MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN CUANTITATIVA

Sesión 5

- IDEAS INTRODUCTORIAS DE PROBABILIDAD- DISTRIBUCIÓN NORMAL

FÁTIMA PONCE 1

FÁTIMA PONCE 2

PUNTOS A TRATAR

Sesión 5:

IDEAS INTRODUCTORIAS DE PROBABILIDAD.Tipos de Probabilidades. Distribución de Probabilidad, Valor esperado y

varianza.Algunas Funciones de Distribución de

Probabilidad.DISTRIBUCIÓN NORMAL

La función de Distribución Normal y función de Distribución Normal Standard.

Uso de las tablas. Aplicaciones.

FÁTIMA PONCE 3

Se ocupa de deducciones acerca de una población en base a una muestra de dicha población.

Debido a que existe incertidumbre al tomar decisiones se emplea la Teoría de la probabilidad.

Se estima y/o testea, en situaciones de incertidumbre -con una probabilidad de error- a fin de realizar generalizaciones acerca de las propiedades de la población, para tomar una decisión.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

FÁTIMA PONCE 4

VARIABLE ALEATORIA

- Número de productos defectuosos.

- Sexo del cliente

0, 1, 2,…, 50

0 si hombre, 1 si mujer.

V.A. (x) valores de X V.A. (x) valores de X- Precio unitario

- Nivel tolerable de contamina-ción del agua.

5≤ x ≤ 12

0≤ x≤ 0.18

DISCRETA: Cuando el conjunto de realizaciones es

finito o infinito pero numerable.

CONTINUA: Cuando el conjunto de realizaciones es

infinitamente divisible (no numerable).

Es una descripción numérica de un experimento. Su valor o realización es incierto (no es conocido) hasta que el

experimento se lleve a cabo.

FÁTIMA PONCE 5

Es una medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra. Medida del grado de incertidumbre asociado a la ocurrencia de un evento.

¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD?

Su valor está en una escala de 0 a 1.

Cierto

Imposible

.5

1

0

Es tan posible que el evento ocurra como que no ocurra

FÁTIMA PONCE 6

Existen 3 maneras básicas de clasificar la probabilidad. Son 3 planteamientos conceptuales diferentes para el estudio de la teoría de la probabilidad

TIPOS DE PROBABILIDAD

Probabilidad Clásica Probabilidad frecuencia relativa de ocurrencia. Probabilidad subjetiva.

Los expertos aún no se ponen de acuerdo sobre cuál de dichos planteamientos es el más apropiado

FÁTIMA PONCE 7

1. PROBABILIDAD CLASICA

Probabilidad que = N° resultados en los que se presenta el eventosuceda un evento Número Total de resultados posibles

C/u de los resultados posibles debe ser igualmente posible (equiprobabilidad).

O probabilidad a priori, dado que se puede saber la probabilidad sin necesidad de que el experimento se realice. Por ejemplo: Prob(cara)=1/2, o Prob(5)=1/6.

Pero esta probabilidad supone una especie de orden y simetría en el mundo, sin situaciones improbables: Al tirar la moneda sólo se espera que caiga cara o sello.

FÁTIMA PONCE 8

No la podemos definir sin que se realice algo de experimentación, necesitamos conocer sobre la frecuencia de ocurrencia de dichas probabilidades.Como por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de que una empresa minera contamine el río que abastece de agua al pueblo?, ó

¿Cuál es la probabilidad que si se produce un terremoto en la Costa peruana éste se produzca en Ica?.

Se determina qué tan frecuentemente ha sucedido algo en el pasado y se emplea esta cifra para predecir la probabilidad de ocurrencia de ese evento en el futuro.

2. PROBABILIDAD FRECUENCIA RELATIVA DE OCURRENCIA

FÁTIMA PONCE 9

Basada en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad.

Es la probabilidad asignada a un evento, basada en la evidencia que tenga disponible (que puede ser basada en la frecuencia relativa de ocurrencia de eventos pasados o simplemente de una creencia meditada).

Al asignar probabilidades subjetivas es normal que 2 personas obtengan probabilidades distintas para un evento.

3. PROBABILIDAD SUBJETIVA

FÁTIMA PONCE 10

Probabilidad previa: Estimación inicial de la probabilidad de un evento.

Probabilidad revisada o posterior: Probabilidad revisada de un evento basada en informaciones adicionales (como una muestra).

OTROS CONCEPTOS DE PROBABILIDAD

Dependencia estadística: Condición en la que la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia de algún otro, o se ve afectada por ésta.

Independencia estadística: Condición en la que la probabilidad de ocurrencia de algún evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia de otro evento.

CONCEPTO DE DEPENDENCIA

FÁTIMA PONCE 11

PROBABILIDAD MARGINAL

Probabilidad simple de presentación de un evento, P(A).Por ejemplo: Prob. de obtener un as, Prob. de sacar una cara al lanzar una moneda.

PROBABILIDAD CONJUNTA Probabilidad de que dos o más eventos se presenten

juntos o en sucesión. P(AB) o P(A,B) o P(AyB). Por ejemplo: Prob. de sacar un as de corazones, Prob.

de obtener 3 caras al lanzar una moneda 3 veces.

FÁTIMA PONCE 12

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento ya ocurrió.

P(A|B). Probabilidad de A “dado” B.

En el caso de eventos independientes, como el evento B no influye en el evento A:

P(A|B) = P(A)

FÁTIMA PONCE 13

TIPOS DE PROBABILIDADES

Condiciones deDependencia

Estadística

Condiciones deIndependencia

Estadística

Tipos deProbabilidad Símbolo

Marginal P( A ) P( A ) P(ABi)

Condicional P( A|B ) P( A ) P(A,B) / P( B )Conjunta P( A,B ) P( A ) x P( B ) P(A | B) x P(B )

Dos eventos A y B son independientes si: P(A|B) = P(A) ó P(B|A) = P(B)

Dem: P(A|B) = P(A,B) / P(B) = P(A) x P(B) / P(B) = P(A).

FÁTIMA PONCE 14

Regla de Adición: Si eventos son mutuamente excluyentes:

P(A o B) = P(A) + P(B).

Si eventos no son mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Probabilidad conjunta de 2 eventos independientes: P(AB) = P(A) x P(B)Probabilidad condicional de 2 eventos dependientes: P(A/B) = P(AB)/P(B) P(B/A) = P(AB)/P(A)

REGLAS DE PROBABILIDAD

FÁTIMA PONCE 15

TEOREMA DE BAYES: Para calcular probabilidades posteriores. Permite evaluar nueva información y revisar anteriores estimaciones (basadas en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro.Permite calcular la probabilidad de un evento que está condicionado por la ocurrencia de dos o más eventos.

PROBABILIDAD POSTERIOR

Probabilidadesprevias

InformaciónNueva

Teorema de Bayes

Probabilidadesposteriores

FÁTIMA PONCE 16

En la toma de decisiones nos enfrentamos a eventos que se van a realizar con incertidumbre. Para facilitar una buena toma de decisiones se diseñan modelos según el contexto al cual se aproxime mejor su nivel de información con relación a los probables resultados.

Los individuos siempre estamos tomando decisiones, y dado que vivimos en un mundo incapaz de predecir con certeza el futuro, la probabilidad constituye parte importante de nuestra vida cotidiana.

PROBABILIDAD Y TOMA DE DECISIONES

MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN CUANTITATIVA PROF: F. PONCE 16 de 64

FÁTIMA PONCE 17

INCERTIDUMBRE Y TOMA DE DECISIONES

¿Qué posibilidad hay que un cambio de estrategia de marketing eleve las ventas en 30%?

¿Cuál es la probabilidad de que el lanzamiento del nuevo producto genere una rentabilidad del 20%?.

En Finanzas: Las compañías de seguros emplean la probabilidad para tomar riesgo y decidir la prima que pagarán. Para tener ganancias, se debe tener más aciertos que errores.

¿Qué otros ejemplos podemos comentar?

FÁTIMA PONCE 18

PROBABILIDAD Y GRANDES DATOS“No se puede predecir el futuro, pero se puede utilizar la probabilidad matemática para determinar qué tan probable es que algo pueda, o no, suceder”.BIG DATA: Mientras más estadísticas puedan ser acumuladas sobre un resultado particular, mayor será la certeza.

Noticia sobre Uso en retail: Anticipar las preferencias del cliente http://cincodias.com/cincodias/2014/06/04/tecnologia/1401910197_449355.html

Ejemplos: Probabilidad y Futbol

(Alemania en mundial 2014)

IBM: Casos prácticos http://www.ibm.com/big-data/pe/es/big-data-and-analytics/case-studies.html#businessneed=marketingandsales

FÁTIMA PONCE 19

MODELOS:1. Contexto de Certidumbre: Se da por conocido el único

resultado posible de darse [prob.(ocurrencia) = 1].

2. Contexto de Incertidumbre: Se desconoce lo que podría ocurrir luego de tomar una decisión.

3. Contexto de Riesgo: Se diseña las funciones de distribución de probabilidad de las variables sobre las cuales tenemos un gran nivel de incertidumbre. Luego de ello se pueden hacer las estimaciones necesarias para facilitar la toma de decisiones.

PROBABILIDAD Y TOMA DE DECISIONES

FÁTIMA PONCE 20

DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDAD

FÁTIMA PONCE 21

La distribución de probabilidad de una V.A. describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores de una V.A.

Es un conjunto de los valores xi (resultados de un experimento) tomados de una V.A. X y sus probabilidades o chances de ocurrencia asociadas.

Da toda la gama de valores que pueden ocurrir con base a un experimento y resulta similar a una distribución de frecuencias.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

FÁTIMA PONCE 22

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS VS DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Distribución de Frecuencias:

Listado de todos los resultados observados de un experimento.

Distribución de Probabilidades:

Listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que pudieran ocurrir de un experimento.

FÁTIMA PONCE 23

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Condiciones requeridas para:

Función de Probabilidad Función de densidad de

Discreta f(x): Probabilidad Continua f(x):

f(x) ≥ 0 valor de x f(x) ≥ 0 valor de x

f(x) = 1 f(xi) dx = 1

1

dxxf i

FÁTIMA PONCE 24

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

f(x)

prob

abili

dad

De V.A Discreta De V.A Continua

f(x) da la probabilidad de que la V.A. tome un valor determinado.

f(x) da la probabilidad de que la V.A. tome cualquier valor dentro de un intervalo dado.

b

Prob[a X b] = f(x)dx aProb: es el área bajo la función de densid.

FÁTIMA PONCE 25

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA (Ejemplo)

La tabla siguiente es una distribución parcial de probabilidades para las ganancias proyectadas de una empresa (x ganancias en miles de S/.) durante el 1er año de operaciones:

x f(x)-100 0.10 0 0.20 50 0.30 100 0.25 150 0.10 200

a) ¿Cuál es el valor adecuado para f(200)?Qué interpretación le da a este valor?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa sea rentable?c) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa gane por lo

menos S/ 100,000?

0.05.

0.700.40

FÁTIMA PONCE 26

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA (Ejemplo)

Suponga una V.A discreta x: Número de proyectos en un año, puede tomar los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y de acuerdo con datos pasados se sabe que estos valores están asociados a una probabilidad de ocurrencia como se muestra en el cuadro:

f(x)

x

# de proyectos en un año

x f(x)1 0.182 0.393 0.244 0.145 0.046 0.01Total 1.00

FÁTIMA PONCE 27

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA

Una vez que se conoce la distribución de probabilidad es relativamente fácil determinar la probabilidad de diversos eventos que pueden ser útiles para tomar decisiones.

Del ejercicio anterior, se podría saber que: Es más probable que se realice 2 proyectos en un año,

ya que f(2) = 0.39, y La probabilidad de que se realicen 4, 5 ó 6 proyectos

es sólo 19%: f(4)+f(5)+f(6) = 0.14+0.04+0.01 = 0.19.

FÁTIMA PONCE 28

Valor Medio de una V.A. o Esperanza Matemática E(x) o Valor esperado de la V.A. es una medida de la localización central de la V.A.

Varianza de una V.A. ó Var(x) da una medida de variabilidad o dispersión en los valores de la V.A. Mide las dispersiones de las observaciones respecto a su media, es un valor teórico, no tiene interpretación ya que sus valores están expresados en unidades cuadradas. 

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DE UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

FÁTIMA PONCE 29

De una V. A. Continua

E(x) = = ∫xf(x)dx a<x<b

donde

x es el valor de la V.A.

f(x) es la función de densidad de probabilidad correspondiente.

1. ESPERANZA MATEMÁTICA

De una V.A. Discreta:

E(x)= = Σ xf(x)

donde x es el valor de la V.A.f(x) es la función de

probabilidad correspondiente.

FÁTIMA PONCE 30

Si a,b,c son constantes y X,Y son V.A.

E[a] = a

E[aX +bY] = aE[X] + bE[Y]

E[cXY] = cE[XY] si X e Y no son VA independientes

= cE[X]E[Y] si X e Y son VA independientes

E[ Xi] = E[Xi]

PROPIEDADES/OPERACIONES DE LA MEDIA

FÁTIMA PONCE 31

2. VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

De una V.A. Discreta

Var(x)= E[x-E(x)]2

Si E(x) = :Var(x)= 2 = Σ(x-)2f(x)

De una V.A. Continua

Var(x) =E[x-E(x)]2

Si E(x) = :

Var(x) = 2 = (x-)2f(x)

La desviación estándar: = 2

FÁTIMA PONCE 32

Si a,b,c son constantes y X,Y son V.A.

Var(a) = 0

Var(X) = E[(X-)2] = E[X2] - 2 = 2

Var(aX+b) = a2 Var(X)

Var(aX+bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) + 2ab Cov(X,Y)

Var(aX-bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) – 2ab Cov(X,Y)

Asumiendo que X e Y son variables dependientes.

OPERACIONES CON LA VARIANZA

FÁTIMA PONCE 33

EJEMPLO 1

Con los datos del ejercicio sobre número de proyectos, halle el valor esperado y la varianza de x.

Valor Esperado de X: E(x) = xf(x) = 2.5

x f(x)1 0.182 0.393 0.244 0.145 0.046 0.01

=1*0.18= 0.18=2*0.39= 0.78=3*0.24= 0.72=4*0.14= 0.56=5*0.04= 0.2=6*0.01= 0.06

2.5

xf(x)

FÁTIMA PONCE 34

Cont. EJEMPLO 1

Calculo de la varianza:

x ( x-)1 -1.52 -0.53 0.54 1.55 2.56 3.5

( x-)2 f(x) ( x-)2 f(x)2.25 0.18 0.4050.25 0.39 0.09750.25 0.24 0.062.25 0.14 0.3156.25 0.04 0.25

12.25 0.01 0.1225

Desviación estándar = = 2 = 1.1

Var(x)= 2= Σ(x-)2 f(x)

Var(x) = 2 = 1.25

FÁTIMA PONCE 35

A veces se quiere hablar de probabilidad de más de 1 V.A. simultáneamente, por ej,. Se quisiera analizar: ¿Cuál es la probabilidad que el precio sea < 5% y la cantidad 5%?: = Cuál es la prob que VA P5 y al mismo tiempo la VA C 5?

En ese caso estamos hablando de la función de probabilidad conjunta: f(p,c): prob(P5, C 5)

= Comprende el volumen bajo la función de probabilidad conjunta f(p,c) sobre el rectángulo que define el evento.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA

FÁTIMA PONCE 36

Si X e Y son V.A. independientes:

Cov(X,Y) = E[(X-x)(Y-y)] = 0

En ese caso:

Var(aX+bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)

Var(aX-bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)

COVARIANZA DE X,Y

Si variables X e Y son dependientes:

Cov(X,Y) = E[(X-x)(Y-y)] = xy

donde: x=E(X) y y=E(Y)

FÁTIMA PONCE 37

Pero la magnitud de la covarianza es difícil de interpretar porque depende de las unidades de medida de las V.A., por ello mejor se emplea la CORRELACIÓN entre las variables:

Cov(X,Y) Corr(X,Y) = xy = ------------------------- Var(X) Var(Y)

La correlación, al igual que la covarianza, mide el grado de asociación lineal entre las variables aleatorias: -1 < xy < 1

CORRELACIÓN DE X,Y

o Si rxy = -1 Relación lineal negativa perfecta.o Si rxy = +1 Relación lineal positiva perfecta.o Si rxy = 0 No existe relación lineal entre las variables.

FÁTIMA PONCE 38

Dentro de las distribuciones de probabilidad discretas, las más empleadas son:Binomial, Poisson, Hipergeométrica.

Dentro de las distribuciones de probabilidad continuas, las más útiles y empleadas son:Normal, Normal Estándar (Z).Y la familia de la normal (Ji-cuadrado, t-student, F-Fisher)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

FÁTIMA PONCE 39

La más importante es la distribución probabilística normal.Las distribuciones probabilísticas de V.A. continuas, tienden a seguir un patrón de comportamiento “normal”.Por ejemplo: la distribución probabilística de la esperanza de vida de un

foco, de un precio cobrado por un servicio.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

FÁTIMA PONCE 40

Más conocida y empleada de las distribuciones continuas.Tiene gran cantidad de aplicaciones prácticas pero además tiene una importante aplicación en la inferencia estadística.Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.Se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos.

Por ejemplo: Peso, altura, coeficiente intelectual, etc., resultados de procesos y muchas otras medidas de interés

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

NORMAL

FÁTIMA PONCE 41

Es acampanada,

Presenta un solo pico en el centro de la distribución (es unimodal): La media = la mediana = la moda.

Es simétrica respecto a su media.

Es asintótica al eje X: Las 2 colas de su distribución se extienden indifinidamente y no tocan el eje horizontal.

Depende de 2 parámetros: Su media () y su Desviación Estándar ().

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

NORMAL

FÁTIMA PONCE 42

Las probabilidades correspondientes a la V.A. se dan mediante áreas bajo la curva normal. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es 1. Como es simétrica, el área bajo la curva x a la izquierda de es 0.5 y el área bajo la curva x a la derecha es 0.5.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL

colacola=mediana= moda

x

50%50%

f(x)

Frec

uenc

ia d

e o

bser

vaci

ones

FÁTIMA PONCE 43

REGLA EMPÍRICA (Áreas bajo la curva normal)

Es el uso de la Normal en la inferencia estadística

-El 68.3% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentran dentro de desde la media .

- El 95.5% de los valores estará a 2 desde la media ().

-El 99.7% de los valores estará a 3 desde la media ().

FÁTIMA PONCE 44

Hay tablas construidas para las situaciones diferentes a , 2, ó 3.

Las tablas indican porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar () a partir de la media.

REGLA EMPÍRICA(Áreas bajo la curva)

Para hallar la probabilidad de que una V.A. normal esté dentro de un determinado intervalo se calcula el área que se encuentra bajo la curva normal y sobre ese intervalo.

FÁTIMA PONCE 45

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR

Toda distribución normal puede convertirse en una Normal Estándar (Z): Restando la media () a cada observación y dividiendo luego entre la desviación estándar ():

Z N(0,1) Tiene media 0 (=0) y varianza 1 (=1).

El valor de Z es el número de desviaciones estándar () a las que una observación está por encima o por debajo de la media.

Estandarizar una distribución normal permite determinar más fácilmente la probabilidad de que ocurra cierto evento.

FÁTIMA PONCE 46

Distrib. Normal y Distrib. Normal Estándar

40 60 80 120 140 160100-3 -2 -1 +1 +2 +30

XZ

X tiene: = 100= 20

Z tiene:= 0= 1

z = x

FÁTIMA PONCE 47

En la pg AT1 de Levin y Rubin se tiene el área bajo la curva de distribución de probabilidad de la Z entre la media () y los valores positivos de z.

LA NORMAL ESTANDAR (Z)

= 0

Los 3 tipos de probabilidades que se necesitan calcular son: La P(z≤ valor dado) La P(a ≤ z≤ b) La P(z≥ valor dado)

FÁTIMA PONCE 48

EJERCICIOS

FÁTIMA PONCE 49

EJERCICIO 1a

¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado aleatoriamente realice una prueba entre 67 y 69 minutos?, sabiendo que esa prueba la resuelven con una media de 67 min. y una desviación estándar de 2 min.?

Sea X=duración de la prueba en minutos.¿Cuál es P(67≤ X ≤69),? = ¿Cuál es el área bajo la curva

que está entre 67 y 69 min.?. Hallar el valor de Z, sabiendo que Z = Xi –

Z= (69-67) / 2 = 1 y Z= (67-67) / 2 = 0 P(67≤ X ≤69) = P(0≤ Z ≤1)

Hallar el área en porcentajes (ver Tabla de la Z)

FÁTIMA PONCE 50

TABLA ZDa el área bajo la curva desde hasta algún valor por encima o por debajo de ésta.

0.3413

El 34.13% del área que está bajo la curva está entre 67 y 69.

Hay un 34.13% de probabilidad que un alumno seleccionado realice la prueba entre 67 y 69 minutos

FÁTIMA PONCE 51

EJERCICIO 1a

El 34.13% del área que está bajo la curva está entre 67 y 69.

Hay un 34.13% de probabilidad que un alumno seleccionado realice la prueba entre 67 y 69 minutos

X en minutos

P(X dure entre 67 y 69 minutos)= P(67≤ X ≤69)= P(Z dure entre 0 y 1)= P(0≤ Z ≤1)

=

FÁTIMA PONCE 52

EJERCICIO 1b

Dado que la distribución es simétrica, se sabe que en el área del lado derecho está el 50%,

1b. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado realice la prueba en más de 69 minutos?

X en minutos

0.50por tanto el área de la cola será:

0.5-0.3413 = 0.1587

FÁTIMA PONCE 53

EJERCICIO 1c

Calculando:Z= (64.5-67)/2= -1.25 (ó 1.25) En tabla Z: Para Z=1.25 da

un área de 0.3944.

Z= (70.3-67) / 2 = 1.65En tabla Z: Para Z=1.65 da

un área de 0.4505

1c. ¿Cuál es la probabilidad que un alumno demore entre 64.5 y 70.3 minutos? = Área comprendida entre 64.5 y 70.3.

minutos

La probabilidad que un alumno seleccionado demore entre 64.5 y 70.3 minutos es 84.49%.

Por tanto: P(64.5 X 70.3)= P(-1.25 Z 1.65)= 0.3944+0.4505=0.8449

FÁTIMA PONCE 54

EJERCICIO 1d

La probabilidad que un alumno seleccionado demore entre 69.3 y 70.5 minutos es 8.5%.

Por tanto: P(69.3 X 70.5)=0.4599 - 0.3749=0.0850

minutos

Calculando:Z= (69.3-67)/2= 1.15 En tabla Z: Para Z=1.15 da

un área de 0.3749.

Z= (70.5-67)/2 = 1.75En tabla Z: Para Z=1.75 da

un área de 0.4599

1d. ¿Cuál es la probabilidad que un alumno demore entre 69.3 y 70.5 minutos? = Área comprendida entre 69.3 y 70.5.

FÁTIMA PONCE 55

EJERCICIO 1e1e. Para el 15% de quienes demoran más respondiendo el

examen, ¿Cuánto es el tiempo que les toma esta actividad?

Prob(Z>k) = 0.15

0.5-Prob(Z<k) = 0.35

X en minutos

0.150.35

X=?

k= 1.04

Por lo que:1.04 = (X-67)/2

X=1.04*2+67

X=69.08 min.

k=? Z

FÁTIMA PONCE 56

De acuerdo con las pruebas realizadas a los neumáticos producidos por una empresa, los ingenieros estiman que la duración media en kilómetros es = 36,500 km y que la desviación estándar = 5000, Además los datos recogidos indican que es razonable suponer una distribución normal.

¿Qué % de los neumáticos se espera duren más de 40,000 km? = P(x≥40000)

EJERCICIO 2

FÁTIMA PONCE 57

¿Qué % de los neumáticos se espera duren más de 40,000 km? = P(x≥40000)

EJERCICIO 2

X (kms) =36,500 40000

P(x≥40000) = ?

P(x≤ 40000) = 5000

Escala de X

Escala de Z0.7P(x≥40000) =

El 24.2% de los neumáticos durará más de 40,000 km.

P(z≥0.7) =

Ó 1- (0.5+0.2580) = 1 – 0.758 = 0.2420

(0.5-0.2580) = 0.2420

FÁTIMA PONCE 58

Empleando la Normal: comando es DISTR.NORM: DISTR.NORM(x,media, desv-estándar, acum)

EJERCICIO 2 EN EXCEL

= 0.7580

Por tanto P(x≥40000) = 1 - 0.7580 = 0.2420 El 24.2% de los neumáticos durará más de 40,000 km.

= DISTR.NORM(40000,36500,5000,VERDADERO)

O, empleando la Z: comando es

DISTR.NORM. ESTAND( Z )

FÁTIMA PONCE 59

BIBLIOGRAFIA

Anderson, D., Sweeney, D. y Williams T. (2008). Cap 4, 5 y 6

Levin y Rubin (2010) Cap. 4 y 5.