Modelación numérica de la incertidumbre del …

Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Proyecto de grado Ingeniería Civil

Modelación numérica de la incertidumbre del comportamiento mecánico de pavimentos mediante el empleo de campos aleatorios

Daniel Castillo Betancourt 200713351

Asesora: Silvia Caro Spinel

Bogotá D.C, Diciembre de 2010

Daniel Castillo Betancourt – ICIV 201020 04

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Tabla de contenido Introducción ............................................................................................................................ 3

Contexto ........................................................................................................................................................ 3 Antecedentes .................................................................................................................................................. 3 Estructura del trabajo ..................................................................................................................................... 4

Capítulo 1 Comportamiento mecánico de la capa de rodadura ................................................................ 6

Caso elástico .................................................................................................................................................. 6 Caso viscoelástico .......................................................................................................................................... 6 Caso viscoelástico aleatorio ..........................................................................................................................12

Capítulo 2 Campos aleatorios correlacionados ....................................................................................... 14

Capítulo 3 Diseño de las estructuras ....................................................................................................... 18

Diseño racional de pavimentos .....................................................................................................................18 Diseño de las estructuras por el método racional ..........................................................................................20 Capa de base equivalente ..............................................................................................................................23

Capítulo 4 Definición de las alternativas a ser evaluadas ....................................................................... 25

Capítulo 5 Modelación de las estructuras................................................................................................ 27

Geometría .....................................................................................................................................................27 Proceso en MATLAB ...................................................................................................................................28 Proceso en ABAQUS ...................................................................................................................................32

Capítulo 6 Resultados y análisis .............................................................................................................. 35

Recuperación de datos ..................................................................................................................................35 Casos base ....................................................................................................................................................36 Análisis de un caso específico – comparación elástico, viscoelástico, aleatorio ..........................................49 Sensibilidad al COV del campo aleatorio de vacíos .....................................................................................64 Sensibilidad a las longitudes de correlación .................................................................................................77

Conclusiones .......................................................................................................................... 87 Bibliografía ............................................................................................................................ 89 Anexos ................................................................................................................................... 90


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Introducción

Contexto Los pavimentos son estructuras multicapa diseñadas con el fin de disipar los esfuerzos generados por el tráfico vehicular y los cambios impuestos por el clima. En general, un pavimento se clasifica como flexible o rígido, dependiendo de si el material que soporta la mayor parte de los esfuerzos es concreto asfáltico o hidráulico. Este material es cementado (presenta cohesión), tiene alto módulo y ocupa las capas superiores de la estructura de pavimento. Otras capas del pavimento suelen componerse de material granular, y se disponen de tal forma que entre mayor sea la profundidad, menor es el valor del módulo (mayor profundidad, menor calidad) hasta que se alcanza la capa de subrasante o suelo natural. Para modelar una estructura de pavimento se requiere caracterizar el material de las capas que lo componen y conocer su geometría (espesores). Si se conoce el modelo de comportamiento constitutivo de cada material, es posible utilizar un programa de modelación con diferencias o elementos finitos para introducir y probar una estructura sometida a una carga determinada. Algunos métodos de diseño de pavimentos (como la mayoría de métodos mecanicistas existentes en la actualidad) consideran que todas las capas se componen de material elástico, isotrópico y homogéneo. Esto equivale a decir que el material presenta deformaciones totalmente recuperables (rango elástico), que el valor de todas las propiedades en un punto es igual en todas las direcciones (comportamiento isotrópico) y que todos los puntos del material tienen valores idénticos en sus propiedades (homogéneo). La capa de rodadura es el objeto de interés en este trabajo. Uno de los materiales más utilizados para construir esta capa en un pavimento flexible es el HMA (hot mix asphalt, mezcla asfáltica en caliente). El HMA se compone de material pétreo (agregado fino y grueso) mezclado con un ligante (asfalto), y en su estado final también contiene cierto volumen de aire. Además, existen modificadores químicos que se agregan a la mezcla para alterar sus propiedades mecánicas de forma favorable para cada proyecto. El contenido de asfalto (por peso) dentro de la mezcla usualmente es cercano al 5%. Debido a que el asfalto es un material viscoelástico, el HMA también presenta este tipo de comportamiento.

Antecedentes Un material que no es homogéneo no tiene características ni valores idénticos de propiedades en todos sus puntos. La modelación de materiales no homogéneos supone, por lo tanto, la necesidad de considerar un grado controlado de aleatoriedad que permita


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construir modelos representativos y a la vez correctamente caracterizados. Una herramienta matemática que permite incluir esta aleatoriedad se denomina campo aleatorio. Kim (2005) ha utilizado campos aleatorios para modelar las características de los suelos, partiendo de un valor de media objetivo y de otros parámetros para caracterizar la dispersión numérica y geométrica de las propiedades. En el campo de los pavimentos, Caro et al. (2009) ha utilizado campos aleatorios en la construcción de modelos micromecánicos para analizar el efecto de la variabilidad en la estructura de vacíos de las mezclas asfálticas en la susceptibilidad del material al daño por humedad. Para esto, generó valores de porcentaje de vacíos con un campo aleatorio gaussiano, y posteriormente relacionó esta propiedad con el módulo en cada punto, que es el mismo procedimiento de asignación de módulos que se sigue en este trabajo, como se verá más adelante. El daño por humedad fue analizado mediante la aplicación de carga sobre estos modelos, generados en elementos finitos, después de someterlos a diferentes procesos de difusión de humedad. La modelación con elementos finitos es una herramienta que ha sido bastante utilizada en la ingeniería en general. Básicamente, el método de elementos finitos permite resolver una ecuación diferencial sobre un dominio determinado (unidimensional, bidimensional, etc.), partiendo de las condiciones de borde apropiadas. Existen varios paquetes comerciales que permiten realizar esta operación sobre dominios de casi cualquier forma. Dai (2010) construyó modelos en elementos finitos de núcleos de concreto asfáltico a partir de tomografías computarizadas con rayos X. Posteriormente estos modelos fueron sometidos a ‘ensayos de laboratorio virtuales’ (en el computador se simularon condiciones de

laboratorio) para predecir propiedades mecánicas del material, como el módulo complejo y el ángulo de fase. La variabilidad en estos modelos está dada por la presencia o ausencia de vacíos dentro de los núcleos. La distribución de estos vacíos depende de otro tema de importancia, que es la compactación. Durante el proceso constructivo, el concreto asfáltico es compactado con el objetivo de optimizar su desempeño. Tashman et al. (2001) y Kassem (2008) han analizado la distribución de los vacíos dentro de núcleos compactados en campo y han encontrado diferencias con métodos de compactación en laboratorio (específicamente, con el SGC, compactador giratorio Superpave) lo que indica que las muestras que se producen en el laboratorio no son del todo representativas del concreto asfáltico en campo. Conocer estas diferencias es muy importante, pues la estructura de vacíos dentro del concreto asfáltico define el camino que puede seguir la humedad y el oxígeno del aire dentro del mismo, es decir que los efectos de daño por humedad y envejecimiento por oxidación están fuertemente relacionados con la disposición de los vacíos dentro de una mezcla asfáltica.

Estructura del trabajo En este trabajo se plantea un modelo de pavimento flexible que introduce cambios importantes al momento de modelar el concreto asfáltico, con el fin de simular una situación en la capa de rodadura más similar a la que se presenta en campo. Para esto se analizarán tres casos: ▪ El caso base elástico, que considera a toda la estructura de pavimento compuesta de

materiales elásticos.


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▪ El caso base viscoelástico, que es igual que el elástico, pero la capa de rodadura no presenta comportamiento elástico sino viscoelástico homogéneo (mismas propiedades en todos los puntos de la capa). El comportamiento viscoelástico hace que el material presente deformaciones en parte recuperables, pero con determinada disipación de energía.

▪ El caso viscoelástico aleatorio, que es igual al viscoelástico pero con propiedades particulares en diferentes puntos de la capa de rodadura. En este caso, los módulos son calculados según el porcentaje de contenido de vacíos en cada punto, el cual se calcula a su vez utilizando una modelación estocástica.

Se asignarán diferentes valores a algunas variables dentro de cada caso. Así, serán consideradas dos temperaturas (baja y alta, para el caso de Colombia) y se diseñarán dos estructuras de pavimento (representativas de tráfico bajo y tráfico medio). Para el caso aleatorio se plantearán 10 realizaciones, se analizará detalladamente una de ellas y finalmente se comprobará la influencia de dos variables utilizadas para la construcción de los modelos aleatorios: (1) el COV de las medias de porcentaje de vacíos (relación entre desviación y media) y (2) las longitudes de correlación. Estas variables se definirán más adelante en este documento. En cada caso se construirán estructuras que serán introducidas en un programa de modelación con elementos finitos para registrar y analizar las deformaciones unitarias en sentido horizontal en diferentes puntos de la capa de rodadura. Durante el desarrollo del texto, a medida que se presenten los temas se irá presentando su base teórica, y se especificará el uso que tuvieron en el presente trabajo.


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Capítulo 1

Comportamiento mecánico de la capa de rodadura

Caso elástico Los métodos de diseño elástico de pavimentos consideran que cada capa de la estructura del pavimento se compone de material elástico, isotrópico, homogéneo y lineal. La Ecuación 1 muestra la ley constitutiva, es decir la ecuación que relaciona esfuerzos con deformaciones, de un material de estas características:

Gγτ

Eεσ

=

=

(b)

(a) (1)

En la Ecuación 1 se observa que en un material elástico isotrópico la relación entre los esfuerzos normales (σ) y cortantes (τ) y las deformaciones normal (ε) y angular (γ) se da a través de una constante de proporcionalidad. Esta constante se denomina módulo elástico o módulo de Young (E) para los esfuerzos normales, y módulo de corte (G) para los esfuerzos en cortante. En general, un material elástico se caracteriza con dos parámetros; el módulo E y la relación de Poisson (ν), que es una constante que relaciona las deformaciones axiales con las deformaciones longitudinales de un material. Una relación existente entre los módulos E y G de la que se puede obtener una definición para la constante de Poisson se muestra en la Ecuación 2.

( )νE

G+

=12

(2)

Huang (1998) reporta rangos y valores típicos de la relación de Poisson para diferentes materiales. En el presente trabajo, para la capa de rodadura se tomará un valor típico de 0.35. El módulo de la capa de rodadura en el caso elástico estará caracterizado por un único valor, que deberá ser comparable con el de los casos viscoelástico y aleatorio. Por lo tanto, primero se analizarán estos casos y con base en los módulos que se escojan para ellos se determinará cuál es el módulo más apropiado para el caso elástico.

Caso viscoelástico En la modelación del comportamiento viscoelástico del material fue necesario considerar un módulo instantáneo (inicial) y definir el decaimiento de este módulo en el tiempo. En


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este trabajo se utilizará una ecuación que relaciona el porcentaje de vacíos con el módulo para definir el módulo instantáneo, y los parámetros de decaimiento se modelarán a partir de series de Prony, como se verá más adelante. Viscoelasticidad A diferencia de un material elástico, los materiales viscoelásticos presentan un comportamiento que depende de la temperatura y la frecuencia de aplicación de la carga (i.e., el tiempo de aplicación de carga) a la que estén sometidos. Por lo tanto, la ley constitutiva de la Ecuación 1 no es válida para un material viscoelástico, y se hace necesario utilizar otro modelo de comportamiento. La relación entre esfuerzos y deformaciones en el caso de un material viscoelástico se da a partir de una integral de convolución que incluye la historia de esfuerzos y deformaciones del material. La integral tiene la forma que se muestra en la Ecuación 3,

( ) ( ) ( )ò -=

t

dd

dtEt

0t

tte

ts (3)

donde E es la propiedad de resistencia del material, denominada Módulo de Relajación. Módulo instantáneo Se tomará el porcentaje de vacíos como la propiedad que define cuál es el valor del módulo en cada punto. Para relacionar el porcentaje de vacíos con el módulo de la mezcla se utilizó la Ecuación 4 (NCHRP, 2002):

T0.0579P0.2285V0.082711.4677ln aspair ×-×-×-=Stiff (4) En la Ecuación 4, Stiff es el valor del módulo en MPa, Vair es el porcentaje de vacíos en porcentaje, Pasp es el contenido de asfalto (por peso) en porcentaje, y T es la temperatura en °C. La Figura 1 muestra la variación del módulo según la Ecuación 4 con un porcentaje de asfalto de 5.2%, que es el que se utilizará en este trabajo, para las dos temperaturas que se considerarán (i.e., 10 y 20ºC).


8

0

2500

5000

7500

10000

12500

15000

17500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Porcentaje de vacíos (%)

Stif

f (M

Pa)

10°C

20°C

Figura 1. Valor del módulo para diferentes porcentajes de vacíos y dos temperaturas según la Ecuación 4, con

porcentaje de asfalto 5.2%. Teniendo en cuenta que el porcentaje de vacíos común de diseño en Estados Unidos es 7%, con un porcentaje de asfalto de 5.2% se tiene un módulo de 9150 MPa a 10°C, y 5128 MPa a 20°C. Estos serán los módulos instantáneos (i.e., el módulo en el tiempo inicial t = 0) que se utilizarán en el caso viscoelástico. Parámetros de decaimiento – Serie de Prony Existen dos formas de caracterizar el módulo E de la Ecuación 3 (ecuación constitutiva del material viscoelástico); en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. La diferencia radica en el tipo de ensayo realizado para la determinación del módulo. Si la caracterización es en el dominio del tiempo, se aplica una señal de entrada (esfuerzo o deformación) constante, y se registra la señal de salida. Si el proceso se realiza en el dominio de la frecuencia, la señal de entrada (esfuerzo o deformación) es cíclica. En los dos casos, el módulo corresponde al valor de la relación esfuerzo/deformación en cada momento. En el presente trabajo se utilizará la caracterización mecánica viscoelástica de la mezcla asfáltica en el dominio del tiempo. En el dominio del tiempo, si la señal de entrada es una deformación, el ensayo se denomina ‘de relajación’ y el esfuerzo de salida decae con el tiempo. Por su parte, si la señal de entrada es un esfuerzo, el ensayo se denomina ‘de creep’ y la salida es una deformación

instantánea en primer lugar, luego creciente tendiendo a estabilizarse, y finalmente (al ser retirada la carga) disminuye cierta cantidad instantáneamente y luego decrece gradualmente. El aumento y decrecimiento instantáneos (‘saltos’) al aplicar y retirar la

carga se deben a la parte elástica del material. En el presente trabajo se utilizó la caracterización con el módulo de relajación. Los ensayos mencionados anteriormente se muestran esquemáticamente en la Figura 2.


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Figura 2. Ensayos sobre material viscoelástico. Dominio del tiempo. (a) Relajación, (b) Creep compliance.

Un ajuste comúnmente utilizado para el módulo de relajación (dominio del tiempo, deformación constante – Figura 2a) es la serie de Prony, Ecuación 5.

( ) ( )å=

¥ -+=M

m

mm tEEtE1

exp r (5)

Esta ecuación representa la respuesta de un sistema equivalente al material, conformado por resortes con constante Em y amortiguadores con viscosidad ηm, como se muestra en la Figura 3. Se define el tiempo de relajación ρm como la relación entre la viscosidad (ηm) y la constante (Em) de cada par amortiguador – resorte.

Figura 3. Modelo para la serie de Prony. Adaptado de Mun et al. (2008).

La respuesta de una mezcla particular puede modelarse con un grupo de parámetros Em y ρm. Los parámetros que se utilizaron para el presente trabajo se obtuvieron de Mun et al. (2008) y se muestran en la Tabla 1. El cambio del valor del módulo en el tiempo se observa


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en la Figura 4. Es importante tener en cuenta que estos parámetros modelarán únicamente el decaimiento del módulo instantáneo; el valor inicial se encontró en la sección anterior, ‘Módulo instantáneo’.

Tabla 1. Parámetros de la serie de Prony, Ecuación 5, y características de la mezcla. Mun et al. (2008).

E∞ (MPa) 22.4 ν 0.35

Pasp (%) 5.2

ρm Em (MPa)

1E-10 507.22 1E-9 834.93 1E-8 1353.67 1E-7 2139.18 1E-6 3237.37 1E-5 4555.73 1E-4 5683.89 1E-3 5855.13 1E-2 4555.5 1E-1 2485.68 1E+0 949.99 1E+1 282.39 1E+2 77.29 1E+3 22.6

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1.00E-10 1.00E-08 1.00E-06 1.00E-04 1.00E-02 1.00E+00 1.00E+02

Tiempo (s)

E (

MP

a)

Figura 4. Módulo de relajación según los parámetros de la Tabla 1 y la Ecuación 5 (Mun et al., 2008).

Resumen: Módulos del caso viscoelástico homogéneo El módulo con su decaimiento para el caso viscoelástico homogéneo será como se muestra en la Figura 5. Los valores correspondientes se presentan en la Tabla 2. Los módulos iniciales corresponden a los módulos instantáneos hallados en la sección ‘módulo

instantáneo’ (9150 MPa para 10°C, 5128 MPa para 20°C).


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0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1.00E-10 1.00E-08 1.00E-06 1.00E-04 1.00E-02 1.00E+00 1.00E+02

Tiempo (s)

E (

MP

a)

10°C

20°C

Figura 5. Valor del módulo en el tiempo para las temperaturas de análisis. Caso viscoelástico homogéneo.

Tabla 2. Valor del módulo como función del tiempo para las temperaturas de análisis. Caso viscoelástico.

10°C 20°C

t (s) E (MPa) E (MPa)

1.00E-10 9033.09 5062.48 1.00E-09 8815.95 4940.78 1.00E-08 8464.72 4743.94 1.00E-07 7911.46 4433.88 1.00E-06 7076.90 3966.16 1.00E-05 5902.84 3308.17 1.00E-04 4422.02 2478.27 1.00E-03 2835.47 1589.10 1.00E-02 1480.90 829.95 1.00E-01 611.45 342.68 1.00E+00 204.17 114.43 1.00E+01 61.44 34.43 1.00E+02 20.03 11.23

Determinación del módulo para el caso elástico lineal (módulo ponderado) Para escoger un valor de módulo para el caso elástico lineal de manera que fuera representativo y comparable con los otros dos casos, se determinó calcular un promedio ponderado de los módulos hasta el tiempo t = 0.1s. Inicialmente se consideró el tiempo que se mantiene cada módulo (ti+1 – ti) como el peso, pero debido a que estos tiempos aumentan en un orden de magnitud cada vez, el resultado considera prácticamente sólo los últimos dos valores. Por lo tanto, se asignaron los pesos como números enteros desde 1 hasta 10, dándole el mayor peso al módulo a 0.1 segundos. Se encontró que el módulo ponderado para el caso elástico es 4138 MPa para 10°C, y 2319 MPa para 20°C, lo que corresponde aproximadamente al 45% del módulo según la ecuación de la NCHRP, Ecuación 4.


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Caso viscoelástico aleatorio A continuación se muestra cómo se escogieron los módulos de la capa de rodadura en el caso viscoelástico aleatorio. Se utilizaron métodos estocásticos para asignar módulos que siguieran una tendencia objetivo. Módulo instantáneo A diferencia del caso viscoelástico homogéneo, el caso viscoelástico aleatorio asignará un módulo instantáneo particular a diferentes puntos espaciales de la capa de rodadura. Como los módulos se calculan a partir de un valor de porcentaje de vacíos, es necesario conocer la disposición general de los vacíos en profundidad en la capa de rodadura. Una vez considerada esta tendencia, se incluirá la aleatoriedad por medio de una herramienta matemática para producir campos aleatorios correlacionados, como se verá en el Capítulo 2. Finalmente, al porcentaje de vacíos calculado en cada punto de la capa de rodadura se le aplicará la ecuación de la NCHRP (Ecuación 4), para obtener su módulo correspondiente. Distribución de vacíos en profundidad El porcentaje de vacíos en la mezcla es un parámetro de diseño con el que se controla el nivel de compactación necesario para que el material presente un comportamiento óptimo durante su vida útil. En general, este valor se expresa en porcentaje y durante el diseño se considera que toda la mezcla presenta el mismo porcentaje de vacíos. Al analizar la distribución de los vacíos en núcleos tomados de campo, se encuentra que el valor de esta propiedad no es constante a medida que aumenta la profundidad (Tashman et al. 2001, Kassem 2008), por el contrario, luego de la compactación se observa que el porcentaje de vacíos tiende a ser mayor en superficie y disminuye hasta estabilizarse, de tal forma que en promedio se mantiene el valor de diseño pero no todo el material a nivel microestructural tiene el mismo porcentaje de vacíos. Esto se ilustra en la Figura 6. Teniendo en cuenta la tendencia observada, se generarán campos de vacíos de forma que presenten un comportamiento similar.

Figura 6. Porcentaje de vacíos en profundidad de seis núcleos de campo. Valor objetivo 7%. Adaptado de

Kassem (2008).


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Hasta el momento se determinó el comportamiento general que se espera de las medias de porcentaje de vacíos en profundidad. Para incluir la aleatoriedad, es deseable producir cierto número de realizaciones de campos de porcentajes de vacíos, no todos iguales, que en promedio sigan la tendencia mostrada en la Figura 6. La generación de estos campos se llevará a cabo como se discute en el siguiente capítulo (Capítulo 2). Parámetros de decaimiento – Serie de Prony Los parámetros de decaimiento del módulo serán los mismos del caso viscoelástico (Tabla 1). Nuevamente, sólo modelarán el decaimiento del módulo instantáneo encontrado utilizando campos aleatorios. Con esto se espera que las comparaciones que se realicen entre los casos viscoelástico y viscoelástico aleatorio sean consistentes.


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Capítulo 2

Campos aleatorios correlacionados En el capítulo anterior de definió cómo se modelaría el comportamiento mecánico de la capa de rodadura de todos los casos de análisis. En el caso viscoelástico aleatorio se describió la tendencia que debería seguir el campo de módulos, y se especificó que para su construcción se utilizarían campos aleatorios. En este trabajo, los valores del módulo instantáneo para cada realización del caso Viscoelástico aleatorio serán generados por medio de campos aleatorios. Esto se explica a continuación. Un campo aleatorio es un proceso estocástico que consiste de un vector de valores correlacionados, cada uno de los cuales tiene asociada una ubicación espacial (coordenadas). La correlación significa que los valores más cercanos geométricamente dentro de un rango especificado presentan una dispersión menor. Este rango se denomina longitud de correlación. Se utilizará esta herramienta para modelar la aleatoriedad de los porcentajes de vacíos en cada punto de la capa de rodadura. En la Figura 7 se muestra un ejemplo de campos aleatorio correlacionado y no correlacionado.

Figura 7. Campo aleatorio (a) no correlacionado, y (b) correlacionado. Valores mayores son más claros. Un método de construcción de campos aleatorios correlacionados es el de descomposición de matrices (Kim, 2005). A continuación se muestra el proceso de generación de un campo utilizando este método. 1. Se define una malla cuadrada de lado n y se numera cada elemento de la misma.


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2. Se calcula una matriz de distancias entre elementos. Por facilidad, también es posible calcular dos matrices, una con las distancias horizontales y una con las distancias verticales.

3. Se escoge una función de correlación y una distancia o distancias de correlación. La función de correlación es una función que permite incluir el componente espacial que hará que el campo sea correlacionado. Existen funciones de correlación con una sola distancia de correlación, como la que se muestra en la Ecuación 6.

( ) ÷÷ø

öççè

æ-=

L

ddF exp (6)

En la Ecuación 6, d es la distancia entre los elementos (un elemento de la matriz de distancias) y L es la longitud de correlación. Se han calculado longitudes de correlación para diferentes propiedades, como la conductividad hidráulica o el valor del parámetro N del ensayo de penetración estándar (Kim, 2005). En algunas ocasiones la propiedad puede estar más correlacionada en una dirección que en otra, como es el caso de este trabajo, ya que debido a la metodología de compactación de las mezclas asfálticas en campo, la distribución de vacíos es mucho más homogénea en dirección horizontal que en dirección vertical. En este trabajo se utilizó la función de correlación anisotrópica que se muestra en la Ecuación 7 (Caro et al., 2010).

( )úúú

û

ù

êêê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ+÷

÷ø

öççè

æ-=

2

,

2

,,, exp,

y

y

ji

x

x

jiy

ji

x

jiL

d

L

dddF (7)

En la Ecuación 7 se tienen dos distancias de correlación (horizontal, identificada con el superíndice x, y vertical, identificada con el superíndice y), sobre las que se dividen los componentes perpendiculares de las distancias entre elementos.

4. Se calcula la matriz de covarianza (matriz A), aplicando la función de correlación sobre la matriz de distancias y multiplicando el resultado por el cuadrado de la desviación objetivo (σ). El cálculo de los elementos de la matriz A se muestra en la Ecuación 8. La matriz A tiene dimensiones n² por n² y es simétrica.

( )y

ji

x

jiij ddFA ,,2 ,σ ×= (8)

5. Se calcula la matriz C, que cumple la propiedad que se muestra en la Ecuación 9. La

matriz C es diagonal y contiene valores únicamente en su parte inferior (el triángulo superior es cero) y sus dimensiones son n² por n². Computacionalmente la matriz C puede obtenerse aplicando la descomposición matricial de Choleski. Este método puede encontrarse en referencias de modelación numérica, por ejemplo Chapra (2006).

TCCA = (9)


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6. Se construye el vector t, también conocido como vector de media. Este vector tiene longitud n. Según el método de descomposición de matrices, todos los elementos de este vector son iguales, aunque en este trabajo se utilizará un vector que siga la tendencia mostrada anteriormente en la Figura 6.

7. Se construye el vector ε. Este es un vector de n² valores que cumplen la distribución normal estándar (media cero, desviación uno). El vector ε puede interpretarse como un

campo aleatorio no correlacionado. 8. Se calcula el campo aleatorio correlacionado (vector G) según la 10. Muchas

realizaciones de campos aleatorios con los mismos parámetros mostrarán una media igual a t y el promedio de sus desviaciones será σ.

tCG +×= e (10)

Si t es un vector, como en el caso de este trabajo, se espera producir campos cuyas medias tengan una disposición aleatoria que en promedio siga la tendencia marcada por t. Así se tendrá en cuenta la disposición de los vacíos en profundidad mostrada en la Figura 6. En este trabajo, con base en el campo aleatorio de vacíos se genera el campo aleatorio de módulos; como el campo correlacionado G contiene porcentajes de vacíos y no módulos, a cada elemento de G se le aplica la ecuación de la NCHRP (Ecuación 4), para obtener el módulo en cada punto. Un ejemplo de campo aleatorio se muestra en la Figura 8. Las unidades de la longitud de correlación se refieren al número de elementos que representan.

Figura 8. Campo aleatorio. (a) Valores, y (b) visualización. Lado 10, media 5, desviación 1, longitud de

correlación igual a 5. Es importante observar que los campos aleatorios de la distribución de vacíos en la capa superficial de mezcla asfáltica generados mediante el procedimiento descrito consideran dos niveles diferentes de variabilidad: ▪ Los campos generados tienen en cuenta que la distribución de los vacíos en función de la

profundidad sigue tendencias específicas observadas en campo (Figura 6). Estas tendencias son generadas aleatoriamente e incluidas como parte del vector de media t.


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▪ Los campos aleatorios tienen en cuenta que la correlación espacial de los vacíos dentro de la microestructura de la mezcla asfáltica es anisotrópica. En otras palabras, las distancias de correlación horizontal y vertical del campo son diferentes y en este trabajo fueron supuestas de tal forma que representan apropiadamente la correlación espacial real de los vacíos en campo.


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Capítulo 3

Diseño de las estructuras Uno de los parámetros que será variado es el volumen de tráfico al que estará sometida la estructura. Para esto se siguió la metodología racional o mecanicista de diseño de pavimentos (IDU, 1997), mediante la cual se diseñaron dos estructuras compuestas por una capa de rodadura en HMA, base y subbase granular. Posteriormente se aplicó un criterio de igual deformación para encontrar una estructura equivalente de todas las capas inferiores, lo que permite concentrar el análisis en la variabilidad de las deformaciones de la capa de rodadura.

Diseño racional de pavimentos Los pasos que se siguieron para el diseño de las estructuras se muestran a continuación. Uno de los parámetros de entrada para esta metodología es la temperatura de diseño del pavimento. Se consideró que la temperatura más alta sería la más crítica, pues los materiales viscoelásticos presentan menores valores de módulo a altas temperaturas. Por lo tanto la temperatura de diseño para los dos casos fue de 20°C. 1. Se determinan los parámetros relacionados con el tráfico y la proyección de ejes durante

la vida útil de la estructura. Esto quiere decir que se debe definir un valor de Tránsito promedio diario (TPD) para la vía, el tiempo de vida (n) en años y el crecimiento porcentual del tráfico (r). Con estos datos, se calcula el número estimado de vehículos (N) que pasarán sobre la sección de pavimento durante su vida útil, utilizando la Ecuación 11.

( ) ( )úû

ùêë

é -+××=+××=å

-

= r

1r1TPD365r1TPD365N

n1n

0i

i (11)

El INVÍAS clasifica el tráfico de una vía según los rangos que muestran en la Tabla 3

(IDU, 1997). La clasificación define la probabilidad de falla, que es un parámetro que permite incluir un margen de seguridad (con base en los resultados del ensayo de fatiga) dentro del diseño.


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Tabla 3. Clases de tráfico y probabilidades de falla según el INVÍAS.

Clase de tráfico Promedio vh. pesados /día

Probabilidad de falla, material asfáltico (%)

T1 0 - 50 45 T2 50 - 150 35 T3 150 - 300 25 T4 300 - 750 10 T5 750 - 2000 5

2. Se calcula el número de ejes equivalentes (NE) que pasarán sobre la sección durante su

vida útil. Existen equivalencias que permiten convertir vehículos de diferentes características en ejes simples con llantas gemelas y cierto valor de carga, llamados ejes equivalentes. Para esto se utilizan análisis detallados del tráfico que recorre la vía, y se calcula el Coeficiente de Agresividad Media (CAM) o Factor camión, el cual relaciona globalmente el número de vehículos con el número de ejes equivalentes, de la forma que se muestra en la Ecuación 12.

CAMNNE ×= (12)

3. Se obtienen datos de un ensayo de fatiga sobre el material. En un ensayo de fatiga se

someten varias probetas de material a una solicitación (generalmente una deformación) cíclica de amplitud relativamente pequeña, durante el tiempo necesario para que el material falle o se defina su falla según algún criterio. Se espera que un material que se esfuerce un número muy elevado de repeticiones termine fallando a niveles de carga menores a los que fallaría si no estuviera fatigado. Los datos necesarios para el diseño son la deformación a la que se produce la falla a un millón de ciclos (ε6), la pendiente de la curva de ley de fatiga (b) y su desviación (σN). Adicionalmente es necesario especificar la desviación constructiva (σH) esperada en los espesores de las capas de la estructura.

4. Se definen los parámetros de corrección. Estos son: ▪ kr, coeficiente de corrección con los parámetros de la ley de fatiga. ▪ kt, coeficiente de corrección por temperatura. ▪ kc, coeficiente de calibración según pistas de prueba. ▪ ks, coeficiente de corrección según subrasante.

El cálculo de estos coeficientes se muestra en la Ecuación 13.


20

( )

( )

( )

( )ïî

ïí

ì

£

<£

<

=

=

÷ø

öçè

æ+=== -

sub

sub

sub

diseño

ensayo

h2h

22N

ubδ

E120MPa

120MPaE50MPa

50MPaE

1

1.11

1.21

ksd

1.3y 1.1 entre varíakcc

E

Ektb

cmen σ ,σb

0.02σδ falla, Prob.deucon ,10kra

(13)

5. Se calculan las deformaciones admisibles. El método racional calcula valores máximos

para la deformación en tensión (εt adm) en la base de las capas cementadas (como por ejemplo la capa de rodadura) y para la deformación vertical (εz adm) en la parte superior de la subrasante. En una de las estructuras (tráfico bajo) no se tuvo en cuenta el valor de εz adm, pues el diseño elástico que se hizo consideró el valor de módulo ponderado encontrado anteriormente. Este módulo es muy bajo comparado con los valores usuales utilizados en el diseño de pavimentos, y por lo tanto presenta deformaciones verticales permanentes que pueden llegar a superar las admisibles. Aún así, el comportamiento de esta estructura fue similar al de la estructura para tráfico medio. Las ecuaciones para el cálculo de las deformaciones admisibles se muestran en la Ecuación 14.

( )

( )îíì

=×=

××××÷ø

öçè

æ=

-

altoVolumen 0.016

bajoVolumen 0.01fcon ,Nfεb

kskcktkr10

NEεεa

0.222adm z

b

66admt

(14)

6. Conociendo las deformaciones admisibles, se utiliza un programa de cálculo elástico

multicapa para calcular deformaciones de diferentes combinaciones de materiales y sus respectivos espesores, de manera que se cumplan los límites establecidos.

Diseño de las estructuras por el método racional Se diseñaron las estructuras utilizando el módulo elástico de la mezcla asfáltica ponderado a 20°C, es decir 2319 MPa. Para los parámetros desconocidos se tomaron valores típicos Manual de diseño de pavimentos de Bogotá (IDU, 1997). Para cada diseño se calculó también el módulo de la estructura equivalente para la modelación, como se explicará más adelante. El cálculo de las deformaciones admisibles se muestra en la Tabla 4.


21

Tabla 4. Cálculo de las deformaciones admisibles. Estructura 1, tráfico bajo. Estructura 2, tráfico medio.

Variable Estruct. 1 Estruct. 2 Nombre

TPDs (vh/día) 20 150 Tránsito promedio diario n (años) 12 12 Vida útil

r (%) 4 4 Crecimiento porcentual del tráfico CAM (-) 0.5 0.5 Coeficiente de agresividad media

P. falla (%) 45 25 Probabilidad de falla Eensayo (MPa) 9150 9150 Módulo del material asfáltico a 10°C Ediseño (MPa) 2319 2319 Módulo elástico ponderado

ε6 (-) 1.00E-04 1.00E-04 Deformación de falla a un millón de ciclos b (-) -0.2 -0.2 Pendiente de la ley de fatiga

σN (-) 0.25 0.25 Desviación de la ley de fatiga σH (cm) 1 1 Desviación de los espesores

N (vh) 109689 822663 Tráfico acumulado en la vida útil

NE (ejes eq.) 54845 411332 Ejes equivalentes de 8.2 toneladas

u -0.1257 -0.6745 δ 0.2693 0.2693 kr 0.9845 0.9198 Coeficiente de corrección. Ley de fatiga. kt 1.9864 1.9864 Coeficiente de corrección por temperatura kc 1.1 1.1 Coeficiente de corrección. Pistas de prueba. ks 0.8333 0.8333 Coeficiente de corrección por subrasante

εt rodadura 3.20E-04 2.00E-04 Deform. horizontal admisible, parte inferior εz subrasante 8.87E-04 6.81E-04 Deform. vertical admisible, subrasante

Una vez conocidos los valores admisibles, se utilizó el programa DEPAV para diseñar las estructuras de pavimento, con 500 MPa como módulo de base y 50 MPa para subbase. Se tomó un módulo de subrasante igual a 20 MPa. Para el cálculo del radio de carga se utilizó un eje simple de 8.2 toneladas con llantas gemelas y presión de contacto 650 kPa, de lo que se obtuvo un radio de carga igual a 10.02cm. Por lo tanto se tomó un radio de 10cm. Un resumen de los valores de entrada y salida del programa se muestra en la Figura 9 y la Figura 10. Se cumplieron los valores de deformación máxima a tensión en la base de la capa de rodadura para ambos casos, pues este es el valor de mayor interés a la hora de plantear una estructura equivalente de pavimento, como se verá más adelante en la sección ‘Capa de base equivalente’. El diseño logrado se muestra en la Tabla 5.

Tabla 5. Estructuras de pavimento. Estructura 1, tráfico bajo. Estructura 2, tráfico medio.

Estructura 1 Estructura 2 E (MPa) ν Capa

h (cm) h (cm)

7 7 2319 0.35 Capa de rodadura 10 25 500 0.40 Base granular 10 25 50 0.40 Subbase granular ∞ ∞ 20 0.45 Subrasante


22

Figura 9. Valores de entrada y salida en DEPAV, para el diseño de la estructura 1. Resumen.

Figura 10. Valores de entrada y salida en DEPAV, para el diseño de la estructura 2. Resumen.


23

Capa de base equivalente Para facilitar la modelación de las estructuras y para concentrar el análisis en la variabilidad de la capa de rodadura, se determinó plantear una estructura con un total de dos capas, manteniendo la capa superior (rodadura) intacta, y encontrando una capa de base equivalente a los diseños dados en la Tabla 5. Se definió esta equivalencia como la capa de base que produce la misma deformación en la parte inferior de la capa de rodadura de la estructura inicial, es decir la deformación máxima admisible. Se determinó para esta capa el mismo coeficiente de Poisson que tenían las capas granulares (0.40) y se varió su módulo hasta igualar la deformación presentada con la requerida. Los resultados se muestran en la Figura 11, y el correspondiente resumen del análisis en DEPAV se muestra en la Figura 12 y la Figura 13.

Figura 11. Estructuras de pavimento y estructuras equivalentes. (a) tráfico bajo, y (b) tráfico medio.


24

Figura 12. Valores de entrada y salida en DEPAV, para el diseño de la estructura equivalente 1. Resumen

Figura 13. Valores de entrada y salida en DEPAV, para el diseño de la estructura equivalente 2. Resumen.


25

Capítulo 4

Definición de las alternativas a ser evaluadas Se definirán y variarán algunos parámetros que afectan el desempeño de las estructuras de pavimento. Los parámetros y los valores que tomarán son los siguientes: ▪ Volumen de tráfico: se variará entre un volumen de tráfico bajo y medio, según la

definición del INVÍAS. Como se vio en la sección anterior, el tráfico afecta el diseño de las estructuras de pavimento. Se utilizarán las estructuras equivalentes mostradas en la Figura 11. Una estructura equivalente tiene unas dimensiones asociadas y un módulo de base equivalente que es propio de esa estructura.

▪ Temperatura: se tomará una temperatura relativamente baja y una relativamente alta en términos cercanos al ambiente colombiano. El valor de la temperatura afecta el módulo de la capa de rodadura. Sus valores serán 10°C y 20°C. Escoger una temperatura afecta el módulo instantáneo de la capa de rodadura, pues se cambia el valor del módulo ponderado, en el caso elástico, o se cambia el valor de T en la Ecuación 4.

▪ Dispersión de la media del porcentaje de vacíos: como se vio, el valor del módulo instantáneo en los casos viscoelástico y viscoelástico aleatorio será producido utilizando campos aleatorios. Como cada realización de un campo aleatorio tiene valores diferentes, se controlará la dispersión de las medias de estas realizaciones. Los valores de COV (desviación sobre media) a utilizar son 10% y 20%. Es decir, se supone que el coeficiente de desviación de los vacíos en la carpeta de rodadura compactada es del 10 y/o del 20%. La mayoría de especificaciones para el control de calidad tienen valores de COV asociados cercanos a inferiores al 10%. Por lo tanto, el primer caso (i.e., COV de 10%) representa una carpeta de rodadura donde hubo un cuidadoso control de calidad durante el proceso de compactación, mientras el segundo caso (i.e., COV de 20%) representa un caso donde la compactación no se realizó con el mismo control ni calidad.

▪ Longitudes de correlación: uno de los parámetros en la creación de los campos aleatorios es la longitud de correlación horizontal y vertical. Entre mayor sea esta distancia, mayor es la correlación en una dirección dentro del campo. Se utilizarán 50cm y 100cm como distancias de correlación horizontal, y 2cm, 4cm y 8cm como distancias de correlación vertical. Estos valores son supuestos por el autor, ya que no existe en la literatura ningún estudio dedicado a investigar el orden de variación de estos valores en carpetas asfálticas compactadas. Al realizar simulaciones suponiendo distintos valores de distancias de correlación será posible cuantificar el impacto real que tiene este parámetro en los campos aleatorios de vacíos generados mediante la metodología descrita en el capítulo anterior.

El resumen de las variables se muestra en la Tabla 6.


26

Tabla 6. Variables y sus valores.

Variable Valores que tomará la variable

Volumen de tráfico Volumen bajo, volumen medio Temperatura 10°C, 20°C

COV de la media del porcentaje de vacíos 10%, 20% Longitud de correlación horizontal 50cm, 100 cm

Longitud de correlación vertical 2cm, 4cm, 8cm Para cada tipo de comportamiento, las alternativas a evaluar se muestran en la Tabla 7. Para cada caso viscoelástico aleatorio se producirán diez realizaciones del campo aleatorio.

Tabla 7. Casos de análisis (a) elásticos y viscoelásticos (casos base) y (b) viscoelásticos aleatorios.

(a) Elástico y viscoelástico Caso elást. Caso visc. Estructura Temp. (°C) 1 (a) 1 (e) T. bajo 10

Casos base

2 (b) 2 (f) T. bajo 20 3 (c) 3 (g) T. alto 10 4 (d) 4 (h) T. alto 20 (b) Viscoelástico aleatorio

Caso aleat. Estructura Temp. (°C) COV (%) Lx (cm) Ly (cm)

1 (i) T. bajo 10 10 100 4

Sensibilidad al COV

2 (j) T. bajo 10 20 100 4 3 (k) T. bajo 20 10 100 4 4 (l) T. bajo 20 20 100 4

5 (m) T. medio 20 10 50 2

Sensibilidad a Lx, Ly

6 (n) T. medio 20 10 50 4 7 (o) T. medio 20 10 50 8 8 (p) T. medio 20 10 100 2 9 (q) T. medio 20 10 100 4 10 (r) T. medio 20 10 100 8


27

Capítulo 5

Modelación de las estructuras En esta sección se expondrá el proceso de modelación para los casos mostrados en la Tabla 7. Se utilizó un programa de análisis numérico para producir los campos (MATLAB), y un programa de elementos finitos para modelarlos (ABAQUS).

Geometría Todas las modelaciones tendrán como base una de las dos estructuras equivalentes mostradas en la Figura 11. Una estructura equivalente define el espesor de la capa de rodadura, que en todos los casos es de 7 cm, y unos parámetros elásticos para la base equivalente. Al modelar cualquier estructura en dos dimensiones en ABAQUS, es necesario limitar el ancho de la misma. En este caso se decidió que si la estructura tiene 1 metro de ancho, los efectos de borde son despreciables. La carga corresponde a una llanta gemela ubicada en la mitad del ancho de la estructura, es decir, dos zonas cuya longitud es el doble del radio especificado anteriormente en la sección ‘Diseño de las estructuras por el método racional’

(10cm). La capa de base equivalente debe tener un espesor finito pero suficientemente amplio para evitar que la carga se disipe por completo en el apoyo de la base equivalente. Teniendo en cuenta que la capa de interés es la superior (capa de rodadura) y ésta tiene 7 centímetros de grosor, se determinó que diez veces su espesor sería suficiente para disipar las cargas de manera correcta. La base equivalente se modeló con un espesor de 70 centímetros. Se discretizó la capa de rodadura con elementos cuadrados de medio centímetro de lado, y la capa de base equivalente con elementos del doble de tamaño, es decir de un centímetro. La Figura 14 muestra la disposición final de la geometría de un caso cualquiera (la variación se da en las propiedades de los materiales y la disposición de los módulos).


28

Figura 14. Geometría del modelo y de aplicación de las cargas.

Proceso en MATLAB MATLAB es un software de análisis numérico y programación desarrollado por la compañía estadounidense de software The Mathworks Inc. Se escribieron tres programas cortos en MATLAB como un primer paso para la modelación de los casos viscoelásticos aleatorios (los casos elástico y viscoelástico no requieren proceso en MATLAB). El producto final de los programas es un archivo de texto que contiene toda la información necesaria para construir una realización aleatoria con un valor determinado de temperatura, COV, longitud de correlación horizontal y vertical, y tipo de estructura (tráfico bajo o tráfico medio). Los tres programas y sus tareas se describen a continuación: Programa ‘campo.m’ Este programa produce un campo aleatorio correlacionado de porcentaje de vacíos (el campo es cuadrado pero se almacena en un vector). Para esto requiere los parámetros siguientes: ancho del campo, valor de media objetivo, desviación objetivo, longitud de correlación horizontal y longitud de correlación vertical. Luego de recibir estos parámetros, el programa construye un campo aleatorio según el procedimiento descrito anteriormente en la sección ‘Campos aleatorios correlacionados’.


29

La diferencia con el proceso de construcción de un campo aleatorio aparece al sumar el vector de media (t), el último paso de la creación del campo. En general, este vector contiene números iguales, de forma que la variabilidad alcanzada en la parte aleatoria del campo (media 0, desviación determinada) simplemente se desplaza sin afectar la desviación y produciendo la media deseada. En este caso, se determinó que la media del campo aleatorio de vacíos no debería ser la misma en cada fila (horizontal) del campo, sino que su comportamiento debía seguir la tendencia descrita en la sección ‘Distribución de vacíos en

profundidad’. Para modelar la tendencia observada en la Figura 6 se encontró una función que tuviera la forma esperada, se escaló en altura un cierto factor (estiramiento) y se desplazó la cantidad suficiente para que su media fuera 7%. La función se muestra en la Ecuación 15.

estxxy a ×=)( (15)

Como se observa, el valor de a corresponde al orden del polinomio, y est es un factor de escala. El programa ‘campo.m’ escoge aleatoriamente un orden que va desde 2 a 6, y un

estiramiento también aleatorio entre 1 y 2. La forma de esta función para cuatro órdenes distintos se muestra en la Figura 15.

Figura 15. Vector de media del porcentaje de vacíos según la Ecuación 15, con un estiramiento igual a 2 y órdenes de 2 a 5.


30

Una vez considerada la ‘forma’ de la función, se calculan tantos valores como sean

necesarios en el rango -1 < x < 0.5. Por ejemplo, para la capa de rodadura (que tiene 7cm de espesor y elementos de 0.5cm) se calcularon 14 puntos. Posteriormente, la función se desplaza una unidad hacia arriba y se multiplica por un factor que garantiza que la media sea igual al valor objetivo. Este factor es igual a la media esperada sobre la media del vector actual (con los valores calculados de la función de la Ecuación 15. Un ejemplo se muestra en la Figura 16. Se consideró que el comportamiento de las funciones de esta figura es similar al de los núcleos de campo (Figura 6). El código del programa ‘campo.m’

se presenta en el Anexo 1.

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0 2 4 6 8 10 12 14

Porcentaje de vacíos

y

Figura 16. Medias en profundidad de un campo aleatorio correlacionado de vacíos. Lado 20, media objetivo

7, desviación 1.5, longitud de correlación horizontal y vertical 5. Orden del vector de media igual a 3. La adición de un vector de media es una variación en el procedimiento que induce un cambio en la desviación de salida. Esto se tendrá en cuenta más adelante en la sección ‘Calibración entrada – salida’. Programa ‘interpola.m’ Como el campo producido es cuadrado, pero el campo que se utilizará es rectangular (la capa de rodadura es la parte con enmallado más fino de la Figura 14), se decidió interpolar horizontalmente este campo hasta alcanzar la longitud necesaria. Una vez producido el vector que contiene el campo aleatorio correlacionado de vacíos, el programa ‘interpola.m’

recibe este vector y el ancho deseado, calcula el número de columnas a interpolar entre las columnas ya existentes y devuelve el campo interpolado, en forma de vector. El código del programa ‘interpola.m’ se presenta en el Anexo 2. Programa ‘a.m’ Este es el programa que maneja los parámetros de entrada y produce los archivos de salida. Inicialmente llama al programa ‘campo.m’ y recibe el vector campo correlacionado

correspondiente al campo cuadrado de vacíos. Luego lo envía a ‘interpola.m’ y recibe el

vector de campo interpolado de vacíos correspondiente al campo rectangular. Una vez


31

obtenido el campo de vacíos, aplica la Ecuación 4 con el correspondiente porcentaje de asfalto y temperatura, y finalmente imprime un archivo con la información del campo para ser leído por ABAQUS. Este archivo contiene los siguientes datos: dimensión del elemento de la capa de rodadura, longitud vertical y horizontal del campo, coeficientes de Poisson de la capa de rodadura y de la base equivalente, altura de la base equivalente, módulo de la base equivalente, magnitud de la carga, tiempo de carga, y vector de módulos. Adicionalmente el programa imprime un par de archivos con las matrices de vacíos y de módulos del campo. El programa ‘a.m’ está escrito de tal forma que se puede requerir

cierto número de realizaciones del mismo campo. En este caso, se imprime la información de cada campo en un archivo aparte, numerado. El código del programa ‘a.m’ se presenta

en el Anexo 3. Calibración entrada – salida Debido a que el campo aleatorio cuadrado que se genera en el proceso sufre dos procesos externos que lo alteran (suma de un vector de media e interpolación horizontal), se analizó el comportamiento de dos variables que se veían afectadas, con el fin de controlar sus valores de salida. Coeficiente de variación (COV) del campo aleatorio

Uno de los parámetros que se desea controlar es el coeficiente de variación (COV) de las medias de los campos producidos por los programas de MATLAB. El COV se define como la relación entre la desviación y la media de una variable y, usualmente, se expresa en porcentaje. Para conocer cómo se estaba comportando este parámetro se corrió el programa 50 veces para cada desviación de entrada (S) entre 0.1 y 3 con intervalos de 0.1 y se realizó una regresión utilizando el COV real producido. Se utilizaron longitudes de correlación intermedias (horizontal 75cm, vertical 4cm). Se encontró una relación aproximadamente lineal entre S y el COV. Los resultados se muestran en la Figura 17. Con estos datos se encontraron las desviaciones de entrada que corresponden a los COV de salida objetivo. Estos datos se muestran en la Tabla 8.

y = 8.8754x + 1.0953R2 = 0.9377

0

5

10

15

20

25

30

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

S entrada (%)

CO

V m

edia

s (%

)

Figura 17. Relación entre la desviación de entrada (S) y el COV de salida de las medias.


32

Tabla 8. Desviaciones de entrada para producir COV objetivo

COV objetivo (%) S entrada teórico (%) S calibrado (%)

10 0.7 1.0033 20 1.4 2.1300

Longitud de correlación

El proceso de construcción del campo de vacíos termina con la interpolación que hace que el ancho del campo sea igual al ancho del carril. Como en este proceso no se afecta la dimensión vertical del campo, con lo cual la longitud de correlación en este sentido no cambia. Pero es necesario considerar cómo el ‘estiramiento’ afecta a la longitud de

correlación horizontal. Como la interpolación que se realiza es lineal, se considera que la longitud de correlación varía proporcionalmente con el cambio realizado. Por ejemplo, si la longitud de correlación horizontal inicial es igual al lado del campo cuadrado, la longitud de correlación de salida será igual al ancho del campo interpolado. Los valores de entrada y salida se muestran en la Tabla 9.

Tabla 9. Resumen de longitudes de correlación de entrada y salida.

Entrada Salida cm n elementos cm n elementos Lx 1 3.5 7 50 100 Lx 2 7 14 100 200 Ly 1 2 4 2 4 Ly 2 4 8 4 8 Ly 3 8 16 8 16

Proceso en ABAQUS ABAQUS es un software para modelación con elementos finitos, actualmente a nombre de de la empresa DS Simulia. Este programa ofrece una gran cantidad de posibilidades de comportamiento para los materiales. En el caso del presente trabajo, se utilizó el comportamiento elástico para modelar la capa de base equivalente y el comportamiento elástico (caso 1) y viscoelástico (casos 2 y 3) para modelar la capa de rodadura. A continuación se explicarán los requerimientos del programa para cada tipo de comportamiento, y los valores utilizados. Parámetros para el comportamiento elástico El comportamiento elástico se caracteriza en ABAQUS por medio del módulo de Young y el coeficiente de Poisson. Para modelar la base equivalente de las estructuras (tráfico bajo y tráfico medio) se utilizó el módulo equivalente calculado para cada caso junto con su coeficiente de Poisson (Figura 11). El material se consideró isotrópico y el módulo se


33

mantuvo durante toda la simulación, pues el material es elástico (módulo a largo plazo, long-term). Parámetros para el comportamiento viscoelástico Para definir el módulo del caso viscoelástico se utilizó la modelación en el dominio del tiempo por medio de los parámetros de la serie de Prony, como se especificó en la sección ‘Parámetros de decaimiento – serie de Prony’. El comportamiento viscoelástico en

ABAQUS se modela en dos partes; se asigna un módulo instantáneo (‘elástico’) que

corresponderá al módulo inicial, y se modela el decaimiento del módulo en el tiempo por medio de la serie de Prony. En el caso de ABAQUS, que es un programa que no considera dimensiones sino que presupone que la información de entrada es consistente, la entrada de los parámetros de la serie de Prony es diferente a la que se mostró en la Ecuación 5 y la Tabla 1. Las ecuaciones que definen la entrada de los parámetros de la serie de Prony para ABAQUS se muestran en las dos partes de la Ecuación 16. Su aplicación produce los parámetros que se muestran en la Tabla 10. El decaimiento a partir de un módulo unitario según los parámetros de la Tabla 10 y la Ecuación 16 se muestra en la Figura 18.

å

å

+=

=

÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ--×-=

¥

=

mo

o

mi

N

i i

i

GGG

G

Gg

tgtg

(b)

exp11)((a)1 t

(16)

Tabla 10. Parámetros de la serie de Prony para ABAQUS.

τi corresponde a ρm de la Tabla 1, gi según (16.

τi gi (-)

1.00E-10 0.015576589 1.00E-09 0.025640474 1.00E-08 0.04157084 1.00E-07 0.065693639 1.00E-06 0.099418757 1.00E-05 0.139905236 1.00E-04 0.174550724 1.00E-03 0.179809458 1.00E-02 0.139898173 1.00E-01 0.07633456 1.00E+00 0.029173936 1.00E+01 0.008672121 1.00E+02 0.002373555 1.00E+03 0.00069404


34

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.00E-10 1.00E-08 1.00E-06 1.00E-04 1.00E-02 1.00E+00 1.00E+02

Tiempo (s)

E

Figura 18. Decaimiento de un módulo unitario para ABAQUS, con los parámetros de la Tabla 10. Nótese que

las ordenadas llegan hasta 1. Modelación de casos base (elásticos y viscoelásticos) Los casos elásticos y viscoelásticos de la Tabla 7 son ocho en total y en general son muy similares. Por esta razón no se consideró necesario automatizar su construcción y se introdujeron manualmente en ABAQUS. Para los casos elásticos (a, b, c y d) se tuvieron en cuenta los módulos elásticos ponderados (sección ‘Determinación del módulo para el caso

elástico (módulo ponderado)’) a las dos temperaturas de estudio, junto con los módulos de las dos estructuras equivalentes (Figura 11). Los dos materiales creados (material de la capa de rodadura y material de la base equivalente) tienen comportamiento elástico. Los casos viscoelásticos (e, f, g y h) utilizan como módulo instantáneo el que arroja la Ecuación 4, es decir, un módulo inicial mayor que en los casos elásticos. Los parámetros de decaimiento son los que se mostraron en la Tabla 10. Modelación de casos viscoelásticos aleatorios Cada caso viscoelástico de la Tabla 7 debía realizarse varias veces debido a su naturaleza aleatoria (cada realización es particular y diferente de las demás, así los parámetros de entrada sean los mismos). Cada uno de estos casos implica asignar a cada elemento de la capa de rodadura un módulo particular, calculado anteriormente en MALAB y disponible en el archivo de texto que se produjo. Por lo tanto se consideró necesario automatizar esta labor y para esto se escribió un script en el lenguaje de programación Python. Un script es un código mediante el cual se le dan instrucciones a un programa, en este caso a ABAQUS. El script lee cada uno de los archivos escritos por MATLAB para cada realización, y le indica a ABAQUS que los construya y calcule. El código del script se presenta en el Anexo 4.


35

Capítulo 6

Resultados y análisis

Recuperación de datos ABAQUS produce un archivo con extensión .odb (una base de datos) con toda la información relacionada con un modelo. Para todos los casos, se recopiló la deformación horizontal en 89 puntos distribuidos en seis grupos (tres columnas y tres filas), ubicados bajo una de las llantas (Figura 19) y numerados de la forma que se muestra en la Figura 20. Se escribió un script en Python para indicar a ABAQUS que reportara las deformaciones en los puntos que se muestran en la Figura 20, luego de conocer sus identificaciones (el número del elemento luego de que el programa ha enmallado).

Figura 19. Ubicación de los puntos donde se recolectó la deformación.


36

Figura 20. Numeración de los conjuntos de puntos (a) columnas y (b) filas.

Casos base A continuación se presentan los resultados de los casos base elásticos, con sus correspondientes casos base viscoelásticos homogéneos (parte (a) de la Tabla 7). Los casos base Elásticos 1 y 2 consideran temperaturas 10 y 20°C, respectivamente, con una estructura para tráfico bajo con comportamiento elástico. Los casos Viscoelásticos 1 y 2 son iguales excepto en que el comportamiento de la capa de rodadura es viscoelástico homogéneo. Los casos Elásticos y Viscoelásticos 3 y 4 son iguales a los Elásticos y Viscoelásticos 1 y 2, pero consideran la estructura de tráfico medio. Los resultados del primer caso base (elástico y viscoelástico homogéneo) se muestran de la Figura 21 a la Figura 32. Los del segundo, de la Figura 33 a la Figura 44. Para el tercero, de la Figura 45 a la Figura 56. Y para el cuarto, de la Figura 57 a la Figura 68. En las siguientes figuras, una deformación positiva simboliza tensión.


37

-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

8.0E-05

1.0E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Figura 21. Caso base Elástico 1, columna 1.

-4.0E-04

-3.0E-04

-2.0E-04

-1.0E-04

0.0E+00

1.0E-04

2.0E-04

3.0E-04

4.0E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Figura 22. Caso base Elástico 1, columna 2

-1.2E-04

-1.0E-04

-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

8.0E-05

1.0E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42


-2.0E-05

-1.5E-05

-1.0E-05

-5.0E-06

0.0E+00

5.0E-06

1.0E-05

1.5E-05

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Figura 24. Caso base Viscoelástico 1, columna 1.

-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

8.0E-05

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

8.0E-05

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42



38

-2.5E-4

-2.0E-4

-1.5E-4

-1.0E-4

-5.0E-5

0.0E+0

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920

Figura 27. Caso base Elástico 1, fila 1.

-2.0E-05

-1.5E-05

-1.0E-05

-5.0E-06

0.0E+00

5.0E-06

1.0E-05

1.5E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960


-7E-5

-6E-5

-5E-5

-4E-5

-3E-5

-2E-5

-1E-5

0E+0

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920

Figura 30. Caso base Viscoelástico 1, fila 1.

-8E-6

-7E-6

-6E-6

-5E-6

-4E-6

-3E-6

-2E-6

-1E-6

0E+0

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0E+0

1E-5

2E-5

3E-5

4E-5

5E-5

6E-5

7E-5

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960



39

-1.0E-04

-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

8.0E-05

1.0E-04

1.2E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


-4.0E-04

-3.0E-04

-2.0E-04

-1.0E-04

0.0E+00

1.0E-04

2.0E-04

3.0E-04

4.0E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42


-3E-5

-2E-5

-1E-5

0E+0

1E-5

2E-5

3E-5

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


-1.5E-4

-1.0E-4

-5.0E-5

0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


-1.5E-4

-1.0E-4

-5.0E-5

0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42



40

-3.0E-04

-2.5E-04

-2.0E-04

-1.5E-04

-1.0E-04

-5.0E-05

0.0E+00

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920


-2.0E-05

-1.5E-05

-1.0E-05

-5.0E-06

0.0E+00

5.0E-06

1.0E-05

1.5E-05

2.0E-05

2.5E-05

3.0E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

1.5E-04

2.0E-04

2.5E-04

3.0E-04

3.5E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960


-1.2E-4

-1.0E-4

-8.0E-5

-6.0E-5

-4.0E-5

-2.0E-5

0.0E+0

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920


-1.4E-5

-1.2E-5

-1.0E-5

-8.0E-6

-6.0E-6

-4.0E-6

-2.0E-6

0.0E+0

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0.0E+0

1.0E-5

2.0E-5

3.0E-5

4.0E-5

5.0E-5

6.0E-5

7.0E-5

8.0E-5

9.0E-5

1.0E-4

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960



41

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


-2.5E-04

-2.0E-04

-1.5E-04

-1.0E-04

-5.0E-05

0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

1.5E-04

2.0E-04

2.5E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


-4.0E-05

-3.0E-05

-2.0E-05

-1.0E-05

0.0E+00

1.0E-05

2.0E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42


-2.0E-05

-1.5E-05

-1.0E-05

-5.0E-06

0.0E+00

5.0E-06

1.0E-05

1.5E-05

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

8.0E-05

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42



42

-1.6E-04

-1.4E-04

-1.2E-04

-1.0E-04

-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920


-1.0E-05

-5.0E-06

0.0E+00

5.0E-06

1.0E-05

1.5E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

8.0E-05

1.0E-04

1.2E-04

1.4E-04

1.6E-04

1.8E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960


-6E-5

-5E-5

-4E-5

-3E-5

-2E-5

-1E-5

0E+0

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920


-8E-6

-7E-6

-6E-6

-5E-6

-4E-6

-3E-6

-2E-6

-1E-6

0E+0

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0E+0

1E-5

2E-5

3E-5

4E-5

5E-5

6E-5

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960



43

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


-2.5E-04

-2.0E-04

-1.5E-04

-1.0E-04

-5.0E-05

0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

1.5E-04

2.0E-04

2.5E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


-2.5E-05

-2.0E-05

-1.5E-05

-1.0E-05

-5.0E-06

0.0E+00

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42


-3.0E-5

-2.5E-5

-2.0E-5

-1.5E-5

-1.0E-5

-5.0E-6

0.0E+0

5.0E-6

1.0E-5

1.5E-5

2.0E-5

2.5E-5

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


-1E-4

-8E-5

-6E-5

-4E-5

-2E-5

0E+0

2E-5

4E-5

6E-5

8E-5

1E-4

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


-8E-5

-6E-5

-4E-5

-2E-5

0E+0

2E-5

4E-5

6E-5

8E-5

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42



44

-2.0E-04

-1.8E-04

-1.6E-04

-1.4E-04

-1.2E-04

-1.0E-04

-8.0E-05

-6.0E-05

-4.0E-05

-2.0E-05

0.0E+00

2.0E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920


-1.0E-05

-5.0E-06

0.0E+00

5.0E-06

1.0E-05

1.5E-05

2.0E-05

2.5E-05

3.0E-05

3.5E-05

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0.0E+00

2.0E-05

4.0E-05

6.0E-05

8.0E-05

1.0E-04

1.2E-04

1.4E-04

1.6E-04

1.8E-04

2.0E-04

0 0.05 0.1

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960


-8E-5

-7E-5

-6E-5

-5E-5

-4E-5

-3E-5

-2E-5

-1E-5

0E+0

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920


-1.2E-5

-1.0E-5

-8.0E-6

-6.0E-6

-4.0E-6

-2.0E-6

0.0E+0

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0E+0

1E-5

2E-5

3E-5

4E-5

5E-5

6E-5

7E-5

0 2 4 6 8 10

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960



45

Caso base elástico – viscoelástico 1 (tráfico bajo, 10°C) Al comparar los resultados de las columnas del primer caso se observa que la columna 1 y la columna 2 del caso viscoelástico presentan valores de deformación a los 10 segundos cercanos al 12% de las producidas en el caso elástico, lo que indicaría que el módulo equivalente resultó mayor de lo que sería representativo. Aún así, la columna 3 viscoelástica presenta a los 10 segundos deformaciones equivalentes al 75% de la deformación elástica. Se observa que la deformación elástica es simétrica con respecto al centro de la llanta, pues las deformaciones de la columna 1 son prácticamente iguales a las de la columna 3. Estas deformaciones a los extremos de una de las llantas resultan ser el 27% de la deformación producida bajo el centro de la llanta (columna 2). En el caso viscoelástico las deformaciones de la columna 2 y 3 son prácticamente iguales, y equivalen a 5 veces la deformación de la columna 1. Se observa la misma tendencia en las columnas elásticas y viscoelásticas; los puntos de la parte superior de la capa permanecen todo el tiempo a compresión, los de la parte inferior a tensión, y la parte media sufre las menores deformaciones horizontales. En las filas se observa un comportamiento parecido a las columnas; las deformaciones en el caso viscoelástico son un orden de magnitud menores. Esto quiere decir que el módulo elástico ponderado podría haber sido mayor para producir un comportamiento más parecido al del caso viscoelástico. En la fila 1 y la fila 3 de ambos casos, todos los puntos se deforman a compresión y tensión respectivamente, en mayor medida si están más cerca del centro de la llanta. Pero en la fila 2, que va a lo largo de la mitad de la capa bajo una de las llantas, existe una diferencia. En el caso elástico, se presenta poca deformación en el extremo izquierdo, luego una zona a tensión, y finalmente una zona a compresión con dos máximos, uno bajo el centro de la llanta y otro en el extremo derecho. En el modelo básico viscoelástico, por el contrario, todos los puntos están a compresión, con un máximo bajo el centro de la llanta y un mínimo al extremo izquierdo. Se presentan los perfiles de deformación a 10 segundos para este caso (los otros casos son similares), de la Figura 69 a la Figura 80.


46

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

-1.00E-04 -5.00E-05 0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04ε t

n el

emen

to

Figura 69. Caso base Elástico 1, columna 1. Perfil

def. a 10 seg.

15

16

17

18

19

20

21

22

23

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26

27

28

-4.00E-04 -2.00E-04 0.00E+00 2.00E-04 4.00E-04ε t

n el

emen

to


def. a 10 seg.

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.50E-04 -1.00E-04 -5.00E-05 0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04ε t

n el

emen

to


def. a 10 seg.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

-2.00E-05 -1.00E-05 0.00E+00 1.00E-05 2.00E-05ε t

n el

emen

to


Perfil def. a 10 seg.

15

16

17

18

19

20

21

22

23

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25

26

27

28

-1.00E-04 -5.00E-05 0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04ε t

n el

emen

to



29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 -5.00E-05 0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04ε t

n el

emen

to




47

-2.5E-4

-2.0E-4

-1.5E-4

-1.0E-4

-5.0E-5

0.0E+0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t

Figura 75. Caso base Elástico 1, fila 1. Perfil def. a

10 seg.

-2.0E-5

-1.5E-5

-1.0E-5

-5.0E-6

0.0E+0

5.0E-6

1.0E-5

1.5E-5

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t


10 seg.

0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t


10 seg.

-7.0E-5

-6.0E-5

-5.0E-5

-4.0E-5

-3.0E-5

-2.0E-5

-1.0E-5

0.0E+0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t

Figura 78. Caso base Viscoelástico 1, fila 1. Perfil

def. a 10 seg.

-8.0E-6

-7.0E-6

-6.0E-6

-5.0E-6

-4.0E-6

-3.0E-6

-2.0E-6

-1.0E-6

0.0E+0

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t


def. a 10 seg.

0.0E+0

1.0E-5

2.0E-5

3.0E-5

4.0E-5

5.0E-5

6.0E-5

7.0E-5

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t


def. a 10 seg.


48

Caso base elástico – viscoelástico 2 (tráfico bajo, 20°C) En las columnas y las filas se observa la misma relación que en el caso anterior, es decir, todos los puntos de las columnas de ambos casos se deforman a tensión en la parte inferior y a compresión en la superior. Ambas filas 1 están a compresión, ambas filas 3 están a tensión, la fila 2 elástica tiene una zona a tensión a su izquierda, y la fila 2 viscoelástica está toda a compresión. Las deformaciones a los 10 segundos de las columnas 1 y 2 viscoelásticas están entre el 25 y 30% de las deformaciones de las columnas 1 y 2 elásticas. El aumento en la temperatura aumentó las deformaciones elásticas en un 25%, y las viscoelásticas aumentaron cerca de 1.6 veces. Se observa que los cambios en la temperatura afectan más fuertemente a los modelos viscoelásticos que a los elásticos. Caso base elástico – viscoelástico 3 (tráfico medio, 10°C) La tendencia general es la misma descrita en los casos anteriores. En comparación con el caso elástico – viscoelástico 1, este caso tiene la misma temperatura pero un tráfico mayor, lo que se vio reflejado en un módulo equivalente de subrasante más alto. Por lo tanto las deformaciones elásticas fueron menores en general, aproximadamente en un 37%. Las columnas 1 y 2 presentan la tendencia usual, es decir, el punto que está más arriba (elementos 1 y 15) tiene la mayor deformación a compresión elástica y ésta disminuye a medida que el elemento está localizado más abajo. Sin embargo, en la columna 3 se observa una pequeña discontinuidad en esta tendencia, en la zona ubicada a tres cuartos de altura de la capa. Esta discontinuidad puede deberse a la presencia de la otra llanta, 10 cm a la derecha. Con respecto al caso 1, los casos viscoelásticos disminuyeron su deformación aproximadamente en un 20%, manteniendo las mismas tendencias. Las deformaciones a los 10 segundos de la fila 2 viscoelástica son comparables a las de la fila 2 elástica. Caso base elástico – viscoelástico 4 (tráfico medio, 20°C) En comparación con el caso 2, este caso tiene la misma temperatura pero un tráfico mayor (módulo de base equivalente mayor). Aparte de las tendencias usuales, se encuentra que la columna 3 elástica está toda a compresión (Figura 81), lo que no había sucedido en los casos anteriores. Nuevamente esto puede deberse a la presencia de la llanta derecha, además de que el módulo equivalente es muy bajo (la temperatura es la más alta), por lo que la zona de influencia de la llanta derecha se extiende a la llanta izquierda y la carga es más parecida a una carga puntual aplicada en el centro que dos cargas separadas aplicadas a distancias iguales del centro.


49

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-2.5E-05 -2.0E-05 -1.5E-05 -1.0E-05 -5.0E-06 0.0E+00ε t

n el

emen

to

Figura 81. Caso base elástico 4, columna 3. Perfil de deformación a 10 seg.

Análisis de un caso específico – comparación elástico, viscoelástico, aleatorio Como caso específico se escogió el caso Aleatorio 3 (tráfico bajo, 20°C, COV 10%, Lx 100cm, Ly 4cm). Los casos base correspondientes para comparación son los casos Elástico y Viscoelástico 2 (tráfico bajo, 20°C). Se muestran a continuación las deformaciones en columnas y filas durante los 10 segundos de carga (Figura 82 a Figura 87). Posteriormente una ampliación de los primeros 0.12 segundos de carga, junto con los perfiles de deformación hasta 0.12 y 10 segundos del caso base, y los perfiles de deformación del caso específico (Figura 88 a Figura 117). Finalmente se muestran las medias y desviaciones de cada punto a 0.1 y a 10 segundos (Tabla 11 a Tabla 16). En los perfiles de deformación, cada línea de color representa una realización. En general, las deformaciones presentadas en el modelo viscoelástico aleatorio son mucho mayores que las presentadas por el modelo viscoelástico homogéneo. Las realizaciones aleatorias mostraron ser consistentes, es decir que un mismo elemento muestra deformaciones similares en todas las realizaciones.


50

-5.0E-04

0.0E+00

5.0E-04

1.0E-03

1.5E-03

2.0E-03

2.5E-03

3.0E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Figura 82. Caso específico, columna 1. Deformación hasta 10 segundos.

-5.0E-04

0.0E+00

5.0E-04

1.0E-03

1.5E-03

2.0E-03

2.5E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


-5.0E-04

0.0E+00

5.0E-04

1.0E-03

1.5E-03

2.0E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42



51

-5.0E-04

0.0E+00

5.0E-04

1.0E-03

1.5E-03

2.0E-03

2.5E-03

3.0E-03

3.5E-03

4.0E-03

4.5E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920

Figura 85. Caso específico, fila 1. Deformación hasta 10 segundos.

0.0E+00

5.0E-04

1.0E-03

1.5E-03

2.0E-03

2.5E-03

3.0E-03

3.5E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


0.0E+00

2.0E-04

4.0E-04

6.0E-04

8.0E-04

1.0E-03

1.2E-03

1.4E-03

1.6E-03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960



52

-1.0E-04

-5.0E-05

0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

1.5E-04

2.0E-04

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Tiempo (s)

ε t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Figura 88. Caso específico, columna 1. Deformación hasta 0.12 segundos.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

-6.0E-6 -4.0E-6 -2.0E-6 0.0E+0 2.0E-6 4.0E-6ε t

n el

emen

to


Perfil de deformación a 0.1 segundos.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

-3.00E-05

-2.00E-05

-1.00E-05

0.00E+00

1.00E-05

2.00E-05

3.00E-05

ε t

n el

emen

to


Perfil de deformación a 10 segundos.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04ε t

n el

emen

to

Figura 91. Caso específico, columna 1. Perfil de

deformación a 0.1 segundos.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+0 5.00E-4 1.00E-3 1.50E-3 2.00E-3 2.50E-3 3.00E-3ε t

n el

emen

to


deformación a 10 segundos.


53

-5.0E-04

-4.0E-04

-3.0E-04

-2.0E-04

-1.0E-04

0.0E+00

1.0E-04

2.0E-04

3.0E-04

4.0E-04

5.0E-04

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Tiempo (s)

ε t

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28


15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-3.0E-5 -2.0E-5 -1.0E-5 0.0E+0 1.0E-5 2.0E-5 3.0E-5ε t

n el

emen

to



15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-1.50E-04

-1.00E-04

-5.00E-05

0.00E+00

5.00E-05

1.00E-04

1.50E-04

ε t

n el

emen

to



15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-4 -2.00E-4 0.00E+0 2.00E-4 4.00E-4 6.00E-4ε t

n el

emen

to



15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

0.00E+00 5.00E-04 1.00E-03 1.50E-03 2.00E-03 2.50E-03ε t

n el

emen

to




54

-1.0E-04

-5.0E-05

0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

1.5E-04

2.0E-04

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Tiempo (s)

ε t

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-3.00E-05

-2.00E-05

-1.00E-05

0.00E+00

1.00E-05

2.00E-05

3.00E-05

ε t

n el

emen

to



29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.50E-04 -1.00E-04 -5.00E-05 0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04ε t

n el

emen

to



29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to



29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-5.00E-4 0.00E+0 5.00E-4 1.00E-3 1.50E-3 2.00E-3ε t

n el

emen

to




55

-5.0E-04

-4.0E-04

-3.0E-04

-2.0E-04

-1.0E-04

0.0E+00

1.0E-04

2.0E-04

3.0E-04

4.0E-04

5.0E-04

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Tiempo (s)

ε t

1234567891011121314151617181920

Figura 103. Caso específico, fila 1. Deformación hasta 0.12 segundos.

-2.5E-5

-2.0E-5

-1.5E-5

-1.0E-5

-5.0E-6

0.0E+0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t


de deformación a 0.1 segundos.

-1.2E-4

-1.0E-4

-8.0E-5

-6.0E-5

-4.0E-5

-2.0E-5

0.0E+0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t


de deformación a 10 segundos.

-3.0E-4

-2.0E-4

-1.0E-4

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t

Figura 106. Caso específico, fila 1. Perfil de


0.0E+0

5.0E-4

1.0E-3

1.5E-3

2.0E-3

2.5E-3

3.0E-3

3.5E-3

4.0E-3

4.5E-3

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t




56

0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

1.5E-04

2.0E-04

2.5E-04

3.0E-04

3.5E-04

4.0E-04

4.5E-04

5.0E-04

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Tiempo (s)

ε t

2122232425262728293031323334353637383940


-2.5E-6

-2.0E-6

-1.5E-6

-1.0E-6

-5.0E-7

0.0E+0

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t



-1.4E-5

-1.2E-5

-1.0E-5

-8.0E-6

-6.0E-6

-4.0E-6

-2.0E-6

0.0E+0

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t



0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t



0.0E+0

5.0E-4

1.0E-3

1.5E-3

2.0E-3

2.5E-3

3.0E-3

3.5E-3

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t




57

0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

1.5E-04

2.0E-04

2.5E-04

3.0E-04

3.5E-04

4.0E-04

4.5E-04

5.0E-04

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Tiempo (s)

ε t

4142434445464748495051525354555657585960


0.0E+0

5.0E-6

1.0E-5

1.5E-5

2.0E-5

2.5E-5

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t



0.0E+0

1.0E-5

2.0E-5

3.0E-5

4.0E-5

5.0E-5

6.0E-5

7.0E-5

8.0E-5

9.0E-5

1.0E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t



0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

6.0E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t



0.0E+0

2.0E-4

4.0E-4

6.0E-4

8.0E-4

1.0E-3

1.2E-3

1.4E-3

1.6E-3

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t




58

Tabla 11. Caso específico. Media y desviación de las 10 realizaciones estocásticas en cada punto en tiempo ~0.1 y 10 seg. Columna 1.

Tiempo 0.09 Tiempo 10

Punto Media εt Desv. εt COV (%) Punto Media εt Desv. εt COV (%)

1 1.68E-04 1.67E-05 9.96 1 2.37E-03 1.48E-04 6.25 2 1.62E-04 1.99E-05 12.25 2 2.21E-03 1.73E-04 7.81 3 5.85E-05 8.75E-06 14.94 3 1.23E-03 8.60E-05 6.98 4 6.89E-05 7.97E-06 11.56 4 1.08E-03 7.03E-05 6.48 5 4.81E-05 6.23E-06 12.94 5 8.39E-04 5.84E-05 6.96 6 6.07E-05 5.28E-06 8.70 6 7.51E-04 4.86E-05 6.47 7 5.86E-05 3.78E-06 6.45 7 6.45E-04 3.60E-05 5.57 8 7.10E-05 3.84E-06 5.40 8 5.81E-04 2.86E-05 4.92 9 7.46E-05 3.51E-06 4.71 9 5.11E-04 2.52E-05 4.93

10 8.70E-05 3.31E-06 3.81 10 4.55E-04 2.35E-05 5.17 11 9.23E-05 2.38E-06 2.58 11 3.94E-04 1.72E-05 4.36 12 1.06E-04 1.48E-06 1.40 12 3.38E-04 1.06E-05 3.12 13 1.10E-04 1.41E-06 1.29 13 2.59E-04 1.03E-05 3.99 14 1.25E-04 1.01E-06 0.81 14 1.90E-04 5.22E-06 2.75

Tabla 12. Caso específico. Media y desviación de las 10 realizaciones estocásticas en cada punto en tiempo ~0.1 y 10 seg. Columna 2



15 -2.57E-04 1.32E-05 -5.16 15 2.16E-03 1.48E-04 6.84 16 -1.75E-04 1.32E-05 -7.53 16 2.18E-03 1.41E-04 6.48 17 -9.64E-05 1.30E-05 -13.53 17 2.20E-03 1.35E-04 6.12 18 -2.15E-05 1.30E-05 -60.27 18 2.22E-03 1.28E-04 5.77 19 5.00E-05 1.31E-05 26.22 19 2.22E-03 1.20E-04 5.42 20 1.18E-04 1.31E-05 11.15 20 2.21E-03 1.12E-04 5.10 21 1.82E-04 1.29E-05 7.06 21 2.17E-03 1.03E-04 4.76 22 2.43E-04 1.23E-05 5.04 22 2.09E-03 9.17E-05 4.38 23 3.00E-04 1.16E-05 3.86 23 1.99E-03 7.90E-05 3.98 24 3.54E-04 1.10E-05 3.09 24 1.84E-03 6.74E-05 3.67 25 4.04E-04 1.01E-05 2.51 25 1.65E-03 5.77E-05 3.50 26 4.52E-04 9.07E-06 2.01 26 1.41E-03 4.64E-05 3.29 27 4.98E-04 7.24E-06 1.45 27 1.14E-03 2.91E-05 2.56 28 5.41E-04 4.91E-06 0.91 28 8.18E-04 1.08E-05 1.32


59

Tabla 13. Caso específico. Media y desviación de las 10 realizaciones estocásticas en cada punto en tiempo ~0.1 y 10 seg. Columna 3



29 1.89E-04 2.03E-05 10.75 29 1.29E-03 1.63E-04 12.62 30 1.61E-04 1.73E-05 10.77 30 1.15E-03 1.30E-04 11.27 31 3.65E-05 7.15E-06 19.59 31 1.92E-04 5.41E-05 28.20 32 2.58E-05 5.55E-06 21.51 32 5.14E-05 3.41E-05 66.26 33 -1.26E-05 1.70E-06 -13.41 33 -1.73E-04 1.64E-05 -9.49 34 -1.69E-05 2.52E-06 -14.96 34 -2.36E-04 2.45E-05 -10.38 35 -3.49E-05 3.16E-06 -9.06 35 -3.12E-04 3.03E-05 -9.69 36 -3.68E-05 3.04E-06 -8.26 36 -3.33E-04 2.95E-05 -8.87 37 -4.60E-05 3.04E-06 -6.62 37 -3.44E-04 2.55E-05 -7.42 38 -4.39E-05 3.29E-06 -7.48 38 -3.19E-04 2.14E-05 -6.70 39 -4.90E-05 3.60E-06 -7.34 39 -2.88E-04 2.03E-05 -7.04 40 -4.39E-05 3.09E-06 -7.03 40 -2.30E-04 1.57E-05 -6.83 41 -4.73E-05 2.46E-06 -5.20 41 -1.70E-04 1.06E-05 -6.26 42 -3.76E-05 1.88E-06 -5.01 42 -8.54E-05 4.61E-06 -5.40

Tabla 14. Caso específico. Media y desviación de las 10 realizaciones estocásticas en cada punto en tiempo ~0.1 y 10 seg. Fila 1.



1 1.62E-04 1.99E-05 12.25 1 2.21E-03 1.73E-04 7.81 2 2.14E-04 2.81E-05 13.10 2 3.43E-03 2.73E-04 7.96 3 8.15E-05 2.05E-05 25.17 3 2.76E-03 2.09E-04 7.57 4 -3.76E-06 1.71E-05 -454.31 4 2.49E-03 1.84E-04 7.41 5 -6.21E-05 1.54E-05 -24.79 5 2.38E-03 1.72E-04 7.24 6 -1.04E-04 1.45E-05 -13.97 6 2.33E-03 1.64E-04 7.06 7 -1.34E-04 1.40E-05 -10.49 7 2.30E-03 1.59E-04 6.90 8 -1.54E-04 1.37E-05 -8.92 8 2.27E-03 1.54E-04 6.76 9 -1.67E-04 1.35E-05 -8.09 9 2.24E-03 1.48E-04 6.61

10 -1.74E-04 1.33E-05 -7.65 10 2.20E-03 1.43E-04 6.51 11 -1.74E-04 1.30E-05 -7.46 11 2.15E-03 1.39E-04 6.47 12 -1.69E-04 1.27E-05 -7.50 12 2.10E-03 1.37E-04 6.50 13 -1.57E-04 1.23E-05 -7.82 13 2.04E-03 1.34E-04 6.61 14 -1.39E-04 1.20E-05 -8.63 14 1.96E-03 1.33E-04 6.81 15 -1.13E-04 1.20E-05 -10.58 15 1.88E-03 1.35E-04 7.17 16 -7.83E-05 1.24E-05 -15.79 16 1.80E-03 1.38E-04 7.67 17 -3.11E-05 1.35E-05 -43.58 17 1.75E-03 1.45E-04 8.27 18 3.45E-05 1.61E-05 46.54 18 1.78E-03 1.60E-04 9.00 19 1.35E-04 2.13E-05 15.75 19 2.04E-03 1.96E-04 9.61 20 3.36E-04 3.38E-05 10.07 20 3.01E-03 2.83E-04 9.38


60




21 5.86E-05 3.78E-06 6.45 21 6.45E-04 3.60E-05 5.57 22 1.95E-04 1.29E-05 6.61 22 2.01E-03 1.24E-04 6.16 23 2.65E-04 1.77E-05 6.69 23 2.76E-03 1.69E-04 6.12 24 2.77E-04 1.87E-05 6.76 24 2.97E-03 1.77E-04 5.95 25 2.62E-04 1.80E-05 6.86 25 2.91E-03 1.67E-04 5.73 26 2.41E-04 1.68E-05 6.99 26 2.75E-03 1.52E-04 5.52 27 2.22E-04 1.58E-05 7.13 27 2.57E-03 1.37E-04 5.34 28 2.06E-04 1.49E-05 7.25 28 2.41E-03 1.25E-04 5.19 29 1.94E-04 1.40E-05 7.23 29 2.29E-03 1.14E-04 5.00 30 1.85E-04 1.32E-05 7.12 30 2.20E-03 1.06E-04 4.83 31 1.80E-04 1.26E-05 6.98 31 2.15E-03 1.01E-04 4.70 32 1.79E-04 1.21E-05 6.78 32 2.14E-03 9.89E-05 4.63 33 1.81E-04 1.18E-05 6.52 33 2.17E-03 9.97E-05 4.60 34 1.86E-04 1.15E-05 6.19 34 2.23E-03 1.03E-04 4.62 35 1.95E-04 1.14E-05 5.86 35 2.32E-03 1.09E-04 4.71 36 2.07E-04 1.17E-05 5.66 36 2.40E-03 1.16E-04 4.84 37 2.16E-04 1.19E-05 5.51 37 2.43E-03 1.21E-04 5.01 38 2.10E-04 1.15E-05 5.46 38 2.28E-03 1.18E-04 5.19 39 1.64E-04 9.03E-06 5.52 39 1.71E-03 9.21E-05 5.38 40 5.04E-05 3.67E-06 7.27 40 5.09E-04 3.59E-05 7.07




41 1.10E-04 1.41E-06 1.29 41 2.59E-04 1.03E-05 3.99 42 2.19E-04 3.67E-06 1.68 42 7.28E-04 2.53E-05 3.47 43 3.13E-04 5.92E-06 1.89 43 1.09E-03 3.88E-05 3.56 44 3.87E-04 7.47E-06 1.93 44 1.31E-03 4.62E-05 3.53 45 4.39E-04 8.30E-06 1.89 45 1.39E-03 4.78E-05 3.42 46 4.73E-04 8.65E-06 1.83 46 1.39E-03 4.55E-05 3.28 47 4.93E-04 8.77E-06 1.78 47 1.33E-03 4.13E-05 3.10 48 5.02E-04 8.79E-06 1.75 48 1.26E-03 3.75E-05 2.97 49 5.04E-04 8.19E-06 1.62 49 1.20E-03 3.37E-05 2.82 50 5.01E-04 7.52E-06 1.50 50 1.15E-03 3.04E-05 2.64 51 4.94E-04 7.01E-06 1.42 51 1.13E-03 2.81E-05 2.49 52 4.82E-04 6.65E-06 1.38 52 1.13E-03 2.71E-05 2.40 53 4.66E-04 6.42E-06 1.38 53 1.15E-03 2.74E-05 2.38 54 4.44E-04 6.27E-06 1.41 54 1.19E-03 2.88E-05 2.42 55 4.14E-04 6.21E-06 1.50 55 1.22E-03 3.12E-05 2.55 56 3.72E-04 5.97E-06 1.61 56 1.22E-03 3.39E-05 2.78 57 3.14E-04 5.56E-06 1.77 57 1.14E-03 3.52E-05 3.07 58 2.36E-04 4.63E-06 1.96 58 9.50E-04 3.21E-05 3.38 59 1.37E-04 3.16E-06 2.31 59 6.04E-04 2.35E-05 3.88 60 2.04E-05 1.98E-06 9.70 60 1.17E-04 1.18E-05 10.09


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De las figuras de deformación hasta 10 segundos se observa que todos los puntos de las columnas 1 y 2 y las tres filas terminaron sometidos a tensión, en todas las realizaciones. Columna 1 En la Figura 82 se observa que al final de la simulación, los puntos 1 y 2 se encuentran sometidos a más del doble de la deformación de los otros puntos. En la Figura 88 se muestra una ampliación de los primeros 0.12 segundos de carga, en los cuales se observa que en la primera iteración que realiza el programa (0.01 segundos, el primer paso) sí existe una zona a compresión, conformada por los puntos 1, 2, 3 y 4. Posteriormente se observa que son estos mismos puntos (los que comienzan a compresión, localizados en la parte superior de la capa) los que más rápido desarrollan tensión, y en menos de 0.04 segundos ya toda la columna 1 está a tensión y en aumento. En comparación con la Figura 36, que muestra el comportamiento viscoelástico homogéneo a lo largo de los 10 segundos, se observa que inicialmente los puntos de la parte inferior de la capa siguen la tendencia viscoelástica (aunque con deformaciones mayores), es decir, tienden a distribuirse por mitades y proporcionalmente entre la zona de tensión y compresión. La Figura 91 y la Figura 92 muestran la variación del perfil de deformaciones entre 0.1 y 10 segundos. Como se observa, el perfil a 0.1 segundos ya es diferente del perfil de caso base viscoelástico (Figura 89) pues los puntos de la parte superior de la capa ya están a tensión. Aún así se observa que los puntos inferiores se acercan a la tendencia viscoelástica homogénea. Los puntos inferiores, aunque también aumentan su deformación, lo hacen de forma mucho más amortiguada que los superiores. El punto inferior, por ejemplo (punto 14), aumenta al doble de su deformación entre 0.1 y 10 segundos, mientras que el superior aumenta en promedio 13 veces. El punto inferior presenta la menor dispersión entre realizaciones, es decir que en general una realización aleatoria produce valores muy similares de deformación en cada momento para este punto. En general, los diez puntos inferiores de esta columna poseen bajas dispersiones, como se muestra en la Tabla 11. Un factor que diferencia a los puntos de la parte superior de la capa de rodadura es que poseen los módulos más bajos por tener los mayores porcentajes de vacíos. Así que esto podría explicar, en este y en todos los casos, por qué los puntos superiores tienden tan rápidamente a la tensión. El comportamiento aleatorio se considera estable; según la Tabla 11 el mayor COV de las deformaciones es de 14.9% y lo tiene el punto 3 a 0.1 segundos (este punto está ubicado cerca a la parte superior de la capa). Columna 2 Esta columna presenta el comportamiento más similar al predicho por el modelo viscoelástico, entre las tres columnas (ver Figura 37). En la Figura 93 e incluso en la Figura 83 es claro que existe una zona a compresión además de la zona a tensión. Aunque nuevamente todos sus puntos terminan en tensión, esto sucede aproximadamente a 0.5 segundos, es decir 12 veces más tarde que en la columna 1. La Figura 96 muestra un perfil


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de deformación a 0.1 segundos muy similar en su forma al viscoelástico (Figura 94) aunque con deformaciones que llegan a ser un orden de magnitud mayores. A los 10 segundos (Figura 97) se observa de nuevo que los puntos inferiores han aumentado relativamente poco su deformación (1.5 veces) mientras que los superiores pasaron de compresión a tensión y aumentaron a más de 12 veces su valor absoluto inicial, y siguen creciendo. Esta tendencia creciente también alcanza a los puntos de la parte media de la capa. Al igual que en el caso anterior, los puntos de la parte inferior de la capa tienen una deformación más controlada que los superiores. Según la Tabla 12 la deformación horizontal en el punto 18 de esta columna presenta un COV de 60% en 0.1 segundos. Aún así se observa un perfil de deformaciones estable. Este valor de COV se debe a que la media en este punto es muy cercana a cero (-0.0000215). Columna 3 Esta columna es la única que contiene puntos a compresión al finalizar los 10 segundos de carga. Si se comparan los perfiles a 0.1 y 10 segundos (Figura 101 y Figura 102) con los perfiles viscoelásticos (Figura 99 y Figura 100) se observa que son completamente diferentes. También se diferencian del perfil elástico, que tiene la misma forma que se muestra en la Figura 71. Esta diferencia tan drástica podría explicarse porque los elementos de la parte superior tienen un módulo muy bajo, de forma que por cortante se está ‘expulsando’ material de la parte superior hacia los lados, lo que crea tensión horizontal.

Por otra parte, los puntos ubicados desde tres cuartos de la altura de la capa hacia abajo están en compresión., probablemente porque hacia ellos se está desplazando el material que se ‘expulsa’ desde los lados, como podría sugerir el hecho de que los puntos inferiores de

las columnas 1 y 2 estaban todos a tensión, como se vio anteriormente. En cuanto a la estabilidad, la Tabla 13 muestra un valor de COV de 66% en la deformación unitaria horizontal en el punto 32 a los 10 segundos. La razón es la misma que en la columna anterior; la media en este momento es cercana a cero (0.0000514). En general, los COV de las deformaciones horizontales no sobrepasan el 28% para esta columna, lo que se considera aceptable (Tabla 13). Fila 1 Como se verá, las tres filas presentan un comportamiento más parecido al predicho por el modelo viscoelástico. En se observa de nuevo en la Figura 85, la Figura 86 y la Figura 87 que luego de 10 segundos todos los puntos están sometidos a tensión. En el caso de estas filas, que están ubicadas bajo la una de las llantas, esto se puede interpretar como tendencia al ahuellamiento (deformaciones permanentes). Los modelos elástico (Figura 39) viscoelástico (Figura 104 y Figura 105) indican que toda la fila 1 estará a compresión todo el tiempo. Aunque luego de 10 segundos esto no es así, la Figura 103 muestra que inicialmente son varios los puntos de esta fila que se encuentran a compresión (la parte central de la fila). La Figura 106 muestra que los elementos más cercanos al centro de la aplicación de carga están sometidos a compresión a 0.1 segundos, y


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aunque todos pasan progresivamente a tensión, la tendencia de mayor compresión cerca del centro se mantiene. En promedio se presenta un COV de las deformaciones unitarias horizontales entre realizaciones de 11.19%, descartando un valor muy grande debido a una media cercana a cero (punto 4, 0.1 segundos. Tabla 14). Fila 2 La fila 2 (Figura 86, Figura 108) está a tensión durante todo el tiempo de carga, a diferencia del modelo viscoelástico (Figura 43) que la sitúa toda a compresión. Aún así, el modelo elástico (Figura 40) presentaba algunos elementos en tensión y otros en compresión, de la forma que se muestra en la Figura 118 y que es similar a la observada en la Figura 111 y en la Figura 112. Esta fila presenta un COV muy bajo entre realizaciones, de 5.9% en promedio (Tabla 15).

-2.0E-5

-1.5E-5

-1.0E-5

-5.0E-6

0.0E+0

5.0E-6

1.0E-5

1.5E-5

2.0E-5

2.5E-5

3.0E-5

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t

Figura 118. Caso base Elástico 2, fila 2. Perfil de deformación.

Fila 3 Esta fila está a tensión durante todo el tiempo de carga, y el comportamiento coincide con el presentado por los casos base elástico y viscoelástico (Figura 41 y Figura 44). Esta es la fila ubicada en la parte inferior de la capa, es decir que aquí están ubicados los puntos que son representativos para el diseño elástico. Nuevamente las deformaciones del modelo aleatorio son mayores que las de los casos base, pero esta vez coinciden en su forma a 0.1 segundos. Se observa una diferencia en cuanto a la posición en la que aparece la máxima deformación según el modelo; en la Figura 119 se observa que en el caso elástico la máxima deformación aparece en la mitad, es decir bajo el centro de la llanta. En la Figura 114 se muestra que la máxima deformación para el modelo viscoelástico está aproximadamente a 4/5 del límite izquierdo de la carga. Además, como se muestra en la Figura 116, en el modelo aleatorio aparece la máxima deformación (a 0.1 segundos) sobre el elemento 48, es decir 1cm a la izquierda del centro. Al pasar 10 segundos, han aparecido dos máximos, de la forma que se muestra en la Figura 117. El promedio del COV entre realizaciones de esta fila (Tabla 16) es de 2.8%.


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0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t

Figura 119. Caso base Elástico 2, fila 3. Perfil de deformación.

Sensibilidad al COV del campo aleatorio de vacíos Uno de los parámetros de entrada que fue variado durante la construcción de los modelos fue la dispersión de las medias del campo de porcentaje de vacíos. Esta dispersión fue caracterizada mediante el COV de las medias, y para ver su efecto en las deformaciones de los modelos se plantearon los casos Aleatorios 1, 2, 3 y 4 (Tabla 7). Los casos Aleatorio 1 y 3 tienen COV 10%, y los casos Aleatorio 2 y 4 tienen COV 20%. Los casos 1 y 2 sólo se diferencian en su COV, al igual que los casos 3 y 4. Se realizó una prueba de todos los campos producidos para los casos, con el fin de comprobar los resultados. Estos datos se muestran en la Tabla 17.

Tabla 17. Revisión de COV de salida para todos los casos.

Caso Prom. medias (%) Desv. medias (%) COV medias (%) COV objetivo (%) i 7.3687 0.5821 7.8992 10 j 6.4773 0.9321 14.3899 20 k 6.8989 0.5025 7.2833 10 l 6.3411 1.1790 18.5923 20

m 6.9559 0.5856 8.4188 10 n 7.1888 0.7624 10.6055 10 o 6.7334 0.5354 7.9511 10 p 7.0895 0.6749 9.5191 10 q 6.9053 0.5394 7.8112 10 r 6.6362 0.8004 12.0611 10

A continuación se muestran (de la Figura 120 a la Figura 131) los perfiles de deformación obtenidos a 0.1 segundos para las columnas y filas de los casos Aleatorios 1 y 2. El Caso 2 tiene un COV más alto. Se muestran las figuras a la misma escala para facilitar su comparación.


65

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

-2.00E-05 0.00E+00 2.00E-05 4.00E-05 6.00E-05 8.00E-05 1.00E-04 1.20E-04 1.40E-04ε t

n el

emen

to

Figura 120. Caso Aleatorio 1, columna 1. Perfil de deformación a 0.1 segundos.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

-2.00E-05 0.00E+00 2.00E-05 4.00E-05 6.00E-05 8.00E-05 1.00E-04 1.20E-04 1.40E-04ε t

n el

emen

to


15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-04 -3.00E-04 -2.00E-04 -1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04 4.00E-04 5.00E-04 6.00E-04ε t

n el

emen

to



66

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-04 -3.00E-04 -2.00E-04 -1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04 4.00E-04 5.00E-04 6.00E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-4.00E-05 -2.00E-05 0.00E+00 2.00E-05 4.00E-05 6.00E-05 8.00E-05 1.00E-04 1.20E-04 1.40E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-4.00E-05 -2.00E-05 0.00E+00 2.00E-05 4.00E-05 6.00E-05 8.00E-05 1.00E-04 1.20E-04 1.40E-04ε t

n el

emen

to



67

-3.00E-04

-2.00E-04

-1.00E-04

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20n elemento

ε t

Figura 126. Caso Aleatorio 1, fila 1. Perfil de deformación a 0.1 segundos.

-3.00E-04

-2.00E-04

-1.00E-04

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20n elemento

ε t


0.00E+00

2.00E-05

4.00E-05

6.00E-05

8.00E-05

1.00E-04

1.20E-04

1.40E-04

1.60E-04

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40n elemento

ε t



68

0.00E+00

2.00E-05

4.00E-05

6.00E-05

8.00E-05

1.00E-04

1.20E-04

1.40E-04

1.60E-04

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40n elemento

ε t


0.00E+00

5.00E-05

1.00E-04

1.50E-04

2.00E-04

2.50E-04

3.00E-04

3.50E-04

4.00E-04

4.50E-04

5.00E-04

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60n elemento

ε t


0.00E+00

5.00E-05

1.00E-04

1.50E-04

2.00E-04

2.50E-04

3.00E-04

3.50E-04

4.00E-04

4.50E-04

5.00E-04

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60n elemento

ε t



69

Gráficamente es posible detectar, en la columna 1 (Figura 120 vs. Figura 121) y la columna 3 (Figura 124 vs. Figura 125) una mayor dispersión en el caso Aleatorio 2 (mayor COV). En la columna 2 (Figura 122 y Figura 123) esta dispersión no es tan notoria. También en las filas se detecta una dispersión mayor en el caso Aleatorio 2, pero no es tan visible como en algunas columnas. Para analizar cuantitativamente las diferencias de dispersión entre los dos casos se construyó una tabla para cada fila y columna, en la que se calculó la media de cada punto a 0.1 segundos, la desviación de cada punto a 0.1 segundos, y posteriormente se dividía la desviación entre la media para encontrar un COV (%) en cada punto. Un COV más alto significa que para el mismo punto en el mismo momento, un modelo produce valores más dispersos que para otro punto con un COV más bajo. También se tomaron en cuenta los COV mayores a 100% cuando gráficamente no se comprobaba una gran dispersión, pues fueron resultado de dividir entre medias muy cercanas a cero. Con esta información se construyó la Tabla 18 (caso Aleatorio 1) y la Tabla 19 (caso Aleatorio 2).

Tabla 18. COV de cada punto de filas y columnas a 0.1 segundos. Caso Aleatorio 1.

Columna 1 Columna 2 Columna 3 Fila 1 Fila 2 Fila 3

Elem. COV (%) Elem. COV (%) Elem. COV (%) Elem. COV (%) Elem. COV (%) Elem. COV (%)

1 18.55 15 1.70 29 7.50 1 16.66 21 12.12 41 2.51 2 16.66 16 2.54 30 7.59 2 19.28 22 7.90 42 2.65 3 157.29 17 4.22 31 21.68 3 38.41 23 8.18 43 2.75 4 29.86 18 8.04 32 29.21 4 8.09 24 9.38 44 2.77 5 44.99 19 21.02 33 20.15 5 4.44 25 11.19 45 2.77 6 14.24 20 127.16 34 17.84 6 3.30 26 13.25 46 2.75 7 12.12 21 19.47 35 13.20 7 2.94 27 15.28 47 2.74 8 8.08 22 11.08 36 18.33 8 2.88 28 16.98 48 2.77 9 6.68 23 7.44 37 14.26 9 2.72 29 18.42 49 2.65

10 5.19 24 5.35 38 14.15 10 2.60 30 19.28 50 2.54 11 3.95 25 4.06 39 12.80 11 2.48 31 19.49 51 2.46 12 2.90 26 3.17 40 16.65 12 2.33 32 19.05 52 2.40 13 2.51 27 2.50 41 16.51 13 2.14 33 17.98 53 2.37 14 1.86 28 1.88 42 23.48 14 1.94 34 16.40 54 2.37

15 1.88 35 14.39 55 2.38 Prom. 23.21 15.69 16.67 16 2.69 36 12.22 56 2.45

17 5.86 37 10.29 57 2.54 18 23.96 38 8.88 58 2.52 19 22.55 39 8.26 59 2.36 20 8.31 40 11.26 60 6.27 Prom. 8.77 13.51 2.75


70




1 70.56 15 3.66 29 31.74 1 43.78 21 12.41 41 4.33 2 43.78 16 5.06 30 30.15 2 53.60 22 5.86 42 4.22 3 170.01 17 7.70 31 135.59 3 30.04 23 6.19 43 4.25 4 54.51 18 13.46 32 184.73 4 7.58 24 7.21 44 4.16 5 55.24 19 36.13 33 40.72 5 4.65 25 8.73 45 4.00 6 16.60 20 65.72 34 34.59 6 4.62 26 10.57 46 3.81 7 12.41 21 17.69 35 20.51 7 5.04 27 12.58 47 3.65 8 10.33 22 10.26 36 23.59 8 5.53 28 14.46 48 3.55 9 10.91 23 7.40 37 20.48 9 5.32 29 16.09 49 3.45

10 9.08 24 5.99 38 25.23 10 5.15 30 17.28 50 3.49 11 7.08 25 5.08 39 25.08 11 4.95 31 17.98 51 3.63 12 5.18 26 4.34 40 43.76 12 4.70 32 18.21 52 3.85 13 4.33 27 3.55 41 44.22 13 4.38 33 17.94 53 4.14 14 3.14 28 2.70 42 74.39 14 4.01 34 17.13 54 4.50

15 3.69 35 15.79 55 4.87 Prom. 33.80 13.48 52.49 16 4.09 36 14.06 56 5.09

17 7.34 37 12.37 57 5.12 18 24.34 38 11.20 58 5.03 19 85.93 39 11.02 59 4.84 20 24.49 40 19.08 60 14.06 Prom. 16.66 13.31 4.70

Se realizó un análisis análogo para los casos Aleatorios 3 y 4, que también diferían en el COV, pero que tenían (ambos) una temperatura más alta, 20°C.


71

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to


15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-04 -3.00E-04 -2.00E-04 -1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04 4.00E-04 5.00E-04 6.00E-04ε t

n el

emen

to



72

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-04 -3.00E-04 -2.00E-04 -1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04 4.00E-04 5.00E-04 6.00E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 -5.00E-05 0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 -5.00E-05 0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to



73

-3.00E-04

-2.00E-04

-1.00E-04

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20n elemento

ε t


-3.00E-04

-2.00E-04

-1.00E-04

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20n elemento

ε t


0.00E+00

5.00E-05

1.00E-04

1.50E-04

2.00E-04

2.50E-04

3.00E-04

3.50E-04

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40n elemento

ε t



74

0.00E+00

5.00E-05

1.00E-04

1.50E-04

2.00E-04

2.50E-04

3.00E-04

3.50E-04

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40n elemento

ε t


0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60n elemento

ε t


0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60n elemento

ε t



75

Nuevamente las columnas 1 y 3 son visiblemente más dispersas en el caso Aleatorio 4 que en el Aleatorio 3 especialmente en su parte superior (Figura 132 vs. Figura 133, Figura 136 vs. Figura 137). También las filas muestran alguna dispersión (Figura 138 a Figura 143). Las tablas correspondientes se presentan a continuación. Son la Tabla 20 (caso Aleatorio 3) y la Tabla 21 (caso Aleatorio 4).




1 9.96 15 5.16 29 10.75 1 12.25 21 6.45 41 1.29 2 12.25 16 7.53 30 10.77 2 13.10 22 6.61 42 1.68 3 14.94 17 13.53 31 19.59 3 25.17 23 6.69 43 1.89 4 11.56 18 60.27 32 21.51 4 454.31 24 6.76 44 1.93 5 12.94 19 26.22 33 13.41 5 24.79 25 6.86 45 1.89 6 8.70 20 11.15 34 14.96 6 13.97 26 6.99 46 1.83 7 6.45 21 7.06 35 9.06 7 10.49 27 7.13 47 1.78 8 5.40 22 5.04 36 8.26 8 8.92 28 7.25 48 1.75 9 4.71 23 3.86 37 6.62 9 8.09 29 7.23 49 1.62

10 3.81 24 3.09 38 7.48 10 7.65 30 7.12 50 1.50 11 2.58 25 2.51 39 7.34 11 7.46 31 6.98 51 1.42 12 1.40 26 2.01 40 7.03 12 7.50 32 6.78 52 1.38 13 1.29 27 1.45 41 5.20 13 7.82 33 6.52 53 1.38 14 0.81 28 0.91 42 5.01 14 8.63 34 6.19 54 1.41

15 10.58 35 5.86 55 1.50 Prom. 6.91 10.70 10.50 16 15.79 36 5.66 56 1.61

17 43.58 37 5.51 57 1.77 18 46.54 38 5.46 58 1.96 19 15.75 39 5.52 59 2.31 20 10.07 40 7.27 60 9.70 Prom. 37.62 6.54 2.08


76




1 37.99 15 7.99 29 26.84 1 32.69 21 11.99 41 2.97 2 32.69 16 11.11 30 29.09 2 36.50 22 10.99 42 2.66 3 37.64 17 18.98 31 35.98 3 70.77 23 10.69 43 2.81 4 26.71 18 72.66 32 44.05 4 513.41 24 10.30 44 2.85 5 22.39 19 40.32 33 54.55 5 49.82 25 10.01 45 2.83 6 15.77 20 16.40 34 38.55 6 25.63 26 9.91 46 2.82 7 11.99 21 11.00 35 17.29 7 17.57 27 10.03 47 2.86 8 8.47 22 8.73 36 14.99 8 13.83 28 10.31 48 2.96 9 7.34 23 7.40 37 12.98 9 12.12 29 10.63 49 2.88

10 6.02 24 6.27 38 13.30 10 11.29 30 10.89 50 2.87 11 4.99 25 5.18 39 12.14 11 11.08 31 11.08 51 2.92 12 3.15 26 4.02 40 11.64 12 11.45 32 11.19 52 3.00 13 2.97 27 2.89 41 10.64 13 12.54 33 11.20 53 3.11 14 1.84 28 1.82 42 11.83 14 14.88 34 11.17 54 3.25

15 19.78 35 11.06 55 3.43 Prom. 15.71 15.34 23.85 16 32.46 36 10.76 56 3.70

17 95.69 37 10.66 57 4.10 18 117.67 38 10.96 58 4.66 19 40.35 39 11.86 59 5.67 20 28.24 40 18.02 60 18.14

A partir de las tablas anteriores se construyó la Tabla 22, que contiene un resumen y promedia los COVs de las columnas y filas de los casos. No se incluyeron los valores extremos en los cálculos.

Tabla 22. Resumen de COVs, filas y columnas. Casos aleatorios 1, 2, 3 y 4.

Promedio COV (%)

Caso Columna 1 Columna 2 Columna 3 Fila 1 Fila 2 Fila 3

Aleatorio 1 12.89 15.69 16.67 8.77 13.51 2.75 Aleatorio 2 23.32 13.48 34.54 16.66 13.31 4.70 Aumento 1.81 0.86 2.07 1.90 0.99 1.71

Aleatorio 3 6.91 10.70 10.50 37.62 6.54 2.08 Aleatorio 4 15.71 15.34 23.85 58.39 11.19 4.02 Aumento 2.27 1.43 2.27 1.55 1.71 1.94

En general, la columna 2 presenta la menor dispersión entre las columnas. Se observa que, aunque los casos Aleatorios 2 y 4 son más dispersos que los casos Aleatorio 1 y 3, el promedio de los aumentos entre el 3 y el 4 es de 1.86, mientras que el mismo promedio entre 1 y 2 es 1.56. Esto se había notado gráficamente, ya que en algunas columnas o filas existe una dispersión bastante similar en los casos 1 y 2, como por ejemplo en la Columna 2. La diferencia entre los casos Aleatorios 1 y 2, y los casos 3 y 4, es que los casos 3 y 4


77

tienen una temperatura mayor. Esto indicaría que a mayores temperaturas se producen dispersiones mayores.

Sensibilidad a las longitudes de correlación Se variaron las longitudes de correlación horizontal y vertical al momento de construir los campos aleatorios de vacíos de los que se calcularon los campos de módulos. Los casos de análisis que se plantearon fueron los casos Aleatorios 5, 6, 7 y 8, 9, 10. Se muestran a continuación los perfiles de deformación a 0.1 segundos de cada caso (143 a 160 las columnas, 161 a 178 las filas). Cada una de las líneas de diferente color representa una realización. Las Figuras se presentan a escala para facilitar su comparación. Todos los casos tienen la misma temperatura (20°C), el mismo COV (10%) y su estructura es la de tráfico equivalente medio. Al analizar gráficamente la columna 1 (Figura 144 a Figura 149) es difícil encontrar grandes diferencias entre los perfiles de deformación. Al parecer existe una mayor dispersión en los valores de la parte superior del caso con menor longitud de correlación vertical. El comportamiento de los puntos inferiores es muy consistente, y la mayor dispersión en esta zona se presenta en el caso con mayor longitud de correlación vertical y horizontal (caso 10, Figura 149). La segunda columna (Figura 150 a Figura 155) no muestra mayores diferencias cualitativamente. En la tercera columna (Figura 156 a Figura 161) se observa que para Ly igual a 2 centímetros, la deformación en los puntos de la parte superior de la capa es mayor para Lx igual a 100cm que para Lx igual a 50cm, pero en los otros casos la tendencia no varía. No se observan otros cambios importantes. En la fila 1 (Figura 162 a Figura 167) se observa una gran dispersión cuando las longitudes de correlación son las mayores (caso Aleatorio 10, Lx igual a 100cm, Ly igual a 8cm) y la mínima dispersión ocurre con el mismo valor de Ly pero con Lx igual a 50cm. La fila 2 (Figura 168 a Figura 173) muestra una disminución en la dispersión a medida que Ly aumenta con Lx constante igual a 50cm, pero esta tendencia no se observa con Lx igual a 100cm. Observando la fila 3 (Figura 174 a Figura 179) se confirma que los resultados obtenidos son muy homogéneos y no parecen afectarse demasiado por el cambio de las longitudes de correlación. Calculando de nuevo el COV de la deformación en cada punto a 0.1 segundos se tienen valores numéricos para comparar la dispersión de cada caso. De la Figura 180 a la Figura 185 se muestra el COV de cada punto para columnas y filas a 0.1 segundos.


78

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04ε t

n el

emen

to

Figura 144. Caso Aleatorio 5, columna 1. Perfil de deformación a 0.1 segundos. Lx=50 cm. Ly=2cm.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04ε t

n el

emen

to


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04ε t

n el

emen

to


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04ε t

n el

emen

to


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04ε t

n el

emen

to


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04ε t

n el

emen

to



79

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-4 -2.00E-4 0.00E+0 2.00E-4 4.00E-4 6.00E-4ε t

n el

emen

to


15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-4 -2.00E-4 0.00E+0 2.00E-4 4.00E-4 6.00E-4ε t

n el

emen

to


15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-4 -2.00E-4 0.00E+0 2.00E-4 4.00E-4 6.00E-4ε t

n el

emen

to


15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-4 -2.00E-4 0.00E+0 2.00E-4 4.00E-4 6.00E-4ε t

n el

emen

to


15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-4 -2.00E-4 0.00E+0 2.00E-4 4.00E-4 6.00E-4ε t

n el

emen

to


15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-4.00E-4 -2.00E-4 0.00E+0 2.00E-4 4.00E-4 6.00E-4ε t

n el

emen

to



80

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to


29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

-1.00E-04 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04ε t

n el

emen

to



81

-3.0E-4

-2.0E-4

-1.0E-4

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t

Figura 162. Caso Aleatorio 5, fila 1. Perfil de

deformación a 0.1 segundos. Lx=50 cm. Ly=2cm.

-3.0E-4

-2.0E-4

-1.0E-4

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t



-3.0E-4

-2.0E-4

-1.0E-4

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t



-3.0E-4

-2.0E-4

-1.0E-4

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t



-3.0E-4

-2.0E-4

-1.0E-4

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t



-3.0E-4

-2.0E-4

-1.0E-4

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19n elemento

ε t




82

0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t



0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t



0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t



0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t



0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t



0.0E+0

5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39n elemento

ε t




83

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

6.0E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t



0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

6.0E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t



0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

6.0E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t



0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

6.0E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t



0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

6.0E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t



0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

6.0E-4

41 43 45 47 49 51 53 55 57 59n elemento

ε t




84

123456789

1011121314

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

COV (%)n

elem

ento

Aleatorio 5

Aleatorio 6

Aleatorio 7

Aleatorio 8

Aleatorio 9

Aleatorio 10

Figura 180. Casos Aleatorios 5 – 10. COV en cada punto. Columna 1.

1516171819202122232425262728

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

COV (%)

n el

emen

to Aleatorio 5

Aleatorio 6

Aleatorio 7Aleatorio 8

Aleatorio 9

Aleatorio 10


2930313233343536373839404142

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

COV (%)

n el

emen

to

Aleatorio 5

Aleatorio 6

Aleatorio 7

Aleatorio 8

Aleatorio 9

Aleatorio 10



85

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20n elemento

CO

V (%

)Aleatorio 5 Aleatorio 6

Aleatorio 7 Aleatorio 8

Aleatorio 9 Aleatorio 10

Figura 183. Casos Aleatorios 5 – 10. COV en cada punto. Fila 1.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40n elemento

CO

V (%

)

Aleatorio 5

Aleatorio 6

Aleatorio 7

Aleatorio 8

Aleatorio 9

Aleatorio 10


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60n elemento

CO

V (%

)

Aleatorio 5

Aleatorio 6

Aleatorio 7

Aleatorio 8

Aleatorio 9

Aleatorio 10



86

En la Figura 180 se confirma que entre las columnas 1, el caso que produce la mayor dispersión en los resultados es el Aleatorio 10 (Lx = 100cm, Ly = 8cm) mientras que el 9 y el 7 presentan la menor dispersión. Como se había observado anteriormente, los puntos que muestran la mayor dispersión están localizados en la parte superior de la capa. La columna 2 (Figura 181) muestra valores muy altos de COV en su zona media-superior porque allí su media es cercana a cero, pero los otros puntos tienen COVs muy bajos, menores al 10%. Algo similar sucede con la columna 3 (Figura 182) que también cruza por cero (sus elementos pasan de estar en tensión en la superficie a estar comprimidos en la parte inferior). Los otros valores son estables, más dispersos que la columna 2 pero en promedio cercanos a 10%. La información obtenida de la fila 1 muestra valores ligeramente más variados. En la Figura 183, aparte de los valores muy grandes, la zona central muestra que los casos Aleatorios 7 y 9 (Lx y Ly tomando valores de 50 y 8cm y de 100 y 4cm, respectivamente) presentan menor dispersión (5%) que los otros casos (10%). Por otra parte, la variación que muestran las filas 2 y 3 (Figura 184 y Figura 185) es mínima.


87

Conclusiones En el presente trabajo se analizaron varias posibilidades para modelar la respuesta mecánica la carpeta de rodadura de una estructura de pavimento. Se plantearon casos base (elásticos y viscoelásticos) y se analizaron comparativamente. Para el caso de la estructura con modelación aleatoria, aquella en la que el comportamiento viscoelástico dentro de la capa varía espacialmente en función de la cantidad de vacíos probables de la microestructura de la mezcla asfáltica, se plantearon 10 casos de análisis, se analizó detalladamente uno de ellos y finalmente se comprobó qué influencia podrían tener dos de las variables utilizadas para la construcción de los campos aleatorios: el COV de las medias de porcentaje de vacíos y las longitudes de correlación. Las siguientes son las principales conclusiones obtenidas después de realizar un completo análisis de los resultados proporcionados por las simulaciones realizadas: ▪ Al comparar un modelo con comportamiento elástico y uno con comportamiento

viscoelástico es necesario definir un módulo elástico equivalente que sea representativo, para realizar posteriores comparaciones entre los dos modelos. Teniendo en cuenta que el comportamiento viscoelástico se caracterizó con un módulo instantáneo que decaía rápidamente, se definió un proceso de ponderación entre los módulos a tiempo 0 y a tiempo 0.1 segundos para encontrar un módulo elástico equivalente. Aún así, las comparaciones realizadas entre los casos base muestran que el módulo escogido, que resultó ser algo menos de la mitad del módulo instantáneo, es todavía muy bajo y produce deformaciones mucho mayores que las viscoelásticas, incluso a 10 segundos.

▪ De cualquier forma, un valor de módulo elástico ‘equivalente’ para comparar con una

modelación viscoelástica puede ser equivalente en ciertos puntos de la capa de rodadura pero en otros no, puesto que las solicitaciones varían considerablemente dependiendo de la ubicación con respecto a la carga.

▪ Teniendo en cuenta las dos conclusiones anteriores, se consideró que es más representativo comparar las realizaciones de un modelo viscoelástico aleatorio con su correspondiente caso base viscoelástico, pues para encontrar un módulo elástico equivalente es necesario aplicar criterios subjetivos de ponderación.

▪ En general, las deformaciones presentadas en el modelo viscoelástico aleatorio (incluso a tiempos muy bajos, cercanos a 0.01 segundos) son mucho mayores que las presentadas por el modelo viscoelástico homogéneo, a veces un orden de magnitud mayores. Esto es particularmente cierto en la parte superior de la capa de rodadura, la más cercana a la zona de aplicación de carga, donde se presentan deformaciones horizontales muy importantes desde los primeros momentos de carga luego de tiempos relativamente cortos, usualmente menores a 1 segundo. A tiempos mayores, prácticamente todos los puntos bajo la zona de aplicación de carga están sometidos a tensión sin importar su profundidad, excepto los más cercanos al centro de las dos cargas aplicadas. Estas


88

deformaciones no se presentan en los modelos elásticos equivalente (sin importar su módulo) ni viscoelásticos homogéneos; por el contrario, el comportamiento de estos modelos es el opuesto para estos puntos.

▪ El modelo viscoelástico aleatorio se diferencia del viscoelástico homogéneo no sólo en que cada punto tiene un módulo distinto, sino en que para su construcción se simuló una distribución de vacíos en profundidad característica de los núcleos de campo que ocasiona la presencia de altos porcentajes de vacío en la superficie. Estos altos porcentajes, que llegan doblar la media de todo el núcleo, se ven reflejados en módulos bajos en la parte superior de la capa de rodadura.

▪ Las altas deformaciones en la parte superior de la capa de rodadura se deben muy probablemente a los bajos módulos que hay en esta zona. En general, estas deformaciones no son consideradas en los métodos de diseño, por lo que es posible que al diseñar según el modelo elástico no se estén tomando en cuenta deformaciones importantes presentadas en la parte superior y media – superior de la capa de rodadura.

▪ El hecho de que se presenten deformaciones a tensión a largo plazo en el modelo viscoelástico podría sugerir que en éste se tiende a producir ahuellamiento, por lo que dejaría de ser representativo pasados los primeros momentos de cálculo, en los que los puntos todavía exhiben una tendencia parecida a la del modelo viscoelástico pero con valores mayores. En general, con valores de tiempo pequeños (menos de 0.1 segundos) se alcanza a observar el cambio de los puntos de compresión a tensión; a menor tiempo de cálculo, mayor es el parecido con el modelo viscoelástico homogéneo, especialmente en la zona ubicada bajo el centro de cada carga.

▪ Se observó que los modelos que representaban casos a mayor temperatura, eran los mismos que mostraban mayor dispersión en sus realizaciones. A altas temperaturas los módulos se hacen más bajos, lo que hace que las deformaciones sean mayores y sea más apreciable su dispersión.

▪ Se evidenció que los modelos con una alta dispersión en el valor del porcentaje de vacíos (COV igual a 20% vs. COV igual a 10%) presentan también mayor dispersión en sus deformaciones, aunque esto no necesariamente llevó a una disminución en el desempeño (en promedio se presentan deformaciones similares, en todos los puntos excepto los ubicados en la parte superior). Un alto COV en el porcentaje de vacíos puede indicar procesos constructivos deficientes.

▪ Se encontró que modelos con diferentes longitudes de correlación presentaban deformaciones muy similares y pocos cambios en su dispersión. Esto sugeriría, por el momento, que la longitud de correlación—al menos dentro de los rangos analizados en este trabajo—no es una variable que afecte fuertemente el comportamiento de la capa de rodadura. Se debe tener en cuenta, aún así, que los puntos evaluados en la longitud horizontal estaban separados por 10 y 20cm, y las longitudes de correlación modeladas eran 50 y 100cm. Para lograr un mejor análisis de las distancias de correlación conviene registrar los datos en puntos separados por esta misma distancia de interés.

▪ El hecho de que la longitud de correlación haya mostrado una influencia baja en los resultados hace posible generalizar en cierto grado los resultados de los casos en los que se escogió un valor particular de Lx y Ly, pues según esta conclusión, otros valores de Lx y Ly habrían mostrado un comportamiento muy similar.


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Bibliografía Caro, S., Masad, E., Bhasin, A. & Little, D. (2009). Michromecanical modeling of the influence of material properties on moisture-induced damage in asphalt mixtures. Construction and building materials, 24, 1184-1192. Caro, S., Masad, E., Sánchez-Silva, M. & Little, D. (2010). Stochastic Micromechanical Modeling of Asphalt Mixtures Subjected to Moisture Difussion Processes. International

Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 943, 1-19. Chapra, S.C. (2002). Métodos numéricos para ingenieros. México: McGraw-Hill. Dai, Q (2010). Two- and three-dimensional micromechanical viscoelastic finite element modeling of stone-based materials with X-ray computed tomography images. Construction and Building Materials, 25 (2), 1102-1114. NCHRP (2002). Report 455. Recommended Performance-Related Specification for Hot-

Mix Asphalt Construction: Results of the WesTrack Project. Washinton, D. C., EE.UU. : National Academies Press. Huang, Y. (1998). Pavement Analysis and Design. (2da Ed.). NJ, EE.UU.: Prentice Hall. Instituto de Desarrollo Urbano (1997). Manual de diseño de pavimentos para Bogotá D.C. Universidad de los Andes. Kassem, E. (2008). Compaction effects on uniformity, moisture diffusion, and mechanical

propierties of asphalt pavements. Texas, EE.UU.: Texas A&M University. Kim, H. (2005). “Spatial variability in soils: Stiffness and strength”. Georgia, EE.UU.;

Georgia Institute of Technology. Mun, S. & Woo, Z (2008). Determination of viscoelastic and damage properties of hot mix asphalt concrete using a harmony search algorithm. Mechanics of Materials, 41, 339-353. Tashman, L., Masad, E., Peterson, B. & Saleh, H. (2001). Internal structure analysis of asphalt mixes to improve the simulation of Superpave Gyratory compaction to Field conditions. Asphalt paving technology, 70, 605-645.

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gra

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‘cam

po

.m’

function[g]=campo(n,t,s,lxn,lyn)

% vector con el campo aleatorio correlacionado de vacíos

% n, lado del campo cuadrado (número de elementos)

% t, media del campo de porcentaje de vacíos (por ciento)

% s, desviación objetivo del campo (mismas unidades de t)

% lxn, longitud de correlación horizontal (número de elementos)

% lyn, longitud de vertical horizontal (número de elementos)

a=zeros(n^2);

for i=1:n^2

for j=i:n^2

a(i,j)=-sqrt(((cx(j)-cx(i))/lxn)^2+((cy(j)-cy(i))/lyn)^2);

a(j,i)=a(i,j);

end

end

a=s^2*exp(a);

c=chol(a,'lower');

e=randn(n^2,1);

t=vm(n,t);

g=c*e+t;

% funciones auxiliares

% coordenada horizontal

function[cx]=cx(a)

res=rem(a,n);

if res~=0

cx=res;

else

cx=n;

end

end

% coordenada vertical

function[cy]=cy(a)

cy=ceil(a/n);

end

% vector media

function[v]=vm(n,t)

%

selecciona el orden aleatoriamente dentro de las opciones

del arreglo 'o'

o=[2,3,4,5,6];

o=o(ceil(rand*size(o,2)));

%

selecciona el estiramiento como un número aleatorio entre 1

y 2

est=rand+1;

function[y]=y(x)

y=abs(x^o)*est;

end

%

calcula n valores de la función

delta=1.5/(n+1);

m=zeros(n,1);

x=-1+delta;

for k=1:n

m(k)=y(x);

x=x+delta;

end

%

‘sube’ la función y normaliza de forma que la media sea t

m=m+1;

m=(t/mean(m))*m;

%

construye el vector con los valores repetidos

v=zeros(n^2,1);

for k=1:n

for l=1:n

v(l+(k-1)*n)=m(k);

end

end

end

end

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gram

a ‘i

nte

rpo

la.m

’ function[gi]=interpola(g,x)

% vector con el campo de vacíos interpolado.

% g, vector campo aleatorio de porcentaje de vacíos correlacionado (el campo original debe ser cuadrado)

% x, ancho del campo interpolado (número de elementos)

% calcula el vector vx, que contiene el número de columnas a interpolar entre cada columna existente.

n=sqrt(size(g,1));

ent=floor((x-n)/(n-1));

res=rem((x-n),(n-1));

vx=zeros(n-1,1)+ent;

for i=1:res

vx(i)=vx(i)+1;

end

% interpola

gi=zeros(n*n+sum(vx),1);

c=1;

for i=1:n

for j=1:n-1

a=g((i-1)*n+j);

b=g((i-1)*n+j+1);

gi(c)=a;

for k=1:vx(j)

c=c+1;

gi(c)=a+k/(vx(j)+1)*(b-a);

end

c=c+1;

gi(c)=b;

end

c=c+1;

end

end

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‘a.m

’ function a(est,temp,cov,lx,ly,nReal)

% campo de módulos interpolado. Imprime archivo de entrada para

Abaqus.

% est=1, estructura para tráfico bajo

% est=2, estructura tráfico medio

% temp, temperatura (°C)

% cov, coeficiente de variación objetivo (porcentaje)

% lx, longitud de correlación horizontal (centímetros)

% ly, longitud de vertical horizontal (centímetros)

% nReal, número de realizaciones del campo

% constantes MATLAB

dimElem=0.005; % longitud del elemento finito cuadrado (metros)

n=14;

% lado del campo cuadrado (número de elementos)

t=7;

% media del campo de porcentaje de vacíos (por

ciento)

lyn=(ly/100)/dimElem;

% longitud de correlación vertical

(número de elementos)

x=200;

% ancho del campo interpolado (número de

elementos)

pAsp=5.2;

% porcentaje de asfalto en la mezcla (por ciento)

%constantes corregidas

s=(cov-1.0952790293)/8.8754261064; % desviación de entrada para

producir COV objetivo

(unidades de t) – corregida

if lx==50,lxn=7;end

% longitud de correlación horizontal

(número de elementos) - corregida

if lx==100,lxn=14;end

% longitud de correlación horizontal

(número de elementos) - corregida

%constantes ABAQUS

poissHMA=0.35; % coeficiente de Poisson de la capa de rodadura

poissEq=0.40; % coeficiente de Poisson de la base equivalente

hEq=0.70;

% espesor de la base equivalente (metros)

if est==1,Eeq=301450000;end

% módulo de la base equivalente,

estructura 1 (pascales)

if est==2,Eeq=575200000;end

% módulo de la base equivalente,

estructura 2 (pascales)

loadMagnitude=650000;

% magnitud de la carga (pascales)

loadTime=10;

% tiempo de carga (segundos)

for r=1:nReal

%

vector campo aleatorio de porcentaje de vacíos

correlacionado

g=campo(n,t,s,lxn,lyn);

%

vector campo de porcentaje de vacíos interpolado

gi=interpola(g,x);

%

vector de módulos (Pascales)

m=exp(11.4677-0.0827*gi-0.2285*pAsp-0.0579*temp)*1000000;

%

archivo de entrada para ABAQUS

data=[dimElem;n;x;poissHMA;poissEq;hEq;Eeq;loadMagnitude;

loadTime;m];

%

organiza y exporta archivos

mv=zeros(data(2),x);

% campo de vacíos interpolado

mm=zeros(data(2),x);

% campo de módulos

for i=1:n

mv(i,:)=gi((i-1)*x+1:i*x)';

mm(i,:)=m((i-1)*x+1:i*x)';

end

save (['data',int2str(r),'.txt'], 'data', '-ASCII');

save (['vacios',int2str(r),'.txt'], 'mv', '-ASCII');

save (['modulos',int2str(r),'.txt'], 'mm', '-ASCII');

end

end

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crip

t en

Pyt

hon

para

AB

AQ

US

. from abaqus import *

from abaqusConstants import *

#nombre de los modelos

files = ['data1.txt','data2.txt','data3.txt','data4.txt','data5.txt','data6.txt','data7.txt','data8.txt','data9.txt','data10.txt']

modelNames = ['a1','a2','a3','a4','a5','a6','a7','a8','a9','a10']

for a in range(len(files)):

#lectura de archivos de entrada

fileName = files[a]

modelName = modelNames[a]

data = open(fileName).read().split()

dimElem = float(data[0])

ny = int(float(data[1]))

nx = int(float(data[2]))

poissHMA = float(data[3])

poissEq = float(data[4])

hEq = float(data[5])

Eeq = float(data[6])

loadMagnitude = float(data[7])

loadTime = float(data[8])

modules = data[9:]

#creación de partes

import part

part1Name = 'Capa_de_rodadura'

part2Name = 'Base_equiv'

model = mdb.Model(name=modelName)

s1 = model.ConstrainedSketch(name='sketchPart1', sheetSize=2*nx*dimElem)

p1 = model.Part(name=part1Name, dimensionality=TWO_D_PLANAR, type=DEFORMABLE_BODY)

s1.rectangle(point1=(0,0), point2=(nx*dimElem,ny*dimElem))

p1.BaseShell(sketch=s1)

s2 = model.ConstrainedSketch(name='sketchPart2', sheetSize=2*nx*dimElem)

p2 = model.Part(name=part2Name, dimensionality=TWO_D_PLANAR, type=DEFORMABLE_BODY)

s2.rectangle(point1=(0,0), point2=(nx*dimElem,hEq))

p2.BaseShell(sketch=s2)

#creacion de particiones

f1 = p1.faces

t = p1.MakeSketchTransform(sketchPlane=f1[0], sketchPlaneSide=SIDE1, origin=(0,0,0))

s = model.ConstrainedSketch(name='sketchPartition', sheetSize=2*nx*dimElem, gridSpacing=dimElem, transform=t)

lx = nx*dimElem

ly = ny*dimElem

x = lx/nx

y = ly/ny

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for i in range(nx-1):

s.Line(point1=(x,0), point2=(x,ly))#líneas verticales

x = x+lx/nx

for i in range(ny-1):

s.Line(point1=(0,y), point2=(lx,y))#líneas horizontales

y = y+ly/ny

pickedFaces = f1.getSequenceFromMask(mask=('[#1 ]', ), )

p1.PartitionFaceBySketch(faces=pickedFaces, sketch=s)

#creación de materiales y secciones

import material

model.Material(name='matEq')

model.materials['matEq'].Elastic(table=((Eeq, poissEq), ))

model.HomogeneousSolidSection(name='secEq', material='matEq', thickness=1.0)

for i in range(nx*ny):

nmat = 'mat'+str(i+1)

nsec = 'sec'+str(i+1)

if i==0:

model.Material(name=nmat)

model.materials[nmat].Elastic(moduli=INSTANTANEOUS, table=((float(modules[i]), poissHMA), ))

model.materials[nmat].Viscoelastic(domain=TIME, time=PRONY, table=((0.015576589,0,1e-10), (0.025640474,0,1e-09),

(0.04157084,0,1e-08), (0.065693639,0,1e-07), (0.099418757,0,1e-06), (0.139905236,0,1e-05), (0.174550724,0,0.0001),

(0.179809458,0,0.001), (0.139898173,0,0.01), (0.07633456,0,0.1), (0.029173936,0,1), (0.008672121,0,10),

(0.002373555,0,100), (0.00069404,0,1000))) #parámetros de la serie de Prony

else:

model.Material(name=nmat, objectToCopy=model.materials['mat1'])

model.materials[nmat].elastic.setValues(table=((float(modules[i]), poissHMA), ))

model.HomogeneousSolidSection(name=nsec, material=nmat, thickness=1.0)

#asignación de secciones

import regionToolset

for i in range(ny):

for j in range(nx):

nsec = 'sec'+str(i*nx+j+1)

faces = f1.findAt(((j*lx/nx+lx/nx/2,ly-(i+1)*ly/ny+ly/ny/2,0), ))

region = regionToolset.Region(faces=faces)

p1.SectionAssignment(region=region, sectionName=nsec , offset=0)

f2 = p2.faces

faces = f2.findAt(((lx/2,ly/2,0), ))

region = regionToolset.Region(faces=faces)

p2.SectionAssignment(region=region, sectionName='secEq' , offset=0)

#enmallado de las partes

import mesh

p1.seedPart(size=dimElem, deviationFactor=0.1)

p2.seedPart(size=dimElem*2, deviationFactor=0.1)

f1 = p1.faces

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f2 = p2.faces

pickedRegions1 = f1.getSequenceFromMask(mask=('[#ffffffff:87 #ffff ]', ), )

pickedRegions2 = f2.findAt(((lx/nx/2,ly/ny/2,0), ))

p1.setMeshControls(regions=pickedRegions1, technique=STRUCTURED)

p2.setMeshControls(regions=pickedRegions2, technique=STRUCTURED)

elemType = mesh.ElemType(elemCode=CPE4R, elemLibrary=STANDARD, secondOrderAccuracy=OFF, hourglassControl=DEFAULT,

distortionControl=DEFAULT)

faces1=pickedRegions1

faces2=pickedRegions2

pickedRegions1=(faces1, )

pickedRegions2=(faces2, )

p1.setElementType(regions=pickedRegions1, elemTypes=(elemType, ))

p2.setElementType(regions=pickedRegions2, elemTypes=(elemType, ))

p1.generateMesh()

p2.generateMesh()

#creacion de instancias y ensamblaje

a = model.rootAssembly

a.DatumCsysByDefault(CARTESIAN)

a.Instance(name=part1Name, part=p1, dependent=ON)

a.Instance(name=part2Name, part=p2, dependent=ON)

#puntos coincidentes

s1 = a.instances[part1Name].edges

sideEdges1 = s1.findAt(((lx/nx/2,0,0), ))

for j in range(nx):

se = s1.findAt(((j*lx/nx+lx/nx/2,0,0), ))

sideEdges1 = sideEdges1+se

s2 = a.instances[part2Name].edges

sideEdges2 = s2.findAt(((lx/2,hEq,0), ))

a.Surface(side1Edges=sideEdges1+sideEdges2, name='surf_rodadura_subrasante_equiv')#superficie

region1=regionToolset.Region(side1Edges=sideEdges1)

region2=regionToolset.Region(side1Edges=sideEdges2)

model.Tie(name='const_rodadura_subrasante_equiv', master=region2, slave=region1, positionToleranceMethod=COMPUTED, adjust=ON,

tieRotations=ON, thickness=ON)#constraint, tie

v1 = a.instances[part1Name].vertices

v2 = a.instances[part2Name].vertices

a.CoincidentPoint(movablePoint=v1.findAt(coordinates=(0,0,0)), fixedPoint=v2.findAt(coordinates=(0,hEq,0)))

#creación del paso

tol=0.01;

incIni=0.01;

incMin=1e-6;

incMax=0.5;

nMaxInc=1000000;

stepName = 'Aplicacion_de_carga'

model.ViscoStep(name=stepName, previous='Initial', timePeriod=loadTime, maxNumInc=nMaxInc, initialInc=incIni, minInc=incMin,

maxInc=incMax, cetol=tol)

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#imposición de condiciones de borde

e1=a.instances[part1Name].edges

e2=a.instances[part2Name].edges

se=e2.findAt(((0,hEq/2,0), ), ((lx,hEq/2,0), ))

for j in range(ny):

se1=e1.findAt(((0,j*ly/ny+ly/ny/2+hEq,0), ), ((lx,j*ly/ny+ly/ny/2+hEq,0), ))

se=se+se1

region=regionToolset.Region(edges=se)

model.DisplacementBC(name='BC-1', createStepName='Initial', region=region, u1=SET, u2=UNSET, ur3=UNSET, amplitude=UNSET,

distributionType=UNIFORM, fieldName='', localCsys=None)

se2=e2.findAt(((lx/2,0,0), ), )

region = regionToolset.Region(edges=se2)

model.DisplacementBC(name='BC-2', createStepName='Initial', region=region, u1=SET, u2=SET, ur3=SET, amplitude=UNSET,

distributionType=UNIFORM, fieldName='', localCsys=None)

#asignación de la carga

i=0

for j in range(1*nx/4,9*nx/20):#carga izquierda

se = s1.findAt(((j*lx/nx+lx/nx/2,hEq+ly,0), ))

if i==0:

sideEdges=se

i=i+1

sideEdges = sideEdges+se

for j in range(11*nx/20,3*nx/4):#carga derecha

se = s1.findAt(((j*lx/nx+lx/nx/2,hEq+ly,0), ))

sideEdges = sideEdges+se

region = regionToolset.Region(side1Edges=sideEdges)

model.Pressure(name='Load', createStepName=stepName, region=region, distributionType=UNIFORM, field='', magnitude=loadMagnitude,

amplitude=UNSET)

#creación del trabajo

jobName = modelName+'_odb'

mdb.Job(name=jobName, model=modelName, type=ANALYSIS, explicitPrecision=SINGLE, nodalOutputPrecision=SINGLE, description='',

parallelizationMethodExplicit=DOMAIN, multiprocessingMode=DEFAULT, numDomains=1, userSubroutine='', numCpus=1, preMemory=256.0,

standardMemory=256.0, standardMemoryPolicy=MODERATE, scratch='', echoPrint=OFF, modelPrint=OFF, contactPrint=OFF,

historyPrint=OFF)

#guarda el archivo CAE

mdb.saveAs(pathName='C:/Archivos de programa/Abaqus/work/'+modelName+'_cae')

#envía el trabajo

mdb.jobs[jobName].submit(consistencyChecking=OFF)

mdb.jobs[jobName].waitForCompletion()

#elimina el modelo

del mdb.models[modelName]

del mdb.jobs[jobName]

Modelación numérica de la incertidumbre del …

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