Modelacion,Analisis No Lineal y Disipacion

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Departamento de Ingeniera Estructural y Geotcnica

MODELACIN, ANLISIS NO-LINEAL Y DISIPACIN DE ENERGA DE ESTRUCTURAS

PLANAS SOMETIDAS A TERREMOTOS

JUAN PABLO CCERES CHOMALI

Memoria para optar al ttulo de Ingeniero Civil, con Diploma en Ingeniera Estructural

Profesor Supervisor: RAFAEL RIDDELL C.

Santiago de Chile, 2001

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Departamento de Ingeniera Estructural y Geotcnica

MODELACIN, ANLISIS NO-LINEAL Y DISIPACIN DE ENERGA DE

ESTRUCTURAS PLANAS SOMETIDAS A TERREMOTOS

JUAN PABLO CCERES CHOMALI

Memoria presentada a la Comisin integrada por los profesores:

RAFAEL RIDDELL C.

JUAN CARLOS DE LA LLERA M.

JORGE CREMPIEN L.

Quienes recomiendan que sea aceptada para completar las exigencias del ttulo de Ingeniero Civil, con Diploma en Ingeniera Estructural

Santiago de Chile, 2001

ii

A mi padre, A mi madre, por la presencia incondicional, y a mis hermanos, Para Aisen, quien me mostr el color de la ternura, A mis amigos de siempre, y a Xenakis, por la msica.

iii

AGRADECIMIENTOS

Gran parte de mi formacin como ingeniero se la debo al profesor Juan Carlos De la Llera. Su aporte e inters constante en la investigacin y la docencia son de gran inspiracin para desarrollar trabajos como este. Tambin quisiera reconocer los aportes realizados por el profesor Rafael Riddell, quien me gui en varios aspectos relacionados con el curso de esta investigacin, y la disposicin a participar en este trabajo del profesor Jorge Crempien.

Agradezco en especial a mi padre Nivaldo Cceres por su confianza siempre infinita, a todos mis compaeros y amigos de la universidad, sin los que mi aprendizaje no hubiese sido lo mismo, y en particular el apoyo e inters constante de mi amigo y compaero Eduardo Jahnke.

El desarrollo de esta investigacin forma parte del Proyecto FONDECYT 199012, Demanda de Disipacin de Energa Durante Terremotos y Dao Estructural, el cual es coordinado por el profesor Rafael Riddell.

INDICE GENERAL

Pg.

DEDICATORIA .......................................................................................................... ii

AGRADECIMIENTOS .............................................................................................. iii

INDICE DE TABLAS ................................................................................................ vi

INDICE DE FIGURAS.............................................................................................. vii

RESUMEN................................................................................................................ xvi

I. INTRODUCCIN.............................................................................................. 1 1.1 Motivacin y Objetivos.............................................................................. 1 1.2 Contenido del Estudio ................................................................................ 2

II. MODELO DE EDIFICO DE CORTE................................................................ 3 2.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento ..................................... 3 2.2 Propiedades del Sistema............................................................................. 6 2.3 Expresiones de Energa .............................................................................. 7 2.4 Ejemplo Numrico ..................................................................................... 8

III. ENERGA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE ...................................... 15 3.1 Modelos Analizados................................................................................. 15 3.2 Registros de Terremotos Usados.............................................................. 15 3.3 Ductilidad y Disipacin de Energa en Altura ......................................... 17 3.4 Espectros de Energa por Histresis......................................................... 38 3.5 Interpretacin de Resultados.................................................................... 43

IV. MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL..................................... 45 4.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento ................................... 45 4.2 Propiedades del Sistema........................................................................... 47

V. ELEMENTOS NO-LINEALES Y MTODO DE INTEGRACIN............... 53 5.1 Elemento Elastoplstico ........................................................................... 53

5.1.1 Modelacin del elemento............................................................... 53 5.1.2 Implementacin ............................................................................. 54 5.1.3 Ejemplo.......................................................................................... 55

5.2 Elemento Viga con Plastificacin en los Extremos ................................. 56 5.2.1 Modelacin del elemento............................................................... 56 5.2.2 Implementacin ............................................................................. 60 5.2.3 Validacin del modelo................................................................... 62 5.2.4 Ejemplo.......................................................................................... 63

5.3 Elemento Columna con Plastificacin en los Extremos Definida a travs de una Curva de Interaccin .......................................................... 66 5.3.1 Modelacin del elemento............................................................... 66 5.3.2 Descripcin de la rtula pstica con interaccin N-M .................. 69 5.3.3 Implementacin ............................................................................. 72 5.3.4 Validacin del modelo................................................................... 76 5.3.5 Ejemplo.......................................................................................... 78

5.4 Mtodo de Integracin ............................................................................. 82 5.4.1 Planteamiento de las ecuaciones.................................................... 82 5.4.2 Propiedades del sistema en tiempo discreto .................................. 83 5.4.3 Implementacin ............................................................................. 85

VI. EDIFICIO HOLIDAY INN.............................................................................. 87 6.1 Descripcin del Edificio........................................................................... 87 6.2 Modelacin del Edificio........................................................................... 90 6.3 Resultados del Anlisis ............................................................................ 97 6.4 Interpretacin de resultados ................................................................... 126

VII. CONCLUSIONES.......................................................................................... 129

BIBLIOGRAFA...................................................................................................... 132

vi

INDICE DE TABLAS

Pg.

Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso .................................................................. 10

Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus perodos (T1) y frecuencias (f1) fundamentales ....................................................................................... 15

Tabla 6.1: Propiedades estructurales de los elementos y materiales ......................... 94

Tabla 6.2: Enfierraduras de las columnas .................................................................. 95

Tabla 6.3: Enfierraduras de las vigas ......................................................................... 96

Tabla 6.4: Masas transalcionales del edificio y del marco modelado........................ 96

Tabla 6.5: Perodos y formas modales elsticos del modelo analizado ..................... 98

vii

INDICE DE FIGURAS

Pg.

Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplsticas........................ 3

Figura 2.2: Deformacin lateral de columnas.............................................................. 4

Figura 2.3: Modelo elastoplstico................................................................................ 4

Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994) ............................................. 8

Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades ............................. 10

Figura 2.6: Historia de desplazamientos .................................................................... 11

Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso ................................................... 12

Figura 2.8: Curvas fuerza-deformacin por piso ....................................................... 13

Figura 2.9: Ductilidad por piso .................................................................................. 14

Figura 2.10: Energa disipada por histresis por piso ................................................ 14

Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940) ................................... 16

Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)....................................... 16

Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985).................................... 17

Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985)....................................... 17

Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, componente S00E (1940) ................................................................................. 18

Figura 3.6: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, componente S00E (1940)............................................... 18

viii

Figura 3.7: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 19

Figura 3.8: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El Centro, componente S00E (1940).......................................... 19


Figura 3.10: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 20


Figura 3.12: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 21

Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 22

Figura 3.14: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)........................................ 22

Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)................................................................................. 23

Figura 3.16: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .................................................. 23

Figura 3.17: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 24

Figura 3.18: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .......................................... 24

ix


Figura 3.20: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 25


Figura 3.22: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 26

Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 27

Figura 3.24: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ........................................... 27

Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)................................................................................. 28

Figura 3.26: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)............................................... 28

Figura 3.27: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 29

Figura 3.28: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)....................................... 29


Figura 3.30: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 30

x


Figura 3.32: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 31

Figura 3.33: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 32

Figura 3.34: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)........................................ 32

Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)................................................................................. 33

Figura 3.36: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) .................................................. 33

Figura 3.37: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 34

Figura 3.38: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) .......................................... 34


Figura 3.40: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ..................................... 35


Figura 3.42: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ..................................... 36

xi

Figura 3.43: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 37

Figura 3.44: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ........................................... 37

Figura 3.45: Espectro de energa por histresis para El Centro, componente S00E (1940) ...................................................................................................... 39

Figura 3.46: Espectro de energa por histresis para Sylmar, componente N00E (1994)................................................................................................................ 40

Figura 3.47: Espectro de energa por histresis para Melipilla, componente N00E (1985) ..................................................................................................... 41

Figura 3.48: Espectro de energa por histresis para Llolleo, componente N10E (1985)................................................................................................................ 42

Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural ..................................................... 46

Figura 4.2: Curva de interaccin................................................................................ 47

Figura 4.3: Largo de plastificacin de las vigas ........................................................ 48

Figura 4.4: Largo de plastificacin de las columnas.................................................. 48

Figura 4.5: Definicin de deformaciones de las rtulas de las columnas .................. 49

Figura 4.6: Definicin del elemento elstico de largo Lp .......................................... 49

Figura 4.7: Curva de interaccin tpica de una seccin de hormign armado........... 51

Figura 4.8: Procedimiento para obtener la curva de interaccin de una seccin de hormign armado para ser utilizada en el modelo de marco flexural.......... 52

Figura 5.1: Definicin del elemento elastoplstico................................................... 53

Figura 5.2: Relacin fuerza-deformacin elastoplstica............................................ 54

xii

Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplstico .......................... 55

Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplstico ...................................... 55

Figura 5.5: Curva fuerza-deformacin elemento elastoplstico ................................ 56

Figura 5.6: Definicin del macro-elemento viga ....................................................... 57

Figura 5.7: Deformacin de la rtula ......................................................................... 58

Figura 5.8: Relacin fuerza-deformacin de la rtula en vigas ................................. 59

Figura 5.9: Definicin del elemento elstico interno de la viga ................................ 62

Figura 5.10: Historia de deformaciones del macro-elemento viga ............................ 64

Figura 5.11: Historia de fuerzas del macro-elemento viga ........................................ 65

Figura 5.12: Curvas de momento-rotacin para las rtulas elastoplsticas ............... 65

Figura 5.13: Definicin del macro-elemento columna .............................................. 66

Figura 5.14: Definicin de la rtula de las columnas ................................................ 67

Figura 5.15: Deformacin elstica de la rtula con interaccin ................................ 70

Figura 5.16: Deformacin elstica y plstica de la rtula con interaccin ................ 71

Figura 5.17: Vrtice en la curva de interaccin ......................................................... 72

Figura 5.18: Definicin del macro-elemento columna para ser utilizado como macro-elemento viga ........................................................................................ 75

Figura 5.19: Obtencin de momento plstico (Mp) de las rtulas para utilizar el macro-elemento viga ........................................................................................ 76

Figura 5.20: Geometra del elemento elstico interno viga ....................................... 77

Figura 5.21: Historia de deformaciones del macro-elemento columna ..................... 79

xiii

Figura 5.22: Historia de fuerzas del macro-elemento columna ................................. 80

Figura 5.23: Curvas de interaccin e historias de fuerzas M-N de las rtulas plsticas ............................................................................................................ 81

Figura 5.24: Curvas fuerzas-deformaciones de las rotulas plsticas ......................... 82

Figura 6.1: Planta tpica del edificio .......................................................................... 89

Figura 6.2: Elevacin transversal tpica..................................................................... 90

Figura 6.3: Modelacin geomtrica del marco resistente correspondiente al eje transversal A: numeracin de elementos .......................................................... 93

Figura 6.4: Dimensiones de elementos y extremos rgidos ....................................... 94

Figura 6.5: Disposicin geomtrica de las enfierraduras de las columnas ................ 95

Figura 6.6: Registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994) ................... 97

Figura 6.7: Formas modales elsticas del modelo analizado ..................................... 99

Figura 6.8: Historias de desplazamientos relativos a la base................................... 100

Figura 6.9: Historia de deformaciones de entrepisos (drifts)................................... 101

Figura 6.10: Historia de esfuerzos de corte por piso ............................................... 102

Figura 6.11: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 1 piso.............................................. 103

Figura 6.12: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 1 piso............................................. 104



xiv











Figura 6.25: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 1 piso....... 117




xv




Figura 6.32: Energa disipada en cada piso por hitresis de las columnas .............. 124

Figura 6.33: Energa disipada en cada piso por hitresis de las vigas ..................... 124

Figura 6.34: Energa total disipada por hitresis en cada piso................................. 125

Figura 6.35: Grfico comparativo de las energas disipadas por hitresis en cada piso ......................................................................................................... 125

Figura 6.36: Espectro de energa por histresis para el registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994), componente horizontal; y energa disipada por histresis para el marco analizado (*)........................................ 128

xvi

RESUMEN

Diferentes herramientas se han creado para predecir el comportamiento no-lineal de estructuras durante un movimiento ssmico. Este trabajo aborda el problema para estructuras planas, donde se implementan y analizan modelos correspondientes a dos tipos bsicos, edificios de corte y marcos flexurales.

El modelo de edificio de corte considera columnas con constitutiva elastoplstica en todos los pisos. Para este tipo estructural se utilizan cuatro registros ssmicos, para los cuales se analizan edificios entre dos y cien pisos. Con esto se obtienen distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en altura para cada modelo. Adems se realizan espectros de energa para cada registro, los que se comparan con los espectros correspondientes a sistemas de un grado de libertad.

Por su parte, el modelo de marco flexural se conforma de elementos en los que la plastificacin se concentra en rtulas de sus extremos. Las vigas tienen rtulas elastoplsticas, mientras que las columnas poseen rtulas que dan cuanta del estado lmite de plastificacin. En estas la fluencia ocurre cuando se alcanza alguna de las combinaciones de carga axial y flexural definidas a travs de una curva de interaccin.

El modelo de marco flexural implementado se utiliza para analizar un marco de un edificio real, el cual sufri daos estructurales severos durante el terremoto de Northridge. Con los resultados obtenidos se calcula la distribucin de energa disipada por histresis en altura, y as poder compararla con los espectros estudiados para los edificios de corte. Adems se muestra que el comportamiento de la estructura analizada predice en forma bastante correcta el comportamiento real, con una modelacin sencilla y transparente para el usuario.

Para integrar todos los modelos de este estudio, se ha escogido un mtodo de tipo predictor-corrector orden 2, con las ecuaciones de movimiento expresadas en espacio estado.

1

I. INTRODUCCIN

1.1 Motivacin y Objetivos

La filosofa de diseo ssmico en boga establece un marco conceptual de comportamiento, segn el cual se generan los cdigos y disean las estructuras. Este es que para sismos de baja intensidad la estructura debe comportarse en forma elstica, para movimientos moderados a fuertes se admiten incursiones en el rango inelstico y daos no estructurales limitados, mientras que para sismos severos de baja probabilidad de ocurrencia en la vida til de la estructura se aceptarn daos importantes pero sin colapso.

Por esto, dado que el dao es el parmetro clave de diseo, el anlisis no-lineal cobra una importancia fundamental en la prediccin del comportamiento de una estructura sometida a un movimiento ssmico.

La presencia de elementos dctiles permite disear estructuras para esfuerzos menores a los que requerira un diseo elstico. Esto se debe a la capacidad que tienen estos elementos de disipar energa sin llegar a la rotura o al colapso. Por consiguiente un parmetro clave en el diseo y anlisis sismorresistente es la prediccin y control de la disipacin de energa por histresis. Lo que se busca es establecer cuales son los elementos que disiparn energa para as disearlos conforme a ello.

El estudio del comportamiento no-lineal de estructuras puede llevarse a cabo utilizando mtodos de variada complejidad, tanto en la modelacin como en el anlisis. Estos van desde los que utilizan factores de reduccin y amplificacin de los parmetros de la respuesta elstica de la estructura, hasta la utilizacin de elementos finitos o elementos fibra.

Los principales objetivos de la presente investigacin son:

1. Determinar la distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en altura de varios edificios de corte no-lineales, y adems desarrollar espectros de energa disipada por histresis de estos edificios y compararlos con los de un grado de libertad.

2

2. Desarrollar e implementar elementos no-lineales para modelar marcos flexurales planos. Estos deben dar cuanta del comportamiento real de un edificio estructurado en basa a marcos con la mayor precisin posible, pero manteniendo una modelacin sencilla y transparente para el usuario, adems de lograr que la integracin numrica sea de bajo costo.

1.2 Contenido del Estudio

El desarrollo de este estudio se divide principalmente en tres bloques temticos:

1. En el Captulo II se describen los modelos de edificios de corte utilizados, mientras que la distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en altura, as como los espectros, se muestran y discuten en el Captulo III.

2. La modelacin general de los marcos flexurales se describe en el Captulo IV. El Capitulo VI contiene un ejemplo para un edificio real, en el cual se utiliza un marco flexural modelado como se explica en el Captulo IV.

3. En el Captulo V se explica la modelacin e implementacin de cada uno de los elementos no-lineales utilizados en el estudio. Este captulo contiene adems el mtodo de integracin tipo predictor-corrector orden 2 que se utiliza para analizar todos los modelos, tanto los edificios de corte como los marcos flexurales.

Las principales conclusiones obtenidas, as como algunas sugerencias para investigaciones futuras se incluyen en el Captulo VII.

3

II. MODELO DE EDIFICO DE CORTE

El modelo de edifico de corte consiste en un marco en el cual las vigas se suponen infinitamente rgidas, mientras que toda la deformacin y ductilidad se concentra en las columnas, las que se consideran axialmente rgidas. Por ello estas columnas son elementos de una deformacin, que corresponde a la deformacin de entrepiso.

2.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento

Los sistemas estudiados son edificios de corte no-lineales de diferentes nmeros de pisos. La Figura 2.1 muestra el tpico modelo general utilizado en este estudio.

m

m

m

m

m

u2

un-1

u3

un

u1Vigas Rgidas

( )tgu&&

ColumnasElastoplsticas

h

h

h

h

m

m

m

m

m

u2

un-1

u3

un

u1Vigas Rgidas

( )tgu&&


h

h

h

h

m

m

m

m

u2

un-1

u3

un

u1Vigas Rgidas

( )tgu&&


h

h

h

h

Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplsticas

La relacin fuerza-deformacin para cada piso corresponde a una constitutiva elastoplstica. Esta se define a travs de una rigidez elstica inicial total

4

k y a una fuerza de fluencia total del piso Fy (Figs. 2.2 y 2.3). La deformacin lateral de entrepiso se define como v.

F

F

k/2 k/2

v F

F

k/2 k/2

v

Figura 2.2: Deformacin lateral de columnas

1

k

1

k

1

k

F(v)

v

Fy

-Fy

uy

1

k

1

k

1

k

F(v)

v

Fy

-Fy

uy

Figura 2.3: Modelo elastoplstico

La ecuacin del movimiento de este sistema, cuando se le somete a un movimiento ssmico en la base, puede escribirse como

( ) ( ) ( ) ( )ttt gT urMvFLuCuM &&&&& =++ (2.1) donde M es la matriz de masas; C es la matriz de amortiguamiento; u es el vector de desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; v=Lu, en que L es la matriz de transformacin cinemtica; F es el vector de fuerzas de los elementos no-lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; gu&& es la

aceleracin del suelo; y r es el vector de influencia.

5

El amortiguamiento viscoso, el cual disipa energa durante todas las fases de respuesta (elsticas y plsticas), fue modelado a travs de una matriz de amortiguamiento C clsica. El modelo considera una razn de amortiguamiento constante para todos los modos, correspondiente a = 5%.

Para calcular la matriz de amortiguamiento C, se obtiene primero la solucin al problema de valores y vectores propios generalizado del par MK, , en

donde la matriz de rigidez K se calcula utilizando las rigideces iniciales (en rango elstico) de cada columna. Para obtener los valores y vectores propios del sistema se resuelve la ecuacin

i2ii = MK (2.2)

donde i corresponde a la i-sima forma modal del sistema y i a la frecuencia propia del modo.

Conocidas las razones de amortiguamiento modal es posible obtener la matriz C realizando la operacin

C

=

nnn

222

111

1

M2

M2M2

O (2.3)

donde [ ]n21 = L es la matriz de formas modales; i es la razn de amortiguamiento del i-simo modo y Mi es la masa correspondiente al modo i

Es una conocida propiedad del lgebra lineal que los modos de vibracin son ortogonales con respecto a la matrices K y M. Por lo tanto, las masas modales Mi se obtienen de la ecuacin

=

n

2

1

T

M

MM

OM (2.4)

6

2.2 Propiedades del Sistema

La relacin constitutiva fuerza-deformacin de cada columna queda definida por su rigidez k en el rango elstico y su fuerza de fluencia Fy.

Los valores iniciales de la rigidez (elstica) se determinan de modo que satisfagan dos condiciones:

(a) se debe obtener un periodo fundamental T1, considerando la masa total del edificio como unitaria. La masa de cada piso es entonces m=1/n, donde n es el nmero de pisos, y

(b) la aplicacin de las fuerzas estticas laterales equivalentes del cdigo UBC-1994 debe producir un incremento lineal en las deformaciones de los pisos, i.e., los drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio.

La distribucin de las fuerzas estticas laterales equivalentes del cdigo UBC-1994 se determina utilizando la frmula

( )=

= N

1ijj

jjtbj

hw

hwFVF (2.5)

donde wj es el peso del piso j; hj es la altura del piso j; Vb es el esfuerzo de corte basal; y Ft es la fuerza adicional del ltimo piso. Esta ltima se define como

6.3T6.3T7.0

7.0T

V25.0VT07.0

0F

1

1

1

b

b1t

7

Las fuerzas de fluencia de los elementos se determinan utilizando el espectro de respuesta no-lineal de un grado de libertad para el registro ssmico requerido. Para esto se elige una ductilidad objetivo de diseo (p.e., =5), con lo que se determina la pseudo-aceleracin Ay correspondiente al periodo fundamental T1. Consecuentemente, el esfuerzo de corte basal Vby se calcula como

Wg

AV yby = (2.8)

donde W es el peso total del edificio y Ay es la pseudo-aceleracin del espectro de respuesta inelstico correspondiente al periodo fundamental T1 y a un amortiguamiento viscoso = 5%.

El esfuerzo de corte basal Vby corresponde tambin a la fuerza de fluencia Fy del primer piso. Para obtener la fuerza de fluencia del resto de los pisos se multiplica este esfuerzo de corte por los factores de esfuerzo de corte en cada piso segn la distribucin de fuerzas estticas del UBC (Ecs. (2.5) y (2.6)).

2.3 Expresiones de Energa

Durante un movimiento ssmico, el suelo transmite energa a la estructura a travs de su base. Parte de esa energa es almacenada temporalmente en la estructura en forma de energa cintica y de deformacin. El resto se disipa por amortiguamiento y deformacin inelstica, esta ltima correspondiente a la energa disipada por la histresis de las columnas.

La variable estudiada en esta seccin es la energa disipada por histresis EH. El objetivo es hacer una comparacin de la energa disipada en sistemas de un grado de libertad con los edificios de mltiples grados de libertad. Para esto se compara la energa disipada en edificios con igual periodo fundamental que los sistemas correspondientes de un grado de libertad. El anlisis y estudio de los espectros de energa de los sistemas de un grado de libertad se encuentran en el trabajo de Garca y Riddell (1995).

8

La energa disipada por histresis corresponde a la suma de las reas encerradas en cada ciclo por las curvas de fuerza-deformacin de cada piso de los edificios. La energa disipada por histresis corresponde a

( ) dtv)v(Fdv)v(FEft

0

u

0

iH == & (2.9)

donde ( )iHE es la Energa disipada por histresis en el piso i; v es la deformacin de entrepiso; y F(v) es la fuerza del elemento en funcin de su deformacin v.

Para obtener la energa disipada por histresis total ( totHE ) del edificio, se

realiza la sumatoria de las energas disipadas en cada piso

( )=

=n

1i

iH

totH EE (2.10)

2.4 Ejemplo Numrico

A continuacin se presenta un ejemplo para explicar en detalle el procedimiento por el cual se calculan las propiedades del sistema. Este corresponde a un edificio de corte de 5 pisos con masa total unitaria. Como input se utiliza el registro de Sylmar, componente N00E, terremoto de Northridge, California, 17 de enero de 1994.

0 10 20 30 40 50 60 70-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (seg)

acel

erac

in

(g)

Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994)

9

El periodo fundamental objetivo del edificio es

seg 5.0105

10pisosNT1 ===

con lo que se obtiene del espectro inelstico de Sylmar para una ductilidad objetivo =5, una deformacin de fluencia

uy = 2.7377 cm.

La pseudo-aceleracin correspondiente es

Ay = 2uy = (2/0.5)22.7377 = 0.4407 g El peso total del edificio con masa unitaria m=1 kgfseg2/cm es

W = mg = g Y entonces el esfuerzo de corte basal es

Vby= 432.3149 kgf

Para obtener la distribucin de las fuerzas laterales estticas equivalentes del cdigo UBC-1994, se realiza el procedimiento explicado en la Seccin 2.2, con lo que se obtienen las fuerzas estticas equivalentes indicadas en la Tabla 2.1.

La rigidez de cada piso se determina de modo que la aplicacin de las fuerzas estticas equivalentes produzcan un incremento lineal en las deformaciones de los pisos. Es decir, los drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio. Adems el perodo fundamental del edificio T1 debe ser igual a 0.5 seg. Con esto se obtienen las rigideces indicadas en la Tabla 2.1.

Por ltimo, las fuerzas de fluencia de cada piso se obtienen multiplicando el esfuerzo de corte basal Vby por los factores de esfuerzo de corte en cada piso segn la distribucin de fuerzas estticas (Tabla 2.1).

10

Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso

Fj (kgf) kj (kgf/cm) Fjy (kgf)

5 piso 144.1050 157.9137 144.1050

4 piso 115.2840 284.2446 259.3889

3 piso 86.4630 378.9928 345.8519

2 piso 57.6420 442.1583 403.4939

1 piso 28.8210 473.7410 432.3149

m

m

m=1/5 kgfseg2/cm

m

m

u2

u4

u3

u5

u1432.3473.7

403.5442.2

345.9379.0

259.4284.2

144.1157.9

Fjy (kgf)kj (kgf/cm)

m

m

m=1/5 kgfseg2/cm

m

m

u2

u4

u3

u5

u1432.3473.7

403.5442.2

345.9379.0

259.4284.2

144.1157.9


432.3473.7

403.5442.2

345.9379.0

259.4284.2

144.1157.9


403.5442.2

345.9379.0

259.4284.2

144.1157.9


Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades

En las figuras siguientes se presentan los resultados del anlisis del edificio. La respuesta incluye las historias de desplazamientos y fuerzas, las curvas fuerza-deformacin, las ductilidades y la energa disipada en cada piso.

11

-20

-10

0

10

20Piso 5

-20

-10

0

10

20Piso 4

-20

-10

0

10

20Piso 3

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

-20

-10

0

10

20Piso 2

0 10 20 30 40 50 60-20

-10

0

10

20Piso 1

Tiempo (seg)

Figura 2.6: Historia de desplazamientos

12

-500

0

500

Piso 5

-500

0

500

Piso 4

-500

0

500

Piso 3

Esf

uerz

o de

Cor

te (k

gf)

-500

0

500

Piso 2

0 10 20 30 40 50 60-500

0

500

Piso 1

Tiempo (seg)

Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso

13

-500

0

500

Columnas piso 5

-500

0

500

Columnas piso 4

-500

0

500

Columnas piso 3

Esf

uerz

o de

Cor

te (k

gf)

-500

0

500

Columnas piso 2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-500

0

500

Columnas piso 1

Deformacin (cm)

Figura 2.8: Curvas fuerza-deformacin por piso

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

Nm

ero

de P

iso

(cm)

Figura 2.9: Ductilidad por piso

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

3

4

5

Nm

ero

de P

iso

EH (kgf cm)

Figura 2.10: Energa disipada por histresis por piso

15

III. ENERGA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE

3.1 Modelos Analizados

Para poder representar una amplia gama de perodos fundamentales, se selecciona una muestra de edificios de corte de diferente nmero de pisos. En cada uno, el perodo fundamental corresponde a un dcimo del nmero de pisos, como se explic en la Seccin 2.2. Para cada registro utilizado se analizaron 29 edificios de corte. La seleccin se realiza de forma que las frecuencias fundamentales se distribuyan en forma aproximadamente equitativa en la escala logartmica. Los edificios utilizados se muestran en la Tabla 3.1.

Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus perodos (T1) y frecuencias (f1) fundamentales

N Pisos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16T1 (seg) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6f1 (hz) 5.00 3.33 2.50 2.00 1.67 1.43 1.25 1.11 1.00 0.91 0.83 0.77 0.71 0.67 0.63

N Pisos 17 18 19 21 24 28 33 39 45 53 62 73 85 100T1 (seg) 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.8 3.3 3.9 4.5 5.3 6.2 7.3 8.5 10f1 (hz) 0.59 0.56 0.53 0.48 0.42 0.36 0.30 0.26 0.22 0.19 0.16 0.14 0.12 0.10

El diseo de cada edificio se realiz en la forma explicada en la Seccin 2.2. La ductilidad objetivo para todos los modelos es =5. 3.2 Registros de Terremotos Usados

Los registros utilizados en este Captulo corresponden a cuatro acelerogramas, dos de ellos registrados en Chile en 1985 (Melipilla y Llolleo), y los otros dos registrados en California, uno en 1940 (El Centro) y el otro en 1994 (Sylmar).

Para corregir los valores iniciales del movimiento del suelo se prefija un pulso de aceleracin de dos segundos para cada registro. Con esto se logra que todas

16

las condiciones iniciales (aceleracin, velocidad y desplazamiento) sean iguales a cero.

En las figuras siguientes se muestran los registros utilizados.

0 10 20 30 40 50 60-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

tiempo (seg)

acel

erac

in

(g)

Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940)

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.5

0

0.5

1

tiempo (seg)

acel

erac

in

(g)

Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)

17

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-1

-0.5

0

0.5

1

tiempo (seg)

acel

erac

in

(g)

Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985)

0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1

tiempo (seg)

acel

erac

in

(g)

Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985)

3.3 Ductilidad y Disipacin de Energa en Altura

El anlisis de los edificios permite obtener los dos parmetros relevantes de esta seccin, la ductilidad y la energa disipada por histresis en cada piso. En esta seccin se muestran los grficos correspondientes a la distribucin en altura de las ductilidades y la disipacin de energa por histresis de los 29 edificios de corte analizados con cada registro (Figs. 3.5 a 3.44), lo que resulta en un total de 116 sistemas analizados.

18

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Altu

ra re

lativ

a 5 pisos

0 2 4 6 8 10 120

0.5

16 pisos

Ductilidad 0 2 4 6 8 10 12

7 pisos

Ductilidad

Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, componente S00E (1940)

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Altu

ra re

lativ

a 5 pisos

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

16 pisos

EH (kgf cm)0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

7 pisos

EH (kgf cm)

Figura 3.6: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, componente S00E (1940)

19

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Altu

ra re

lativ

a 11 pisos

0 2 4 6 8 100

0.5

112 pisos

Ductilidad 0 2 4 6 8 10

13 pisos

Ductilidad


0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Altu

ra re

lativ

a 11 pisos

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.5

112 pisos

EH (kgf cm)0 200 400 600 800 1000 1200 1400

13 pisos

EH (kgf cm)


20

0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Altu

ra re

lativ

a 17 pisos

0 5 10 15 20 25 300

0.5

118 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20 25 30

19 pisos

Ductilidad


0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Altu

ra re

lativ

a 17 pisos

0 200 400 600 800 10000

0.5

118 pisos

EH (kgf cm)0 200 400 600 800 1000

19 pisos

EH (kgf cm)


21

0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Altu

ra re

lativ

a 33 pisos

0 10 20 30 40 50 600

0.5

139 pisos

Ductilidad 0 10 20 30 40 50 60

45 pisos

Ductilidad


0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Altu

ra re

lativ

a 33 pisos

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

0.5

139 pisos

EH (kgf cm)0 100 200 300 400 500 600 700 800

45 pisos

EH (kgf cm)


22

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Altu

ra re

lativ

a

0 50 100 150

85 pisos

Ductilidad

0 50 100 1500

0.5

1100 pisos

Ductilidad

Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Altu

ra re

lativ

a

0 50 100 150 200 250

85 pisos

EH (kgf cm)

0 50 100 150 200 2500

0.5

1100 pisos

EH (kgf cm)

Figura 3.14: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)

23

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Altu

ra re

lativ

a 5 pisos

0 5 10 150

0.5

16 pisos

Ductilidad 0 5 10 15

7 pisos

Ductilidad

Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Altu

ra re

lativ

a 5 pisos

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

16 pisos

EH (kgf cm)0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

7 pisos

EH (kgf cm)

Figura 3.16: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)

24

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Altu

ra re

lativ

a 11 pisos

0 5 10 15 200

0.5

112 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20

13 pisos

Ductilidad


0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Altu

ra re

lativ

a 11 pisos

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

112 pisos

EH (kgf cm)0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

13 pisos

EH (kgf cm)


25

0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Altu

ra re

lativ

a 17 pisos

0 5 10 15 20 250

0.5

118 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20 25

19 pisos

Ductilidad


0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Altu

ra re

lativ

a 17 pisos

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

0.5

118 pisos

EH (kgf cm)0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

19 pisos

EH (kgf cm)


26

0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Altu

ra re

lativ

a 33 pisos

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

139 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20 25 30 35 40

45 pisos

Ductilidad


0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Altu

ra re

lativ

a 33 pisos

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

139 pisos

EH (kgf cm)0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

45 pisos

EH (kgf cm)


27

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Altu

ra re

lativ

a

0 50 100 150

85 pisos

Ductilidad

0 50 100 1500

0.5

1100 pisos

Ductilidad

Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Altu

ra re

lativ

a

0 100 200 300 400 500 600 700 800

85 pisos

EH (kgf cm)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

0.5

1100 pisos

EH (kgf cm)

Figura 3.24: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)

28

0

0.5

1

2 pisos 3 pisos

0

0.5

1

4 pisos

Altu

ra re

lativ

a

5 pisos

0 5 10 150

0.5

1

6 pisos

Ductilidad 0 5 10 15

7 pisos

Ductilidad

Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Altu

ra re

lativ

a 5 pisos

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.5

16 pisos

EH (kgf cm)0 1000 2000 3000 4000 5000

7 pisos

EH (kgf cm)

Figura 3.26: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)

29

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Altu

ra re

lativ

a 11 pisos

0 5 10 15 20 250

0.5

112 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20 25

13 pisos

Ductilidad


0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Altu

ra re

lativ

a 11 pisos

0 500 1000 15000

0.5

112 pisos

EH (kgf cm)0 500 1000 1500

13 pisos

EH (kgf cm)


30

0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Altu

ra re

lativ

a 17 pisos

0 10 20 30 40 500

0.5

118 pisos

Ductilidad 0 10 20 30 40 50

19 pisos

Ductilidad


0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Altu

ra re

lativ

a 17 pisos

0 200 400 600 800 1000 12000

0.5

118 pisos

EH (kgf cm)0 200 400 600 800 1000 1200

19 pisos

EH (kgf cm)


31

0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Altu

ra re

lativ

a 33 pisos

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

139 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20 25 30 35 40

45 pisos

Ductilidad


0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Altu

ra re

lativ

a 33 pisos

0 200 400 600 800 10000

0.5

139 pisos

EH (kgf cm)0 200 400 600 800 1000

45 pisos

EH (kgf cm)


32

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Altu

ra re

lativ

a

0 20 40 60 80 100

85 pisos

Ductilidad

0 20 40 60 80 1000

0.5

1100 pisos

Ductilidad

Figura 3.33: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Altu

ra re

lativ

a

0 50 100 150 200 250 300 350

85 pisos

EH (kgf cm)

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1100 pisos

EH (kgf cm)

Figura 3.34: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)

33

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Altu

ra re

lativ

a 5 pisos

0 5 10 15 200

0.5

16 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20

7 pisos

Ductilidad

Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Altu

ra re

lativ

a 5 pisos

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

0.5

16 pisos

EH (kgf cm)0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

7 pisos

EH (kgf cm)

Figura 3.36: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)

34

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Altu

ra re

lativ

a 11 pisos

0 5 10 15 20 250

0.5

112 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20 25

13 pisos

Ductilidad


0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Altu

ra re

lativ

a 11 pisos

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.5

112 pisos

EH (kgf cm)0 1000 2000 3000 4000 5000

13 pisos

EH (kgf cm)


35

0

0.5

1

14 pisos 15 pisos

0

0.5

1

16 pisos

Altu

ra re

lativ

a

17 pisos

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

18 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20 25 30

19 pisos

Ductilidad


0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Altu

ra re

lativ

a 17 pisos

0 500 1000 1500 20000

0.5

118 pisos

EH (kgf cm)0 500 1000 1500 2000

19 pisos

EH (kgf cm)


36

0

0.5

1

21 pisos 24 pisos

0

0.5

1

28 pisos

Altu

ra re

lativ

a

33 pisos

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

39 pisos

Ductilidad 0 5 10 15 20 25 30 35 40

45 pisos

Ductilidad


0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Altu

ra re

lativ

a 33 pisos

0 500 1000 1500 20000

0.5

139 pisos

EH (kgf cm)0 500 1000 1500 2000

45 pisos

EH (kgf cm)


37

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Altu

ra re

lativ

a

0 10 20 30 40 50 60 70 80

85 pisos

Ductilidad

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1100 pisos

Ductilidad

Figura 3.43: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Altu

ra re

lativ

a

0 100 200 300 400 500 600 700 800

85 pisos

EH (kgf cm)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

0.5

1100 pisos

EH (kgf cm)

Figura 3.44: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)

38

3.4 Espectros de Energa por Histresis

Para representar en forma conveniente la energa disipada por histresis por unidad de masa EH para cada uno de los modelos, se utilizan espectros de energa. Un estudio detallado de los espectros de energa para sistemas de un grado de libertad se encuentra en el estudio realizado por Garca y Riddell (1995). Los espectros de energa se representan mediante un grfico logartmico en el que en las ordenadas se muestra la raz de la energa disipada por histresis por unidad de masa,

HE . Esta cantidad tiene unidades de velocidad.

El objetivo es hacer una comparacin cualitativa entre la energa disipada por histresis de los edificios de corte de varios pisos con los sistemas de un grado de libertad, analizados en el estudio antes mencionado. Por esto en los espectros de energa se incluyen las curvas correspondientes a ductilidades =1.5; =2; =3; =5; =10.

Las Figuras 3.45 a 3.48 muestran los espectros de energa para cada uno de los registros analizados.

39

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 1000.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

200

Edificios (objetivo =5)

=1.5=2=3=5=10

Frecuencia (Hz)

E

h

1

/

2

(

c

m

/

s

e

g

)

Figura 3.45: Espectro de energa por histresis para El Centro, componente S00E (1940)

40

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 1000.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

200


=1.5=2=3=5=10

Frecuencia (Hz)

E

h

1

/

2

(

c

m

/

s

e

g

)

Figura 3.46: Espectro de energa por histresis para Sylmar, componente N00E (1994)

41

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 1000.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

200


=1.5=2=3=5=10

Frecuencia (Hz)

E

h

1

/

2

(

c

m

/

s

e

g

)

Figura 3.47: Espectro de energa por histresis para Melipilla, componente N00E (1985)

42

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 1000.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

200


=1.5=2=3

=5

=10

Frecuencia (Hz)

E

h

1

/

2

(

c

m

/

s

e

g

)

Figura 3.48: Espectro de energa por histresis para Llolleo, componente N10E (1985)

43

3.5 Interpretacin de Resultados

Los espectros de energa para sistemas de varios grados de libertad (edificios de corte) muestran una tendencia similar a los de un grado de libertad. Esto se aprecia en que la mayor disipacin de energa se concentra en la regin central de frecuencias, donde los registros tienen mayor potencia en su espectro en frecuencia (Fourier). Para las frecuencias extremas la disipacin es menor.

En los registros de carcter impulsivo de las Figuras 3.45 y 3.46 (El Centro y Sylmar), la mayor disipacin de energa se concentra entre 0.5 y 3 Hz. En estos registros la curva de varios grados de libertad se aproxima bastante al espectro para =5, entre las frecuencias 0.3 y 3 Hz. Esto es particularmente notorio en el espectro de Sylmar (Fig. 3.46), registro que consiste en prcticamente un impulso. Para frecuencias fundamentales correspondientes a los edificios entre 5 y 33 pisos (0.3 y 2 Hz), el espectro de Sylmar de edificios y un grado de libertad con =5 son prcticamente coincidentes. En este mismo rango de frecuencias tambin existe un buen ajuste para El Centro. Esto se debe a que en estos edificios la variacin de la disipacin de energa en altura es aproximadamente lineal. Esto se puede apreciar claramente en los edificios entre 13 y 18 pisos analizados para el registro de Sylmar (Figs. 3.18 y 3.20). Adems para estos mismos edificios la ductilidad en altura se mantiene dentro del mismo rango de valores, con excepcin del primer piso (Figs. 3.17 y 3.19). Esto implica que el comportamiento de esto edificios esta regido principalmente por el modo fundamental de la estructura. Como la ductilidad de diseo fue escogida a partir de la frecuencia fundamental de cada edificio, es de esperar que si estos se comportan de acuerdo a ese modo, la disipacin de energa de los sistemas de un grado de libertad est en directa correspondencia con los edificios de corte.

Los registros chilenos (Melipilla y Llolleo) concentran su mayor disipacin de energa en frecuencias ms altas que los registros americanos. El espectro obtenido para el registro de Melipilla (Fig. 3.47) muestra que la mayor disipacin de energa se produce en el rango de frecuencias comprendido entre 2 y 5 Hz, mientras que para el registro de Llolleo (Fig. 3.48) concentra su disipacin entre 1 y 5 Hz. En esta misma zona de frecuencias, la aproximacin del espectro de

44

edificios con el espectro para =5 es adecuada. La zona de buen ajuste corresponde para el registro de Melipilla a los edificios entre 2 y 5 pisos (2 y 5 Hz), mientras que para el registro de Llolleo a los edificios entre 2 y 8 pisos (1.25 y 5 Hz) aproximadamente. Al igual que en el caso de los registros americanos, estos edificios se comportan de acuerdo a su primer modo de vibracin, los que se aprecia en la poca variacin que tiene la ductilidad en altura (Fig. 3.25 para Melipilla y Fig. 3.35 para Llolleo).

En la zona de frecuencias bajas, correspondiente a los sistemas ms flexibles de varios pisos, existe en general una mayor disipacin en los edificios que en los sistemas de un grado de libertad. Esto se produce ya que en este rango de frecuencias la influencia de los modos altos se hace cada vez ms importante a medida que el edificio crece en altura. Esto se ve, p.e., en la distribucin de ductilidades de los edificios de gran altura analizados para Llolleo (Figs. 3.39, 3.41 y 3.43). En estos grficos se aprecia la desproporcin existente entre las ductilidades de los pisos superiores e inferiores en comparacin con los pisos intermedios. Por esto la disipacin de energa no responde a una distribucin correspondiente al modo fundamental, y como el diseo se realiza de acuerdo a ese modo, la energa disipada para sistemas de un grado de libertad no corresponde a la de estos edificios.

45

IV. MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL

El modelo de edificio de marco flexural es el que representa en forma ms precisa el comportamiento de un marco real de columnas y vigas. La modelacin consta de elementos con deformacin por corte y flexural (la deformacin axial de las vigas est restringida por la losa rgida), y con columnas que adems se deforman axialmente.

4.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento

Para dar cuenta del comportamiento no-lineal de un marco flexural, se opt por una modelacin en la cual la plastificacin se concentra en rtulas plsticas que se forman en los extremos de los elementos. Este supuesto se basa en el comportamiento de estructuras reales luego de movimientos ssmicos. En ellas se observa que la rtula se producen general en los extremos de las vigas y columnas, donde se concentra la fluencia del acero y la plastificacin del hormign.

En el caso de las vigas la plastificacin ocurre cuando se supera el momento de fluencia en el extremo del elemento. Este momento queda definido por los materiales y la seccin de cada viga.

En las columnas de la estructura el efecto de la fuerza axial es considerable, por lo que la rtula plstica debe considerar la interaccin entre el momento flector M y la carga axial N. Esto se debe a que un incremento de la carga axial produce una variacin en el momento plstico de la seccin. Las combinaciones entre carga axial y momento para las cuales se produce la plastificacin de la seccin se conoce habitualmente como curva de interaccin del elemento (superficie de fluencia en el caso tridimensional). Esta superficie queda definida para una seccin en base a su geometra y materiales.

La Figura 4.1 muestra el modelo tpico de marco flexural considerado en este estudio. En este se aprecia que cada piso tiene un solo grado de libertad horizontal, mientras que el resto de los nodos (achurados) del modelo tienen adems grados de libertad verticales y rotacionales. Los nodos no-achurados son nodos internos de los elementos, donde se forman las rtulas plsticas.

46

Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural

La ecuacin que gobierna el movimiento del marco flexural bajo la accin de un movimiento ssmico en la base, se expresa como

( ) ( ) ( ) ( )ttt gT urMvFLuCuM &&&&& =++ (4.1) donde M es la matriz de masas; C es la matriz de amortiguamiento; u es el vector de desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; L es la matriz de transformacin cinemtica (v = Lu); F es el vector de fuerzas de los elementos no-lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; gu&& es la

aceleracin del suelo, la cual puede tener una componente horizontal y otra vertical; y r es vector de influencia.

Los elementos no-lineales utilizados en la modelacin corresponden a vigas y columnas.

47

Las vigas consideran deformacin por corte y flexural. Los extremos del elemento corresponden a rtulas elastoplsticas, en las que se define su rigidez elstica k y su momento de fluencia My.

Por su parte, las columnas consideran deformacin axial, flexural y de corte. En sus extremos existen rtulas elastoplsticas, definidas a travs de una superficie de interaccin (M-N). En la Figura 4.2 se muestra un modelo de curva de interaccin.

M

N

Curva de Interaccin

M

N

Curva de Interaccin

Figura 4.2: Curva de interaccin

4.2 Propiedades del Sistema

Los modelos analizados en este estudio corresponden a marcos de hormign armado. Para ajustar las propiedades de vigas y columnas, es necesario definir un criterio a travs del cual asignar las propiedades de las rtulas en los extremos de los elementos.

Para determinar las propiedades de las rtulas plsticas se define un largo de plastificacin del elemento, Lp. Este corresponde a la menor de las dimensiones entre el alto y el ancho de la seccin del elemento. Con esto se define adems L que es la longitud del elemento elstico central, como se muestra en la Figura 4.3.

48

Lp LpLLp LpL

Figura 4.3: Largo de plastificacin de las vigas

Para obtener las propiedades de las columnas, definimos un largo de plastificacin del elemento Lp y un largo L del elemento elstico igual al definido para las vigas, como se muestra en la Figura 4.4.

L

Lp

Lp

L

Lp

Lp

Figura 4.4: Largo de plastificacin de las columnas

Para determinar las propiedades de rigidez inicial de las rtulas, se analiza primero el caso de las columnas que es ms general. De hecho, la rigidez elstica de las vigas se deduce de la misma forma que la de las columnas, sin considerar los esfuerzos axiales, que estn desacoplados de los flexurales.

49

El objetivo es determinar la rigidez elstica de la rtula, definida como se indica en la Figura 4.5, a partir del elemento elstico de largo Lp que se muestra en la Figura 4.6.

Figura 4.5: Definicin de deformaciones de las rtulas de las columnas

1Lp 2

1 21

Lp 21 2

Figura 4.6: Definicin del elemento elstico de largo Lp

La matriz de rigidez Kr del elemento de largo Lp resulta

=

2

1

2

1

pp

pp

pp

pp

2

1

2

1

r

LIE4LIE200LIE2LIE400

00LEALEA00LEALEA

MMNN

444444444 3444444444 21K

(4.2)

Como las rigideces axiales y flexurales estn desacopladas, podemos escribir la siguiente relacin

=

2

1

pp

pp

2

1

LEALEALEALEA

NN

4444 34444 21K

(4.3)

Una de las posibles relaciones cinemticas entre las deformaciones de la rtula y las deformaciones del elemento elstico (existen infinitas, sin embargo, todas dan el mismo resultado) es

50

{

=

r

10

2

1

a

(4.4)

Luego, la rigidez axial de la rtula es

prTr LEAk == aKa

lo cual es coherente con la rgidez axial de un elemento elstico de largo Lp.

Para determinar la rigidez flexural de la rtula, no es posible realizar un procedimiento similar al caso anterior. Esto se debe a que no existe una relacin cinemtica inequvoca entre las deformaciones de la rtula y las del elemento elstico que produzca una rigidez desacoplada entre 1 y 2. Es por eso que en este caso se utiliza la deformada en la viga que provoca que no exista esfuerzo de corte. Esta es la correspondiente a 1 = -1 y 2 = 1. Con esto, la rigidez flexural de la rtula es pLIE2k = .

Resumiendo, las propiedades de los elementos rtula son pLIE2k = para las vigas y pLIE2k = ; pLEAk = para las columnas.

Los momentos de fluencia para las vigas y las curvas de interaccin para las columnas se calculan a parir de sus propiedades geomtricas y de los materiales utilizados.

En el caso de las columnas, la curva de interaccin se define por simplicidad a travs de un polgono de seis vrtices. En la Figura 4.7 se presenta una curva de interaccin tpica para una seccin de hormign armado. En ella My corresponde al momento de fluencia con P=0; Pb y Mb a los esfuerzos axial y momento para el balance; Pyc es la carga axial de rotura en compresin; y Pyt es la carga axial de fluencia en traccin.

51

M

P

Pyc

Pyt

My Mb-Mb -My

Pb

M

P

Pyc

Pyt

My Mb-Mb -My

Pb

Figura 4.7: Curva de interaccin tpica de una seccin de hormign armado

Para utilizar la curva de interaccin en el modelo de marco flexural, es necesario tener en cuenta dos aspectos. Primero, la curva de interaccin mostrada en la Figura 4.7 considera la carga de compresin P como positiva en compresin, mientras que en el modelo de la rtula la carga positiva corresponde traccin (Seccin 5.3). Por esto es necesario invertir los signos de la carga axial en la curva, como se indica en la Figura 4.8.

Cuando la estructura se encuentra en reposo, las columnas soportan una carga de compresin esttica. Esta es la carga inicial con la que la estructura inicia su movimiento durante un terremoto. Para considerar la carga axial de compresin inicial en las columnas, que afecta directamente al momento flector en que la columna se plastifica, se opt por realizar una translacin vertical de la curva. La magnitud de esta translacin corresponde a la carga inicial N0. Este procedimiento se ilustra esquemticamente en la Figura 4.8.

52

M

NCurva de Interaccin para ser utilizada en el Modelo de Marco Flexural

Translacin Vertical N0

M



Curva de Interaccin con N= -P

M



M



Curva de Interaccin con N= -P

Figura 4.8: Procedimiento para obtener la curva de interaccin de una seccin de hormign armado para ser utilizada en el modelo de marco flexural

53

V. ELEMENTOS NO-LINEALES Y MTODO DE INTEGRACIN

En esta investigacin se implementaron tres elementos no-lineales. El elemento elastoplstico se utiliza para modelar las columnas en los edificios de corte. Para la modelacin de los marcos flexurales se crearon dos macro-elementos, uno utilizado para modelar las vigas y el otro para las columnas.

La implementacin computacional se realiza en MATLAB, utilizando algunas rutinas y la estructura organizacional del toolbox de anlisis estructural MECANO.

5.1 Elemento Elastoplstico

El primer elemento utilizado en este estudio es el correspondiente al unidimensional elstoplastico. La deformacin y la fuerza F del elemento pueden corresponder a una geometra axial (N-u), geometra de corte (V-v), a una geometra asociada a momento y giro (M-), as como a cualquier relacin geomtrica de una dimensin.

5.1.1 Modelacin del elemento

El elemento elastoplstico puede ser modelado de la siguiente manera:

Figura 5.1: Definicin del elemento elastoplstico

La constitutiva elastoplstica queda definida por una rigidez elstica k y una fuerza de fluencia Fy. Al inicio de la carga el sistema es lineal elstico con rigidez k, mientras no se exceda la fuerza de fluencia Fy. La deformacin para la cual la fluencia comienza es y. Cuando el elemento alcanza Fy fluye, mantenindose la fuerza constante mientras la deformacin avance en la misma direccin. En esta etapa la rigidez tangente es cero.

54

La Figura 5.2 muestra un ciclo tpico de carga, descarga y nueva carga para un elemento elastoplstico. Las cargas y descargas se producen siempre con la misma rigidez elstica k. Adems la deformacin de fluencia Fy es simtrica, es decir para las dos direcciones de deformacin, el elemento fluye con la misma fuerza.

1

k

1

k

1

k

F()

Fy

-Fy

y

1

k

1

k

1

k

F()

Fy

-Fy

y

Figura 5.2: Relacin fuerza-deformacin elastoplstica

5.1.2 Implementacin

Se considera que la integracin se encuentra en un instante k, en el cual se conoce el estado del elemento, es decir su deformacin k y su fuerza Fk. Interesa conocer el estado del elemento en el instante siguiente k+1, en el que se conoce (a travs de un predictor) la deformacin k+1 del elemento. En ese instante se quiere determinar su fuerza Fk+1.

El algoritmo utilizado para calcular la fuerza es el siguiente:

Etapa i): Se evala la fuerza tentativa en el instante k+1 tal que 1kF + = Fk + k(k+1 - k). Etapa ii): si 1kF + > Fy, entonces Fk+1 = Fy si 1kF + < -Fy, entonces Fk+1 = -Fy

55

si -Fy 1kF + Fy entonces Fk+1 = Fk + k(k+1 - k).

5.1.3 Ejemplo

A continuacin se muestra un ejemplo de un elemento elastoplstico con rigidez elstica k=1 y fuerza de fluencia Fy=1. Para eso se le impone una historia de deformaciones, y se evalan las fuerzas del elemento. Los resultados se presentan en las figuras siguientes.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2

-1

0

1

2

3

Def

orm

aci

n ( )

Instante k

Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplstico

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1

-0.5

0

0.5

1

Fuer

za (F

)

Instante k

Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplstico

56

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Fu

erza

(F)

Deformacin ()

Figura 5.5: Curva fuerza-deformacin elemento elastoplstico

5.2 Elemento Viga con Plastificacin en los Extremos

El macro-elemento viga creado debe dar cuanta del efecto de plastificacin en los extremos de las vigas, en los que se produce una relacin elastoplstica.

5.2.1 Modelacin del elemento

El macro-elemento viga consta de tres elementos ensamblados en serie. El elemento central es una viga flexural, con propiedades elsticas. En los extremos se conectan rtulas (i y j) en las que su relacin giro y momento (M-) es elastoplstica. La modelacin considera la siguiente distribucin de grados de libertad (GDLs):

57

v1

v6v5 v4

v3

v2i j

v1

v6v5 v4

v3

v2i j

Figura 5.6: Definicin del macro-elemento viga

Los primeros cuatro GDLs corresponden a las deformaciones conocidas e impuestas sobre el elemento, y en los cuales se aplican las fuerzas externas. Estos cuatro GDLs sern llamados GDLs externos. Las deformaciones de los dos GDLs restantes, 5 y 6, son desconocidas y son calculadas a partir de la condensacin esttica realizada. A estos se les llama GDLs internos.

Las propiedades del elemento central elstico son un largo L, momento de inercia I, mdulo de elasticidad E, un mdulo de corte G y un rea de corte As. La matriz de rigidez elstica del elemento (sin considerar las rigideces de los elementos no-lineales) es

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

++

+

++

+

++

++

++

+

+

+

+

++

=

1LIE4

1LIE20

1LIE60

1LIE6

1LIE2

1LIE40

1LIE60

1LIE6

0000001L

IE61L

IE601L

IE1201L

IE120000001L

IE61L

IE601L

IE1201L

IE12

22

22

2233

2233

elK (5.1)

con 2s LAG

IE12= (5.2)

Los nodos i y j corresponden a rtulas elstoplsticas con un grado de libertad rotacional y rigidez en rango elstico k. La deformacin de la rtula se define en sentido positivo, como se indica en la Figura 5.7.

58

Figura 5.7: Deformacin de la rtula

La matriz de transformacin cinemtica L entre los GDLs del macro-elemento y las rtulas no-lineales es:

=

6

5

4

3

2

1

j

i

vvvvvv

101000010010

4444 34444 21L

(5.3)

Cuando el macro-elemento se encuentra en rango elstico, es decir las rtulas plsticas no fluyen, podemos utilizar la matriz de rigidez elstica completa del elemento. Esta se obtiene ensamblando la rigidez de las rtulas ki y kj, de la siguiente forma:

LLKK

+=j

iTel

eltot k0

0k (5.4)

Cuando alguna de las dos rtulas entra en fluencia, se obtiene la matriz de rigidez tangente del macro-elemento. El ensamblaje se realiza de igual forma, utilizando las rigideces tangentes de las rtulas cero cuando plastifica y k cuando se encuentra en rango elstico, i.e.

LLKK

+= tan

j

taniT

eltantot k0

0k (5.5)

La relacin cinemtica para obtener los GLDs internos en funcin de los externos y de las deformaciones de las rtulas es

59

=

j

i

4

3

2

1

6

5

vvvv

101000010010

vv

(5.6)

Es posible obtener la matriz de rigidez condensada a los GDLs externos del macro-elemento de la matriz de rigidez eltotK o tantotK , ya que las fuerzas externas

aplicadas sobre los GDLs internos son nulas. Para esto particionamos la matriz de rigidez entre los GDLs externos (e) e internos (i) como sigue

=iiie

eiee

KKKK

K (5.7)

La matriz de rigidez condensada Kc se obtiene realizando la operacin

ie1

iieieec KKKKK = (5.8)

El comportamiento de las rtulas es elastoplstico perfecto y fue explicado en la Seccin 5.1. En este caso la relacin geomtrica corresponde a giro y momento -M, y se define un momento de fluencia My, como se muestra en la Figura 5.8.

1

k

1

k

1

k

M()

My

-My

y

1

k

1

k

1

k

M()

My

-My

y

Figura 5.8: Relacin fuerza-deformacin de la rtula en vigas

60

5.2.2 Implementacin

Se considera que la respuesta del sistema se conoce en un instante k, y por ende el estado del elemento (esfuerzos y deformaciones de los GDLs externos y de las rtulas). Interesa conocer el estado del elemento en el instante siguiente k+1 para el cual se conoce (a travs de un predictor) slo las deformaciones externas (GDLs 1 al 4). Es decir en el instante k se conocen las deformaciones externas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tk4k3k2k1k vvvvv = , los esfuerzos conjugados ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tk4k3k2k1k ffffF = , las deformaciones de las rtulas ( )ki y ( )kj , y los esfuerzos de las rtulas ( )kiM y

( )kjM . Para el instante k+1 se conoce (a travs de un predictor) la deformacin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]T1k41k31k21k11k vvvvv +++++ = . El algoritmo utilizado para calcular F(k+1), ( )1ki + , ( )1kj + , ( )1kiM + y ( )1kjM +

considera los siguientes pasos:

Etapa i): Se condensa la matriz de rigidez elstica eltotK , resultando Kc.

Etapa ii): Se evala los predictores de los esfuerzos del macro-elemento en k+1 tal que

( ) ( ) ( ) ( )( )k1kck1k vvFF += ++ K .

Etapa iii): Se obtiene de la condensacin el incremento de las deformaciones internas, tal que

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )k1kie1iik

61k

6

k5

1k5 vv

vvvv =

+

++

KK .

Etapa iv): Se evalan los predictores de los momentos en las rtulas a travs de la matriz de transformacin cinemtica, de modo que

61

( )( )

( )( )( )( )

=

++++

++

00

ffff

MM

1k4

1k3

1k2

1k1

1kj

1ki L .

Etapa v): Se verifica que los esfuerzos de las rtulas no superen los momentos de

Modelacion,Analisis No Lineal y Disipacion

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