MIEMBROS BAJO FUERZAS COMBINADAS.En la mayoría de casos se pueden calcular los elementos estructurales de un manera simplificada, es decir una columna puede ser calculada solo para esfuerzos a compresión y una viga a esfuerzos propios de la flexión, pues bien estos cálculos son solo aproximaciones a la realidad, elementos estructurales no siempre se podrán calcular de esta forma, pues existe la acción simultanea de esfuerzos debidos a flexión y a compresión en un mismo elemento, los elementos que son solicitados de esta manera son llamados vigas-columna y son los que comúnmente se pueden encontrar formando parte de una estructura.Las vigas columna aparecen con gran frecuencia en los pórticos arriostrados y armaduras, en estos casos son los arriostres los que ocasionan los esfuerzos de compresión, las cargas sobre las vigas y/o columnas originarán de igual manera los esfuerzos de flexión.

La flexión se origina por cargas excéntricas paralelas al eje del miembro, por momentos aplicados en el miembro, o por fuerzas normales aplicadas al eje del miembro. En las columnas de edificios no suele haber cargas transversales intermedias, por lo que la flexión se debe a los elementos flexionantes aplicados en las secciones extremas de la columna.

Las columnas de eje recto constituyen la mayor parte de las estructuras de edificios

Fig.1 En el pórtico mostrado las vigas y columnas trabajan a flexión y compresión, se dice entonces que se tratan de vigas-columnas.

Fig.2 la cuerda superior de la armadura es una viga-columna

Debido a la continuidad entre los diversos miembros que forman la estructura, la compresión se presenta acompañada de flexión.

El elemento está restringido contra desplazamiento lateral y giro alrededor de sus ejes centroidales y contra torsión en las secciones extremas.

Como las columnas reales forman parte, casi siempre de estructuras reticulares compuestas por un número más o menos grande de barras unidas entre sí, su comportamiento no depende solo de sus características, sino también de las propiedades del resto de los elementos que forman la estructura.

A continuación se muestra una figura que representa el caso general de un elemento viga-columna, o miembro flexo comprimido cuando se toma en cuenta la estabilidad contra desplazamiento lateral de la estructura de la que forma parte. El miembro está sometido asimétricamente por momentos flexionantes alrededor de los ejes centroidales y principales de la sección y por cargas laterales entre sus apoyos, está restringido contra desplazamiento lateral e impedido de girar respecto a los ejes centroidales; también está restringido torsionalmente en sus extremos.

MIEMBROS BAJO LA COMBINACION DE FEXION Y COMPRESION AXIAL

En el diseño de elementos flexocomprimidos deben investigarse los estados límite de falla siguiente:FLEXION:

Plastificación de la sección transversal

Pandeo por torsión Pandeo lateral por flexotorsion Pandeo local

CORTANTE: Plastificación del alma de la viga Pandeo local del alma por cortante

MIEMBROS BAJO LA ACCION DE FLEXION Y TENSION.

Para el diseño de elementos sometidos a flexión y a tensión, o la combinación de ambos, se deben investigar los siguientes modos de falla.

TENSION: Estado límite de flujo pastico en la sección transversal

Fractura en el área neta.FLEXION:

Formación de un mecanismo de articulaciones plásticas Agotamiento de la resistencia a la flexión en la sección critica, en

miembros que no admiten redistribución de momentos. Iniciación del flujo plástico en la sección critica Pandeo lateral por flexotorsion Pandeo local del patín comprimido Pandeo local del alma, producido por flexión Plastificación del alma por cortante Tensión diagonal en el alma Flexión y fuerza cortante combinadas Otras formas de pandeo en el alma, producidos por fuerzas

transversales Fatiga.

DISEÑO DE ELEMENTOS CON ESFUERZOS COMBINADOS.

El diseño de elementos estructurales de eje recto sometidos a esfuerzos combinados, de sección prismática y con dos ejes de simetría, que normalmente se colocan en posición vertical o diagonal y que soportan cargas axiales y accidentales que originan momentos, se trata en términos de interacciones de acuerdo a un procedimiento de diseño establecido por el AISC.

En las especificaciones del AISC-2005 se utilizan dos líneas rectas para una mejor aproximación de la resistencia. El diseño de secciones transversales con uno o dos ejes de simetría se efectúa de manera que se satisfagan las ecuaciones de interacción que surgen de la modificación de la ecuación de diseño LRFD

∑ γiQi≤∅ Rn

Esta ecuación se puede expresar de la siguiente manera:

∑ γ iQi

∅ Rn≤1.00

Es lo mismo decir:

∑ efectos de las cargasResistencia

≤1.00

Si hay más de un tipo de resistencia en el elemento que estamos analizando la suma de cada uno de estos efectos se plasma en la ecuación de interacción, ejemploLa fórmula de interacción para un elemento solicitado por flexión y compresión axial es la siguiente:

Pu

∅ cPn+

M u

∅ f M n≤1.00

Donde:Pu :cargadecompresionaxial factorizada∅ c Pn :resistencia dediseño por compresionM u:momento flexionante factorizado∅ f M n:momentode diseño

Para un elemento sometido a esfuerzos de flexión biaxial el AISC da dos fórmulas que tienen en cuenta la magnitud de la fuerza axial, si la carga axial es pequeña el término de la carga axial se reduce, si la carga axial es grande el término de flexión se reduce en resumen tenemos :

siPu

∅ cPn≥0.2 ,

Pu

∅ cPn+ 89 ( M ux

∅ f M nx+

M u y

∅ f M n y)≤1.0

siPu

∅ cPn<0.2 ,

Pu

2∅ cPn+( M u x

∅ f M n x+

Mu y

∅ f M n y)≤1.0

En la siguiente imagen se muestra el diagrama de interacción de un elemento sometido a flexión y compresión:Donde definimos

Pr

Pc=

Pu

∅ cPn

M r

M c=

M u

∅ f M n

Generalmente, sólo se hace un análisis de primer orden para miembros sujetos a flexión y compresión axial. Resulta ser conservador despreciar los efectos de las fuerzas de compresión que actúan con los momentos de flexión.

En el análisis usual de primer orden, las ecuaciones de equilibrio se expresan en la geometría inicial de la estructura no deformada, la cual se comporta elásticamente; de esta manera las fuerzas internas están asociadas a los desplazamientos en casos reales, cuando una estructura se deforma, las fuerzas internas cambian con la deformación, planteamiento que requiere la incorporación de la geometría deformada de la estructura, este análisis recibe el nombre de análisis P-Delta o análisis de segundo orden.

Primero mostraremos un ejemplo sobre el uso de las fórmulas de interacción para un análisis de primer orden.

Un perfil W8x58 de acero grado 50 para una viga-columna, que es parte de un marco está sometido a las cargas mostradas en la figura, la flexión es un solo eje y la carga axial se aplica al centro de la figura, se puede considerar la longitud efectiva igual a la longitud geométrica.

La carga axial amplificada es:PU=1.2 PD+1.6PL

PU=1.2(54 )+1.6(147)PU=300k

El momento flector amplificada es:MU=1.2MD+1.6M L

MU=1.2(18)+1.6(49)MU=100 k−ft

Recordemos que solo es un análisis de primer orden no tendremos en cuenta la geometría deformada del elemento

Con ayuda de cartas de diseño de columnas obtenemos para un perfil W8x58 fy=50 y KL=16 ∅ cPn=365 kY con las mismas cartas de diseño para vigas obtenemos para el perfil W8x58∅ f M n=224 ft−kLuego tenemos:

Pr

Pc=

Pu

∅ cPn=300365

=0.82

La ecuación que gobierna es

Pu

∅ cPn+ 89 ( M u

∅ f M n)≤1. 0

300365

+ 89 ( 100224 )≤1. 0

1.21≤1.0 la seccionno cumple la formulade interacción

ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN O P-DELTA

Para un análisis de segundo orden como ya se dio a entender debemos tomar en cuenta la geometría deformada del elemento, la presencia de una carga axial produce momentos secundarios y es necesario que estos momentos sean tomados en cuenta

En el diagrama de momentos flectores, que se ha dividido en dos partes se ve el momento originado por la carga H, que es el que origina los momentos de primer orden y es de origen lineal, luego tenemos el diagrama de momentos originado por la carga axial P y la deformación del elemento, como se puede distinguir ya no es de origen lineal.Los momentos de segundo orden deberán ser considerados en los análisis más rigurosos.

El momento máximo se origina en la base del elemento, en la figura y tiene un módulo que se puede expresar en la siguiente ecuación:

M=H . L+P .δ

El término H .L es el momento de la fuerza H, el término P .δ es el momento de segundo orden donde P es la carga axial y δ la deformación máxima. Es incorrecto suponer que la deformación δse origina por la fuerza H, pues esta es la deformación total originada por ambas cargas, como vemos es necesario conocer la deflexión para conocer el

momento, así como también tenemos que la deflexión no puede calcularse de forma directa.

Para el cálculo del momento y la deflexión se siguen procesos iterativos, los software hacen posible un análisis rápido y preciso, pero el AISC también permite el método de amplificación de momentos que a continuación se expone

METODO DE AMPLIFICACION DE MOMENTOS

Este método implica calcular el momento flector máximo que resulta de las cargas de flexión, por medio de un análisis de primer orden para luego multiplicarlo por un factor de amplificación de momento para tener en cuenta el momento secundario.

En la figura vemos una viga solicitada a esfuerzos de compresión ocasionados por la carga axial P, y a esfuerzos de flexión originados por el momento M.

Considerando solo la carga axial podemos definir la elástica de la viga como sigue:

y0=e . sin πxL

Donde “e” es la deformada inicial ocasionada por el

momento flector.

Sabemos además que la elástica de una viga puede expresarse en términos del momento flector haciendo uso de la fórmula de doble integración de la mecánica de materiales. Considerando deflexiones positivas hacia abajo, tendríamos:

d2 yd x2

=−MEI

Solo analizaremos la viga para la carga axial y la deformación inicial, con esta consideración podemos expresar el momento flector M como sigue:

M=P( y0+ y)

Reemplazando el valor de M en la ecuación de doble integración tenemos

d2 yd x2

=−PEI (e sin πx

L+ y)

d2 yd x2

+ PEI

y= PeEIsin πx

L

Tenemos pues una ecuación diferencial de segundo orden no homogéneo, cuyas condiciones de frontera son x=0, y=0; x=L, y=0Tenemos la función que satisface las condiciones de frontera y la ecuación diferencial

y=A sin πxL

A es una constante de integración que lo podemos hallar de la ecuación diferencial y cuyo valor es

A= eπ2EIP L2

−1

Si definimos

Pcr=π 2EIL2

y P=Pu

Tendremos:A= e

Pcr

Pu−1

Por lo tanto:

y= eP cr

Pu−1

sin πxL

M=PU ( y0+ y )

M=PU (e . sin πxL

+ ePcr

Pu−1sin πx

L)

Este momento seria el momento de segundo orden en una sección cualquiera del elemento viga-columna Para calcular el momento máximo según la aplicación de cargas esta ocurre en la parte central de la luz. X=L/2

Luego tenemos el momento máximo como:

Mmáx=PU e .( 1

1−PU

Pcr

)

Mmáx=M 0.(1

1−PU

Pcr

)

Donde definimos como Mo al momento sin amplificar de la fuerza P y la primera deflexión “e”. Al término a la derecha del momento se le llama factor de amplificación.

La resistencia por flexión total requerida de un miembro debe ser igual por lo menos a la suma de los momentos de primer y segundo orden. Se dispone de varios métodos para determinar esta resistencia requerida, que van desde muy simples aproximaciones a procedimientos muy rigurosos.

Un análisis inelástico riguroso de segundo orden de la estructura calcula y considera las deformaciones esperadas al calcular la resistencia a la compresión máxima requerida, Pr, y la resistencia a la flexión máxima requerida, Mr. Generalmente, este método es más complejo que lo necesario para el diseño estructural de estructuras comunes.Si el proyectista efectúa un análisis de segundo orden, deberá tomar en cuenta la interacción de los efectos de diversas cargas. Es decir, debemos considerar combinaciones de las cargas actuando al mismo tiempo. No es correcto hacer análisis separados y superponer los resultados, ya que éste es inherentemente un problema no lineal.

El Capítulo C.1 de la Especificación del AISC establece que se permite cualquier método racional de diseño para la estabilidad que considere todos los efectos citados a continuación.

1. Deformación del miembro por flexión, fuerza cortante y fuerza axial, y todas las demás deformaciones que contribuyan al desplazamiento de la estructura;

2. efecto de segundo orden (ambos efectos P-∆ y P-δ);3. Las imperfecciones geométricas;4. Reducciones de rigidez debido a la inelasticidad5. Incertidumbre de la rigidez y de la resistencia

.

AMPLIFICACION DE MOMENTOS

En las especificaciones del AISC se ven claramente distinguidos dos factores de amplificación, estos factores dependen pues de la estabilidad de la estructura. Especifica dos coeficientes de amplificación, uno para marcos arriostrados y otro para marcos no arriostrados, esto se debe a que en los marcos no arriostrados a la deformación hay un componente adicional del momento secundario para aproximar estos efectos se utilizan los coeficientes B1 y B2 con los cuales podemos calcular el momento como:

MU=B1M st+B2M ct

Donde:M st :Momento máximo al suponer que no ocurre un desplazamiento lateral, esté el marco arriostrado o no.

M ct : Momento máximo causado por desplazamiento lateral. Este momento puede ser causado por cargas laterales o por cargas de gravedad no balanceadas, tendrá un valor de cero si el marco está arriostrado.B1: Factor de amplificación para los momentos que ocurren en el miembro cuando este está arriostrado contra el desplazamiento lateral.B2 : Factor de amplificación para loe momentos que resultan del desplazamiento lateral

Amplificación de momentos B1 .Pórticos Arriostrados.

El magnificador de momentos B1 para pórticos arriostrados, es decir para aquellos que no tienen traslación de nudos es, según AISC-LRFD-H1.2a:

B1= Cm1−Pu/Pe

≥1.0

El momento máximo de una viga columna depende de la distribución del momento flector a lo largo del miembro, esta distribución se toma en cuenta por medio del factor Cm que se ve en la fórmula aplicada al factor B1,El factor Cm solo se aplica a los marcos arriostrados, de estos podemos desprender dos tipos de elementos aquellos que poseen cargas transversales aplicadas entre los extremos y aquellos sin cargas transversales.

Cm se tomará en la siguiente forma:

1.- Para miembros sin cargas transversales: Cm=0.6−0.4 (M A

MB)

Donde MA/MB es la razón de los momentos en los extremos y MA es el menor en valor absoluto de ambos momentos, esta razón será positiva si el elemento deformado presenta curvatura doble, es decir cuando los momentos en los extremos sean ambos del mismo sentido. Y será negativa si los momentos son de sentido diferente.

2.- Para los miembros cargados transversalmente Cm puede tomarse como 0.85 si los extremos están restringidos contra la rotación y a 1.0 si los extremos no están impedidos de rotación

Para un análisis más riguroso y detallado para miembros cargados transversalmente el factor de reducción Cm es especificado según el AISC como sigue:

Cm=1+ψ ( PU

Pcr)

Para los miembros simplemente soportados ψ=

π2 δ0 EIM 0L

2 −1

Donde δ 0 es la deflexión máxima que resulta de la carga transversal y M 0 es el momento máximo entre los soportes que resulta de la carga transversal.

Amplificación de momentos B2 .Pórticos sin Arriostramiento.

En un pórtico arriostrado, cualquier desplazamiento producido por las fuerzas laterales o por cargas de gravedad, son mayormente evitados por los arriostramientos, manteniendo el corrimiento de nudos dentro de un rango muy pequeño que no producen efectos de segundo orden de la aplicación de las cargas.En cambio, un pórtico sin arriostramientos diagonales, o cualquier otro tipo de ayuda, que evite el desplazamiento de los nudos, depende enteramente de la capacidad flexionante de sus elementos, vigas y columnas así como de la rigidez de sus nudos, para su estabilidad y el control de la magnitud de los desplazamientos laterales entre nudos. Por lo cual, un pórtico sin arriostramientos, requiere un análisis especial.

De la ecuación de amplificación de momentos tenemos

MU=B1M st+B2M ct

El factor de amplificación B2 para los momentos por desplazamiento lateral está dado por dos ecuaciones

B2=1

1−∑ PU ¿¿¿

B2=1

1−∑ PU /∑ Pcr

Donde:∑ PU :Suma de las cargas factorizadas sobre todas las columnas del piso bajo consideración.∆oh : Desplazamiento lateral del piso bajo consideración.∑ H : Suma de todas las cargas horizontales que causan los desplazamientos laterales.L : Altura del piso ∑ Pcr : Suma de las cargas criticas de pandeo para todas las columnas en el piso de análisis, se debe usar la esbeltez en el plano de flexión con el valor de K correspondiente a la condición no arriostrada.

DISEÑO DE VIGAS COLUMNA

El proceso de diseños de elementos viga-columna es un proceso de tanteos debido a la gran cantidad de variables en las fórmulas de interacción. Se deberá seleccionar un perfil de prueba y se revisa si satisface las ecuaciones de interacción que gobierna, hay método que da el AISC para la selección del perfil de prueba y es la adaptación de un método por el LRFD, este método consiste en transformar los momentos en cargas axiales aplicadas, estas se suman con las cargas principales y se selecciona un perfil que soporte la carga axial total, luego deberá verificarse que se cumpla con las ecuaciones de interacción.En este procedimiento la carga axial total tiene la forma siguiente:

PUeq=PU+Mux .m+M uy .m.uDonde:PU: Carga axial factorizadaM ux : Momento factorizado respecto al eje xM uy : Momento factorizado respecto al eje ym : Constante tabuladau : Constante tabulada

A continuación se dan los pasos para el cálculo de PUeq

1. Seleccione un valor de prueba de m basado en la longitud efectiva KL. Haga u=2

2. Calcule una carga axial efectiva de compresión:PUeq=PU+Mux .m+M uy .m.u

3. Use el valor de u dado en las tablas de cargas para columnas y un valor mejorado de m para calcular un valor mejorado de PUeq.

4. Repita el procedimiento hasta que no haya mucha variación en PUeq .

La aplicación de la fórmula de carga axial equivalente da resultados económicos en el diseño de vigas-columnas a menos que el momento sea muy grande en comparación con la carga axial. En estos casos, los miembros seleccionados serán capaces de soportar las cargas y momentos, pero pueden resultar antieconómicos. Las tablas para columnas cargadas axialmente dadas en las tablas se limitan a las secciones W12 y W14 y de menor peralte, pero cuando el momento es grande en comparación con la carga axial habrá con frecuencia una sección más ligera y de mayor peralte.

Además el diseño también debe tener en cuenta las condiciones de falla locales, como son los pandeos locales, por flexo torsión.

PANDEO LOCAL EN EL ALMA DE VIGAS-COLUMNA

El diseño de vigas columna deberá verificar la compacidad de la sección, en presencia de cargas axiales puede no darse este casoDefinimos:

λ= htw

Y para verificar la estabilidad por pandeo local tenemos: Si λ≤ λp , el perfil es compacto. Si λ p≤ λ≤ λr , el perfil no es compacto. Si λ≥ λr , el perfil es esbelto.

También se definen los siguientes límites.Para

Pu

∅ f P y≤0.125 λp=

640√F y

(1−2.75PU

∅ f P y)

Para

Pu

∅ f P y>0.125 λp=

191√F y

(2.33− PU

∅ f P y)≥ 253√F y

Paracualquier valor dePu

∅ f P yλr=

970√F y

(1−0.74 PU

∅ f P y)

Donde Py es la carga máxima para llegar al estado de fluencia.