Mic sesión 8b

MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN CUANTITATIVA

Sesión 8b

ANOVA DE UN FACTOR

FÁTIMA PONCE REGALADO 1

2

PUNTOS A TRATAR

Sesión 8b: ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)

DE UN FACTOR

Qué es y Cuándo se usa?

Planteamiento de hipótesis

Estadístico F

Ejercicio.

FÁTIMA PONCE REGALADO

3FÁTIMA PONCE REGALADO

INTRODUCCIÓN

Hasta ahora se estudió la teoría general de las pruebas

de hipótesis, analizando el caso en que se seleccionó

una muestra de una población.

Se utilizó la distribución Z (normal estándar) o la

distribución t para determinar si era razonable concluir

que la media poblacional ó la proporción poblacional era

igual a un valor especificado.

Ahora se verá una prueba que compara en forma

simultanea varios promedios para determinar si

provienen de poblaciones iguales (ANOVA).


ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)

Prueba estadística empleada cuando se quiere comparar

más de 2 grupos y la variable de estudio es numérica.

Estudia la influencia de un determinado factor o grupo de

factores (variables cualitativas) sobre una variable respuesta

(variable numérica).

Permite hacer inferencias acerca de si nuestras muestras se

tomaron de poblaciones que tienen la misma media.

Por ejemplo, se quisiera comparar: El kilometraje logrado por 4 tipos diferentes de gasolina.

Los ingresos del primer año de los graduados de 5 escuelas de

gestión.

Tiempo para llegar a la universidad debido al tipo de transporte

empleado.


ANOVA DE UN FACTOR ó UNIFACTORIAL

Es el modelo lineal en el que la variable analizada la

hacemos depender de un sólo factor.

De tal manera que las causas de su variabilidad son

englobadas en un componente aleatorio que se denomina

error experimental o muestral.

ANOVA permite decidir si los distintos niveles del factor

establecen diferentes subpoblaciones en la respuesta o,

por el contrario, el comportamiento de ésta es la misma

para todos los niveles y se tiene una única población.

Estudiaremos ANOVA de un factor.


SUPUESTOS DEL ANOVA

Supuestos:

Cada muestra se toma de una población normal.

Muestras son independientes.

C/u de estas poblaciones tiene la misma varianza, 2.

Pero, si los tamaños de muestra son lo suficientemente

grandes, no se requiere el supuesto de normalidad.

Cuando se cumplen estas condiciones, se emplea la

F como la distribución del estadístico de prueba.


Se emplea cuando:

Queremos ver los efectos de una variable cualitativa (ofactor X) sobre una variable cuantitativa Y.

Quisiéramos saber si entre Y e X hay relación o no.

ANOVA DE UN FACTOR

Nota en el curso / cercanía a la pizarra

Tiempo de cura / medicamento utilizado

Productividad del trabajador / turno

Ingreso familiar / categoría de colegio

Monto del préstamo / ubicación de la empresa

Ejemplos:

Y: variable respuesta (numérica)

X: factor (cualitativa)


¿Son independientes Y y X?

¿Hay relación entre Y y X?

¿Hay diferencias significativas en el valor de Y, según que X tome uno u otro valor?

¿Influye X en el valor de Y?

¿Hay diferencias en los valores de Y, entre los distintos grupos determinados por X?

XFactor

Variable independiente

(v. cualitativa)

YVariable respuesta,

Variable dependiente

(v. cuantitativa)

¿QUÉ PREGUNTAS PUEDO HACER SOBRE LA

RELACIÓN DE DOS VARIABLES USANDO ANOVA?


X (factor)

Y (respuesta)

1 2 3

µ1

µ2

µ3

Niveles de factor

Media de Y en cada nivel de factor

GRAFICAMENTE


X: factor (cualitativa) con tres niveles

Muestra agrupadas en los tres niveles


EJEMPLO ANOVA DE UN FACTOR

Imaginen que dicto en un salón a 13 estudiantes y los

separo en 3 grupos bajo el criterio de lejanía de la

pizarra (distancia cercana, mediana, lejana).

El problema que se plantea es analizar si los

distintos niveles del factor bajo estudio

(X=distancia a la pizarra) influyen de igual forma en

la variable respuesta (Y=nota del curso).

Debemos ver si:¿Y, X guardan relación?.

¿Hay diferencias significativas en Y según distintos

valores de X?


X=distancia

Y=nota

1 2 3

µ1

µ2

µ3

µ

Media global

EJEMPLO GRÁFICO


X: factor (cualitativa) con tres niveles

Muestra de 13 observaciones agrupadas en los 3 niveles


H0: µ1= µ2= µ3 (promedios iguales)

H1: No todas las medias son iguales ó Por lo menos

una µi es distinta

Rechazar H0 equivale a

encontrar dependencia

entre X e Y.

¿CUÁL ES LA HIPÓTESIS A EVALUAR?

H0 equivale a decir que:

Y, X son independientes;

Y, X no guardan relación;

X no influye en el valor de Y.

La mejor estrategia para contrastar la H0 es La

Descomposición de la varianza total de los datos.

Si el valor de X no guarda relación con el de Y ¿cómo

deberían ser las Notas promedios µ1, µ2, µ3?: IGUALES.


EJEMPLO Podríamos tener:

PRUEBA ANOVA: Determinar si las medias muestrales

provienen de una sola población o de poblaciones con medias

diferentes.

(a) Medias no son iguales(Hay un efecto del factor en

la nota)

cerca

medio

lejos cerca

medio

lejos

Nota Nota

(b) Medias son iguales (No

hay relación entre el factor

X y la nota Y).


Descomposición de la varianza total (VT) de los datos en 2:

- Variación entre muestras o Inter ó Entre-grupos,

cuantifica la dispersión de las medias de las muestras

con respecto a la media global (SCE).

- Variación dentro de las muestras o Intra-Dentro de los

grupos, cuantifica la dispersión de los valores de cada

muestra con respecto a sus correspondientes medias.

ELEMENTOS DE LA DESCOMPOSICIÓN

DE LA VARIACIÓN


En el ejemplo: El problema es analizar si los distintos

niveles del factor bajo estudio (X= distancia a la pizarra)

influyen de igual forma en la respuesta (Y=nota).

Para resolver el problema se propone descomponer la

varianza de la respuesta (varianza total = SCT) en 2 partes:

La originada por el factor bajo estudio (X) = Variación

Explicada por el factor = (SCE)

La producida por el resto de factores, conocidos o no,

denominado error experimental o en la muestra =

(SCR).


DE LA VARIACIÓN


Sean:

Variación Total = SCT: Suma de cuadrados totales.

Variación explicada= SCE: suma de cuadrados explicados por

el factor (por X).

Variación residual= SCR: Suma de cuadrados de los residuos.

Donde:

Residuo o error experimental = σ

Número de niveles o tratamientos del factor = t (en ejemplo=3)


DE LA VARIACIÓN

SCT = SCE + SCR


Fuente de

variación

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Varianzas ó

cuadrados

medios

Cociente

F

Tratamientos

(Entre-

grupos)SCE

t – 1

t = n° de

tratamientos

s2E=SCE/(t-1)

Error

(Dentro del

grupo)

SCR n – t s2R=SCR/(n-t)

Total

(Var. Total) SCT n-1

22ˆ/ˆ RE ss

tntRE Fss ,1

22ˆ/ˆ

TABLA ANOVA

Rechazamos H0 si p-valor de F < nivel

de significancia ().

Efecto del factor

Efecto del error


EJERCICIO

Desde hace algún tiempo las aerolíneas han reducido sus

servicios, como alimentos y bocadillos durante sus vuelos.

Hace poco un grupo de 4 aerolíneas (A,B,C y D) contrató a

una encuestadora para encuestar a sus pasajeros sobre la

adquisición de boletos, abordaje y servicio durante el vuelo,

entre otros, etc.

Hicieron 25 preguntas con diversas respuestas posibles:

excelente (=4), bueno (=3), regular (=2) o deficiente (=1).

Estas respuestas se sumaron, de modo que la calificación

final fue una indicación de la satisfacción con el vuelo. La

calificación mayor posible fue 100.


EJERCICIO

La encuestadora seleccionó y estudio al azar pasajeros de

las 4 aerolíneas:

Hay alguna diferencia en el nivel de satisfacción medio

entre las 4 aerolíneas? Use α = 0.01.

A B C D

94 75 70 68

90 68 73 70

85 77 76 72

80 83 78 65

88 80 74

68 65

65


EJERCICIO

Paso 1: Formule las hipótesis. La hipótesis nula es que

las calificaciones medias son iguales para las 4 aerolíneas.

Paso 2: Seleccione el nivel de significancia: 0.01.

H0: µ1= µ2= µ3 = µ4

H1: No son todas iguales

Paso 3: Determine el estadístico de prueba.

SCE / (t-1) s2E

F = ----------------- = ------SCR / (n-t) s2

R

tntRE Fss ,1

22ˆ/ˆ


EJERCICIO

Paso 4: Formule la regla de decisión. Se necesita el valor

critico.

grados de libertad en el numerador= t – 1 = 4 – 1 = 3

t = numero de tratamientos = 4

grados de libertad en el denominador = n – t = 22-4 =18

n = numero total de observaciones = 22

Paso 5: Tome una decisión.

Es conveniente resumir los cálculos del estadístico F en una

tabla ANOVA.


Ejercicio Empleando Excel

Para emplear ANOVA DE UN FACTOR ir a la opción Datos

y buscar Análisis de datos. Seleccionar Análisis de

varianza de un factor y saldrá esta ventana:

Definir el

alfa

0.01


EJERCICIO

Análisis de varianza de un factor

RESUMEN

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

A 4 349 87.25 36.916667

B 5 391 78.2 58.7

C 7 510 72.85714286 30.142857

D 6 414 69 13.6


Fest > FcríticoRechazar H0 ó

ANÁLISIS DE VARIANZA

Origen de las

variaciones

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de los

cuadrados F Probabilidad

Valor crítico

para F

Entre grupos 890.6837662 3 296.8945887 8.9906433 0.000742769 5.091889521

Dentro de los grupos 594.4071429 18 33.02261905

Total 1485.090909 21

Efecto del factor

Efecto del error

No todas las medias poblacionales son iguales. Las

calificaciones medias no son iguales para las 4 aerolíneas.Hay una diferencia en las medias del tratamiento, no se puede

determinar cuales ni cuantos grupos de tratamientos difieren.

Prob < 0.01 Rechazar H0


ANOVA: ESTADISTICO F

Rechazar H0: Hay

diferencia en las medias

Aceptar H0 : µ1=µ2=µ3=µ4

Valor crítico

F5%(t-1, n-t) =(3,18)= 5.09

=0.01

Festimado= 8.99

prob=0.0007


Levin, R. y Rubin, D. (2010). Cap. 11 (11.4).

McDaniel, Carl y Roger Gates (2010). Cap 8.

BIBLIOGRAFIA

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Education

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