósitotiende a igualarse a la concentración de entrada.La EDO c′ = −pc + pγ es un SLNH 1D a CC.



Dos depósitos

Dos depósitos: Unidades, parámetros & incógnitas

Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal trasvase, Vj = volumen depósito j .Incógnitas: cj(t) = concentración depósito j , instante t .

-r m3/h

r m3/h

c1(t) kg/m3

c2(t) kg/m3

V1 m3

c1(t) kg/m3V2 m3

c2(t) kg/m3

Figura : Dos depósitos conectados formando un circuito cerrado.



Dos depósitos

Dos depósitos: Hipótesis & modelización

1a hipótesis: Los dos volúmenes se mantienen constantes,luego el caudal de derecha a izquierda es igual a r .2a hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme en cada depósito, luego lasconcentraciones de trasvase son c1(t) y c2(t).Variación depósito j : Vc′j (t) kg/h.Entrada depósito j : rci(t) kg/h, con i 6= j .Salida depósito j : rcj(t) kg/h.Ecuaciones de balance en cada depósito:

1o: V1c′1 = variación = entrada− salida = rc2 − rc1,

2o: V2c′2 = variación = entrada− salida = rc1 − rc2.



Dos depósitos

Dos depósitos: SLH & PVI

pj = r/Vj = porción depósito j que se renueva por hora.La formulación matricial de las dos EDOs anteriores es unSLH 2D a CC: c′ = Ac, donde

c =

(c1c2

), A =

(−p1 p1

p2 −p2

).

Para encontrar el vector concentración c(t) necesitamosconocer el vector concentración inicial c(0) = c0.Queremos resolver el PVI

c′ = Ac, c(0) = c0 =

(γ1γ2

).

Si γ1 = γ2, entonces c0 es un punto de equilibrio: Ac0 = 0,luego c(t) ≡ c0.



Dos depósitos

Dos depósitos: Solución & interpretación

Solución:

c1(t) =V1γ1 + V2γ2

V1 + V2+

V2(γ1 − γ2)

V1 + V2e−(p1+p2)t ,

c2(t) =V1γ1 + V2γ2

V1 + V2+

V1(γ2 − γ1)

V1 + V2e−(p1+p2)t .

Interpretación: Como el circuito es cerrado, ambasconcentraciones tienden a igualarse al valor

V1γ1 + V2γ2

V1 + V2,

que es la media ponderada de las concentraciones γ1 y γ2.



Dos depósitos

Dos depósitos: Cantidad conservada

S(c1, c2) = V1c1 + V2c2 = cantidad total de sustancia X enel circuito (en kg).La función S(c1, c2) es una cantidad conservada, pues suderivada temporal es idénticamente nula:

dSdt

= (V1c1 + V2c2)′ = V1c′1 + V2c′2

= (rc2 − rc1) + (rc1 − rc2) ≡ 0.

Comprobación: Evaluamos la función S(c1, c2) usando lassoluciones c1(t) y c2(t) dadas en la página anterior:

S(c1(t), c2(t)) ≡ V1γ1 + V2γ2 = S(c1(0), c2(0)), ∀t ∈ R.

Interpretación: El circuito es cerrado, luego la sustancia Xno puede entrar en el (ni salir del) circuito.



Limpiando los Grandes Lagos

Grandes Lagos: Hipótesis & preguntas

Situación: Los Grandes Lagos son cinco lagos (Superior,Michigan, Huron, Eire y Ontario) a lo largo de la fronteraentre EEUU y Canada con varias interconexiones entreellos. (Ver la figura de la siguiente slide.)Hipótesis:

1 Los cinco volúmenes se mantienen constantes;2 El contaminante se distribuye de forma inmediata y

uniforme en cada lago;3 La concentración de contaminante en el instante inicial es

la misma en los cinco lagos; y4 Solo entra agua pura a partir del instante inicial.

Pregunta: ¿Cuántos años tardará la contaminación enreducirse al 50% en cada lago?




Grandes Lagos: Figura




Grandes Lagos: Modelo

Unidades: año (tiempo), Tm (masa) y mi3 (volumen).Incógnitas: Concentraciones s(t), m(t), h(t), e(t) y o(t).Modelo: El SLH 5D c′ = Ac, donde

c =

smheo

,A =

− 3

580 0 0 0 00 − 19

590 0 0 03

17019

425 − 225 0 0

0 0 1729 − 85

116 00 0 0 85

393 − 33131

.

A es triangular inferior, luego sus VAPs son los elementosdiagonales (todos negativos) y el SLH es atractor.




Grandes Lagos: Resultados & advertencia

Advertencia: s(134) ' s(0)/2, aunque 29002×15 ' 96,7.



Centrifugadoras Zippe

Centrifugadoras Zippe: Utilidad

El uranio natural (NU) es una mezcla de un 99.28% delisótopo pesado U-238, un 0.72% del isótopo fisible U-235y una cantidad casi despreciable del isótopo U-234.El enriquecimiento de uranio crea

Uranio empobrecido (DU): ≤ 0.3% de U-235;Uranio poco enriquecido (LEU): [3%,5%] de U-235;Uranio muy enriquecido (HEU): [20%,85%] de U-235.

Este enriquecimiento se realiza mediante procesos dedifusión gaseosa (ya obsoletos, usados durante la guerrafría), centrifugadoras (las centrifugadoras Zippe son lasmás eficientes) o técnicas basadas en láseres.




Centrifugadoras Zippe: Descripción

Cilindros de aproximadamente 20 centimetros de radio yde hasta 12 metros de altura que giran a casi 70000revoluciones por minuto.Se llenan de UF6 en estado gaseoso. Debido a la fuerzacentrífuga, la concentración de 235UF6 disminuye con ladistancia al eje de rotación.Calentando el fondo del cilindro se produce unaconvección que permite extraer gas rico en 235UF6 porarriba y gas pobre en 235UF6 por el borde.Tienen un factor de separación α2 ∈ [1.2,1.4].Se montan en grandes formaciones en serie y en paralelo.




Centrifugadoras Zippe: Trivia

P. A. M. Dirac estudió la eficiencia del enriquecimiento eintrodujo la unidad SWU (separative work unit).La planta en Oak Ridge (Tennesse) donde se enriqueció eluranio para fabricar las bombas atómicas de Hiroshima yNagasaki fue el mayor edificio industrial de la época.Las centrifugadoras Zippe (Kamenev en Rusia) fuerondiseñadas por un grupo de 60 científicos alemanes yaustríacos capturados por los rusos al acabar la WWII.La velocidad del borde de estas centrifugadoras esaproximadamente igual a la velocidad del sonido.El famoso gusano informático Stuxnet fue (presuntamente)diseñado por Israel y EEUU para sabotear lascentrifugadoras del programa nuclear iraní.




Centrifugadoras Zippe: Unidades & parámetros

Unidades: h (tiempo), gr (masa) y m3 (volumen).Caudales: rF (entrada) , rE (salida enriquecida) y rD (salidaempobrecida).V = volumen del gas en la centrifugadora (constante).Concentraciones de 235UF6: cF (t), c(t), cE (t), cD(t).

-

-

-

rF m3/h

cF (t) gr/m3

rE m3/h

cE(t) gr/m3

rD m3/h

cD(t) gr/m3

V m3

“c(t)” gr/m3




Centrifugadoras Zippe: Factor de separación & corte

Factores de separación: Constantes αE , αD > 1 tales que

cE = αEc, cD =cαD

,cE

cD= α2 := αEαD.

Corte: Es la constante θ := αD−1α2−1 ∈ (0,1) que cumple

θαE +1− θαD

= 1.

Consecuencia: Si rE = θrF y rD = (1− θ)rF y γ > 0,entonces las concentraciones constantes

cF (t), c(t) ≡ γ, cE (t) ≡ αEγ, cD(t) ≡ γ

αD

dan un estado de equilibrio de la centrifugadora.




Centrifugadoras Zippe: Una sola centrifugadora

Vc′ = variación = entrada− salida, luego

c′ =rF cF − rEcE − rDcD

V

= pF cF − pF

(θαE −

1− θαD

)c

= pF (cF − c),

donde pF = rF/V = porción gas que se renueva por hora.Si cF (t) ≡ γ es constante, entonces

c(t) = γ + e−pF t (c(0)− γ),

luego limt→+∞ cE (t) = αEγ y limt→+∞ cD(t) = γ/αD.




Centrifugadoras Zippe: Conexiones en cascada

Una sola centrifugadora no llega a producir D,L,HEU.Necesitamos una cascada de M + N + 1 centrifugadoras:

DU← C−M · · · C−1

NU↓

C0 C1 · · · CN → L,HEU

Las conectamos de forma que:Alimentamos con NU la centrifugadora C0;La salida enriquecida de cada una entra en la siguiente;La salida empobrecida de cada una entra en la anterior;La salida empobrecida de la primera es DU; yLa salida enriquecida de la última es L,HEU.

Normalmente, N > M.




Centrifugadoras Zippe: Caudales en cascada

Simplificación: Supondremos que α ' 1, en cuyo caso

αE ' αD ' α, θ ' 11 + α

, 1− θ ' α

1 + α.

Consecuencias:1 cD = c/α y cE = αc en cada centrifugadora.2 rD = αrE en cada centrifugadora.3 El caudal rE de la última centrifugadora CN determina los

demás caudales. Normalizaremos a uno ese último caudal.




Centrifugadoras Zippe: Concentraciones en cascada

γ = concentración del NU, entrada en C0.cj(t) = concentración en la centrifugadora Cj .c = (c−M , . . . , cN) = vector de concentraciones.

cD(t) =c−M(t)α

= concentración salida empobrecida C−M .

cE (t) = αcN(t) = concentración salida enriquecida de CN .




Centrifugadoras Zippe: Esquema para M = N = 1

- - -?

c−1(t) c0(t) c1(t)

1 + α2γ

α2 α + α2 α

α 1 + α 1

c−1/α c0/α c1/α

αc−1 αc0 αc1

Salidas (caudal arriba, concentración abajo) empobrecidas yenriquecidas en una cascada simétrica de tres centrifugadoras.




Centrifugadoras Zippe: Resultados para M = N = 1

Si fijamos rE = 1 en CN = C1, obtenemos el SLNH 3Dc′ = Ac + b, con

A =1V

−(α + α2) 1 + α 0α2 −(1 + 2α + α2) 10 α + α2 −(1 + α)

,

b = (0,1 + α2,0)tγ/V .

El SLH c′ = Ac es atractor y cp(t) ≡ (1/α,1, α)tγ es unasolución particular del SLNH c′ = Ac + b, luego

limt→+∞

cD(t) = γ/α2, limt→+∞

cE (t) = α2γ.




Centrifugadoras Zippe: Gráfica para M = N = 1




Centrifugadoras Zippe: Resultado caso general

Obtenemos un SLNH c′ = Ac + b con solución particular

cp(t) ≡ (α−M , . . . ,1, . . . , αN)t γ

y cuya matriz A es tridiagonal con todos sus VAPsnegativos.Por tanto,

limt→+∞

cD(t) = α−(M+1)γ,

limt→+∞

c(t) = (α−M , . . . ,1, . . . , αN)t γ,

limt→+∞

cE (t) = αN+1γ.


Muelles verticales sin fricción

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1 Introducción





Muelle clásico

Muelle clásico: Descripción & hipótesis

Una masa cuelga de un muelle y oscila verticalmente.Hipótesis:

1 La fuerza de recuperación del muelle es proporcional (ytiene sentido opuesto) al desplazamiento desde la posiciónde equilibrio (Ley de Hooke).

2 La fuerza de fricción es despreciable.



Muelle clásico

Muelle clásico: Parámetros, incógnitas & modelización

Parámetros:m = masa,k = constante de Hooke.

Incógnita: y(t) = desplazamiento vertical desde elequilibrio (teniendo en cuenta la masa).Modelización (segunda ley de Newton):

my ′′ = masa × aceleración =∑

fuerzas = −ky .

¿Por qué no aparece el peso en la anterior suma defuerzas?



Muelle clásico

Muelle clásico: SLH 2D

Introduciendo la nueva incógnita z = y ′, transformamos laanterior EDO de 2o orden en el SLH 2D

y ′ = zz ′ = −ky/m

Escribimos el SLH 2D anterior como x ′ = Ax , donde

x =

(yz

), A =

(0 1

−k/m 0

).

Los VAPs de A son λ± = ±ω0i, donde ω0 =√

k/m.



Muelle clásico

Muelle clásico: Oscilaciones armónicas

La solución general es y(t) = A cos(ω0t + ϕ), dondeA > 0 es la amplitud,ϕ ∈ [0,2π) es la fase, yω0 > 0 es la frecuencia natural del muelle.

La amplitud y la fase se determinan a partir de lascondiciones iniciales y(0) = y0 y y ′(0) = y1.Ejemplo: Si y0 > 0 y y1 = 0, entonces A = y0 y ϕ = 0.La frecuencia natural no depende de las condicionesiniciales.



Muelle clásico

Muelle clásico: Conservación de la energía

La energía mecánica total del muelle es

E(y , y ′) = m(y ′)2/2︸︷︷︸cinética

+ ky2/2︸︷︷︸potencialelástica

.

La energía mecánica se conserva:

dEdt

= my ′y ′′ + kyy ′ = (my ′′ + ky)y ′ ≡ 0.

Si la energía cinética crece/decrece, entonces la energíapotencial elástica decrece/crece.



Péndulo de Wilberforce

Péndulo de Wilberforce: Descripción & hipótesis

Descripción: Una masa cuelga de un muelle flexible enforma de espiral, oscilando verticalmente y torsionalmente.Queremos entender el fenómeno de transferencia deenergía entre las dos oscilaciones del siguiente video.Hipótesis de partida:

1 La ley de Hooke modela ambas oscilaciones;2 La fuerza de fricción es despreciable en ambas

oscilaciones;3 Cada oscilación ejerce sobre la otra un efecto proporcional

a su propio desplazamiento, con una constante deproporcionalidad común ε; y

4 Las frecuencias naturales coinciden (resonancia) si ε = 0.

https://www.youtube.com/watch?v=S42lLTlnfZc




Péndulo de Wilberforce: Parámetros & incógnitas

Parámetros:m = masa,I = momento de inercia,k1 = constante de Hooke del movimiento vertical,k2 = constante de Hooke del movimiento torsional,ε = pequeño parámetro de acoplamiento.

Resonancia: Suponemos que si ε = 0, las dos frecuenciasnaturales (vertical y torsional) coinciden. Es decir,

ω0 :=√

k1/m =√

k2/I.

Incógnitas:y(t) = desplazamiento vertical desde el equilibrio,θ(t) = desplazamiento torsional desde el equilibrio.




Péndulo de Wilberforce: Modelización & reducción

Modelización (segunda ley de Newton):my ′′ = −k1y + εθ

Iθ′′ = −k2θ + εy

Introduciendo las dos incógnitas auxilaresz = y ′ = velocidad vertical,Ω = θ′ = velocidad angular,

reducimos el anterior SLH 2D de 2o orden a CC al SLH 4Dde 1er orden a CC

y ′ = zz ′ = −k1y/m + εθ/mθ′ = ΩΩ′ = −k2θ/I + εy/I




Péndulo de Wilberforce: Formulación matricial

Escribiremos el SLH 4D anterior como x ′ = Ax , donde

x =

yzθΩ

, A =

0 1 0 0−ω2

0 0 ε/m 00 0 0 1ε/I 0 −ω2

0 0

y ya hemos impuesto la condición de resonancia.




Péndulo de Wilberforce: VAPs & VEPs

Los VAPs de A son simples e imaginarios puros:

λ1 = σ+i, λ2 = −σ+i, λ3 = σ−i, λ4 = −σ−i,

dondeσ± =

√ω2

0 ±ε√mI

= ω0 + O(ε).

Si notamos µ =√

m/I, entonces los VEPs son

v1,2,3,4 =

1σ+i−µ−µσ+i

,

1−σ+i−µµσ+i

,

1σ−iµ

µσ−i

,

1−σ−iµ

−µσ−i

.




Péndulo de Wilberforce: Solución del PVI

Fijamos los valores iniciales

y(0) = 1, θ(0) = z(0) = Ω(0) = 0.

Al imponer que la combinación lineal

x(t) =4∑

j=1

cjeλj tv j

cumpla la condición inicial x(0) = (1,0,0,0)t , obtenemos

c1 = c2 = c3 = c4 = 1/4.




Péndulo de Wilberforce: Desplazamientos (1)

Por tanto, los desplazamientos vertical y torsional son

y(t) = (eiσ+t + e−iσ+t + eiσ−t + e−iσ−t )/4= [cos(σ−t) + cos(σ+t)] /2= cos(ωt) cos(νt)

θ(t) = µ(−eiσ+t − e−iσ+t + eiσ−t + e−iσ−t )/4= µ [cos(σ−t)− cos(σ+t)] /2= µ sin(ωt) sin(νt),

donde ω =σ+ + σ−

2= ω0 + O(ε) y ν =

σ+ − σ−2

= O(ε). Esdecir, ω es casi la frecuencia natural, mientras que ν es lafrecuencia de una oscilación lenta (similar al batimiento).




Péndulo de Wilberforce: Desplazamientos (2)

Periodo de la oscilación rápida: 2πω ' 2π.

Periodo de la oscilación lenta: 2πν ' 251.




Péndulo de Wilberforce: Conservación de la energía

La energía mecánica total del péndulo de Wilberforce es

E(y , z, θ,Ω) =m2

z2 +k1

2y2︸︷︷︸

modo vertical

+I2

Ω2 +k2

2θ2︸︷︷︸

modo torsional

− εyθ︸︷︷︸acopl.

.

La energía mecánica se conserva.Cuando la energía del modo vertical es grande/pequeña,la energía del modo torsional es pequeña/grande.La energía de acoplamiento siempre es pequeña.




Péndulo de Wilberforce: Transferencia de energía


Referencias

1 R. E. Berg y T. S. Marshall, Wilberfoce pendulumoscillations and normal modes, Am. J. Phys. 59:32–38,1991.

2 J. Bernstein, SWU for U and Me, arXiv:0906.2505.3 M. Goncalves, Cleaning up the Great Lakes, Prezi

presentation, november 2013.4 S. Manojlovic, Uranium enrichment methods, may 2010.5 M. Plavcic, P. Zupanovic y Z. B. Losic, The resonance of

the Wilberforce pendulum and the period of beats, Lat.Am. J. Phys. Educ. 3:547–549, 2009.

https://arxiv.org/abs/0906.2505

https://prezi.com/s7bmyadttz-x/cleaning-up-the-great-lakes/

https://prezi.com/s7bmyadttz-x/cleaning-up-the-great-lakes/


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Sesión: Modelización con sistemas de EDOs linealesFecha: 27/11/2019

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