INSTITUTO TECNOLGICO DE LZARO CRDENAS

Ingeniera en Sistemas Computacionales

Unidad I

Elabor: Mendiola Villegas Julio Csar Lozano Hernndez Ral Cacari Torres Juan Jos Morales Soriano Germn Yahir Cesar Ivn Diego Ballesteros Martines

Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas. El anlisis numrico trata de disear mtodos para aproximar de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemticamente. El objetivo principal del anlisis numrico es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando slo las operaciones ms simples de la aritmtica. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lgicas que producen la aproximacin al problema matemtico.

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Cifra SignificativaCando se emplea un nmero en un clculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los mtodos numricos. 1.- Los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos nmeros representan nmero especficos, no se pueden expresar exactamente con un nmero finito de cifras.

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Precisin La precisin se refiere a qu tan cercano est un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La imprecisin, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. La exactitud y precisin exigibles a una medicin, dependern de los objetivos del estudio que la utiliza. Ejemplo: La precisin de un resultado estadstico debe estar de acuerdo con la precisin de los datos originales y con las exigencias propias del proyecto que los usa.

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Exactitud La exactitud se refiere a que tan cercano est el valor calculado o medido del valor verdadero. La inexactitud se define como un alejamiento sistemtico de la verdad. Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniera. Un instrumento inexacto nos entrega resultados sesgados, desplazados; uno impreciso, resultados ambiguos, difusos. Ejemplo, una pesa es exacta si nos entrega el peso correcto, sin agregarle ni quitarle. Asimismo, es ms precisa en la medida que el aparato usado es capaz de detectar diferencias de peso ms pequeas.5

Incertidumbre y Sesgo Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniera. Incertidumbre: Situacin bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultado de un determinado evento. Sesgo: existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtindose que este ocurre en forma sistemtica

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1.3 Tipos de Errores 1.3.1 Definicin de error: error absoluto y relativo. Los errores.- Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida. Error absoluto.- Es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado: EA = [Vv - Va ] Error Relativo.- Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero: ER = EA/Vv= (Vv Va)/Vv Error Relativo Porcentual: ERP = EA/Vv x 100 %7

1.3.2 Error por Redondeo Criterio de redondeo D1 d2 d3.... . d1 i +1.. . ..dn ( i< n ) Di +1> 5 di = di +1 Di +1< 5 di = di Di +1 =5, Di es par di = di, Di es impar di = di +1

Ejemplos: Redondear a 4 cifras significativas: a) 42.37834 = 42.38 b) 382.154 = 382.2 c) 545.21 = 545.28

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximacin en lugar de un procedimiento matemtico exacto. Truncamiento es el trmino usado para reducir el nmero de dgitos a la derecha del punto decimal, descartando los menos significativos. Por ejemplo dados los nmeros reales: 3,14159265358979... 32,438191288 6,3444444444444 Para truncar estos nmeros a 4 dgitos decimales, slo consideramos los 4 dgitos a la derecha de la coma decimal. El resultado es: 3,1415 32,4381 6,3444 Ntese que en algunos casos, el truncamiento dar el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dgitos, meramente los corta en el dgito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error mximo que se puede tener usando redondeo.9

El error numrico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme l numero de clculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).

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Para evitar este tipo de incidentes nos podemos auxiliar de software de computo numrico como: MathCad MatLab Maple Derive Cabri Geometry. Los programas anteriormente mencionados resuelven operaciones como las ya comentadas mediante el uso de comandos entregando al usuario los resultados esperados sobre la resolucin de ciertas operaciones.

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Si se trata de resolver tcnicas repetitivas tenemos lenguajes de programacin para la implementacin de dichos algoritmos iterativos tales como: MatLab C C# Java

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un mtodo iterativo obtiene una solucin aproximada de AX=b construyendo una sucesin de vectores X1,X2,.....,Xk desde un vector inicial arbitrario xo. un mtodo iterativo se dice convergente si

El vector error, en cada iteracin, se define como

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un mtodo iterativo nunca da la solucin exacta incluso en precisin infinita.

Los mtodos directos tericamente producen la solucin exacta; pero en un ordenador dan errores numricos.

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