60 2. TEORíA DEL CONSUMIDOR Y DEMANDA INDIVIDUAL

1x

2x

1

2

2

1

aa

xx =

1x

2x

1

2

2

1

aa

xx =

Figura 5. Curvas de indiferencia: el caso de las proporciones �jas

Ejercicio 11. Suponga que aumentan los precios p1 y p2 en igual pro-porción. Muestre que la homogeneidad de grado cero de las demandas hick-sianas implica que la función de mínimo costo es homogénea de grado 1 enprecios.

3. Algunos ejemplos de funciones de utilidad

3.1. Función de utilidad de proporciones �jas. Como su nombrelo indica, en este caso el consumidor valora el consumo de los bienes enproporciones �jas. Un ejemplo clásico de estas preferencias es el de loszapatos: una persona que tenga sus dos piernas normalmente no valora unzapato izquierdo a menos que tenga también el zapato derecho; si ya tieneambos zapatos, no valora un tercero, a menos que venga acompañado deun cuarto con el que forma otro par. La función de utilidad que representaestas preferencias es de la forma:

u (x1; x2) = m��n fa1x1; a2x2g

Así, en el ejemplo de los zapatos, si x1 es el número de zapatos del piederecho y x2 es el número de zapatos del pie izquierdo, a1 = a2. Esto implicaque si x1 = 2 y x2 = 1, la utilidad es la misma que si x1 = 1 y x2 = 1.Las curvas de indiferencia tendrán forma de L, como se ilustra en la �gura5 para el caso general.

Para encontrar la solución al problema de optimización de este individuoya no podemos usar la condición de tangencia de curva de indiferencia yrestricción presupuestaria (ya que la TMS no está de�nida en este caso).Pero para resolverlo basta notar que si el precio de los bienes es positivo, elconsumidor nunca querrá comprar más unidades de un bien si su valoración

3. ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD 61

marginal es nula. Luego, en el óptimo siempre querrá comprar las cantidadesde x1 y x2 que satisfacen:

a1x1 = a2x2 = u

p1x1 + p2x2 = m

Resolviendo, encontramos que la demanda condicionada es totalmenteinelástica, es decir, no hay efecto sustitución:

x�1 (p1; p2; u) = x�1 (u) =u

a1

x�2 (p1; p2; u) = x�2 (u) =u

a2

La demanda ordinaria, sin embargo, sí cambia al cambiar el precio. Esdecir, si bien no hay efecto sustitución, sí hay un efecto ingreso asociado alcambio en el precio:

x�1 (p1; p2;m) =m�

p1 + p2a1a2

�x�2 (p1; p2;m) =

m�p1a2a1+ p2

�3.2. Función de utilidad de sustitución perfecta. Tal como su

nombre lo indica, este caso es el opuesto al anterior: la sustitución es perfecta.Lo fundamental es que en este caso, a diferencia del anterior, la utilidadmarginal de un bien no depende de la cantidad consumida del otro bien,como se representa con la siguiente función de utilidad:

u (x1; x2) = a1x1 + a2x2

En este caso, la utilidad marginal de ambos bienes es constante, y TMS=a1a2, por lo que las curvas de indiferencia son líneas rectas de pendiente �a1

a2,

como se muestra en la �gura 6.

Dado que TMS es constante al igual que la relación de precios, en estecaso la condición de tangencia tampoco nos indica cuál es la cantidad óptimaa consumir de ambos bienes. Repasando las condiciones de Kuhn-Tucker(y/o mirando cuidadosamente la �gura) vemos que en este caso la soluciónal problema del consumidor es generalmente de esquina:

x�1 (p1; p2;m) =m

p1y x�2 (p1; p2;m) = 0 si

a1a2� p1p2

x�1 (p1; p2;m) = 0 y x�2 (p1; p2;m) =m

p2sia1a2� p1p2