S.E.L.

I.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1. Introducción.................................................................................................. 2. Concepto de sistema de ecuaciones lineales................................................ 3. Solución de un sistema................................................................................. 4. Tipos de sistemas. Discusión de sistemas.................................................... 5. Notaciones matricial y vectorial.................................................................... 6. Sistemas equivalentes..................................................................................A. Teorema fundamental de equivalencia. Consecuencias...............................B. Método de eliminación de Gauss-Jordan....................................................... 7. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer......................................................... 8. Teorema de Rouché-Fröbenius. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales............................................................................................. 9. Sistemas homogéneos. Discusión y resolución.............................................10. Eliminación de parámetros...........................................................................11. Ejercicios.......................................................................................................12. Problemas.....................................................................................................13. Ejercicios propuestos en selectividad...........................................................

────────────────────────────────────────

S E LA E N I L S E N O I CA UC E E D SA M E T S I S . 4 . I

1. INTRODUCCIÓN.

El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, haciendo abstracción del tipo de problemas que origina su planteamiento.Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es.Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones).Los casos más sencillos (2 ecuaciones con 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas ...) ya se han estudiado en Bachillerato. Aquí, analizaremos el caso general: cualquier número de ecuaciones y cualquier número de incógnitas.

2. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas . Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

c = x a + . . . + x a + x a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = x a + . . . + x a + x ac = x a + . . . + x a + x a

mnn m 22 m 11 m

2nn 2 22 2 11 2

1nn 1 22 1 11 1

] 1 [

xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).

Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.Los escalares aij y ci son números reales.El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.

Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

0 = t + z 3 -y +x 1 = t 2 + z +y

2 = t - z +y 2 - x 3

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.

────────────────────────────────────────

El término independiente de la misma es el 2.

────────────────────────────────────────

3. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA.

Solución de un sistema. Es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones).

Dado el sistema:

0 = t + z 3 -y +x 1 = t 2 + z +y

2 = t - z +y 2 - x 3

Una solución suya es x=61 ; y=

34 - ; z=0; t=

67 . Compruébese.

4. TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS.

Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones:

1. Incompatible. No tiene solución.2. Compatible. Tiene solución.a. Compatible determinado. Única solución.b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

8 =y 2 + x 2

3 =y +x incompatible. No tiene solución.

1 =y -x 3 =y +x

compatible determinado. Única solución.

6 =y 2 + x 2

3 =y +x compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

5. NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL.

Los conocimientos adquiridos sobre matrices facilitan la escritura de un sistema de ecuaciones lineales de manera más reducida.

Consideremos un sistema como el [1], escrito en forma clásica.

────────────────────────────────────────

En él se pueden considerar las siguientes matrices:

a...2a1a

. . .. . .. . .. . .

a...aa

a...aa

=A

mnmm

n22221

n11211

c a. . .2a1a

. . . . . .. . .. . .. . .

c a. . .aa

c a. . .aa

= B

mmnmm

2n22221

1n11211

x

. . .

x

x

= X

n

2

1

c

. . .

c

c

= C

m

2

1

A es la matriz de los coeficientes de orden mxn. B es la matriz ampliada de orden mx(n+1).

El sistema [1] se puede escribir en forma matricial así: C = X A ] 2 [

Si en el sistema [1] consideramos las siguientes matrices:

a

. . .

a

a

= A

1m

21

11

1

a

. . .

a

a

= A

2m

22

12

2 . . .

a

. . .

a

a

= A

mn

n2

n1

n

c

. . .

c

c

= C

m

2

1

El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:

C = x A + . . . + x A + x A nn2211 ] 3 [

En esta notación, las soluciones de un sistema son los vectores de la forma:

S=(s1, s2, ..., sn)Rn

y se verifica la siguiente relación: A1s1 + A2s2 + ... + Ansn = C

────────────────────────────────────────

Consideremos el sistema:

4 = z +y 5 - x 30 = z 2 -y 4 +x

6 = z +y - x 2

15 -3

2 -41

11 -2

=A

4 15 -3

0 2 -41

6 11 -2

= B

A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de orden 3x4.El sistema se puede escribir de las siguientes formas:

Forma matricial:

15 -3

2 -41

11 -2

z

y

x

=

4

0

6

Forma vectorial:

3

1

2

x +

5 -

4

1 -

y +

1

2 -

1

z =

4

0

6

En el sistema:

7 = t 2 + z +y +x 4 = t - z 2 +y +x

8 - = t + z 3 -y 2 + x 3 el vector s=(-1,1,3,2) es solución, ya que se

verifica:

1

1

3

(-1) +

1

1

2

(1) +

1

2

3 -

(3) +

2

1 -

1

(2) =

7

4

8 -

. Compruébese.

6. SISTEMAS EQUIVALENTES.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es solución del segundo y viceversa. (No es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones)

Los sistemas:

2 =y -x 5 =y - x 26 =y 3 +x

7 =y 2 - x 36 =y 3 +x

son equivalentes.

Ambos son compatibles determinados y su solución es: x=3, y=1.Definición. En un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones del sistema, si se obtiene como resultado de sumar las ecuaciones del mismo previamente multiplicadas por un número real.

────────────────────────────────────────

Consideremos el sistema:

1 - = z 2 -y 2 -x 3 = z +y 2 - x 2

4 =y 2 + x 3

Multiplicando la 1ª ecuación por 2, la 2ª por -1, la 3ª por 3 y sumándolas:2(3x+2y) + (-1)(2x-2y+z) + 3(x-2y-2z) = 24 + (-1)3 + 3(-1).Obtenemos: 7x - 7z = 2, que es combinación lineal de las del sistema dado.

Los resultados que veremos a continuación, permiten ir transformando un sistema en otros equivalentes cuyas soluciones puedan obtenerse con mayor facilidad.

A. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA. CONSECUENCIAS.

Teorema fundamental de equivalencia. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero.

Demostración.......................

Sea el sistema:

0 = z 2 +y 5 = z -y + x 24 - = z 3 +y -x

Multiplicando la primera ecuación por (-2) y

sumándola a la segunda, se obtiene:

0 = z 2 +y 13 - = z 7 -y 3

4 - = z 3 +y -x Multiplicando la primera ecuación por

(-3) y sumándola a la segunda:

13 = z 13 -0 = z 2 +y

4 - = z 3 +y -x y, de aquí, se obtiene rápidamente como solución: z=-1, y=2, x=1.

De este teorema se siguen las siguientes consecuencias:

1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se suprime una ecuación que es combinación lineal de las restantes, el sistema obtenido es equivalente al dado.

DemostraciónEs evidente a partir del teorema fundamental.

────────────────────────────────────────

2. Si en un sistema de ecuaciones lineales multiplicamos la ecuación i por α0, se obtiene otro sistema equivalente.

DemostraciónEs un caso particular del teorema fundamental.

B. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN.

Las operaciones efectuadas en el ejemplo anterior con las ecuaciones del sistema, podríamos realizarlas en la matriz ampliada del sistema, así surge el:

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas.

Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir.

Resolvamos el sistema:

2 = z 2 +y - x 53 = z +y 3 + x 2

1 = z -y +x Consideramos la matriz ampliada asociada al

sistema, separando un poco la columna de los términos independientes:

2 21 -5

3 132

1 1 -11

(a)

3 - 76 -0

1 310

1 1 -11

(b)

3 2500

1 310

1 1 -11

(a) [0 1 3 1] = (-2)[1 1 -1 1] + [2 3 1 3], [0 -6 7 -3] = (-5)[1 1 -1 1] + [5 -1 2 2](b) [0 0 25 3] = 6[0 1 3 1] + [0 -6 7 -3]

Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

3 = z 251 = z 3 +y

1 = z -y +x

Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z=253 , y=

2516 , x=

2512 .

Se trata de un sistema compatible determinado.

────────────────────────────────────────

Resolvamos el sistema:

2 = t 2 + z 2 +y -x 4 = t 3 + z 5 + x 2

8 = t - z 11 +y 3 + x 3 La matriz ampliada es:

2 221 -1

4 3502

8 1 -1133

Intercambiando la primera fila con la tercera queda:

8 1 -1133

4 3502

2 221 -1

(a)

2 7 -560

0 1 -120

2 221 -1

(b)

2 4 -200

0 1 -120

2 221 -1

(a) [0 2 1 -1] = (-2)[1 -1 2 2] + [2 0 5 3] [0 6 5 -7] = (-3)[1 -1 2 2] + [3 3 11 -1](b) [0 0 2 -4] = (-3)[0 2 1 -1] + [0 6 5 -7]

Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

2 = t 4 - z 20 = t - z +y 2

2 = t 2 + z 2 +y -x

Resolvemos la última ecuación, z=1+2t; si hacemos t=α, queda: z=1+2α; y=21 - -

2 ; x=

21 - -

2 13

; t=α.Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro α.Es un sistema compatible indeterminado.

Resolvamos el sistema:

1 = z 8 +y 4 + x 23 = z 4 +y 2 +x

2 - = z +y - La matriz ampliada es:

1 842

3 421

2 - 11 -0

Intercambiamos las dos primeras filas queda:

1 842

2 - 11 -0

3 421

(a)

5 - 000

2 - 11 -0

3 421

(a) [0 0 0 -5] = (-2)[1 2 4 3] + [2 4 8 1]

Luego el sistema nos ha quedado de la siguiente forma:

5 - = 02 - = z +y -

3 = z 4 +y 2 +x

Se observa que el sistema es incompatible.

Ejercicios.

────────────────────────────────────────

1. Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resuelve los sistemas:

a)

4 = z +y -x 3 =y + x -

2 = z +x 0 = z -y 2 + x 3

b)

1 = z -y 2 + x -0 = z +y +x

1 - = t + z -y + x 2

Solución. a) Incompatible. b) x=95 -

3 - , y=

31 , z=

92 +

3 , t=α.

2.

────────────────────────────────────────

7. SISTEMAS DE CRAMER. REGLA DE CRAMER.

El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de seguir el proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas.La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.

Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y │A│0. Es decir: La matriz A es cuadrada y regular.En tal caso, A tiene inversa A-1, por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A-1:A-1AX = A-1C X=A-1C C

_A_A = X

*

_A_c + . . . + c + c

= x njn 2j 2 1j 1 j

O sea:

_A_

a. . .c. . .2a1a

. . .. . . . . .. . .. . .. . .

a. . .c. . .aa

a. . .c. . .aa

= x mnmmm

n222221

n111211

j

que son las fórmulas de Cramer, las

cuales se recogen en la siguiente regla:

Regla de Cramer. El valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo numerador es un determinante que se obtiene al reemplazar la columna j por la columna que forman los términos independientes, y cuyo denominador es │A│.

Resolvamos el sistema:

2 = z +y - x 21 = z 3 -y + x -4 = z +y 2 -x

m=n=3 y │A│=70. Luego, es un sistema de

Cramer.

73 =

7

11 -2

3 -11

12 -4

=x

;

717 - =

7

122

3 -11 -

141

=y

;

79 - =

7

21 -2

111 -

42 -1

= z

.

────────────────────────────────────────

Por tanto, la solución del sistema es: x=73 , y=

717 - , z=

79 - .

Resolvamos el sistema:

0 =y + x 22 = z 3 +y +x

7 - = z 6 +y 2 - x 5 m=n=3 y │A│=-330. Luego, es un

sistema de Cramer.

1 - = 33 -33 =

33 -

010

312

62 -7 -

=x

;

2 = 33 -66 - =

33 -

002

321

67 -5

=y

;

31 =

33 -11 - =

33 -

012

211

7 -2 -5

= z

.

Por tanto, la solución del sistema es: x=-1, y=2, z=31 .

Ejercicios.

1. Resuelve el sistema:

0 = z 2 +y 5 = z -y + x 24 - = z 3 +y -x

Solución. │A│=13, x=1, y=2, z=-1.

2. Resuelve el sistema:

1 = z 2 +y - x 22 - = z 2 -y

2 - = z +y -x Solución. │A│=2, x=

21 -

, y=5, z=27

.

────────────────────────────────────────

8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN Y RESO - LUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Vamos a ver ahora el caso más general de sistemas de ecuaciones lineales. Obtendremos una condición necesaria y suficiente de compatibilidad, un criterio de clasificación y un método de resolución. Todo ello se basa en el teorema de Rouché-Fröbenius.

Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

c = x a + . . . + x a + x a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = x a + . . . + x a + x ac = x a + . . . + x a + x a

mnn m 22 m 11 m

2nn 2 22 2 11 2

1nn 1 22 1 11 1

] 1 [

Escrito en forma vectorial: C = x A + . . . + x A + x A nn2211 ] 2 [ siendo A1, A2, ..., An los vectores columna de la matriz de los coeficientes.

Sean: A la matriz de coeficientes, B la matriz ampliada y r(A)=h.

Teorema de Rouché-Fröbenius. a) El sistema [1] tiene solución rango (B) = h. b) Si h=n, el sistema tiene solución única. c) Si h<n, el sistema tiene infinitas soluciones.

Demostracióna) Si existe solución (s1,s2,...,sn), la ecuación vectorial [2] indica que C puede ponerse como combinación lineal de A1, A2, ..., An, y, por tanto, r(B)=h. Recíprocamente, si r(B)=h, C podrá expresarse como combinación lineal de los h vectores columna Ai linealmente independientes.Supongamos que sean A1, A2, ..., Ah. Existen (s1,s2,...,sn, 0, ..., 0) tales que: A1s1 + A2s2 + ... + Ahsh + Ah+10 + ... + An0 = C, y, por tanto, existe solución.b) Si r(B)=h, supongamos como vectores linealmente independientes A1, A2, ..., Ah. Entonces, la ecuación vectorial [2] puede escribirse de la siguiente forma:A1x1 + A2x2 + ... + Ahxh = C - Ah+1xh+1 - ... - Anxn [3]Esto indica que, cualesquiera que sean xh+1, ..., xn, el segundo miembro de la expresión [3] es combinación lineal de A1, A2, ..., Ah.Si h=n, el segundo miembro de [3] queda reducido a C, y el sistema admitiría solución única.c) Si h<n, dando valores arbitrarios a xh+1, ..., xn en la expresión [3], se obtienen infinitas soluciones.

────────────────────────────────────────

El teorema puede resumirse de la forma siguiente:

Discute y resuelve el sistema:

1 = z +x 0 = z +y + x 2

0 = z -y +x │A│=1. r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. El

sistema es compatible determinado. Aplicando el método de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: x=-1, y=-3, z=2.

Discute y resuelve el sistema:

2 - = z -y 2 + x -0 =y - x 2

1 = z -y + x 22 = z +y 2 -x

r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. El sistema

es compatible determinado. Aplicando el método de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: x=3, y=6, z=11.

Discute y resuelve el sistema:

1 - = t 9 -y 6 + x 30 = t 2 + z -y +x

0 = t 6 -y 4 + x 21 = t - z +y - x 3

r(A)=3; r(B)=4. El sistema es

incompatible.

Discute y resuelve el sistema:

2 = z +y -x

1 - = t + z -y 2 + x 2 r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. El

sistema es compatible indeterminado.Tomamos como incógnitas principales x, y. Obtenemos infinitas soluciones dependientes de dos

parámetros:

z - 2 =y -x

t- z + 1 - =y 2 + x 2 Aplicando la regla de Cramer y haciendo z=α y t=ß,

queda como solución:

x=4 -

4 -

43 , y=

4 -

43 +

45 - , z=α, t=ß.

Veamos algunas de las infinitas soluciones:

Si hacemos α=1 y ß=1, obtenemos: x=41 , y=

43 - , z=1, t=1.

Si hacemos α=-1 y ß=0, obtenemos: x=1, y=-2, z=-1, t=0. Discute y resuelve, según los valores de a, el sistema:

────────────────────────────────────────

Rango (A) Rango (B) Incompatible.

Rango (A) = Rango (B) Compatible. Si h=n. Determinado. Solu-ción única.Rango (A) = Rango (B) Compatible. Si h<n. Indeterminado. Infi-nitas soluciones que dependen de n-h parámetros.

9 + a 2 - a = z ) 1 - a ( +y ) 1 + a ( + x 22 + a 2 =y a + x a

a = z ) 2 + a 2 ( +y ) 1 + a 2 ( + x ) a - 1 (

2

Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

1 - a1 + a2

0aa

2 + a 21 + a 2a - 1

=A

9 + a 2 - a 1 - a1 + a2

2 + a 2 0aa

a 2 + a 21 + a 2a - 1

= B2

│A│=-a(a-1)

(a-2).Pueden considerarse los siguientes casos.1º) Si a0, a1, a2: │A│0; por tanto r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. S.C.D. Solución única.Resolviéndolo por la regla de Cramer, se obtiene:

) 2 - a ( a -6 - a 4 - a + a 2 - =x

23

) 2 - a ( a -

10 + a 6 + a 3 - a 2 =y 23

) 2 - a ( a -

2 - a 12 - a 6 + a 3 - = z23

Por ejemplo, si a=-1, obtendríamos como solución: x=31 - , y=

31 , z=

319 - .

2º) Si a=0: Queda el sistema:

0 = z -y + x 22 = 0

0 = z 2 +y +x Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incom-

patible, lo cual en este caso es evidente observando la segunda ecuación.

3º) Si a=1: Queda el sistema:

8 =y 2 + x 24 =y +x

1 = z 4 +y 3 r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. S.C.I. Infinitas

soluciones que dependen de un parámetro.

Aplicando Gauss, o Cramer, se obtiene: x=4-α, y=α, z=41 +

4 3 - .

4º) Si a=2: Queda el sistema:

9 = z +y 3 + x 26 =y 2 + x 2

2 = z 6 +y 5 + x - Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es

incompatible.RESUMEN: Para a0, a1, a2: S.C.D. Solución única.Para a=0: S.I. Ninguna solución.Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.Para a=2: S.I. Ninguna solución.

────────────────────────────────────────

Ejercicios.

1) Discute y resuelve los siguientes sistema de ecuaciones lineales según los valores del (de los) parámetros que se indican.

a)

0 = t 2 + z 2 -y 2 + x 21 = t 2 + z +y - x 2

2 = t + z -y +x Solución. S.I.

b)

1 - = z -y 2 = z a -y +x 1 = z +y 2 - x 3

Solución. Si a34

: S.C.D. Si a=34

: S.I.

c)

a = z a +y +x a = z a +y +x

1 = z +y +x

2

Solución. Para a0, a1: S.I. Ninguna solución.

Para a=0: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. x=t, y=-t, z=1.Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros. x=α, y=ß, z=1-α-ß.

d)

a = z a +y a + x a2 = z -y a

0 = z a +y 3 + x 2 Solución. Si a0, a1: S.C.D. Si a=0: S.C.I. x=

2 3 -

, y=α, z=-2. Si

a=1: S.I.

e)

1 = z +y b + x ab = z +y b a +x 1 = z a +y b +x

Solución. Si b0, a1, a-2: S.C.D.

Si a=-2 r(A)=2. Si b=-2 r(B)=2: S.C.I.Si a=-2 r(A)=2. Si b-2 r(B)=3: S.I.Si a=1 r(A)=1. Si b=1 r(B)=1: S.C.I.Si a=1 r(A)=1. Si b1 r(B)=2: S.I.Si b=0 y a=1 r(A)=1, r(B)=2: S.I.Si b=0 y a1 r(A)=2, r(B)=3: S.I.

9. SISTEMAS HOMOGÉNEOS. DISCUSIÓN Y RESO LUCIÓN .

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, si todos los términos independientes son nulos.

Consideremos el siguiente sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas:

────────────────────────────────────────

0 = x a + . . . + x a + x a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 = x a + . . . + x a + x a

0 = x a + . . . + x a + x a

nn m 22 m 11 m

nn 2 22 2 11 2

nn 1 22 1 11 1

] 1 [

Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius a este sistema, resulta que siempre tendrá solución, ya que siempre se cumple que r(A)=r(B).

Si r(A)=número de incógnitas, existirá una única solución que será la solución trivial:

x1 = x2 = ... = xn = 0

Si r(A)<número de incógnitas, existirán infinitas soluciones.Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema:

Teorema. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene solución distinta de la trivial el rango de la matriz los coeficientes es menor que el número de incógnitas.

Corolario. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene solución distinta de la trivial el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

DemostraciónEs evidente a partir del teorema anterior.

Dado el sistema:

0 = z +y 2 + x 30 = z 2 +y 5 +x

0 = z -y 3 - x 2

123

251

1 -3 -2

=A Calculemos el rango de la

matriz A.

123

251

1 -3 -2

5 -13 -0

5 -13 -0

1 -3 -2

000

5 -13 -0

1 -3 -2

r(A)=2 < número de incógnitas=3. Luego habrá infinitas soluciones, que serán las del sistema

equivalente:

0 = z 5 -y 13 -0 = z -y 3 - x 2

y=13

z 5 - , x=13

z - .

Dado el sistema:

0 = z 3 -y -x 0 = z 7 -y + x 40 = z -y 3 + x 2

r(A)=2 < nº incógnitas=3. Por tanto habrá infinitas

soluciones que dependen de un parámetro: x=α, y=-α, z=α.

────────────────────────────────────────

Dado el sistema:

0 = z 2 -y +x 0 = z -y - x 20 = z 3 +y 2 -x

│A│0. r(A)=3=nº incógnitas, el sistema es

compatible determinado. La única solución posible es la trivial: x=0, y=0, z=0.

Ejercicios.

1. Discute y resuelve los siguientes sistema de ecuaciones lineales homogéneos según los valores del (de los) parámetros que se indican.

a)

0 = z 3 +y + x 20 = z m 4 +y 2 + x 3

0 = z m +y +x

Solución. Si m1, S.C.D. La única solución es la trivial.Si m=1, S.C.I. Las infinitas soluciones son: x=-2α, y=α, z=α.

b)

0 = z +y + x m0 = z +y +x 0 = z +y m -x

Solución.

c)

0 = z m -y 7 + x m 20 =y 3 + x m

0 = z -y m +x

Solución.

d)

0 = z 2 +y - x m0 = z 2 +y

0 = z m +y 3 - x 20 = z 3 +y m 2 -x

Solución.

e)

0 = z 6 +y m - x 2

0 = z m -y 3 +x

Solución.

f)

0 = z ) a + 5 ( +y + x 40 = z +y 5 + x ) a 2 - 2 (

0 = z -y a -x

Solución. Si a=-2 ó a=2

46 2 - , S.C.I.

10. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS.

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────────────────────────────────────────

11. EJERCICIOS.

1. Demuestra que un sistema de n ecuaciones con n-1 incógnitas es incompatible si │A│0.Solución.

2. Dado el sistema:

0 = x a + . . . + x a + x a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 = x a + . . . + x a + x a

0 = x a + . . . + x a + x a

nn m 22 m 11 m

nn 2 22 2 11 2

nn 1 22 1 11 1

Comprueba que el

conjunto de sus soluciones constituye un subespacio vectorial de Rn de dimensión n-r(A). Siendo A la matriz de coeficientes del sistema.Solución.

3. Discute y resuelve según los valores de a, el sistema:

0 = z 2 -y 3 -x 0 = z a +y + x 20 = z 6 +y 2 + x 3

Solución. 4. Discute y resuelve según los valores de a y b, el sistema:

2 = z +y +x 4 = z b +y a - x 2

2 = z +x

Solución. 5. Discute y resuelve según los valores de a, el sistema:

1 + a = z +y +x a = z ) 1 - a ( +y + x a

1 = z +y a +x

Soluc ión . 6. a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿puede ser incompatible? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo.b) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo.c) Un sistema de dos ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo.d) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo.Soluc ión . 7.Soluc ión .

12. PROBLEMAS.

1.

────────────────────────────────────────

2.3.

────────────────────────────────────────

13. EJERCICIOS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD.

1. a) Discute el sistema:

2 = z 2 - x 32 - =y 2 -x

4 = z -y 3.

b) ¿Para qué valores de a y b el siguiente sistema:

a 2 - = z -y b) + (1

b - =y a +x es equivalente al anterior? Razona tu respuesta.

Solución. a) │A│=0. Como 01

1-0 0 r(A)=2=r(B) ya que

22 -3

2 -01

41 -0

. S.C.I.

soluciones que dependen de 1 parámetro.b) Solución del primer sistema: x=-2+2α, y=α, z=3α-4.Solución del segundo sistema: x=-b-aß, y=ß, z=(1+b)ß+2a.Igualando soluciones: -2+2α=-b-aß, α=ß, 3α-4=(1+b)ß+2a. Resolviendo este sistema por sustitución se obtiene que a=-2 y que b=2. Salvo cuando α=± 2 . 2. Sean a, b, c tres números reales positivos. Prueba que el sistema:

y b + x a = zz c + x a =y z c +y b =x

tiene solución distinta de la trivial si y sólo si:

1 = 1 + c

c + 1 + b

b + 1 + a

a .Solución. 3. Estudia para qué valores de a y b los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes:

0 = z +y b + x a

0 = z +y -x

0 = z a + x b

0 = z +y + x 2

Solución. a) Solución de (2) con parámetro z.b) Solución de (1) con parámetro z.c) Igualando soluciones: ... a=6 y b=9.

4. Determina el valor de m para que el sistema:

3 = z +y + x -1 = z -y +x 7 = z +y -x

m = z 4 -y m + x 2

sea

compatible y calcula su solución.Solución.

5. Discute el sistema:

0 = z a) + (1 +y +x a = z +y +x

a 2 = z +y a) + (1 +x según los valores de a, y

resuélvelo cuando sea compatible.

────────────────────────────────────────

Solución. 6. Un padre y sus dos hijos tienen un total de 84 años. Cuando el mayor tenía la edad del pequeño, la de éste era

52 de la edad actual del mayor, y

cuando el pequeño tenga la edad del mayor, los tres sumarán 102 años. Calcula la edad de cada uno resolviendo el sistema de ecuaciones lineales a que dan lugar las condiciones anteriores.Solución. x, x+a, x+a+b. x-a=

52 (x+a). m=14, M=20, P=50.

7. Determina el valor de a para que el sistema:

1 = z -y +x 3 = z +y + x -

a = z 4 -y a + x 2 -3 = z +y -

sea

compatible y calcula su solución.Solución. x=4, y=2, z=5.

8. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

b = z a) - (1 +y a + x a2 = z +y b +x

b = z a) - (1 +y b a + x a

a) Demuestra que si a=0, dicho sistema representa una recta y halla sus ecuaciones paramétricas.b) ¿Para qué valores de a y b representa un plano?Solución. a) x=(2-b)-bα, y=α, z=b. b) a=

21 , b=1.

9. Encuentra todas las soluciones del sistema siguiente según los valores de a:

2 = z + x 2

1 = z a +y +x

Solución. x=1-2 , y=

2a 2 - , z=α.

10. Resuelve el siguiente sistema e interpreta geométricamente el resultado:

0 = z +y 6 + x 70 = z +y + x 50 = z -y 4 + x 3

Solución.

11. Halla m para que el sistema:

0 = z m) + 5 (4 +y + x 40 = z +y 5 + x m) 2 - (2

0 = z -y m -x tenga solución

distinta de la trivial.Solución. │A│ = -2m3 - 88m² + 93m + 242. Sus raíces son fraccionarias o irracionales y muy difíciles de calcular. Para las raíces (-44'97, -1'22 y 2'2) el sistema es indeterminado.

────────────────────────────────────────

12. Discute el sistema de ecuaciones:

2 - m = z -y + x m0 = z 2 +y +x

2 - m = z +y m + x 3 según los valores

de mR, y resuélvelo para aquellos valores en que exista solución.Solución. │A│=2(m²-4). Si m=2 S.C.I. (3α, -5α, α). Si m=-2 S.I. Si m2 y m-2 S.C.D. [

2 + m2 - m ,

2 + m2 - m ,

2 + m2 + m - ].

13. Discute y resuelve el sistema según los valores del parámetro m:

1 = z +y m +x m = z 1) - (m +y + x m

1 + m = z +y +x

Solución. │A│=m-1. Si m=1 S.I. Si m1 S.C.D. [1 - m

1 - m 2 + m + m - 23,

1 - mm - , m2+m]

14. Dado el sistema de ecuaciones:

a = z a +y +x 4 = z +y a -x 1 = z -y + x a

a) Estúdialo según los valores del parámetro a.b) Resuélvelo en los casos en que sea compatible.c) ¿Qué se puede decir, según los valores de a, sobre la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones son las tres que forman el sistema?Solución. │A│=-a(a²+3). a) Si a=0 S.I. Si a0 S.C.D. b) (Por Cramer). c) Si a=0 los planos son paralelos. Si a0 los tres planos se cortan en un único punto dependiente del valor de a.15. Discute y resuelve según los valores de a y b, el sistema:

b = z +y 4 +x 1 = z 2 +y - x 3

2 - = z a +y 5 - x 2

Solución. │A│=13(a-1). Si a1 S.C.D. (Por Cramer). Si a=1 y b=3 S.C.I. (9α-5, α, 8-13α). Si a=1 y b3 S.I.

16. Sea el sistema:

0 = z -y m +x 0 = z m +y 2 + x 30 = z 9 +y 9 + x 7

Discútelo según los valores de m.

Resuélvelo para m=5.Solución. Si m5 y m

71 S.C.D. (0, 0, 0). Si m=5 ó m=

71 S.C.I. Si m=5 (-27α, 8α, 13α).

17. Discute y resuelve según los valores de a, el sistema:

a = z 9 +y 11 - x 52 = z 5 +y 4 - x 2

2 = z 5 +y 3 -x

Solución. S.C.D. para cualquier valor de a.

────────────────────────────────────────

18. Discute y resuelve según los valores de k, el sistema:

1 = z 2 +x 0 =y k + x 50 =y k - x 3

2 = z -y k +k x

Solución. S.I. en todos los casos.

19. Discute el siguiente sistema en función de a:

1 - = z -y a0 = z 4 -y - x a

a = z -y +x

Solución. Si a=2

29 5 S.I. Si a2

29 5 S.C.D.

20. Estudia el sistema:

5 + a = z a +y 1) + (a +x 1 + a = z +y -x a 4 = z +y + x a

Solución. Si a=1 ó a=23 - S.I. Si a1 ó a

23 - S.C.D.

21. a) Discute y resuelve, en los casos que proceda, el sistema:

k - 1 =y 1) -(k 0 = z 3 +y + x ) 2 -(k

k = zk +y 2

b) ¿Cómo sería la discusión si los términos independientes fuesen nulos?Solución. │A│=k(k-1)(k-2).a) Si k=0 S.I.

Si k=1 S.C.I. [2

1 + 5 , 2 - 1 , α]

Si k=2 S.I.

Si k0, k1 y k2 S.C.D. [k 2 - k6 -k 4 -

2 , -1, k

2 -k - ]

b) Si k=0 S.C.I. (α, 0, 3 2 )

Si k=1 S.C.I. (-5α, α, -2α)Si k=2 S.C.I. (α, 0, 0)Si k0, k1 y k2 S.C.D. (0, 0, 0,)22. a) Estudia para qué valores de a el siguiente sistema es compatible:

a = z +y +x 1 = z a +y +x 1 = z +y a +x 1 = z +y + x a

b) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema anterior sea compatible y determinado? Razona tu respuesta.Solución.

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23. Discute y, cuando sea compatible, resuelve el siguiente sistema:

b = za +

x2

1 = z1 +

y1 -

x1

3 = z1 +

y1 +

x1

Solución. 24. Estudia el siguiente sistema según los valores de los parámetros a y b:

a 3 = z b 2 +y 2 -x b =y 2 + x 52 = z 2 + x a 3

Resuélvelo para algún valor de a y b que lo haga compatible determinado.Solución. 25. Discute según los valores de los parámetros que se indican el siguiente sistema:

d = z c +y b + x a

d = z c +y b + x a1 = z +y +x

2222

Solución. Si ac, ab, bc: S.C.D.Si a=c ó a=b ó b=c: Si ad y bd, S.I.Si a=c ó a=b ó b=c: Si a=d: S.C.I.Si a=c ó a=b ó b=c: Si ad y b=d: Si a=cb, S.C.I.Si a=c ó a=b ó b=c: Si ad y b=d: Si a=c=b, S.I.Si a=c ó a=b ó b=c: Si ad y b=d: Si a=bc, S.I.26. Resuelve el sistema en función de a y luego halla el valor de a para que x+y=1.

1 = a cosy - asen x 1 = asen y + a cosx

Solución. 27.

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COLEGIO INTERNACIONAL TORREQUEBRADAMatemáticas.

Teorema fundamental de equivalencia. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero.

DemostraciónConsideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = c2................................... (1) +ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn = ci...................................am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = cmConsideremos también el sistema que resulta de sustituir la ecuación i-ésima de [1] por una combinación lineal de ella misma, multiplicada por un número distinto de cero, y de las restantes ecuaciones del sistema:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = c2...................................α1(a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn) + α2(a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn) + ... + αi(ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn) + ... + αm(am1x1 + am2x2 + ... + amnxn) = (2) = α1c1 + α2c2 + ... + αici + ... + αmcm...................................am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = cmVeamos que los sistemas [1] y (2) son equivalentes.Si (s1, s2, ..., sn) es solución de [1], trivialmente es solución de todas las ecuaciones de (2) distintas de la i-ésima. Comprobemos que también satisface esta ecuación: Como:a11s1 + a12s2 + ... + a1nsn = c1a21s1 + a22s2 + ... + a2nsn = c2...................................ai1s1 + ai2s2 + ... + ainsn = ci...................................am1s1 + am2s2 + ... + amnsn = cmentonces, sumando miembro a miembro la primera ecuación multiplicada por α1, la segunda por α2, ..., la m-ésima por αm, se obtiene:α1(a11s1 + a12s2 + ... + a1nsn) + α2(a21s1 + a22s2 + ... + a2nsn) + ... + αi(ai1s1 + ai2s2 + ... + ainsn) + ... + αm(am1s1 + am2s2 + ... + amnsn) = = α1c1 + α2c2 + ... + αici + ... + αmcm

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COLEGIO INTERNACIONAL TORREQUEBRADAMatemáticas.

Por tanto, (s1, s2, ..., sn) satisface también la ecuación i-ésima de (2).Recíprocamente, toda solución (s1, s2, ..., sn) de (2) será solución de [1], ya que: Trivialmente, (s1, s2, ..., sn) será solución de todas las ecuaciones de [1] distintas de la i-ésima. Veamos que también satisface esta ecuación:Por ser solución de (2):a11s1 + a12s2 + ... + a1nsn = c1a21s1 + a22s2 + ... + a2nsn = c2...................................α1(a11s1 + a12s2 + ... + a1nsn) + α2(a21s1 + a22s2 + ... + a2nsn) + ... + αi(ai1s1 + ai2s2 + ... + ainsn) + ... + αm(am1s1 + am2s2 + ... + amnsn) = = α1c1 + α2c2 + ... + αici + ... + αmcm...................................am1s1 + am2s2 + ... + amnsn = cmConsiderando la ecuación i-ésima:α1(a11s1 + a12s2 + ... + a1nsn) + α2(a21s1 + a22s2 + ... + a2nsn) + ... + αi(ai1s1 + ai2s2 + ... + ainsn) + ... + αm(am1s1 + am2s2 + ... + amnsn) = = α1c1 + α2c2 + ... + αici + ... + αmcmDe aquí se deduce que:αi(ai1s1 + ai2s2 + ... + ainsn) = αici ai1s1 + ai2s2 + ... + ainsn = ci por ser αi 0. Luego, toda solución de (2), es solución de [1]. c.q.d.

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