Métodos numéricos

Luis Angel Santiago Pérez

Métodos numéricos

Unidad 1 Introducción a los métodos numéricos.

1.1 Importancia de los métodos numéricos

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

Cálculo de derivadas

Integrales

Ecuaciones diferenciales

Operaciones con matrices

Interpolaciones

Ajuste de curvas

Polinomios

Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.

1.2 Conceptos básicos:

Cifra significativa:

Se denominan cifras significativas a todos aquellos dígitos de un número que se conocen con seguridad (o de los que existe una cierta certeza). En la medida expresada como 4,563 m si conocemos con seguridad hasta la 4ª cifra. Nos da idea de que el instrumento con que se ha medido esta longitud puede apreciar hasta los milímetros. Esta medida tiene cuatro cifras significativas.

Reglas de operaciones con cifras significativas.

Regla 1: los resultados experimentales se expresan con una sola cifra dudosa, e indicando con + - la incertidumbre en la medida.


Regla 2: las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el digito dudoso.

Regla 3: al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.

Regla 4: al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

Precisión: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión.

Exactitud: se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación.

También se refiere a la aproximación de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero. También es la mínima variación de magnitud que puede apreciar un instrumento.

Incertidumbre: Expresión del grado de desconocimiento de una condición futura (por ejemplo, de un ecosistema). La incertidumbre puede derivarse de una falta de información o incluso por que exista desacuerdo sobre lo que se sabe o lo que podría saberse. Puede tener varios tipos de origen, desde errores cuantificables en los datos hasta terminología definida de forma ambigua o previsiones inciertas del comportamiento humano. La incertidumbre puede, por lo tanto, ser representada por medidas cuantitativas (por ejemplo, un rango de valores calculados según distintos modelos) o por afirmaciones cualitativas (por ejemplo, al reflejar el juicio de un grupo de expertos).

Sesgo:

Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular.

1.3 Tipos de errores

Existen muchos tipos de errores (el tratamiento exhaustivo y estadístico de estos queda fuera del alcance del presente texto), dentro de los más importantes para el análisis numérico se encuentran:

» El error de redondeo» El error de truncamiento» El error relativo» El error absoluto

Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando.

El error de redondeo

Es el que resulta al suprimir o desechar un conjunto de dígitos que no se consideran como significativos, siguiendo las reglas establecidas para este caso:

a) Si el decimal n+1 es menor que 5, simplemente se suprime.

b) Si el decimal n+1 es mayor o igual a 5, se incrementa en una unidad la última cifra conservada.


Existen dos tipos de errores de redondeo:

* Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.

* Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:

Para números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Error de truncamiento

El error de truncamiento es el error que aparece cuando un procedimiento infinito se hace finito. El ejemplo clásico del error de truncamiento, es cuando se corta la expresión de una función, en series de potencia. La expansión de una función en series de potencias de Taylor está dada por:

Como se ve, esta expansión es infinita lo cual no es práctico para calcular un valor de la función, de ahí que la serie se trunca, lo cual produce automáticamente un erro, el cual es precisamente llamado error de truncamiento. Póngase como ejemplo, el cálculo del valor de:

Error numérico total:

Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Error relativo

El error relativo es el cociente entre el valor absoluto y el valor real. Es decir que:

Donde, como en la definición anterior es el valor real, y es el valor obtenido o aproximado. Como ya se mencionó, no siempre se conoce el valor real, por lo tanto se usa el valor esperado o bien el valor obtenido anteriormente en una iteración.

Ejemplo:

Se calculara el error relativo cometido al calcular el coseno , respecto al calculado por medio de 6 términos de una expansión en serie Mc Claurin.


Cos (6)=0.960170, la expresión con 6 términos proporciona el valor -0.733121

Así

Muchas veces es útil trabajar con el porcentaje de error relativo, el cual se obtiene multiplicando por 100.

En ambos errores estos se reportan de acuerdo con la exactitud que se esté manejando.

Hay que recordar que el error de redondeo en los cálculos está dado por la expresión Error de redondeo= donde n es el número de decimales que se están considerando.

Error absoluto

El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.

Es decir:

Donde es el valor real, y es el valor obtenido, o aproximado.

Como rara vez se conoce el valor real , puede corresponder a cualquiera de dos valores: El valor esperado o bien el valor obtenido por la iteración anterior.

Ejemplo:

ln(3.5)=1.25276 la aproximación utilizando una expansión de Taylor con 6 términos es 14.3489, por lo tanto el error absoluto es:

1.4 Software de cómputo numérico.

NETLIB

Netlib (NET LIBrary) es una colección grande de software, documentos, bases de datos gratis que son de interés para las comunidades científicas y de métodos numéricos. El depósito es mantenido por los Laboratorios Bell de AT&T, la Universidad de Tennessee y el Laboratorio Nacional Oak Ridge, y replicado en varios sitios alrededor del mundo.

Netlib contiene software de alta calidad que ha sido probado en forma intensiva, pero todo el software libre no tiene garantía y tiene poco soporte. Para poder usar el software, primero se tiene que descargar en su computadora y entonces compilarlo.

NAGEl Grupo de Algoritmos numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales


ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.

IMSL

La biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios.

MATLABEs un programa de cálculo numérico, orientado a matrices y vectores. Por tanto desde el principio hay que pensar que todo lo que se pretenda hacer con él, será mucho más rápido y efectivo si se piensa en términos de matrices y vectores.

GNU OCTAVEEs un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Máxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.

1.5 Métodos iterativos

Un método iterativo trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

Operación Simple de punto Fijo

Los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir una raíz. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo), al reordenar la ecuación f(x) = 0 de tal modo que x este del lado izquierdo de la ecuación:

Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo:

Se reordena para obtener


Mientras que sen x = 0 puede transformarse en la forma de la ecuación (1.1) sumando x a ambos lados para obtener

La utilidad de la ecuación (1.1) es que proporciona una fórmula para predecir un nuevo valor de x en función del valor anterior de x.

De esta manera, dado un valor inicial para la raíz Xi, la ecuación (1.1) se utiliza para obtener una nueva aproximación

Expresada por la formula iterativa:

Convergencia

Note que el error relativo porcentual verdadero en cada iteración del ejemplo anterior es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteración anterior. Esta propiedad conocida como convergencia lineal, es característica de la iteración simple del punto fijo.

Además de la “Velocidad” de convergencia, en este momento debemos enfatizar la “posibilidad” de convergencia.

Los conceptos de convergencia y divergencia se pueden ilustrar gráficamente. Se puede graficar una función para visualizar su estructura y comportamiento. Ese método se emplea para la función f(x) = e - x - x.

Un método grafico alternativo consiste en separar la ecuación en dos partes, de esta manera

Entonces las dos ecuaciones

Y

Se grafican por separado. Así los valores de x correspondientes a las intersecciones de estas dos funciones representan las raíces de f(x) = 0.

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