Metodos Numericos Gauss-jordan

5/9/2018 Metodos Numericos Gauss-jordan - slidepdf.com

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MÉTODOS DE

RESOLUCIÓN: MÉTODO DEGAUSS-JORDAN



Definición

El método de Gauss-Jordan es unmétodo aplicable únicamente a lossistemas lineales de ecuaciones,consiste en que a partir de la matrizaumentada del sistema de ecuaciones(matriz de coeficientes y de términosindependientes), se halla otra matrizequivalente a la matriz aumentadamediante operaciones elementales de

fila y/o columna, hasta obtenerecuaciones de una sola incógnita, cuyovalor será igual al coeficiente situado enla misma fila de la matriz.

La nueva matriz hallada puede ser unamatriz identidad o una matriz



La matriz de coeficientes nonecesariamente debe ser una matriz

cuadrada, puede ser de cualquier tipo.Con este procedimiento logramos las

soluciones de cada incógnita sin

emplear la sustitución hacia atrás paraobtener la solución de las mismas. En elmétodo de Gauss, a partir de la últimaecuación, se sustituye su solución en la

anterior, realizando este proceso contodas las ecuaciones, y se encuentra lassoluciones. El método de Gauss-Jordan

permite encontrar las soluciones



Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones

Su matriz aumentada correspondientees:

Y las soluciones que obtendremos alaplicar el método son:x= 1y=-1

z= 2



Procedimiento

1. Escribimos la matriz aumentadacorrespondiente al sistema deecuaciones.

2. Ir a la columna no cero extrema

izquierda. Si la primera fila tiene uncero en esta columna, intercambiarlacon otra que no lo tenga, también sepuede intercambiar por otra columna.

3. Realizamos operaciones de fila ocolumna, según sea el caso, paraobtener el 1 en la primera fila:* Multiplicar una fila o columna por unescalar no nulo.



* Intercambiar de posición dos filasentre si o dos columnas entre si.

* Sumar a una fila o columna un múltiplode otra.Nota: las operaciones se realizan entre

filas o entre columnas, no entre filas y

columnas, por ejemplo no se puedehacer esto: a la fila 1 sumar la columnados.

4. Obtener ceros debajo de este primerelemento delantero (el 1conseguido en el paso anterior),mediante las operaciones anteriores.

5. Se aplican los mismos pasos paraobtener el 1 en las si uientes filas



el 1 principal de la fila anterior. Debajode cada 1 principal deben constar

ceros.En resumen: cada fila debe comenzar

con un 1, teniendo ceros a su izquierda

y debajo, se realiza así para que elproceso sea más fácil.

6. Comenzando con la última fila no nula,avanzar hacia arriba: para cada filaobtener un 1 e introducir ceros arriba deeste aplicando las operaciones necesariaspara conseguirlo. Luego de realizar este

paso con todas las filas se obtendrá unamatriz escalonada reducida or filas o una



tiva solución que se encuentra en lamatriz de términos independientes,

obteniendo así las soluciones al sistemade ecuaciones.



Observaciones

• El método de Gauss-Jordan es unavariación del método de Gauss. Laprincipal diferencia consiste en que el

método de Gauss-Jordan, cuando seelimina una incógnita no solo se eliminade las ecuaciones siguientes si no de

todas las otras ecuaciones. De estaforma el paso de eliminación genera unamatriz identidad o una matrizescalonada reducida por filas.



Aplicaciones

Este método sirve para:

• Hallar una matriz escalonadareducida por filas o una matrizidentidad.

• Hallar la matriz inversa.•

Analizar los sistemas de ecuacioneslineales que involucran 1 o másconstantes cuyos valores para el cualel sistema tiene única solución, tiene

infinitas soluciones o no tiene

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